k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
|
|
|
- Akseli Mikkonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò
2 ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ½½ Ð Ø ÚÙ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ È Ò Ë Ò Ð Ò ØØ ÐÝ ÑÙÐØ Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò Ú Ò Ò Ø ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ò¹ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ö Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÌÝ Ø ÐÐÒ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ ØØ ÐÝØ Ô ÓÒ Ú Ö Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Òº Ê Ö ÓÒ ÐÝÝ ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚÙÙ Ù ØØ º È Ö ÒØ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ Ð Ò ¹ Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ó Ù Ø Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ò Ø Ð ÒØ Òº ÍÙ ÐÙÔ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Òº Ù Ò ÔÖÓ Ø ÝØØÚØ Ý Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ò Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ý ÒÑ Ò Ø ÐÑ Òº ÌÑ ØÝ ÓÓ ØÙÙ Ô Ø ÖÚ ØØ Ú Ò Ø ÓÖ Ò Ø¹ ØÑ Ò ØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÓÖ Ò Ð Ø ØÒ Ò Ò Ø Ù Ø Ð ØØÝÚØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÝÔ ÖÔ Ö ¹ Ñ ØÖ Øº Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ÐØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Øº Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ò Ø ÐÐÒ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ º Ë ÑÙÐÓ ÒØ Ú ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Ø Ö Ö Ó¹ÓÒ Ð¹ Ñ Òº Ë ÙØ ÑÙÐÓ ÒØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÐÙÔ Ú Ú ÖÖ ØØÙ Ò Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Òº
3 ÁÁÁ ÄÃÍË Æ Ì ÇÐ Ò Ø ÒÝØ Ò Ø ÒØÝ Ò Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ò Ð Ò ØØ ÐÝÒ Ð ØÓ ÐÐ ØÓ Ñ Ò ØÙØ ÑÙ ÔÙÐ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ ÓÐÓ Ò ØÙØ ¹ ÑÙ ÖÝ Ñ º Ì ÓÒ ØØ ÙÙÖ Ø ØÓ Ò ØÝ Ò Ó ÐÐ ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ ÐÐ ÚÙ Ø ØÝ Ò Ò Ú Ð ÒÒ Ó Ù Ø º Ä Ø ØÓ Ò ØØ ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ø Ò ØÓ Ñ ÒÙØØ Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙ Ø º Ã ØÒ Ò Ð Ò ØØ ÐÝÒ Ð ØÓ Ø ØÝ Ò Ö ÐÐ Ø ØÙ Ñ Ø º Ì ÑÔ Ö ÐÐ ¾ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ì ÖÑÓ ÇÔ Ð Ò ØÙ ½ ¾¼ Ì ÅÈ Ê
4 ÁÎ ËÁË ÄÄ Ë ½º ÂÓ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ Ì ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÖÓÛÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ò ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ÙÐÓØØ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ à ÙÐÓØØ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÂÓ ØÓÔØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Ä Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ºÄ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
5 Î Ì ÊÅÁÌ Â Ë Å ÇÄÁÌ Å Å Å Ë ÊÉ ÄÇǹ Î ÀÅÅ N R C E[X] Cov(X, Y ) m(x) k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) trace(x) Å Ö ÓÚ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Å Ö ÓÚ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ËÕÙ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ê Ø ÓÒ Ð ÉÙ Ö Ø Ä Ú ¹ÓÒ ¹ÓÙØ ÖÓ ¹Ú Ð Ø ÓÒ À Ò Å Ö ÓÚ ÅÓ Ð Ô ÐÓ¹Å Ö ÓÚ¹Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ù Ò ÔÖÓ Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ú ØÓÖ Ò x Ô¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÐÚ Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø x Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ØØ ÙÒ Ø Ó Ñ ØÖ Ò X Ð
6 ½ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ Î Ð Ø Ò Ò Ø ÒØÝ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ÓÒ ÓÔÔ ¹ Ñ ÓÒ ÐÑ Òº ÃÓÒ ÓÔÔ Ñ ÓÒ ÐÑ Ø ÐØÚØ ÑÙÙÒ ÑÙ Ö Ö Ó¹ ÐÙÓ ØØ ÐÙ¹ ÓÒ ÐÑ Ø Ó Ò Ö Ø Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Øº ÌØ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚÒ Ø ÓÖ Ò ÐÔ ÝÑ Ò Ò ØØ Ú Ø ÓÐ Ñ ÓØÓÒØ Ø ØÝ ÓØ Ò Ø¹ Ø ØÙÐ Ö Ø Ô Ð ÓÒ Ò Ø ÒØÝ Ò ÙÔÔ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ º Ì Ø ÝÝ Ø Ö Ò Ò ØÝ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ º Å ÓÐÐ Ò ÐÙ ÙÒÒ Ò Ø Ò ÚÙÓ ØÒ ÐÙÚÙ ¾ Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø ¹ Ø ÔÖÓ Ø Ó ÓÒ ÚÐØØÑØ ÒØ Ù Ò ÔÖÓ Ò ÝÑÑÖØÑ Òº Ë ÐÐ ÓÚ Ø Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ Óº ËØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò Ð ØÒ Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ ÚÙÓ ÑÙÙØ Ñ ÑÙ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò ÔÖÓ ÓÙ Ó Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð º Æ Ø ØÖ ÑÔÒ Å Ö Ó¹ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÒ Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ º ÃÓ Ö Ò ØÝ Ò Ó Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÝØØ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ò ØÝ Ò ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÔ Ñ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ ÓÒ Ý Ò Ô Ö Ò¹ Ø Ø ÝØ ØØÚØ Ñ Ò Ø ÐÑغ ÆÑ Ø ÐØÚØ Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÝØØ Ó Ø Ø Ø ÐÐÒ ÔÓ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ñ ÓÐÐ ØÙ Ö Ó ØÙ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÖ Ý Ò ØÝ Ò Ð ÙÙ Ò ÔÙ ØØ ÐÔ ÐÙÚÙ ¹ Ø ØÒ ØÖ Ý Ø Ý ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Òº Ë ÐÐ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº à ÒØ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ø¹ ØÝÝ ÝØ ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ú Ò Ñ ÝØ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÑÖ ØØ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÝØÒÒ ¹ Òº Æ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ø Ò Ù ÑÑ Ò ÝØ ØØÚØ ÔÓ Ò Ò Ò ÓÚ ÐØÙÑ Ø Ö Ð Ò Ø Ð ÒØ Òº ÌÑÒ Ð Ò ØÙÐ ÑÑ ÙÓÑ ¹ Ñ Ò ØØ Ù ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÝØ ØÒ ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ÙØ ÙØ Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ º ÆÑ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ø ÔÝÖ Ø ÑÓ Ñ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø Ø Ø ÝÝ Ø ÝÒ ÐÝ Ý Ø ÐÔ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ÝØ ØØÚØ Ô ÖÙ Ñ Ò Ø ÐÑغ Ì ÓÖ Ò Ú Ø Ô ÒÓ ÐÓÔÙ ÓÚ ÐÐ Ò ÐÙÚÙ Ù Ò ÔÖÓ Ý Ò Ö¹ Ø Ò Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ú ÖØ Ð Ò ØÙÐÓ Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ø Ú Òº ÌÑÒ Ð ØÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔÓ Ò Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò Ñ ¹
7 ½º ÂÓ ÒØÓ ¾ ÓÐÐ Ø ÓÚ ÐØÙÚÙÙØØ Ö Ð Ò Ø Ð ÒØ Òº
8 ¾º ËÌÇà ËÌÁË Ì ÈÊÇË ËËÁÌ ÌÓ ÐÐ ÙÙ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ Ú Ø Ý Ø Ñ Ø ÚØ Ù Ò ÓÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò ¹ Ú ÐÐ Ø ÐÚ Ýݹ ÙÖ Ù Ù Ø Ø º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ø ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ ¹ Ñ Ò ØÓ Ø ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ó Ø Ó Ù ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ º Ñ Ö¹ Ñ ÐÐ Ö Ø Ó Ø ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ØÓ Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØРй к Ë ØÙÒÒ ÔÖÓ ÓÒ ÙÚ Ú Ò Ñ ÐÐ Ð ØØÝÝ Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ò ØÙÒÒ ÙÙØØ º ¾º½ Ì ÓÖ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ω Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ Ó Ø F ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø Ø Pº Ì Ô ØÙÑ Ò ÓÙ Ó F ÙØ ÙØ Ò ÑÝ σ¹ Ð Ö º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù Ò x : Ω T R n Ñ T ÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ½ º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ñ Ö ØÒ x(t) Ø x t Ò Ö Ð Ø ÓØ x(ω, t) ÙÒ ÒÒ Ø ØÒ ω Ωº ÌÖ ÓÒ ÙÓÑ Ø ØØ t T : x(t) ÓÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÐÐ R ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÐÐ Ù ÑÔ ÙÐÓØØ Ò Òº Â Ø Ó ÐÑ Ò Ö ÙÓÑ ÙØÙ Ø ØØ Ð ÑÑ ØÑÑ ØÙ¹ ÐÓ Ø Ù ÑÔ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Ë ØÙÒÒ ÔÖÓ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ø ÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÙ ÓÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ º Ê Ð Ñ ÐÑ Ò Ö Ø ÐÑ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ ÓÒ Ù Ò ÐÙÓÒØ Ú ØÙØ Ö ¹ Ø ÐÑÒ ÑÙÙØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ t N ØÐÐ Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ¾ º ÌÓ Ò ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ó Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ÝØ ØØÚØ ØÓ Ø Ø Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ ¹ º È Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Ò T ÓÐÐ Ñ Ö R Ò Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò Ø ÙÚ ¹ ¾ º ËØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ð ØØÝÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù¹ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð x t = x 1 Ò Ø ÐÐ t Ò Ò ØÐÐ Ò Ø Ð Ò Ð ØØÝÚ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F t (x 1 ) = P(x t x 1 ) º Ö ÐÐ ÐÐ ÑÖÐÐ Ò Ø¹ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÔÖÓ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø ÓÒ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º Ë ÐØ Ò t = (t 1, t 2,..., t k ) Ò Ø Ø ØÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ Ñ¹ Ö Ø ÐÐ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ù¹ Ö Ú Ø F t (x 1, x 2,..., x k ) = F xt (x 1, x 2,...,x k ) = F xt1,x t2,...,x tk (x 1, x 2,...,x k ).
9 ¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Å ÐÐ ÒÒ ØØ Ú Ø ÔÖÓ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÐ ÒÚ Ö ÒØØ ÓÖ ÓÒ Ú Ð ÒÒ ÐÐ ØÐÐ Ò ÔÖÓ¹ ÒÓØ Ò Ø Ø ÓÒÖ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ñ Ö ÔÖÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØÝÚØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÚØ ÑÙÙØÙ Ò ØÓ º ØØ Ñ ÐÐ Ö Ð Ú Ø ÑÙ ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ ÐÐ ÑÑ Ö Ø Ú ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÖÓ ¹ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒÖ Ò ÔÖÓ Ò ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º¾º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ x ÓÒ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ó Ò Ó¹ Ò Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò Ý Ø ÙÑ ØÓØ ÙØØ F xt (x 1, x 2,...,x k ) = F xt+s (x 1, x 2,..., x k ), Ñ t + s T º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ò ÖØ ÐÙ¹ ÚÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ú Ó ÓÚ Ö Ò Ö ÔÔÙÙ Ú Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò Ø Ò ÖÓØÙ Ø ½ º ¾º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ó ÓÙ Ó ØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ò ÓÚ Ø Ö ØØ ¹ ¹Ø Ð º Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ ÓÚ Ø ÑÙ Ø ØØÓÑ ÐÐ ØÙÐ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÒÝ Ý Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÑ Ø Ø ÐÓ Ø º ÇÐ ÓÓÒ i t ÔÖÓ Ò Ø Ð Ò Ø ÐÐ t ÓÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ñ Ö Ø x t = i t º ÂÓØØ ØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÐ ÑÙ Ø ØÓÒ ØØ Ò Å Ö ÓÚ¹ÔÖÓ Ò ØÙÐ ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú ØÓ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ØÓØ ÙØØ ÑÙ Ø ØØÓÑÙÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò Ø ÐÐ t P(x t+1 = i t+1 x t = i t,x t 1 = i t 1,...,x = i ) = P(x t+1 = i t+1 x t = i t ) = p it,i t+1, Ñ p it,i t+1 ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÙÖ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ò Ò ÓÒ ÒÝ ÝØ Ð Ø i t ÙÙ¹ Ø Ò Ø Ð Ò i t+1 º ÃÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º½ Ò Ò Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ò Ò Ø Ð Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÒÝ Ý Ø Ø Ð Ø º ¾º¾º½ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÒÓ ÙØÙÚ Ø ØÙÒÒ ÙÙ Ò ÝØØ Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ð¹ Ñ º Æ Ñ ÙÓÒØ ÙÙÖ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø ÒÓ ÙÔÙÒ Ø º È ÖÙ Ò ÓÒ ÐÙ ÑÖ ØØ Ú ÖÙÙ Ó ÓÒ ØÙÒÒ Ø ÒÝØØ Ø ÙÙÐÙÚ Øº ÌÑÒ Ð Ò ØÙÓØ Ø Ò ØÙÒÒ Ø ÒÝØØ Ø Ó ÐÐ ÒÝØØ ÐÐ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ø Ö Ó ØÙ ÒÑÙ Ò Ò
10 ¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ð ÐÑ º ÄÓÔÙ ÔØØ Ð ÑÑ Ø Ò Ø ÙÓÖ Ø ØÙ Ø Ð ÐÑ Ø Ð ÙÔ Ö ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ö Ø ÙÒº Ñ Ö Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÖ Ø ØØ ÓÙ ÙØ Ò Ð Ñ Ò ÒØ Ö Ð ÑÓ¹ Ò ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ º Í Ò ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ò ÑÖØØÝ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ ¹ Ò Ò ÓÒ ØÓ ÐÐ Ú ÓÔ Ñ ÓØÓÒØ Ò ÐÝÝØØ Ø º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖ¹ Ú ÙØÙÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÒÙÑ Ö Ò Ö Ø Ñ Òº ÁÒØ Ö Ð Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ¹ Ñ Ò ÓÒ Ù Ø Ö Ð Ñ Ò Ø ÐÑ º Å Ò Ø ÐÑ ÓÚ Ø Ñ Ö Ù Ò Ú ¹ Ö ØÙÙÖ ÆÝ ØÖ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Æ ÛØÓÒ¹ ÓØ ¹ Ú Øº Í Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ø Ö Ø Ú Ð Ò ÔÝÖ ÚØ Ö Ø Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð ÖÖ ÐÐ Òº ÁØ Ö Ø Ú Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÑÑ Ð ÐÐ Ð ÙÖ Ø Ù Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÓÒÚ Ö¹ Ó ØÙ Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù º Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÒØ Ú Ø Ø Ó Ò ØÝ ÐÙÒ Ø Ô Ù Ò Ó Ð ÑÑ ØÓ¹ ÐÐ ÓÖ ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÒØ Ö Ð º Æ Ø Ô Ù Ô Ö ÒØ Ø Ø ¹ Ö Ø Ú Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ú Ø Ú º Ò ÒÝØØ Ø Ø Ð ÑÑ Ò ÒÝØØ Ø ¹Ò Ñ Ò Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ØÓ Ñ ÒØ Ô ¹ Ö Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ð ØØ º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ÒÝØØ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ø ÙÑ Ò ÝØØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ò¹ Ð ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÓØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ù Ò Ò ÓÒÒ ØÙº Ò ÒÝØØ Ø ÝØ ØØ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÐÐ Ú Ò Ý ÙÐÓØØ ÓÐÐ ÙÑ º Ò ÒÝØØ Ø ØÓ Ñ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ x p(x 1, x 2,...,x k )º ÐÙ ÐÙ Ø ÑÑ Ú ØÓÖ Ò x () Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò ÔÝÖ ÑÑ ÒÝØØ Ø¹ ÑÒ Ú ØÓÖ Ò x (1) Ò ÑÑ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x (1) 1 ØÐÐ Ò ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø p(x 1 x 2 = x () 2, x 3 = x () 3,..., x k = x () )º ÐÐ Ø ÓÐÐ ¹ Ø ÙÑ Ø ÑÑ ÖÚÓÒ x (1) 1 ÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò ÐÙ ÑÑ ÒÝØØ Ø ÖÚÓÒ x (1) 2 ÐÐ ÓÒ ÑÑ ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø p(x 2 x 1 = x (1) 1, x 3 = x () 3,...,x k = )º ÃÙÒ ÓÐ ÑÑ ÒÝØØ ØÒ Ø Ó ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÙÙ Ò ÖÚÓÒ ØØ Ò x () k ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò x (1) Ò Ò ÙÖ Ú ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ð ØØ ÙÖ Ú ÒÝØ Ú ØÓÖ x (2) ÝØÑÑ Ð Ù ÖÚÓ Ò ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò x (1) ÖÚÓ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÒÝع Ø Ø ØÝÒ Ú ØÓÖ Ò x (t) ÙÑ ÓÒ p(x) ÙÒ t ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÆÝØØ ØÑÑ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ N ÔÔ Ð ØØ ÒÝØ Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÑ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ Ð ÖÚÓÒ E[X] 1 N N i=1 xi º ÎÓ Ò ÑÝ Ó Ó ØØ ØØ ÒÝØ Ú ØÓ¹ Ö Ò ÖÚÓ Ð ØÝÝ ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ØØÝ Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø k
11 ¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø ÙÒ ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ 1 E[X] = lim N N N x (i). i=1 ¾º½µ Ã Ö ÓÒ Ð Ø ØØÝ ØÓ Ò Ò Ò ÝÐ Ò Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ò Ñ ÓÒ Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ò ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò Ø ØÙÐ Ø Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ó Ó Ò Ò ÒÝØ ÝÚ Ý¹ ØÒº ¾º ÖÓÛÒ Ò Ð Ð ÖØ Ò Ø Ò ÙÐ ÚÙÓÒÒ ½ ¼ ØÙØ ÑÙ Ò Ù Ø Ò Ð Ø Ò Ø ¹ Ø Ù º Ë Ò Ò ØØ ØØ Ù Ø Ò Ð ÙÑ Ò Ò ÑÖÝØÝÝ Ò Ò Ø ÖÑÚ Ø ÑÓÐ ÝÝРغ À Ù Ø Ò Ð ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ð ØØ ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÖÓÛÒ Ò Ð ÐÐ ¾ º À Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö Ö ¹ Ø Ø ÖÓÛÒ Ò Ð Ø Ð ÝØÝÝ ÙÚ Ø ¾º½º ÃÙÚ ÓÒ Ø ØÝ Å ØÐ ¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò ÝØ ØØ Ò ÓÖ Ó ÔÖÓ Ò Ø ÐÓ ØÙØ Ø Ò ½¼¼ ÐÐ Ò Ø Ðк 3 Brownin liike 2 1 y x ÃÙÚ ¾º½ Ë ÑÙÐÓ ØÙ ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÓÛÒ Ò Ð
12 º Ê Ê ËËÁÇ Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ØÙØ Ø Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÝØغ È Ö ÒØ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú¹ Ð ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ý º ÌÐÐ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò y i ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ö ÔÔÙÚ Ò ¹ Ð ØØÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x i ÙÖ Ú Ø y i = k α j x j i + ǫ i = α + α 1 x i + α 2 x 2 i α kx k i + ǫ i, j= º½µ Ñ α j, j = 1, 2,..., k ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓØ ÔÝÖ ØÒ Ö Ø Ñ Ò Ñ ØØ Ù Ø Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØØ Ù Ô Ö Ò (x j, y j ) ÐÙ ÙÑÖ N ØÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ ÖØ Ó Ò Ñ ØØ Ù Ô Ö Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ø Ý ØÐ Ò º½ ÑÙ Ø Ö Ó ØØ Ò Ñ ØÖ ¹ ÑÙÓ Ó Y = Xα + ǫ, º¾µ Ñ Y R N X R N k+1 α R k+1 ǫ R N º ÎÓ ÑÑ Ö Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ¹ ØÓÖ Ò α ÝØØÑÐÐ Ñ Ö Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ Ä Ò Ö Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ Ñ ÙÓÒÓ Ø Ø Ô Ù Ó Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð Øع ÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø ÔÐ Ò Ö Ò Òº ÌÐÐ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÝØØ ÔÐ Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ÌÐÐ Ò Ö Ó Ø ÑÑ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó Ò Ò Ú¹ Ð ÐÐ y i = f(x i, α) + ǫ i, º µ Ñ f(, α) ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó α Ý Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Øº ÔÐ ¹ Ò Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ö ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø Ó Ø º ÇÔØ ÑÓ ÒÒ ÔÝÖ ØÒ ÝÐ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ Ò Ú Ö ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÙØ Ò ÑÝ Ð Ò Ö Ø Ô Ù º ÇÒ ÐÑ Ô¹ Ð Ò Ö Ö Ö Ó ØÙÐ ØØ ÝÐ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó Ö Ø Ù º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ð ÝØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÙ ÙÑÑ ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ø Ú Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Òº
13 º ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ Óº ÃÝØÑÑ Ù Ò ÔÖÓ¹ ÐÐ ÙÖ Ú ÝÐ Ø ÝØ ÓÐ Ú ÑÖ Ø ÐÑ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ º¼º½º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ Ó ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ ÑÙ Ø Ö ÐÐ Ø Ý Ø ÙÑ Ø ÓÚ Ø ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Æ Ñ ØÝ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÚ Ú ÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÑÝ Ù Ò ÙÑ º ÅÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Ò Ù Ñ¹ Ô ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙØ Òº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Òº Ì ÖÚ Ø ÑÑ ÑÙÐØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ Ò µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Σº Ìй Ð Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ØØ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ x ÒÓÙ ØØ ÑÙÐØ ¹ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò µ Σ ÙÖ Ú Ø x N(µ, Σ). º½µ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝØØ Ò Ð ØØÝÝ ÝÚ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ý Ò ÐÔ ØÖ ÑÑØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚØ º Ä Ù ½º Å Ð Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x 1, x 2,...,x n ÓÚ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÝ Ò Ò Ý Ø ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ x ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÐÐ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Σº ÌÐÐ Ò ÑÝ x Ò Ó Ú ØÓÖ x ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÐÐ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÐÐ Σ ÓØ Ò x Ò Ú Ø Ú Ø º Ã Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ ÓÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ø º Ù Ò ÔÖÓ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº ÅÙÐØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÝÐ º ËØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÙÓÒ¹ Ø Ò ÚÙÓ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÝÐ º ÅÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÝÐ ØÝÚØ Ù Ò ÔÖÓ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó m(x) ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k(x,x )º ÅÖ ØÑÑ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º
14 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º¼º¾º ÙÒ Ø ÓÓÒ f(x) Ð ØØÝÚØ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó m(x) ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø Ó k(x,x ) ÓÚ Ø m(x) = E[f(x)], k(x,x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ))]. ÌÙÐ ÑÑ Ø Ó Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò Ñ Ö ÒÒÐÐ K(X, X) ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó K(X, X) ij ÓÒ k(x i,x j )º ÁÒ Ø i, j I Ñ ÓÙ Ó I ÐØ Ú ØÓ¹ Ö Ò Ò Øº ÎÓ ÑÑ Ò Ö Ó ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó f ÒÓÙ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÓØ Ñ Ö Ø¹ ÑÑ ÙÖ Ú Ø f(x) GP(m(x), k(x,x )). º¾µ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ý ØÐ Ø º¾ Ò ÑÑ ØØ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó Ó ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÖÚÓ Ö Ô ¹ Ø xº ÀÝ ÝÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó ÙÖ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ø ÑÖ Ø Ø¹ Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÑÖ ØØ Ö ÙÒ ÙÑ º ÇÑ Ò ÙÙع Ø ÙØ ÙØ Ò Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ Ø Ö ÒØÙÚÙÙ º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ô ¹ Ö ØØ Ø ØØ ÙÙÖ ÑÔ ÓÙ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÙÑ º º½ Ê Ö Ó ÌÙØ ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ú Ø ÑÙÙØØÙ ÐØ Ó Ò ØÐÐ Ò Ö Ó Ø ÑÑ y = f(x) + ǫº ÐÐ Ò Ó ÓÐ Ø ÑÑ ØØ Ó Ò ÓÒ Ñ Ø Ù¹ Ñ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÚÓ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ Ö Ó ØØ Ò Ú Ø ÑÙÙع ØÙ Ò ÚÐ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Cov(y i, y j ) = k(x i,x j ) + σ 2 n δ ij, º µ Ñ σ 2 n ÓÒ Ó Ò Ò Ú Ö Ò δ ij ÓÒ ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ ÙÒ Ø Óº ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ ¹ ÙÒ Ø Ó δ ij ÓÒ 1 Ó Ú Ò Ó i = j ÑÙÙÐÐÓ Ò º Ä Ñ ÐÐ ÓÚ Ö Ò Ø Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ ÐÐ ÑÑ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Cov(y) = K(X, X) + σ 2 n I. º µ Ë ÐØ Ò Ñ ØÖ X ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø X Ø Ø Ñ Ò ÝØ ØØÚØ ÒÝØØ Øº ÌÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ø Ø ÒÝØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò [ ] ( [ ]) y K(X, X) + σn 2 N, I K(X, X ). º µ K(X, X) K(X, X ) f
15 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½¼ Â Ø Ó Ò ÓÐ Ø ÑÑ Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ m(x) = º ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø f Ò ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø ØÐÐ Ò ÒÒ ØÑÑ ÑÙÙع ØÙ Ò y X X ÖÚÓغ Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ý ØÐ Ò º Ø Ô Ù ÑÑ f Ò ÓÐÐ ÙÑ f y, X, X N( f, Cov(f )) Ñ f = K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 y, Cov(f ) = K(X, X ) K(X, X)[K(X, X) + σ 2 n I] 1 K(X, X ). º µ º µ º µ ÃÙÒ ÓÚ ÐÐ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÑÑ Ö Ö Ó¹ ØÙÐÓ ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ Ö Ø Ñ ÐÐ Ó ÓÚ ÐÐÙ Ø Ö ÔÔÙ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÝÚ Ò Ò Ñ Ö¹ ØØÚ ÓÑ Ò ÙÙ º º¾ ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ÙÚ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ö Ð ¹ ÐÙÚÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ k : S 2 R ØÐÐ Ò x,x S ÔØ k(x,x ) Rº ÌÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ k ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÙÒ Ø Ó º Ù Ò ÔÖÓ ØÖ Ó ÓÐ Ú Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò Ó ÓÙ Óº ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÖØÓ ÓÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÐØ Ö ÐÐ Ø ÒÝØØ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ú ÖÖ ØØÙ Ò º ÃÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÝØ ØÒ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÔ Ñ Ø ¹ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐØ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò K Ð Ó K(X, X) ij k(x i,x j ) ÑÖ Ø ÐÑÒ º¼º¾ ÑÙ Ø Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÐØ Ú ØØ Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐРРݹ ÑÑ Ø ØØÝ Ú Ø ÑÙ ÑÝ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ º Ì ÑÑ Ò ÒÒ Ò ØØ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÓ Ò ÒÓ Ò K(X, X) ij = K(X, X) ji ÓÐÐÓ Ò ÑÝ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò k(x i,x j ) = k(x j,x i )µº ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ Ò Òº ÈÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ ÝÝ Ø Ö Ó ØØ ØØ x Kx ÓÒ ØÓØØ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x C n \{}º ÙÒ Ø Ó ¹ Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ ÝÝ Ø Ò ÑÑÒ ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð Ø ØÓ Ñ Ö Ø Ó Ø º Å Ð Ú ÑÑ ØØ ÝØØÑÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ Ò Ò Ý ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐРѹ Ö Ø ØØÝ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k(x,x ) ÚÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ò Ö ÔÔÙÙ ÑÙÙØØÙ Ø x x º Ë ÒÓÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ø Ø ÓÒÖ Ó ÓÒ Ú Ò ÖÓØÙ Ò x x ÙÒ Ø Óº ÃÓ Ø Ø ÓÒÖ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ú Ò Ò
16 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½½ ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ò ÓÚ Ø Ø Ø ÓÒÖ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÚÓ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÖ ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ø º ÂÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k ÓÒ Ú Ò ÒÓÖÑ Ò x x 2 ÙÒ Ø Ó Ò Ò ØÐÐ Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÓØÖÓÓÔÔ º Á ÓØÖÓÓÔÔ Ò Ò ÓÚ ¹ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÖÖÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º È Ø ØÙ¹ ÐÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ k(x,x ) Ö ÔÔÙÚ Ø Ô Ð ØÒ x Ò x Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓ Ø x x º ËØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ò ÐÝ Ó Ñ Ò ÝØ ØÒ Ò Ò Ò ¹ Ð ÐÐ Ø Ø ÙÚÙÙØØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÑ Ø º ÅÖ Ø ÐÑØ Ð Ø ØÓ ¹ Ò Ð ÐÐ Ø Ø ÙÚÙÙ Ø Ö ÚÓ ØÙÑ Ø Ð ÝØÝÚØ Ñ Ö ÐÔÓ Ø Ð ¹ ØÝØØÚ Ø Ö Ø ½¼ º Ë ÙÖ Ú ÝÑÑ ÓÐÑ Ò ÝÐ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑØ ÙÒ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÐÔ º Ò ÑÑ ØØ Ð ÑÑ Ò Ð ØÝ ÔÓÒ ÒØ Ð ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ë µº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º Æ Ð ØÝ ÔÓÒ ÒØ Ð ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k SE ÓÒ ÑÙÓØÓ ( k SE (x,x ) = exp (x ) x ) T P 1 (x x ), 2 Ñ P = diag(l 2 ) Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l Ð Ø Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò ÚÐ Ø Ø ¹ ÝÝØغ ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÐÚ ØØ k SE ÓÒ Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ØØ Ò ÑÝ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ò Ð Ð¹ Ð Ø º ÌÐÐ Ò Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÝÚ Ò Ð º Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÝØ ØÒ Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø Ù Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Óº ÃÙÚ º½ Ò ÑÑ Ñ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ö ÔÔÙÙ ÒÝØØ Ò Ú¹ Ð Ø Ø ÝÝ Ø Ñ ÙÚ ÓÒ ÑÝ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ñ Ö ¹ ÙÒ Ø Óغ ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÑ Ñ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ l Ú ÙØØ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò Ð ÝØ Òº Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÖ ØÑÑ Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k Matern ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ( ) k Matern (x,x ) = 21 ν 2ν(x x ) Γ(ν) T P 1 (x x )) K ν 2ν(x x ) T P 1 (x x ), Ñ P = diag(l 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ø ν, l > Γ ÓÒ ÑÑ ÙÒ Ø Ó K ν ÓÒ ÑÙÓ ØØÙ Ð Ò ÙÒ Ø Óº Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÔÖÓ Ò Ò Ð ÐÐ Ò Ò Ö ÚÓ ¹ ØÙÚÙÙ ÓÒ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ν ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ν ÖØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º ÃÝØ ØØ Å Ø ÖÒ Ò
17 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½¾ SE kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi l=1 l=3/2 f(x) näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º½ ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø ÓÚ Ø ØØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ÒÝØØ Òº ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l {1,3/2}º ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ù Ò ÔÖÓ ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÓÐ Ð Ò Ý Ø Ð Ù Ò ÝØ ØØ Ñ Ö Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÌÑ ØØ ÓÐÐ ØÓ ÚÓØØÙ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ø ØØÝ Ö Ð Ñ ÐÑ Ò ÔÖÓ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ º ÃÙÚ º¾ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ø νº Æ ÑÑ ÙÚ Ø ØØ Ö ν Ò ÖÚÓØ ÚØ Ú ÙØ Ñ Ö ØØÚ Ø ÒÝØØ ¹ Ò ÚÐ Ò ÓÚ Ö Ò Òº Ë ÐØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÖÓ Ú Ø ÙÙÖ Ø ØÓ Ø Ò Ð Ý Ò Ù Ø Ò ÐÐ Ô Ò ÑÑÐÐ ν Ò ÖÚÓÐÐ ØÙ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ð ¹ Ò Ý Ø Ð Ù Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ν Ò ÖÚÓÐÐ ØÙº ÃÙ Ø Ò Ò Ú ÖÖ Ø ØÙÐÓ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ØÙ Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð ÑÔ º Î Ñ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝÑÑ ÐÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Êɵº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ê Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k RQ ÓÒ ÑÙÓØÓ k RQ (x,x ) = Ñ P = diag(l 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ø α, l > º ( 1 + (x ) x ) T P 1 (x x α ), 2α
18 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Matérn kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi ν=3/2 ν=5/2 f(x) näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º¾ ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù ¹ Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø Ó¹ Ú Ø ØØÙ ÑÓ Ò ÒÝØØ Ò Ù Ò ÙÚ º½º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l = 1 ν {3/2,5/2}º Ê Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø Ë ¹ Ó¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø Ô Ò Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ ÖØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º ÃÙÚ º Ò ÑÑ Ñ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø αº À Ú Ø ÑÑ ÙÚ Ø ØØ ÙÒ α = 2/5 Ò Ò ÒÝØØ Ò ÚÐ Ò Ò Ó¹ Ú Ö Ò Ô Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÑÙ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ø ÑÑ Ò Ó Ø ÒÓÐÐ ÒÝØØ Ò Ø ÝÝ Ò Ú º Ë ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ý ÐØÒ Ë ¹ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ØÙ Ò ÚÐ º ÃÙØ Ò ÙÓÑ ÑÑ ÐÐ ÓÐÐ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò ¹ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ú ÙØØ Ú Ô Ö Ñ ØÖ º ÃÙØ ÙÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ ÓÖÓ Ø ÑÑ ØØ Ò ÓÚ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÚØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º º Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ØØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØݹ Ú Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Òº ÇÒ ÐÚ ØØ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ÓÐ Ñ Ò Ø Ô Ù ÐÔÔÓ Ø ØÚº ÇÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ Ó Ò Ø Ô Ù
19 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ RQ kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi α=2/5 α=5 f(x) näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø ÓÚ Ø ØØÙ ÑÓ Ò ÒÝØØ Ò Ù Ò ÙÚ º½º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l = 1 α {2/5,5}º ÓØ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ ÝÝ Ø Ð Ý Øº Ñ Ö Ó ÙÓ¹ Ñ ÑÑ ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ØØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ð Ò Ò ØÐÐ Ò ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ó ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ë Øº Ë ÐÐ Ë ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º Ì Ø Ô Ù Ð ÐÐ Ú Ð Ë Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ú Ð ÒØ ØÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ó ÐÐ Ö Ð ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ú Ð ¹ Ø Ò Ø Ò ÓØ ØÙÒØÙÚ Ø ÒØ Ú Ø Ô Ö Ò ØÙÐÓ Òº ÂÓ Ø Ô Ù ÝÐÐ ÓÐ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐ Ø ÑÐÐ Ò Òº Ð Ø Ô Ù ÐÙ ÑÑ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÐÐ ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø Ô Ö Ò Ñ Ð¹ Ð Ò ÓÔØ ÑÓ Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º à ØØ Ð ÑÑ Ô ÖÙ Ø Ø ÝÐ Ø ÝØ ØØÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ò ÝÔ Ö¹ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Òº Å Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ö Ø ÒÚ ¹ Ð Ó ÒØ º Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú Ð ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÐÐ ÒÒ ØØ٠й Ð ÓÔ ØÙ ÒÝØØ ÐÐ Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ØÙØ ÑÑ Ø ÑÓ ØÙ Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÒÙ ØÙ ¹ Ú Ö Øغ Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÝÑÑ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ý ØÝ Ó ¹ Ø ÑÑ Ò ÐÔ º Â Ø Ó Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú Ð ÒØ Ò Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ Ø¹ Ö Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ÙÑ ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ
20 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º½º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ p(x a,b) Ñ Ö Ò Ð ÙÑ b Ò ÝÐ ÓÒ p(x a) = p(x a, b)p(b a)db, Ñ p(b a) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÒÒ ØØÙÒ aº ÃÝØØÑÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ º º½ Ø Ø Ö ÒØÙÚÙÙØØ Ù Ò ÔÖÓ Ò º Ø Ô Ù ¹ ÓØØ Ñ ÐÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÑÑ log(p(y X, θ)) = 1 2 yt (K + σni) 2 1 y 1 2 log( K + σ2 ni ) n log 2π. 2 º µ ÐÐ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ö Ò ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò ÓØ Ò ØÓ Ø ÑÑ Ø º ÌÓ ØÙ º ØÐ Ø º Ú Ø ÑÑ ØØ y N(, K + σn 2 I)º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò y Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( p(y X, θ) = (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 ) 2 (y )T (K + σn 2 I) 1 (y ) º½¼µ ( = (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 ) 2 yt (K + σn 2 I) 1 y. º½½µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ø ÐÓ Ö ØÑ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÝØØÑÐÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ð Ù ÒØ ÑÑ log(p(y X, θ)) = log ( ( (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 )) 2 yt (K + σn 2 I) 1 y º½¾µ = n 2 log(2π) 1 2 log( K + σ2 ni ) 1 2 yt (K + σ 2 ni) 1 y. º½ µ º º½ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ø Ô ØÙÙ Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú ÖÖÓ ÖÖÓ ÐØ Ò Ýع Ø Ò Ý Ò ÒØ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ö ÖÖÓ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ w Ò Ò Ð ØØÝÚ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ θ ÐÓÔÙ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒÒ ØØ M º Ð ÑÑÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ØÙØ ÑÑ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ú Ð ÒØ ÝØØ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓ ¹ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝØغ p(m i y, X) = p(m i)p(y X, M i ) p(y X) = p(m i)p(y X, M i ) i p(y X, M i)p(m i ), º½ µ Ñ p(m i ) ÓÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò M i ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X, M i ) ÒÝØØ ¹ Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ç Ó ØØ ÓÐ Ú Ò Ø ÖÑ Ò p(y X, M i ) Ú ÙØÙ Ø
21 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒÒ ÔÓ ÑÑ Ø Ö ÑÑ Ò ÙÖ Ú Ò ÖÖÓ Ò Ý Ø Ý º Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ø p(θ X,y, M i ) = p(θ M i)p(y X, θ, M i ), º½ µ p(y X, M i ) Ñ p(θ M i ) ÓÒ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÝÔ ÖÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X, θ, M i ) ÒÝع Ø Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Æ Ñ ØØ ÓÐ Ú Ø ÖÑ ÓÒ Ø p(y X, M i ) = p(y X, θ, M i )p(θ M i ) dθ, º½ µ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ º ÌÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒØ Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø ¹ Ú ÐÐ Ò ÙÒ ØØ Ø ÙØÓÑ ØØ Ø ÓÑÔÖÓÑ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ Ò ÚÐ Ðк ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ç Ñ Ò Ô ÖØ Ú Ø¹ Ó Ø Ø Ô Ù Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ð ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ñ Óй Ð ÑÑ Ò Ý Ò ÖØ Ò Òº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ý Ò Ò Ø ÖÑ ÒØÝÝ ÑÝ Ý ØÐ ¹ º½ Ó Ø ØØ ÓÐÐ ÒØÙ Ø Ú ÑÔ ÔÓ Ø Ç Ñ Ò Ô Ö ØØ Ò Ú ÙØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒÒ º Ð ÑÑ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÚÙÓÖÓ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝØØ p(w y, X, θ, M i ) = p(w θ, M i)p(y X,w, M i ) p(y X, θ, M i ) = p(w θ, M i )p(y X,w, M i ) p(y X,w, Mi )p(w θ, M i ) dw, º½ µ Ñ p(w θ, M i ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X,w, M i ) ÒÝØØ Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ó ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú ÑÓÒ ÙÐÓØØ ÒØ Ö Ð ¹ ÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÝÐ Ø Ô Ù Ö Ø Ú ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÙÑÑ ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò Ö Ð Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Òº ÇÒÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ ÝØ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÓÐ Ø Ø¹ Ø ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò Ó Ò Ò ÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ ÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø Ò ¹ ÐÝÝØØ Ø Ö Ø Ú º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ Ò Ñ ÑÓ ÒØ º ÂÓ ÑÑ Ó ÑÑ Ò Ð Ù Ò log(p(y X, θ)) = n log(2π) log( K+σ2 ni ) 1 2 yt (K+σnI) 2 1 y Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ º Ä Ù ÒØÝÚ Ø ÖÑ n log(2π) ÓÒ Ú Ó ÓÐÐ ÓÐ ÙÓ¹ 2 Ö Ò Ø Ú ÙØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Òº ÀÙÓÑ ØØ Ú Ø ØÖ ÑÔ ÓÒ Ø ÖÑ 1 log( K+ 2 σn 2I ) Ó Ö ÔÔÙÙ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ø K + σ2 ni ØØ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÒØÙÐÓ Ø º ÐÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ú ÙØÙ Ú ÙÒ Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ØÙÐ ÑÓÒ ÑÙØ ¹ ÑÔ º ÅÓÒ ÑÙØ ÙÙ ÐÐ Ø Ö Ó Ø ÑÑ Ø Ø Ô Ù Ñ ÐÐ Ò Ý Ý ÒÓÔ Ñ¹
22 º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ô Ò ÑÙÙØÓ Òº ÃÓÐÑ Ø ÖÑ 1 2 yt (K + σ 2 n I) 1 y Ö ÔÔÙÙ ÒÝØØ Ò ÓÚ ØÙ ¹ Ø º ÌÑÒ Ø ÖÑ Ò Ú ÙØÙ Ú ÙÒ Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ØÙÐ Ý Ò ÖØ ÑÔ ØÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÓÚ ØØÙÙ ÓÑÑ Ò ÒÝØØ Òº ÌØ Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÙØ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÔÝÖ ÚØ Ø Ô ÒÓØØ Ñ Ò ÓÚ ØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙØØ º ÇÔØ ÑÓ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ θ = [θ 1, θ 2,...,θ k ] T Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ý ØÐ Ò º Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ó Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò θ i Ù Ø Ò log(p(y X, θ)) θ i = 1 2 yt K 1 K K 1 y 1 ( θ i 2 trace K 1 K ). º½ µ θ i º º¾ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ Ø Ò ÒÝØØ Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ø Ø ÒÝØØ Òº ÇÔ ØÙ ¹ ÒÝØØ Ø ÝØ ØÒ Ñ ÐÐ Ò ÓÔ ØØ Ñ Ò Ø Ø ÒÝØØ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÓÔ ÚÙÙØØ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒÒ º Å ÐÐ Ò ÓÔ ÚÙÙ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÙÙÒ ÚÓ Ò ÝØØ Ö Ð Ñ ØØÓ Ñ Ö 1 ¹ 2 ¹ ¹ÒÓÖÑ º Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ ÚÓ Ò Ø ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÐÐ ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò Ö Ø ÚÓ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ú Ð Ó ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Òº Í Ò ÝØ ØÒ Ò Ò ÙØ ÙØØÙ v¹ ÖØ Ø Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ Ò ÒÝØ ÓÙ Ó Ø Ò Ñ Ò Ó Ó Ò Ö ÐÐ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ØÐÐ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ý Ø Ò v ÔÔ Ð ØØ º ÌÐÐ Ò ÓÔ ØÙ ¹ Ò ÝØ ØÒ ÚÙÓÖÓÐÐ Ò v 1 Ó ÓÙ Ó Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒØ º ÐÐ Ñ Ò ØØÙ ØÓ Ø Ø Ò Ý Ø Ò v ÖØ Ó ÐÐ ÖÖ ÐÐ ÝØ ØÒ Ö Ó ÓÙ Ó Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒØ Òº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ v Ò Ú ¹ ÓÙ ÙÑÑ ÓÔ ØØ Ñ Ò Ý Ù ÑÔ Ñ ÐÐ ØÐÐ Ò Ð ÒØ ÑÖ Ð ÒØÝݺ Ì Ô Ù Ò Ó v ÓÒ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý ¹ÔÓ ¹ Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ÄÇǹ ε ØÓØ ÙØÙ Ò ÓÒ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐÐ ÚÓ ¹ Ò ÓÒÒ Ú ÒØ Ð ÒØ ÑÖ ÙÓÖ Ú Ú Ò ØÓØ Ù Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ º ÄÓ¹ ÔÙÐÐ Ñ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ó ØÓ Ñ Ô Ö Ø Ò Ú Ð ØÙÒ Ú Ð Ó ÒØ Ö Ø Ö Ò Ñ Ð ÓÔ ØØ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ Ò ÒÝØØ Øº ÌÓ Ò Ò Ù Ò ÝØ ØØÚ Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ ÓÒ Ð Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ÝØ ØØÝ Ò Ñ ÐÐ Ò ÖÚÓ Ò Ò Ñ ÐÐ º Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ ÓÒ Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ Ò Ò Ò Ø Ô Ù Ó ÝØ ØØÚ Òݹ Ø ÑÖ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò ÓÐ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ Ø Ø Ø ÒÝØØ ÓÙ Ó ½½ º
23 ½ º ËÁÅÍÄ ÌÁÇÌ Î ÖØ Ð ÑÑ Ý ¹ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÐÑ Ò Ô Ö ÒØ Ø ÝØ ØØÚ Ñ Ò Ø ÐÑ º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ØØ Ò ÓÒ ÐÐ Ó ÓÐ ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ Ò ÁÒØ Ð Ò ÓÖ ¾ ÙÓ Ì ¼¼ ¾º ¼ ÀÞ Ù ÑÙ Ø ¾ º Ë ÑÙÐ Ø Ó¹ Ó ÐÑ ØÓÒ ÝØ ØØ Ò Å ØÐ º º½ ÙÐÓØØ Ò Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò ÝØÑÑ ÖÐ Û Ö Ê ÑÙ Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ Å ØÐ ¹ ÓÓ ½ Ö ÒØÝÚ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º È Ö ÒØ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Ó ÔÝÖ ØÒ ÓÚ ØØ Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ ØØ Ù ¹ Ô Ø Ò Ø Ø ÝÝ Ø Ú ÖØ ÑÑ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ù Ò ÔÖÓ Òº Î Ð Ø ÑÑ Ø Ø ØØ Ú ÓÐÑ Ø Ô Ù Ø Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÒ ÐÚ ÝØÝÚÒ Ò Øº Ä Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÓÐÐ ÓÚ Ø Ú Ø Ø Ô Ù Ñ Ö Ú ¹ Ñ Ò Ú ÚÖ Ø ÐÝ Ð ÙÒ Ø Óº ÌÓ ÐØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙ¹ Ð ÓÐÐ ÐÔÔÓ º ÂÓ ÓÐÑ Ø Ô Ù ÓØ ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÒÝØØ Ø Ø ¹ ÚÐ Ò ¼ Ô Ø ÚÐ ÐØ [ 5, 5]º ÆÝØØ ÒÓØÓÒ Ð Ò Ð ÑÑ ÒÝØØ Ò ÒÓÐÐ ¹ ÖÚÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØØ Ó Ò Ø ØÝÐÐ Ú Ö Ò ÐÐ σ 2 ØÑÒ Ð Ò ÓÚ Ø ÑÑ ÝÖÒº Î Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÝÒ ÓÒ Ò Ð ÓÚ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ú ÙÙÖ Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ò Ø º ËÝÝ Ø Ò Ú Ø Ò Ó¹ Ú ÐØ Ñ ÐÐ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù ØØ ØÐÐ Ò Ò Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ n ÓÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø º ÃÝØ ÑÑ ÙÖ Ú Ú Ñ Ò Ú ÚÖ Ø ÐÝ ÙÚ Ú ÙÒ Ø ÓØ f(x) = exp(.3x) sin(3x). º½µ ÃÙÚ º½ º¾ Ò Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ð¹ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ º Ò ÒÒ Ò ÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ð Ó ÓÖ ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø ÝÝ Øº ËÓÚ Ø ØØÙ ÝÖ ÑÙ ØÙØØ ÝØØÝØÝÑ ÐØÒ Ú Ñ Ò ¹ Ú ÚÖ Ø ÐÝ ÒÝØ ÚÐ ÐÐ ÑÙØØ Ú ØØ Ú ÓÒ ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ò Ñ Ø Ú ¹ ÖÓ º ËÓÚ Ø ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ ÝØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ Ø ØÝ Ö Ö Ó ÓÒ Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ ¹ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÓÒÒ ØÙÒ ÑÔ ÐÐ ÒÝØ ÚÐ ÐÐ ÓÐ Ú ØØ Ú Ú ¹ ÖÓ ½ ÖÐ Û Ö Ê ÑÙ Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ Ø Å ØÐ ¹ ÓÓ Ø Ð ÝØÝÚØ Ó Ò Ò Ú Ö Ó¹Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº Ù ÒÔÖÓ ºÓÖ» ÔÑÐ»Ó»Ñ Øл Ó»
24 º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ½ ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ò Ò Ñ Ò Ò Ò ÓÒ Ú ÑÑÒ Ñ Ö ØØÚº ÌÙÐÓ ÒØ ÑÝ ÓØ Ò Ø ØÓ ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐØ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ø ØÓ Ò ØÙÐÓ Ò ØÝØÝÝ Øй Ð Ò Ù Ø ÙØÙ Ö ØØ Ø º ÃÙÑÑ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ ÓÐ Ú ØØ Ú Ñ Ö ØØÚ ÝÐ ÓÔÔ Ñ Ø º Ð ÙÒ Ø ÓÓÒ ÓÒ Ú ÓÚ ØØ ÝÖ Ó ÓÐ Ø ÙÚ Ô Ø x = º Ð ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x < f(x) = º¾µ 1 x. ÃÙÚ º º ÓÚ Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÝØØ Ò Ë ¹ Ò Ù¹ ÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ø º ÑÖ Ø ÐÑ º½º½µº Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ú Ð ØØ Ò Ò Ô Ø Ø ÓÒÖ ÝÝ Ò ÚÙÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k NN ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ) k NN (x,x 2 x T Σ x ) = arcsin, (1 + 2 xt Σ x)(1 + 2 x T Σ x ) Ñ x = [1,x T ] T x = [1,x T ] T Σ = diag(l 2 ) Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l Ð Ø Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò ÚÐ Ø Ø ÝÝØغ Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÚØ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ø Ò ÒÝØØ ¹ غ ÃÙÚ º ÓÒ ØÙÐÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ö Ö Ó¹ ÝÖØ ÓÚ Ø ÝÖ ÑÔ ÓÖ ÓÒ Ð ÝÝ Ù Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ØÙ ØØ Ò Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÓÒ Ô Ö ÑÑ Ò Ú ØØ Ú º Ì Ò Ø Ô Ù ÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ò Ø Ú Ú Ö Ò Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ØØ Ú Ø Ø Ò ÓØØ ÓÚ Ø ØØÙ ÝÖ ÙÚ Ô Ö ÑÑ Ò Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÓÖ Ó º Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÙÐÓ ¹ ÝØ ØØ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ Ú ØØ Ú Ô ÒØ ÝÐ ÓÔÔ Ñ Ø ÑÙØØ ØÙÐÓ Ò ØÙ Ö Ö Ó ÝÖ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ð ØÝ Ò ÝÐ ÓÚ Ø ØØÙº Ì Ø Ô Ù Ò ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ ÒÝØØ ¹ Ø ÒØÓ Ú Ö Ò ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Òº ÃÙÑÑ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ ÚÓ ÝØØ Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Î Ñ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ø Ò ØØ ÓÔ ÝÚ Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÓÐÐ º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ò Ñ Ø Ò Ù Ò ÔÖÓ ÝØØÝØÝÝ ØÐÐ Ø Ô Ù º ÃÝØØØÑÑÑ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÐ ÑÙÓØÓ f(x) =.4x 2 +.3x.5. º µ ÃÙÚ º º ÓÚ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÒ Ö Ö Ó Ý¹ Öغ ÆÝØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ò ØØ ÒÝØØ Ø Ú ÙØØ Ú Ø ÓÐ Ú Ò Ô Ö Ò
25 º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ¾¼ ÝÐ Ô Ò Ù Ú Ø Ô Ö Ð Ø º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÝÖ ØØ ÓÚ ØØ ØÓ ¹ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÝØØ Ò Ó Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÐ ØÓ ÐÐ ÙÙ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÝÚº ÃÙ Ø Ò Ò ÒÝØ ÚÐ ÐÐ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙÒ Ö Ö Ó ÝÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ Ò Ú¹ Ð ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ ÖÓ º ÆÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÒÒÙ Ø Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ø ÝÚ Ò ÑÙØØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙÐÐ Ö Ö Ó ÝÖÐÐ Ð Ò Ý Ø ÝÚ Òº À Ú Ø ÑÑ Ò Ø ÓÐÑ Ø Ñ Ö Ø ØØ Ù Ò ÔÖÓ Ø ØÓ Ñ Ú Ø Ø ØÝ ¹ Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ ÝÚ Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ Ô Ö ÒØ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÓÒº º¾ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ë ÑÙÐÓ ÒÒ ÝØÑÑ Å ØÐ ØØÚÒ Ì Å Ø ÏÓÖ ¹Ý Ø Ò ÐÓ Ó Ø ØÙع ØÙ ÙÒ Ø ÓØ º Ë ÓÒ Ø ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò 2 u = t 2 2 u + 2 u Ö Ø Ù Ò Ð ØØÝÚ ÓÑ Ò ÙÒ Ø Óº ÇØ ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÒÝØØ Ø Ý Ø Ò¹ x 2 y 2 ½ Ô Ø º Ä ÑÑ ÒÝØØ Ò Ó Ò ØÑÒ Ð Ò ÝØÑÑ Ò Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ º ÃÙÚ º ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ò Ð ÙÚ º Ò Ð Ò ÓÒ Ð ØØÝ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØØ Ó Ò ÖÚÓÐÐ Ú Ö Ò ÐÐ.1º ÃÝØÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Î Ø Ö Ò Â ÖÒÓ Î Ò Ø ÐÓÒ Å ØÐ ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ØÓ ¾ ÑÓ Å ØÐ ¹ ÓÓ Ó Ø ÝØ ØØ Ò Ó ÑÑ Ò Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ¹ ØÓ ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØÙ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ ÝØØ Ò Ù Ø Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ¹ º Å Ò Ø ÐÑ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö Ø Ò ØÝ Ø ÐØÝ Ò ÒÝØØ ¹ Ø º Ä Ø ØÓ ÑÙÙÒ ÑÙ ÝØ ØØÚ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÝØÝÝ ØÝ ÐÙ¹ Ö ØÓÒ Ó ÙÑ ÒØ Ø Ó Ø º Î ÖØ Ð ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ý Ò ÖØ Ò ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò ÐÐ Ö¹ ÚÓ ÙÓ Ò Ú Ñ ÒØ ÝÚ Ò Ð ØÝÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ò Ð Ø ½¾ º ÃÝØÑÑ ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ Ø Ø ÑÑ Ø ÝØØ Ò Ö Ó Ó ¹ ÙÒÓ Ø º Ä ÑÑ Ò Ð Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÝØØÑÑÑ ÙÒ Ò Ú Ø Ñ Ò ÑÖÒ ÒÓÐÐ ÓØØ ÙÓ Ø ØØÙ Ò Ð ÐØ Ñ Ò ÑÖÒ ÒÝØØ Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö ¹ Ò Òº Ì ÙÐÙ Ó º½ ÓÒ Ý Ø ÒÚ ØÓ ÑÖ Ø Ò Ð ÐÐ Ø Ú Ö Ø ÅË µ Ð ÒØ ¹ Ó Ø Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ðк Æ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÝØØÑÐÐ Ô¹ ÑÑ Ô Ò ÑÔÒ Ú Ö Òº Ì Ò Ø Ô Ù ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ô Ö ÒØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÒÝØØ Ø ØÓ Ñ ÝÚ Òº È Ö ÑÑ Ò ØÙ¹ ÐÓ Ò ÖÚÓ ÙÓØ Ñ ÐÐ ÑÑ ÙÒ ÓÓÐÐ 5 5º ÌÓ Ò Ú Ø ÑÑ ØØ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Ò Ô Ò ÑÔ Ò Ú Ö Ò ÖÓ ÓÒ Ñ Ð Ó Ô Ò º Ì Ø Ò Ò Ø ÑÓ ¹ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÝØØ Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÒØ ¹ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ¾ Î Ø Ö Ò Â ÖÒÓ Î Ò Ø ÐÓÒ Ö Ó ØØ Ñ Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ØÓ ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ó ¹ Ò Ò Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛۺРº Ùغ»Ö Ö»ÑÑ»ÑÑ ØÙ»
26 º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ¾½ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÑÖ Ø Ò Ð ÐÐ Ø Ú Ö Ø Ú ÖÖ ØØÙÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÙÚ Ò Å Ò Ø ÐÑ ÅË Ó» Ñ Ò º ¼ Ù Ò ÔÖÓ ¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ Ù Ò ÔÖÓ ½¼¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ ¾ ½ Ù Ò ÔÖÓ ½¼¼¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ ½ ¾ Ù Ò ÔÖÓ Å Ø ÖÒµ ¾º½ ¾¼ ½ Ù Ò ÔÖÓ Êɵ ¾º¼ ¾½ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º ¼ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ ¾º ½ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º¾ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º¾ º¼ ¹ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ñ Ö ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò Ú Ø Ñ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ÒØ ¹ ÓÒ Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ ÙÑÖÒº ÇÒÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ø ÑÓ Ø Ú Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒÚ Ö Ó ØÙÚ Ø Ñ Ð Ó ÒÓ¹ Ô Ø Ó Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø Ú Ø Ú ÓÔØ Ñ º Ë ÐÐ Ú Ö ÙÙÖ Ò Ô Ò Ò Ú Ú ØØ ÑÑ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÃÙÚ º½¼ º½½ ÓÚ Ø Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ö Ö ÓÔ ÒÒ Ø Ò Ø ¹ Ô Ù Ó ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ø ÑÓ ØÙ ÝØØ Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÒØ ÑÑ ÙÑ º ÃÝØØ Ò Ô Ö ÒØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ý¹ Ô ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò Å Ø ÖÒ¹ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÒ ¹ ØÙ ÙÚ Ò º½¾ º½ ÐØ Ø Ö Ö ÓÔ ÒÒ Øº ÎÙÓÖÓ Ø Ò ÙÚ º½ º½ ÓÚ Ø ÖÚÓ ÙÓ Ø ØÙØ Ò Ð Ø Ö ÙÒ Ó³Ó ÐÐ º ÃÙÚ Ø ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÒØ Ð Ò Ô ÒÒ Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò ØÙÐÓ Òº Ù ¹ Ò ÔÖÓ Ò ØÙÒ ÓÒ ÑÝ ØØ ÑÑ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÑÑ ÑÖÒ ÙÐÓ ØÙ¹ ÐÓÒÝØØ Ø ØÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ò Ð ÐÐ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º
27 ¾¾ º ÂÇÀÌÇÈ Ì ÃË Ì ÌÝ Ø ÐØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚ Ô ÖÙ Ø ÓÖ º Ö ØÝ Ø ÔÓ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÓÔÔ Ñ Ò ÒÒ ÐØ Ó ÓÒ Ñ Ð Ó ÙÙ ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ º Î ÙØØ ÐØ ØØ ØÓ ÒÒ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø ØÙ¹ Ð Ú ÙÙ ÒØ Ø Ý ÝÐÐ ÑÑ ØÝ ÐÙ Ö Ð Ò ÓÒ ÓÔÔ Ñ ÓÒ ÐÑ Òº Ë ÐÐ ÑÙÙ Ò ÑÙ Ú Ò Ò ÐÝÝ ÝØØ Ò Ñ Ö ÓÒÓÝ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÖ Ò ÖÒ Ðµ ÓÒ ØÙ ÝÚ ØÙÐÓ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ñ Ö ÝÐ Ø ÝØ ØÝ ÐÐ Å Ö ÓÚ Ò Ô ÐÓÑ ÐÐ ÐÐ À Ò Å Ö ÓÚ ÅÓ Ðµ ØÙ Ò ØÙÐÓ Òº Î Ù Ò ÔÖÓ Ø ÚÓ Ú Ø Ú ÙØØ ÑÓÒ ÑÙØ ÐØ Ò Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ø Ø ÓÖ Ø Ú Ø ÑÑ ØØ Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ Ð Ó ÒØÙ Ø Ú Ø ÙÒ ØØ Ð ÑÑ Ò ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº ÃÙØ Ò ÑÙÐÓ ÒÒ Ø ÚÓ Ò Ú Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ Ò Ò ØÝ ¹ ÐÙ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ô Ö ÒØ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÐÐ º Ë ÐÐ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø ÓÙ Ø Ú ØÝ ÐÙ Ö Ö Ó¹ ÓÒ ÐÑ Ò ÐÐ ÑÑ Ú Ö Ò Ø ÓÐ Ø Ñ ØÒ Ø ØØÝ ÑÙÓØÓ Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð Ò Ò ÒÓØØÙ Ò Ý Ò ÙÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÐÑ Ò ÙÙÐÙÚ Ø ¹ Ñ Ö ØÙ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÒ Ø ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ø Ó ¹ º ÌÙ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ø Ô Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙÙÒ Ö Ö ÓÓÒº ÌØ Ò Ø Ó ÚÓ ØÙØ Ø Ö ÑÑ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÙ ¹ Ú ØÓÖ ÓÒ Ò ÚÐ Ø Ý Ø ÝØØ Ú ÖØ ÐÐ Ò ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ ØÙÐÓ º Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÐ Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ØÙØ Ð ÑÑ Ò Ù Ò ÔÖÓ¹ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÖ ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ ØÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ó ÓÐ Ù ¹ Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ò Ú ÖØ ÐÐ Ò Ò ØÙ ØÙÐÓ Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Òº
28 ¾ Ä ÀÌ Ì ½ Ǻ Ã Ð Ú ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Øº Ì ÑÔ Ö ÌÌ ¾¼¼ º ÇÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ë Ø ¹ Ú ØØÔ»» ÙØÐ ÖººØÙغ» Ð Ú» ¾ º È ÔÓÙÐ ÈÖÓ Ð ØÝ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð Ò ËØÓ Ø ÈÖÓ º Ö º Æ Û ÓÖ Å Ö Û¹À ÐÐ ½ ½º Àº Ⱥ À Ù Ì ÓÖÝ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ó ÈÖÓ Ð ØÝ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð Ò Ê Ò ÓÑ ÈÖÓ º Æ Û Â Ö Ý Å Ö Û¹À ÐÐ ½ º º ÈÖÓ Þ Âº Í Ð Èº º Ϻ Ê ÝÒ Ö Æº º Ã Ò ÙÖÝ Ë Ò Ð Ò ÐÝ Ò ÈÖ Ø ÓÒº Ó ØÓÒ Ö Ù Ö ½ º º Ⱥ ÊÓ ÖØ º ÐÐ ÅÓÒØ ÖÐÓ ËØ Ø Ø Ð Å Ø Ó º ¾Ò º Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º º Ò Ø Ò ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÖÓÛÒ Ò ÅÓÚ Ñ Òغ Æ Û ÓÖ ÓÚ Ö ½ º º ÈÓ Ú ÖØ Ãº ÊÙÓ ÓÒ Ò Ä Ø Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø º Ì ÑÔ Ö ÌÌ ¾¼¼ º ÇÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ë Ø Ú ØØÔ»»Ñ Ø ºØÙغ» ÖÙÓ ÓÒ Ò» º º Ê ÑÙ Ò º ú Áº Ï ÐÐ Ñ Ù Ò ÈÖÓ ÓÖ Å Ò Ä Ö¹ Ò Ò º Ñ Ö Å Ù ØØ Ì ÅÁÌ ÈÖ ¾¼¼ º ʺ Ø ÈÓ Ø Ú Ò Ø Å ØÖ º ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÙ Ð Ø ÓÒ ¾¼¼ º ½¼ ź ĺ ËØ Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó ËÔ Ø Ð Ø ËÓÑ Ì ÓÖÝ ÓÖ ÃÖ Ò º Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ º ½½ ú Àº Ò Ò ÅÙÐØ Ú Ö Ø Ø Ò ÐÝ Ò ÈÖ Ø º Ç ÐÓ ÅÇ ÈÖÓ Ë ¾¼¼¾º ½¾ º ØÓРȺ ÃÙÓ Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÆÓÒÐ Ò Ö Ø Ð ÐØ Ö Ò º ÐÓ¹ Ö Ê ÈÖ ÄÄ ½ º
29 ¾ º ÄÁÁÌÌ ÁÌ Regressio Gaussin prosessilla 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat Alkuperäinen x y ÃÙÚ º½ Ê Ö Ó Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓ¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l = 1º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º
30 º Ä ØØ Ø ¾ 4 Polynominen regressio x Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi Alkuperäinen y ÃÙÚ º¾ Ê Ö Ó Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ½ º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º
31 º Ä ØØ Ø ¾ 1.5 Regressio Gaussin prosessilla % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l =.3º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú ¹ Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º
32 º Ä ØØ Ø ¾ 1.5 Regressio Gaussin prosessilla % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÙÖÓÚ Ö ¹ Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ø Ò Ó Ò ÐÐ Ø ÒÝØØ Øº ÆÓÐÐ Ö¹ ÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º
33 º Ä ØØ Ø ¾ 1.4 Polynominen regressio x Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ½¼º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º
34 º Ä ØØ Ø ¾ 3 25 Regressio Gaussin prosessilla 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat Alkuperäinen x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l = 6.5º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 = 2º
35 º Ä ØØ Ø ¼ 12 Polynominen regressio 1 Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi Alkuperäinen x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ¾º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 = 2º
36 º Ä ØØ Ø ½ Alkuperäinen signaali 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º ÃÙÚ ÓÚ Ø Ì Å Ø ÏÓÖ ¹Ý Ø Ò ÐÓ Ó ÒØÝÚ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ØÙØ ½ ÒÝØ Øغ Signaali kohinan lisäämisen jälkeen 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º Ë Ò Ð º Ó Ò Ò Ð Ñ Ò Ð Òº ÃÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ ÖÚÓ Ø ÒÓÖÑ ¹ Ð ÙØÙÒÙØØ Ú Ö Ò ÐÐ σ 2 =.1º
37 º Ä ØØ Ø ¾ Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½¼ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ Ø¹ Ø Ò ¼ ÒÝØ Øغ Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½½ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ Ø¹ Ø Ò ½¼¼¼ ÒÝØ Øغ
38 º Ä ØØ Ø Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½¾ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ Ö¹ Ô Ö Ñ ØÖ ν = 5/2 l Ø ÑÓ Ø Ò ÒÝØØ Ø Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ ÖÔ Ö ¹ Ñ ØÖ Ø α l Ø ÑÓ Ø Ò ÙÓÖ Ò ÒÝØØ Øº
39 º Ä ØØ Ø Keskiarvosuodatettu 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½ ÃÓ Ò Ò ÙÓ ØÙ ÝØØ Ò ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ º ËÙÓØ Ñ Ò Ù¹ Ò Ò Ó Ó ÓÐ Ü º Keskiarvosuodatettu 1.5 z y x 1 2 ÃÙÚ º½ ÃÓ Ò Ò ÙÓ ØÙ ÝØØ Ò ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ º ËÙÓØ Ñ Ò Ù¹ Ò Ò Ó Ó ÓÐ Ü º
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ