9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys), kun G x = F x + C niin G x = F x Hvinto: K(x) on eräs f:n Integrlifunktio, eli Määrätty Etsitään reliluku Pint-ln/tilvuuden rtkiseminen ti määrittäminen Välin jko j porrsfunktiot rviointi j rjnkäynti, jolloin, dx Kertymäfunktion määritelmä x K x = f(t) dt y = f(t) x 0 x x 0 f t Kertynyt pint-l vst funktion K rvo, tässä viivoitettu pint-l on funktion K rvo K(x) muuttujn t rvoll x. Määrätty integrli Johdnto Määrätty integrli eli määritetään/lsketn (pint-loj, tilvuuksi, jne.) sdn jokin reliluku. Muist ero määräämättömään integrliin. Määritelmän tkn on rjnkäynti, ivn kuten derivtn määritelmässä erotusosmäärän rj-rvo. Yleisen tsolueen reun voi sisältää käyräviivisi osi. Tällisen lueen pint-llle sdn likirvo eli pproksimtio korvmll lue sellisell monikulmioll, jok yhtyy tsolueeseen riittävän trksti. Reunviiv-pproksimtio A A + + A 8 INTEGRAALI- LASKENTA, MAA9 Porrskuvio pproksimtio A A + + A A A 5 A A 7 A A 8 A 3 A A A A A 3 A A5 A
9..08 Määritellään yleisen tsolueen pint-l sellisten monikulmioiden lojen rj-rvon, jotk yhtyvät yhä trkemmin kyseiseen lueeseen. Esimerkki Ympyrän (säde= r) pint-l A = lim A n, missä A n on n ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion pint-l. Kosk A n = n h = hn = hp n, missä j h ovt keskuskolmion knt j korkeus sekä p n on n-kulmion piiri, niin A = lim A n = lim n n hp n = r πr = πr r h Säännöllinen -kulmio peittää jo hyvin! n = Pint-l porrssummn rj-rvon Esimerkki Trkstelln luett, jot rjoitt preli y = x +, x-kseli j suort x = 0, x =. y = x + Lsketn lueen A pint-llle likirvoj hyödyntäen ns. porrssummi. Jetn väli [0,] neljään yhtä suureen osväliin, joiden jokisen pituus on =. x = 0 A x =
9..08 Muodostetn suorkulmioiden eli portiden vull monikulmio. Suorkulmion korkeus on funktion rvo f x = x + osvälin keskipisteessä x k. Keskipisteet ovt x =, x = 3, x 3 = 5, x = 7, jolloin f = f 3 = 3 f 5 = 5 f 7 = 7 + = 7 + = 5 + = + = 5 y = x + x = 0 x = Tulukoidn sdut tiedot: Osväli 0 x x x 3 3 x Keskipiste x k 3 5 7 Osvälin pituus Suorkulmioiden=portiden lojen f x k summ eli funktion f porrssumm yli välin [0,] nt likirvon pint-llle A: A + 9 + 9 + = 9,5 Funktion rvo f x k 7 5 5 y = x + Suorkulmion l f x k 7 = 5 = 9 = 9 5 = Kuten derivtn määritelmässä nnetn seknttien lähestyä tngentti, niin nyt tihennetään välin jko, jolloin osvälit kpenevt j likirvo pint-llle A trkentuu. (Tämä on rjnkäyntiä!) x = 0 x = 3
9..08 Osvälejä Osvälin pituus Porrssumm eli rvio pint-llle = 9,500 0 0 = 0, 9,300 00 0,0 9,330 000 0,00 9,3333 0000 0,000 9,3333 lim 0 A porrs Näyttäisi siltä, että kysytyn pint-ln A rvo olisi 9. 3 Määritelmä, porrssumm: Olkoon f välillä [, ] määritelty funktio j olkoon D tämän välin jko n yhtäsuureen osn, jolloin yhden jkovälin pituus on = n. Jkoon D liittyvä porrssumm, ns. Riemnnin summ on f x + f x + + f x n, missä x on vlittu ensimmäiseltä, x toiselt jne. j x n viimeiseltä jkoväliltä. Kohtien x,, x n ei trvitse oll jkovälien keskikohti! Jos f on ei-negtiivinen, niin porrssumm ilmoitt suorkulmioist (knt, korkeudet f x i, i =,, ) koostuvn monikulmion pint-ln Määritelmä, pint-l porrssummien rj-rvon: Olkoon funktio f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, ]. Tällöin sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = f(x), x-kseli j suort x =, x =, sdn porrssummien rj-rvon, kun jko tihennetään rjttomsti, eli kun jkovälin pituus lähenee noll. Geoger http://www.cs.helsinki.fi/u/kirem/geoger/hrjoitus8.html Geoger http://www.geoger.org/serch/perform/serch/m%c3%a%c3%ar%c3 %Atty%0integrli/mterils/ Wolfrm: http://integrls.wolfrm.com/index.jsp
9..08 Määritelmä, l- j yläsumm: Olkoon f välillä [, ] määritelty jtkuv funktio, j olkoon D välin [, ] jko n yhtä suureen osn. Olkoot m, m,, m n funktion f pienimmät rvot j M, M,, M n funktion f suurimmt rvot jkoväleillä. Tällöin jkoon D liittyvä lsumm on j yläsumm s n = m + m + + m n S n = M + M + + M n. Jos lisäksi f on ei-negtiivinen j A on sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = f x, x-kseli j suort x = j x =, niin pätee Likirvon A S n s n. s n A S n s n + S n virhe (virheen itseisrvo) on tällöin enintään Esimerkki Trkstelln edellistä esimerkkiä. Kosk funktio f: f x = x +, on positiivinen j ksvv välillä 0,, niin se s pienimmän rvons jkovälin lkupisteessä j suurimmn rvon loppupisteessä. Kun väli [0,] jetn neljään yhtä suureen osn, vstvt l- j yläsummt ovt : s = + 5 + + 3 = 7 S = 5 + + 3 + 5 = x = 0 y = x + x = S s Joten pint-llle, virheelle j tulokselle sdn A 7 + = 9,5, δa = 7 =,0 A = 9,5 ±,0 5
9..08 All olevn tulukkoon on lskettu tiheneviä jkoj vstvi l- j yläsummi, niiden keskirvoin sdut likirvot llle A sekä näiden likirvojen mksimivirheet Jkovälejä n Alsumm s n Yläsumm S n A:n likirvo s n + S n A:n virhe S n s n Arvio A:lle 7,5,5 9,5,0 A 9,5 ±,0 0 8,5 0, 9, 0,8 A 9, ± 0,8 00 9,5 9, 9,33 0,08 A 9,33 ± 0,08 000 9,353 9,33 9,333 0,008 A 9,333 ± 0,008 0000 9,335 9,33 9,3333 0,0008 A 9,3333 ± 0,0008 Al-j yläsummt (trkemmin rvot m k j M k ) voivt oll hnkli määrittää, jos funktio on hstv. Tällöin voi hyödyntää välisumm, S väli,n n k= joss rvoille f x k pätee: m k f x k f x k, M k kikill osväleillä. Näin ollen välisummlle on s n S väli S n j rjnkäynti nt pint-ln, kosk välisumm on in l- j yläsummn välissä. Kirjn kuvt s. 5. Määrätty integrli Olkoon f edelleen jtkuv välillä [, ], mutt luovutn ei-negtiivisuusehdost, sillä yleisessä porrssummss voi oll negtiivisikin termejä. Syy, tulo f x on in smnmerkkinen kuin f x. y = f x = cos x sin x y = f x = cos x sin x ALASUMMA s 7 YLÄSUMMA S 7 Jko tihennettäessä, eli kun n, porrssummt (sekä l- että yläsumm) lähestyvät tällöinkin tiettyä rj-rvo, jot kutsutn funktion f määrätyksi integrliksi :st :hen. Kyseinen rj-rvo, jok on reliluku, on niiden lueiden pint-lojen erotus, jotk käyrä trksteltvll välillä rjoitt x-kselin j ylä- j lpuolelle, voi oll negt.
9..08 ALASUMMA s 0 YLÄSUMMA S 0 Yläpuolisiss kuviss n = 0 j lpuolisiss n = 0. ALASUMMA s 0 YLÄSUMMA S 0 Jos välinä olisi 3:st :een niin tämän esimerkkifunktion tpuksess määrätyn integrlin rvo olisi jotin negtiivist (trkstele x-kselin l- j yläp. pint-loj). Määritelmä, määrätty integrli: Olkoon f välillä [, ] määritelty jtkuv funktio. Funktion f määrätty integrli tällä välillä, merkitään f x on porrssummn rj-rvo, kun välin [, ] jko tihennetään rjttomsti, eli kun jkovälin pituus lähenee noll. Siis f x dx = lim n =s n m k n k= dx, = lim n =S n M k n k= Väliä [, ] snotn integroimisväliksi j päätepisteitä j integroimisrjoiksi: on lrj j on ylärj. Merkintä f x dx luetn: määrätty integrli :st :hen fxdx, integrlimerkki tulee summ trkoittvst S-kirjimest j dx on äärettömän pieni, infinitesimlinen suure, tulee kun 0.. 7
9..08 Esimerkki Lske ) 3 x dx, ) ) Kosk funktio f x = x on välillä,3 positiivinen, kysytty integrli on vrjostettu l (puolisuunniks), eli 3 x dx = 3 + =. ) Välillä, f x = x on ei-positiivinen, joten kysytty integrli on vrjostetun ln vstluku, eli x dx = =. c) Nyt kysytty integrli on lojen erotus, eli x dx = 3 3 =. x dx j ) x dx A,53 y = f x = cos x sin x A,0055 A 0,308 A,95 Esimerkkifunktiolle f: f x = cos x sin x sdn pint-lt ti pint-lojen vstluvut. Näin ollen määrätty integrli on 3 cos x sin x dx,53 + 0,308,0055,95,89, sin + 5 sin + sin 9 8
9..08 Määrätyn integrlin yhteys pint-ln (tässä viheess) Yleisesti määrätty integrli ei nn pint-l vn reliluvun. Pintl ei voi oll negtiivist mutt määrätty integrli voi. Milloin määrätty integrli sitten nt pint-ln? Silloin, kun funktio on ei-negtiivinen kyseisellä trksteluvälillä. Olkoon f: f x = 0,5x x +, jolloin f on ei-negtiivinen. Tällöin käyrän y = 0,5x x +, x-kselin j suorien x = 0, x = väliin jäävä pint-l on sm kuin määrätty integrli 0:st :ään: 0 0,5x x + dx = 3 9