Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download ""

Transkriptio

1 Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼

2

3 Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ì ÓÚ Ö ÓØ ½ º½ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÈÙÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÐ Ö Ò Ú ¾½ º½ ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÙÖ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¹ÚÖ Ð Ù ¾ ¹ÚÖ Ð Ù ¾ Ñ Ö ½ º½ ÃÓ Ô Ú Ò ÑÖÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÙ Ð Ò Ú Ö ÓØ ¹Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÖØØ ÚÖ ØÝ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ú ÐØ Ó ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º ÒÖ ÔÙÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ë Ò ØÓ Ä Ø Ø

4

5 ÂÓ ÒØÓ ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ Ñ Ò ÐÙ Ò ØØÝ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ó Ò ÑÑ Ò ÖØØ Ñ ÒÙ ÙÙÖ Ò Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ Ø ØÓØ Ò Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ ¹ ÐÙ Ò ÚÙÓ º Ä Ý Ò Ò ÐÙ ÓÐ Ô Ø Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒÒ ØÙ Ô Ð ÙØØ Ñ Ò Ñ Ð Ò ÒØÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ Ñ Òº Ë Ö Ù Ò Ú Ð ÒÒ Ò ØÙÐÐ Ò Ó Ø ØÑ ÓÐ ÙÓÖ Ò Ý Ñ Ð Ò¹ ÒØÓ ÑÑ Ø Ó ¹ ÐÙ Ú ØÓ Ó Ø º ÅÓÐ ÑÑ Ø Ö ÙÒ Ô Ó Ø ÓÚ Ø Ó Ø Ó Ò ÓÐ Ò Ø ÖÑÒÒÝØ ÑÑ Ò Ò ÓØ Ó ÐÐÓ Ò Ú ÙØØ Ú Ø Ñ ¹ Ð Ò ÒØÓ ÐØ º ÇÐ Ò ÐÓ Ø ÝÐÐØØÝÒÝØ Ø ØØ Ñ ÒÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ¹ ØØÝ Ò Òº à ØÓ ÔÖÓ Ö Ù ¹Ó ÐÐ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÂÖÚ ÒÔÐÐ Ò Ò ÒÒÓ Ø Ú Ò Ô Ó Ø Ò Ú Ð ÒÒ Ø º Ò ÑÑ ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò ØÑÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò ØÓÖ Ð Ù ØÝ Ø ÒÝ ÝÔ ÚÒ ØÙÒÒ ØÙ ÑÔ Ò ÓÒ ÐÑ Òº Ð ÓÒ Ø ÔÓ Ù ¹ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò Ð Ù Ø ÚÓ Ò ÙÓÖ Ò Ó Ó ØØ Ò ÑÑ Ò ÓÖÑ Ð ¹ Ó ØÙÙÒ ÓÒ ÐÑ Ò º Ë Ø ÒÒ Ò Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ô ØØ Ò Ð ÒÒ Ú ÝØع Ú Ò Ô Ò Òº ÅÝ Ð Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÓÚ Ø Ñ ÐÐ Ó ÐÐ ÐÔÓÑÑ Ò ÝÑÑÖ¹ Ö ØØÚ Ð Ý ØØÚ Ù Ò ÑÓÒ Ò ÑÙÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Òº Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ø ÓÚ Ö ¹ Ó Ò Ö Ó ÙÙ º Æ Ò Ø ØÓ Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÒØ ÔÓ ØÙÐ Ú Ò Ó ¹ Ø Ò ÝÑÑÖÖÝ ÐÐ º ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø ÐÐ ÐØÒ Ð ÑÔ Ù Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ö Ù¹ Ò Ô Ó Ø Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ò ÐÐÝØØ ÑÙØØ ÐÙ Ò Ø Ø Ø Ó Ó Ø Ò ÑÑÒ Ù Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ØÓÐÙ ØØ ÐÓÒ ÐÙ Ò ØØ ØÙÐ Ú Ò ÓÔ ØØ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÓÔ ØÙ Ñ Ø Ö Ð Ò Òº Æ Ð ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÐØ ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò ÔÖÓ Ö ÙÒ Ô Ó Ø Ð ÙÐ Ö Ò Ú ÑÙÙØ Ñ Ò ÙÖ Ù º ÌÑÒ ÐØ Ø ÖÚ Ø Ò ØÓ Ò Ô Ó ¹ Ò Ð ¹ÚÖ Ð Ù Ò ØÓ ØÓ ØÙ º ÙÐ Ö Ò Ú ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÑÙ ¹ Ø Ò ÙÖ Ù ÑÙØØ Ø ÓÚ Ø Ú Ò ÔÖÓ Ö ÙÒ ÒÒ ÐØ ÓÐ ÐÐ Ø Ø ÝÑÑÖÖÝ Ø ÐÔÓØØ Ú Øº ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÓÐ Ò Ô ÒÒ ÐÐ Ø ØÙØÙ ØÙÒÙØ Ñ¹ Ñ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ØÓÖ Ò ÙÖ Ò Ý Ø Ý ÈÐ ØÓÒ Ò ÒÒ ÐÐ Ò ÑÓ¹ Ò Ø Ó Ò Ö Ó ØØÙ Òº Î ÒÒ ÙÙ ÒÒ ÐÙÚÙ ØØ Ð Ò ÖØØÓ Ò ÚÖ ØØÑ Ø Ð ¹ ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ó Ø ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ ÓÐ Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò Ô Ó Ø º ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØØ Ð Ò Ó ÝÒÒÝØØ ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ò ØØ Ö Ø ÙÒº ¹ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ØØ ÐÑ Ò Øº Æ Ò Ð Ð Ý Ò ÑÝ ÑÙ Ø ØÓ¹ ØÙ ÑÙØØ Ô Ý Ò Ú Ð Ø Ñ Ò Ò ÑÑ Ò Ö Ó ÑÑ Òº ½

6 Ë Ø ÑÒ ÐÙ Ù ØØÝÚØ ÓÒ Ö Ø Ó Ñ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ ÓÒ ÐÑ Ñ Ö Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÚÙÐÐ º ÃÓ Ó ÐÑ Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÑÙÙØ Ñ Ô Ó Ø ØÝ ÒØÚ Ø ØÚ ÓÑ Ú Ð ÒØÓ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó¹ Ò ÚÖ ØÝ Ø Ò Ñ Ö º ¾

7 ½ À ØÓÖ Î Ö Ò Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ð ÙÒ Ô ØÒ Ã Ò Ö Ò Ð Ã Ð Ò Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º Ã Ð Ò Ò Ö Ò ÐÚ Ø Ú ÖØ Ó Ó ÓÒ ÖØ º ÅÓ¹ Ð ÑÑ ÐØ Ö ÐØ ÙÐ ÐØ Ø ÐØÓ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ö ÒÒÓ ÐÐ ØÓ ÐÐ Òº à ÙÔÙÒ Ò Ù Ø Ó ØØ Ú Ø Ð ÝØ Ö Ø Ò ÓØ Ô Ø Ò ÙÐ Ñ ÐÐ Ó Ò Ò ÐØ ØÙÐ ÙÐ ØÙ Ú Ò ÖÖ Ò ÐÓÔÙ Ú Ð Ô ÝØØ Ò Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º ÎÙÓÒÒ ½ ÙÐ Ö ØÓ Ø ÙÐ Ù Ò ËÓÐÙØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ñ ØÙ Ô ÖØ Ò ÒØ Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø Ò ØÓ Ø ÓÑ ØÖÝ Ó ÔÓ Ø ÓÒµ ØØ ØÐÐ Ø Ö ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ú ÐÙÓÚÙØØ Ò Ú Ø ÑÙ Ø ÔØÝ ÐÓÔÙÐØ Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º ÇÒ ÐÑ ÓÒ Ø Ö ÑÑ Ò ØÙØ ØØÙ ÐÙÚÙ º¾º Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ Ô ØÒ ÓÖÑ Ð Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ò ÑÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÓÐÐ Ò ÙÐ Ö Ò Ø ÓØ Ò ÝØÒÒ ÐÙÓÒ Ò Ö Ø ÙÒ Ý Ø Ý ÙÙ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Òº ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ò ÑÑ ØÓÔÓÐÓ¹ Ö Ø Ù Ó ÖÖÝØÒ Ø ÝÝ Ò ÓÑ ØÖ Ø Ô Ó Ò Ù Ø ¹ Ò ÓÑ ØÖ Òº ÌØ Ò Ú Ò ÑÔ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ð ØØ Ú ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø Ó º ÓÒ Ø Ö Ò ÙÒ Ò Ø ÓÐÐ ÓÐ Ò Ð ÔÓ º ÀÒ ÐÙ ØØ ÔÓ Ø Ô Ö ÚØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒÒ Ò ÙÒ Ò ÙÒÒ Ø ØØ Ó Ò ÔÓ Ò Ô ÙÔÙÒ¹ Ø ØÙÐ Ö ÒØ Ø Ò ÑÙ Ò ÙÔÙÒ Ò Ø Ò ØØ Ø Ø ÚØ ÑÙ Ø Ñ Ø Ø ÚØ Ö Ø ÑÙÙ ÐÐ Ù Ò Ô ÙÔÙÒ º ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ø Ú ÑÙØØ Ø Ö Ò Ò Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ó ÖØÓÓ ÙÒ Ò Ò ¹ Ò Ò Ú Ð Ý Ò ÔÓ Ò Ð Ò ÙÚÓÒ ÒØ Ò ÓÒÒ ØÙÒ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÓÒ ÙÙ ÐÐ Ò ÓÒÒ ØÙÒ Ø ÓÒ ÒÝ Ý Ò ØÓ Ø ØØÙ Ñ ÓØØÓÑ º ÅÓ ÖÒ ÑÔ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÙÐÙÙ Ò º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ µº Ë Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò Ð ÝØ ÐÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ö ØØ ÓÐÐ ÙÐ Ø Ò ÑÖØØÝ Ò Ô Ó Ò ÙØØ Ô ÝØÒ Ð Ø Ô Ø Ò Ø Ö ÑÔ ÙÚ Ù ÔÔ Ð º µº Ä ÐÐ Ø Ò Ñ ØÒ ØØ ÐÙ Ø Ò ÙÓÐ Ñ ØØ ØÑ ÓÒ ÐÑ ÒØÝÝ Ñ Ø ÑÓÒ Ò ÑÑ Ý¹ ØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ ÙØÓ Ò Ö ØØ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ô Ö Ð ÚÝ Ò ÔÓÖ Ù ¹ Ò Ñ Ò ÑÓ ÒÒ Ö Ð Ó ÓØÙ ¹ Ú Ö Ó ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ ÑÓÒ ÑÓÒ ÑÙ Ô Ó º ÃÙ Ø Ò Ò ÙÙÐÙ Ò Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Æ Ð ÚÖ Ð Ù Ò ØÓ ¹ Ø Ñ Ò Òº Ë Ò Ø Ö Ò Ð Ó ½ ¾ ÙÒ ÒÙÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ñ ÐØÒ Ö Ò

8 ÙÖØ ÓÙØÙ ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ñ ÙÒØ ÖØ Ò ÚÖ ØØÑ Øº ÎÖ ØÝ ¹ Ò ØÙÐ ÒÓÙ ØØ ÒØ ØØ Ø Ý Ø Ø Ö ÓÑ Ú ÐÙ ØØ ¹ ÒÙØ ÚÖ ØØ ÒÒ Ñ ÐÐ ÚÖ Ðк ÀÒ ØÙÐ Ó ØÓÔØ Ò ØØ ¹ Ò ÖØØÓ Ò ÚÖ ØØÑ Ò ÒÝØØ Ö ØØÚÒ Ò Ð ÚÖ º ÙÖØ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò ØÙÒØ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ù Ù ØÙ ÅÓÖ ¹ Ò ÐÐ ÔÝÝØ Ò ÓÖÑ Ð ØÓ ØÙ Ø Ø Ú Ø Ñ Ö Ú ÒÒÓÐÐ Òº ÅÓÖ¹ Ò Ó ÒÒÙØ Ú Ø Ø Ý ÝÑÝ Ò ÙÓÖ ÐØ Ò Ò Ò Ú ÙØÙ ¹ Ø Ò ÔÝ Ö ÑÒ ÄÓÒØÓÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ô Ö Ò Ù ÑÑ ÚÙÓ Ýѹ Ñ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÙÖ ÓÐÓÙÖ ÓÒ ØÙÖ Ð Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ º ÇÒ ÐÑ Ù Ø Ò Ò Ô ØØ Ò Ò ÑÑÒ Ò Ù Ð Ò ÔØØ ÐÝØ ØÚÒ Ù Ò Ó Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÒÒ ½ Ò Ð ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Öع ÙÖ ÝÐ Ý Ô ÒÓ Ø ÄÓÒØÓÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ ÐØ Ý Ø ÐØ ØÓ ØÙ Ø Ú ØØ ÐÐ º ÎÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Ò ÐÓÒØÓÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ð Ö Ã ÑÔ ÙÐ Ñ Ð ØÒ ÔØ ÚÒ ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÐÑ Òº ÌÓ ØÙ Ó Ó ØØ ÙØÙ Ù Ø Ò Ò ÐÓÔÙÐØ Ú¹ Ö Ñ Ò Ó Ó ØØ ÂÓ Ò À ÛÓÓ Ý ØÓ Ø ÚÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Òº ÀÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÔÓ ÐØ ØØ Ó Ò Ò ÖØØ ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ú ÐÐ Ú¹ Ö ÐÐ ØÓ Ø Ò Ò Ò Î ÚÖ Ð Ù Ò Ú ÓÐÓÙÖ Ì ÓÖ Ñ µº Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ Ô Ó Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó Ú ØÓ ØÙ Ò ÒÝØØ ÓÐ Ú ÑÙÙØ Ñ ÐÑ ÐÚ Ø ÔÓ Ò ÐØÚØ Ù Ø ÒÓ Ú Ö ¹ ÓÒ ÐÑ º ÅÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÝÖ ØØ ØÓ Ø Ø Ó Ø Ò ÝÚ ÝÖ ¹ ØÝ ÝÒØÝ ÑÙØØ ÑÙÙØ Ñ Ò ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò Ò Ò Ø Ø Ð Ý¹ ØÝ Ô Ñ ØØÓÑ Ö º ÌÓ ØÙ ÝÖ ØÝ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÒÒÝØØ ÚØ ÑÓÒ ÙÙ ØÙÐÓ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓ Ò ÐÙ ÐÐ ÓØ Ò Ò Ò ÝØ ØØÝ ØÝ Ù Ò Ò Ñ ÒÒÝØ Ù Òº Ò ÑÑ Ò Ò Ù ÓØÓÒ ØÓ Ò Ô Ø Ò ÑÔ Ò ÝÚ ÝØØݵ ØÓ ØÙ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ø Ú ØØ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÚÙй Ð Ó º ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÖÙØ ¹ ÓÖ ¹Ø Ò Ò Ð Ò ØØ ¹ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÓÚ Ö ÓØ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ø ØØÝ Ò Ø ÓÖ Ó Ò Ø Ø Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÐÔ Ú Ø Ñ Ö Ò Ú Ö ÐØ º ÌÓ ØÙ Ø Ù Ò ÓÐ ØÙ Ò ÝÖ ØØ Ò Ú ÖÑ ÒØ Ò Ø Ô ØÒ ØÝÝÐ ØØ ÑÒº Ë ÙÖ Ú Ò ØÙÒÒ ØØÙ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ø ØÓ ÓÒ ÚÙ Ø Ò Òº Ë ÔÓ ÐÐ Ò ÝÖ ØÝ Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÒØ ÐÙ ÓØ Ú Ò ÚØ Ø ØÓ ÓÒ Ò ØÙØ Ñ Ø ÓÖ Ó Ø º ÂÓ Ø Ò ÚÙÓ ØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ö Ù Ó Ø Ò ÐÓ Ò ÓÒ ÐÑ ÙÓÖ Ø Ø¹ Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ð ÙÓ ÐÑ Ò ÚÙÐÐ Ø Ò ØØ Ó ØÓ ØÙ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ó ÖØÓ Ó ÐÑ ÐÐ ÙÖ Ú Ò Ð Ò ÙÓÖ Ø¹

9 Ø ÒÓ Ø Ò Ú Ò Ñ Ò Ø Ð ÙØÓ Ñ Ø٠غ ÆÑ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ØØÙ Ö Ó ÐÑ ÐÐ ÓØØ ÚÓ Ò ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ð Ù¹ Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ú Ö ØØ ÑÝÝ Øº Ä ÑÑ Ø Ô Ù ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØÝ Ó ÐÑ Ó Ú ÒØ ØÓ ØÙ Ò Ð Ò º Ì Ò Ñ ÒÒ Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÙÙÖ ÑÑ ÐØ Ó Ò ÐÙÓÔÙ Ú Ø ØÓ ¹ ÚÓ Ø Ð ÝØ ÔÙ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Òº ËÝ ÝÐÐ ¾¼¼ Á Ö Ñ Ø ÙÐ ØÓ Ø ÚÙ Ò Ô Ô Ö Ò ØØ Ò ¹ ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ú Ò ÙÙ ÒÐ Ò ØÝ Ò ÓÒ Ø Ñ ØØÓÑ Ò Ú Ö ÓÒ ØÓ ¹ ØÙ Ø º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÐÙÔ Ú ÑÙØØ Ð Ù ÙÒØÓ Ò Ô ØÚÝÝ Ø Ú Ð ÓÐ ÑÙ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò ØÓ Ñ Ø ÙÐ ØÙº ÇÒ ÐÑ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò ÙÙ ÒÐ Ò Ò ØØ ÔÓÒÒ ØÙ Ò Ò Ú Ø ÙÙ Ö ØØ Ö Ø ÙÒ Ø ÒØÒº

10

11 ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º È Ø Ø ÓÐÑÙ Ø Ö µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ó Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÝÐ Ò Ø ØÒ Ô Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º Ã Ö Ø Ú Ú Ø ÚÙ Ø ÚÐ Ø ÝÐ µ ÓÒ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ú Ö ÓÒ Ó Ó Ý Ø Ô Ø Øغ Ã Ö ÚÓ ÓÐÐ Ó Ó ÙÙÒÒ ØØÙ Ø ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ð Ý ¹ Ø ÙÙÒØ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Î Ö Ó Ø Ö µ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ô Ø Ø Ò Ø Ý ØÚ Ø Ö Ø º Î Ö ¹ ÓÓÒ ÚÓ ÑÝ ÙÙÐÙ Ô Ø Ø Ó Ò Ð ØÝ Ö ÙÚ ¾º½µº Î Ö Ó G ÓÒ Ô Ö (V,E) Ñ V ÓÒ Ô Ø Ò ÓÙ Ó E Ô Ø Ô Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ö Ò ÓÙ Óº ÎÓ Ò Ñ Ö Ø V = {v i } E = {(v i,v j )} = {e k }º Å Ö ØÒ ØØ V ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ E ÓÒ Ö Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÃÙÚ ¾º½ Ñ Ö Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ø ØØ ½¼ ÖØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º È Ø Ø v i v j ÓÚ Ø Ö Ò e k = (v i,v j ) ÔØ Ô Ø Øº È Ø Ø ÓÚ Ø Ú Ö ¹ Ø Ð Ò ÔÙÖ Ø Ó Ò Ø Ý Ø Ö º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ã Ö Ø ÓÚ Ø Ú Ö Ø Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ý Ø Ò Ò ÔØ Ô Ø º

12 Ö ÒÒ Ø Ó Ò Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ñ Øº Ã Ö (v i,v i ) ÓÒ ÐÑÙ Ø ÐÓÓÔÔ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º È Ø Ò v i Ø d(v i ) ÓÒ Ô Ø Ò ÔØØÝÚ Ò Ø Ð Ú Ò Ö Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÅÙ Ò Ð Ø Ò Ö ÒÒ Ø Ö Ø ÐÑÙ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ôغ È Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÑÓ Ò Ô Ö ØÓÒº È Ø ÓÒ Ø ÓÒ 0 ÓÒ ÖØÓÔ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÈÓÐ Ù Ø Ú ÐÝ Ø Ø Ù Ø ÓÒÓµ ÓÒ Ö ØØ Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ú Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ö Ø º Ë Ø Ñ Ö ØÒ (e i,e m,e k ) Ó ÓÒ Ð Ø ÚÙ Ø Ö ØÝ ¹ Òº Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ø Ñ ÐÐ Ú Ö Ø Ô Ø Ø Ö ØÝ Ò Ø ÓÙ ÓÒ º ÈÓÐ Ù ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó Ò ÓÐ Ö ÒÒ Ö ÐÑÙ Ó Ø Ò Ó Ò Ò Ö ÙÐ Ø Ò Ú Ò ÖÖ Òº à ÖÖÓ Ð ÙÐ ØØÙ ÔÓÐ Ù Ø Ý Ð µ ÓÒ ÔÓÐ Ù ÓÒ Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÓÔÔÙÔ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Î Ö Ó ÓÒ ØÝ Ú Ö Ó Ó Ò ÓÐ Ö º ÒÓÐÐ Ú Ö Ó Ó Ò ÓÐ Ô Ø Øº ØÖ Ú Ð Ú Ö Ó Ó ÓÓ ØÙÙ Ú Ò Ý Ø Ô Ø Øº Ý Ø Ò Ò Ò Ó Ò ÓÐ Ô Ø Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÔÓÐ Ù º Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó Ò ÓÐ ÐÑÙ Ó Ø Ø Ö ÒÒ Ö º ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ñ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÓÑ ØÖ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ø V = {v i } Ý Ò ÖØ Ø Ò Ö Ò ÓÙ Ó Ø E = {e i } µ Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö ÐØ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ò ÓÙ ÓÒ Î Ð¹ ÓÒº

13 ÃÙÚ ¾º¾ Ë Ñ Ú Ö Ó Ø ØØÝÒ ÐÐ Ö Ð ÐÐ Ø Ó ØÝ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¼º Î Ö ÓÒ Ø Ó ØÝ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ö Ò Ò ØÝ Ð Ô ÖÖÓ º ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø Ö Ð Ø Ó ØÝ ÙÚ ¾º¾µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½½º Î Ö ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ ÓÒ ÔÓÐ Ù ØÓ ¹ ÐÐ Òº Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ Ý ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ù ÑÔ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¾º Î Ö Ó G j ÓÒ Ú Ö ÓÒ G i Ð Ú Ö Ó Ó V j V i E j E i º ÌØ Ñ Ö ØÒ G j G i º Ä Ù ¾º½ º ÂÓ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ G = (V,E) ÔØ d(v) = 2 E. v V ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ô Ø Ò v Ø d(v) ÓÒ Ô Ø Ò Ð ØØÝÚ Ò ÖØ Ò ÐÙ ÙÑÖº Î Ö ÓÒ Ó Ò Ò Ö e ÐØ ÔØ Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ø V Ó Ø ÓÒ µº ÌÐÐ Ò Ó Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ú Ö ÓÒ Ò Ô Ø Ò Ø Ø Ò ÖØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖº Ë ÙÖ Ù ¾º½ º ÂÓ Ú Ö Ó Ø ÐØ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ø Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ú Ö ÓÐÐ G ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø d(g) Ó Ò Ó Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ñ º Î Ö ÓÒ ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÖ ¹ Ø ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Ò ÖØ Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø n 1 ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Óº Å Ö ØÒ ØÐÐ Ø Ú Ö Ó K n ÙÚ ¾º µº

14 ÃÙÚ ¾º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ø ØØ Ð Ú Ö Ó K 6 º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Î Ö ÓÒ G ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ḡ ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ö Ò ÓÙ Ó ÓØ Ø ÖÚ ØØ Ò ØÝ ÒØÑÒ Ú Ö Ó ØÝ ÐÐ ÙÚ ¾º µº ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö ÓÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ø Ò ÖÖ Ò Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÖØ Ô Ø Òº Ä Ù ¾º½ º Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÙÒ µ Ú Ö ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ú ÐÝ ÓÒ Ò Ñ ÐÐ ÑÝ ÖÖÓ º µ Ú Ö Ó ÓÒ Ø Ò Ô Ö ØÓÒØ Ô Ø Øغ ÌÓ ØÙ º µ ÂÓ Ø Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ù Ø Òº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÐ Ö ÓÒ ØÙÐÓ ÐÚº ÇÐ ÓÓÒ G ÔØÖ Ú Ð Ý Ø Ò Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ ¹ Ò Òº ÃÓ Ú Ö Ó G ÓÒ Ö ÓÒ Ò Ô Ò Ò Ø Ú ÒØÒ º ÌÐÐ Ò ½¼

15 Ú Ö Ó ÓÒ ÓÐØ Ú Ò Ò Ý ÖÖÓ ØÓ ØÙ Ð Ù Ò º½ Úµ ÚÙÐÐ µº Çй ÓÓÒ ÒÝØ C ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÖÓ G ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÓÐ ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò G Ò Ð Ú Ö Ó H Ó ÔÓ Ø Ñ Ð¹ Ð G Ø ÖÖÓ Ò C Ö Øº ÃÓ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò ÙÙÐÙÙ ÖÖÓ Ò C Ô Ø x Ó ÙÙÐÙÙ ÑÝ Ð Ú Ö ÓÓÒ Hº ÂÓ Ò Ð Ú Ö ÓÒ H Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÐÐ Ò Ð Ú Ö ÓÐÐ H ÓÒ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÓÐ Ñ ÖÖÓ D Ó ÓÒ ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ ÃÓ ÖÖÓ Ø C D ÚÙ Ú Ø Ô Ø x ÚÓ Ò Ò Ð ØØ ÙÙ ÙÙÖ ÑÑ ÖÖÓ º ÃÓ ØÑ ÓÒ Ú ¹ ØÓ Ò C Ò Ñ Ñ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ ÖÖÓ C ÙÐ Ö Ò Ú Ðݺ µ ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ø x yº ÇÐ ÓÓÒ G Ú Ö Ó Ó Ò G Ø Ð ÑÐÐ Ô Ø Ò x y ÚÐ ÐÐ Ö uº ÌÐÐ Ò ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ G ÐÐ ÓÒ ÖÖÓ C Ó ÓÒ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ö u Ò ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ Ó Ð ØÓ Ø ÔØØÝÝ ØÓ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¼º À Ñ ÐØÓÒ Ò ÖÖÓ ÓÒ ÖÖÓ Ó ÙÐ Ø Ò ÖÖ Ò Ó Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÙØØ º ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ò Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó ÐÐ Ò Ô Ø ÐÐ ÑÖØÒ ÓÑ ÚÖ Ò Ñ Ö Ú Ö Ò Ò Ò Ø ÐØ Ò Òº à ÐÐ Ú Ö ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÑÖØ Ñ ÚÖ º È Ø Ò Ð ÚÓ Ò ÚÖ ØØ ÑÝ Ö Ø Ó ÑÖº º¾µ ÑÙØØ Ø Ó Ò ÚÖ ØÝ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÝÐ Ò Ù Ð Ò ÑÖº º µ ÚÙÐÐ Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Òº ÎÖ ØØÑ Ò ÑÝ ¹ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ö Ó ØØ ÓÒ Ö ØØ Ø ÚÖ ØØÑ Ø Ú Ò ÚÓ Ø Ö Ó ØØ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ Ò Ö ÒØ Ò Ø ÑÙ Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÑÖÑ Ø Ô Ø ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾½º Î Ö ÓÒ Ô Ø Ò v ÚÖ Ñ Ö ØÒ c(v)º Å Ö ØÒ Ú Ö ÓÒ G ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) Ó ÓÒ Ô Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ ØØÙ Ò ÚÖ Ò ÑÖº ÀÙÓÑ ÙØÙ º V ÚÖ Ö ØØ Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò ÑÙØØ ÝÚ Ò Ù Ò Ú ÑÔ Ò Ö ØØ Ð ÐÙÚÙ µº ÌÝ ÐÐ Ò Ú Ö ÓÒ K n ÚÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ò n ÚÖ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¾º Ò Ð ÓÖ ØÑ ÆÙÑ ÖÓ Ò Ú Ö ÓÒ G Ô Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö ÓÐÐ ÓÐ Ú Ø ÚÖ Øº ÌÑÒ Ð Ò ÚÖ Ø ØÒ Ô Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ö ØÝ Ò Ø Ò ØØ Ô Ø ÐÐ ÑÖ¹ ØÒ Ô Ò ÑÑÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓÒ ÓÑ Ú ÚÖ ÓØ ÓÐ Ú Ð ÝØ ØØÝ Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø º ÃÙÒ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø ÓÒ ÝØÝ ÐÚ Ø ÓÒ ½½

16 ØÙ Ú Ö ÓÐÐ ÚÖ ØÝ ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÚÖ ØÝ ÝØ ØÝÒ ÚÖ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓº ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ò ØØ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ ÙÖ Ú ÐÐ ÐÐ Ú Ð Ò¹ Ò ÐÐ ÆÙÑ ÖÓ ÒØ ÒÒ ØØ ÐÓ ØØ Ñ Ø Ø Ò Ú Ö ÓÒ ÓÖ ÑÑ Ò ¹ Ø Ò ÓÑ Ú Ø Ô Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÑ ¹ Ú Ø Ô Ø Ø ÐÐ Ò Ò ÚÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ ÐÓÔÔÙÚ Ò Ð ÒØ º ÆÙÑ ÖÓ ÒØ ÒÒ ØØ ÐÓÔ ØØ Ñ Ø Ð ÑÑ Ò Ø Ò ÓÑ Ú Ò Ô Ø Ò ÐÐ Ò ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ø Ò Ò ÔÙÖ Ø ÐÐÓ Ò Ò Ò Ú¹ Ö ØØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ò Ö Ó ØØ Ø º Ñ Ö Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝØ Ø Ð ÝØÝÝ ÔÔ Ð Ø º½º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º Ä Ø ÚÖ ØÝ ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) Ú Ö Ó Ý Ø ØÒ Ó Ò Ô Ø Ò v V ¹ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø Ð ÚÖ Ø ÓÓ ØÙÚ Ð Ø L(v)º ÆÝØ Ð Ø Ò L(v) N Ô Ø Ò v V Ð ØØÝÚ ÙÚ Ù c : V N ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ð ¹ Ø ÚÖ ØÝ Ó c(v) L(v) ÓÒ ØÓØØ Ó ÐÐ v V c(v) c(w) ÐÐ {v,w} Eº Î Ö ÓÒ g Ð Ø ÚÖ ÐÙ Ù χ l (G) ÓÒ Ô Ò Ò k N Ø Ò ØØ G ÐÐ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ó ÐÐ ÖÝ ÑÐÐ Ð ØÓ L(v) Ó ÐÐ L(v) k ÐÐ v V º Ä Ù ¾º¾ º ÃÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ó L(v) ÓÒ Ñ ÐÐ v Ò ØØ χ(g) χ l (G). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÐÚ ÐÐ χ(g) ÓÒ Ô Ò Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÚÖ Ò ÑÖ ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ò Ô Ø Ò ÚÖ Ð Ø Ø L(v) ÓÐ Ú Ø ÒØØ Øº ÌÓ ¹ ÒÐ ÐÐ Ð Ø ÚÖ ØÝ ÐÐ L(v i ) ÚÓ Ò Ó Ó ÔØÝ Ñ Ò ÚÖ ÑÖÒ Ø ÔÖ Ø ÙÓÒÓÑÑ Ò Ð ØÓ Ò ØØ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ò ÔÙ ØØ º Ä Ù ¾º¾ º ÂÓ Ú Ö ÓÒ G ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ k Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØØÑ Ò Ö ØØ k + 1 ÚÖ Ð Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) k + 1º ÌÓ ØÙ º ÎÖ Ø ØÒ Ú Ö Ó Ò ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÐÓ ØØ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò ¹ Ø Ò k ÓÑ Ú Ø Ô Ø Øº ÆÝØ Ó ØÐÐ ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò k ÒÒ ØÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ò ÔÙÖ ÚÓ Ò ÚÖ Ø ØØÚÐÐ Ô Ø ÐÐ ÒØ ÙÙ ÚÖ k + 1º Ë k + 1 ÚÖ Ö Øغ ½¾

17 Ì ÓÚ Ö ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ì ÓÚ Ö ÓØ ÓÚ Ø Ú Ö Ó ÓØ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ø Ò ØØ Ú Ö ÓÒ Ö Ø ÚØ Ö Ø ÒÒº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ú Ö Ó º ËÙÓÖ Ú Ö Ó ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ö ÓÒ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ì Ó Ø ÐÙ Ø Ô ÒØ Ø ÝÐ Ø Ðѵ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÙ º Î Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ Ý Ø Ó ÒÓ Ø Ò Ó Ò ÓÐ Ý ØÒ ÖÖÓ Ø º ÅÙÙØÓ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ø Ó º Æ Ñ Ø ØÒ ØØ Ô ÓÐÐ Ø Ò Ø Ó ¹ ØÝ Ð ÝØÝÚ Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ì ÓØ ÓÚ Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ò Ö Ò ÓÙ Ó Ò Ð Ù ÓÒ ÔØÝ º Ì ÓØ ÚÙ Ú Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÔØÝ º ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÖÖÓ Ó ÙÐ Ø Ò Ý Ò ÖÖ Ò Ò ÐÐ Ø Ò Ö Ò ÙØØ ÓØ Ö Ú Ø Ú Ö ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Î Ö ÓÒ Ö ÙÒ ÙÐ Ò Ó Ó ÑÙÙÒ Ú Ö ÓÒ ÚÓ ÓÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ú Ð ØÙ Ø Ø Ó ØÝ Ø ÃÙÚ ¾º¾ºµº Å Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÚÓ Ò Ô ÖØ Ø ÓÓÒ Ø Ò ØØ Ú Ð ØØÙ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ º Å Ø Ò Ú Ð ØØÙ Ö ÚÓ Ò ÑÝ Ô ÖØ Ú Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ó ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ý Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ Ô ÖØÑÐÐ Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÃÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÓÒ Ú Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ò Ø Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ ¹ Ñ ØØ ÓÒ Ö ØØÙ ÓÐÑ ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ö ÐÐ º Å Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó Ò ÓÐÑ Ó ØÙ Ð ÑÐÐ Ø ÖÔ Ö ÙÚ º½ºµº ÃÙÚ º½ ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö Ó ÓÐÑ Ó ØÙÒ º ½

18 ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ù Ð ÐÓ Ø Ø Ò Ô ÖØÑÐÐ Ó ÐÐ Ø ÓÐÐ Ô Ø º Ë ØØ Ò Ý Ø ¹ ØÒ Ú Ö ÐÐ Ø Ó ÐÐ Ø Ú Ø Ô Ø Ø Ý ÐÐ Ö ÐÐ ØÓ Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ú Ý Ø Ø ÖØ Ó Òº Ù Ð ÚÓ ÐØ Ù Ø Ö ÒÒ ¹ Ö Ú Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ú Ö Ó ÓÐ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÙÚ º¾µº ÃÙÚ º¾ ÃÙÚ Ò ¾º½ Ú Ö ÓÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ Ù Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ì ÓÚ Ö Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ÓÓÒ Ò ÚÓ Ð Ø Ý ØÒ ÖØ Ø Ò ØØ Ö Ø ÚØ Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ö ÓÒ Ù Ù Ð ÒÙ g ÓÒ Ô Ò Ò ÑÖ ÚÓ Ø ÐØÓ µ ÓØ ØÙÐ Ð Ø Ø ÓÓÒ ÓØØ Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ô ÖØ ÐÐ ÐÑ Ò Ö Ò Ð Ù ÙÚ º µº ÃÙÚ º Ñ Ö Ú Ö Ó Ø Ó ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ô ÖÖ ØØÝÒ Ú Ò ÚÙй Ð Ò Ò ØØ Ò Ö Ø ÚØ Ð º Ë ÙÖ Ù º º Ì ÓÚ Ö ÓÒ Ù Ù g ÓÒ ÒÓÐÐ º Ä Ù º½¼º Î Ö ÓÒ G Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ k ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E ÓÒ Ú ÒØÒ n kº ½

19 ÌÓ ØÙ º Î Ö Ó G ÓÒ n Ô Ø Øغ ÂÓ Ú Ö Ó ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ô ¹ Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ú ÒØÒ Ý ÐÐ Ö ÐÐ º Ã Ò Ô Ø Ò Ý ØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ý Ö Ø Ò ÚÓ Ò Ð ØØ ÓÐÑ Ô Ø Ð ÑÐÐ Ø ¹ Ö º ÁÒ Ù Ø ÓÐÐ Ò ØØ n Ò Ô Ø Ò Ý ØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ n 1 ÖØ º ÂÓ ØÐÐ Ø Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ø Ø Ò Ý Ö Ú Ö Ó Ù¹ ØÙÙ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÆÝØ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ú Ö Ó k ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø ØØ Ú Ú ÒØÒ k 1 ÖØ º Ä Ñ ÐÐ Ò¹ Ñ Ý Ø Ò Ò ØØ Ú Ö ÓÐÐ Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ k ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÔØ E = (n 1) (k 1) = n kº º½ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù ÅÖ Ø ÐÑ º½½º Ò º ÂÓÖ Ò ÙÖÚ µ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j ÓÒ Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ö ÐÐ Ò Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÖÖÓ º ÌÓ Ò ¹ ÒÓ Ò Ó Ò Ò Ô Ø v i j ÒØÝÝ j ÓÖ ÒØ Ò ÖÖ Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ¹ Ô Ø ØØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ó ÒØÝÝ Ø º Ä Ù º½¾º Ò º ÂÓÖ Ò ÙÖÚ Ø ÓÖ Ñµ ÂÓ Ò Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ý Ø Ò Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ø Ò Ý Ø Ò Ò Ó Ò j Ò ÔÙÓÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò º ÎÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð Ø Ó ¹ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÑÖÑÐÐ ØØ x y Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÐÙÓ ÔÓÐ Ù k x ÐØ y ÐÐ Ø Ò ØØ ÔÓÐÙØ k j ÚØ Ó Ò Ð º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ÐÐ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ú Ö Ó Gº ÆÝØ G ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó ØÝ Ó ÓÒ ÙÓÖ Ú Ö Ó Ð Ó Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÓÒ Ò º ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ò ÚÐ Ø Ò ÙÓÖ Ò Ö Ò ÙÐÑ ÖØÓ Ñ Ø k i ÚÓ Ò ÑÖ Øغ Î Ð Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ ÙÙÒØ z Ó ÖÓ Ø ÔÓÐÙÒ j ÒÓ Ò ÙÐÑ ÖØÓ Ñ Ø k i º ÌÐÐ Ò Ò Ð Ý ØÒ Ò ÐÐ ÔÓÐ ÙÙÒ j ÙÙÐÙÚ Ò Ö Ò e j ÑÖ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÚÙ Ø ÖÑ Ô Ø Ò w = (x w,y w ) ÔÙÓÐ ÙÓÖ r w º ÌÑ ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ÙÓÖ r w : [x w, ] R r w = z(x x w ) + y w º ÂÓÖ Ò ÔÓÐÙÒ j ¹ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ò ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø p ÙÙÐÙÙ ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ A Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÔÙÓÐ ÙÓÖ r p Ð ÔÓÐÙÒ j Ô Ö ÐÐ Ò ÑÖÒ ÖØÓ Ú Ø Ú Ø Ô Ø p ÙÙÐÙÙ ÔÙÓÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ B Ó Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ r p Ð ÔÓÐÙÒ j Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ ÖØÓ º ÈÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ø ÓØ Ð Ú Ò ÔÓÐ Ù j Ó ÙÐ ÓÒ Ò Ò Ô Ø Ò v j ÙØØ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ð Ø ÚØ ÔÓÐÙÒ j Ö Ø e j ÙÙÐÙÚ Ø ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ú Ø Ú Ò ÙÓÖ Ò Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ö Ð ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ º º ½

20 ÃÙÚ º À Ú ÒÓÐÐ ØÙ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò p ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò Ð Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐÙÒ j Ò º ÃÙÚ ÓÒ ÝÑÔÖ ØÝ Ó Ø Ó ÔÙÓ¹ Ð ÙÓÖ ÚÙ ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù ÑÙÙØØ Ñ ØØ Ð Ù Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø x y ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ØÓ Ò Ó Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÓÒ A Ø Bº ÂÓ Ú Ö ÓÒ Ô Ø ØØ p ÖÖ ØÒ ÓÓÖ¹ Ò Ø ØÓ Ô Ø Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò ÑÙÙØØ Ö Ð Ø ÓÔ Ø Ò ÓÙ Ó Ú Ò Ó ÝÐ ØØ ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò ÂÓÖ Ò ÝÖÒ Ö Ò e j Ð Ù Ô Ø Ò Ö Ò Ð Ø ÓÐ Ø Ø Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÝÒØÝÚÒ ÙÙ Ú Ö ÓÒ Ô Ø ¹ Ø ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ú Ö Ó ÔÝ Ý Ø ÓÚ Ö ÓÒ µº ÌÐÐ Ò Ô Ø Ò p a A Ô Ø Ò p b B Ý ØÚÒ ÔÓÐÙÒ k ÓÒ Ð ØØ Ú ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó ¹ Ò Ó ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ô Ø Ò p a p b ØÙÐ ÓÐÐ Ö Ð Ø Ó ØÓ Ø Ò Ò º ÈÓÐÙÒ k Ø ÓØ Ð Ú Ò ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó ÚÙ Ø Ý ¹ Ø Ù ÑÑ Ô Ø v j Ò Ô Ø Ò ØÙÐ Ú Ò Ö Ò e k ØÓ Ø ÔØ Ô Ø Ø v k ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ØÓ Ø Ò Ò º ÈÓÐ Ù k ÑÝ Ò Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ö e j Ø Ò ØØ ÔÓÐÙÒ k Ò ÑÑ Ò ÔÓÐ ÙÙÒ j Ð ØØÝÚÒ Ö Ò e k1 ØÓ Ò Ò ÔØ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ó Ò ÑÑ Ò ÔÓÐÙ Ø j ÐÐ Ò ÖÓ Ú Ò Ö Ò e k2 ÔØ Ô Ø Ò Ò º ÆÝØ ÓÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ Ô Ø Ø p,q B ÚÓ Ò Ð ØØ ØÓ Ò ÔÓÐÙÐÐ k b Ó Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù jº ÓÒ ÐÚ Ó Ô Ø Ò p q ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ó Ö º ÂÓ Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÖØ ÙÖ Ú ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ò ÚÐ ÐÐ Ò Ò ÐÙÓØÙ ÔÓÐ Ù Ó Ð ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j µ Ë ÖÖÝØÒ p Ø ÂÓÖ Ò ÔÓÐ Ù j Ð ÒÒ ÓÐ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ù Ð ¹ Ò Ò Ø ÝÝ µ Ô Ø Ò Ó ÓÒ p Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ø ÂÓÖ Ò ÔÓ¹ ÐÙÒ Ô Ø Ó ÓÒ Ô ØÒ ØÙ Ó Ñ ØØ Ú Ö ÓÒ G Ø ÓÚ Ö Ó¹ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø ÖÚ ØØ Ð ÑÐÐ Ú Ö ÓÓÒ Ö º µ ÂÓ Ô Ø Ò ÂÓÖ Ò ÝÖÐÐ ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ò Ó Ø Ò Ó ØÓ Ø ¹ Ø Ò Ó Ø µ ÙÒÒ ØÑ ÓÒ ØÓØØ º ½

21 µ Úµ ÃÙÐ Ø Ò ÂÓÖ Ò ÝÖ Ô Ø Ò ÙÒÒ ÚÙØ Ò Ô Ø Ò v j Ó ÓÒ Ð ÒÒ Ô Ø ØØ qº Ë ÖÖÝØÒ Ô Ø ØØ q Ð ÑÔÒ Ô Ø Ò Ó ÓÒ Ô Ø Ò p Ò Ö Ð ¹ Ø Ó Ó ÓÒ Ô ØÒ ØÙ Ó Ñ ØØ Ú Ö ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó¹ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø ÖÚ ØØ Ð ÑÐÐ Ö º Úµ ÂÓ Ô Ø Ò Ô Ø Ò q ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú ÐÑ º ÂÓ Ú Ð ØØÙ Ô Ø ÓÐÐÙØ q ØÓ Ø Ø Ò Ó Ø Úµ ÙÒÒ Ô ØÒ q ÙÒ ÓÐÐÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓÐ Ùº Ë ØÙ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ò ÓÐ Ò ÐÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÑÙØØ ÓÒ Ú ÖÑ Ø Ò ÓÐ Ñ º º¾ ÈÙÙØ ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÈÙÙ T ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ú Ö Ó Ó ÓÐ ÖÖÓ º Ä Ù º½ º ËÙÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ G Ó ÓÒ n Ô Ø ØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ¹ ØÔ ØÚ µ G ÓÒ ÔÙÙ µ G ÓÒ ÖÖÓ ØÓÒ Ó G Ò Ð ØÒ Ý Ò Ö ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø Ò Ý ÖÖÓ º µ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó G Ø ÔÓ Ø Ø Ò Ý Ò Ö G ÓÐ Ò Ý Ø Ò Ò Òº Úµ Å Ò Ø Ò Ò G Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÔÓÐ Ùº ÂÓ Ú Ö Ó G ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÑÓÒØ Ô Ø ØØ Ð V = n ÙÖ Ú Ø Ú ØØÑØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ ÐÐ Ø Ò Ò Úµ G ÓÒ ÖÖÓ ØÓÒ Ò ÓÒ n 1 ÖØ º Ú µ G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò ÓÒ n 1 ÖØ º ÌÓ ØÙ º ÂÓ n = 1 Ú ØØ Ø ØÖ Ú Ð Ø Ý ØÔ ØÚ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n 2º µ Úµ Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ó ÔÙÙ T k+1 Ó ÓÒ k+1 Ô Ø ØØ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò k ÖØ º ÆÝØ Ó ÔÙÙ T k+1 ÓÒ Ò Ò Ý ½

22 Ô Ø v ÓÒ Ø d(v) = 1º ÌÓ ØÙ º ÎÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÔÓÐ Ù P = (v 1,v 2,...,v m ) Ó ÓÒ Ô Ò Ñ ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÔÙÙ Gº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ Ò ØÓ Ò ÔØ Ô Ø Ò Ø ÙÙÖ Ñ¹ Ô Ù Ò ½º ÌÐÐ Ò ÔØ Ô Ø ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ Ò ÔÙÖ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÙÙÐÙÙ ÚÐØØÑØØ ÔÓÐ ÙÙÒ P ÓÐ ÓÓÒ ØÓ Ò Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø wº ÂÓ w ÓÐ Ñ Ò Ô Ø Ø v i ÚÓ Ø Ò ÔÓÐ Ù P Ø Ñ ÓÒ Ú ØÓ Ò ÔÓÐÙÒ P Ñ Ñ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø º ÌÓ ÐØ Ó w ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ø v i Ò Ö Ø ¹ Ö Ø Ú Ö ÓÒ G ÖÖÓ ØØÓÑÙÙ ÓÐ ØÙ Ò Ò º ÌÐÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÓÐÙÒ P ÔØ Ô Ø ÐÐ v 1 v m ÓÒ ÓÐØ Ú d(v {1,m} ) = 1º ÂÓ Ú Ö Ó Ø T k+1 ÔÓ Ø Ø Ò Ô Ø v {1,m} Ò Ú Ö Ó T k+1 v {1,m} Ó ¹ ÓÐ ÖÖÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ú Ö Ó Ø Ó ÓÐ ÖÖÓ Ó ÚÓ ÖÖÓ Ø º Ä T k+1 v {1,m} ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÔÓ Ø ØÙÒ Ô Ø Ò v Ø d(v {1,m} ) = 1º ÌÐÐ Ò T k+1 v {1,m} ÓÒ ÔÙÙ Ó ÓÒ k Ô Ø ØØ k 1 ÖØ º Úµ Ú µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ G ÓÒ h ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ÂÓ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ø ÓÒ ÔÙÙ ÑÖ Ø ÐÑÒ º½ ÑÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ý ØÑ Ò Ø Ö¹ Ú Ø Ò h 1 ÖØ º ØÑÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÔÙÙº Ì ÔÙÙ ÓÒ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ Ò (n 1) + (h 1) = n 1 ÖØ º ÌÐÐ Ò Ò ØØ h = 1 Ð Ú Ö Ó ÓÓ ØÙÙ Ý Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø º Ú µ µ ÇÐ ÓÓÒ e G Ò Ö º ÃÓ Ú Ö Ó G e ÓÒ n 2 ÖØ ÓÒ Ò Ð Ù Ò º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ÒØÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ÃÙ Ø Ò Ò Ó ÒÒ Ò Ö Ò ÔÓ Ø Ñ Ø G ÓÐ Ý Ø Ò Ò Ò ÓÒ G e Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ñ Ò Ø Ò Ö Ò e ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØØ Ò µ Ò ÑÙ Ø º µ Úµ G ÓÒ Ú Ö Ó Ó Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Ò ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ú Ö ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÇÐ ÓÓØ x y Ô Ø Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ ¾ Ö Ð Ø ÔÓÐ Ù p 1 p 2 º ÇÐ ÓÓÒ u Ò ÑÑ Ò Ò Ô Ø Ó Ø ÔÓÐÙØ Ð Ø ÚØ ÖÓ Ñ Ò v Ò ÑÑ Ò Ò Ô Ø Ó ÔÓÐÙØ Ó Ø Ú Ø ÐÐ Òº È Ø u ÓÐÐ ÑÝ Ô Ø x ÑÓ Ò Ù Ò v ÚÓ ÓÐÐ yº ÂÓ Ý Ø ØÒ ÔÓÐÙØ p 1 p 2 Ò ÖÖÓ º à ÖÖÓ Ø ÚÓ Ò Ò ÔÓ Ø Ý Ö Ð ÐÐ Ú Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý Ø Ò Ò Òº ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ð ÙÓÐ ØÙ Ø Ò µ Ò ÓØ Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò ÔÓÐÙÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ý ØØ Ò Òº Úµ µ Î Ö Ó G ÚÓ ÓÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ó Ò ÓÐ ÖÖÓ ÓÐ Ò ÖÖÓ ÓÐ Ú Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Ö Ð Ø ÔÓÐ Ù º Ä Ó¹ Ò Ò ÙÙ Ö e ÐÙÓ ÖÖÓ Ò ÐÐ Ó Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ó Ð Ø ØØÝ Ó Ò ØÓ Ò ÓÐÐ Ò ÔÓÐÙÐÐ pº Ã Ö Ò e Ð Ñ Ò Ò Ô Ø Ò u v Ú¹ Ð ÐÐ ÐÙÓ Ø Ò Ý Ò ÖÖÓ Ò ÐÐ Ó ÐÓ ÖÖÓ Ø ÓÐ Ô Ø Ò ½

23 u v ÚÐ ÐÐ Ó Ò ØÓ Ò Ò Ò ÔÓÐ Ù sº ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø Ö Ø Ó Ò Úµ Ò ÓØ Ò µ ÔØ º µ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ G ÓÐ Ý Ø Ò Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò k i k j ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ø Ò Ð Ø Ö e = (u,v) Ñ u k i v k j º ÆÝØ Ö Ò e Ð Ñ Ò Ò ÝÒÒÝØ ÖÖÓ Ø Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ò µ Ò º Ë G ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ò ÓÐ ÖÖÓ Ð ÓÐ ØÙ Ø Ò µ ÑÙ Ø º ÈÙÙ ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ó Ó Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø ¹ ÑÐÐ Ò Ý ÔÓÐ Ùº Å Ø ÓÒ Ú Ö Ó Ó Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý ÔÓÐ Ùº Å Ø ÓÒ Ú Ö Ó ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÔÙ Ø º Å Ø Ò Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E = n k Ñ k ÓÒ Ñ Ø Ò Óѹ ÔÓÒ ÒØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð Ù º½¼µº ÅÖ Ø ÐÑ º½ º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÖ ÐÐ Ò Ò Ó Ý ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ Ø ÓÒ Ò Ñ ØØÝ ÙÙ¹ Ö ÓÐÑÙ Ð ÙÙÖ º ÌÐÐ Ò Ö ÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ Ó Ø ÙÙÖØ Ø ÔÓ Ô Ò ÙÙÖ Ø º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÙÙÖ ÐÐ Ø ÔÙÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ò ¹ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ø Ð Ñ Ö º º ÅÖ Ø ÐÑ º½ º Î Ö ÓÒ Ú Ö ØØ ÔÙÙ ÓÒ Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ò Ð Ú Ö Ó Ó Ý Ø Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ø ÔÓÐÙÐÐ ØÓ Ò º ÀÙÓÑ ÙØÙ º È Ò ÑÑ Ð Ú Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÐ ÖÖÓ ÚÓ Ø Ò Ò ÔÓ Ø Ý Ö ÐØ ÐÝØØ Ú Ö ÓÒ Ý Ø Ò ÝÝ º Î Ö ØØ ÔÙÙ ÓÒ Ò ÔÙÙº à ÔÙÙØ ÓÚ Ø Ò ÓÑ Ú Ö ØØ ÔÙ Ø Òº ½

24

25 ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÖØ Ø Ò ÑÓÒ Ø Ó Ò ÙÐÑ Ò V ÖÑ Ò E Ø Ó Ò F ÐÙ¹ ÙÑÖ Ò Ð ØØÝÚ Ý Ø ÝØØ Ò Ñ Ø ØÒ ÙÐ Ö Ò Ú ØÓ Ò Ò ÑÝ ÖØ ¹ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÐ Ð Ý ÚØ ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÚÙÓÒÒ ½ ¾º ÌÑ Ú ÔØ ÑÝ Ð¹ Ð Ø ÓÚ Ö Ó ÐÐ ÐÐ Ñ Ø Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÚÓ Ò Ø ÚÙØØ ÓÒÚ ÓÐÑ ÙÐÓØØ ÔÔ Ð Ô Ò Ú ØÓ Òº Ä Ù º½º ÙÐ Ö Ò Ú ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) Ý Ø Ò Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ f Ø Ó Ò ÑÖ Ó Ò G Ò Ø Ó ØÝ º ÌÐÐ Ò ÔØ V E + f = 2 Ö ØÝ Ø Ø Ó Ò ÑÖ Ö ÔÙ Ú Ð ØÙ Ø Ø Ó ØÝ Øº ÌÓ ØÙ º Ì Ô ½ºµ ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ñ ÐÐ Ò Ù Ø Ú Ø Ú Ö ÓÒ G Ö Ò ÑÖº ÂÓ E = Ò Ò V = 1 f = 1 Ú ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ E 1º ÌÙØ Ø Ò Ø Ø Ô Ù Ø Ì Ô Ù ½º Î Ö Ó G ÓÐ ÖÖÓ º Ë ÐÐÓ Ò G ÓÒ ÔÙÙ V = E +1º Ë Ñ ÐÐ Ò ÑÝ f = 1 Ó ÔÙ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý Ö Ó ØØ Ñ ØÓÒµ Ø Óº Ì Ô Ù ¾º ÂÓ Ò Ö e E ÙÙÐÙÙ ÖÖÓ Òº Ì Ø ÙÖ ØØ G e ÓÒ Ý Ø Ò Ò Òº ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ ÙÐ Ö Ò Ú ÔØ ÐÐ ÓÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ ØÙ Ú Ö Ó ÝÒØÝÝ Ú Ö Ó Ø G ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ö e ÒÓÙ ØØ Ñ Ø Ó ØÝ Øµº Ã Ö e Ó ÙÙÐÙÙ ØÙØ ØØÙÙÒ Ø Ó ØÝ Ò ÖÓع Ø ØÓ Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ø Ó Ð Ù º½¾µº ÃÙÒ Ö e ÔÓ Ø Ø Ò ØÙÐ Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ý Ø Ò Ò Ò Ø Óº ÌÐÐ Ò Ó Ð ØÒ Ø Ò Ö e ÒÓÙ Ø Ó Ò ØØ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ Ý ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô ¹ Ø Ò ÑÖ ÐÝÝ ÑÙÙØØÙÑ ØØÓÑ Ò º ÌÑÒ ÚÙÓ ÙÐ Ö Ò Ú ÔØ G ÐÐ º ÌÓ ØÙ º Ì Ô ¾ºµ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ú Ö ÓÐÐ G Ú Ö ØØ ÔÙÙº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ T E G Ò Ú Ö Øع ÔÙÙÒ P Ö ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø P ÓÐ ÖÖÓ º ÅÙÓ¹ Ó Ø Ø Ò G ÐÐ Ù Ð G º ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ù Ð Ò Ö Ò ÖÝ Ñ T E ÓØ Ú Ø Ú Ø Ö ÓÙ Ó E\T º T Ò Ö Ø Ý ØÚØ Ø ÓØ ØÓ ¹ Ò Ó T ÓÐ ÖÖÓ º Ë ÑÓ Ò T ÓÐ ÖÖÓ Ó ÑÙÙØÓ Ò ÖÓØØ ØÓ Ø Ò Ó Ø Ò G Ò Ô Ø Ø ÖÖÓ Ò ÐÐ Ùй ÓÒ º ÌÑ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ó T ÓÒ Ú Ö ØØ ÔÙÙ Ú Ö Ó Ò T ¾½

26 ÃÙÚ º½ Ñ Ö Ú Ö Ó Ù Ð Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÑÓØØ Ñ Ñ Ø ÓÚ Ø T E\T T º T Ö Ø ÚØ Ð º ÇÒ ØÓØØ ØØ T ÓÒ Ú Ö ÓÒ G Ú Ö ØØ ÔÙÙº ÆÝØ Ó ÐÐ ÔÙÙÐÐ ÔØ ØØ Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ú Ö ÓÒ Ö Ò ÑÖº Ë ÔÙÙÐÐ T Ò V = E T + 1 T ÐÐ f = E T + 1º ÆÝØ ÚÓ Ò Ð Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ý Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò V +f = ( E T +1)+( E T +1) Ð V E +f = 2 ÐÐ E T + E T = E Ó ØÙ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÙÐ Ö Ò Ú ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ú Ö Ó ÐÐ Ó Ò Ù Ù ÓÒ g ÙÖ Ú Ø V E + f = X(g), Ñ V ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ E ÓÒ Ö Ò ÑÖ f Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÖÑ ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÙÐ Ö Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº º½ X(g) = 2 2g ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÙÖ Ù Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ G Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÓÓ ØÙÙ n Ø Ö Ø Ð Ó Ò Ò Ø Ó ÓÒ n¹ ÖÖÓ º ÌÐÐ Ò ÐÐ ÔØ ( V 2) E = n (n 2). ÌÓ ØÙ º Ä ØÒ Ð ÐÐ ÙÐ Ö Ò Ú Ø º ÃÓ Ú Ö ÓÒ G Ó Ò Ò Ø Ó ÓÒ n¹ ÖÖÓ Ó Ò Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ ÐÐ G Ò Ø ÓÐÐ Ó Ø ¾¾

27 Ø Ó Ö n ÖØ º ÌÐÐ Ò Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÑ ÙÐ Ö Ò Ò n f = 2 E f = 2 E n. V E + 2 E n = 2 E = E (1 2 n = V 2 ( V 2) n( V 2 = (n 2) (n 2). 1 n Ä Ù º º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ Ð Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ø Ò ÓÐÑ ÖØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ð Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÐÐ ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ô Ú Ö Ó ÐÐ Ó ÓÒ ÐÑÙ Ó Ø Ø Ö ÒÒ Ö º ÌÓ ØÙ º Î Ö ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ö ÓÐÑ ÖØ Ð Ø Ö ÙÐ ØØÙ ÔÓй Ù (v 1,v 2,v 3,v 1 )º ÆÝØ Ó Ó Ò Ò Ò Ñ Ò Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ Ø Ú Ò Ô Ø Ò v i ÚÐ ÐÐ ÐÙØØ Ò Ð Ø Ö Ø ÚÓ Ø ÐÑ Ò ØØ ØÐÐ Ö ÐÐ ÓÐ Ó Ö ÒÒ Ò Ò Ö ÐÐ ÓÐÑ Ó Ý ÒÒ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ö ¹ Ó K 3 º ÂÓ Ø ÐÙØØ Ò Ð Ø Ö Ò ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Óع ÚØ ÙÙÐÙ Ñ Ò Ò Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ö ÙÒ Ò ÓÙ ÙØØ Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ö º Ë ÙÖ Ù º º Å Ñ Ð Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ V Ô Ø ØØ E = 3( V 2) (3 2) = 3 V 6 ÖØ º ÌÐÐ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ ØØ Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ G Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ E 3 V 6. Ä Ù º º ÂÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ G ÓÒ Ô Ø Ò ÑÖ p 4 ÓÒ Ô Ø v i ÓÒ Ø d(v i ) 5º ¾

28 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ G ÓÐÑ Ó Ñ ØÓÒ Ú Ö Óº Ì Ò Ú Ö ÓÓÒ ÚÓ Ò Ð Ø Ö ¹ Ø Ò ØØ Ø ØÙÐ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó G k º ÂÓ ÒÝØ ÓÐÑ Ó Ù Ø Ú Ö Ó Ø G k ÓÒ Ð Ý ØØÚ Ô Ø v i ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ú ÓÒ Ð Ý ØØÚ ÑÝ Ð ÙÔ Ö Ø Ú Ö Ó Ø G Ó Ð ÑÐÐ Ú Ö ÓÓÒ Ö ÚÓ Ò Ú Ò ÒÓ Ø Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò Ø Ø Ð º ÌÙØ Ø Ò Ú Ö Ó g Ó ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Óº ÃÓ Ó ÐÐ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ö Ú ÖØ Ó Ò Ò Ö ÙÙÐÙÙ Ø Ò Ø ÓÓÒ ÚÓ Ò ØÑ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ð Ù 3f = 2 E f = 2 E 3. ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ó Ò Ô Ø Ò Ø d(v i ) 6º ÂÓ ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÔØ ØØ d(vi ) = 2 E, Ó Ó Ò Ò Ö e i ØÙÐ Ð ØÙ Ø º Ä ÔØ ÑÝ ØØ 2 E 6 V V E 3. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÑ ÙÐ Ö Ò Ú Ò V E + f = 2 Ô ØÒ ØÙÐÓ Ò 2 = V E + f = V E + 2 E 3 = V E 3 0, Ñ ÓÒ ÔØÓ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ØØ Ó ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ G ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ò Ò Ý Ô Ø v i Ø Ò ØØ d(v i ) 5º ØÓ d(v i ) 5 ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØÑÐÐ Ø ¹ ÓÚ Ö Ó ÓÒ Ô Ò Ø ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ú º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ Ñ Ö¹ Ó Ö Ò Ø Ó ØÝ Ó ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú Ø Ò Ò Ø ÓÚ Ö Óº ¾

29 ¹ÚÖ Ð Ù Ä Ù º½º ÂÓ Ò Ò Ø Ó ÖØØ ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ø Ò ØØ Ò ÔÙÖ ÐÙ Ø ÚØ Ó Ò ÓÐ ÒÒ Ñ Ò ÚÖ º Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò Ò Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÝÝ Ø ØØ Ö Ø ÙÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÝÐ Ò Òº Ê Ó ØØÙÑ Ò Ò Ñ Ö ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ò ÖØØÓ Ò Ö Øº Ìй Ð Ò Ó ÖØØÓ Ò Ó ÐÐ Ø ÑÙÓ Ó ÐÐ ÓÐ ÚÐ Ú Ò ÒÓ Ø Ò ÐÐ Ñ Ø Ò ÐÙ Ø Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò Ò Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º Æ Ð ÚÖ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ Ú Ö ÓØ ÓÖ ØØ Ò Ø Ö¹ Ñ Òº à ÙØØ ÓÒ ÐÑ Ò ØÓÖ Ò ÙÙÖ Ò Ó Ö Ø ÙÖ ØÝ Ø ÓÒ Ø ØÝ Ò ÙÙÖ ØÐÐ ÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÑÝ ÐÓÔÙÐØ ÓÒÒ ØÙÒ Ø Òº ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ ÙÙ ÐÐ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ÖØØ Ø ÓÚ Ö Ó Ó ÐÙ Ò Ö Ó Ò Ö Ø Ý Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø Ö Ö º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ú Ö¹ ÓÐÐ Ù Ð Ø Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ ÐÑ Ø ØÑÒ Ù Ð Ú Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ ÓÒ Ð¹ Ñ º ÂÓ ÐÙØ Ò ÓÒ Ö Ø Ó ØØ Ù Ð Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ú ÓÐ ØØ ØØ Ó Ò Ò Ù Ð Ò Ô Ø ÓÒ Ú ÐØ ÓÒ Ô ÙÔÙÒ Ò ÔÙÖ Ú ÐØ Ó Ò Ô ÙÔÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ú ÐØ Ó Ò ÐÐ ÔÝ ÝÚ Ø ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ó Ó Ò ÖØ Ò Ù Ð ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ø ÖØØ ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ô Ò Ú ØÓ Òº ÃÙÒ ÐÙØ Ò Ö Ø Ø ØÑ Ù Ð Ò ÚÙÐÐ ÑÙÓØÓ ÐØÙ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÐÔÓ Ò ÐÓ ØØ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÖØØ ÓØ ÚÓ Ú¹ Ö ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ Ðк ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÙÓÐÐ Ú Ö Ó Ø Ú Ò Ý Ò Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò Ú ÚÖ Ø ØØÚ Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ô Ò Ò Ñ¹ Ö Ô Ø Øº ÆÝØ Ò ÓÐ Ø ÒÝØØÑÐÐ ØØ ØÙÓ Ø Ú Ö Ó Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ø Ý Ô Ø ÐÑ Ò ØØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÑÙÙØØÙÙº ÃÓ ÒÝØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ö Ó Ó ÓÒ Ú ÑÑÒ Ô Ø Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö ¹ ÚÓ Ò Ô Ò ÑÑÒ Ú Ö ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ØÑ Ú Ö Ó ÚÖ ØØ Ò Ð ÐÐ ÚÖ Ðк ÅÙØØ Ó ÔÓ Ø ØØ Ú Ô Ø Ú Ð ØØ Ò Ø Ò ØØ Ø ÖÚ ØØ ¹ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÑÙÙØÙ Ò Ö Ø Ö Ø º ÆÝØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð ÝØÑ ¹ ÓÐÐ ÚÓ Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ó Ù Ø Ò Ò Ú ÒØÑØØ Ò ÚÖ ØØÑ ¹ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ Ò Ð Ò ÒÝØØ ØØ Ô Ò ÑÑ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ð ÚÖ Ð Ù Ò Ú Ø Ñ Ö Ú Ö Ó ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ò Ò Ý ¹ Ô Ø Ó ÚÓ Ò ÔÓ Ø º ÌÑ Ó Ó Ú Ø ÐÓÔÙÐØ ÚÙ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØ Ø Ó º ¾

30 Ò ÑÑ Ò Ú Ö ØØ Ñ ÝÚ ÝØÝÒ Ø ØÓ ÓÒ Ø ØÙÒ ØÓ ØÙ Ò ØØ ¹ ÚØ ÔÔ Ð À Ò ÚÙÓÒÒ ½ º À ÐÓ ØØ Ú Ø ØÓ ØÙ Ò Ð ÒÒ Ò Ò Ð ÚÙÓØØ ÑÑ Ò Ð ØØ Ð Ñ ÐÐ ÒÓ Ò ½ ¼¼ Ø Ô ÓÐÐ Ô Ø ÚÓ Ø Ò ÝÚ ¹ ÝØÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ö Ó Ø Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ñ Ö Ú Ö¹ Ó ØÙÐ ÓÐÐ Ò Ò Ý ØÐÐ Ø Ô Ø Øº ¾

31 ¹ÚÖ Ð Ù Ä Ù º½º ÂÓ Ò Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÐÙ Ø ÚÓ Ò ÚÖ ØØ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ø Ò ØØ Ú Ö ÐÐ Ô Ø ÐÐ Ø ÐÙ ÐÐ ÑÖØ Ý Ø Ø ÚÖ º ÌÓ ØÙ º À ÛÓÓ Ô Ö ÒØ Ò ØÓ ØÙ ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ µ ÐÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ Ô Ø Ò p Ù Ø Òº ÂÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ ÓÐÐ p 5 Ð Ù ÔØ Ò º ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÓÚ Ö ÓØ Ó ÓÒ p Ô Ø ØØ p 5 ÓÚ Ø 5¹ÚÖ Ø ØØÚ º ÇÐ ÓÓÒ G ÒÝØ Ø ÓÚ Ö Ó Ó ÓÒ p + 1 Ô Ø Øغ ÆÝØ ÚÓ Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ò ÙÖ Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÓ ØØ G ÓÒ Ô ¹ Ø v ÓÒ Ø ÓÒ 5 Ø Ú ÑÑÒº ÌÐÐ Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó G v ÓÒ 5¹ÚÖ Ø ØØÚº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ö Ó G v ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ ÚÖ Ñ Ö ØÒ c i 1 i 5º ÌÐÐ Ò Ó ÓØ Ò ÚÖ ÓÐ ÓÓÒ Ú c j ÓÐ ÝØ ØØÝ v Ò Ú Ö Ø Ò Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Ò Ò 5¹ÚÖ Ø ØØÝ Ø ÓÚ Ö Ó G ÚÖ Øع ÑÐÐ Ô Ø V ÚÖ ÐÐ c j º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÓÙ ÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó d(v) = 5 Ú ÚÖ c i ÓÒ ÝØ ØØÝ Ú Ö Ø Ò Ô Ø Ò ÚÖ ØØÑ Òº Ì Ð ÒÒ ØØ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ º½º ÅÙÙØ Ø Ò Ø ÖÚ ØØ ÚÖ ØÝ Ø Ø Ò ØØ v Ò ÝÑÔÖ ÚØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø ÚÖ Ø ØØÝ Ñ Ø Ö ØÝ c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 º ÆÝØ Ñ Ö ØÒ ÝÑÔÖ Ú Ô Ø Ø Ø Ò ØØ ÚÖ ÐÐ c i ÚÖ Ø ØØÝ Ô Ø ÓÒ v i º ÃÙÚ º½ ÇÒ ÐÑ Ô Ø v ÓÒ Ò ÔÙÖ Ò ÚÖ ØÝ ÓÒ Ó ÝØ ØØÝ Ó Ò Ò Ú Ø ÚÖ Ø c i º ÇÐ ÓÓÒ G 13 G v Ò Ð Ú Ö Ó Ó ÑÖÝØÝÝ Ô Ø Ø ÓØ ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ó Ó ÚÖ ÐÐ c 1 Ø c 3 º ÂÓ ÒÝØ v 1 v 3 ÙÙÐÙÚ Ø G 13 Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ¾

32 Ò Ò G v Ò 5¹ÚÖ ØÝ ÚÓ Ò ÚÙØØ Ú Ø Ñ ÐÐ ÚÖ ØÝ Ø Ò G 13 Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÓÒ v 1 ÙÙÐÙÙº ÌÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ó Ñ ¹ Ò v Ò Ú Ö Ø Ô Ø Ø ÓÐ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 1 Ú Ö ÓÒ G 5¹ÚÖ ØÝ ÚÖ ØØÑÐÐ v ÚÖ ÐÐ c 1 º ÂÓ Ø v 1 v 3 ÙÙÐÙÚ Ø G 13 Ò Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù v 1 Ø v 3 Ò ÔÓÐ ÙÙÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 1 Ø c 3 º ÂÓ Ø Ò ÔÓÐ ÙÙÒ Ý Ø ÔÓÐÙÒ v 1 vv 3 Ò ÖÖÓ Ó ÚÐØØÑØØ ÝÑÔÖ Ó Ó Ô Ø Ò v 2 Ø Ô Ø Ø v 4 v 5 º ÌÐÐ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ó Ý Ø Ô Ø Ø v 2 v 4 º ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò G v ÐÐ Ð Ú Ö Ó G 24 Ó ÑÖÝØÝÝ Ô Ø Ø ÓØ ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ó Ó ÚÖ ÐÐ c 2 Ø c 4 Ò Ò v 2 v 4 ÙÙÐÙÚ Ø G 24 Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØØ Òº ÂÓ ÒÝØ Ú Ø Ò ÚÖ Ò G 24 Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÓÒ v 2 ÙÙÐÙÙ Ò G v Ò 5¹ÚÖ ØÝ Ó Ñ Ò v Ú Ö Ø Ô Ø Ø ÓÐ ÚÖ Ø ØØÝ ÚÖ ÐÐ c 2 º ÌÐÐ Ò Ó Ó Ú Ö ÓÒ G 5¹ÚÖ ØÝ Ò ÚÖ ØØÑÐÐ v ÚÖ ÐÐ c 2 º ÌÓ ØÙ º Ì ÓÑ Ò ÐÑ Ò ÙÐ Ö Ò Ú µ ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ú Ö ÓÓÒ Ð ØÒ Ö Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù ÚÓ ÒÓÙ Ø ÑÙØØ Ó Ò Ð Ó Ð ØØ Ö Ð ØÒ Ñ ÐÐ ÑÝ ÚÖ ¹ Ø ØØÚ Ò Ô Ø Ò Ò ÔÙÖ Ô Ø Ò ÑÖº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó H ÓÒ Ú Ö ÓÒ G Ð Ú Ö Ó ÔØ Ò χ l (H) χ l (G)º ÆÝØ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ G ÓÒ Ý Ø ¹ Ò Ò Ò ÓÐÑ Ó ØÙ Ð Ù º µº ÌÓ ØÙ ÔØ ÐÐ Ú Ö Ó ÐÐ Ó ÙØ Ò ÐÙ ØÓ ØØ Ò Ö Ò Ú ÒØÑ Ò Ò ÚÓ Ú Ò Ð ÚÖ ÐÙ Ù º Â Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ø ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò ØÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ù Ó ÓÒ ÚÓ ¹ Ò ØØ Ò ÝØØ Ò Ù Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ G = (V,E) ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÓÐ ÓÓÒ B ÙÐ ÓÔÙÓÐØ Ö ¹ Ó ØØ Ú ÖÖÓ Ð Ö ÙÒ º ÆÝØ ÓÐ Ø Ø Ò ÚÖ Ð ØÓ ÐÐ L(v),v V ÙÖ Ú Ø Ø ½µ Î Ö Ø Ô Ø Ø x,y B ÓÒ ÚÖ Ø ØØÝ Ö ÚÖ ÐÐ α βº ¾µ L(v) 3 ÐÐ Ô Ø ÐÐ v Bº µ L(v) 5 ÐÐ Ô Ø ÐÐ v V \Bº Æ Ñ Ø ØÒ ÓÙ Ó V \B Ú Ö ÓÒ G ÔÙÓÐ º ÌÐÐ Ò x Ò y Ò ÚÖ ØÝ ÚÓ Ò Ð ÒØ G Ò Ð Ø ÚÖ ØÝ º Ö ØÝ Ø χ l (G) 5º Ä ØÒ Ð ÐÐ Ø Ð ÒØ Ø V = 3º ÌÑ ÓÒ ØÖ Ú Ð ÐÐ ÒÝØ ÓÒ Ú Ò Ý ÚÖ ØØÑØ Ò Ô Ø Ò ÚÖ Ð Ø ÐÐ ÔØ L(v) 3 ÓØ Ò Ò ÚÖ Øع Ñ ÓÒ Ø Ö ÓÐÐ Ú Ô ÚÖ º Â Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ º ¾

33 Ì Ô Ù ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ B ÐÐ ÓÒ ÒÒ Ð Ö e Ó ÙÙÐÙ B Ò Ý Ø Ô Ø ØØ u Ò v Ò ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø B Òº ÌÑ ÒÒ ¹ ÒÝØ Ú Ö ÓÒ G Ø Ò Ð Ú Ö ÓÓÒ G 1 G 2 º Ä ÒÒ e ÑÝ ÖÖÓ Ò B Ø Ò Ó Ò B 1 B 2 º ÆÝØ B 1 {u,v} Ö Ð Ú Ö ÓÒ G1 B 2 {u,v} Ð Ú Ö ÓÒ G2 º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ô Ø Ø x,y ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ú Ö ÓÓÒ G 1 ÙÚ º¾µº Æ Ò ÝÒØÝÒÝØ Ð Ú Ö Ó G 1 ÓÒ ÓÐÑ Ó ØÙ ØÐÐ Ò Ò Ù Ø Ó¹ ÃÙÚ º¾ ÂÒÒ e = (u,v) Ö ÙÒ Ò B Ú Ö ÓÒ G Ø Ò Ó Òº ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÑÝ Ð Ø ÚÖ Ø ØØÚ Ú ÐÐ ÚÖ Ðк ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ø ÚÖ ØÝ Ô Ø ÐÐ u v ÑÖØÒ ÚÖ Ø γ δº ÃÙÒ Ø ÓØ Ò Ð ¹ Ú Ö Ó G 2 Ò Ø ÒÒ ÐØ ÚÖ Ø ØØÝ Ô Ø ØØ u,v B ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ú Ö ÓÐÐ G 2 º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÑÝ G 2 ÚÓ Ò Ð Ø ÚÖ ØØ Ú ÐÐ ÚÖ ÐÐ Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ú Ö ÓØ ÓÒ ÒÝØ ÓÒÒ ØÙØØÙ Ð Ø ÚÖ ØØÑÒ ÚÓ Ò ÑÝ Ó Ó Ú Ö Ó G ÚÖ ØØ Ý ÐÐ ÚÖ ØÝ Ðк Ì Ô Ù ¾º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ú Ö Ó G ÓÐ ÒÒ Øغ ÇÐ ÓÓÒ v 0 B x(α) Ò Ú Ö Ò Ò Ô Ø Ö ÙÒ ÐÐ B ÓÐ ÓÓØ x,v 1,...,v t,v t+1 v 0 Ò Ò ÔÙ¹ Ö Ø Ñ v t+1 Ø Ö ÙÒ ÐÐ B ÙÚ º µº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒÝØ Ð Ú Ö ¹ Ó G = G\{v 0 } ÔÓ Ø Ñ ÐÐ G Ø Ô Ø v 0 Ò Ó Ø Ú Ø Ö Øº Ð Ú Ö ÓÒ G Ö ÙÒ ÓÒ ÒÝØ B = B\{v 0 } {v 1,...,v t }º ÃÓ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ¹ Ò L(v 0 ) 3 ÓÒ Ð Ø L(v 0 ) α Ò Ð Ò Ò ÑÙÙØ ÚÖ γ δº ÃÓÖÚ Ø Ò ÒÝØ Ó Ò Ò Ð ØÓ Ø L(v i ) Ð ØÓ ÐÐ L(v i )\{γ,δ}º ÅÙÙØ G Ò Ô Ø Ø ÔÝ ÝÚØ ÚÖ Ð ØÓ Ò Ù Ø Ò ÒÒ ÐÐ Òº ÆÝØ G ØÓØ ÙØØ ÓÐÑ ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Ð Ø ÚÖ Ø ØØÚ Ú ÐÐ ÚÖ Ðк ÃÓ ÒÝØ v 0 ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÚÖ Ø Ú Ô Ø ÚÖ Ø Ó Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÒÒÝ Ò Ýѹ ÔÖ ÐÐ ÚÓ Ò G Ò Ð Ø ÚÖ ØÝ Ð ÒØ Ó Ó G Ò ÚÖ ØÝ º ¾

34 ÃÙÚ º È Ø Ò v 0 ÖÓØÙ Ú Ö Ó Ø Gº ÆÝØ ÓÒ ØÙØ ØØÙ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ó Ø Ò ØØ Óй Ñ Ó ÙÒ Ú Ö ÓÒ Ð Ø ÚÖ ØÝ Ò Ö ØØ Ò Ú ÚÖ ÚÓ Ò ÙÖ Ù Ò ¾º¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ Ø ØÑÒ ØÓ ØÙ Ò ÒØ Ò Ò Ñ Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ò ÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ Òº ¼

35 Ñ Ö Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÚ Ø Ó Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÐÚ Ø ÐÑ Ø ØÓÖ ¹ Ø Ö Ø ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Å Ø Ñ Ø ½¾ º º½ ÃÓ Ô Ú Ò ÑÖÑ Ò Ò ÄÙ ÓÒ Ó Ú ÓÐÐ ÐÙØ Ò Ö Ø Ó Ø ÙÖ Ú Ø Ú Ð ÒÒ Ø ÙÖ ¹ Ø Ò Ð ÒÒ Ø Æµ ÖÙÓØ Ø Ê͵ Ö Ò Ø Ê µ Ô Ò Ø Ëµ Ô Ø Ø Å µ ÐÝ Ý Ø Å µ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ô Ø Ø µ ÐÝ Ý ¹ Ø µ Ý Ø Ô Ø Ø Ã µ ÐÝ Ý Ø Ã µ Ñ Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÅƵ ÓÐÓ Ø Áµº ÃÝØ ÓÒ Ñ Ñ Ò Ó Ô Ú Ó Ò Ô ÚÒ ÓÐÐ Ñ ¹ Ñ Ò ÓÐÑ Ò Ö Ò Ò Ó Øº Ø ÓÔ Ð Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ ÙÖ ÐÐ Æ ÊÍ Ê Ë Å Å Ã Ã ÅÆ Á Æ ¼ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ÊÍ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Ê ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Ë ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ Å ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Å ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ à ¼ ¼ ¼ ¼ à ¼ ¼ ¼ ÅÆ ¼ ½ Á ¼ Å ØÖ Ø Ô ÖÖ ØÒ Ú Ö Ó ØÙÐ Ø Ñ ÐÐ ØØ Ö ÓÔÔ Ò Ø Ú Ø Ú Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÖØ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð ÙÖ ÐÐ ÓÐ ¹ ÑÓ Ò Ð Ø Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ö ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ý Ò Ò Ð ÙÖ ÐÐ ÓÒ ÑÓ ÓÔ Ð Ó Ø º ÎÖ Ø ØÒ Ò Ò ØÙ Ú Ö Ó ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÔÔ Ò Ø ØØ Ò Ò ¹ Ó Ñ ÐÐ Ó Ô Úغ Ä ÓÒ ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ ÙÒ Ò Ó Ô ÚÒ ÝØØ Ú Ò ÓÐÑ Ò ÖØ Òº ÁØ Ô Ö Ò Ú Ö ÓÒ Ö Ò ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò Öع ÑÐÐ Ò Ú Ø Ô ÚÒ Ò Ð ÒÒ Ø Ð Ø Ò ÙÚ º½º ÓÒ Ò Ø¹ Ú Ý Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÖ ØÝ º Ë ÓÐ ÒÓ ÚÐØØÑØØ Ý Ò ½

36 Ú Ö ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÚÖ ØÝ º ÇÐ ÑÝ ÓÐÐÙØ ØÝ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØØ Ò Ñ¹ Ñ ÐÐ ÝÖ ØØÑÐÐ ÓÐ ØÙ Ú Ö Ó ÚÖ Ø ØØÝ ÓÐ ÓÐÐÙØ Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ô Ð Ø Ø Ò Ô Ò ÔÙÖ ÚÖ ØÝ Øº ÃÙÚ º½ Ì ÒØØ Ô Ú Ò ÓÔ Ñ Ò Ð ØØÝÚ Ú Ö Ó Ò ØÙÓØØ Ñ ØÙÐÓ º º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ ÃÙÚ º¾ Ã Ò Ö Ò ÐØ ÓÒ ÐÑ º ÐÓ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ØÙØ Ñ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÙÚ º¾ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ó Ø Ò ØØ Ñ ¹ ÐÙ Ø Ñ Ö ØÒ Ô Ø ÐÐ ÐÐ Ø ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ò ÚРй к ÆÝØ Ý ÝÑÝ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ ÙÙ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ä ÝØÝÝ Ý ÐÐ Ú Ö ÓÐÐ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝ À Ú Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ò Ò Ð Ò Ô Ø Ò Ð ØØÝÝ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ¹ Ö º ÃÓ Ø ØÒ ØØ ÙÐ Ö Ò Ú ÐÝÒ ÐØÚ Ú Ö Ó ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò ¾

37 Ô Ö ØÓÒØ Ö ÐÙØØÙ Ú ÐÝ ÚÓ Ý ÐØÓ Ô Ø Ò ÙÓ¹ Ö ØØ º º Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò Ì Ò ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ò Ö Ø ½¾ ÚÙÐØ ½ Ø ØÚ ½º ÐÙ Ø ØÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ø ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ º Ë ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ñ Ö¹ ÙÚ Ò º Ú Ö Óº ÆÝØ ÚÓ Ò Ö ÒØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÑÖ Ý Ø Ò ÃÙÚ º Ì ÓÚ Ö Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ º Î Ö Ó ÓÐ Ú Ö Ó K 6 Ó ÓÐ Ý Ò ÖØ Ò Òº Ú Ö Ó Ó Ò ÝÐ Ò Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ Ö Ó ØÙ ÐÐ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ Ô ¹ Ö ØØÓÑ Ô Ø Ø ÓÑ Ú Ø ÓÚ Ö Ó ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ÝØ ØÒ ÙÚ Ò º Ð ¹ Ý ÒØ Ó Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ÝØ ØÒ Ó Ò¹ Ò Ú Ò Ô Ø Ò ÙÚ Ò º Ð Ý ÒØ ¾ º ÃÙÚ º È Ø Ò Ð Ý ÒÒ Ø Ý Ø Ò ÐÐ Ø ÓÚ Ö ÓÐÐ ÝÐ Ø Ø ØØ º Ä Ý ÒØ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ò ÐÐ Ò ÔÓ Ú Ö ÓÓÒ Ó ÓÒ ÓÐ Ú Ð Ð ØØÝ ØØ º Ä Ý ¾ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ò

38 Ú Ô Ò Ú Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö Ò Ò Ò ÙÑÑ Ò ÝÐ ØØ ÙÙ Ò ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø ÒÒ Ò ÑÙ Ø º º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð ÌÙØ Ø Ò Ô Ð Ò Ñ ÐØ Î Ö ÓØ Ò º Ñ Ó ËÔÖÓÙØ µº È Ð Ø ÐÐÒ ÑÝ Ö ½¾ ÚÙÐÐ ½ Ø ØÚÒ º È Ð Ò ÓÚ Ø ØØÒ Ø ÂºÀº ÓÒÛ Ý ÑÝ Ì Ñ Ó Ä µ ź˺ È Ø Ö ÓÒº È Ð Ò Ð Ù Ø ÐÑ Ô ÖÖ ØÒ Ô Ô Ö ÐÐ n Ô Ø ØØ Ô Ð Ø ÙÙ ÙÖ Ú ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô ÖÖ ØÒ Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ Ö ÓÐÐ Ð ØÒ Ô Ø Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ v ØÙÐ ÔØ ØØ Ò Ø d(v) 3 Ö Ð Ø ØÓ Ø ÖØ Ð Ú Ö ÓÒ ØÙÐ ÔÝ Ý Ø ÓÚ ÓÒ Ô Ð ÔØØÝÝ ÙÒ Ð ÐÐ ÓÐ Ò Ý ØÒ Ð ÐÐ Ø Ô ÖØÓ Ú Ñ Ò Ö Ò Ô ÖØÒÝØ ÚÓ ØØ Ô Ð Òº ÐÐ Ö Ñ Ö Ô Ð ÙÚ º µ Ó ÐÓ ØÙ Ô Ø Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÖÓÓÑ ¹ Ð Ò ÒÙÑ ÖÓ Ò ÖÖÓØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò ÐÐ ÐÙÓ ÙØ Ô Ø Øº ÃÙÚ º Î Ö ÓØ Ô Ð Ò Ñ Ö ÐÐ Ô Ø Ðк ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ð ØØÝ Ò Ú Ø ØØ µ Ô Ð Ø ÓÖ ÒØ Ò 3n 1 ÚÙÓÖÓ µ Ô Ð Ø Ú ÒØ 2n ÚÙÓÖÓ º ÌÓ ØÙ º µ ÃÙØ ÙØ Ò Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ò ÔØ Ô Ø ØØ Ô Ø Ò Ý Ú Ô Ù Ø º Ì Ý Ø Ý ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ô Ù Ø ÓÒ ÙÙ¹ Ò Ö ÐÐ Ô ÖÖ ØÝÒ Ô Ø Ò ½º ÐÙ Ô Ø Ø ÓÒ n ÓØ Ò Ú Ô Ù Ø Ø Ó Ó Ú Ö Ó ÓÒ 3nº ÂÓ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô ÖÖ ØÒ Ý Ö Ð ÝØ ØÒ Ú Ô Ù Ø ØØ Ð ØÒ Ý Ô Ø Ö ÐÐ Ð ÐÙÓ Ò Ý Ú Ô Ù Ø

39 Ð º ÎÙÓÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ 1 Ú Ô Ù Ø ØØ º ÇÔØ Ñ Ð Ø Ô Ø Ø ØÝÒ Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ð ÐÐ ÓÒ Ý Ú Ô Ù Ø ÐÐ Ó Ò Ø ÓÐ Ò ÑÑÒ ÚÓ Ø Ò Ô Ð Ø ÙÒÒ Ð ÐÐ ÖØÓ Ò ÓÐ Ð ÙÒÒ Ú Ñ Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÓÑ Ú Ô Ø ÓÐ ÐÐ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØØÝ Ô Ø º Ì ÙÐÙ Ó Ò ÚÙÓÖÓ Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÒÒ Ò Ð Ù 3n ½º ÚÙÓÖÓ 3n 1 ¾º ÚÙÓÖÓ 3n 2 º m. ÚÙÓÖÓ 3n m = 1 Î Ñ Ø ÚÙÓÖÓ Ø Ò ÚÙÓÖÓ Ò Ñ Ñ ÑÖ m = 3n 1º µ ÃÙØ ÙØ Ò Ð Ý Ò ÚÙÓ Ô Ø ØØ ÓÐÐ ÓÒ Ð ÐÐ Ý Ú Ô Ù Ø Ð¹ Ú Ô Ø ØØ Ó ÙÙÐÙÙ ÐÚÒ Ô Ø Ò Ò Ð ÑÑÒ Ò ÔÙÖ Ò ÓÙ ¹ ÓÓÒ ÙÓÐÐ ÑÙ Ø Ô Ø Ø ÙØ ÙØ Ò Ö Ø ØÝ º Ò Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ø ÖÑ Ø Ú Ñ Ø Ô Ø ØØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ö Ù ÔÖ Ò Ð Ò ³ Ö ØÝØÝÒÝس ¹ Ò Ò ÑÙ Òº ÃÙÓÐÐ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ¹ Ø ÐÚ Ò ÔÙÖ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÐÚØ ÚÓ Ø Ò Ý Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð Ù º µº ÃÙÓÐÐ Ø Ô Ø Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ÙÚ º º ÃÙÚ º Î Ö ÓØ ¹Ô Ð Ò ÙÓÐÐ Ø Ô Ø Øº ÐÙ Ô Ø Ø ÓÐ n ÔÔ Ð ØØ Ò Ø ÓÒ ØÙÐÐÙØ Ð Ô Ð ØØÙ Ò ÚÙÓÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ m Ú ÖÖ Òº ÃÓ µ ØÓ ØØ Ò ØØ Ô Ð Ò ÐÙ Ú Ô Ù Ø Ø ÓÒ 3nº ÆÝØ ÐÚ Ô Ø Ø ÓÒ Ð ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ú ÖÖ Ò Ð 3n m ÙÓÐÐ Ø Ô Ø Ø ÓÒ ÖØ Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ð 2(3n m) ÐÓÔÙØ Ô Ø Ø p ÔÔ Ð ØØ ÓÚ Ø Ö Ø ØØÝ º Ö Ø ØØÝ Ô Ø Ø ÓÐ Ô Ó ÓÐÐ ÑÙØØ ÚÓ ØØÓ Ø ÚÓ ØØ Ð Ú Ô Ð Ô Ð Ò Ø ÝÒØÝÝ ÐÔÓ Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÓÒع ÖÓÐÐÓ Ò ÐÚ Ú Ò Ô Ø Ò ÑÖ Ò Ò ÓÐÐ Ò Ø Ñ ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ô Ð ÔØØÝݺ ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ý ØÐ Ú Ö ÓÒ Ó ÓÒ Ô Ø ÑÖ Ø n + m = 3n m + 2(3n m) + p m = 2n + p 4

40 ÃÓ ØÓ ØØ Ò ØØ Ú ØÓ ØÓ p = 0 ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ ÚÓ Ô Ð Ñ Ò Ñ Ò Ø 2n ÚÙÓÖÓ º Ñ Ö ØÐÐ Ø Ô Ð Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ÑÝ ØØ Ó Ö Ø ØØÝ Ô Ø Ø ÓÒ Ò Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ò Ð Ðк ÃÙÚ º Ã Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ô Ð ÓÒ ØÓ ÓÒ 2n ÚÙÓÖÓ º º ÖÙ Ð Ò Ú Ö ÓØ ¹Ô Ð ÐÐ Ò Ô Ð Ò ÙÖ Ú Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ò º ÖÙ Ð ËÔÖÓÙØ µ ÓÒ ÑÝ ¹ ØØÒÝØ ÂÓ Ò ÓÒÛ Ýº È Ð Ò ÙÖ Ú ÒÐ ÐÐ ÒØ ÑÙÙØÓ ÐРй Ð Ø Ô Ð Ø Ð ÙÔ Ø Ò Ò Ô ÖÖ ØÒ n ÔÔ Ð ØØ Ö Ø ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØØÝ Ò Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ð ØÒ Ö ÐÐ ÔÓ ¹ Ú Ú Ð Ú ÒÝØ ØÒ ÔÝ ØÝÔÙÙ Ö ÔÓ ÔÙÙ ÔÝ ÝÝ ÒÒ ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ø Ò ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ò Ö Ø Ò Ö Ò ÚÐ ÐÐ Ò Ò ØØ Ö Ø ÚØ Ö Ø È Ð Ò Ð Ù ÒÝØØ Ñ Ö ÙÚ Ò º ÑÙ ÐØ º ÃÙÚ º Ã Ò ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò Ô Ð Ò Ý Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð Ùº Ì Ò Ô Ð Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØ Ú Ø ØØ Ô Ð Ø Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ô Ð Ø Ò 5n 2 Ô ÖØÓ º

41 ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ô Ð Ò Ö Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÃÓÖÚ Ø Ò Ó Ò Ò Ö Ø Ú ÐÐ Ô Ø ÐÐ Ò Ð ÐÐ Ö ÐÐ ÙÚ Ò º ÑÙ Ø º ÆÝØ ÑÖ ¹ ÃÙÚ º Ì Ô ÓÐÐ ÐÓ ØÙ Ö Ø Ø µ ØØ Ô Ð Ò Ø Ö Ø Ø µ ÓÖÚ Ø Ò Ô Ø ÐÐ Ö ÐÐ º Ø ÐÐÒ ØØ Ó Ò Ö Ô Ø Ò s i Ø d(s i ) 2 Ó Ò Ö Ø Ô Ø Ò r i Ø d(r i ) = 4º ÆÝØ Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ Ð ØÒ ÓÐÑ Ô Ø ØØ Ò Ð¹ ÖØ º ÎÙÓÖÓÒ Ô Ð Ñ Ò Ò Ú ÒØ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ú Ô Ù Ø Ø ÐÐ Ö Ò Ó ÐØ Ò Ð Ò ÐÙÓ Ú Ô Ù Ø ØØ Ð ÙÙ Ò Ö Ô Ø ¹ Ò ÑÙÓ Ó º ÎÙÓÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ ±0 Ú Ô Ù Ø ØØ º ÃÓ ÐÔ Ô Ð Ò Ú Ô Ù Ø Ò ÑÖ ÓÒ Ú Ó Ð Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ò Ø ÓÒ ÐÐ Ò 4n ÔÔ Ð ØØ Ñ Ö Ò º Ò Ñ ØÝ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ 4n ÐÚ Ô Ø Ø¹ ص ÓÒ Ó Ò Ø Ò Ø Ó ØÝ Ò Ò Ò ÐÚÒ Ô Ø Ò ÓÐØ Ú Ö Ø ØØÝÒ Ø ØÓ Ø Ý Ò ÖØ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø ÓÒ ØÑÒ ÖÖÓ Ò Ö Ñ ÐÐ Ø ÓÐÐ º Ä ÐÐ Ø Ó Ó ÐÐ ÓÐ ÐÚ Ô ¹ Ø ØØ ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ Ó ØÙ Ò Ö Ø Ò Ó ØØ Ñ Ø Ø Ò ØØ Ò ØÓ Ò Ò ÐÚ Ø Ö Ô Ø Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ ØÓ Ò Ò ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ò º Ð ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ó Ú Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÙ Ø Ø Ó Ø Ò ÐÚÒ Ô Ø Òº Ä Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ø ÐÚ Ô Ø ØØ ÐÐ Ò¹ Ñ ÚÓ Ø Ò Ý Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ ÑÙØØ ÒÝØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ ØÙØ ØØ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ô Ð ÓÒ ÔØØÝÒÝغ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ Ú Ö Ó ÓÒ 4n Ø Ó Ô Ð Ò Ú Ð ÒÒÓ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ º ÑÔ Ò ÐÐ Ò Ò ØÝ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ô Ð Ò ÐÓÔÔÙ ¹ Ú Ö Ó ÓÒ 5n + 3m Ô Ø ØØ Ú Ó ÐÓ ØÙ Ö Ø ÓÐÑ Ð Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ µ 4n + 4m ÖØ Ò Ð Ó ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò Ð Ð Ó ÐÐ ÚÙÓÖÓÐÐ µº Ë ÓØØ Ñ ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙÐ Ö Ò ¹ Ú Ò V E + f = 2 Ò ÙÖ Ú Ý Ø Ý Ð ÙÖ Ø Ò n ÚÙÓÖÓ Ò m ÐÙ ÙÑÖ ÐÐ (5n + 3m) (4n + 4m) + 4n = 2 5n m = 2 m =5n 2.

42 ÎÙÓÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò 5n 2 Ö ÔÔÙÑ ØØ Ô Ð Ø Ú Ø º È Ð ÓÒ Ò ØÐÐ Ò Ò Ú Ø ÐÐ ÚÓ ØØ ÑÖÝØÝÝ ÐÓ ØÙ Ö Ø Ò ÐÙ Ùѹ ÖÒ ÑÙ Ò Ô Ö ØØÓÑ ÐÐ ÑÖÐÐ ÐÓ ØÙ Ö Ø ÐÓ ØØ ÚÓ ØØ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÐ ÑÖÐÐ ØÓ Ò Ô Ð ÒÒÙØ ÚÓ ØØ Ò º Å Ð Ò ÒØÓ ÑÔ Ú Ö ÒØØ Ô Ð Ø Ò Ó ÔÓ ÔÙÙÒ Ð Ñ Ø ¹ Ö ÐÐ Ø Ò Ú Ô ØÓ Ø º º à ÖØØ ÚÖ ØÝ ÔÝ Ø Ò ÐÐ Ú ÐØ Ó ÐÐ ÌÙØ Ø Ò Ý Ø Ò Ø ÖØØ M Ó Ó ÐÐ Ú ÐØ ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò ÒØÒ k ÐÙ ØØ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó ÐÐ ØÐÐ ÐÐ ÖØ ÐÐ Ò ÚÖ ØØÑ ¹ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 6k ÙÒ Ó Ò Ú ÐØ ÓÒ ÐÙ Ø ÓÒ ÚÖ Ø ØØÚ Ñ ÐÐ ÚÖ Ðк ÌÓ ØÙ º Ð Ø Ú Ö ÓÒ ÚÖ ÐÙ Ù χ(g) 1 + max{δ(g ) : G G} Ñ δ(g) = min{d(v) : v V } Ð Ú Ö ÓÒ G Ð Ú Ö Ó Ò G Ñ Ø Ð Ò Ø ÚÖغ Ð Ù ¾º¾ µ ½¼ º ÃÓ Ð Ù Ò º ÑÙ Ò Ó Ø Ø ÓÚ Ö Ó Ø Ð ÝØÝÝ Ò Ô Ø ÓÒ Ø d(v) 5 Ò Ø ÓÚ Ö Ó Ò Ö χ 6º ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ø Ó ÖØØ Ó Ú ÐØ ÓÐÐ ÓÒ Ù Ø ØÓ Ø Ò Ö ÐÐ ÐÙ ¹ Ø º ÅÙÓ Ø Ò ØÑÒ ÖØ Ò Ú Ö Ó Ý ØÑÐÐ Ó Ò Ú ÐØ ÓÒ k Ö ÐÐ Ø Ô Ø ØØ v Ý Ô Ø v k º Î Ö Ó Ò ÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó ÑÙØØ Ú χ(g) 1 + max{δ(g )} Ø Ú Òº ÃÓ ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ó ÔØ max{min d(v)} 5 Ò ÙÙ max{min d(v k )} 5k ÓØØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ý ØÝ Ð k ÔÔ Ð ØØ Ô Ø Ø d(v) = 5º ÎÖ ÐÙÚÙÒ ÝÐÖ Ö ÒÒ ØØ Ú Ö Ó Ý ¹ Ø Ú ÐØ ÓØ Ú Ø Ý Ô Ø º ÆÝØ Ù Ø Ò Ò Ó Ð ØÒ Ú ÐØ Ó Ð ØÒ Ö¹ Ö ÐÐ k Ô Ø Øغ Ã Ú ÓÒ Ò ÑÙÓ ØØ Ú Ú Ø Ñ Ò ØØ ÖÓ º ÌÐÐ Ò 1 + d(v) ÓÒ ÑÙÙØ ØØ Ú ÑÙÓØÓÓÒ k + d(v k ) ÌÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú Ö χ(g) k + 5k = 6k Ë Ø Ò ØØ ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÖ ÐÙ Ù ÖØ ÐÐ Ó Ó Ò Ò Ú ÐØ Ó ÓÓ ØÙÙ k Ø Ó Ø ÓÒ 6kº

43 º ÒÖ ÔÙÙØ ÒÖ ÔÙÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ø ØÓØ Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ò¹ Ö ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ ÙÙÖÖ ØØÙ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ò Ô Ø Ò ÚÓ ÔÙ ÓÖ¹ ÒØ Ò Ý Ö Ø ÚÓ Ð Ø ÓÖ ÒØ Ò ÖØ º ÒÖ ÔÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ µ Å Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ µ Å Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø ØÒ ÐÙØØÙ Ý ÒÖ ÔÙ Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ö ÒÒ ÒÝØØ Ò ÙÚ Ò º½¼ ÑÙ ÐØ º ÃÙÚ º½¼ ÒÖ ÔÙÙÒ Ö ÒÒ º Å ÓÐÐ Ø Ò ØÓÒ Ô Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÝÑ ÓÐ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò Ñ Ö Ò ØÓ º ÌÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØÝ ÓÐÐÓ Ò Ó Ø Ð Ó Ø ÚÓ Ò ÒÓ ÓÒ Ó ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Òº ÃÙÒ Ò ØÓ ØÓ Ø Ð ÒØ ÖØÒ ØØ ÒÝØØ Ú ÓÐØ Ò ÙÖ ¹ Ú Ø µ µ µ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ò ÓÒ ÐÑ µ Ð ÒÖ ÔÙÙÒ Ö ÒØ Ñ Ø º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÙ ÙÒ Ò ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÙÖ Ô Ø Ò ØÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ð Óº ÌÑÒ Ð Ò ØÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ð ÓØ Ú ÖÖ Ø Ò Ø Ò ÑÑ Ò Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ø Ø Ò ÔÙÙ ÙÒ Ð ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ó ÐÐ º Ó ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ø Ø Ò ÔÙÙ ÙÒ Ð ÑÑ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ô Ø Ò Ò Ò Ú ÑÑ ÐÐ º

44 ÌÓ Ò Ò ÐÓÔÔÙ Ò Ò Ô Ø Ò Ó ÐÐ Ú ÖØ ÐÙØ ÙÓÖ Ø Ø Ò ¹ ÑÓ Ò ÐÓ ØØ Ò ÙÙÖ Ô Ø Ø ÐÐ ÖÓØÙ ÐÐ ØØ Ó Ô Ø Ó ÓÒ ÖÚÓ Ô Ø Ó ØØ ÓÒ Ó ÒÒ ØÒ ÖÚÓ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú ÖØ ÐÙ ÙÙ Ø Ò ØÐÐ Ô ¹ Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ò ÖÚÓ Ò Ò Ò Ó Ò Ô Òº Ñ Ö Ò ØÓÒ ÓÐÑ Ò Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ µ µ µ ÒØ Ñ Ø ÒÖ ÔÙÙØ ÓÚ Ø ÙÚ º½½º ÃÙÚ º½½ Ò ØÓÒ ÓÐÑ Ò Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÒÖ ÔÙÙغ ÆÝØ Ó Ó Ò µ ÓÒ ÐÑ Ø ÓØØ Ò ÔÙÙ Ø µ Ø ÖÚÓ ÐÓ Ø Ø¹ Ø Ò Ø Ñ Ò Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÙÖ Ô Ø Òº ÂÓ ÓÐ ÓÐÐÙØ ØÑ ÓÐ Ø ÒØ Ú ÐÑ º ÆÝØ Ó ÓÐ ÖÖÝØÒ Ø ÒÒ Ø Ó Ø ÙÙÖ ÑÔ ÖÚÓ Ø Ó Ð Ó ÐÐ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú ÖØ ÐÙ Ó Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ð Ó ÐÐ º ÆÝØ Ð Ý ØØ Ò ÖÚÓ Ð Ø ÒØ ÓÒ Ú ÐÑ º º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ã ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ý Ò ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ñ Ø ÓÒ ÙÔÔ Ñ Ø¹ Ù Ø ÓÙØÙÙ ÙÐ Ñ Ò Ô Ø Ò Ó Ò ÙÔÙÒ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ý¹ Ò Ó ÙÔÙÒ Ú Ò ÖÖ Òº Î Ö ÓØ ÓÖ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ô ÒÓØ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ Ó Ô Ø Ø Ù¹ Ú Ú Ø ÙÔÙÒ Ö Ø Ø Ø Ò Ò Ô ÒÓØ Ñ Ø Ó Ò Ô ØÙÙØØ µ Ñ Ò Ñ ¹ Ð Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ÖÖÓ º ÇÒ ÐÑ ÔØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÑÖÐÐ Ô Ø Øº ÂÓ Ú Ö Ó ÓÒ Ú Ò Ô Ø ØØ ÓÒ Ø Ô Ù ÐÔÔÓ ÑÙØØ ÝÐ Ø ÓØØ Ò n ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÒ 1 (n 1)! ÙÐ ØØ Ú ÖÖÓ Ø º ÌÑ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ (n 1)! 2 Ñ ÓÐÐ Ø Ö ØØ ÑÙØØ ÓÐ Ø ÖÔ Ò ÖÓØ ÐÐ ÙÑÔ Ò ÙÙÒØ Ò ÖÖÓ ÙÐ Ø Òº ÃÓ Ô Ø ÑÖ Ò Ú ÖÖÓ Ø Ú Ú Ø Ù Ñ Ø ÓÐ ÒÒ Ø¹ Ø Ú Ó Ø Ð Ú ÖØ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ö ØØ Ú Ò ÒÒ ØØ ÙÓÖ ØØ Ú Ð ØÙÒ Ø ÖÚ Ù º ÇÒ Ø ØØÝ Ð ÓÖ ØÑ ÓØ Ø ÚØ Ô Ö¹ Ø ÐÓ Ð Ö ØØ Ð Ö ØØ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ÑÔ Ù Ò ÑÙÙØ Ð ÑÑØ ¼

45 Ö Ø ÙÒ º ÆÑ ÒØ Ú Ø ÝÚ Ú ØÓ ØÓ ÑÙØØ Ò Ò ÚÓ Ø Ø ÒØ Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø ÓÐ Ñ ÓÐ Ú Ö Ø Ù º Ë ÐÐ Ñ Ø Ô Ø Ø Ð Ó¹ Ö ØÑ Ò ÝØØÑ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ø ÙÒ Ú Ø Ù Ö Ø Ò ÝÚÝÝ Ö ÔÔÙÙ ØØÙÑ Ø º à ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ò Ò ÒÓØØÙ ÆȹØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º ÂÓ¹ Ò Ò ÆȹØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ø ÓÖ ÑÙÙÒØ Ñ Ø Ò ØÓ ¹ ÆȹØÝ ÐÐ ÓÒ ÐÑ º ÌÑ Ø Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ñ Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÚÓ Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ Ð ÑÙÙØ Ò ÚÓ Ø Òº ÌØ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ø ÚÓ Ò Ó Òº ½

46

47 Ë Ò ØÓ ÇÐ Ò ÓÓÒÒÙØ ÐÐ Ò Ð ÒØ ¹ ÙÓÑ ¹ Ò ØÓ ÐÔÓØØ Ñ Ò Ø Ò Ö ¹ ÙÒ Ø ØØ Ð ØØÑÒ Ñ Ø Ò Ñ ØÝ ÐÐÒ Ø Ö Ó Ø Òº ËÙÓÑ Ò Ó ÐØ Ú Ö ÓØ ÓÖ Ò Ò Ñ ØÝ Ø ØÙÒØÙÚ Ø ÓÐ Ú Ò Ú Ð Ú ÒØÙÑ ØØÓÑ ÓØ Ò Ú Ø Ú ÒØÙÒ ÒÔ Ò Ø ÖÑ Ø Ò ØØ Ô Ó Ø ÐÐ Ò ÓÐÐ Ô ÐÐ Òº ÓÐÓÙÖ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒÒ Ø ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö ÝÐ Ö Ó Ö ÓÑ Ù Ð Ö Ô ÙÐ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÙ Ö Ô Ò Ð Ð Ø ÓÐÓÙÖ Ò Ò Ö¹ØÖ Ò ÙÐ Ø Ö Ô ÓÙØ Ö ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ô ÒÒ Ò ØÖ ÔÖÓÙØ Ù Ö Ô Ú ÖØ Ü Û Ð ÚÖ ØÝ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ò ÚÖ ÐÙ Ù ÖÖÓ Ú Ô Ù Ø Ù Ð Ö ÙÐ Ö Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ø Ó Ù Ù Ú Ö Ó Ú Ð Ø ÚÖ ØÝ ÓÐÑ Ó ØÙ Ú Ö Ó ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø ÓÚ Ö Ó Ú Ö ØØ ÔÙÙ Ú Ö Ó Ð Ú Ö Ó Ô Ø Ú ÐÝ

48

49 Î ØØ Ø ½ Ò Ö Å ÖØ Ò ² Ð Ö ÒØ Ö Åº ÈÖÓÓ ÖÓÑ Ø ÓÓ Ö¹ Ð Ò ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ¾ ÆÓÖÑ Ò Ö Ô Ø ÓÖÝ ½ ¹½ Æ Û ÓÖ Ð Ö Ò ÓÒ ÈÖ ½ ÓÐÐÓ Ð Ú Ò Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Ñ Ø Ö Ñ ÆÓÖØ ¹ ÀÓÐÐ Ò ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ ½ ÓÐÐÓ Ð Ö Ô Ø ÓÖÝ Ò ÁÒØÖÓ ÙØÓÖÝ ÓÙÖ Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ÓÐÐÓ Ð ÅÓ ÖÒ Ö Ô Ì ÓÖÝ Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁÒº ½ ÓÒÛ Ý ÂÓ Ò Ì Ñ Ó ËÔÖÓÙØ ½ ÐÙ ØØÙ ½ º º¾¼¼ ØØÔ»»Ñ Ø ÓÖÙѺÓÖ»»Ñ º Ô Ñ Á ½¼ ½¼¼ ²Ø Ø ÖØ ¼ Ø Ð Ê Ò Ö Ö Ô Ì ÓÖÝ Ë ÓÒ Ð ØÖÓ¹ Ò Ø ÓÒ ¾¼¼¼ ØØÙ º º¾¼¼ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÙÒ ¹ Ñ ÙÖ º» ÓÑ» Ø Ð» ÓÓ» Ö Ô ºØ ÓÖÝ» ÓÛÒÐÓ º ØÑÐ ÙÐ Ö Ä ÓÒ Ö ËÓÐÙØ Ó ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ñ Ë ØÙ È Ö¹ Ø Ò ÒØ ØØÔ»»Ñ Ø º ÖØÑÓÙØ º Ù» ÙÐ Ö» Ó»ÓÖ Ò Ð» ¼ ºÔ ÙÐ ØÙ ½ ÖÓ ÂÓÒ Ø Ò ² ÐÐ Ò Â Ý Ö Ô Ì ÓÖÝ Ò ÁØ ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ó Ê ØÓÒ Ê ÈÖ ½ ½¼ À Ö ÖÝ Ö Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Ê Ò ÓÒ¹Ï Ð Ý ÈÙ Ð Ò Óº ½ ½½ ÃÓ Ú ØÓ È ÖØØ Ö Ø ÓÖ Ì ÑÔ Ö Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼½ ½¾ Å ØÓÙ Â ² Æ Ø Ð Â ÖÓ Ð Ú ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Å Ø¹ Ñ Ø ÇÜ ÓÖ Ð Ö Ò ÓÒ ÈÖ ½ ½ Ë ÚÓÐ Ò Ò Î Î Ö ÓØ ÓÖ ÈÓÖÚÓÓ ÏË ÓÓ Û ÐÐ ¾¼¼½ ½ Ë Ò ËØ Ú Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ö Ø Å Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Û Ø Å Ø Ñ Ø Ê ÛÓÓ ØÝ ÓÒ¹Ï Ð Ý ÈÙ Ð Ò Óº ½ ¼

50 ½ ÌÓÑ Ù ÁÓ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ö Ô Ì ÓÖÝ Æ Û ÓÖ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ½

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1 È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot