Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
|
|
|
- Irma Salo
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
2 ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
3 Å Ø Ö Ð ÄÙ ÒØÓ ÐÚÓØ ØÙÐ Ú Ø Ú Ö ÓÓÒ ÓØ ÚÙÐÐ º ÃÙÖ ÙÖ Ù ÓÐÐ Ø ÓÔÔ Ö Å Ð Ë Ô Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ë ÓÒ Ø ÓÒ Ì ÓÑ ÓÒ ¾¼¼ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
4 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò ÑÓÒØ Ó ÖØ ÐÙ ÙÔ Ð ÙÙ Ò Ù ÐÐ º ÃÓ ØÙÐÓ Ö ÔÔÙÙ ÝÐ Ò ÑÓÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ð Ù ÙØ Ò ØÙÐÓ O¹ÒÓØ Ø ÓÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
5 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ü ÑÔÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐØ = {¼ ½ ¼}º Ë Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ½ ¾ Ë Ð Ý Ø Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ¼ ÒØÝÝ Ý Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÓ Ø ÙÖ Ú Ò Ò Ù Ò Ù Ò Ý ØØ ÒÓÐÐ ÓÒ Ò Ù ÐÐ Ë Ð Ò Ù ÔÓ Ø Ý ÒÓÐÐ Ý Ý Ò Òº ÂÓ Ò Ù ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø Ý ÝÐ Ý Ø ÑÙÙØ Ò ÝÚ Ýº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
6 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ð ÒØ ¹ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Ñ Ñ ÑÖ Ð Ó Ø Å ÝØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Ò Ò Ô ØÙ ÐÐ Ý ØØ Ðк ÂÓ ÓÒ Å Ò Ð ÒØ ¹ ÒÓØ Ò ØØ Å ØÓ Ñ ØØ Å ÓÒ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
7 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ö ÔÔÙÙ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ý ¹ Ú ÑÓÒ Ò Ù Ò Ò ¹ÙÖ Ò Òº ÄÓÔÙÐÐ Ò Ò Ð Ù ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ ÑÙØ Ò Ò ÚÓ Ú ÐÐ Ô Ð ÓÒ Ö Ý ØØ Ðк Ë Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ µ Ú Ò Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ Ý Ò ÖØ Ø Ø Ò Ð Ù Ø ÝÑÔØÓÓØØ ÐÐ O¹ÒÓØ Ø ÓÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
8 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓØ ÙÒ Ø Ó Ø Æ Ê + º ÌÐÐ Ò (Ò) = O( (Ò)) Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ò ¼ ØØ Ó ÐÐ Ò Ò ¼ (Ò) (Ò) ÂÓ (Ò) = O( (Ò)) Ò Ò ÓÒ Ò ÝÐÖ Ø Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÝÐÖ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
9 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
10 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
11 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
12 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº À ÐÔÓÑÑ Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò + ¾Ò + ¾¾Ò + Ò = Ò = O(Ò ), ÙÒ Ò > ½º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
13 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº À ÐÔÓÑÑ Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò + ¾Ò + ¾¾Ò + Ò = Ò = O(Ò ), ÙÒ Ò > ½º ÅÝ ½ (Ò) = O(Ò )º Ë Ò Ò ½ (Ò) O(Ò ¾ )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
14 Ó¹ÒÓØ Ø Ó ÆÓØ Ø Ó = O(}) ÐÐ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓØ Ú Ú Ø Ý Ø ÒÓÔ Ø º Ë Ò Ò Ó¹ÒÓØ Ø ÓØ ÝØ ØÒ ÙÒ Ú Ø Ò ØØ Ú Ø ÑÑ Ò Ù Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ÒÓ ÖÓ ÓÒ ØØ Ð ÑÑ ÝØ ØÒ <¹Ñ Ö Ñ Ö Ò Ñ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓØ ÙÒ Ø Ó Ø Æ Ê º Ë ÒÓØ Ò ØØ (Ò) = Ó( (Ò)) Ó (Ò) Ð Ñ Ò (Ò) = ¼ Ð Ó (Ò) = Ó( (Ò)) Ò Ò Ó Ø Ö Ð ÐÙ Ù > ¼ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ò ¼ ØØ (Ò) < (Ò) ÐÐ Ò Ò ¼ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½¼»
15 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
16 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
17 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
18 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
19 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ÄÓÔÙ Ú Ð Ú ÖÑ Ø Ø Ò ØØ Ð ÐÐ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙ O(Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
20 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ÄÓÔÙ Ú Ð Ú ÖÑ Ø Ø Ò ØØ Ð ÐÐ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙ O(Ò)º Ë Ø Ò Ó ÓÒ ÓÒ O(Ò) + O(Ò ¾ ) + O(Ò) = O(Ò ¾ ) ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½½»
21 O¹Ñ Ö ÒØ ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ñ Ø Ò O¹Ñ Ö ÒØ ÝØ ØÒ Ö ØÑ ØØ Ð Ù Ñº O(Ò ¾ ) + O(Ò)º ÌÐÐ Ð Ù Ù Ò O¹Ø ÖÑ Ù Ø Ú Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ ÖØÓ Ñ Ø ÚÐ Ø Øº Ì ÖÑ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ú Ò ÓÑ ÒÓ Ú Ø ÖÑ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½¾»
22 O¹Ñ Ö ÒØ ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ñ Ø Ò O¹Ñ Ö ÒØ ÝØ ØÒ Ö ØÑ ØØ Ð Ù Ñº O(Ò ¾ ) + O(Ò)º ÌÐÐ Ð Ù Ù Ò O¹Ø ÖÑ Ù Ø Ú Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ ÖØÓ Ñ Ø ÚÐ Ø Øº Ì ÖÑ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ú Ò ÓÑ ÒÓ Ú Ø ÖÑ º Ë ÑÓ Ò ØÙÐ Ø Ò Ú Ô ¾ O(Ò) º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½¾»
23 O¹Ñ Ö ÒØ O¹Ñ Ö ÒØ ØØ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ø Ú Ø º ÃÓ ÐÓ Ò = ÐÓ ¾ Ò/ ÐÓ ¾, ÒØ ÐÙ Ù ÓÐ ØÖ O¹Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ Ø O(ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
24 O¹Ñ Ö ÒØ O¹Ñ Ö ÒØ ØØ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ø Ú Ø º ÃÓ ÐÓ Ò = ÐÓ ¾ Ò/ ÐÓ ¾, ÒØ ÐÙ Ù ÓÐ ØÖ O¹Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ Ø O(ÐÓ Ò)º Ѻ (Ò) = Ò ÐÓ ¾ Ò + Ò ÐÓ ¾ ÐÓ ¾ Ò + ¾º ÌÐÐ Ò (Ò) =Ç Ò ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
25 Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Ø : Æ Æ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ ÌÁÅ (Ø(Ò)) ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÙÒÒ Ø O(Ø(Ò))º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
26 Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Ø : Æ Æ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ ÌÁÅ (Ø(Ò)) ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÙÒÒ Ø O(Ø(Ò))º Ü ÑÔÐ ÇÐ ÓÓÒ = {¼ ½ ¼}º ÌÐÐ Ò ÌÁÅ (Ò ¾ )º ÇÒ Ó ØÙÒÒ ØÙ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÔ ÑÑ Ò Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
27 Ë ÙÖ Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ¾ ØÙÒÒÒ Ø Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÔ ÑÑ Òº ½ ¾ Ë Ð Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ¼ Ð ÝØÝÝ ½ Ò Ó ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ º ÌÓ Ø Ò Ò Ù Ò Ù Ò ÒÓÐÐ Ý ÓÒ Ò Ù ÐÐ Ë Ð Ò Ù Ø Ø ØØ ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò Ý Ø Ð Ñ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº Ë Ð Ò Ù ÔÝÝ ÝÐ Ó ØÓ Ò Ò ¼ Ó ØÓ Ò Ò ½º ÂÓ ÒÓÐÐ Ý Ò ÒÒÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
28 ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ Å ¾ ØÓ ÐÐ ØÙÒÒ Ø Òº Ð ÒÓÐÐ Ò ÑÖ ÔÙÓÐ ØØÙÙ Ó ÖÖ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÒÒ ÝÐØÒº Ë Ø Ò Ó ÐÙÒÔ Ö Ò ÒÓÐÐ ÓÒ ½ Ð Ò Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ð ÒÓÐÐ ÒØÝÝ ½ ¼ Ôк Ë ÑÓ Ò Ø Ô ØÙÙ Ý Ø Ò Ó ÐÐ º Ð ØÙØ Ø Ò ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ý ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÑÝ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ÑÝ Ý ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ô Ö ØÓÒ ÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÔÙÓÐ Ø Ø Ò ÑÝ Ý Ø Ò ØÝØÝÝ ÔÙÓÐ ØØÙ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú Ò Ó µº ÂÓ ÐÙÒÔ Ö Ò Ý ÒÓÐÐ ÓÒ Ö ÑÖ Ó Ò Ú Ý Ø ÑÖ ØÙÐ Ô Ö ØÓÒ ÐÙ Ù Ý Ø ÚÓ Ò ÝÐغ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
29 Ò ÐÝ Ó Ò Ú Ø ÑÙ º ÂÓ Ò Ò ÖÖÓ Ú Ø Ò O(Ò)º à ÖÖÓ Ø Ò ½ + ÐÓ ¾ Ò ÔÐ ÓÖ ÒØ Ò ÐÐ Ó ÖÖÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò ÑÖ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Ë Ø Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ (½ + ÐÓ ¾ Ò)O(Ò) Ð O(Ò ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
30 Ä Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ú Ø ÑÙ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ Ð Ò Ö Ó ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º Ò Ù ÐÐ ÓÒ ÐÐ ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ º ÁØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ø Ò Ð Ó ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ý Ò Ù ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ (Ò ÐÓ Ò) ÓÒ Ø ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ã Ò Ù Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ÓÔ Ó ÒÓÐÐ Ø ØÓ ÐÐ Ò Ù ÐÐ Ú ÖØ ØØ Ò ÒÓÐÐ Ò Ð Ñ Ý Ø Ò Ð Ñ Òº Ë ÐÚ Ø Ò Ò ØÙ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÝØØ O(Ò) Ð ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
31 ½ ¾ Ë Ð Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ÒÓÐÐ ÓÒ Ý Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ð ½º Ò Ù ÐÐ ÒÓÐÐ ÙÒÒ Ó Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ý Ò Òº ÃÓÔ Ó ÒÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò Ù ÐÐ ¾º Ë Ð Ý Ø ½º Ò Ù ÐÐ Ò Ù Ò ÐÓÔÔÙÙÒº ÈÝÝ ÝÐ ÒÓÐÐ Ò Ù ÐÐ ¾ Ó Ø Ý Ø Ó Ø º ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÐÓÔÔÙÚ Ø ÒÒ Ò Ý ÝÐ Ý Ø º ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÓÒ ÔÝÝ ØØÝ ÝÐ ÝÚ Ýº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ð ÐÐ ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
32 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÐ Ø ÑÙÐÓ ÒÒ Ø È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ØÙÐÓ Ö ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÐ Ø Ù Ø Ø º Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ Ø(Ò) ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ø(Ò) Òº ÌÐÐ Ò Ý Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÚÓ ÑÙÐÓ ÑÓÒ Ò Ù Ø Ò Ø(Ò) ÝØØÚ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØØ O(Ø ¾ (Ò))º ÌÓ ØÙ º Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ð Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ú Ö ÓØ Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÐ º È Ð ÙØ Ø Ò Ò Ò Ñ Ð Ò Ô Ø ÖÑ Ø Ò ÓÒ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾¼»
33 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò Ý Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÑÙØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ δ : É Σ P (É Σ {Ä, Ê}) Ë ÓÒ Ù Ø Ú ØÓ ÖØÝÑ Ñ ÐÐ Ð Ø Ø Ð ÐÐ Ñ ÐÐ Ñ Ö Ðк Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÔÙÙÐÐ ÓÒ Ö Ø ÙÚ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ù Ò Ø Ð ÒØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Òº ÂÓ Ó Ò Ö Ó Ø ÝÚ ÝÚÒ Ø Ð Ò Ý Ø ÝÚ ÝØÒ ÑÙÙØ Ò ÝÐØÒº Ë ÓÖÑ Ð Ñ ØØ ØØ ÐÙÑ ÐÐ ÓÒ ÝÚ Ò Ð ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø Ö ÐÐ Ø Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑ ØØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾½»
34 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Æ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Òº ÌÐÐ Ò Æ Ò Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Ò Ò Ô ØÙ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÝØ ØØÝ Ò Ð Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò ÑÖ ÙÒ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÔÓÐÙØ Ý ÐÐ Ý ØØ Ðк Ë ÙÖ Ú Ø ÙÚ Ø Ú Ð Ú Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ Ó Ò ÖÓ Ú ÙÙ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ Ú Ø Ñ Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ º Ë ÓÒ Ú Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙØØ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ú Ø ÓÔ Ö Ð Ø Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ý Ø Ý º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾¾»
35 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
36 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
37 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
38 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
39 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
40 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
41 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
42 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¼»
43 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ì ÑÑ Ó Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ ÐØ ØØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Øº È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÑÙÐÓ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ Ø(Ò) ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ø(Ò) Òº ÌÐÐ Ò Ó Ø Ò Ø(Ò) Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ý Ò Ù Ø ÓÒ ØØ Ú Ø Ý Ò Ù Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÑÓ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÓÒ ¾ O(Ø(Ò)) º ÌÓ ØÙ º Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
44 Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò ÖÓ È Ø ¹ ÖÚ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÖÓ Ú Ø ÑÙ Ò Ý Ø Ý º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ Å ØÙÒÒ Ø Ð Ò º ÌÐÐ Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø ÓÒ ÐÐ Å Ó Ò Å Ø Ú Ø Ñ ÐÐ ÝÚ ÝÚØ ÝÐ ÚØ Ø Ð Ø ÒÒº ÂÓ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ Å ÒÓÒ ØÙÒÒ Ø Ð Ò Ò Ò ÝÐÐ Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÐØØÑØØ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÓÒ ØØ Å ÒÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ü Ü ØÙÒÒ Ø Ò ÓÒ ÐÐ Å ÒÓÒ ÓÒ ÑÓÒØ Ö Ó Ø Ó ÔØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ Ó ÝÐ ÚÒ Ø Ð Òº ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ÓÒ Å ÒÓÒ ÝÚ ÝÚØ ÝÐ ÚØ Ø Ð Ø Ú Ø Ò ÒÒº Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÒ Ü Ø ÐÐ Ò ÑÓÒ ÖÓ Ó Ø Ó ÔØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ Ø Ð Òº Ë Ü ÝÚ ÝØÒ ÓØ Ò ÑÓ Ó ØÙ ÓÒ Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
45 ÄÙÓ È ÃÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÐÙÓ Ò È ØÙÐ ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ØÐÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ø ÓØ Ò ØØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÝ ÝØÒÒ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
46 ÄÙÓ È ÃÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÐÙÓ Ò È ØÙÐ ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ØÐÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ø ÓØ Ò ØØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÝ ÝØÒÒ º Ë Ò Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ ÝØÒÒ ÙÙÖ ÐÐ Ý ØØ Ðк ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑ ÝÒØÝÝ Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ Ö Ø Ù Ô ÖÙ ØÙÙ Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ø ÒØÒ ÓÐÐÓ Ò Ý Ò Ý Ø Ñ ØØ Ø Ö Ú ØÓ ØÓ º Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò ÙÙÖ Ò ÐÙÓ Ò Ó Ø Ý Ø Ò ØÖ Ò Ñ Ö Ò ØÓ Ñ ÙÙÖ Èº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
47 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
48 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
49 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ÌÓ Ò Ò Ñ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÑ ØÓ Ø º ÇÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØØ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ó ÐÑÓ Ò Ù ÑÔ Ð ÓÖ ØÑ º À Ñ Ò Ø ÓØØÓÑ ÑÔ ÑÙØØ Ô Ò ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ Ô ÒØ Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ö Ø ÙÙÒº ËÙÙÖ Ò Ø Ô Ù Ò ÝØ ØÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ô Ö ÑÔ ÑÙØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ º Æ Ò Ó ÐÑ ØÓ ØÓ Ñ Ø Ó ÑÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ð ÒØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
50 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ÌÓ Ò Ò Ñ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÑ ØÓ Ø º ÇÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØØ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ó ÐÑÓ Ò Ù ÑÔ Ð ÓÖ ØÑ º À Ñ Ò Ø ÓØØÓÑ ÑÔ ÑÙØØ Ô Ò ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ Ô ÒØ Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ö Ø ÙÙÒº ËÙÙÖ Ò Ø Ô Ù Ò ÝØ ØÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ô Ö ÑÔ ÑÙØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ º Æ Ò Ó ÐÑ ØÓ ØÓ Ñ Ø Ó ÑÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ð ÒØ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ÑÝ ØØ ÝØÒÒ ÒÝØ ÒØÝÚÒ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÝÚ Ò ÙÙÖ Ñº Ò ½¼¼ º Ì Ú ÐÐ ÑÑ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ½ ¾ Ó Ò ÖÚ Ò Ø Ð ÒØ Ø º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
51 ÅÖ Ø ÐÑ È ÓÒ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÙÓ ÓØ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý Ò Ù ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò È = ÌÁÅ (Ò ) È ÓÒ ØÖ Ó ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ú Ð ÒØØ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ý Ò Ù Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ò ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò Ú Ø Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÝØÒÒ Ö Ø Ø Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò ÓÙ Ó º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
52 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
53 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Ñ Ö ÓÒÓ Ùº ÈØ Ù Ä( ) Ê Ø Ù Ñ Ö Ó ¹ ÓÙÒ Ö¹Ã Ñ Ò ÝÐ Ò Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÙÙØ ÓÐÐ º ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ò Ð ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
54 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Ñ Ö ÓÒÓ Ùº ÈØ Ù Ä( ) Ê Ø Ù Ñ Ö Ó ¹ ÓÙÒ Ö¹Ã Ñ Ò ÝÐ Ò Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÙÙØ ÓÐÐ º ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ò Ð ÐÐ º ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙ Ù º ÇÚ Ø Ó ÐÙÚÙØ ÒÒ ÓØØÓÑ Ê Ø Ù Ë ÙÖ Ú Ø ØØÚ Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø Ò ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Òº ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø ÒÒ ÓØØÓÑ Ó Ø ÓÒ ½º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
55 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÁÒÔÙØ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ º Å Ò Ø ÐÑ ½ Û Ð ¼ Ó ¾ := ÑÓ Ú Ò Û Ð ÓÙØÔÙØ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
56 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
57 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
58 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
59 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
60 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º Ë Ø Ò ÖÖÓ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ ÐÙÚÙ Ø ¾ ÐÓ ¾ ¾ ÐÓ ¾ Ú ÖÖ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
61 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º Ë Ø Ò ÖÖÓ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ ÐÙÚÙ Ø ¾ ÐÓ ¾ ¾ ÐÓ ¾ Ú ÖÖ Òº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ Ð ÓÖ ØÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÙÚÙÒ Ô ØÙ٠Ѻ ÒÖ Ö Ø ÐÑ º Ë Ø Ò ÐÓ ¾ ÓÒ Ý ØØ Ò Ó Ó ÓØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò O(Ò) Ý ØØ Ò ÓÓÒ ÑÙ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
62 ÄÙÓ ÆÈ ÌÙÐ ÑÑ ÒÝØ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ÐÙÓ Ò Ó ÐØ ÑÓÒ ÝØÒÒ ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º Ò ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Ø Ù Ø ØØ Ò Ö Ø Ù Ô ÖÙ ØÙÙ ØÓ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ º ÄÙÓ ÆÈ ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÖÑ Ð Ø ÑÙØØ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÑÝ Ñ Ò Ú ÒÒÓÐÐ ÑÑ Ò ÓØØ ÐÙÓ Ò ÒØÙ Ø Ú Ò Ò Ñ Ö ØÝ ØÙÐ Ð ÑÑ º Ö Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ý ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó Ø ÚÙÙ º Ã Ø ÓØ Ò Ø Ø Ò Ò Ô Ö Ñ Ö º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
63 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùµ ËÙÙÒÒ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú Ö ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ó Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò À ÅÈ ÌÀ Ó ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑ Ó Ø,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ò ÓÐÑÙ Ò Ø ÚÐ ÐÐ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùº ØÙÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒº Ê Ò ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ò Ò ÐÔÔÓ Øغ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¼»
64 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùµ ËÙÙÒÒ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú Ö ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ó Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò À ÅÈ ÌÀ Ó ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑ Ó Ø,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ò ÓÐÑÙ Ò Ø ÚÐ ÐÐ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùº ØÙÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒº Ê Ò ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ò Ò ÐÔÔÓ Øغ ÂÓ Ø Ö ÓØ Ò Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÐÔÔÓ Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ó Ø Ö Ó À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù Ú º ÃÝ Ò ÔÓÐ Ù ÖÖ Ò ÐÔ Ø ÓØ Ò ÙÐ Ø Ò Ó Ò ÓÐÑÙ Ò ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òºµ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ó Ø Ú º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¼»
65 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ Ö Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù º ÓÐ Ù Ø Ò Ò Ý ØÒ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ú Ö Ó Ú Ø Ù Ø Ù Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙÙ Ø Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
66 Î Ö Ó Ø ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ Î Ö Ó Ð ÐÐ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Î ÓÐÐ = {Û Î ÔØ Û, ÓÖ ÓÑ ØÖ Ò } ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Î Ó ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Û Ò Ù Ø Òº à РÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ó Ø Ú Ó ÐÐ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó º ËÝÑ ÓÐ ÓÒ ÖØ ØØ Ø ØÓ ØÙ ØØ Û ÙÙÐÙÙ Ð Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
67 Ü ÑÔÐ À ÅÈ ÌÀ ØÓ ØÙ µ À ÅÈ ÌÀ¹ÓÒ ÐÑ ÐÐ,, Ø ØÓ ØÙ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù Ø Ø Òº Ü ÑÔÐ ÇÅÈÇËÁÌ Ëµ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÅÈÇËÁÌ Ë = {Ü Ü = ÔÕ, Ô, Õ Æ, Ô, Õ > ½} ÇÅÈÇËÁÌ Ë¹ÓÒ ÐÑ ÐÐ ØÓ ØÙ ÐÙÚÙÐÐ Ü ÓÒ Ý Ò Ø º  ÓÐ Ù ÚÓ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÐÙÚÙÒ Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ò Ú Ò Ò ØØ Ò ÔÓ ÙØÙÙ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù ÊË µº ÅÝ Ð ÙÐÙ ÙØ Ø Ù ÓÒ Ò Ð Ó Ò Ú Ñ ÚÙÓ Ò ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÑÑ Ò ØÙÒÒ ØØ Ò Ú Ò ØÙÒÒ Ð ÓÖ ØÑ ºµ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
68 ÄÙÓ ÆÈ ÅÖ Ø ÐÑ ÆÈ ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó º ÄÙÓ ÆÈ ÓÒ ØÖ Ó ÐØ ÑÓÒ ÝØÒÒ Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ ÙØ Ò À ÅÈ ÌÀ ÇÅÈÇËÁÌ Ëº È ÆȺ ÆÈ ØÙÐ ÒÓ Ø ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ì ÖÑ Ó ØÙÙ ÐÙÓ Ò Ú ØÓ ØÓ Ø ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ó ÝØ ØÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙÓ ÆÈ ÑÝ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ò Ò Ñ Ö º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
69 Ü ÑÔÐ À ÅÈ ÌÀ¹ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù ÆÌÅ Ðе Ê Ø ÙØ Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ò ØØ Ò Ò ÖÚ Ø Ò Ö Ø Ù Ø Ò Ó ØØ Ò Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÖÚ Ù Ó º ËÝ Ø ÃÓÐÑ Ó,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ò ÓÐÑÙ º ½ ¾ Ã Ö Ó Ø Ð Ø ÐÙ Ù Ô ½,, Ô Ñ Ñ Ñ ÓÒ Ò ÓÐÑÙ Ò Ð Ñ Ó Ò Ò ÐÙ Ù Ú Ð Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÚÐ ÐØ [½, Ñ]º Ì Ö Ø ØØ Ñ ÐÙ Ù ØÓ ØÙ Ð Ø º ÂÓ ØÓ ØÙÙ ÝÐ Ý Ø º Ì Ö Ø ØØ = Ô ½ Ø = Ô Ñ º ÂÓ ÓÐ ÝÐ Ý Ø º ÂÓ ÐÐ, ½ Ñ ½ Ø Ö Ø ØØ (Ô, Ô +½ ) ÓÒ Ò Ö º ÂÓ Ó Ò Ô Ö ÓÐ ÝÐ Ý Ø º ÂÓ Ø Ø Ø ÓÒ Ú ØÝ ÐÔ ÓÒÒ ØÙÒ Ø ÝÚ Ýº ÂÓ Ð ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ ØÓ ÓÐ ÓØ Ò Ó Ó Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
70 Ä Ù Ã Ð ÓÒ ÐÙÓ ÆÈ Ó Ú Ò Ó ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ º ÌÓ ØÙ º Î Ö Ó Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ µ ÆÝØ ØÒ Ù Ò Ú Ö Ó ÑÙÙØ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÑÙÐÓ Ú Ö Ó ÖÚ Ñ ÐÐ ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ ÆÈ ÒÝØ ØÒ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ñ Ú ÆÌÅ Æ Ó ØÙÒÒ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Î Ú Ö Ó º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ Î ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ØÓ Ñ Ò Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ò Ù Ø Òº ËÝ Ø Û ÓÒ Ô ØÙÙ Òº ½ ¾ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ñ Ö ÓÒÓ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ò º Î Ý ØØ ÐÐ Û, º ÂÓ Î ÝÚ ÝÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
71 ÌÓ ØÙ º ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ö Ó µ ÌÓ Ø Ø Ò ÒÝØ ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Æ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ò Ú Ö Ó º ËÝ Ø Å Ö ÓÒÓÔ Ö Û, º Ð ÓÖ ØÑ Î ½ ¾ Ë ÑÙÐÓ Æ Ý ØØ ÐÐ Û Ø Ò ØØ ØÙÐ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÙØÙÑ Ó Ó Ñ Ö ÙÖ Ú Ú Ð Ø Òº ÂÓ ÓÒ Ô ÐÔÓ Ó Ý Ø ÝÐØÒºµ ÂÓ ØÑ Æ Ò Ò ÐÐ Ú Ð ÒÒÓ ÐÐ Ú Ð ØØÙ Ö ÝÚ ÝÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
72 ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Á Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÝÚ ÝÑ Ð ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÓÖ Ú Ú Ø ÑÝ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÙÐÐ º ÈÖÓ Ð Ø Ò ÓÒ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ÖØÝÑÒ δ : É Σ É Σ {Ä, Ê} [¼, ½] ÌÙÐ ÒØ δ(õ ½, ½, Õ ¾, ¾, ) Ø Ö Ó ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ØØ ÓÒ Ø Ð Õ ½ ÐÙ Ò ÝÑ ÓÐ Ò ½ ÔØÝÝ Ø Ð Ò Õ ¾ Ö Ó ØØ Ò Ù ÐÐ ¾ Ò ÖØÝÝ Ò ÙÙÒØ Òº Î Ø ÑÙ Ò ÓÒ ØØ (Õ ¾, ¾, ) É Σ {Ä,Ê} δ(õ ½, ½, Õ ¾, ¾, ) = ½ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
73 ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÁÁ Ä Ú Ø Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓØØ ÚÐØÝØØ Ò Ð ØØ ÚÙÙØ Ò Ð ØØÝÚ ÐØ Ô Ö ØØ ÐÐ ÐØ ÓÒ ÐÑ ÐØ º ÇÐ ÓÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ Ý ØØ ÐÐ Ô ÑÑÒ Ö Ò ØÒ ¼µ Ú Ø ÑÙ º ÆÝØ ÐÙÓ ÆÈ ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓØ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ò ÓÒ ÝÚ ÝÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÓÐÐ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ðк ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
74 ÄÙÓ ÆÌÁÅ ÎÓ ÑÑ ÒÝØ ØØ ÐÙÓ Ò ÆÈ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ð ÑÔ Ù Ò ÑÑ Ò ØØÑÐÐ Ú Ö Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÖ Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐÑ ÆÌÁÅ Ø Òµµ ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ O(Ø(Ò))º Ë Ò ÚÐ ØØ Ñ Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÆÈ = ÆÌÁÅ (Ò ) ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¼»
75 Ü ÑÔÐ ËÙÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ú Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ð Ú Ö Ó ÓÒ Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÖѺ ÂÓ Ð ÐØ ÓÐÑÙ ÔÙ ÙØ Ò ¹ Рغ ÃÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÑÖØ ÐØ Ú Ö Ó Ø ØÝÒ ÙÙÖÙ Ò Ð Òº ÓÖÑ Ð Ø Ý ÝÑÝ ÓÒ Ð ÄÁÉÍ = {, ÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ú Ö Ó, Ó Ð } Ñ Ö ÙÖ Ú Ò Ú Ö ÓÒ ÔÙÒ ÐÐ Ñ Ö ØÝØ ÓÐÑÙØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ¹ Ð Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
76 Ä Ù ÄÁÉÍ ÙÙÐÙÙ ÆÈ Òº ÌÓ ØÙ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ú Ö Ó Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ý ØØ Ò ÓÒ,, º ½ ¾ Ì Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÓÙ Óº Ì Ø ÐØ ÖÑÒ Ó Ò Ò ÓÐÑÙÔ Ö Ò ÚÐ Ðк ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓØ ÚÓ Ñ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ¾»
77 ÌÓ ØÙ º Î ØÓ ØÓ Ò Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Òº ËÝ ØØ Ò ÓÒ ÒÝØ Ú Ö Ó ÐÙ Ù º ½ ¾ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÓÐÑÙÒ ÓÙ Ó Øº Ì Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ó ÒÑ ÓÐÑÙ Ð Òº ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
78 Ü ÑÔÐ ËÍ Ë Ì¹ËÍŵ ÇÒ ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù ÓÙ Ó = {Ü ½,, Ü } Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ø Ó ÐÙ Ùµº ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÔØØ Ð ÝØÝÝ ÐÙ Ù Ý ½,, Ý Ò Ó Ò ÙÑÑ ÓÒ Øº ÓÖÑ Ð Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØØ ËÍ Ë Ì ËÍÅ = { Ë, Ø }, Ñ Ë = {Ü ½,, Ü } ÓÐÐ Ò Ó ÓÙ ÓÐÐ {Ý ½,, Ý Ò } Ë ÔØ Ò =½ Ý = غ Ñ Ö {, ½½, ½, ¾½, ¾ }, ¾ ËÍ Ë Ì ËÍÅ ÐÐ + ¾½ = ¾ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ë {Ý ½,, Ý Ò } ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÑÓÒ ÓÙ Ó Ð Ò ÚÓ ÓÐÐ Ù ÑÔ ÑÓ Ð Ó Ø º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
79 Ä Ù ËÍ Ë Ì¹ËÍÅ ÙÙÐÙÙ ÆÈ Òº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÖØ ØØ Ð ØÓ ØÙ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ú Ö Ó Î ÙÖ Ú Ø º ËÝ ØØ Ò ÓÒ Ô Ö Ë, Ø, º ½ Ì Ø ÓÒ Ó Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Øº ¾ Ì Ø ÙÙÐÙÙ Ó Ë Òº ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø Ø Ó ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
80 ÌÓ ØÙ º Î ØÓ ØÓ Ò Ò ØÓ ØÙ Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ËÝ ØØ Ò ÒÝØ Ë, Ø º ½ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ø Ë Ò Ó ÓÙ Ó º ¾ Ì Ø ÓÒ Ó Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Øº ÂÓ Ø Ø Ó ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
81 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÄÁÉÍ ËÍ Ë Ì ËÍÅ ÚØ ÐÑ Ø ÓÐ ÆÈ Ò Ð Ó Ø º Ñ Ö ËÍ Ë Ì¹ËÍÅ ¹ÓÒ ÐÑ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÇÒ Ó ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ Ó ÐÐ ÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ ØØ Ó ÓÙ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ Ö ÙÙÖ Ù Ò Øºµ ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò Ñ Ö ÒØ ÓÆÈ ÓÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÆÈ Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ø º Ø Ø ÓÚ Ø Ó ÆÈ ÓÆÈ Ö ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.