Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Transkriptio

1 Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

2 Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita ei voi käsitellä tilastomenetelmin ( kalibrointivirheet, inhimilliset virheet, menetelmiin ja olosuhteisiin liittyvät virheet

3 1. Tilastollisen satunnaisvirheen eliminointi toistamalla mittausta Olkoon suureen todellinen arvo x Mittaustuloksissa esiintyy satunnaista hajontaa molempiin suuntiin Gaussin käyrän mukaisesti On selvää, mittaussarjan keskiarvo µ on lähellä suureen todellista arvoa x, koska keskiarvossa eri suuntiin tapahtuvat satunnaisvirheet kumoavat toisensa Kysymys: Kuinka tarkka on mittaussarjan keskiarvolla tapahtuva muuttujan todellisen arvon määritys?

4 Virherajat / mittaussarja Olkoon mittaussarjan mittaustulosten keskihajonta s Tällöin teorian mukaan n mittauksen sarjojen keskiarvojen keskihajonta σ x on s x 95 % todennälöisyydellä todellinen arvo x on välillä n s s x n n

5 Kattavuuskerroin perustuu normaalijakauman (ja Studentin jakauman) ominaisuuksiin 68 % arvoista on keskihajonnan säteellä keskiarvosta 95 % arvoista on * keskihajonnan säteellä.

6 Esim: Putoamiskiihtyvyys mitataan 10 kertaa. Tuloksissa on satunnaista hajontaa: Laske g virherajoineen. Excel Vastaus on keskiarvo: g = 9.80 m/s Virhemariginaali on : g s n ,07 m s g = (9.81± 0,0) m/s

7 . Regressioanalyysi Yleisimmät mallit: Linear y ax b Exponential bx y ae Power: b y ax Polynomial y ax bx c

8 1. Lineaarinen regressiomalli y ax b Periaate: Löydetäänsellainen a ja b että mallista laskettujen ja mitattujen y-arvojen erotusten neliösumma on minimissään Esim.: x y Minimoidaan (a*1+ b-4.5) + (a*1.5+ b-4.8) + (a*+ b-4.) + (a*.5+ b-4.8) + (a*+ b-4.9) + (a*.5+ b-44.) Kuvassa residuaalit eli erotukset.

9 1. LINEST - funktio Excel funktio LINEST on moniarvoinen funktio, joka laskee parametrit a ja b ja niiden keskivirheet x- solualueelle. Parametrien a ja b keskivirheet ovat niiden keskihajontoja olettaen että residuaalit johtuvat satunnaisista mittausvirheistä. Parametrien a ja b virhemariginaaleina annetaan x niiden keskivirheet.

10 Muita malleja jotka voidaan linearisoida LINEST funktiota voi käyttää myös muiden kuin lineaaristen mallien yhteydessä, kun ne on ensin linearisoitu muuttujan vaihdoksella MALLI MUUNNOS LINEAARINEN MALLI y = a e bx Y - > lny lny = lna + b x y = a x + b X -> x y = a x + b

11 KOKONAIS- DIFFERENTIAALI FUNKTION VIRHEEN ARVIOINNISSA

12 Absoluuttinen ja suhteellinen virhe Virhe ilmaistuna absoluuttisena virheenä x: x ( )m Virhe ilmaistuna suhteellisena virheenä x/x : x.15m.4% x x 0.05m.15m 100%.% Esim. Virtamittarin tarkkuus on ilmaistu suhteellisena virheenä.

13 Yhden muuttujan funktion virhe Funktion virhe = derivaatta * muuttujan virhe f f '( x) x

14 Esim: Määritetään pallon tilavuus mittaamalla sen halkaisija. Mittaustulos on d = (1.5 ± 0.) cm Pallon tilavuus V 1 d 6 1 (1.5cm) cm Tilavuuden absoluuttinen virhe V V '( d) d 1 d d 1 (1.5cm) 0.cm 49.1cm Tulos: V = (10± 50) cm

15 Monen muuttujan funktion virhe f f ( x, y, z) f f f f x y z x y z Osittaisderivaatat

16 Esim.: Tiheys: 1 4 Sylinterin tiheys määritetään mittaamalla sen massa m, pohjan halkaisija d ja korkeus h: m = (9.45 ± 0.05) g, d = 1.50 ± 0.0) cm and h = 5.00 ± 0.04) cm m d h 4m d h 49.45g (1.5cm) 5.0cm g cm Tiheydeb absoluuttinen virhe: m d h m d h 4 8m 4m m d h d h d h d h g cm Tulos: tiheys ρ = (10.5± 0.4) g/cm

17 Osittaisderivaatat saa helposti Online- laskurilla wolframalpha.com

18 Esim: Määritetään pallon tilavuus mittaamalla sen halkaisija. Mittaustulos on d = (1.5 ± 0.) cm Pallon tilavuus 1 V d 6 10 cm d d Halkaisijan suhteellinen virhe % => Tilavuuden suhteellinen virhe = *1.6% = 4.8 % Tilavuuden absoluuttinen virhe = 4.8%*10 cm = 49.1 cm Tulos: V = (10± 50) cm

19 SUHTEELLISEN VIRHEEN MENETELMÄ

20 Suhteellisen virheen menetelmä Sopii funktioille, joissa on vain kerto, jako ja potenssilaskuja Funktion suhteellinen virhe on muuttujien suhteellisten virheiden summa, jossa painokertoimina ovat muuttujan potenssit funktion lausekkeessa. Sovellettuna funktioon: m d 1 4 h m m d h d h % Tulos: ρ = 10.5 g/cm ± 4% DERIVOINTIIN VERRATTUNA PALJON HELPOMPI TAPA! 4% tiheydestä 10.5 = 0.4 g/cm

21 Perustelu suhteellisen virheen menetelmälle z y x g z y x g ln ln ln ln Kaava: x x f f ) '( z z y y x x g g z z y y x x g g Worst case scenario

22 Tulosten oikea esitysmuoto. Mitkä ovat virheellisiä esitystapoja, mitkä oikeita? a) 7.78 g ± 0.1 g b) 8.6 m ± 0.0 m c) (7.9 ± ) N d) 7.6 ± 0. m e) 0.0 mm ± 0.4 mm