A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
|
|
|
- Antti Lahti
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö ÓØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
2 ÄÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì ÐÙÚÙ ØÝ ÒÒ ØÒ Ð ÒÒ Ø Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø ØÓ º ÓÐÐ Ø Ñ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÚ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ØØ Øº º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ µ ÇÐ ÓÓØ A B ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ω Ø Ô ØÙÑ º ÂÓ P(B) > 0 Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÐÐ B ÓÒ º½º½µ P(A B) = P(A B). P(B) Ä Ù P(A B) ÐÙ Ø Ò A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B º A A B B ÎÓ Ò Ø ÐÐ ØØ P(B) ÓÒ ÐÙ Ò B Ô ÒØ ¹ Ð P(A B) ÐÙ Ò A B Ô ÒØ ¹ Ð º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) ÓÒ ÐÙ Ò A B Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ B Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø º Ñ Ö º½ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÔÓ Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ò Ò Ú¹ Ö ÙÓÖ K Ñ Ñ Ø ÓÐ Ú Ø ÓÖØ Ø ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ = µ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÖØ Ò Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò P(K) = 4 ( 52 5) =
3 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÑ Ø ÓÖØØ Ô ÝØÒ ÙÚ ÔÙÓÐ Ð ¹ Ô Ò º ÓÖØ Ò ÙÚ ÔÙÓÐ ÝÐ Ô Òº Î Ñ Ò Ò ÓÖØØ ÓÒ ÖØØ H 4 µº Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØÑ ÓÒ ÙÒ Ò ÐÐ Ò Ò ÚÖ ÙÓÖ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò º½º½µ ÑÙ Ò P(K H 4 ) = P(K H 4) P(H 4 ) ÎÓ ÑÑ ÒÝØ ÐÔÓ Ø ØÓ Ø ØØ P(K H 4 ) = 3 5 P(K). = /( ) 52 5 ( 5 52 ) = 4)/( ). ÃÙÒ Ò ÐÐ Ò ÚÖ ÙÓÖ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÝÐ Ò ÖØ ØÙÙ ÙÒ Ø Ø Ø ØØ Ú Ñ Ò Ò ÓÖØØ ÓÒ ÖØØ º 5 ( 5 4 º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ØÙÐÓ ÒØ Ø Ô ØÙÑ Ò ³A B ØØÙÚ Ø³ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ º Ã Ú Ø º½º½µ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú º½º¾µ P(A B) = P(A)P(B A). ÌÙÐÓ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ú Ø Ú Ø P(A c B) = P(A c )P(B A c )º Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(B) = P(A B)+P(A c B), Ó Ø ØÙÐÓ Ú Ò ÚÙÐÐ Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ù º½º µ P(B) = P(A)P(B A)+P(A c )P(B A c ). ÃÙÒ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A B) Ð Ù Ò º½º½µ Ó Ø Ø Ò P(A B) Ò Ô ÐÐ Ý ØÐ Ò º½º¾µ Ó ÔÙÓÐ P(B) Ò Ô ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ º½º µ Ò Ý Ò Ú P(A B) = P(A)P(B A) P(A)P(B A)+P(A c )P(B A c ). ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(A) P(B A) P(B A c ) ÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) Ð Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ º ÌÙÐÓ Ú º½º¾µ ÝÐ ØÝÝ ÑÝ Ù ÑÑ ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º Ñ Ö P(A B C) = P(A)P(B A)P(C A B). ÌÙÐÓ Ú Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ò Ú Ò ÝÐ ØÝ Ø Ø Ð¹ ÐÒ ØÑÒ ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ º
4 º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ì ÙÐÙ Ó º½º ÃÓ ÓÒ ØÙÓØ ÒØÓ Ú ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ Ö Ñ º Å ÖÙ ÊÙ Ó ËÛ Ð ÃÓ ÓÒ ØÙÓØ ÒØÓ ½¼¼¼¼¼¼ ¾¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼ Î ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ ¾¼ ± ½¼ ± ± Ñ Ö º¾ ËÙÙÖ Ø ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ ÖÒ Ú ÐÑ Ø ÒÒÝ Ø ÓÐÑ Ö Ñ ÓØ ÓÚ Ø Ò Ñ ÐØÒ ÖÙ ÊÙ Ó ËÛ Ð º Ç Ø Ø ÒÒÝ Ò ÑÙØØ Ø Ø Ñ ÓÒ Ú ÐÑ Ø ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ V Ø Ô ØÙÑ ØØ ØÙÓØ ÓÒ Ú ÐÐ ¹ Ò Òº F ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ ØÙÓØ ÓÒ Ú ÐÑ Ø ØØÙ ÖÙ º Î Ø Ú Ø R S Ú ØØ Ú Ø Ú ÐÑ ØÙ Ñ Ò ÊÙ Ó ËÛ Ð º Î ÐÐ Ø Ò ±¹Ó ÙÙ Ö Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó Ø ÙÐÙ Ó º Ä Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø µ P(F S c ) µ P(V S c ) µ P(V) µ P(F V)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÐÑ Ø ØÙØ ¼¼¼¼¼¼ ÒÒÝ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ê Ø Ùº µ P(F S c ) = P(F Sc ) P(S c ) = P(F) P(S c ) Ó F S c µ = / / = 3. µ P(V S c ) = V Sc P(S c ) P[V (F R)] = P(S c Ó S c = F Rµ ) P(V F)+P(V R) = P(S c Ó F R = µ ) P(V F)P(F)+P(V R)P(R) = P(S c ) = = 2 5. ÃÓ Ø µ µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ñ Ö º ÎÖ ÔÓ Ø Ú Ò Òµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ú Ö ÒÝØØ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓØ Ø ÒØ Ú Ò ØÙÐÓ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Òº Ì ØÒ ØØ ± Ø ÙØ A Ö Ø Ú Ø Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò ØÙÐÓ Òº
5 ¼ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÅÝ ¾ ± Ò Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ø ÙØ A ÔÓ Ø Ú Ò ØÙÐÓ Ò ÚÖÒ ÔÓ¹ Ø Ú Ò µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ½ ± ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÙØ Aº ÂÓ ØÙÒ¹ Ò Ø Ú Ð ØÙÒ Ò Ð Ò Ø Ø ØÙÐÓ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ñ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ö Ø Ø ÙØ A ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ T = { Ö Ø Ø ÙØ } + Ø Ö Ó ØØ ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ø ØÙÐÓ ¹ Ø º Ì ÑÑ ØØ P(+ T) = 0.95, P(+ T c ) = 0.02, P(T) = 0.0 P(T c ) = ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ý Ò Ú º º µ Ò P(T)P(+ T) P(T +) = P(T)P(+ T)+P(T c )P(+ T c ) = = ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÙØØ Ò Ò ÑÐØ ÓÚ Ò Ô Ò Ðغ Ð Ò Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ð ØØÝÝ ÐÐ ØØ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐ Ú Ø ÓÙ Ó Ø Ó ÓÒ Ô Ò Ú ÖÖ Ø¹ ØÙÒ Ò ÓÙ ÓÓÒ Ó Ø ÚÖØ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐ Ú Øº º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Å ÐÐÓ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B A) ÓÒ Ñ Ù Ò ÓÐÐ Ø Ñ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B) Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ØØ P(B) = P(B A) = P(B A). P(A) ÌÑ Ý ÝÑÝ Ó Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º½º µ P(A B) = P(A)P(B) ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÐÐÓ Ò ÒØ Ø Ø Ø P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Ô ØÚØ Ô Ò º Ì Ô ØÙÑ Ò A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÙÖ ØØ ÑÝ Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ä Ù º½ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ ½º A B c ¾º A c B
6 º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ½ º A c B c ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò. Ó Ø º ÇÒ ÒÝØ ØØÚ ØØ A Ò B Ò Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÙÖ ÒØ Ø ØØ P(A B c ) = P(A)P(B c )º Ë ÙÖ Ù ¹ Ð Ù Ò ÑÙ Ò P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A) P(A)P(B) A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø = P(A)[ P(B)] = P(A)P(B c ) Ä Ù ¾º½, ÓØ Ò A B c ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÅÙÙØ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ñ Ö º ÝÒ ÓÐÓ Ò ÖØÓ ÓÐÙÒÝØØ Ò Ð È Ô ¹ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ¹ Ò ØÓ Ø Ó ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ý Ô ÐØÚØ Ù Ó ÑÙÙØÓ Øº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ¼ ¹ÚÙÓØ Ø Ò Ø 00p ± ÐÐ ÓÒ ÔÒÓÖÑ Ð ÑÙÙÒØÙÒ Ø µ Ó¹ ÐÙ Ó ÙÒ ÙÙ Ó ÙÒ ÙÐ µº È Ô ¹ Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÖ Ú Ø Ú Ö Ø ½º Ì Ô ØÙÑ B ÃÓ ÙÒ ÙÐ ÓÒ ÔÒÓÖÑ Ð ÓÐÙ ÑÙØØ Ò ¹ ÚØ Ó Ù ÓØÓ Òº ÇÐ ÓÓÒ P(B) = bº ¾º Ì Ô ØÙÑ C ÇØÓ ÓÒ ÔÓ Ú ÓÐÙ ÑÙØØ Ò Ø Ú Ø º ÇÐ ÓÓÒ P(C) = cº º Ì Ô ØÙÑ D È Ð ØÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÐÙ ÐØÚ ÓØÓ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò ÚÖ Ò ÔÓ Ú º ÇÐ ÓÓÒ P(D) = dº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ØÙØ ÓØ ÒØ ¹ ÑÖ ØÝ Ú Ö Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÐÐ ¼ ¹ÚÙÓØ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ò È Ô ¹ Ó Ò Ò µ Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ó ÒØ ÚÖÒ ØÙÐÓ Ò µ ÂÓ Ø Ø ØÙÐÓ Ó Ó ØØ ÔÓ Ú ÓÐÙ Ð ÝØÝÒ Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÓÐ ÔÓ Ú ÓÐÙ Ê Ø Ùº µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ V Ì Ø ÒØ Ú Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò A ÈÓ Ú ÓÐÙ ÓÒ Ó ÙÒ ÙÐ
7 ¾ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ A A c B B c D D c D D c C C c Ü Ü Ü ÃÙÚ Ó º½º Ã Ú Ó ÙÚ Ö ØÙÐÓ Ú ØÓ Ó Ø º Ê Ø ÐРܵ Ñ Ö ¹ ØÝ Ø Ð ÒØ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ø ØÙÐÓ º Ø Ô ØÙÑ B ÈÓ Ú ÓÐÙ ÓÒ ÑÙØØ Ò ÚØ Ó Ù ÓØÓ Òµº ÇÐ ¹ ØÙ Ò ÑÙ Ò P(A) = p ÓØ Ò Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾º½µ P(V) = P(A)P(V A)+P(A c )P(V A c ) = pp(v A)+( p)p(v A c ). Î Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙ Ò P(V A c ) = dº ÌÓ ÐØ P(V A) = P(V B A)+P(V B c A). Î Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ½ ÑÙ Ò P(V B A) = ( d)b Ú Ø Ú Ø Ú Ö Ò ½ ¾ ÙÖ Ù Ò P(V B c A) = c( b), ÓØ Ò P(V) = p[( d)b+c( b)]+( p)d. µ ÂØ ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Í ÑÑ Ò Ù Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ú ¹ Ø Ñ Ò Ö ÒØ º Å ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A B C ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø P(A B C) = P(A)P(B)P(C) Ò Ñ ØØ Ò ÙÖ ØØ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º Ì Ô ØÙÑ Ø A B C ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(A B) = P(A)P(B), P(A C) = P(A)P(C), P(B C) = P(B)P(C) P(A B C) = P(A)P(B)P(C).
8 º½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ö º Ã Ò Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÙÖ Ô Ö ØØ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑÙÙ Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ ÓÚ Ø Ø Ú Ð¹ Ð Ò ÓÖØØ Ô Ò ÓÖØ Øº Î Ð Ø Ò Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÓÖØØ º ÇÐ ÓÓÒ A = {, } Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò Ô Ø Ø ÖØØ º Î Ø Ú Ø ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ B = {, } C = {, }º Ì Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(A) = P(B) = P(C) = 26 = º ÅÙØØ A B = A C = B C = { } 52 2 ÓØ Ò P(A B) = P(A C) = P(B C) = P({ }) = 3 52 = 4. ÆÝØ A B C ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÐÐ P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C)º ÃÓ A B C = { } P(A B C) = P({ }) = ( ) 3 4 P(A)P(B)P(C) = = 2 8, Ò Ò A B C ÚØ ÓÐ ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ñ Ö º Î Ð Ø Ò ÓÖØØ Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÓÖØØ º ÅÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ø Ô ØÙÑ ØA = { Ø ÔÙÒ Ò Ò ÙÒ Ò Ø ÔÙÒ Ò Ò ÙÒ Ò Ø Ö} M = {ÑÙ Ø } R = {Ö Ø }º Ë ÐÐÓ Ò P(A) = 8 52 P(M) = 2 P(R) = 4 º Ì Ô ØÙÑ A M R = {Ö Ø } ÌÓ ÐØ P(A M R) = P(A)P(M)P(R) = = 52. P(M R) = P(R) = 4 P(M)P(R) = 8, P(A M) = 2 52 P(A)P(M) = = 4 52, P(A R) = 52 P(A)P(R) = = 2 52, ÓØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A M R ÚØ ÓÐ Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º Á ÒØ Ø Ø ¹ Ø P(A M R) = P(A)P(M)P(R) ÙÖ Ø Ô ØÙÑ Ò Ô Ö ØØ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ò Ò Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ú Ø ØÓØ ÙØÙ Ò Ú Ö Ò ÚÓ Ñ Ø ØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º Ì Ô ØÙÑ Ø A º º º A n ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ó Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ó Ó Ó ÐÑ A i º º º A ik < k nµ ØÓØ ÙØØ ÓÒ ( k ) k P A ij = P(A ij ). j= j=
9 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ø ÓÐÐ C Ó P(A B C) = P(A C)P(B C)º º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ Ý ÝÐÐ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò Ñ Ö ÒÒØ Ø Ø¹ Ø Ò ½º ÐÙÚÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø A Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ A c ÚØ ÚÓ ØØÙ ¹ Ñ Ò Ø ÐÐ A A c = P(A A c ) = P( ) = 0º ÌÓ ÐØ {A,A c } ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ ÐÐ A A c = Ω º Ì Ô ØÙÑ A Ø A c ØØÙÙ Ú ÖÑ Ø Ð P(A A c ) = P(A) + P(A c ) = º Ì Ø ÙÖ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÒØ Ä Ù Ó Ø µ ÅÓÖ Ò Ò ÒØ P(A) = P(A c ). º½º µ (A B) c = A c B c ÓÒ ØÖ ÔÙÚÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º Ë Ô Ø Ô Ò ÑÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º Ì Ô ØÙÑ ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÐÐ ÐÙ ÑÑ ÒØ Ø Ø Ò º½º µ ÙÖ Ú Ø Î Ò ÔÙÓÐ ÓÐ ØÓØØ ØØ A ØØ B ØØÙÚ Øº Ç ÔÙÓÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ø A B ØÙº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ò ÖØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒØ (A c ) c = A Ò ÅÓÖ¹ Ò Ò ÒÒ Ø º½º µ ØÓ Ò Ò Ú Ø Ú ÒØ (A B) c = A c B c. º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ P( ) ÓÒ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù¹ Ñ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ô ØÙÑ A Ω P(A) > 0 ÓÒ ØØÙÒÙغ ÅÖ ØØ ¹ Ð ÑÑ ÒÝØ X Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò ÝØØ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÂÓ Ø X Ò ÖÚÓ x i R Ó Ø ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò B i = {ω X(ω) = x i }. º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò º¾º½µ P(X(ω) = x i A) = P(B i A) = P(B i A) P(A) 0, ÙÒ P(A) > 0.
10 º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÃÓ i B i = Ω B i B j = ÐÐ i j Ò Ò º¾º¾µ P(B i A) = i i P(B i A) P(A) = P(Ω A) P(A) =. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÙÒ Ø Ó º¾º µ f(x i A) = P(B i A) = P(X = x i A), Ó ÓÒ º¾º½µ Ò º¾º¾µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø Ó º¾º µ ÓÒ X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Aº Ñ Ö º ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S X = {,2,...,N} P(X = i) = /N ÐÐ i S X Ò Ò ÒÓÑÑ ØØ X ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø Ù¹ Ñ Tasd(,N)º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ A = {ω a X b} Ñ a,b N, a < b N ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ë ÐÐÓ Ò P(A) = b i=a N = b a+ N P({X = k} A) = { /N; a k b 0; ÑÙÙØÓ Òº Ë X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ A ÓÒ f(x A) = b a+ ; a x b 0; ÑÙÙØÓ Ò. º¾º¾ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ Ò Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø Ù¹ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X,Y ( )º ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÖÚÓ ÐÙ S X = {x,...,x n } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X (x i ) = p i, i n Y Ò ÖÚÓ ÐÙ S Y = {y,...,y m } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f Y (y j ) = q j, j mº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÒÒ X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X,Y (x i,y j ) = P[(X = x i ) (Y = y j )], i n, j m. Å Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø f X,Y (x i,y j ) = p ij (X = x i ) (Y = y j ) = (X = x i,y = y j ). ÔÙÐ Ù º½ ÇÐ ÓÓÒ f X,Y (x i,y j ) = p ij, i n, j m, ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò
11 µ µ µ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ n p ij = q j ÐÐ j mº i= m j= p ij = p i ÐÐ i nº n m p ij = º i= j= ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P[(X = x i ) (Y = y j )] = P(X = x i )P(Y = y j ), i n, j m. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙØØ Ñ Ö ØÒ X Y º ÂÓ p ij = p i q j ÐÐ i n ÐÐ j m Ò Ò X Y º Ñ Ö º Ë ÒÙÒ ÓÒ ÖÚ ØØ Ú ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù θ {0,,...,9} ÙÖ Ú Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º À Ø ØÒ Ð ÒØØ ¹ Ø Ò Ø Ò ØÙÐÓ µ ØØÓ Ò ØÙÐÓ Ø Ö ÔÓÖØÓ Ò ÙÖ Ú Ø ÂÓ ØÙ¹ Ð ÖÙÙÒ ØÙÐÓ ÐÑÓ Ø Ø Òθ+ ÑÙÙØÓ Ò ÐÑÓ Ø Ø Ò ØÙÐÓ θ º ÇÐ ÓÓÒ X. ØÓÒ Ö ÔÓÖØÓ ØÙ ØÙÐÓ Y 2. ØÓÒ Ö ÔÓÖØÓ ØÙ ØÙÐÓ º Ë ÐÐÓ Ò P(X = θ+) = P(X = θ ) = 0.5 P(Y = θ+) = P(Y = θ ) = 0.5º Ë Ò Ñ Ö Ö ÔÓØÓ ÙØ Ú ÒÒÓØ X = 5 Y = 5º ÖÚ Ù ÒØ { (x+y), Ó x y 2 C(x,y) = x, Ó x = y. Ó ÙÙ 75± Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ó Òº Ì Ú ÒÓÑ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ØØ ÐÙÒ ÑÙ Ò ÐÐ Ø ØÝÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ ÓÒ 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Óº ÂÓ x y Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò 00± Ò Ú ÖÑÙÙ ØØ ÖÚ Ù ÓÒ Ó º ÅÙÙØÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ò 50± Ò Ú ÖÑÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ò x y ÓÒ Ö Ø ÒØ Ú ØØ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÖÚ Ù Ò (x + y)º ÃÙÒ Ú ÒØÓ 2 (x,y) ÓÒ ØÙ ÚÓ Ò ÖØÓ Ñ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙ º Ë ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ù Ò ÖÚ Ù Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ù Ó Òº º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù Ì ØÝ Ñ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø ÓÐÐ ÑÙØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÐÚÒ Ô ØÝØ ÓØ Ø ØÒ Ñ Ò Ø Ñ ØØ º Ê Ò ØÓ Ñ Ò Ø ÑÑ Ú Ò Ú ØÓ ÓØ ³ ÖÙÙÒÙ³ ³ Ð Ú ³ Ú Ð ÒØØ ÚÓ ÑÝ Ö ÙÒ ÐÐ Òº ÈÖ ÒØØ Ó Ø ØÙÐ ÔÖ ÒØØ Ú Ò ÐÐ ÓÐÐ ØØ ÐÝÝ Ò¹ Ú Ð ÑÔ Ò Ò Òº Î Ð Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ð ØØ Ò¹ ÔÝ ÝÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒº
12 º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ì Ð ÐÙÚÙ Ð Ù Ø A A 2 Ñ Ö ØÒ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÐÝ Ý Ø A A 2 º Î ØØÑ º½ ÌÙÐÓ Ú µ ÇÐ ÓÓØ A A 2 º º º A n Ñ Ø Ø Ò Ø Ô ØÙ¹ Ñ º Ë ÐÐÓ Ò º º½µ P(A A 2 A n ) = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) Ó P(A A 2 A n ) > 0º P(A n A A 2 A n ), ÌÓ ØÙ º ÂÓ P(A A 2 A n ) > 0 Ò Ò Ú º º½µ Ø ØÝØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ó P(A ) P(A A 2 ) P(A A 2 A n ) > 0. ÃÙÒ Ý ØÐ Ò º º½µ Ó ÔÙÓÐ Ö Ó Ø Ø Ò Ù ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú º½º½µ ÓÚ ÐØ Ò Ò P(A ) P(Ω) P(A A 2 ) P(A A 2 A 3 ) P(A A 2 A n ) P(A ) P(A A 2 ) P(A A 2 A n ), Ó ÙÔ ØÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A A 2 A n )º ÃÙØ ÙÑÑ Ú º º½µ Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ò ÝÐ ØÙÐÓ Ú º ÂÓ A A 2 º º º A n ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ò P(A A 2 A n ) = P(A )P(A 2 ) P(A n ). ÇÐ ÓÓØ X,X 2,...,X n Ö Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ S,S 2,...,S n Ò ¹ Ò ÖÚÓ Ð٠غ ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A i = {X i = x i }, i =,2,..., Ñ x i S i º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ÖØÓÐ Ù Ú Ò º º½µ ÚÙÐÐ º º¾µ P(X = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) = P(X = x )P(X 2 = x 2 X = x )P(X 3 = x 3 X = x,x 2 = x 2 ) P(X n = x n X = x,..., X n = x n ). P(X = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X X 2 º º º X n Ý Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó ÓÒ Ð Ù ÙØØÙ Ô Ö Ø Ò ÓÐÐ Ø Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º
13 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ñ Ö º ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ ÙÙ ÐÐ Òµ ÇÐ ÑÑ Ó Ñ¹ Ñ Ò ÑÔÐ ØØ Ø ÓÚ ÐØ Ò Ø ÝÐ Ø ØÙÐÓ Ú º º½µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÙ¹ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ¾º ÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ º ÃÙØ Ù ÐÐ ÓÒ r Ò Ð º Šй Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ò ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú ÃÝØ ÑÑ ÓÒ Ó ÒÓØØ Ð Ø Ò Ñ Ø ØÙÒÒ Ö Ö ØÝ µ Ó¹ ÓÒ ÝÒØÝÑÔ ÚØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö Ù ÚÙÓØØ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒµº ÃÝ Ò Ð Ø ÐÔ ÐÙ Ø Ð Ø Ò Ö ØÝ Ò Ò Ô Ø ÐÐ ÙÒÒ Ð Ý ØÒ ÝÒ¹ ØÝÑÔ Ú Ó Ó ÓÐ Ð Ø ÐÐ ÑÑ Òº Ë ÐÐÓ Ò Ø ÒØ ÐÓÔ Ø Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ØØ Ò Ò ÐÐ Ú Ö ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÂÓ Ð Ø Ô ØÒ ÐÔ Ð ÝØÑØØ ØÓ ØÓ ÐÐÒ ÓÐ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÇÐ ÓÓÒ B j Ø Ô ØÙÑ ØØ Ø Ö ØÙ ÐÓÔ Ø Ø Ò jº Ú Ö Ò Ó ¹ Ò Ò Ó ÐÐ Ò ÙÓÑ Ø Ò ½º ØÓ ØÙÚ ÝÒØÝÑÔ Úº ÇÐ ÓÓÒ A j Ø Ô ØÙÑ ØØ j ÐÐ Ò ÑÑ ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Úº Ë ÐÐÓ Ò A c r = B 2 B 3 B r ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Úº ÃÓ Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ø B 2 B 3 º º º B r ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø Ò Ò Ñ P(A c r ) = P(B 2)+P(B 3 )+ +P(B r ), P(A c r ) = P(A r). Ä Ø Ò Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A c r ) ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A r) ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ø Ò Ø Ö ØÙ ÔÖÓ ØÓ ØÓ Ó Ò 365 B 2 B 3 B 4 B 5 B r r (r ) 365 A A 2 A 3 A 4 A r A r ÂÓØØ Ø Ö ØÙ ÔÖÓ Ñ Ò Ó Ó Ð Ø Ò ÐÔ ØØÙÙ Ø Ô ØÙÑ A r Ð ¹ ÐÐ Ú Ö ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Úº Ë Ø ÒÒ Ò ÓÚ Ø ØØÙÒ Ø A 2 A 3 º º º A r º Ñ Ö A 2 ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ø Ö ØÙ ÔÖÓ ÔÝ Ý ¾º Ú ¹ Ö Ò Ú Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Ú Ù Ò ½º Ú Ö ÐÐ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ P(A 2 ) = = 365 = P(B 2). Ó Ú Ð ØØ Ú Ò ÓÒ 364 Ô Ú ÓØ ÔÓ Ú Ø ½º Ú Ö Ò ÝÒØÝÑÔ Ú¹ Ô Ú Øº ÂÓ j Ò Ò ÑÑ Ò ÝÒØÝÑÔ ÚÒ ÓÙ Ó ÓÐ ÑÓ Ò Ò ÑÝ Ò i Ò Ò ÑÑ Ò Ó i < j ÓÐÐÓ Ò A i A j º Ì Ø ÙÖ ØØ A 2 A 3 A j = A j P(A j+ A 2 A 3 A j ) = P(A j+ A j ) = 365 j 365 = j 365.
14 º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ò ØÙÐÓ Ú Ò P(A r ) = P(A 2 A 3 A 4 A r ) = P(A 2 )P(A 3 A 2 )P(A 4 A 2 A 3 ) P(A r A 2 A r ) = P(A 2 )P(A 3 A 2 )P(A 4 A 3 ) P(A r A r ) = r = 365(r) 365 r. º º¾ Ý Ò Ð Ù È ØÓÖ Ì ÓÑ Ý Ò ½ µ ÑÙ Ò Ò Ñ ØØÝ Ð Ù ÙÖ ÙÓÖ Ò Óй Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ø Ð ØÓ¹ Ø Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ò Ð Ù Òº ÇÐ ÓÓØ H H 2 º º º H k ÐÐ Ø Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø ØØ k H i H j = (i j) H i = Ω. ÆÝØ Ø Ô ØÙÑ ÓÙ Ó H H 2 º º º H k ÑÙÓ Ó Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ¹ ØÙ Òº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ý Ú Ò Ý Ø Ô ØÙÑ Ø H H 2 º º º H k ØØÙÙ ÙÒ Ø Ò ØÙÒÒ Ó E ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ωº ÇÐ Ø ÑÑ Ð ØØ P(H i ) > 0 ÐÐ i =,2,...,kº i= Ä Ù º¾ ÇÐ ÓÓÒ Ω = i H i Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ò Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò T Ω ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó º º µ P(T) = i P(H i )P(T H i ). ÌÓ ØÙ º ÂÓÙ Ó¹ÓÔ Ò ÒØ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ( ) T = ΩT = H i T = H i T, i i Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P Ø Ú ÙÙ Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ù¹ Ö Ú ( ) P(T) = P H i T = P(H i T). i i ÃÙÒ Ú Ò Ó Ø Ø Ò P(H i T) = P(H i )P(T H i ), Ò º º µº
15 ¼ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÂÓ Ú º º µ Ó ÒP(H i ) = 0 Ú Ø Ú ÙÑÑ Ò Ø ÖÑ ÓÒ0 Ú P(T H i ) ÓÐ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ Ã Ú º º µ ÙØ ÙØ Ò Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ú º ÇÐ ÓÓØ X Y Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø k Ó Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ùº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ú º º µ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò H i = {X = i}, T = {Y = k} º º µ P(Y = k) = i P(X = i)p(y = k X = i), Ñ ÙÑÑ Ý ÝÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Òº ÂÓ P(X = i) = 0 Ò Ò Ú Ø Ú Ý Ø ÒÐ ØØ Ú ÙÑÑ ÓÒ 0º Ã Ú ÓÒ ÐÔÔÓ ÝÐ Ø Ñ ÐÐ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ºY ÚÓ ÓÐÐ Ó Ò ÝÐ ÑÔ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÚÐØØÑØØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ T = {Y = k} ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ô Ø Ô ØÙÑ ÐÐ T = {Y > a} a Rº Ñ Ö º½¼ Å Ð Ø Ó µ Å ÐÐ ÓÒ Ð Ø Ó Ó Ò ÒÙÑ ÖÓØ ÓÚ Ø i =,2,3º Ä Ø Ó i ÓÒ i Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ Ý ÑÙ Ø º Ì Ð ÒÒ ÓÒ Ó Ò ÙÚ ÓÒ ÐØ Ò Ò Ä Ø Ó ½ Ä Ø Ó ¾ Ä Ø Ó Ð Ø Ó Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ö ØØÓÑ Ò ÒÓÔ Ò ØÓÐÐ º ÂÓ Ðѹ ÐÙ Ù ÓÒ k Ú Ð Ø Ò Ð Ø Ó ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ i = k 2 ÓÒ k ÔÝ Ö Ø ØØÝÒ Ð Ñ¹ 2 ÔÒ ÙÙÖ ÑÔ Òµ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÙÒº ÂÓ Ñ Ö k = k 3 Ò Ò 2 = 2 Ú Ð Ø Ò Ä Ø Ó 2º ÃÙÒ Ð Ø Ó ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ñ Ø Ò Ú Ð ØÙ Ø Ð Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ý Ô ÐÐÓº ÃÙÒ Ú Ð ØÙÒ Ô ÐÐÓÒ ÚÖ ÓÒ Ø Ó ÖÚ Ø Ò Ñ Ø Ð Ø Ó Ø Ô ÐÐÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙº Å ÓÒ ÖÚ Ù Ó Ú Ð ØØÙ Ô ÐÐÓ ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ò ÌÙÒØÙ Ö Úй Ø ÖÚ Ø Ä Ø Ó Ó ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú Ð Ó º ÇÐ ÓÓÒ H i = {È ÐÐÓ Ä Ø Ó Ø i} T = {È ÐÐÓ Ú Ð Ó Ò Ò}º ÖÚ ÓÒ Ú ÖÑ ÒØ Ñ Ð Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø º º µ P(H i T) = P(H it) P(T), i =,2,3. Ë ÙÖ Ú ÙÚ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Øº
16 º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ½ Î Ð Ø Ò Ð Ø Ó ½º ¾º Î Ð Ø Ò Ô ÐÐÓ º 4 ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ÑÙ Ò P(H i T) = P(H i )P(T H i ) = 3 i i+, i =,2,3. ÃÓ 3 i= H it = T T T 2 T 3 ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø T Ò Ó ØÙ Ò Ò Ò Ý ¹ Ø ÒÐ ÙÐ Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ã Ú Ø º º µ Ò P(T) = = P(H i T) = i 3 i = 2 23 i i+, i =,2,3. ÂÓ Ú Ø Ä Ø Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ù Ó Ò ÓÒ 9 23 º Ä Ø ÓÐÐ ½ Ú Ø Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 6 8 Ä Ø ÓÐÐ ¾ ÓÒ º ÁÒØÙ Ø Ú Ø Ó ÐØ ØÙÒØÙÒÙØ Ä Ø ÓÒ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ô Ö ÖÚ Ù º Ä Ù º Ý Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ H H 2 º º º H k ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ¹ ØÙ T ÐÐ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ ØØ P(T) > 0º Ë ÐÐÓ Ò º º µ P(H i T) = P(H i )P(T H i ) k j= P(H j)p(t H j ). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ÒÓ ÐÐ Ò Ñ Ø ÙÖ P(H i T) = P(H i )P(T H i ) = P(T)P(H i T), P(H i T) = P(H i)p(t H i ). P(T) Ä Ù Ò º¾ ÑÙ Ò P(T) = j P(H j)p(t H j ) ÓØ Ò Ú º º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº
17 ¾ ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ã Ú º º µ ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÒÒ º Ì Ô ØÙÑ Ø H H 2 º º º H k ÚÓ Ò Ù Ò Ø ÐÐ ÝÔÓØ Ó Ø Ø ÑÐÐ Ò Ý ÓÒ ØÓ º T ÓÒ Ø Ó Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ø ØÓ ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ø ÑÑ ØØ Ø Ô ¹ ØÙÑ T ÓÒ ØØÙÒÙغ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i ) i =,2,...,k ÓÚ Ø ÝÔÓ¹ Ø Ó Ú Ò º ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓØ ÚÓ Ú Ø ÙÚ Ø Ù Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ý Ò ÝÔÓØ Òº ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(H i T) ÙØ ÙØ Ò ÝÔÓØ Ò H i ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÐÙÓØØ ¹ ÑÙ ÝÔÓØ Ò H i º Ì Ô ØÙÑ Ò T ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T H i ) ÓÐÐ ØØ ÝÔÓØ H i ÓÒ ØÓ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò T Ù ÓØØ ÚÙÙ Ð Ð ÓÓ µ Óй Ð H i º º º È Ö ÓØ ÒØ ÈÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ N Ò Ð Ó Ø Np 0 p µ Ò Ð ÒÒ ØØ ÔÙÓ¹ ÐÙ ØØ A ÐÓÔÙØ N Np ÚØ ÒÒ Ø A Ø Ø º ÒÒ ØØ Ú Ø ÓØ Ò ÑÙÙØ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÒÒ Ø Ñ ØÒ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÓØ ÒØ ÝÑ ºµº À Ð٠ѹ Ñ Ø ÑÓ ÒÒ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò p Ó ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ º À Ø ØØ Ð Ý ÝÝ n Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ Ò Ð Ò Ñ Ð Ô Ø Ò ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µº ÅÖ Ø ÐÐÒ {, Ó iº Ø Ø ÐØ Ú ÒÒ ØØ A Ø ; X i = 0 ÑÙÙØÓ Ò, Ñ i n n Nº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ {X,X 2,...,X n } Ø ÐÝ Ý Ø {X i i n}º ÌÐÐ Ø ÓÒÓ ÙØ ÙØ Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ñ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö Ø ÝØ ØØÝ Ò ¹ Ñ ØÝ º Å Ö ØÒ ÒÝØ A i = {X i = } A c i = {X i = 0}º Ë ÐÐÓ Ò Ó ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò Ú Ò ÑÙ Ò º º µ P(A 2 ) = P(A )P(A 2 A )+P(A c )P(A 2 A c ). À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ ÌÓ ÐØ P(A ) = Np N = p P(Ac ) = N Np N P(A 2 A ) = Np N = p. P(A 2 A c ) = Np N, Ó ½º Ø Ø ÐÐÙÒ Ð Ò Ð ÐÐ ÓÒ N Ø Ø ÐØ Ú Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ Np A Ò ÒÒ ØØ Ó ½º Ø Ø ÐØ Ú ÓÐ A Ò ÒÒ ØØ º ÂÓ ½º Ø Ø ÐØ Ú ÓÐÐÙØ A Ò ÒÒ ØØ Ò Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ú Ð Np A Ò ÒÒ Ø¹ Ø º ÃÙÒ ÒÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ó Ø Ø Ò Ú Ò º º µ Ò P(A 2 ) = p Np N +( p) Np N = p.
18 º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù Æ Ò ÓÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ P(A ) = P(A 2 )º ÅÙØØ ØÑ ØÙÐÓ Ô Ø Ô ¹ Ò ÝÐ Ø º º µ P(A i ) = p, i =,2,...,n; n N. ÆÝØÑÑ ÒÝØ ØØ ØÑ ÝÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ A Ò ÒÒ ØØ Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ 2 º º º Np ÑÙÙØ Np+ Np+2 º º º Nº ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÙÒ Ö ØÝ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ A i+ ØØ(i+)º Ø Ø ÐØ Ú ÓÒA Ò ÒÒ ØØ º Ã Ò (i + ) Ò Ó Ó Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÒÓ Ò ÓØÓ Ø Òµ ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N (i+) º Ë ÐÐ ÓÒÓ Ó (i+)º Ð Ó ÓÒ ½ A Ò ÒÒ ØØ µ ÓÒ Np(N ) (i) ÔÔ Ð ØØ Ó A Ò ÒÒ ØØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Np Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙØ i ÓØÓ Ð ÓØ (N ) (i) Ø Ú ÐÐ º ÌÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò ÙÓØÙ ÓØÓ ÓÒ Np(N ) (i) ÔÔ Ð ØØ º Ì Ø ÙÖ ØØ P(A i+ ) = Np(N )(i) N (i+) = pn(n ) (N i+) N (i+) = pn(i+) N (i+) = p. ÇÐ ÑÑ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ø ØÙÐÓ Ò º º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = X +X 2 + +X n, Ó ÓÒ A Ò ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ì ÑÑ Ð ÐÙÚÙÒ ¾º º½ Ø Ö Ø ÐÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ X ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ º Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ ØØ Ø Ú Ø ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÑÙØØ ØÑÑ Ó Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓÒº Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X i ) = p+0 ( p) = p, i =,2,...,n. Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò ØÓ Ø Ñ Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓ ÓÒ Ý Ø ÒÐ ØØ Ú Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò ÙÑÑ º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º Ì Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ØØ E(X) = E(X )+E(X 2 )+ +E(X n ) = p+p+ +p = np. º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ä Ù ¾º Ø ØØ Ò ÓÐÑ Ò Ø Ô ØÙÑ ÒA A 2 A 3 ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò P(A A 2 A 3 ) Ð Ù º Ð Ø ØÒ ÒÝØ ØÑ ØÙÐÓ n Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A A 2 º º º A n ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ô Ù Òº Ð ÐÙÚÙ ¾º ÑÖ Ø ÐØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò
19 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ØØÓÖ ÙÒØ Ó ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ Ó ÓÒ ÖÚÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ º Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ò Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ I A ÖÚÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð P(A) = P(I A = )º ÁÒ ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ I A Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(I A ) = P(I A = )+0 P(I A = 0) = P(I A = ) = P(A). Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÌØ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙØØ Ý¹ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ º Ä Ù º ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A A 2 º º º A n ÙÒ ÓÒ Ò n i= A i ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ º º µ ( n ) P A i = i= n P(A i ) i= n n P(A i A j )+ P(A i A j A k ) j>i k>j>i + +( ) n P(A A 2 A n ). ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ α i = I Ai Ø Ô ØÙÑ Ò A i Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó Ð {, ÙÒ ω A i α i (ω) = 0, ÙÒ ω A c i. ÀÙÓÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò A c i Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ α i Ø Ô ØÙÑ Ò A c Ac2 Ac n Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó n i= ( α i)º ÃÓ n i= A i = (A c Ac2 Ac n )c Ò Ò Ò Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ n º º½¼µ I A i = ( α i ) = i= n α i i= n α i α j + j>i n k>j>i α i α k α k + +( ) n α α 2 α n. ÃÙÒ ÒÝØ Ý ØÐ º º½¼µ ÓØ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÝØ ØÒ ÝÚ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙØØ Ò ØÙÐÓ º º µ ÐÐ E(I A i ) = P ( n ) A i, E(αi ) = P(A i ) i= E(α i α j ) = P(A i A j ),...,E(α α 2 α n ) = P(A A 2 A n ). Ñ Ö º½½ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓÒ ÐÑ µ Å ÐÐ ÓÒ n Ò ÓÖØ Ò ÓÖØØ Ô Ó Ò ÓÖØ Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÙÓ Ú Ø Ø n Òº Ø Ø Ò ½º Ô Ò ÓÖØ Ø Ô Ý ÐÐ Ö Ú Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö ØÝ 2 º º º nº Ë Ó Ø Ø Ò
20 º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù ¾º Ô Ø Ø Ò ÓÖØ Ø Ö Ú Ò Ô Ý ÐÐ Ù ØÙÒÒ Ö ØÝ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ iº ÓÖØ Ò ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ i Ë ÐÐÓ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ö Ú iº ÓÖØØ ÓÒi Ð ÓÒ ØÙi¹Ô Ö º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò Ò Ý Ô Ö Ê Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A i Ø Ô ØÙÑ ØØ Ò i¹ô Ö º È Ò ¾ ÓÖØ Ø ÚÓ ¹ Ò ØØ n! Ö Ð Ò Ö ØÝ Òº ÂÓ ÒÙÑ ÖÓ i ÒÒ Ø ØÒ iº Ô ÐÐ Ò Ò ÐÓÔÙØ ÓÖØ Ø ÚÓ Ò ØØ (n )! Ö Ð Ò Ö ØÝ Ò ÓØ Ò º º½½µ P(A i ) = (n )! n! = n. ÂÓ ÒÒ Ø ØÒ i¹ô Ö j¹ô Ö i jµ Ò Ò ÐÓÔÙØ (n 2) ÓÖØØ ÚÓ Ò Ô ÖÑÙØÓ (n 2)! Ø Ú ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò º º½¾µ P(A i A j ) = (n 2)! n! = n(n ). Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò i¹ô Ö j¹ô Ö k¹ô Ö i j kµ º º½ µ ÝÐ Ø P(A i A j A k ) = (n 3)! n! = n(n )(n 2) P(A i A i2...a im ) = (n m)! n! = n(n ) (n m+), m n. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò Ò Ý Ô Ö ÓÒ Ä Ù Ò º ÑÙ¹ Ò ( n ) ( ) ( ) ( ) n n P A i = n n 2 n(n ) + 3 n(n )(n 2) i= = 2! + 3! + +( )n n!. + +( ) n n! ÀÙÓÑ ØØ 2! + 3! + +( )n n! + = ( ) i i= i! = e = ÃÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò ( n ) P A i e = i= ËÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ò Ý Ô Ö ÓÒ ÝÚ Ò Ð ÐÐ ÐÙ Ù 0.632º
21 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø ÒÚ ØÓ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B A) = P(AB), P(A) 0. P(A) ÌÙÐÓ ÒØ P(AB) = P(A)P(B A)º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú P(A A 2 A 3 A n A n ) = P(A )P(A 2 A )P(A 3 A A 2 ) P(A n A A 2 A n ). Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ºA B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(AB) = P(A)P(B)º P(A Ø A 2 Ø A 3 ) P(A A 2 A 3 ) = P(A )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A A 2 ) P(A A 3 ) P(A 2 A 3 )+P(A A 2 A 3 ). Ý Ò Ð Ù ÃÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T) = k P(H i )P(T H i ), i= Ñ T Ω H H 2 º º º H k ÓÒ Ω Ò Ó ØÙ º Ý Ò Ú P(H i T) = P(H i )P(T H i ) k j= P(H j)p(t H j ). ÈÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i )º ÈÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(H i T) i =,2,...,nº Í ÓØØ ÚÙÙ º P(T H i ) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò T Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÐÐ ØØ H i ÓÒ ØÓ º
22 À Ö Ó ØÙ À Ö Ó ØÙ ½º ÈÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ M Ñ Ø N Ò Ø º Å ÓÒ m Ò n ØÙ¹ Ô Ó Ø º ÈÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ý º A ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØØ Ú Ð ØØÙ ÓÒ Ñ B Ø Ô ØÙÑ ØØ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÔ Ó Ø º Å Ø ÓØ ÐÙ ÙÑÖ Ò M N m n ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÓØØ A B ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ¾º Ä ÒÒÓÐÐ À Ú ÒÒ Ø À Ð Ò Ò Ð Ù ÙÒ ÚØ ÓÐÐ Ø Ô Ö ÐÐ À Ð Ò Ñ Ò Ò Ù Ò Ñ Òº Ä Ù Ù ÓÒ Ö Ø ÐÐ ÖÖ ØØÝ ÓÒ Ø ØÓ Ò ÖØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØØ ÖØÓ ÓÐ Ø ØÝ Ó Ø Ó Ò ÓÚ Ø ÖØÓ Ö ØÝ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú Ö ØØÙ Ó Ò ÑÑ ÖÖÓ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ô Ô Ö Øº ÇÐ Ø Ø Ò ÔÓ Ø ØÝØ Ø Ý Ø ØÓ Ò¹ Ò ¾º Ð Ô Ò Ù ÙÔÙÓÐ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ½º Ð Ô Ò Ù ÙÔÙÓÐ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ø Ô ØÙÑ A = ½º Ð Ô ÓÒ ÔÓ, B = Ð Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ù ÙÔÙÓÐØ, C = ½º Ð Ô ÓÒ ØÝØØ, D = ¾º Ð Ô ÓÒ ÔÓ. µ Å Ø Ø Ô ØÙÑ Ô Ö Ø {A,B} {A,C} {B,C} ÓÚ Ø ÒÒ Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ø µ ÇÚ Ø Ó Ø Ô ØÙÑ Ø A B D ÒÒ Ð ØÝ ÐÐ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø º Ä Ù Ù Ò ÐØ ØÙÐ Ú Ø ÔÙÐÐÓØ ÓÚ Ø Ú ÒØÙÒ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.2º À Ò ÐØ ØÙÐ Ú Ø ÔÙÐÐÓØ Ø Ö Ø Ø Ò Ú ÒØÙ¹ Ò Ø ÔÓ Ø Ø Ò ÐÓÔÙØ Ô Ø Ò ½¾ ÔÙÐÐÓÒ Ð Ø Ó Òº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú Ø ÑÐÐ Ò ½ ÔÙÐÐÓ ÙÒ¹ Ò Ð Ø Ó Ò ØÝØ Ò µ Ò Ò ½ ÔÙÐÐÓ ÙÒÒ Ð Ø Ó Ò ØÝØ Ò º Ä Ö ÐÐ ÓÐ Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØØÝ ÙÙ Ò Ó ÓÒ Ú ÙØÙ Ø Ó ¹ Ú ÔÓØ Ð Ò ØÓ ÙÙ ÙÔÙÒ ÙÙ Ñ Ù ÙÐÐ Ë ÒÙØ Ó ÓÒ Ó ØÓ Ë ÒÙØ Ó ÓÒ Ó ØÓ ÐÓ ÃÙÓÐÐÙØ
23 ÄÙ Ù º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ A = ³ÔÓØ Ð ÐÓ ³ B = ³ ÒÙØ Ó ÓÒ³ C = ³ ÙÙ ÙÔÙÒ ³º Ø ÑÓ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ø ÙÐÙ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÚÙÐÐ Ð µ P(A B) P(A B c ) µ P(A BC) P(A B c C) P(A BC c ) P(A B c C c )º µ ÇÐ Ó Ó Ó Ø ÔÙ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ ¾ º½º À Ö Ö
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú