ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
|
|
|
- Sanna-Kaisa Sala
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½
2 ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º Ë Ò ÓÑ ÙÑ Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ò Ò ÔØØÝÑØ Ò Ø Ú Ðº º º µ Ç ÐÑÓ ÒØ Ð Ø»Ø ÐÓ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ Ñ Ò Ø Ò Ò ÐÓ Ò ÚÐ Ý Ø Ý º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ ¾
3 ÂÓ ÒØÓ ½ ÃÙÖ ÐÐ ÓÐ Ú Ö Ò Ø ÓÔÔ Ö º Ñ Ö ÙÖ Ú Ö Ó ÚÓ ÝØØ ÐÙ ÒØÓ ÐÚÓ Ò Ó ÐÙ Ñ ØÓÒ Èº ÀÙ Ì À ÐÐ Ë ÓÓÐ Ó ÜÔÖ ÓÒº Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¼º ˺ Ì ÓÑÔ ÓÒ À ÐÐ Ì Ö Ø Ó ÙÒØ ÓÒ Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ë ÓÒ Ø ÓÒº ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º Ä À Ðй Ð Ò ÓØ ÚÙÐØ ØØÔ»»ÛÛÛº ÐкÓÖ Ð ÝØÝÝ ØÙØÓÖ Ð ÝÑ º
4 À ØÓÖ ½º½ ½º½ À ØÓÖ ÎÙÓÒÒ ½ ÒÒ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ø µ ÙÐ Ø Ò Ð ÑÑ Ô ÖÙ Ø Ú Ñ Ø Ñ ØØ Ø ØÝ Ø Ð Ò ÌÙÖ Ò ÙÐ Ò Ñ Ò ÒØ Ú Ø ÓÒ Ø Ì ÚÓ Ø ÒØ ÑÖ Ø ÐÑ ÒØÙ Ø Ú ÐÐ Ø ÖÑ ÐÐ Ø ØÚ T ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ñ Ò Ø º Ç ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ø Ò ÑÙÙØØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ø Ð Ý Ò ÑÙ Ò = Ø ØÓ ÓÒ Ò ØÖ Ø Ñ ÐÐ º
5 À ØÓÖ ½º½ ÐÓÒÞÓ ÙÖ ÙÐ λ¹ð ÒÒ Ò Ì ÚÓ Ø ÒØ ÑÖ Ø ÐÑ ÒØÙ Ø Ú ÐÐ ØÝ ÐÐ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÒØ ÓØ ÙÖ Ñ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÚ º ÖÚÓÒ Ð ÒØ Ø Ò Ú ÒØÑÐÐ Ð Ù ØØ Ý Ò ÖØ ÑÑ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÒÒ ÐÐ = Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ØÖ Ø Ñ ÐÐ º ÌÙÖ Ò Ò ÙÖ Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ø Ó Ó ØØ ÙØÙ Ú Ø Ú Ú Ð ÒØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø λ¹ó ÐÑ Ø ÚÓ Ò ÒØ ØÓ Òº
6 À ØÓÖ ½º½ ÎÙÓÒÒ ½ ÂÓ Ò Å ÖØ Ý ÑÙÙÒ ÑÙ µ Ð Ò ÄÁËÈ Ä Ø ÈÖÓ Ò µº Ã Ð Ò ÒÒÓ ØØ Ò ÓÐ λ¹ð ÒØ º ÐÙÒ Ô Ö Ò ÓÐ Ô Ø Ó Ð Å ÖØ ÝÒ ÙÙÒÒ ØØ Ð Ñ ÐÐ Ø ÓÐÝÓ ÐÑ ÐÐ º Ë ØØ Ò Ö Ò Ò ÓÐÐ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÄÁËȹ Ú ÒØ Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ø ØÙÐ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð º Ä Ô ÓØØ ÑÙØØ Ô ÓØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Òº
7 À ØÓÖ ½º½ ÄÁËÈ ÓÒ Ý ÝØ ÓÑÑÓÒ Ä Ô ÓÒ Ð Ò Ú Ó Ø Ò Ö ÓØ ÝØ ØÒ ÝÖ ØÝ Ñ ÐÑ º Ë Ñ ÓÒ Ð Ò ØØÝÚ ÑÙÖÖ Ó ÓÒ Ø Ñ Ò ØÙØ ÑÙ Ò ØÝ Ò ØÙÐÓ ÚÐ Ò º Ø Ú Ò Ó Ø Ð Ø ÝØ ÓÒ Ò Ð Ú Ò ÓÖØÖ Ò ÓÖÑÙÐ ÌÖ Ò Ð ØÓÖµ Ò Ô Ð ÓÒ Ð Ù Ó Ø Ò ÑÙÙØØÙÒ Ò ºµ
8 À ØÓÖ ½º½ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ø ÓÐÝØÙØ ÑÙ Ø ØØ Ò Ø ÓÖ Ñ ÒØÓ Ø Ð Ó ÐÑ ÓØ ÚØ ÐÓÓ ØÓ ØÙ º Æ Ø ÐÙØØ Ò ÝÐ ÝØØ ÃÝØØ Ý ØØ Ò Ú ØØ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙ ØÓ ØÙ Ò Ò ÐÓ Ò ÒÒ Ø Ó Ò ØÓ ØÙ Ò ÐÙ º ÂÓ ÐÓ ÓÒ ÓÑ Ø ÒØ Ý Ø ÐÑÒ Ó Ò ÓÒ Ú ØØÙ Ù Ò ØÚÒ ØÓ ØÙ Ò ÙÐ Ù = ÝØØ Ò ÐÐ ØØ Ò Ö Ó ØØ ÒØ Ò Ð ÑÝ Ò Ñ ÖÓ º Æ Ò Ø ÓÖ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ð Ó Ú Ø Ð ØÝ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð º
9 À ØÓÖ ½º½ ÌØ ÙØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ô ÝØØ Ò ØÝÝÔÔ Ø ÓÖ Ò ÌÝÔ Ì ÓÖݵ ÄÁËÈ ÓÒ Ô Ð Ú Ø ØÝÝÔ Ø ØØÝ Ð ÂÓ ÙÓÖ ØÙ Ò ÙÐÙ Ô ÝØÒ Ð Ñ Ò Ý Ø Ò Ð Ù ÙÐÙ Ù Ñ Ö ÓÒÓ Ò Ò ÙÓÖ ØÙ ÝØÝÝ Ú Ö ÐÑÓ ØÙ Òº Í ÑÑ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÐÑ Ø Ò ÓÓ ÑÙ Ø Ô Ó Ò ØÝÝÔ Ø ÒØ Ø Ö Ø Ó ÔÝ ØÝݵ ØØ ÙÓÖ ØÙ Ò ÝÖ Ø Ø Ó ØØ Ò Ð ÙÐÑ Ø ÖÚÓ ÔÝ Ö Ò ÓÐÓÓÒ º ÓÖÑ Ð ØÝÝÔÔ Ø ÓÖ ÓÒ Ö Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÐÓ Ò Ö Ó ÓÒ Ù Ø Ø ÓÖ Ñ ÒØÓ Ø ÒÝ ÝÒ ÔÓ ÙØÙÚ Øº
10 À ØÓÖ ½º½ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ð ØØ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐÐ ØÝÝÔ Ø ÔØØ Ð Ú Ð ÃÒØ Ø ÓÓ Ñ ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØÓ Ð Ó Ø ÓÓ ØØ Ð º Ç ÐÑÓ Ò Ø Ú Ø Ö Ó ØØ µ ØÝÝÔÔ ÓÓ Ò Ú Ò ÒØ ÓÒ ØÖÙÓ ÙÙ ØÝÝÔÔ Ý Ø Ð ÑÐÐ Ú Ò Ó ÓÔ Ú Ø º Æ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø Ð Ó Ú Ø Ð ØÝ Ø ÓÖ Ñ ÒØÓ Ø ÒØ Ò ÐÑ ØÝ Ý Ò ØÝÝÔÔ Ø ÓÖ Ò ØÓ ØÙ Ð ÓÖ ØÑ º ½¼
11 À ØÓÖ ½º½ ÌÑÒ ØÝ ÙÐÙÒ ØÙÒÒ ØÙ Ò Ù Ø ÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ËØ Ò Ö ÅÄ Å Ø Ä Ò Ù µ Ò ÑÑ Ò Ò Ø Ò Ö Ú ÐÑ ØÙ ½ ¼ ÒÝ Ý Ò Ò Ú Ñ Ò Ò µ ½ º ËØ Ò Ö Ø ØØÚØ ÐÓÓ Ò ÒØ Ó Ó ÐÑ Ò ËÅÄ¹Ó ÐÑ Ò ÒÒ Ò ØÝÝÔÔ Ò ÐÝÝ Ò Å ÐÐ Ò Ò ØÝÝÔÔ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ µ ÙÓÖ ØÙ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ð Ð ÓÒ Ô Ó ØÙ Ô Ð ÓÒ Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò Ù Ò ÝÐ Ò Ê Ò Ð ÐÐ ÓÒ ÓÑ ÑÙÖÖ Ç³ Ñк ½½
12 À ØÓÖ ½º½ ËÅĹ Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÙÙÖ Ú ÙØÙ Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò Ò ÐÝ Ó Ò ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ø ØÒ ÙÙ Ð ØÐÐ Ò ÒØ Ó Ó ÐÑ Ò º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò Ð Ò Ø ØÓ ØÙ Ø ÓÖ Ò Ó ÓÒ Ö ÓÖÑ Ð Ò ÐÓ Ò Ò Ò Ó ¹ ÐÙ µ Ñ Ò Ø ÐÑ Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØÙØ ÑÙ Òº ½¾
13 À ØÓÖ ½º½ ËÙÓÖ ØÙ Ò Ø Ò Ñ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ó Ü ÙØ ÓÒµ Ó Ò ÓÙ ÙØ Ø Ð ÒØ Ò ÓØ ÓÐ Ò Ð Ò Ô Ø Ó º ÆÓ ÓÖ ÙÑÔ ÌÝÝÔÔ Ò ÐÝÑ Ò Ò ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ó ØÝÔ µ ÒÒ Ò Ò Ó ÐÑ Ò ØØ Ð Ñ ÐÐ Ø ØÓ Ð Ó ÐÐ ÔØ ÐÐÝØ ØÝÝÔ Ø ÔÝ ÝÚØ ÑÓ Ò ÑÝ ÙÓÖ ØÙ Ò Òº ÆÓ ØÝÔ Ø ½
14 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ ½º¾ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÓÓ ¹ ÐÓ Ó Ø ØÝÝÔÔ Ø ÓÖ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ù Ø Ò ÙÚ ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ Ø ÙÖÖݹÀÓÛ Ö ÓÑÓÖÔ Ñµº Î Ø ÚÙÙ Ò Ú Ø Ó ½ ÐÓÓ Ó Ð Ò ÀÓÛ Ö º ÀÒ ÙÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ø ½ ¼ ÝÚ Ò ÙÙÐÙ Ò ÐÓÓ ÓÒ À ÐÐ º ÙÖÖÝÒ ¼¹ÚÙÓØ ÝÒØÝÑÔ ÚÒ ÙÒÒ ÓÓØÙ Ù Ð Ö º Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ú ÒØÓ Ó Ö ØÝ Ø Ý Ò ÖØ Ø ÐÓ ÑÙØØ Ø ÓÒ ÑÝ ÑÑ Ò Ð ÒÒ ØØÙ ÑÙ Ò Òº ½
15 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò Ð ÒØÙ Ø ÓÒ Ø Ò Ò ÐÓ ÝÚ Ý Ò º ÓÐÑ ÒÒ Ò ÔÓ ÙÐ ØÙÒ Ð º ÃÐ ÐÓ Ñ Ö Ú Ø Å Ö ÓÒ Ø ÓÐ ÐÑ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ØÓØØ ØÑÒ Ð Ò ÒÓ ÐÐ ÓÐ ÓÐÑ ØØ Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ º ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò ÐÓÓ Ó ÐÙ Ò Ò Ò ØÓ ØÙ Ò ÓÑÑ ÐÐ ÙÑÑ ÐÐ Ú ØØ Ø Å Ö ÓÒ ÐÑ Ø Å Ö ÓÐ ÐÑ ÓÒ Ò Ø Ù ÑÔ Ú Ø ÑÙ ½
16 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÐÓ Ó ÓÒ Ú Ò ÑÔÐ Ø Ó Ó φ Ò Ò ψ º Ë Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò ÐÙ ÙØ Ô ÓÒ Ñ ØÓ M ÓÐÐ Ú ØØ Ò φ ØÓ ØÙ Ø ÑÙÓ ØØÙ ØÓ ØÙ Ò Ú ØØ ÐÐ ψ º ÀÓÛ Ö Ò Ú ÒØÓ φ ψ ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ø ØÓ ØÙÚ Ó Ú Ò Ó ÓÒ λ¹ø ÖÑ τ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ ØÝÝÔÔ φ ÖÚÓ ØÝÝÔÔ ψ Ð τ ÓÒ ØÝÝÔÔ φ ψ ÐÐÓ Ò τ ÓÒ Ñ ØÓ Ò M Ó ÐÑ ÓÓ º ½
17 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ Ë Ø Ò Ø Ý Ò ÖØ Ø Ô Ù ØÓ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ó ÐÑ ÔÖÓÓ ÔÖÓ Ö Ñ µ Ú ØØ Ø ÓÚ Ø ØÝÝÔÔ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØÝÔ µ Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÓÒ ØÓ ØÙ Ò Ú ÒØÑ Ø ÑÙØ ÑÑ Ø Ý Ò ÖØ ÑÑ º Ì ØÓ Ò ØØ Ð Ò ÐÙ ÙØ Ô ÌÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÐÓ Ó Ø Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ØÓ Ø Ó ÐÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º Ç ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑÒ ØØÑ Ò Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ø Ú Ò ÐÓ Ò ØØÑ Ø ØÙØ Ñ Ø º ½
18 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ ÃÙÖ ÐÐ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò Ñ ÐØÒ À ÐÐ ÆÝ Ý Ò Ò Ø Ò Ö À ÐÐ Ú ÐÑ ØÙ ½ Ò ÑÑ Ò Ò Ó ½ ¼µº Ë ÙÖ Ú Ø Ò Ö Ø ÐÐÒ ØÝ Ò Ñ ÐÐ À Ðгº ÌÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑ ÓÒ ÔÓ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò Ð ËÅĺ ËÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Ú Ö Ò Ö Ð Ø ËÅÄ ÐÐ ÑÝ ÐÐ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ø Ú Ò Ó ÙÓÖ ØÙ Ø Ò ÑÙÙØØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ø Ð º À ÐÐ Ø ÓÒ ÔÙ ÔÙÖ µ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ð ÙÓÖ ØÙ ÓÒ Ú ÒÒÝ Ø Ø ØØ Ø Ð ÓÐ º ½
19 ÙÖÖÝÒ ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ ½º¾ ËÅÄ À ÐÐ ÔÓ ÙØÙÚ Ø À Ò Ð ÝÒ Å ÐÒ Ö Ò Ò º РعÔÓÐÝÑÓÖ Ò ØÝÝÔÔ Ø ÓÖ Ò Ö Ð Ò Ð ÒÒÙ Òµº ÙÖÖÝÒ¹ÀÓÛ Ö Ò Ú Ø ÚÙÙ Ò Ò ÙÐÑ Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ ³ ³ Ú Ø Ò ÓÒ ÙÒ Ø Ó ÙØ Ò ÐÐ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ³ ³ Ú Ø Ò ÓÒ ÑÓÒ Ó ¾º½º µ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ³ ³ Ú Ø Ò ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ó Ó ØÐÐ Ø ØÙÓÐÐ º¾µ ÙÒ Ú Ö Ð Ú ÒØ Ó ÒÒ Ò ³ ³ Ú Ø Ò ÓÒ Ò Ö ÝÝ Ñ ÙÒ Ø Ó ÓÚ ÐØÙÙ ÑÓÒ ÐÐ Ö ØÝÝÔ ÐÐ º µº ½
20 Curryn ja Howardin vastaavuus : Johdatus funktionaaliseen ohjelmointiin, syksy
21 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º ½º Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ Ö ÑÙÓØÓ ÐÙ Ä Ò Þ Ò Ð ÐÐ ÓÒ ÁÐÑ Ù Ø α β Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ Ó Ú Ò Ó ÐÐ ÐÑ Ù ÐÐ γ ÔØ ÙÖ Ú Ó Ú ÑÑ ÐÑ Ù Ò γ ÐÐ ÐÑ Ù Ò α ÒØÝÑÒ ÐÑ Ù Ò β ÒØÝÑ Ò Ò Ò Ò ÙÒ ÐÑ Ù Ò δ Ñ Ö ØÝ ÓÒ Ý Ñ Ù Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÐÑ Ù Ò γº ¾½
22 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º ÇØ Ø Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÒ Ó ÒÙÓÖ ØØ Ä Ò Þ Ò Ð Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò Ò Ó ÐÑ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ý Ò ÖØ Ø º ÃÙÒ ÐÙØ Ò Ö Ó ØØ ÖÖ ÐÐ Ó Ò ØÓ Ñ Ú Ó ÐÑ Ò Ò Ö Ò Ò ØÝ ÚÐ Ò ÓÒ ÓÖÚ Ø Ñ Ø Ö Ó ØØ Ú Ó ÐÑ ÒÔØ ØÓ ÐÐ Òº Ñ Ö ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ ÙÒ Ø Ó x n ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÓÐÐ pow(x,0) = 1 pow(x, n) = x pow(x, n 1) ÙÒ n > 0º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓØ Ò n Nºµ ¾¾
23 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º ÊÝ ÝØÒ ÒÓÔ ÙØØ Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ô Ù n > 0 Ó Ò pow(x, n) = x pow(x, n 1) pow(x, n) =... ÙÒ n > 0 ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÙÒ n > 0 ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÂÐ ÐÐ ÓÒ Ø Ô Ù n = 2 m Ñ m > 0 pow(x,2 m) = x 2 m = (x 2 ) m = x 2 (x 2 ) m 1 Ó Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÙÙÖ Ò m Ù Ø Ò = x 2 pow(x 2, m 1) Ó ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÒØ Ø Ô Ö Ò ÙÒ m > 0 = pow(x 2, m). ¾
24 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º Æ Ò ÑÑ ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ ÒÓÔ ÑÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ pow(x,0) = 1 pow(x, n) = x pow(x, n 1) ÙÒ n > 0 ÓÒ Ô Ö ØÓÒ pow(x, n) = pow(x x, n/2) ÙÒ n > 0 ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó ØÓ Ñ Ú ÖÑ Ø Ó Ò Ó ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÒÓ ÐÐ º ÂÓ Ò Ò =¹ÔØØ ÐÝ Ð ÓÐ Ä Ò Þ Ò Ð Ò ÓÚ ÐÐÙ Ç Ò Ó ÐÑ Ò ØØÑ Ø ÐÔÓØØ Ó Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÓÐ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ò Ò ØØ Ä Ò Þ Ò Ð Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ó ÐÑ Ò ÓÐ ÐÔÔÓ º ¾
25 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º Ä Ò Þ Ò Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ç ÐÑ ÓÓ ÒÔØ Ø α β Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ Ó Ú Ò Ó Ó ÓÒ Ø Ó ÐÑ Ø γ δ ÝØØÝØÝÚØ Ó Ò Ø ÑÐÐ Ò ÑÓ Òº ÈØ α Ø Ö Ó ØØ ÓÒ Ò Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ø Ø ÐØÚ Ø Ø Ð Ø p Ò Ð Ò Ø Ð Ò qº ÈØ β Ø Ö Ó ØØ Ñ Ó Ú Ò Ó β ÙÚ Ó Ò Ø Ð Ò p Ñ ÐÐ Ø Ð ÐÐ q Ù Ò αº ÅÙØØ Ø ÐÓ p ÓÒ Ú Ò ÓÓ Ø γ Ë ÐÑÙ Ó ÓÔ ÙÖ Ú p i Ö ÔÔÙÙ ÐÐ Ø q i 1 º ¾
26 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º ÎÓ Ò Ó Ó ÐÑ ÒÔØ ½ µ K Ð E ØÙÓ ¹ ØÓ ÓÖÚ Ø ÖÚÓÐÐ Ð Ð ÚÓ Ò Ó Ó Ó ¹Ð Ù ÓÔØ ÑÓ Ô Ð Ð ¹ Ö Ò E Ð ÚÓ Ò Ó ÑÙ Ø Ú ØØ Ù Ò Ø Ð ÐÐ Ö Ó ØØ ÖÚÓ ½ ¾
27 Ì Ð ØÓÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ½º Ì Ð Ô ÖÙ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ØÝ ÓÒ ÑÙØ Ø Ó Ó ØØ Ó ÐÑ Ó ÑѺµ Ó ÔØØ ÐÝÒ Ð Ø ÓÚ Ø Ò Ð º Ê Ø ÙÒ ÓÚ Ø ÒÚ Ö ÒØ Ø Î ØØ Ø Ó ÐÑ Ò Ø ÐÓ Ø p q ÒÒ Ò Ð Ò ÓÓ ÒÔØ Ò α ÙÓÖ ØÙ Òº Ñ Ö ÓÐ ÙÖ ÐÐ Ì ØÓÖ ÒØ Øº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ð ØÒ Ò ØÓ Ò ÙÙÒØ Ò Å ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÐÑÓ ÐÑ Ò Ø ÐÓ Å ÐÐ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ØÙ Ø ¾
28 Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ½º º½ ½º º½ Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ÌÓ Ò Ò Ø Ô Ø ÐÐ Ä Ò Þ Ò Ð ½º µ Ó ÐÑÓ ÒÒ ÓÒ Ú ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ Ö Ö ÒØ Ð ØÖ Ò Ô Ö Òݵ ÂÓ ÐÐ Ö Ð Ù ÐÐ α β ÓÒ Ñ ÖÚÓ v Ò Ò Ò Ø Ø Ò Ò Ô ØØ Ò ÒÒ ÑÓ Ò º ÃÒØ Ò Ò ÖÚÓÒ v w ÑÙÙ Ô Ø ÚÓ ÐÚ ØØ Ú Ò Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ø Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò Ò α β ÚÓ Ò Ú Ø Ò ÒÒ Ò Ò ÓÚ Ø Ö Ú ØØ Ù Ø ÔÓ Ñ Ò ÓØÙ Ò vº Ë ØÓ ÐÐ Ò Ò v ÙÙÐØ Ú ØØ Ù Ø Ò α β ÐØ º ¾
29 Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ½º º½ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó ÐÑ Ó Ó ØØ ØØ Â Ú ØÝØ ØØ Ú Ø ÑÙ Ø Ê Ú ÐÐ Ò Ñ Ö ÓÒÓ Ö Ð ÑÐÐ Ñ Ö ÓÒÓÒ ÓÓ Ô ÖÒ ØÝ Ñ Ö ÓÒÓº Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ Ú Ø ØØ Ð Ù Ø ÓÓ Ö ÚÓ ÖÓØØ ØÓ Ø Ò Ê Ú Ò ½¾ ØÙÐÓ ØÙ ÓÐ Ñ ØÒ ÐÑ Ò Ú ØØ Ú ÖÓ º Ë ÐØ Ö Ú ÐÐ ½ Ú ÖØ ÐÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÄË Ë Ú ÓÓ Ø ÒÝ Ò Ò Ö Ú ÐÐ ½ ÖÓØ ÐÐ Ò Ò ØÓ Ø Ò ÓÓ Ö ÐÐ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ ÐÐ Ò Ò ÝÒØÝ Ö Ú ÐÐ Ð ÑÑ Ò Ò Ö Ú ÐÐ º ¾
30 Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ½º º½ ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÑÔÓÖØ Ú º Óº Ð Ê ÇÔ Õß ÔÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ñ Ò ËØÖ Ò Ö µß ËØÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÙØØÙ ËØÖ Ò Ö ÓÓ ËÝ Ø ÑºÓÙغ ÓÖÑ Ø ÓÓ ± Ò ÓÓµ ËÝ Ø ÑºÓÙغ ÓÖÑ Ø Ö ± Ò Öµ ËÝ Ø ÑºÓÙغ ÓÖÑ Ø ÓÓ Ö ± Ò ÓÓ Öµ ËÝ Ø ÑºÓÙغ ÓÖÑ Ø ÓÓ ÕÙ Ð Ö ± Ò ÓÓº ÕÙ Ð Öµµ Ð Ð ¼
31 Î ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ½º º½ Â Ú ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÑÙÙ Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ò ØØ Øº Ç ÐÑÓ ÐÐ Ú ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ÓÒ Ø ØØ Ð ÓÒ Ú Ò Ý ÑÙÙ Ò Ð Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ò Ø ÓÒ ÐÐ ÐÐ Ò Ò ÑÙÙ ÙØ Ò Ö Ú Ò ½ ÕÙ Ð Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ø ÙÖ Ú ÑÙÙ ÙØ Ò Ö Ú Ò ½ º ½
32 Å Ø Ñ ØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ½º º¾ ½º º¾ Å Ø Ñ ØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÌÖ Ò Ý ØØ Ò Ò Ð Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ø Ð ØØÓÑ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ò ÓÒ ØØ ½º ÑÙÙØØÙ Ø ÐØ ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ù ÖÚÓ ¾º ÓØ Ò ÑÙÙØ Ø Ó ÐÑ Ò Ø ÅÙÙØØÙ Ø ÐÐ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ ÑÙ Ø Ô Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÚÓÒ Ò Ñ Òº ¾
33 Å Ø Ñ ØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ½º º¾ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò ÓÒ ÒÐ ÓÒ Ò Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ ÖÖÝØÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ó ÐÑ Ò ÙÖ Ú Ö Ú Ò Ú Ø Ò ÐÝÝ ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ ÑÙÓ Ø Ò ØÝ ÑÙ Ø Ò ÐØ Ò ÒÝØ ÔÓ º Æ ÒÔ ÔÙ Ø µ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ À Ðй Ð ÓÐ Ó ØÙ Ð Ù ØØ Ú Ò Ô Ð ØÒ Ò Ñ ÒØ Ò Ñ = ÖÚÓ ÓÒ ØÙÐ ÒØ ÓÒ ØÑ Ò Ñ ÓÒ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ ØÙÓÐÐ ÖÚÓÐÐ º
34 Å Ø Ñ ØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ½º º ½º º Å Ø Ñ ØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö ÙÖ Ù Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÑÙÙØØÙ Ø ½º º¾µ ÓÒ ØØ ÑÝ ÙÒ Ø ÓØ Ò ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ë Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ÙØ ÙØ f(v) Ñ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÐÐ v ÒØ Ú Ø Ò Ñ Ò ØÙÐÓ Ò Ñ Ò ÑÙÙØØÙ Ó Ø f Ö ÔÔÙÙ ÓÐ ÚÓ ÒÙØ Ú Ø ÖÚÓ Ò ÙØ Ù Ò ÚÐ Ðк ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÑÝ Ò ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ò ÒÐ ÚÙÚ ÙØÙ ÚÓ Ú Ò Ô Ð ÙØØ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÚÓÒ v ÑÖÑÒ ØÙÐÓ Òº ÙÒ Ø ÓÒ f Ó Ó Ö Ô ÒØ ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÝÝ Ò ÓÑ ÓÓ º
35 ÇÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Á»Ç ½º º ½º º ÇÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Á»Ç ÃÙÒ Ð ÓÒ Ú Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ò Ò Ý ØØ Ò ÐÙ Ñ Ò Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò ØÝØÝÝ Ø ØÓ Ò Ù Ò ÒÓÖÑ Ð Ø º Ñ Ö Â Ú ¹ Ð Ò Ñ Ö ÒÐÙ ÙÑ ØÓ ÒØ Ö µ Ý Ë Ò Ô Ø Ô Ð ÙØØ Ñ Ñ Ö Ó ÐÐ ÙØ Ù ÖÖ ÐÐ Ë ÓÒ Ò Ð Ó ÐÑ Ù ÖÓÙØ Ò µ ÙÒ Ø Ó
36 ÇÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Á»Ç ½º º ÇÒ ÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ú Ð ØÙ ÝÑÔÖ ÚÐÐ Ñ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ø Ð ÚÓ ÒØ Ò Ý Ø Ø Ó ØÓ Ò ÒÝ Ý Ø ÐÙ Ù Ó Ø ÝÑ ºµº º º ÓØ ÙÙÖ ÔÝÖ ÑÑ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ØÑÑ Ì Ð ÐÐ Ò ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ó ÒØ ÒØÝÝ ÑÝ Ñ Ö ÝØØ Ð ØØÝÑ Ø ØÓ ÒØ Ö Ô ÒÒÓ º º º
37 ÇÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Á»Ç ½º º À ÐÐ ¹ Ø Ò Ö Ò Ú Ø Ù ÓÒ ÑÓÒ Ò Ò Á»Ç µ ËØ Ò Ö Ó Ø Ò Ø ØØÝ Ó ÐÑÓ ÒØ ÙÖ Ó Ý Ø ØØ ÚÓ ÐÙ ØÙÐÓ Ø Ö Ó ØØ Ú Ò Ø ØÝ Ó Ó ÐÑ º Ë Ò Ú Ò Òµ Ó Ó ÐÑ ÑÙÓ Ø ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ø Ð º ÌÑÒ Ó Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÓÒ º Ç ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ØÝÝÔÔ Ø Ö Ø ÚÓ ÐÐÓ Ò Ú ÐÚÓ ØØ ÙÖ ÒÓÙ Ø Ø Òº ÅÓÒ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Ø ÑÙÙ ÙÒ Ò Ù Ò Ø Ð Ò ØØ ÐÝÝÒº
38 Ê ÙÖ Ó ½º º ½º º Ê ÙÖ Ó ÁÐÑ Ò Ó ØÙ Ð Ù ØØ ½º º¾µ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ø ÙØ Ò ÓÖ Û Ð ØÙÐ Ú Ø Ñ ÓØØÓÑ º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ À Ðй Ð ØÓ ØÓ ÐÑ Ø Ò Ò Ò Ö ÙÖ ÓÐÐ Ê ÙÖ Ó ÙØ Ù Ô Ö Ñ ØÖ µò Ò Ñ Ø ÓÖÚ Ø Ò ÙØ ÙØØ Ú Ð Ù ÙØ Ù Ø Ò ÖÚÓ µðð Ò Ø Ø Òº Ë ÓÖÚ Ø ÖÔ Ò Ô Ú ØØ ÐÑÙ ÑÙÙØØÙ º
39 Ê ÙÖ Ó ½º º Ñ Ö Ò ÒÓÔ ÙØ ØÙÐÐ ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÑÑ ½º µ pow(3,5) = 3 pow(3, 5 1 ) = 3 pow(3, 4) = 3 pow(3 3, 4/2 ) = 3 pow(3 3,2) = 3 pow(3 3, 2/2 ) = 3 pow((3 3) (3 3),1) = 3 ((3 3) (3 3)) pow((3 3) (3 3), 1 1 ) = 3 ((3 3) (3 3)) pow((3 3) (3 3),0) = 3 ((3 3) (3 3)) 1 º = 243 Ñ = ÓÒ ÓÖÚ laatikoitu Ð Ù ÖÚÓÐÐ Ò º
40 Ê ÙÖ Ó ½º º ÌÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó ÐÑ Ò Ñ Ö ØÝ ÙÓÖ ØÙ ÓÚ Ø ÒØÙ Ø Ú Ø Ç ÐÑ ÓÓ ØÙÙ ÒÒ Ø ÑÙÓØÓ ÂÓ rekursiokutsu ÓÒ ØÑÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò = Ò Ò ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø ØÙÓÒ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ð Ù ÐÐ ÙÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ÓØ Ò ÓÚ Ø ØÓØØ µº ÖÚÓÒ Ð ÒØ Ø Ò Ð ÙØØ Ð Ñ ÐÐ ÓÖÚ Ù ¹ Ð sievennyskohtaa ÑÙÓ ÙØÙÚ Ð Ù º ¼
41 Ê ÙÖ Ó ½º º Ð Ö Ø Ú Ò Ð ÙÚ Ð Ú Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ó ÐÑÓ ÐÑÓ ØØ Ñ Ø Ò ÐÙ Ð ØØ Ú Ò Ý ØÝ Ó Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ô Ø Ø Ô ØÙ º Ë Ä Ò Þ Ò Ð ½º µ ÓÒ Ñ Ò Ó ØÙ Ó ÐÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ó Ò Ø ØØÝ Ú ÒÒÝ Ö ØÝ º ½
42 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º ½º º Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÈÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ Ñ Ö ½º º µ Ú Ò ÑÑ Ò ÔÓÒ ÒØØ n Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ð ØØ Ò ÝØ ØØÚ ÒØ º Ë Ò Ò Ø ÑÑ ÒØ ÐÙÚÙÒ x Ò Ð ÒÒ Ø x x Ó ÓØØ Ñ Ò ÙÒÒ Ò Ø Ø ÖÚ ØØ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò 243º Ì Ð Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ð ÚÓ Ú Ú Ø ÙÓÖ ØÙ Ø Ð Ó ÐÑ ÙØ ÙÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ô Ø Ò Ò Ð ÖÚÓØ Ó Ð ÒÒ Ò ÚÙÚ ÙØÙ Ø ÚÓ Ú Ø Ú ÙØØ ÑÝ ÙØ ÙØØ Ú Ò Ð Ó ÐÑ Òº ¾
43 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º À Ðй Ð ÝØØ ÙÙÖ ØØ Ð ÙÓÖ ØÙ Ø Ð ÞÝ»ÒÓÒ¹ ØÖ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒµ ¾º¾º¾µ ËÒØ Ó ÐØ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÒÒ ØÒ Ú Ò Ò Ú ÖÖ Ò ØØ Ò Ò ÓÚ ÐØÙÙ Ó ØÑ ÒØ Ú Ó º ÃÝØÒÒ ÒÑ Ú ÒÒÝ Ò ØÙÐÓ Ø ÑÙ Ø Ø Ò ÓØØ Ò Ø Ø ÖÚ Ø Ø ÙÙ ÐÐ Ò º½µº
44 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ØÙÓØØ ¹ ÙÐÙØØ ¹Ô Ö Ò ÔÖÓ Ù Ö¹ÓÒ ÙÑ Ö Ô Ö µ Ó ÐÑÓ ÒØ ÇÐ ÓÓÒ A Ð Ó ÐÑ Ó ØÙÓØØ Ö Ð Ø ØÙ Ø tº ÇÐ ÓÓÒ B Ð Ó ÐÑ Ó ÙÐÙØØ ØÐÐ Ø ØÓ Ð Ó Ø tº Ñ Ö Ó ÐÑÓ Ø Ð ÙØ Ô Ð A ØÙÓØØ Ñ ÓÐÐ Ø ÖØÓÚ ØÓ ÓØ ÔÓ ÙØÙ Ò Ô Ð Ò ÒØ Òº B ÖÚ Ó Ö Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÚÝÝØØ ÔÓ ÙØÙ Ò Ö Ð Ò ÙÖ Ø Ó Òº ÇÐ ÒÓ Ó ÐÑ ØÓ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ý Ø A B Ñ Ð Ó ÐÑ º
45 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º Ì Ð Ô ÖÙ Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ ÝÒ ÖÓÒÓ Ò Ò t Ø = A Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ c Ø = B(t Ø ) Û Ð A ÐÐ ÓÒ Ð Ú ØÓ ØÓ Ó t Ò ÜØ = A Ò ÙÖ Ú Ú ØÓ ØÓ c Ò ÜØ = B(t Ò ÜØ ) c Ò ÜØ < c Ø Ø Ò t Ø = t Ò ÜØ c Ø = c Ò ÜØ Ò Ò Û Ð
46 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ ÒÒ Ø Ò ÑÖ ØØ ÐÝØ x A Ò Ò Ú ØÓ ØÓ Ò Ð Ø y Ð Ø Ó Ò ÙÒ Ð Ø Ò x Ó Ò Ð ÓÓÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÙÚ Ù Ø f(t) = (t, B(t)) Ô Ö (t Ø, c Ø ) = Ð Ø Ò y Ð Ó Ø ÓÒ Ð ÑÑ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ô Ò Ò
47 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º Ä ÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÓÐ ÐÐ Ø Ñ Ø ½º À ÐÙØ Ò Ð Ô Ö (t Ø, c Ø )º ¾º Ë Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÒÓÓ ØØ Ð Ø y ÓÒ ÝØÚ ÐÔ Ð Ó Ð ÓÐØ º º Ä Ø Ò y ÙÖ Ú Ð Ó Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÙÚ Ù Ø f Ð Ø Ò x ÙÖ Ú Ò Ð ÓÓÒº º Ä Ø Ò x ÙÖ Ú Ð Ó Ò Ý ÝÑÐÐ A Ò ÙÖ Ú Ú ØÓ ØÓº
48 Î Ô ÑÔ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ½º º ÀÝ ÝØ A ÚÓ Ò Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø Ó Ó Ô Ð ÙØØ Ý ÐÐ ÖØ Ð Ò Ð Ø Ò µ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ Ó Ø Ò ÐÐ Ú Ú ØØÙ ÔÙÓÔ Ö Ø Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ó ÐÑÓ Ø º ÔÙÑÖ Ø ÐÑ Ò x y Ó ÐÐ ÙÙ ÓÒ ÐÔÔÓ Ò º
49 ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ½º º ½º º ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ÌÙÓØØ ¹ ÙÐÙØØ ¹ Ñ Ö ½º º µ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ø Ò y ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÐ Ú Ø Ð Ø x ÙÒ Ø Ó fº ÌÑ ÓÔ Ö Ø Ó ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÝÐ Ò ÒØ Ò map(f,[]) = [] map(f, z : zs) = f(z) : map(f, zs) Ñ [] ÓÒ ØÝ Ð Ø z : zs ÓÒ ÔØÝ Ð Ø ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ó ÓÒ z ÐÓÔÔÙÐ Ø zs µº
50 ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ½º º ÌÐÐ ÔÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö ÐÑ Ø y = map(f, A Ò Ò Ú ØÓ ØÓ Ò Ð Ø ) f(t) = (t, B(t)). ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÚÓ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ÐÑ Ø (t Ø, c Ø ) = foldl(g,(+,+ ), y) Ñ ÔÙ ÙÒ Ø Ó g Ô Ð ÙØØ Ñ Ø Ò Ø Ô Ö Ø Ò ÓÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ð ÑÑ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ g((t 1, c 1 ),(t 2, c 2 )) = (t 1, c 1 ) ÙÒ c 1 c 2 g((t 1, c 1 ),(t 2, c 2 )) = (t 2, c 2 ) ÑÙÙØ Ò. ¼
51 ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ½º º ÔÙ ÙÒ Ø Ó foldl(h, a, l) ÐÑ ÝÚ Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ú Ò Ý ÐÔ Ð Ø l ÐÙ Ø ÐÓÔÔÙÙÒ ÒÒ Ø Ò Ð ÙÖ ÐÐ a Ð Ù ÖÚÓº ÂÓ Ò Ð ÓÒ z Ó ÐÐ Ô Ú Ø ØÒ Ò ÙÖ Ú ÖÚÓ h(a, z)º ÄÓÔÙ Ô Ð ÙØ Ø Ò Ò Ò ÖØÝÒÝØ ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓº Á Ö Ó Ø Ø Ò ÙÓÖ Ò ÒÒ foldl(h, a,[]) = a foldl(h, a, z : zs) = foldl(h, h(a, z), zs) ½
52 ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ½º º ÆÑ ÔÙ ÙÒ Ø ÓØ map foldl ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÓÒ ÝØØ Ó Ò Ø ÚÓ ÑÙÓ Ø Ö ÝØØ Ø ÖÔ Ò ÓÔ Ú ÐÐ f hº Ñ Ö ÓÔ Ö Ø Ó Ð ÒÒ ØÙÒ ÐÙ ÙÐ Ø Ò l ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÚÓ Ò ÐÑ Ø sos(l) = foldl(sum, 0, map(square, l)) sum(x, y) = x + y square(z) = z z. Æ ÓÚ Ø Ñ Ö ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö¹ÓÖ Öµ ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÐÐ Ø ÓØ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÓ ÙÒ Ø Ó Ø º ¾
53 ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø ÓØ ½º º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ ÝØ ØÒ Ô Ð ÓÒ ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó Ò ÝÐ Ò Ò Ð ÒØ Ô Ö Ø ÙØ Ò foldlµ Ú Ò ÖÖ Ò ÝØ ØÒ Ñ ÑÖ Ø ÐÑ Ö Ø Ð ÒØ ÓÔ Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ó Ò ÙØ Ò hµº Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ø Ô Ø Ö Ó ØÙ ¹ ÑÝ ØÙ ØÝ Ø È Ö ØØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ÐÐ ÙÙ Ö ÐÐÒ Ú Ò ÖÖ Ò Ø Ö Ó Ø ØØ º Ë Ø ÝØ ØØ Ö ÐÝ Ø ÖÚ Ø ØÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÚØ ÔÝ ØÝ ÓØ Ñ Ò Ø Ô Ö Ø ØØ º
54 ÙÒ Ø ÓØ ÖÚÓ Ò ½º º ½º º ÙÒ Ø ÓØ ÖÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ ÑÝ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ØÝ Ú ÐØ ÖÚÓ ÙØ Ò ÑÙÙØ Ò Ø ØÓ Ð Óغ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÑÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ø Ö Ó ØÙ ØØ Ò ÐÐ ÐÙÓÒØ ØÓ Ñ ØÙ Æ Ò Ô Ð ÙØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ð º Æ Ø ÚÓ ÒØ ØÓ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ½º º µº Æ Ø ÚÓ ÑÝ ØÓ ÐØ Ò Ô Ð ÙØÙ ÖÚÓ Ò º Æ Ø ÚÓ Ý Ø ÐÐ ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ½º º µº
55 ÙÒ Ø ÓØ ÖÚÓ Ò ½º º ÎÓ ÑÑ Ñ Ö ÑÖ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÔÙ ÙÒ Ø ÓÒ foo(x) = y y(z) = x z + 1 ÑÙÙØØÙ x Ú ØØ Ô ÙÒ Ø ÓÒ foo Ô Ö Ñ ØÖ Òº Ë ÐÐÓ Ò ÙØ Ù foo(2) Ô Ð ÙØØ ÖÚÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ y 2 (z) = 2 z + 1 º º º ØÓ Ò Ò ÙØ Ù foo(3) ØÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ y 3 (z) = 3 z + 1.
56 ÙØÓÑ ØØ Ò Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒØ ½º º ½º º ÙØÓÑ ØØ Ò Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒØ Â Ú ÓÒ ØÙÓÒÙØ ÙØÓÑ ØØ Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ò ÖÓ Ò ÖÙÙÒ ÝÑ ºµ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ú ÐØ Ú ÖØ Òº ÌÑ ÓÒ Ñ Ð Ó ÙÙØØ ÑÑ Ú ÐØ Ð ÙØ Ò ÝÒ Ñ Ò Ò ÑÙ Ø ÓÐ Ó ÐÑÓ Ò Ú ØÙÙÐÐ º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ ÙÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ó Ó ØØ ÙØÓÑ ØØ Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ò Ý ÝÐÐ ÝÝ Òº Â Ú Ò ÙÙÒÒ ØØ Ð Ó ÐÐ ÓÐ ÝÚÐÐ Ò Ò ÄÁËÈ¹Ø Ù Ø º ÙÒ Ø ÓØ ÖÚÓ Ò ¹ ØØ ÐÙ ½º º µ Ú Ø ÝØÒÒ ÙØÓÑ ØØ Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Òº
57 Ä Ù Ø ÓÑ ÒØÓ Ò Ò ½º º½¼ ½º º½¼ Ä Ù Ø ÓÑ ÒØÓ Ò Ò ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÔÙ ÙÒ Ø Ò Ð Ù Ø ÜÔÖ ÓÒµ Ò Ò ÖÚÓ Ø Ú ÐÙ µº Ì Ð Ô ÖÙ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÓÒ Ò Ò Ð ÑÝ Ð Ù Ø Ø Ø Ñ Òص Ñ Ö Â Ú ÜÔÖ ÓÒ Ó ÐÑ ÓÓ ØÙÙ ÔÓ ÑÑ ÐØ Ò ØÐÐ Ø Ð Ù Ø ÓØ ÓÚ Ø ÓÑ ÒØÓ ÖØÝ Ø Ð Ø ØÓ Ò Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÔÓ ÐÑ ÓÒ ÓÑ ÒÒÓØ ÝØØ ÐÙ ÙÓÖ Ø ØØ Ú Òº
58 Ä Ù Ø ÓÑ ÒØÓ Ò Ò ½º º½¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ó ÐÑ Ø ÓÓ ØÙÙ ÔÓ ÑÑ ÐØ Ò Ò Ñ ÒÒ Ø ½º º¾µ Ò Ñ = Ð Ù ÔÐ Ù Ø Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ÝØØ ÐÙ Ø Øº ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ð Ø ÓÚ ÐØÙÚ Ø Ò ÝÚ Ò ÒØ Ö Ø Ú Ò ÝØØ Ò Ã Ð Ò ØÓØ ÙØÙ ÓÒ Ò ØÙÐ ÒØ º ÃÝØØ ÚÓ Ö Ó ØØ Ò Ñ ÒØ ÙÓÖ Ò ØÙÐ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐÐ Ø Ð Ø Ò Ø Ø Ó ØÓ Ø µº ÃÝØØ ÚÓ Ö Ó ØØ ÑÝ Ð Ù Ø Ó Ò ÖÚÓØ ØÙÐ Ð ÚÐ ØØ Ñ Ø ÒÝ Ý Ò Ò Ñ ÒÒ Òº
59 À ½º ½º À ÃÙÖ ÐÐ ÝØ ØÒ À ÐйØÓØ ÙØÙ Ø Ø Ð ÓÛ À ÐÐ ÓÑÔ Ð Ö À µº Ä ØÓ Ò Ä ÒÙܹ ÓÒ Ò ÓÒ ÒÒ ØØÙ ØÙÐ À ÒØ Ö Ø Ú µº È ØØ Ò ÙÙÐÙÙ ÑÝ ÑѺ Ô Ö ÒØ Ò Ò ÒØ ÐÐ Ó ÐÑ Ú ÖØ Ò Ó Ø ÐÙØ Ò ÐÑ Ò ØÙÐ º À ØÓØ ÙØØ ÒÝ Ý Ò Ø Ò Ö Ò À ÐÐ º À ÐØ ÑÝ ÝÚ Ò ÑÓÒ ÙÖ Ú Ò Ø Ò Ö Ò À Ðг ÓØ ØÙ Ø Ð ÒÒÙ Ø º
60 À ½º È Ø Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓØ Ö ØÓØ º º º µ ÚÓ ÐÑ µ ÓØ ÓÒ ÐÐ Ð Ò Ú Ö Ó ÚÙÐØ ØØÔ»»ÛÛÛº ÐкÓÖ º ¼
61 À Ðй Ð Ò Ý Ò ¾ ¾ À Ðй Ð Ò Ý Ò ÐÓ Ø Ø Ò À Ðй Ð Ò ØÙØÙ ØÙÑ Ò Ò Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ø ¹ØÝÝÔ Øº ÅÝ ÑÑ Ò Ø Ö Ø Ø Ò Ð Ô ÖØ ÐÐ ÝØØ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ÐÐ ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ º µ ØÝÝÔÔ Ò ÚÐ ÐÐ Ù ÙÐ ÙÙ Ù Ø ÐÐ º µ Ý ØØ ÐÐ ØÙÐÓ ØÙ ÐÐ µ ÑÓ ÙÙÐ ÐÐ µº ½
62 À Ðй Ð Ò Ý Ò ¾ Ò ÑÑ Ò Ò À Ðй Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ÓÐ ÓÓÒ ÒÓÔ ÙØ ØØÙ ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØÙ ½º µ ½ ÔÓÛ ÁÒØ Ö ÁÒØ Öµ ¹ ÁÒØ Ö ¾ ÔÓÛ ¼µ ½ ÔÓÛ Ü Òµ Ó Ò Ü ÔÓÛ Ü Ò¹½µ Ú Ò Ò ÔÓÛ Ü Ü Ú Ò ¾µ Ê Ú ÒÙÑ ÖÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ð Ò Ò ÓÚ Ø ÓÓ Ð Ø Ù ÑÑ Ú ÒÒÓÐÐ ÙÙ Ò ÚÙÓ ºµ Ä ØÒ ÐÚ ØØÑÒ Ø Ó Ó ÐØ º ¾
63 ÅÙÙØØÙ Ò ØØ ÐÝ ØÝÝÔ ØÝ ¾º½ ¾º½ ÅÙÙØØÙ Ò ØØ ÐÝ ØÝÝÔ ØÝ Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ¾µ Ö Ú Ò ½ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ò ØÝÝÔÔ º ÅÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ø Ð Ú Ø Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ º º º º º º Ø ÙÚ Ø Ô Ò ÐÐ Ø ÙÙÖ ÐÐ Ö Ñ ÐÐ ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ ØØÓÑ Ö ÐÐ ³º Ë ÚÙÙØ Ø Ò Ö Ó ÒÒ Ø Ó Ò ÒÓ ÐÐ ÑÝ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÙØ Ò ³+³ ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ º ÌÝÝÔÔ Ò Ò Ñ Ø Ð Ú Ø ËÍÍÊ ÄÄ Ö Ñ ÐÐ º
64 ÅÙÙØØÙ Ò ØØ ÐÝ ØÝÝÔ ØÝ ¾º½ À ÐÐ ÓÒ Ú Ú Ø ØÝÝÔ Ø ØØÝ Ð Ð Ó ÐÐ Ò ÖÚÓÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ó Ò Ñ ÖÚÓÒ ÓÒ ÒØ ØÝÝÔÔ º À ÐÐ ÔØØ Ð ØÝÝÔ Ø Ø ÓØ Ò ØØ Ö Ú Ø ÖÚ Ø º Æ Ù Ø Ò Ò ÒØ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ó ÐÑÓ ÐÐ Ó Ø ÖÚ Ø Ø ØÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ Ò ØÝÝÔ Øº ÒØ ÐÐ Ó ÐÑÓ ØØ Ú Ö Ò Ó Ò ÔØØ Ð Ñ Ó ÐÑÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ ØÝÝÔÔ ÔÓ Ú Øº
65 ÅÙÙØØÙ Ò ØØ ÐÝ ØÝÝÔ ØÝ ¾º½ Ñ Ö Ö Ú ÑÑ ½ ÐÑÓ ØØ ØØ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ ÐØ ÔÓÛ ÖÚÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ó ØÝÝÔÔ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ¹ ØÙÐÓ Ò ØÝÝÔÔ º Ñ ØÙÐÓ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙØÝÝÔÔ ÁÒØ Ö ¾º½º¾µº Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ô Ö Ô Öµ ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ó Ø ÓÚ Ø ÚÙÓÖÓ Ø Ò ØÝÝÔÔ ÁÒØ Ö ¾º½º µº ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÑ ÔÓÛ ÓÐ Ò ¾ Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ò ½ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ò ¾ Ó º ÅÝ ÑÑ Ò Ô Ð Ø Ò Ò Ñ Ø Ó Ø ÑÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ¾º¾º µº
66 À ÑÓØ ¾º½º½ ¾º½º½ À ÑÓØ À ÑÓØ Ô ØØ ÖÒ µ ÓÚ Ø Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ ÚÐ Ò ÑÓ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ð º È ÖÙ ÓÒ ÓÚ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÙ Ø ÑÓÓÒ Ó ÓÔ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ó ÐÑ Ø Ò ÑÓÒ ÑÙ Ò Ö Òº º º º º º Ð ÑÓ Ú Ø Ú Ò Ñ Ö Ò ³ ³ Ð Ò Ð Ù Òº
67 À ÑÓØ ¾º½º½ ÌÑ ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ô ØØ ÖÒ Ñ Ø Ò µ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ú Ø Ò ÑÑ ÐÐ ÒØÙ Ø ÓÐÐ ÑÑ ÓÖÚ ØÑÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ö ÙÖ Ó ÙØ Ù ØÙÓÒ ÑÙÓØÓ ÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ½º º µº ÃÝ Ò Ø Ò Ò ÐÔ ÑÓ Ò ÝÐ Ô ÖØ Ø ØÝ ÒÒ ØÒ Ò Ø ØÝÝÔÔ Ó Ø ÐÐ Ð Ô ÖØ ÐÐ Ö ØÝÝÔÔ Ø Ö Ø ÐÐ ÑÑ º
68 À ÑÓØ ¾º½º½ Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ¾µ ÑÓØ ÓÚ Ø Ö Ú Ò ¾ ¼µ Ó ÓÔ Ò ÐÐ Ò Ô Ö Ò Ó Ò Ð ÑÑ Ò Ó Ò ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù 0º ÌÑ ÓÒ ÐÝ ÝØ Ð Ö Ø Ú Ò Ò Ø Ô ÐÑ Ø Ñ ÐÐ ÐÐ ØÓ ÐÐ ØÑ Ö ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙº À ÑÓÒ Ð Ú Ú ³ ³ Ø Ö Ó ØØ Ò ÒÝØ ÚÐ Ø Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ º Ö Ú Ò Ü Òµ Ó ÓÔ Ò Ô Ö Òº Ë Ñ ÐÐ Ò Ñ Ô Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ó Ò Ò Ñ ÐÐ Ü ØÓ Ò Òº Æ Ø Ó ÐÐ ÒÒ ØØÙ Ò Ñ ÚÓ ØØ Ò ÝØØ ØÑÒ ÑÓÒ Ö Ð Ö Ú ÐÐ º
69 À ÑÓØ ¾º½º½ À ÑÓÒ ÓÚ ØÙ ÓÒ ÔÙ Ø Ò ÝÒØ Ø Ò Ò ØÓ Ñ ØÙ Ë Ñ ÑÙÙØØÙ ÒØÝ ÑÓ Ú Ò ÖÖ Òº Ë ÑÓ Ý Ýµ ÓÒ Ð ØÓÒ ØÓ Ò Ô Ö Ø Ó Ò ÑÓÐ ÑÑØ Ó Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ú ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ð Ú Ú ÚÓ ÐØ ØÓ ØÙ µ ÓÒ Ð ÐÐ Ò Ò ÑÓ Ò ÐÐ ÓÐÑ Ó ÐÐ Ó Ò ÑÑ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù 5º
70 À ÑÓØ ¾º½º½ ÌÐÐ Ø Ò Ñ ÒØØ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÐÑ Ñ Ò ÓÒ À Ðй Ð ÑÓÚ Ø Ô ØØ ÖÒ Ù Ö µ ÑÓ Ò Ú Ø Ò Ö Ó ÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓØÝÝÔÔ Ò Ò Ð Ù º À ÑÓÚ Ò Ñ Ö Ò ÓÐ Ú Ò ÔÝ ØÝÚ Ú Ò ³ ³ ÚÓ ÐÙ ÙÒ ½º µº À ÑÓÒ Ý Ýµ ÚÓ Ö Ó ØØ Ð ÐÐ Ø Ý Ý³µ Ý Ý³ Ñ ÓÒ À Ðй Ð Ò ÑÙÙ Ú ÖØ ÐÙº ½º º½µº ¼
71 À ÑÓØ ¾º½º½ Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ Ú Ø ÓÚ Ø Ö Ú Ò Ó Ò Ö Ú Ò Ú Ò Ò ÓØ ØÙØ Ú Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ô Ö ØÓÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÆÑ ÔÙ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ú Ò ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ À Ðй ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ó Ò Ú Ó Ö ØÓÓÒ ÈÖ ÐÙ Ó Ð Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ø ØÙÐ Ò ÝÒÒ ØÝ º ½
72 À ÑÓØ ¾º½º½ ÅÓÐ ÑÑ Ø Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ Ú Ø Ð ØØÝÚØ Ñ Ò Ö Ú Ò ÑÓÓÒ Ü Òµº Ë ÐÐÓ Ò Ö Ú Ø Ö Ó ØØ ÝØ Ö Ú ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ú Ò ÑÓÓÒ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ó Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Î Ø Ú Ø Ö Ú Ø Ö Ó ØØ ÝØ Ö Ú ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ú Ò ÑÓÓÒ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ó Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ¾
73 À ÑÓØ ¾º½º½ À Ðй Ð ÒØ Ó ÐÐ Ò Ò Ò Ö Ó ØÙ Ö ØÝ º ÁÒØÙ Ø Ú Ø Ó ÐÑ ÑÑ ÓÓ ØÙÙ ÒÒ Ø Ö Ú Ø ¾ ØØ Ð Ø Ô Ù Ò ÓÖÓØ ÔÓØ Ò Ò 0 Ö Ú Ø Ø Ô Ù Ò ÓÖÓØ Ô Ö ØØÓÑ Ò ÔÓØ Ò Ò n 0 Ö Ú Ø Ø Ô Ù Ò ÓÖÓØ Ô Ö ÐÐ Ò ÔÓØ Ò Ò n 0 º
74 À ÑÓØ ¾º½º½ ÂÓ Ù ÐÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ñ ÐÐ ÖØ ÑÓÓÒ ÓÔ Ú Ø Ø Ø Ó ØØ Ó Ó Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò ÝØ ØÒ ¹ ÑÓ Ô ½¼ Õµ ÓÔ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ó Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù 10 Ò Ñ ÓÔ Ú Ò ÓÐÑ ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ó Ò Ò Ñ ÐÐ Õ Ò Ñ Ó Ó ÓÔ Ú Ò ÓÐÑ ÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ôº
75 À ÑÓØ ¾º½º½ À Ðй Ð ÓÒ ÑÝ Ú Ú Ø ØØÝ ÑÓ ½º Ñ Ö ÑÓ ½¼¼ µ ÓÔ Ò Ô Ö Ò Ó Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù 100 ¾º ÑÙØØ Ø Ö Ø Ø Ò Ú Ø ÙÒ Ò ØÓ Ø Ó Ø ÖÚ Ø Ò º ÓÐÐÓ Ò ÚÖ ÐÙ Ù ÙØ Ò 101µ Ó Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ö Òº Ë Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÖÚÓ Ò ÝÐ Ò Ú Ò Ó Ò Ö ØÝ Ø Ð ÒØ º¾µº
76 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ ¾º½º¾ ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ÃÓÒ Ó Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙØÝÝÔÔ ÁÒØ ÓÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ØÓØ ÙØÙ Ó Ø Ò Ò ÖÚÓ ÐÙ Ñ Ö À ¾ ØØ Ð Æ ÐÐ ÓÔ ÖÓ ÒØ ÓÒ Ø Ó Ø ÑÙØØ ÖÚÓ ÐÙ Ò ÝÐ ØØÝ ÐÙÚÙØ ÔÝ Ö ØÚØ ÝÑÔÖ ÙØÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ö Ò Ø ÚÓ Òº
77 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ Å Ø Ñ ØØ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙØÝÝÔÔ ÁÒØ Ö ÓÐÐ ÓÒ ØÓ Ö Ø Ò ÖÚÓ ÐÙ..., 2, 1,0,1,2,... Æ ÐÐ ÓÔ ÖÓ ÒØ ÓÒ ÐÚ Ø Ø ÑÔ ÑÙØØ ÔÝ Ö ÝÑÔÖ ÄÙ ÙÚ Ó Ø ÚÓ ÝØØ ÑÓ ¾º½º½µº Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ¾µ ÝØ ÑÑ ÁÒØ Ö¹Ú ÓØ Ö Ú Ò ¾ ÑÓ ¼µº
78 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ ÃÝØ ÑÑ Ó ÐÑ ÑÑ ØÝÝÔ Ò ÁÒØ Ö ÙÖ Ú ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÖØÓÐ Ù Ö Ú ÐÐ Ú ÒÒÝ Ð Ù ¹ Ö Ú ÐÐ ÓÐ Ù Ú Ö Ú ÐÐ Ú ÖØ ÐÙ Ú ÓÓÒ ¼ ÑÔÐ ØØ Ø Ö Ú Ò ¾ ÑÓ Ô Ö ØØÓÑÙÙ Ø Ø Ó Ö Ú Ò Ú Ô Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ø Ú Ò Ö Ú Ò Ú º
79 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ Ä Ù ÙÐÙÚÙØ ÓÚ Ø Á ¹ Ø Ò Ö Ò ÑÙ Ø Ñ ±Ñ ÒØ 10 ÔÓÒ ÒØØ ØÝÝÔ Ò Ò Ñ Ñ ÒØ Ò Ó Ó ÔÓÒ ÒØ Ò ÚÐ ÐÓ Ø ¾ ØØ ¹½¾ º º º ½¾ ÓÙ Ð ØØ ¹½¼¾½º º º ½¼¾ ÁØ Á ¹ ÓÙ Ð Ò Ô Ø ÓÐÐ Ú ÒØÒ Ò Ò Ø Ö Ñ Ö ÁÒØ Ð¹ÔÖÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØ ÓÒ ¼ ØØ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ø Ö ºµ
80 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ ÃÓ ÓÒ ¹ Ð Ù ÙÐÙ ÙØÝÝÔ ÐÐ ÓÒ Ñ ÒÐ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ù Ò ÑÙ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ö ØÑ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÙØ Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ ¹ ÖØÓÐ Ù Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÙØ Ò ÑÙÙ Ò Ú Ø Ó Ø» º ÆÑ Ö Ó Ø Ø Ò ØÙØØÙÙÒ Ø Ô Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÚÐ Òº À Ðй Ð ÓÐ ÙØÓÑ ØØ ÑÙÙÒÒÓ ÐÙ ÙØÝÝÔÔ Ò ÚÐ Ðк Ë Ò Ò ÈÖ ÐÙ Ø Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÔÙ ÙÒ Ø Óغ ¼
81 ÆÙÑ Ö Ø ØÝÝÔ Ø ¾º½º¾ ÖÓÑÁÒØ Ö Ð ÓÒ ÑÙÙÒÒÓ ÙÑÑ Ø Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙØÝÝÔ Ø Ñ Ò Ø Ò Ó ÓÒ ¹ Ø Ð Ù ÙÐÙ ÙØÝÝÔÔ Òº ØÖÙÒ Ø Ð ÔÓ Ñ Ð Ó Ò ÙÑÑ Ò Ø Ò ØÝÝÔÔ Ø Ð Ù ÙÐÙÚÙ Ø Ô Ð ÙØØ Ó ÓÒ Ó Ò ÙÑÑ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙØÝÝÔ º ÖÓÙÒ ÓÒ ÙØ Ò ØÖÙÒ Ø ÑÙØØ ÔÝ Ö Ø Ò Ð ÑÔÒº ÐÓÓÖ Ð... ÓÒ ÙØ Ò ØÖÙÒ Ø ÑÙØØ Ô Ð ÙØØ ÐÐ Ò ÓÖ ÒØ Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒº Ð Ò Ð... ÓÒ ÙØ Ò ØÖÙÒ Ø ÑÙØØ Ô Ð ÙØØ ÙÖ Ú Ò Ú ÒØÒ Ý Ø ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒº ½
82 ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º ¾º½º ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ À Ðй Ð Ò ØÓØÙÙ ÖÚÓØÝÝÔ Ò Ò Ñ ÓÒ ÓÓк Ë Ò Ú ÓØ ÓÚ Ø Ð ÌÖÙ º Æ Ð Ú Ø ËÍÍÊ ÄÄ Ö Ñ ÐÐ º Æ Ø Ò ÝØØ ÑÓ ¾º½º½µº ÌÝÝÔ ÐÐ ÓÓÐ ÓÒ ØÙØÙØ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ²² ÔÙ ÙÒ Ø Ó ÒÓغ ¾
83 ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º ÆÑ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ú ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÌÖÙ ²² Ü Ü Ð ²² Ð ÌÖÙ ÌÖÙ Ð Ü Ü Ó À Ðй Ð Ò Ð ÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ñ ½º º µ Ø ØØ Ò Ó Ú Ø ÓÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ò Ñ Ö Ú Ð ØØ ÙÑÔ ÖÓ Ø ÓÚ ÐØÙÙ Ð Ù ÐÐ p ²² q Ú ÒÒ ØÒ Ú Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ð Ù p Ð ÑÑ Ø Ð Ð Ù ØØ q Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ø Ó p ÓÒ ÌÖÙ º
84 ÌÓØÙÙ ÖÚÓØ ¾º½º à РÓÒ ÑÝ ØÙØØÙ ØÓÐ Ù c Ø Ò t Ð f ÑÙØØ ÑÓ Ò ¾º½º½µ ÚÙÓ ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò ÖÚ ÑÑ Ò Ù Ò ÑÙ Ð º
85 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º ¾º½º ÅÓÒ ÓØ À Ðй Ð ÓÒ ÒÖ ÒÒ ØØÙÒ Ö Ð Ø ÑÓÒ ÓØ ØÙÔÐ µº ÅÓÒ ÓØÝÝÔÔ Ö Ó Ø Ø Ò ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k µ ÐÑÓ ØØ ØØ ØÑÒ ØÝÝÔ Ò ÖÚÓ ÓÒ k Ò Ñ Ø ÒØ ÒØØ Ö ØÝ iº ÒØ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÝÝÔÔ i º
86 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º ÌÑ ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ñ Ö ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ØÝÔ ÓÒ ØÖÙØÓÖµ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ó Ö ÒØ ÒÒ ØØÙ Ò ØÝÝÔÔ Ò ØÝÝÔÔ i ÔÓ ÐØ ÙÙ Ò ØÝÝÔ Òº Ñ Ö ÁÒØ ÓÓÐ ÁÒØ Ö ÁÒصµ ÓÒ ÐÐ Ø Ò ÑÓÒ Ó Ò ØÝÝÔÔ Ó ½º ÒØ ÓÒ ÁÒØ ¾º ÒØ ÓÒ ÓÓÐ º ÒØ ÓÒ ØÓ Ò Ò ¾¹ ÒØØ Ò Ò ÑÓÒ Ó ÓÒ ½º ÒØ ÓÒ ÁÒØ Ö ¾º ÒØ ÓÒ ÁÒغ
87 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º ÅÓÒ ÓØÝÝÔÔ Ò ÖÚÓÒ ØÙÓØØ Ú Ð Ù Ö Ó Ø Ø Ò Ú Ø Ú Ø Ð Ù 1 Ð Ù 2 Ð Ù 3... Ð Ù k µ Ñ Ù Ò Ð Ù i ÓÒ Ú Ø Ú ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ i º ÅÓÒ ÓØÝÝÔ Ò ÑÓØ Ò ¾º½º½µ ÓÚ Ø Ñ ÑÙÓØÓ ÑÓ 1 ÑÓ 2 ÑÓ 3... ÑÓ k µº À Ðй Ð Ò ÝÐ Ô Ö Ø ÓÒ Ò ØØ Ø ØÝÒÐ Ò ÖÚÓÒ ØÙÓØØ Ú Ð Ù ÐÐ Ø ÖÚÓ ØÙØ Ú ÑÓ Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º
88 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ¾µ Ö Ú Ò ¾ ÑÓ ÝØØÒÝØ Ò ÑÑ Ò ÒØÒ ÖÚÓ ÑÙØØ Ú Ø ØØ ØÓ Ò Ô Ø ÓÐÐ 0 Ö Ú Ò ÑÓ ÒØÓ ÒØØ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò Ñ Ø Ü Ò Ó ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ø Ò Ú Ø Ø Ö Ú ÐÐ º ËÓÔ Ú ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ô ØÒ ØØ Ò ÑÓÒ ÓÒ Ò Ñ ØØ Ñ Ò ÒØØ Òº
89 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º ÅÝ ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ Óº ÌØ ÝØ ØÒ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ø ÒØ ÑÓÒ Ó Ò Ò ØÙÐÓ º Ñ Ö Ú Ó Ö ØÓ ÈÖ ÐÙ Ø Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÕÙÓØÊ Ñ n m Ó Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ n Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ m Ô Ð ÙØØ ÖÚÓÒ Ò Ô Ö Ò Ó ÑÖ Ó ÒÒ µº
90 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ô ÐÓ ØØ Ð Ñ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ò Ú Ñ Ò ØØ Ò Ø ÐØÚ Ò ØØ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÙÒ ½ Ð Ø Ø ÁÒØ ¹ ÓÓÐ ÁÒص ¾ Ð Ø Ø Ò Ð Ø Ø³ ÕÙÓØÊ Ñ Ò ¾µ Ð Ø Ø³ Õ Öµ Ö ½ Õµ ÔÙ ÙÒ Ø Ó Ð Ø Ø³ Ô Ð ÙØØ ÖÚÓÒ Ò Ô Ö Ò ÓÒ ½º ÒØØ Ò Ø Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ó Ý ØØ Ò ØÓ Ò Ò ÒØØ Ð Ó ÒÒ Ö Ý Ø Ù Ò 1 ¾º ÒØØ Ò ÓÔ Ó Ñ ÐÐ Ý ØØ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÒØØ Õ Ð Ó ÑÖº ¼
91 ÅÓÒ ÓØ ¾º½º À Ðй Ð ÓÒ ÑÝ ÑÓÒ Ó ÐÑ Ò Ý ØÒ ÒØØ Ð Ø Ô Ù k = 0µº Ë Ò ØÝÝÔÔ ÒÓ ÑÓ ÒÓ Ð Ù Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ µº ½¹ ÒØØ Ø ÑÓÒ Ó Ð Ø Ô Ù Ø k = 1µ ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÐ ÌÝÝÔÔ ÑÓ Ø Ð Ù ÑÙÓØÓ αµ ØÙÐ Ø Ò Ñ ØÝÝÔ ÑÓ Ø Ð Ù Ù Ò αº Ë Ø Ò ØÝÝÔ ÑÓ Ð Ù ÝØØ Ú Ô Ø Ö ÙÐ Ù... µ ÐÚ ÒØÑÒ Ò Ò Ö ÒÒ ØØ º ½
92 ÙÒ Ø ÓØ ¾º¾ ¾º¾ ÙÒ Ø ÓØ À Ðй Ð ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ¾º½º µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ý Ò ÙÒ Ø ÓØÝÝÔ Òº ÙÒ Ø Ó Ò Ò ØÓ ØØ Ò ½º º µ ÓÐ Ú Ò ØÝ Ú ÐØ ÖÚÓ ÓØ Ò Ò ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ò À ÐÐ Ú Ú Ø ØÝÝÔ Ø ØØÝ Ð º ¾
93 ÙÒ Ø ÓØ ¾º¾ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½µ ÓÒ Ò Ý Ò ÙÒ Ø ÓØÝÝÔÔ Ò Ú Ó ÖÚÓÒ Ò Ñ Ñ Øº Ú ÓÒ ÔÝ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÒÒ ÝØ ØØÚ Ð Ù Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö ÖÚÓ ÐÐ Ò Ö ØÙÐÓ ÖÚÓ º ÙÒ Ø ÓØÝÝÔ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ò Ö Ó ØÙ Ë ÑÙÙ Ú ÖØ ÐÙ f g ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ ÓÐ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ø Ú º ÈÙÖ Ñ Ò Ò Ó Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ ÐÐ ¾º½º½µ Ú Ø ÑÙÙ Ú ÖØ ÐÙÒº
94 ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½ ¾º¾º½ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÆÝØ Ø ÐÐÒ À Ðй ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐØ f ÑÖ ØØ ÐÝ ÝÒØ º pow¹ Ñ Ö ÑÑ ½º µ ÐØ Ø ÙÚ ØØ Ú Ø Ô ÖØ Øº ËÝÒØ ØÝ ÒÒ ØÒ ÑÝ ÑÑ Ò Ô Ò ÐÐ Ð Ý ÐÐ ¾º¾º µº
95 ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½ ÅÖ ØØ ÐÝ ÝØ ØÒ ÓÖÑ Ð Ó Ø Ú Ø ØØ Ð Ù ÅÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ø Ö ØÝÝÔÔ Ò Ú ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ð Ù Ø º ÅÓÒ Ó ÖÚÓÒ Ð Ú Ð Ù ¾º½º µ ÓÒ Ñ Ö ÑÙØ ÑÑ Ø Ð Ù Ø º ÌØ Ò Ù Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ð ÒÒ Ø Ò Ø ÑÙ ÙÒ Ô Ö ÝÑÑ À Ðй Ð Ò ÝÚ ÑÑ Òº ½º Ò Ò ÚÓ ØÙÐÐ Ú Ô ØÓ Ò Ò ØØ ÐÝ ÑÙÓØÓ f Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ
96 ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½ ¾º Ë ØØ Ò ØÙÐ Ô Ö Ò Ý Ø Ù ÑÔ ÒØ º ÃÙ Ò ÒØ ÓÒ ÑÙÓØÓ f ÑÓ Ö Ø µ ÑÓÒ ¾º½º½µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ÓÚ Ø Ñ Ø µ Ó Ò Ò Ö ÓÒ ÑÙÓØÓ Ú Ø ØÙÐÓ µ Ú Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ð Ù ØÝÝÔÔ ÓÓÐ ¾º½º µ µ ØÙÐÓ ÓÒ Ñ Ø Ò Ð Ù ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ò Ù Ò ÖÚÓÒº
97 ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½ ËÒØ ÚÓ ÑÝ ÓÓ ØÙ Ú Ò Ý Ø Ö Ø ÓÐÐ ÓÐ Ú Ø º Ì Ö Ó Ø Ô Ù ÒØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò f ÑÓ ØÙÐÓ Ë ÓÒ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ Ò ØÓ ÐÐ Ú ÐÐ f ÑÓ ÌÖÙ ØÙÐÓ Ñ Ö ÑÑ Ò ÑÑ Ò Ò ÒØ ÓÐ ØÐÐ Ò Òº
98 ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ¾º¾º½ ÌÑÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ö Ó Ø Ô Ù ÓÒ ÙÒ Ø Ó g ÓÐÐ ÓÐ Ô Ö Ñ ØÖ º Î Ô ØÓ Ò Ò ØØ ÐÝ ÙØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ g ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ ÒÓ ÒØ ÙØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ g ØÙÐÓ ÆÝØ ÑÓ ÔÓ Ó ÓÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÓØ ÓÚ ØØ º Ë ÑÓ Ò Ú Ø ÔÓ Ó ÓÐ ÑÓ ÓÒ Ñ ÒØ ØÙØ º ÂÐ ÐÐ Ò Ñ ØÝÒ Ú Ó ÖÚÓÒ g ÑÖ Ø ÐѺ
99 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ¾º¾º¾ ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù À Ðй Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ÓÒ Ð Ù Ð Ù ÙÒ Ø Ó Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ Ó Ð Ù ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ù ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ¹ ÖÚÓÒ ØÝÝÔÔ Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÓÒ Ð Ù ÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ñ Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó Ó Ð Ù Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ Ñ Ù Ò ÖÚÓÒº
100 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ Ë ÙÒ Ø ÓÒ g ÙØ Ù Ö ÙÑ ÒØ ÐÐ a ÐÑ Ø Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ò ÚÐ ØÝ µ g a ÃÙØ ÙØØ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ g ÖÓÓÐ ÚÓ ÓÐÐ Ð Ù º À ÐÐ¹Ó ÐÑ ÚÓ Ò Ð Ñ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ø Ó ÐÙØ Ò ØÐÐ ÖØ ÙØ Ù º ÌØ Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ Ý ÝÒÒ ØÒ Ñ Ö ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ ÙÒ Ø Ó ½º º µ Ó ÙØ ÙØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÙ ÙÒ Ø ÓØ º ½¼¼
101 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ÙÒ Ø Ó ÙØ ÙÒ Ñ ÒØ ÓÒ À Ðй Ð Ò ÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ò Ó º ÃÙØ ÙÒ Ú ÒØÑ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ú ÒØÑÐÐ ÙØ ÙØØ Ú Ð Ù ÙÒ Ø Ó ÐÓÔÔÙÙÒ Ò Ò ÐÚ ÙÒ Ø Ó f ÓØ ÒÝØ ÙØ ÙØ Òº ÃÙØ ÙÒ Ö ÙÑ ÒØØ Ò Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ Ú Ð Ó Ø Ú Ø ÙÒ» Ó ÓÒ Ô Ó Ì À ÐÐ ÔÓ ÐÚ Ø Ù ÑÑ Ø ÑÙ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Øº ÌÑ ÓÒ Ò Ò Ò Ó Ò Ð ÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ñ º ½¼½
102 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ÐÓ Ø Ø Ò ÙØ ÙØØ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ò ÑÑ Ø ÒÒ Øº Ë ÓÒ ÑÙÓØÓ f ÑÓ 1 Ú Ø 1 ØÙÐÓ 1 Ú Ø 2 ØÙÐÓ 2 Ú Ø 3 ØÙÐÓ 3 º Ú Ø m ØÙÐÓ m ÅÙ Ø Ö ÓÒ Ò Ò Ý ØÙÐÓ ÐÐ Ú Ø º ½¼¾
103 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ Ç Ò Ö Ò Ú Ð ÒÒ Ô ÖÙ Ý ÝÑÝ ÓÒ ËÓÔ Ú Ø Ó ÑÓ 1 Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ØÓ Ò ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÚ ØÙ ÒÒ Ø Ó ÐÐ ØÑ Ý ÝÑÝ Ö Ø º ÃÙÒ ÑÝ ÑÑ Ò Ð ÒÒ ÑÑ ÐØÑÑ ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ð ÒÒ ÑÑ Ò Ø ÑÓ ÓÚ ØÙ ÒØ Ú Ø Ú Ø º ½¼
104 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ½º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ x Ò Ò Ø Ø Ò Ò ÓÔ ÃÓÖÚ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò x Ó Ò Ò ÒØÝÑ Ø ÒÒ Ò ÖÚÓÐÐ Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ Ä Ò Þ Ò Ð Ò ½º µ Ò º Ì Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÔÙ Ø Ù Ý Ò ÖØ Ø Ò Ñ ÒØ Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÐÐ ÑÙÓ ØØ Ú ÑÙ Ø Ô Ó ÓØ Ò Ø ÖÚ Ø Ð ØØ Ú Ø Ó ÑÙÙØØÙ Ò x Ö ÒØÝÑØ Ø Ñ Ò Ú Ö ÓÔ ÓÒº ÌÓØ ÙØÙ Ø ÓÐÐ Ò Ú Ø Ñ Ò ÓÔ ÓÒ º½µº ¾º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ Ð Ú Ú ³ ³ Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÖÚ Ø º ½¼
105 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ Ó Ò Ú Ó c Ò Ò Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÓÒ Ú ÒÒ ØØÚ Ò ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ú ÒÒÝ ÒÒ ÐÐ ÓØØ Ò Ò ÓÒ Ó Ò ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓ cº º ÂÓ ÑÓ 1 ÓÒ ÑÓÒ Ó ÑÓ ÑÓ 1 ÑÓ 2 ÑÓ 3... ÑÓ k µ Ú ÒÒ ØÒ Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÑÙÓØÓÓÒ Ð Ù 1 Ð Ù 2 Ð Ù 3... Ð Ù k µ ÑÙØØ Ø ØÒ Ó Ò Ò Ð Ù i Ú Ð Ú ÒØÑØØ Ö Ø ØÒ ÓÚ ØØ Ó Ò Ò ÑÓ i Ð Ù i Ò ÐÐ ÑÓ ÐÐ ÓÚ ØÙ ÒÒ Ðк ½¼
106 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ÂÓ ÑÓ 1 Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÚØ ÓÚ Ý Ø Ò Ò Ò Ú ÒÒÝ ÖÖÝØÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÙÖ Ú Ò ÒØ Ò ¾ º º º ÔÓÒÒ ØÙÒ Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ò Ò Ø ÝØ ÓÖÚ Ù Ø ÙÒÓ ØÙÚ Ø Ò Ò Ø Ø Ò Ú Ò Ø Ò ÓÔ Ñ ØØÓÑ Ò ÒØ Òº Æ Ò ÑÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÝÚÝÝ ÐÙ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ò Ò ÒØ º ÌÓØ ÙØÙ Ø ÓÐÐ ÑÙ Ø Ø Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ò Ø ÑØ Ú ÒÒÝ Ø º½µº ½¼
107 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ÂÓ ÑÓ 1 Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÓÔ Ú Ø Ý Ø Ò Ò Ò Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ö Ò Ú Ø 1 ØÙÐÓ 1 ½º Ë Ú ÒÒ ØÒ Ú Ø 1 Ó ÓÒ Òº ¾º ÂÓ ØÙÐÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ò Ö Ò ¾ º º º Ó ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÙÙØ Ò ÙÖ Ú Ò ÒØ Òº º ÂÓ ØÙÐÓ ÓÒ ÌÖÙ Ò Ò ÙØ ÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ð ØØÙ ÓÒ Ð Ù ØÙÐÓ 1 Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò Ú ÒØÑØغ ½¼
108 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ Ù ¾º¾º¾ ÂÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÐ ÙÖ Ú ÒØ Ó ÓÒ ÖØÝ Ò Ò Ú ÒÒÝ Ð Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÔØØÝÝ ÓÒ Ò Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ f ÓÐ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ÙÑ ÒØØ Ò Ð Ù Ö ÙÑ ÒØØ ÖÚÓÐÐ º ½¼
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
x α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º
Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÓ ØÛ
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò