½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
|
|
- Iivari Aho
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ö ØØ Ò Ô Ò Ý ØØ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØ ÙÒ Ú Ö Ð Ù µº q ÚÓ Ò ÑÝ Ú Ø Ò ÚÖÒ Ø ÑÝ Ò ØØÙ º ½º Ó¹ ÓÖ ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ó ² ź ÓÖ º ÒØ ØÖ Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ð Ó Ö Ô Ö º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Å ½ µ ¼ ½ º ÃÅȹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝÐ ØÝ Ù ÐÐ ÑÓÐÐ º ÇÒ ÒÒ ØØÙ Ø Ø S S = n ÓÙ Ó ÑÓ P = {P 1,...,P k }º Å Ö ØÒ P = m = k i=1 P i º ÇÒ Ø ØØÚ S Ø Ò P i P ÒØÝÑغ Ê Ø Ù ½º ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ñº ÃÅȹ Ð ÓÖ ØÑ ÚÙÓÖÓØ ÐÐ Ò ÙÐÐ Ò ÑÓÐÐ P i º Ú Ø ÑÙ Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(m + kn)º ¾º Ó¹ ÓÖ ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ì Ø S Ð Ø Ò Ú Ò ÖÖ Òº Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(m + n) Ø ØÝ Ò ÐÐÝØÝ Òµº º ÅÝ Å¹ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ú ÝÐ ØÝ º
2 ½ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ó¹ ÓÖ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò P ÐÐ ÓÒÓÒ ÓÚ ØÙ ¹ ÙØÓÑ ØØ M P º M P Ò Ó Ø Î Ö Ò Ø ÖØÝÑØ goto[j, a] Ø Ð Ø j ÖÖÝØÒ Ñ Ö ÐÐ a Ø Ð Ò goto[j, a]º ÂÓ Ø Ð Ø j ÓÐ ÖØÝÑ a ÐÐ goto[j, a] = º ÃÓÖ Ù ÖØÝÑØ fail[j] Ó goto[j, a] = ÚÙÓÖÓ ÓÐ Ú ÐÐ Ø ¹ Ø Ñ Ö ÐÐ a Ø º Ñ Ò Ú Ö Ò Ò Ò ÖØÝÑ ÓÚ µ ÖÖÝØÒ Ø Ð Ò fail[j]º ÌÙÐÓ ØÙ ÙÒ Ø Ó output[j] ÐØ ÑÓØ ÓØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò ÙÒ ØÙÐÐ Ò Ø Ð Ò j Ø º Ò Ò ÑÓ Ò ÒØÝÑØ ÓÒ ÒÝØ Ð Ý ØØݵº Ñ Ö ½º º½ Ó¹ ÓÖ ÓÒÓÒ ÓÚ ØÙ ¹ ÙØÓÑ ØØ M P ÑÓ ÓÙ ÓÐÐ P = { Ö }º Î Ö Ò Ø ÖØÝÑØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø P Ø Ò º ØÖ ¹Ö ÒØ Òº Î Ö Ò Ò Ò ÖØÝÑ ÒÙÓÐ Ý Ø Ò ÐÐ Ú Ú ÐÐ µ ÐÙ Ø Ø Ø Ý Ò Ñ Ö Ò Ñº goto[1, i] = 6º ÃÓÖ Ù ÖØÝÑ ÒÙÓÐ Ø ÓÚ Ú ÐÐ µ ÙÖ Ø Ò Ó Ú Ö Ò ¹ Ò Ò ÓÚ Ñº fail[9] = 3 Ó Ø Ø Ð Ø 0µ Ð Ø ÓÖ Ù ÖØÝÑ Ð ÙØ Ð Ò 0 Ó Ø Ú Ø ÓÖ Ù ÖØÝÑØ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ö Ø ÑØصº ÌÙÐÓ ØÙ ÙÒ Ø Ó j output[j] ¾ { } { } { } { Ö }
3 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ Ë ÙÖ Ú Ð ÓÖ ØÑ ØØ M P Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÙÒ Ð S Ò Ð ÓÖ ØÑ ½º º¾ Ó¹ ÓÖ ¹ Ð Ù ËÝ Ø S M P ÙÒ Ø ÓØ goto fail output ÑÓ ÓÙ ÓÐÐ Pµ ÌÙÐÓ Ø Ã P Ò ÑÓ Ò ÒØÝÑØ ÒØÝÑ Ò ÐÓÔÔÙ Ó Øµ S ½µ state := 0 ¾µ ÓÖ j := 0 ØÓ n 1 Ó µ Û Ð goto[state,s[j]] = Ó state := fail[state] µ state := goto[state,s[j]] µ output[state] Ø Ò print(j,output[state]) ÓØÓ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ä ØÒ ÑÓØ P i Ý Ø ÐÐ Ò ØÖ ¹Ö ÒØ Ò Ó ØØ goto¹ ÙÒ Ø ÓØ º ÃÙÒ P i ÓÒ Ð ØØÝ Ô Ú Ø ØÒ Ñ ÐÐ output¹ ÙÒ Ø ÓØ º fail¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ØÝ ÒØ output¹ ÙÒ Ø ÓÒµº Ð ÓÖ ØÑ ½º º Ó¹ ÓÖ ¹ ÔÖÓ Ó ÒØ Á ËÝ Ø P = {P 1,...,P k } ÌÙÐÓ Ø goto¹ ÙÒ Ø Ó Ó ØØ Ò Ð ØØÙ output¹ ÙÒ Ø Ó ÐÙ ØÙ output[s] = ÐÐ s goto[s,a] = ÐÐ s aº ½µ newstate := 0 ¾µ ÓÖ i := 1 ØÓ k Ó µ state := 0;j := 0 µ Û Ð goto[state,p i [j]] Ó µ state := goto[state,p i [j]] µ j := j + 1 µ ÓÖ h := j ØÓ P i 1 Ó µ newstate := newstate + 1 µ goto[state,p i [h]] := newstate ½¼µ state := newstate ½½µ output[state] := {P i } ½¾µ ÓÖ a Σ Ó goto[0,a] = Ø Ò goto[0,a] := 0
4 ½ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ð¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ä ÒØ Ø Ò Ø Ó ØØ Ò Ð Ò goto¹øö Ò ÙÙÖ Ø º Ì ÓÐÐ d Ø ÐÓ Ò fail¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ý Ò Ø ÓÒ d 1 Ø Ð Ø r ÐÔ ÙÖ Ú Ø ½º ÂÓ ÐÐ a Ø Ò ØØ goto[r, a] = s s µ state := fail[r] µ ÌÓ Ø state := fail[state] ÙÒÒ ÚÙØ Ø Ò state ÓÐÐ goto[state, a] º Ë ÐÐ Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ò Ó goto[0, a] ºµ µ Ø fail[s] := goto[state, a] Ð ÓÖ ØÑ ½º º Ó¹ ÓÖ ¹ ÔÖÓ Ó ÒØ ÁÁ ËÝ Ø goto¹ ÙÒ Ø Ó ÐÙ Ø Ú output¹ ÙÒ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑ Ø ½º º ÌÙÐÓ Ø fail¹ ÙÒ Ø Ó ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò output¹ ÙÒ Ø Ó ½µ queue := ¾µ ÓÖ a Σ Ó goto[0,a] 0 Ø Ò µ s := goto[0,a] µ push back(queue,s) µ fail[s] := 0 µ Û Ð queue Ó µ r := pop front(queue) µ ÓÖ a Σ Ó goto[r,a] Ø Ò µ s := goto[r,a] ½¼µ push back(queue,s) ½½µ state := f ail[r] ½¾µ Û Ð goto[state,a] = Ó state := fail[state] ½ µ f ail[s] := goto[state, a] ½ µ output[s] := output[s] output[fail[s]] ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÐÐ ÙÙ ÂÓ Ø Ð Ø 0 Ø Ð Ò s Ó Ø Ú goto¹ö ØØ Ð ÓÒÓÒ u ÙØ ÙØ Ò u Ø s¹ ÓÒÓ º Ã Ò s¹ ÓÒÓ Ò s M P ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò M P ¹ ÓÒÓ º ÂÓÒÓ u ÓÒ M P ¹ ÓÒÓ Ó ÓÒ ÓÒ Ò ÑÓÒ P i P Ð ÙÓ º
5 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ Ä ÑÑ ½º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒÓ u ÓÒ s¹ ÓÒÓ v ÓÒ t¹ ÓÒÓ ÙØÓÑ Ø M P º Ë ÐÐÓ Ò fail[s] = t Ó Ú Ò Ó v ÓÒ u Ò Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº ÌÓ ØÙ º ÃÝØ ØÒ Ò Ù Ø ÓØ u Ò s Ò ÝÚÝÝ Òµ Ù Ø Òº ÃÙÒ u = 1 Ð º ½º º ØØ fail[s] := 0º ÃÓ 0¹ ÓÒÓ ÓÒ ØÝ ÓÒÓ Ó ÓÒ u Ò ÒÓ ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ú Ø ÔØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u = j + 1 j > 0 ØØ Ú Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ Ø ÐÓ ÐÐ Ó Ò ÝÚÝÝ ÓÒ Ò ÒØÒ jº ÇÐ ÓÓÒ u[0...j) r 0 ¹ ÓÒÓ Ð goto[r 0, u[j]] = sº ÇÐ ÓÓØ r 1,...,r p Ø ÐÓ Ø Ò ØØ ½º r i+1 = fail[r i ] 0 i < p ¾º goto[r i, u[j]] = 1 i < p º goto[r p, u[j]] = t º Ë r 1,...,r p ÓÚ Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ø Ó Ò ÙØØ Ð º ½º º Ò Ò Ð¹ ÑÙ ÙÐ º Ë Ò Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ØØ fail[s] := tº ÇÐ ÓÓÒ v i r i ¹ ÓÒÓ 0 i pº ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ v 1 ÓÒ v 0 = u[0...j) Ò Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº Î Ø Ú Ø v 2 ÓÒ v 1 Ò Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓ Ò º v 0 Ò Ó Ò Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ ÓÒ ÑÝ v 1 Ò ÐÓÔÔÙÓ º Ë Ø Ò v 2 Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ v 0 Ò ØÓ Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº Î Ø Ú Ø v 3 ÓÒ v 0 Ò ÓÐÑ ÒÒ Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓ Ò º Ë Ø Ò v p ÓÒ v 0 Ò Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ ÓÐÐ v p u[j] = v ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº Ë v ÓÒ u Ò Ô Ò ØÓ ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº Ä ÑÑ ½º º ÌÙÐÓ ÓÙ Ó output[s] ÐØ ÓÒÓÒ y Ó Ú Ò Ó y ÓÒ Ó Ò P Ò ÑÓ Ó ÓÒ s¹ ÓÒÓÒ ÐÓÔÔÙÓ º ÌÓ ØÙ º ÃÙØ Ò Ä ÑÑ ½º º º Ä ÑÑ ½º º ÃÙÒ M P ÓÒ Ð ÒÒÙØ Ð º ½º º¾µ j + 1 Ñ Ö S Ò ÐÙ Ø ÓÒ Ø Ð s Ó Ú Ò Ó s¹ ÓÒÓ ÓÒ S[0...j] Ò Ô Ò ÐÓÔÔÙÓ Ó ÓÒ M P ¹ ÓÒÓº
6 ½ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ÌÓ ØÙ º ÃÙØ Ò Ä ÑÑ ½º º º Ä Ù ½º º Ð ÓÖ ØÑ ½º º¾ ØÙÐÓ Ø Ø ÑÐÐ Ò P Ò ÒØÝÑØ S غ ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ú Ø Ú ØØ Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ j ÓÒ P i Ò ÒØÝÑÒ ÔØØÝÑ Ó Ø S º P i ÓÒ S[0...j] Ò ÐÓÔÔÙÓ º s ÓÒ Ø Ð Ó Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ S[0...j] Ò Ð Ù Ò Ð Ò P i ÓÒ s¹ ÓÒÓÒ ÐÓÔÔÙÓ º Ä ÑÑ ½º º µº s ÓÒ Ø Ð Ó Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ S[0...j] Ò Ð Ù Ò Ð Ò output[s] ÐØ P i Ò Ä ÑÑ ½º º µº Ð ÓÖ ØÑ ØÙÐÓ Ø ØØ j ÓÒ P i Ò ÒØÝÑÒ ÐÓÔÔÙ Ó Ø S º ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ Ä Ù ½º º ÙØÓÑ ØØ M P Ð º ½º º¾µ Ø Ú ÑÑÒ Ù Ò 2n Ø Ð Ö¹ ØÝÑ Ð Ø Ò Ø Ø Ò S S = nº ÌÓ ØÙ º Fail¹ ÖØÝÑ ÚÓ ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò goto¹ ÖØÝÑ Ò ÑÖ 1 Ó Ó Ò Ò fail¹ ÖØÝÑ Ó Ø Ó Ø Ð ÑÑ Ø Ð 0 Ð ÝÚÝÝ Ú Ò µº ÃÓ goto¹ ÖØÝÑ ÓÒ n ÔÐ fail¹ ÖØÝÑ ÚÓ ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò n 1 ÔÐ ÓØ Ò ÖØÝÑ ÓÒ Ý Ø Ò Ú ÑÑÒ Ù Ò 2n Ôк Ä Ù ½º º Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ½º º¾ ØÙ Ú ÖØ ÐÙ Ò ÑÖÒ O(n) Ö ÚÐØØÑØØ ØÓ Ø ØØ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÓÐ ÑÝ O(n)º Ú ¹ Ø ÑÙ Ò Ú ÙØØ Ú Ø ÑÝ ÙÖ Ú Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ½º goto[q, a] Ò Ú ÐÙÓ ÒØ O(1) Ø O(log min(k, σ)) ¾º fail[q] Ò Ú ÐÙÓ ÒØ O(1) º Ø Ø Ù output[q] = O(1) º output[q] Ò ØÙÐÓ Ø Ñ Ò Ò ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ Ø ØÒ Ø ÙÐÙ Ó Ò Ð º ½º º¾ Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(n + r) Ñ r ÓÒ ÒØÝÑ Ò Ó ÓÒ ÑÖº ÂÓ Σ Ò Ð ÓØ ÚØ ÓÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø σ ÓÒ ÙÙÖ µ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó Ò Ø ÝØ ØØÚ Ñº Ð ØÓ Ø ÙÔÙ Ø ÓØ ÒØ Ú Ø Ú Ø ÑÙ Ò O(n log(min(k, σ)) + r)º à ØÝØÒ Ø Ó Ø ÙÐÙ ÓØÓØ ÙØÙ Òº
7 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ Ä Ù ½º º½¼ Ä Ù Ð º ½º º Ð goto¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÙ Ø output¹ ÙÒ Ø ÓÒ O(σm)º ÌÓ ØÙ º À ÐÔÔÓº Ä Ù ½º º½½ Ä Ù Ð º ½º º Ð fail¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ñ Ø Ð output¹ ÙÒ Ø ÓÒ O(σm)º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÔØ ÐÔÓ Ø ÑÙ ÐÐ Ô Ø Ö Ú ÐÐ ½¾µ ½ µ Ê Ú Ò ½ µ output¹ ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ð ØÓ Ò Ø ¹ Ò Ø ÓÒ O(1)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ Ø Ð Ú ÔÓÐ Ù s 0 = 0, s 1,...s p º ÃÙÒ Ð Ø Ò s i Ò fail¹ ÖØÝÑ Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ö Ú Ò ½¾µ ÐÑÙ¹ ÓÒ fail[s i 1 ]º ÌÐÐ Ò Ó Ø Ø Ò Ø ÓØ ÓØ ÝØ Ò ÐÔ s i 1 Ò fail¹ ÖØÝÑ Ð ØØ º Ë Ø Ò Ö Ú Ò ½¾µ ÐÑÙ ÙÓÖ Ø Ø Ò O(p) ÖØ Ø ÐÓ Ò s 1,...s p fail¹ ÖØÝÑ Ð ØØ º Ø Ò Ö Ú Ò ½¾µ ÐÑÙ ÙÓÖ Ø Ø Ò O(m) ÖØ º Ë ÙÖ Ù ½º º½¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(n + σm + r)º ÂÓ Ó ØÓÒ Ó Ó ÓÒ Ú Ó ØÙÐÓ Ø Ò Ó Ó ÓÐ Ø Ø Ò Ô Ò Ú Ø ¹ ÑÙ ÓÒ O(n + m)º ÃÓ ØÙÐÓ n = 10 7 Ø ÒØ ØÙÒØ Ò k = 15 k = 24 ØÖ ÚºÖ Ø º
8 ¾¼ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ½º À ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÚÙÐРú Ì ÓÑÔ ÓÒ Ê ÙÐ Ö ÜÔÖ ÓÒ Ö Ð ÓÖ Ø Ñº ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Å ½½ ½ ¾¾ ½ º ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ø ÐØÙ Ø Ô Ù Ý ÑÓ ÓÙ Ó ÑÓ º Ë ÙÖ ¹ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ ÑÔ Ø Ô Ù Ø Ó Ø ØØÚ Ò ÑÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÑ ØÙ ÒÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò º ÐÙ Ñ Ò ÖØ Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º º½ ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø ÙÒ Ò Ð Ù Ò A ØØÑ Ñ Ö ÓÒÓ ÓÙ Ó L(A) ½º ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù L( ) = ¾º ǫ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù L(ǫ) = {ǫ} ǫ ØÝ ÓÒÓº º à ÐÐ a Σ a ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù L(a) = {a}º º ÂÓ A B ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø (A B) Ý Ø ; L(A B) = L(A) L(B) (AB) Ø Ò Ø Ó ; L(AB) = L(A)L(B) (A ) ÙÐ ÙÑ ; L(A ) = L(A) ÇÒ ÐÑ ½º º¾ ÇÒ ÒÒ ØØÙ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù A ÑÓ ÓÙ ÓÒ ØÝ µ Ø Ø Sº ǽº ÇÒ Ó S L(A) Ǿº ÒÒ S Ò Ð ÙÓ Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ ÓÓÒ L(A)º Ç º Ø L(A) Ò ÓÒÓ Ò ÒØÝÑØ S غ ǽ Ò Ö Ø Ù ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M A Ø Ò ØØ Ò ÝÚ ÝÑ Ð ÓÒ L(M A ) = L(A)º Ë Ð Ø Ò S M A ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò ÐÓÔÙ ÓÒ Ó M A ÐÓÔÔÙØ Ð º Ǿ Ò Ö Ø Ù ÃÙØ Ò Ç½ ÑÙØØ ØÙØ Ø Ò Ó Ò Ñ Ö Ò Ð Ò ÓÒ¹ Ó M A ÐÓÔÔÙØ Ð º Ç Ò Ö Ø Ù Ê Ø Ø Ò Ç¾ Ð Ù ÐÐ Σ A Ñ Σ ÓÒ Ò Ó ØÓÒ Ñ Ö Ò Ý Ø a b...µº
9 ½º º À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ê ÄÄÁË Æ ÍÌÇÅ ÌÁÆ ÎÍÄÄ ¾½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ó Ð ÒÒ ÓÒ ÐÑ Ç½º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ Æ µ M = (Q, Σ, δ, q 0, F) ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ó Ø ½º Q ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÐÓ Ò ÓÙ Óº ¾º Σ ÓÒ Ý ØØ Ó ØÓº º δ ÓÒ Ø Ð ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ : Q (Σ {ǫ}) Q Ò Ó ÓÙ ÓØ δ ÐÐ Ù Ø ÖØÝÑ Ñ ÐÐ Ó ÐÐ µº º q 0 Q ÓÒ Ð ÙØ Ð º º F Q ÐÓÔÔÙØ ÐÓ Ò ÓÙ Óº ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ë ÖØÓ (q, aw) (q, w) Ó q δ(q, a) a Σ {ǫ} w Σ º ÀÝÚ ÝØØÝ Ð L(M) = {w (q 0, w) Ø Ö Ó ØØ ¼ ÐÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ ÖÖÓÐÐ º (q, ǫ), q F } Ñ M A Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó A Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ñº ÙÖ ÐÐ Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ÙÚ ½º½º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ Æ M A = (Q, Σ, δ, q 0, {q f }) ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ A Ø Ñº Ø Ò ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò L(M A ) = L(A) ½µ Q = 2 A A ÓÒ A Ò Ô ØÙÙ Ñ Ö Òµº ¾µ δ(q f, a) = ÐÐ a Σ {ǫ}º µ ÃÙ Ø Ò Ø Ð Ø q Q Ð Ø ÓÖ ÒØ Ò ¾ ÖØÝѺ ÌÓ ØÙ º L(M A ) = L(A) º Ѻ Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ º Î Ø ¾µ ÔØ ÐÚ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÒÓ ÐÐ º Î ØØ Ø ½µ µ Ó Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ A Ò Ù Ø Òº
10 ¾¾ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ÃÙÚ ½º½ Æ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø º ÃÙÚ Ò λ ÓÒ Ñ Ù Ò Ø Ø Ò ǫº
11 ½º º À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ê ÄÄÁË Æ ÍÌÇÅ ÌÁÆ ÎÍÄÄ ¾ Ì Ø Ò S Ð Ñ Ò Ò ÙØÓÑ Ø ÐÐ M A Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Æ M A Ò Ú ØÓ ØÓ ÔÓÐ Ù ÚÓ Ò ÙÖ Ø Ñ Ò Ø º Î ØÓ ØÓ Ò Ò Ö Ø ÙØ Ô ÓÐ ÑÙÓ Ó Ø Ò Ò M A Ø Ú Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M Aº M A ÚÓ ÓÐÐ ÝÚ Ò ÙÙÖ M A = O(2t ) Ñ t ÓÒ M A Ò Ø ÐÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ Ò M A Ò ÑÙÓ Ó Ø ¹ Ñ Ò Ò Ò ÒÒ Ø Ú Ö Ò Ò Ó S ÓÒ ÐÝ Ýغ M A Ò ØÙÒ ÓÒ ØØ S ÚÓ Ò Ð Ø O( S )º Å Ö ØÒ Q j ÐÐ Ò Ò Ø ÐÓ Ò ÓÙ Ó Ó M A ÚÓ ÓÐÐ ÐÙ ØØÙ Ò Ó¹ ÒÓÒ S[0...j) : Q j = {q (q 0, S[0...j)) (q, ǫ)}º Ë ÐÐÓ Ò q Q j Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ q Q j 1 Ø Ò ØØ Ø Ð Ø q ÖÖÝØÒ Ø Ð Ò q 1 Ñ Ö ÐÐ S[j 1] Ø Ð Ø q 1 ÖÖÝØÒ ¼ ÐÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ ǫ¹ ÖÖÓÐÐ Ø Ð Ò qº Ð ÓÖ ØÑ ½º º Æ Ò ÑÙÐÓ ÒØ ËÝ Ø Æ M A = (Q,Σ,δ,q 0, {q f }) Ì Ø S = S[0... n)º ÌÙÐÓ Ø Ì Ð ÓÙ Ó ÓÒÓ Q 0,Q 1,...,Q n º ÀÙÓѺ S L(M A ) Ó Ú Ò Ó q f Q n º ½µ ¾µ ÂÓÒÓ queue ÓÙ ÓØ Q 0,Q 1,...,Q n ÓÚ Ø ÐÙ ØÝ º ÓÖ j := 0 ØÓ n Ó Ñ Ö Ø Ù Ò q Q ÚÙØØ Ñ ØØÓÑ µ j = 0 Ø Ò Q 0 := {q 0 } queue := {q 0 } Ñ Ö Ø q 0 ÚÙØ ØÙ µ µ µ µ µ µ ½¼µ ½½µ ½¾µ ½ µ ½ µ ½ µ ½ µ Ð ÓÖ q Q j 1 Ó ÓÖ p δ(q,s[j 1]) Ó p ÓÒ ÚÙØØ Ñ ØÓÒ Ø Ò Q j := Q j {p} push back(queue,p) Ñ Ö Ø p ÚÙØ ØÙ Û Ð queue Ó q := pop front(queue) ÓÖ p δ(q,ǫ) Ó p ÓÒ ÚÙØØ Ñ ØÓÒ Ø Ò Q j := Q j {p} push back(queue,p) Ñ Ö Ø p ÚÙØ ØÙ Ê Ú ÐÐ ½¼¹½ ÙÖ Ø Ò ǫ¹ ÖØÝÑ Ó ÚÓ Ø Ò ØØ ÔÓ Ó ÙØÓÑ Ø ÓÐ ǫ¹ ÖØÝÑ º Æ Ò ÔÓ ØÓ ØØ Ù Ø Ò Ò Ú ØØ ÖØÝÑ Ò ÑÖ O( Q 2 )º Å Ö ØÒ M A Ø ÐÓ Ò Ð Ñ ÖØÝÑ Ò Ð Ñº
12 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË Ä Ù ½º º Æ M A Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ½º º ÙÒ Ý Ø ÓÒ S = S[0...n) Ú Ò O( M A n)º ÌÓ ØÙ º Ê Ú ¾ Ú Ò O( Q )º Ë ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ δ Ú ÐÙÓ ÒØ ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ O(1) Ó Ù ¹ Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ò ÒØÒ ÖØÝѺ à ÑÙÙØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÓ Ñ Ú Ø Ú Ó º Ê Ú ÐÐ ½ Ú Ò Ú Ò ÚÙØØ Ñ ØØÓÑ Ø ÐÓ ÓÒÓÓÒ Ñ Ö ØÒ Ò Ñ ÐÐ ÚÙØ ØÙ º Ë ØØ Ò ÙÖ Ø Ò ÚÙØ ØÙ Ø Ø ÐÓ Ø Ð Ú ÖØÝÑ ÓØ Ò ÙØ Ò ÖØÝÑ ÙÖ Ø Ò ÓÖ ÒØ Ò ÖÖ Òº Ò ÖØÝÑÒ ØØ ÐÝ Ú O(1) Ò ÓØ Ò ÙÐÙÙ O ÖØÝÑ Ò Ð Ñµº Ê Ú Ø ¾ ½ ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º Ë Ó ÓÒ ÓÒ O( M A n)º Ë ÙÖ Ù ½º º ÃÓ M A 6 A Ä Ù ½º º µ ÚÓ Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ó S L(A) O( A S ) ÓÒ ÐÑ Ç½µ Ð S Ò Ð ÙÓ Ø ÓØ ÓÚ Ø L(A) O( A S ) ÓÒ Ð¹ Ñ Ç¾µ Ð ÝØ S Ø L(A) Ò ÓÒÓ Ò ÒØÝÑØ O(( Σ + A ) S ) ÓÒ¹ ÐÑ Ç µº ÌÓ ØÙ º Ǿ O( A ) ÚÓ Ò ØÙØ ÐØ Q j ÐÓÔÔÙØ Ð Òº Ç Σ A = O( Σ + A )º ½º À ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ò Ö Ó Ø Ô Ù ÐÐ Ø ÐØ Ò Ø Ô Ù Ø Ó ÑÓ Ò ÓÙ Ó Ø ØØ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ý ÝÑÝ ÓÒ Ð ÝØÝÝ ÐÐ ¹ØÖ Ú Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò Ð ÐÙÓ ÓÐÐ ÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÚÓ Ø Ò ØÓØ ÙØØ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ½º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÝ Ý Ø Ó Ø Ò ØÐÐ Ð ÐÙÓ º
13 ½º º À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍÃË Æ ÊÁÃÇÁËÌ È ÍÃËÁ ¾ ½º º½ Å Ö ÐÙÓ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô Ù Ø Ó ÑÓÒ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÓ ÓØ ÚÓ Ú Ø Ø ÑØ Ù ÑÔ Ò Ö Ñ Ö Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÓ P = p 0 p 1 p m 1 ÓÒ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ó ØÓÒ Ó ÓÙ Ó p i Σº À ÑÓ P ÒØÝÝ Ø Ø Ò S Ó j Ó s j+i p i ÐÐ i [0, m)º Ñ Ö ½º º½ À ÑÓ [Aa][Ss][Ss][Ii] Ø Ñ Ò Ò assi ÑÙØØ ÐÐ Ô ÒØ Ò Ó Ò Ö ÒØ Ò Ý Ø ÐÑغ Ë Ø¹ÓÖ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÓ Ø Ø Ò Ø Ô Ù Òº ÒÓ ÑÙÙØÓ Ó Ú ØÓÖ Ø T[a] a Σ ÓØ ÖØÓÚ Ø Ñ Ò ¹ ÑÓÒ Ó Ø Ò Ù Ò Ñ Ö Ø Ñº ÁØ ÙÒ ÙÓÖ ØØ Ú Ô ÐÑÙ ÑÙÙØÙ ÓÐÐ Ò Òº Ð ÓÖ ØÑ ½º º½ Ö Ú ¾µ ¾µ ÓÖ i := 0 ØÓ m 1 Ó T[p[i]] := T[p[i]] 2 i ÓÖÚ Ø Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ö Ú ÐÐ ¾µ ÓÖ i := 0 ØÓ m 1 Ó ÓÖ a p[i] Ó T[a] := T[a] 2 i Ë Ð Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÐÝÝ Ñ Ò O( m/w n)º ÐÙ ØÙ Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÒÝØ O( m/w σ + P ) Ñ P = i [0,m) p i ÓÒ ÑÓÒ Ñ Ö ÐÙÓ Ò Ý Ø Ó Óº Ë Ø¹ÓÖ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ú Ð Ð Ë ÐÐ Ø Ò ÑÓ Ö Ó Ñ Ö Ø? º p i? Ø Ö Ó ØØ ØØ Ñ Ö Ø Ñ Ö ÐÙÓ p i ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Òº p i Ø Ö Ó ØØ ØØ p i ÒØÝÝ ¼ ÖØ Ø Ù ÑÑ Òº Ñ Ö ½º º¾ À ÑÓ s?h[ei][rs] Ø Ñ ÑѺ ÒÓ Ò he she his hersº ÌÙ Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø ÑÙØØ ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ ØØ Ý Ø ØØ Ñ Ö ÐÙÓ µ ÙÐ ÙÑ µ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ú Ò Ý ØØ Ò Ñ Ö Ò Ø Ñ Ö ÐÙÓ Ò Ñ Ð Ú ÐØ ¹ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ð Ù Òº Ð ØÝ ÓÒ Ñ Ö ÐÙÓ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ Ó Ø Ø Ò Ø º Ä Ø ØÓ Ð ÝØÝÝ Ö Ø º Æ Ú ÖÖÓ ² ź Ê ÒÓØ Ð Ü Ð È ØØ ÖÒ Å Ø¹ Ò Ò ËØÖ Ò º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¾º
14 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ì ÊÃà À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ½º º¾ ÂÓ Ö Ñ Ö Ø Åº Ö ² ź È Ø Ö ÓÒº ËØÖ Ò Ñ Ø Ò Ò ÓØ Ö ÔÖÓ ÙØ º Ì Ó Êº à ÖÔ ØÓÖ ËÁ Å ÅË ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÚÙØ ½½ ½¾ ½ º Å Ö ÐÙÓ Ö Ó Ø ØÙÑÔ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÐ ÑÓ ÒÓÖÑ Ð Ò Ñ Ö ¹ Ò Ð Ó Ö Ñ Ö # ÓØ Ø ÑÚØ Ñ Ò Ø Ò Ý ØØ Ò Ñ Ö Òº Ñ Ö ½º º À ÑÓÐÐ P = Ó Ð ÝØÝÝ ÒØÝÑ Ø Ø S = Ó Ö ÔÓ Ö ØÓ Ò º Ê Ø Ù ÌÖ Ú Ð Ð ÓÖ ØÑ º Ú Ø ÑÙ O(nm)º Ë Ø¹ÓÖ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ú Ø ÑÙ O(n m/w )º Ö¹È Ø Ö ÓÒ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ú Ø ÑÙ O(n log 2 m log log m)º Ö¹È Ø Ö ÓÒ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ô Ð ÙØØ ÓÒ ÐÑ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ¹ ÙÙÒ Ó ÓÒ ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ø Ø ØØÝ Ù Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ¹ º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ Ó Ö Ñ Ö ÐØÚ Ò ÑÓÒ Ø Ø Ò Ô ØÙÙ Ø m n m nº ÌÐÐ Ò ÑÓÒ ÒØÝÑØ Ø Ø ÚÓ Ò Ð ÝØ ÁÅ(n log m, m log m) Ñ ÁÅ(N, M) ÓÒ Ò N M N M ØØ Ô Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÙÒ Ø ÖÚ ØØ Ú º Ë Ò ¹ËØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ð ÓÖ ØÑ ÝØØ O(N log M log log M) ØØ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ñ Ø ÙÖ O(n log 2 m log log m) Ð ÓÖ ØÑ ÑÓÒ ÓÚ ¹ ØÙ ÐÐ Ó Ö Ñ Ö Ò Ò º à ÖØÓÐ Ù ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ø ØÓ¹ ÓÒ Ò ÓÑ ÖØÓÐ Ù¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑÙØØ ØÐÐ Ò Ú Ø ÑÙ ØÙÐ O(mn) Ð Ñ Ù Ò ØÖ Ú Ð Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÚ Ù Ó Ø Ø Ò Ø ÑÙØØ Ð ÝØÝÝ Ñº Ý ÝÒ ¾¼¼ ÙÖ Ò ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ø Ö Ø Åº ÖÓ ÑÓÖ ² Ϻ ÊÝØØ Öº Â Û Ð Ó ËØÖ Ò ÓÐÓ Ýº ÏÓÖÐ Ë ÒØ ¾¼¼ º
15 ÄÙ Ù ¾ Ä ÑÖ Ò Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Í ÓÚ ÐÐÙ ÓÐ Ñ Ð Ø Ø Ú Ò ÑÓÒ P Ø Ö Ó Ò¹ ØÝÑ Ú Ò ÔÝÖ ØÒ Ð ÝØÑÒ Ø Ø Ò Ó ÓÒÓØ ÓØ ÓÚ Ø Ö ØØÚÒ Ð ÐÐ ÑÓ P º ÂÓÒÓ Ò Ñ Ò ÐØ ÙÙ Ò Ö Ñ ØØ ÓÒ ØÓ ÒØ Ø ¹ ÝÝ º ¾º½ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ A = a 1 a m Σ ÐÝ ÒØ Ú Ö Ø ÐØÚ ÓÒÓ B = b 1 b n Σ Ú Ö Ø Ò ÓÒÓ º Å Ö ÓÒÓ Ò A B ÚÐ Ò Ò ØÓ ÒØ Ø ÝÝ ÓÒ Ô Ò Ò ØÓ ÒØ ÓÔ ¹ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó Ø ÖÚ Ø Ò ÓÖ Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒÓ A Ú Ö ØØ ÑÒ ÑÙÓØÓÓÒ Bº ØÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓØ Èº ÈÓ ØÓ A Ò Ñ Ö a i Ú Ø Ñ Ò B Ò Ñ Ö a i ǫº ĺ Ä Ý B Ò Ñ Ö b j Ú Ø Ñ Ò A Ò Ñ Ö ǫ b j º ź ÅÙÙØÓ A Ò Ñ Ö a i Ú Ø B Ò Ñ Ö b j a i b j a i b j º ÇÔ Ö Ø ÓØ Å ÚØ Ñ ÒÒ Ö Ø Ò ÂÓ a i b j a i b j Ò Ò i < i Ó Ú Ò Ó j < j º Í Ò ÓÒ ÑÝ Ý ÝÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó Ìº Ì ÑÝ A Ò Ñ Ö a i Ú Ø B Ò Ñ Ö b j a i = b j a i b j º ¾
16 ¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÃÁÅ Ê ÁÆ Æ À ÀÅÇÆËÇÎÁÌÍË ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ Å Ö ÓÒÓ Ò A B ÚÐ Ò Ò ØÓ ÒØ Ø ÝÝ D(A, B) ÓÒ Ô Ò Ò ØÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø Ó Ò È Ä Å ÑÖ Ó Ø ÖÚ Ø Ò ÑÙÙÒØ ¹ Ñ Ò A B º ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø Ä Ú Ò Ø Ò¹ Ø ÝÝ º ÂÓ ÐÐ Ø Ò Ô Ð ÓÔ Ö Ø Ó Å ÑÙÙØÓ µ Ø ÝÝ Ø ÝØ ØÒ Ò ¹ Ñ ØÝ Ø À ÑÑ Ò ¹ Ø ÝÝ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ D ÓÒ Ñ ØÖ ½µ D(A, B) 0 ¾µ D(A, B) = 0 Ó Ú Ò Ó A = B µ D(A, B) = D(B, A) µ D(A, C) D(A, B) + D(B, C)º Ñ Ö ¾º½º¾ A = B = ÓÔ Ö Ø ÓØ ¾ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ì ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ Ý ÔÓ ØÓ Ó A = B +1 Ú ÒØÒ Ý Ð Ý Ø ÑÙÙØÓ Ó B ÓÒ Ý b Ò ÑÑÒ Ù Ò A º ÌÑÒ ÝÐÐÓÐ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ D(A, B) = 2º ØÓ ÒÒ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ò Ò ½º ÂÐ ØÝ ØÖ µ Ò Ù Ø Ö Ý Ò Ø Ö Ø Î Ú Ø ÚØ Ñ ÒÒ Ö Ø Òº Å µ ¾º ÃÓ ØÙ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÌ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
LisätiedotËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
LisätiedotT 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
LisätiedotHajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotC A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
LisätiedotÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
LisätiedotP(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
LisätiedotRuuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
LisätiedotÌ ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
LisätiedotErkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
LisätiedotM : S N { }, S : S N.
Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ
LisätiedotÃÙ ÖÓ ÚÙ ÓÔ Ø ØºÒ Ø ½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙ
½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙÐÓ Ò Ö ÙÖ Ó Ò ÖÙ ÚÓ ÔÖ ÒØ Ô ÒÒÙ ÓÒ ÓÐÐÙ ØÝ Ô ÐÓ ÖÙ ÑÙ Ý Ò Ö Þ Ø Ù ÚÓ Ø
Lisätiedot