Jouko.teeriaho@lapinamk.fi Kannattavuuslaskennan ja elinkaarilaskennan Matematiikkaa
Sisältö Perusteita Tulevien rahavirtojen nykyarvon määrääminen ( diskonttaus ) Annuiteetit (mm. taserälainan erän suuruuden laskeminen) Kassavirran sisäisen koron laskeminen Odotusarvon käsite (Expected return) Elinkaarilaskennan perusmenetelmät Nykyarvomenetelmä Annuiteettimenetelmä Sisäisen koron menetelmä
Osion arviointi perustuu Excel harjoituksiin, jotka palautetaan Moodleen Aiheesta ei tule koekysymyksiä Seuraavassa lyhyt johdatus, joka perustuu seuraavaan web lähteeseen: Elinkaarikustannusten laskenta, Tekn.tri Arto Saari VTT virtual.vtt.fi/virtual/proj6/environ2/rem/elinkaarikustannukset.doc
Elinkaarimalli on suomalainen versio kansainvälisestä Public Private Partnership (PPP) -hankintamallista. Elinkaari- tai PPP-mallilla toteutettavassa hankinnassa yksityinen yritys vastaa julkisen hankkeen toteutuksesta kokonaisuutena ja tyypillisesti huomattavasti tavanomaisia sopimuksia pidemmän ajan. Elinkaarikustannuslaskennan teoria on yksinkertainen, periaatteessa siinä vain lasketaan korkoa korolle. Monimutkaista siinä on se, että pitää osata mallintaa tarkasteltavan investointikohteen tuleva elinkaari kuten mikä on kohteen pitoaika, millaisia kustannuksia syntyy käytön aikana ja kuinka usein sekä millainen hyöty investointikohteesta saadaan sen käyttöaikana. Kenen intresseissä on, että rakennus on elinkaariedullinen tai taloudellinen? Suurin intressi on rakennuksen omistajalla. Varsinkin, jos rakennettava tai korjattava rakennus aiotaan pitää omistuksessa pitkään, on omistajan etu että rakennus palvelee käyttäjiään ja pitoajalla syntyvä kulurakenne on terve. Tosin uudet toteutusmallit, ns. elinkaaritoteutusmallit, pakottavat myös rakentajat ottamaan huomiin käytön aikaiset tuotot ja kustannukset. Elinkaaritoteutuksessahan urakoitsija vastaa ainakin osittain käytön aikaisista kustannuksista (esim. Lahden moottoritie ja Kuninkaantien lukio Espoossa) Esimerkkejä elinkaarimallin soveltamisesta: Lahden moottoritie Wärtsilän Kiinaan ja Intiaan myymät dieselvoimalat Lapin Kansa 24.8.2018: Inarin valtuusto hyväksyi koulukeskukselle elinkaarimallin
Elinkaarikustannukset Rakennuksen pitämisestä aiheutuu kustannuksia sen koko elinkaaren ajan. Vastaavasti kustannukset on katettava vuokrilla, vastikkeilla ja muilla käyttökorvauksilla sekä rakennuksen tai sen osien myynnistä saatavilla tuotoilla (jäännösarvo). Rakennuksen elinkaarikustannuksia ovat (kuva 1): VRT. VTT:n TAULUKKO Rakennuskustannukset Ylläpitokustannukset (hoito ja kunnossapito) Muutoskorjauskustannukset Ajanmukaistamiskustannukset Purkukustannukset Kuinka pitkä on tarkastelujakso, jolle elinkaarikustannukset lasketaan? Asuinrakennuksilla taloudellinen pitoaika on ollut 30-40 vuotta, Toimisto- ja liikerakennuksilla n. 20 vuotta
Kiinteistön elinkaarikustannukset, kun rakennus pidetään purkamiseen asti.
Kiinteistön elinkaarikustannukset, kun kiinteistöä myytäessä rakennuksella on arvoa 1. Rakennuskustannukset sisältävät rakennustekniikan, talotekniikan ja hankepalvelujen kustannukset. Rakennuskustannusten lisäksi kiinteistöstä aiheutuu kustannuksia mm. tontista ja liittymistä. Kiinteistökustannukset voivat syntyä heti tai tulevan elinkaaren aikana. 2. Ylläpitokustannukset muodostuvat puolestaan kiinteistönhoidosta ja kunnossapidosta. A. Kiinteistönhoitokustannukset sisältävät isännöinnin, rakennuksen ja ulkoalueiden huollon, siivouksen, energian ja veden kulutuksen, vuosikorjaukset, vakuutukset ja verot. B. Kunnossapitokustannukset aiheutuvat sykleittäin toistuvista kunnostus- tai uusimistoimenpiteistä, joilla pidetään rakennus ja sen osat toimintakunnossa. Purkukustannukset syntyvät rakennuksen elinkaaren lopussa.
Korkolaskuissa käytettävät symbolit k = Nykyarvo, investoitu summa(esim. rakennuskustannukset) K = Tuleva arvo i = korkokanta (laskuissa desimaalimuodossa 12% = 0.12) t = aika, korkojaksojen lukumäärä r = 1 + i = lisäyskerroin (tai myös korkotekijä) Tällä kurssilla i on yleensä vuosikorko, tällöin aika t ilmoitetaan vuosina Suomeen talousmatematiikka on tullut ilmeisesti Saksasta, siksi kirjain K (das Kapital=pääoma)
Koronkorko kaava: Tulevan arvon laskeminen Kunkin korkojakson lopussa pääomaan liitetään korko. Seuraavana korkojaksona siis myös tälle pääomaan lisätylle korolle lasketaan korkoa. K = k (1 + i) t i = korkokanta t = aika vuosina k = pääoman nykyarvo K = pääoman tuleva arvo Esim: Irina tallentaa pankin säästötilille 5000 Euroa 5 vuodeksi. Korkoprosentti on 2.5% p.a (per annum= vuodessa). Laske säästötilin saldo 5 vuoden kuluttua Euron tarkkuudella K = k (1 + i) t = 5000 1.025 5 = 5657 Vast. Loppusaldo on 5657 Euroa
Esim: Irina tallentaa pankin säästötilille 5000 Euroa 5 vuodeksi. Korkoprosentti on 2.5% p.a (per annum= vuodessa). Laske säästötilin saldo 5 vuoden kuluttua Euron tarkkuudella Koronkorkomenetelmällä lasketun loppupääoman arvon laskemiseen on Excel:ssä valmisfunktio Tuleva.arvo(), englanninkielisessä Excelissä FV() Haetaan soluun funktio FV. Täytetään argumentit: Argumentit: Rate = i = Interest rate = korkokanta Nper =t = number of periods = aika vuosina PV = K =present value = pääoman nykyarvo
Diskonttaus eli nykyarvon laskeminen Kun koronkorko - kaavasta ratkaistaan pääoman nykyarvo K, saadaan k = K /(1 + i) t = K (1 + i) t i = korkokanta t = aika vuosina k = pääoman nykyarvo K = pääoman tuleva arvo Esim. Paavo lainaa serkulleen 10000 Euroa viideksi vuodeksi. Serkku lupaa maksaa tuolloin 11000 Euroa takaisin. Paavo haluaa, että hänen saamansa korko olisi vähintään 4% vuodessa. Saavuttaako hän tavoitellun korkokannan. Tapa 1: Lasketaan takaisinmaksettavan summan 11 000 Euroa nykyarvo käyttäen 4% korkoa: k = K /(1 + i) t =11000/1.04 5 = 9041 Eur Serkun maksaman summan nykyarvo 4% korkokannalla on selvästi alle Paavon lainaaman summan, joten Paavon ei kannata lainata näillä ehdoilla rahaa.
Excel- funktio PV laskee tulevan tuoton nykyarvon Esim. Paavo lainaa serkulleen 10000 Euroa viideksi vuodeksi. Serkku lupaa maksaa tuolloin 11000 Euroa takaisin. Paavo haluaa, että hänen saamansa korko olisi vähintään 4% vuodessa. Saavuttaako hän tavoitellun korkokannan. Haetaan soluun funktio PV. Täytetään argumentit: Argumentit: Rate = i = Interest rate = korkokanta Nper =t = number of periods = aika vuosina PV = K =present value = pääoman nykyarvo
Korkoprosentin ratkaiseminen Excelin RATE funktio Excelissä on myös funktio RATE, joka ratkaisee korkokannan, kun aika t, pääomat K ja k tunnetaan Esim. Paavo lainaa serkulleen 10000 Euroa viideksi vuodeksi. Serkku lupaa maksaa tuolloin 11000 Euroa takaisin. Paavo haluaa, että hänen saamansa korko olisi vähintään 4% per vuosi. Saavuttaako hän tavoitellun korkokannan. RATE RATE funktio palauttaa arvon 0.0192, joka merkitsee, että serkun tarjouksen korkokanta on 1.9%, eli huomattavasti alle Paavon toiveen. Matemaattinen kaava RATE funktion taustalla: i = t K k - 1
Yhteenveto Excel funktioista FV laskee tulevan arvon K = k ( 1+i ) t PV = k, Rate = i. NPER = t ( korkojaksojen määrä) PV laskee nykyarvon k = K / ( 1+i ) t FV = K, Rate = i. NPER = t ( korkojaksojen määrä) RATE laskee korkokannan i argumentit ovat PV, FV NPER MYÖS WOLFRAM ALPHASTA LÖYTYY SAMAT FUNKTIOT Kirjoitetaan WolframAlphan syöttöriville Future Value (laskee tulevan arvon) tai vastaavasti Present Value (laskee nykyarvon) tai Continuous Interest Rate (laskee korkokannan) Tällöin WolframAlpha näyttää lomakkeen, johon argumentit syötetään
Excelin etumerkkisääntö Etumerkkisääntä PV,FV ja RATE funktioissa - Kun maksat tai investoit, merkitse negatiivinen arvo - Kun saat rahaa tai tuottoja, merkitse positiivinen arvo - PV ja FV ovat aina erimerkkiset (vrt. kirjanpidon debet ja kredit) Korkoprosentti annetaan funktiossa joko muodossa - 4% tai - 0,04
NYKYARVOMENETELMÄ KANNATTAVUUSLASKENNASSA Lasketaan arvioitujen vuosituottojen nykyarvot esim. käyttäen korkona yrityksen tuottotavoitetta. Mikäli nykyarvojen summa ylittää investoinnin arvon, investointi on kannattava. Tuottojen nykyarvon laskukaava K NA = R1 + R2 + + Rn 1+i 1+i 2 (1+i) n R1, R2,., Rn ovat vuosittaiset tuotot i = yrityksen itselleen asettama tuottokorkotavoite Käytännössä nykyarvot kannattaa laskea Excelin funktiolla PV
Esim. Koneinvestoinnin kannattavuuden laskeminen Yritys harkitsee investointia työkoneeseen 90000, jonka käyttöikä on 5 vuotta. Se arvio saavansa investoinnista seuraavat vuosituotot: 21000, 23000, 25000, 26000 ja 25000. Yrityksen kriteeri on, että investointien tulee tuottaa vähintään 15% ollakseen kannattava. Täyttääkö hanke kannattavuuskriteerin? Periaate: Lasketaan tuottojen nykyarvojen summa käyttäen 15% korkokantaa. Jos summa ylittää 90000, hanke on kannattava. Sama laskimella: Tuottojen nykyarvo K NA = 21000 1.15 +23000 1.15 2 + 25000 1.15 3 + 26000 1.15 4 + 25000 1.15 5 = 79385 Laskelma osoittaa, että hanke ei täytä läheskään kannattavuuskriteeriä, koska tuottojen nykyarvo laskettuna tavoitekorkoprosentilla on 79000 : huomattavasti alle investointikustannusten.
SISÄISEN KORON MENETELMÄ KANNATTAVUUSLASKENNASSA Lasketaan investoidun summan ja arvioitujen vuosituottojen perusteella investoinnin tuottama korko investoidulle pääomalla Ratkaistaan korkoprosentti i yhtälöstä k= R1 + R2 + + Rn 1+i 1+i 2 (1+i) n k = investoitu pääoma R1, R2,., Rn ovat vuosittaiset tuotot Käytännössä lasku tehdään Excelin funktiolla IRR
Sisäisen koron menetelmä laskimella On mahdollista laskea korkokanta algebralaskimen solvella, vaikka Excelin funktio on pajon helpompi Ratkaistaan korko i yhtälöstä k = R1 1+i + R2 1+i 2 + + Rn (1+i) n Yritys harkitsee investointia työkoneeseen 90000, jonka käyttöikä on 5 vuotta. Se arvio saavansa investoinnista seuraavat vuosituotot: 21000, 23000, 25000, 26000 ja 25000. Yrityksen strategia on, että investointien tulee tuottaa vähintään 15% ollakseen kannattava. Täyttääkö hanke kannattavuuskriteerin? WolframAlphalla ratkaistavaa korkoa on merkittävä x:llä ( i ei kelpaa muuttujaksi) Tulos tarkoittaa, että investoinnin tuottoprosentti on 10.1 % (ei täytä yrityksen tavoitetta) Seuraavalla kalvolla ratkaisu Excelin valmisfunktiolla.
Sisäisen koron menetelmä Excelillä Yritys harkitsee investointia työkoneeseen 90000, jonka käyttöikä on 5 vuotta. Se arvio saavansa investoinnista seuraavat vuosituotot: 21000, 23000, 25000, 26000 ja 25000. Yrityksen strategia on, että investointien tulee tuottaa vähintään 15% ollakseen kannattava. Täyttääkö hanke kannattavuuskriteerin? Merkitään alekkain kassavirrat : Investointi negatiivisena ensin, sen jälkeen vuosituotot positiivisena Lisätään IRR funktio ja maalataan argumentiksi kassavirrat. Tulos merkitsee, että investointi antaisi 10% tuoton, joka ei täytä yrityksen 15% tuottotavoitetta, eikä ole siten kannattava.
WolframAlphan funktio IRR -haku tuo esiin lomakkeen johon kassavirta kirjoitetaan Lisää kenttiä saadaan MORE painikkeesta Klikkaamalla = - merkkiä saadaan tulos
Annuiteettimenetelmä Annuiteetti tarkoittaa tasaerää Sovellukset: Tasaerälainan ja kulutusluoton kuukausierän laskeminen Investoinnin kannattavuuden laskenta
Tasaerälainan kuukausimaksun laskeminen Esim. Maija ostaa tietokoneen luotolla, jonka maksuaika on 18 kk. Luottosumma on 800 Euroa, korko 6% vuodessa eli 0.5% kk:ssa. Mikä on kk-erä Periaate: Kk-erien nykyarvojen summan pitää olla sama kuin lainasumma. Kk-erä x on yhtälön 800 = x + x + + x ratkaisu 1.005 1.005 2 1.005 18 Kaava kk-erän laskemiselle: x = K i 1 (1+i) t =800*0.005/(1-1.005-18 )= 46.59 Excelin valmisfunktio PMT ( payment ): = 46.59
Kustannuslaskentaesimerkki, jossa vuosituotto on vakio Urakoitsija rakentaa rautatiesillan, jonka rakentamiskustannus on 2400000 Euroa. Tilaaja VR Rata maksaa sillan 15 vuoden aikana tasaerissä. Kuinka suuri on vuosittainen summa, jonka tilaajan pitäisi maksaa urakoitsijalle, kun urakoitsija haluaa 12 % tuottokoron. Urakkaan ei sisälly ylläpito. Kysymyksen voi muotoilla myös niin, että mikä on 15 vuoden tasaerälainan vuosilyhennys, kun korko on 12% ja lainapääoma on 2.4 milj. Euroa? Matemaattisesti probleema muotoillaan seuraavasti: Merkitään lyhennystä x:llä. Ratkaistaan x yhtälöstä 2400000= x + x + + x 1.12 1.12 2 1.12 15 PMT on Excelin funktio, joka laskee tasaerälainen lyhennyksen. Vastaus: Vuosimaksun on oltava 352378 Euroa
Elinkaarilaskentaa kolmella perusmenetelmällä -Nykyarvomenetelmä Esimerkkinä käytetään alla kuvattua rakennusinvestointia, jossa investointikustannus on 1.2 milj. ja rakennus myydään 20 v kuluttua 0.5 miljoonalla eteenpäin. - Annuiteettimenetelmä - Sisäisen koron menetelmä
1. Nykyarvomenetelmä Investoinnin nykyarvo kertoo kuinka paljon investoinnista jää nettotuottoja sen jälkeen, kun tuottojen summasta on vähennetty investointikustannusten ja vuotuisten kustannusten summa. Ennen laskemista tuotot ja vuotuiset kustannukset diskontataan arviointihetkeen (kuva 5). NYKYARVON LASKEMISESSA KÄYTETTÄVÄN KORON MÄÄRITTÄMISESSÄ ON KAKSI TAPAA: TUOTON NÄKÖKULMA Yritys määrittää tavoitekoron investoinnille. Pääomalla voi olla vaihtoehtoisia sijoituskohteita, joiden tuottoon korkoa verrataan. Näihin voi sisältyä suurempi riski kuin kiinteistöinvestointiin, mikä on otettava huomioon. Toisaalta muuttotappioalueiden kiinteistöihinkin sijoittamisessa on riskinsä. Jos nettotuottojen nykyarvot lasketaan käyttäen yrityksen tavoitetuottoprosenttia, investointi on kannattava kun nettotuottojen nykyarvo investointikustannukset. KUSTANNUSTEN NÄKÖKULMA Laskentakoron on oltava vähintään lainan koron suuruinen lisättynä sijoituskohteeseen liittyvä riski. Kiinteistöissä riskiä aiheutuu kohteesta, markkinoista ja rahoituksesta. (Esim. lainakorkojen nousu, kaikkia asuntoja ei saada kaupaksi, joudutaan sijoittamaan paljon rahaa markkinointiin, ). Tässä voitto = nettotuottojen nykyarvon ja investointikustannusten euromääräinen erotus
Esimerkki, jossa on käytetty tuoton näkökulmasta määriteltyä 10% tuottokorkoa tuottojen nykyarvon laskennassa. Yrityksen kannalta investointi on kannattava, jos tuottojen nykyarvo on vähintään investointikustannusten suuruinen. käytetty 10% korkokantaa Tulos: Tuottojen nykyarvo on 1.43 miljoonaa Euroa, mikä ylittää 1.2 miljoonan rakennuskustannukset reilusti, 230 000 Eurolla. Investointi ylittää siis reilusti yrityksen kannattavuuskriteerin.
Tässä diskonttokorko on määritetty kustannusten näkökulmasta 4.5% :ksi. Perusteena on asuntolainojen korkotaso, joka on n. 2.3%. Korkotason ennustetaan nousevan, joten tähän pitää lisätä korkoriski. Lisäksi otetaan huomioon asuntojen kysynnän heikkeneminen, johon sisältyy mm. markkinointiriski. Tästä syystä valitaan 4.5%. Menetelmässä korkoon ei sisällytetä tuottotavoitteita, joten investoinnista saatava voitto = nettotuottojen nykyarvo investointikustannukset käytetty 4.5% korkokantaa Tulkinta: Nettotuottojen nykyarvo on 1.57 milj Euroa. Investointikustannukset Ovat 1.2 miljoonaa Euroa Investoinnin nettotuotto nykyrahassa on n. 370 000 Euroa.
2. Annuiteettimenetelmä Investointivaihtoehdon annuiteetti kertoo, kuinka paljon investoinnista jää vuosittain nettotuottoja, kun vuosittaisista tuotoista on vähennetty vuosittaiset kustannukset ja investointikustannusten vuosiosuus eli annuiteetti. Tämä saadaan jaksottamalla investointikustannukset tasan tarkastelujakson vuosille korkovaikutus huomioon ottaen. Toisin muotoiltuna: Menetelmässä inves-tointikustannus muunnetaan tasaerälainaksi, jonka maksuerä vähennetään vuosituotoista. Näin saadaan joka vuodelle nettotuotto. Voitto = näin laskettujen vuotuisten nettotuottojen nykyarvojen summa. Kaksi viimeistä saraketta: *Vuosittaiset nettotuotot *Nettotuottojen nykyarvot
3. Sisäisen koron menetelmä Ínternal rate of return Tässä menetelmässä ei käytetä mitään tavoitekorkoa, vaan IRR funktio palauttaa suoraan investoinnin tuottokoron. Yhteen sarakkeeseen kirjoitetaan alekkain investoinnin suuruus negatiivisena, jonka alle kunkin elinkaaren vuoden nettotuotot. IRR funktio laskee tälle kassavirralle korkokannan. Tulos: Esimerkin rakennusprojekti antaa rakentajalle 13% korkotuoton.
ODOTUSARVOLASKENTAA (ER = expected return) Investointeihin liittyy ennustamattomia tekijöitä, jotka vaativat todennäköisyyslaskennan käyttöönottoa. Esim. vuosituotolla ja rakennuskustannuksilla saattaa olla useita mahdollisia arvoja, joiden todennäköisyyksiä on arvioitava. Näiden todennäköisyyksien pohjalta investointipäätös on tehtävä. Oletetaan, että investoinnin vuosituotto voi saada jonkin arvoista x 1, x 2,, x n ja että näiden mahdollisten tuottojen todennäköisyyksiksi on arvioitu p 1, p 2,, p n. Tuoton odotusarvolla ER tarkoitetaan keskimääräistä tuottoa, jos kyseistä investointia voitaisiin äärettömän monta kertaa (tai satoja kertoja). Tuoton odotusarvo (ER = Expected Return) lasketaan kaavalla = summa todennäköisyyksien ja niitä vastaavien tuottojen tuloista. Esim. Festarin tuotto on 100000 Euroa jos on pouta, tappio on 30 000 Euroa jos sataa. Sateen todennäköisyys on 33%. Mikä on tuoton odotusarvo? Odotusarvo on ER= 0.67*100000 + 0.33*(-30000) = 57100 Euroa. (siis kannattavaa toimintaa pitemmän päälle)
Esimerkki. Yritys harkitsee investoivansa 300 000 Euroa lyhytaikaiseen 2 vuoden projektiin, johon sisältyy epävarmuuksia seuraavan taulukon mukaisesti. Kuinka suuri on investoinnin tuottokoron odotusarvo? Investointi: 300 000 Euroa Ratkaisu: 1. vuoden tuoton odotusarvo on 0.2*100000 + 0.5*230000 + 0.3*280000 = 219000 2. vuoden tuoton odotusarvo on 0.25*120000 + 0.5*240000 + 025*300000 = 225 000 Lasketaan tuottoprosentti IRR menetelmällä käyttäen vuosituottoina edellä laskettuja odotusarvoja: Tulos: Odotettu tuotto on 30%. Investointiin liittyy riskejä, joten tuottoprosentin on syytäkin olla korkea, jotta riskinotto kannattaa.
Herkkyysanalyysi Herkkyysanalyysin avulla pyritään selvittämään, miten kannattavuus muuttuu, jos vuosituottoon vaikuttava kustannuskehitys (esim. ylläpitokustannukset, vuokrien kehitys) vaihtelee. Grynderi rakentaa vuokrakerrostalon. Rakennuskustannukset ovat 1 200 000 Euroa. Taloa on tarkoitus pitää 20 vuotta, jonka jälkeen se myydään pois 500 000 Eurolla. Laskettu vuosituotto (vuokratulot ylläpitokustannukset) on 100000 Euroa. Onko investointi kannattava, kun grynderi pitää kannattavuuskriteerinä 15% vuosituottoa. Laskennassa otetaan huomioon vuokrien ja ylläpitokulujen kustannuskehitys