MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

Transkriptio

1 MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x + 4 = 0 x + x + = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x = Voi ratkaista myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. (d) x 0x < 0 Jaetaan polynomi tekijäihin ja ratkaistaan nollakohdat tulon nollasäännöllä: x(x 0) = 0 x = 0 tai x = 0 Hahmotellaan kuvaaja, joka on ylöspäin aukeva paraabeli ja jonka nollakohdat ovat x = 0 ja x = 0. Tästä nähdään, että x 0x < 0, kun 0 < x < 0. (e) 4 x 4x + 5 < 3 4 x 6x + 0 < x 6x + 8 < 0 Ratkaistaan polynomin x 6x + 8 nollakohdat. x 6x + 8 = 0 x = ( 6) ± ( 6) 4 8 = 6 ± 4 x = 6 ± 6 4 = 6 ± 4 4

2 x = 8 ± 4 Tarkastellaan polynomin kuvaajaa. Toisen asteen termin kertoimen positiivisuudesta voidaan päätellä, että kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Näin ollen kysytty epäyhtälö on tosi, kun 8 4 < x < (f) x + x > x 3x + x > 0 Ratkaistaan polynomin 3x + x nollakohdat. x = ± ( ) 4 ( 3) ( ) ( 3) x = ± 4 6 x = ± 4 6

3 Funktiolla ei siis ole nollakohtia. Koska polynomin 3x + x kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, se ei koskaan saa positiivia arvoja. Annetulla epäyhtälöllä ei näin ollen ole ratkaisuja.. (a) Funktioiden f ja g kuvaajat ovat samanmuotoiset ja niiden x- akselilla sijaitsevat huippupisteet ovat yhtä etäällä y-akselista. Jos funktion esittää tekijämuodossa, näkyvät siitä suoraan nollakohdat. Tässä tapauksessa f(x) = (x ) ja g(x) = (x + ) (b) Funktioiden f ja g kuvaajat ovat samanmuotoiset, mutta aukeamissuunta on eri. Funktioilla on samat nollakohdat. Toisen asteen termin kerroin a määrittää paraabelin muodon ja aukeamissuunnan. Kun a 0 niin nollakohtia on 0, tai. c määrää y-akselin leikkauspiteen ja vaikuttaa paraabelin "korkeuteen"koordinaatistossa. Kun c = 0, funktiolla on yksi nollakohta, joka on x = 0. Kun c < 0, funktiolla on kaksi nollakohtaa. Kun c > 0, funktiolla ei ole nollakohtia. (c) Funktioiden f ja g kuvaajat ovat samanmuotoiset, mutta aukeamissuunta on eri. Funktioilla on samat nollakohdat. Kun a 0 ja b 0 yhtälöllä ax + bx = 0 on aina kaksi ratkaisua. Toinen ratkaisuista on x = 0 (d) Täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä riippuu kaikien termien kertoimista. Ratkaisujen lukumäärän näkee suoraan diskriminantista. Kun ax + bx + c = 0, niin D = b 4ac Jos D > 0, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Jos D < 0, yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja. Jos D = 0, yhtälöllä on vain yksi ratkaisu. 3

4 3. (a) a a a = a a a a = a a a = a a = a. (b) Määritemlmän mukaan neliöjuuren täytyy olla ei-negatiivinen. Tarkastellaan ensin onko 3 3 > 0. 3 > < on positiivinen, jote se on mahdollinen neliöjuuri. Seuraavaksi tarkistetaan onko annettu yhtälö tosi: 30 6 = 3 3 ( ) 30 6 = (3 3) = (3 3)(3 3) = = 30 6 Väite on tosi. 4. (a) x 9 < 0 Ratkaistaan ensin yhtälöstä funktion nollakohdat. x 9 = 0 x = ± 9 x = ±3 Funktion kuuvaajan hahmottelusta näemme, että se on ylöspäin aukeva paraabeli, jonka nollakohdat ovat 3 ja 3. Eli funktio saa positiivisia arvoja, kun x < 3 tai x > 3, eli x kuuluu välille ], 3[ tai ]3, [. Lukusuoralla ilmoitetussa vastauksessa avoimet pallot. (b) 4x x 6x = 0 x(4x + 45x 6) = 0 Tulon nollasääntö: x = 0 tai 4x + 45x 6 = 0 Käyttämällä esimerkiksi toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa saadaan x = tai x = 8 Juurien summa on siis = 7 8. (c) Funktion f(x) = px +px+ diskriminantti on D = p 4 p = p 6p. Tarkastellaan diskriminanttifunktion D(p) = p 6p nollakohtia ja kuvaajan kulkua: D = 0 p 6p = 0 p(p 6) = 0 4

5 Tulon nollasääntö: p = 0 tai p 6 = 0 p = 6 i. Funktiolla f on yksi nollakohta, kun D(p) = 0, eli kun p = 0 tai p = 6. ii. Funktiolla f on kaksi nollakohtaa, kun D(p) > 0, eli kun p < 0 tai p > 6. iii. Funktiolla f ei ole yhtään nollakohtaa, kun D(p) < 0, eli kun 0 < p < 6. (d) f(x) = 0 x 6 + 6x 3 = 0 x 3 (x 3 + 8) = 0 Tulon nollasääntö: x 3 = 0 x = 0 tai x = 0 x 3 = 8 x = 3 8 x = Polynomin asteluku (6) on parillinen ja korkeimman asteen termin kerroin () on positiivinen. Näin ollen funktion kuvaaja on ylös- 5

6 päin aukeava käyrä, jolla on kaksi nollakohtaa: x = ja x = 0. Näin ollen f(x) < 0, kun < x < (a) h 0 =, 5m g = 9, 8m/s v 0 = 0m/s h(t) =, t 9, 8t (b) Arvioitu lentokorkeus on noin 6,5m (c) Pallo osuu maahan, kun h(t) = 0., t 9, 8t = 0 Ratkaistaan t toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen: t = 0 ± 0 4 ( 4, 9), 5 ( 4, 9) = 0 ± 9, 4 9, 8 6. * (t = 0, 4s) tai t =, 8s Vain positiivinen ratkaisu käy. (d) v(t) = v 0 gt v(, 8) = 0 9, 8, 8 =.364 Vastaus: Pallon nopeus sen iskeytyessä maahan on,4m/s. Laskussa pallon nopeus saa negatiivisen arvon, sillä se on vastakkaissuuntainen kuin sen lähtönopeus. x 3 36x = x + 36 x 3 + x 36x 36 = 0 Tekijöihin jako ryhmittelemällä: x (x + ) 36(x + ) = 0 6

7 (x 36)(x + ) = 0 Lasketaan nollakohdat tulon nollasääntöä käyttäen: x 36 = 0 x = 36 x = 3 x = 3 tai x = 3 TAI x + = 0 x = Kun x = 3, niin y = ( 3) + 36 = 0. Kun x =, niin y = ( ) + 36 = 4 Kun x = 3, niin y = ( 3) + 36 = 0. Leikkauspisteet ovat siis ( 3, 0), (, 4) ja ( 3, 0). 7. ** Tehtävänannon perusteella tiedetään, että b = a ja a+b = a+ a =. ( a + b) a ) = ( a + = ( a) + a + ( a = a + + a = (a + ) + a a ) (Tehdään taikatemppu: Kerrotaan ja jaetaan yhtä aikaa a + a luvulla. Lausekkeen arvo säilyy siis ennallaan!) = a+ a + (Huom. Tehtävänannon perusteella tiedetään, että a+ a =.) = + = 6 7