7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet"

Aurora Korpela
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

2 Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun sijaan ja miltä massan säilyminen näyttää näin muotoiltuna? Motivointi: tasetarkastelu valituille alueille ei ole riittävä, kun ollaan kiinnostuttu virtauksen yksityiskohdista Young et al, kappaleet

3 Osaamistavoitteet Selittää fluidielementin deformaation ja jatkuvuusyhtälön välisen yhteyden Osoittaa, toteuttaako virtauskenttä jatkuvuusyhtälön Määrittää fluidielementille erilaisia deformaationopeuksia virtauskentän perusteella

4 Miten differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö voidaan johtaa?

5 Mikä on perusperiaate? koordinaatit ja komponentit infinitesimaalinen kontrollitilavuus Taylor Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

6 Mitä saadaan jatkuvuusyhtälöstä? Luento 4 Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

7 Miten jatkuvuusyhtälö tyypillisesti yksinkertaistuu? Yleinen muoto Ajasta riippumaton Kokoonpuristumaton

8 Ja miltä se näyttää sylinterikoordinaatistossa? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

9 Esimerkki: jatkuvuusyhtälön toteutuminen Prob Eräälle kokoonpuristumattomalle kaksiulotteiselle virtaukselle y- suuntainen nopeus on v = 3 xy x 2 y Määritä nopeuskomponentti x- suunnassa siten, että jatkuvuusyhtälö toteutuu. Vastaus: u = 3/2 x 2 + 1/3 x 3 + f(y)

10 Mitä jatkuvuusyhtälön derivaatat kuvaavat?

11 Esimerkki: lineaarinen deformaatio x-akselin suhteen Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

12 Esimerkki: lineaarinen deformaatio x-akselin suhteen Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

13 Millä muilla tavoilla fluidialkio voi deformoitua?

14 Miten nestealkio käyttäytyy virtauksessa? translaatio lineaarinen deformaatio rotaatio kulmadeformaatio = = = =

15 Miten nestealkion deformaatio voidaan määrittää virtauskentästä?

16 Miten translaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

17 Miten lineaarinen deformaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

18 Miten kulmadeformaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

19 Miten rotaatio riippuu virtauskentästä? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

20 Esimerkki: virtauskentän ominaisuudet Prob On ehdotettu, että eräs kaksiulotteinen virtauskenttä olisi kuvattavissa komponenteilla u = A y v = B x jossa A ja B ovat positiivisia vakioita. a) Toteuttaako kenttä jatkuvuusyhtälön? b) Onko virtaus pyörteetön? c) Määritä virtaviivojen yhtälö ja piirrä virtaviiva, joka kulkee origon kautta. 1 Vastaus: a) kyllä, b) jos A=B

21 Miten virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa tasovirtauksille?

22 Miten virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa tasovirtauksille? Virtafunktio

23 Mitä virtafunktion tasa-arvokäyrät kuvaavat? Young et al (2012), Introduction to Fluid Mechanics, 5 th edition

Esimerkki: virtafunktio nopeuskentästä Prob. 6.

24 Esimerkki: virtafunktio nopeuskentästä Prob Nopeuskenttä on annettu komponenteilla u = x 2, v = 2 x y + x Määritä nopeuskenttään liittyvä virtafunktio mikäli mahdollista. Vastaus: x 2 y 1/2 x 2 + C

25 Mitä opimme?

26 Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun sijaan ja miltä massan säilyminen näyttää näin muotoiltuna?

27 Seuraavaksi kerraksi Torstain luennon aiheena: Differentiaalimuotoinen liikemääräyhtälö Navier-Stokes), Young et al (2012): 6.3, Miten liikemääräyhtälö johdetaan mielivaltaiselle avaruuden pisteelle ja mitä lisäinformaatiota tässä tarvitaan jännitysten käyttäytymisestä? Motivointi: Navier-Stokesin yhtälöt yhdistettynä jatkuvuusyhtälön kanssa muodostavat täysin yleisen mallin Newtonilaisen fluidin virtaukselle

Samankaltaiset tiedostot

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen