Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
|
|
|
- Jere Karvonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
2 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò ÑÓÒØ Ó ÖØ ÐÙ ÙÔ Ð ÙÙ Ò Ù ÐÐ º ÃÓ ØÙÐÓ Ö ÔÔÙÙ ÝÐ Ò ÑÓÒ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ð Ù ÙØ Ò ØÙÐÓ O¹ÒÓØ Ø ÓÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
3 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ü ÑÔÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐØ = {¼ ½ ¼}º Ë Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ½ ¾ Ë Ð Ý Ø Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ¼ ÒØÝÝ Ý Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÓ Ø ÙÖ Ú Ò Ò Ù Ò Ù Ò Ý ØØ ÒÓÐÐ ÓÒ Ò Ù ÐÐ Ë Ð Ò Ù ÔÓ Ø Ý ÒÓÐÐ Ý Ý Ò Òº ÂÓ Ò Ù ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø Ý ÝÐ Ý Ø ÑÙÙØ Ò ÝÚ Ýº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
4 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ð ÒØ ¹ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Ñ Ñ ÑÖ Ð Ó Ø Å ÝØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Ò Ò Ô ØÙ ÐÐ Ý ØØ Ðк ÂÓ ÓÒ Å Ò Ð ÒØ ¹ ÒÓØ Ò ØØ Å ØÓ Ñ ØØ Å ÓÒ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
5 Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ö ÔÔÙÙ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ý ¹ Ú ÑÓÒ Ò Ù Ò Ò ¹ÙÖ Ò Òº ÄÓÔÙÐÐ Ò Ò Ð Ù ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ ÑÙØ Ò Ò ÚÓ Ú ÐÐ Ô Ð ÓÒ Ö Ý ØØ Ðк Ë Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ µ Ú Ò Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ Ý Ò ÖØ Ø Ø Ò Ð Ù Ø ÝÑÔØÓÓØØ ÐÐ O¹ÒÓØ Ø ÓÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
6 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓØ ÙÒ Ø Ó Ø Æ Ê + º ÌÐÐ Ò (Ò) = O( (Ò)) Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ò ¼ ØØ Ó ÐÐ Ò Ò ¼ (Ò) (Ò) ÂÓ (Ò) = O( (Ò)) Ò Ò ÓÒ Ò ÝÐÖ Ø Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÝÐÖ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
7 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
8 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
9 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
10 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº À ÐÔÓÑÑ Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò + ¾Ò + ¾¾Ò + Ò = Ò = O(Ò ), ÙÒ Ò > ½º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
11 O¹ÒÓØ Ø ÓØ ÎÓ Ò ÑÝ ØÙÐ Ø ØØ O( ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÙÓ ØØ O( ) Ò Ø ØØ Ñ Ö ØÒ (Ò) = O( (Ò))º Á Ò O¹Ñ Ö ÒÒ ÓÒ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ú Ú Ø ÖÑ Ø ÖÚ Ø ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒº ÂÓ Ñ Ö (Ò) = Ò + ¾Ò + ¾¼Ò + Ò Ò (Ò) = O(Ò )º Ë ÑÓ Ò Ó ½ (Ò) = Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò ½ (Ò) = O(Ò ) ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø = Ò ¼ = ½¼º Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò º Òغ Ô ÖÙ Ø ÐÙ µº À ÐÔÓÑÑ Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò Ò + ¾Ò ¾ + ¾¾Ò + Ò + ¾Ò + ¾¾Ò + Ò = Ò = O(Ò ), ÙÒ Ò > ½º ÅÝ ½ (Ò) = O(Ò )º Ë Ò Ò ½ (Ò) O(Ò ¾ )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
12 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
13 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
14 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
15 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
16 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ÄÓÔÙ Ú Ð Ú ÖÑ Ø Ø Ò ØØ Ð ÐÐ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙ O(Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
17 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÓÒ Ø Ø ØØ Ý Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ¼ ½ º Ì Ø Ú Ø Ò ÐØ Ó Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Òº Ë Ò Ð Ò Ò Ù Ô Ø Ø Ò Ð ÙÙÒ Ò ÐØ Ø ÑÓ Ø µº Ð ÙÚ ÐÑ Ø ÐÙØ Ý Ø Ò ¾Ò ÐØ Ð O(Ò) ÐØ º Ð ¾ Ø ØÒ ¼ ½ ÐÐ Ò Ô ÑÑ Ø Ô Ù O(Ò) ÐØ º Ø ÒØ Ø Ò Ò/¾ ÖØ º Ë Ø Ò ÙÐÙÙ (Ò/¾)O(Ò) = O(Ò ¾ )º ÄÓÔÙ Ú Ð Ú ÖÑ Ø Ø Ò ØØ Ð ÐÐ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙ O(Ò)º Ë Ø Ò Ó ÓÒ ÓÒ O(Ò) + O(Ò ¾ ) + O(Ò) = O(Ò ¾ ) ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
18 O¹Ñ Ö ÒØ ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ñ Ø Ò O¹Ñ Ö ÒØ ÝØ ØÒ Ö ØÑ ØØ Ð Ù Ñº O(Ò ¾ ) + O(Ò)º ÌÐÐ Ð Ù Ù Ò O¹Ø ÖÑ Ù Ø Ú Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ ÖØÓ Ñ Ø ÚÐ Ø Øº Ì ÖÑ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ú Ò ÓÑ ÒÓ Ú Ø ÖÑ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
19 O¹Ñ Ö ÒØ ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ñ Ø Ò O¹Ñ Ö ÒØ ÝØ ØÒ Ö ØÑ ØØ Ð Ù Ñº O(Ò ¾ ) + O(Ò)º ÌÐÐ Ð Ù Ù Ò O¹Ø ÖÑ Ù Ø Ú Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ ÖØÓ Ñ Ø ÚÐ Ø Øº Ì ÖÑ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ú Ò ÓÑ ÒÓ Ú Ø ÖÑ º Ë ÑÓ Ò ØÙÐ Ø Ò Ú Ô ¾ O(Ò) º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
20 O¹Ñ Ö ÒØ O¹Ñ Ö ÒØ ØØ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ø Ú Ø º ÃÓ ÐÓ Ò = ÐÓ ¾ Ò/ ÐÓ ¾, ÒØ ÐÙ Ù ÓÐ ØÖ O¹Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ Ø O(ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½¼»
21 O¹Ñ Ö ÒØ O¹Ñ Ö ÒØ ØØ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ø Ú Ø º ÃÓ ÐÓ Ò = ÐÓ ¾ Ò/ ÐÓ ¾, ÒØ ÐÙ Ù ÓÐ ØÖ O¹Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ Ø O(ÐÓ Ò)º Ѻ (Ò) = Ò ÐÓ ¾ Ò + Ò ÐÓ ¾ ÐÓ ¾ Ò + ¾º ÌÐÐ Ò (Ò) =Ç Ò ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½¼»
22 Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Ø : Æ Æ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ ÌÁÅ (Ø(Ò)) ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÙÒÒ Ø O(Ø(Ò))º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½½»
23 Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Ø : Æ Æ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ ÌÁÅ (Ø(Ò)) ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØÙÒÒ Ø O(Ø(Ò))º Ü ÑÔÐ ÇÐ ÓÓÒ = {¼ ½ ¼}º ÌÐÐ Ò ÌÁÅ (Ò ¾ )º ÇÒ Ó ØÙÒÒ ØÙ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÔ ÑÑ Ò Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½½»
24 Ë ÙÖ Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ¾ ØÙÒÒÒ Ø Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÔ ÑÑ Òº ½ ¾ Ë Ð Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ¼ Ð ÝØÝÝ ½ Ò Ó ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ º ÌÓ Ø Ò Ò Ù Ò Ù Ò ÒÓÐÐ Ý ÓÒ Ò Ù ÐÐ Ë Ð Ò Ù Ø Ø ØØ ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò Ý Ø Ð Ñ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº Ë Ð Ò Ù ÔÝÝ ÝÐ Ó ØÓ Ò Ò ¼ Ó ØÓ Ò Ò ½º ÂÓ ÒÓÐÐ Ý Ò ÒÒÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½¾»
25 ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ Å ¾ ØÓ ÐÐ ØÙÒÒ Ø Òº Ð ÒÓÐÐ Ò ÑÖ ÔÙÓÐ ØØÙÙ Ó ÖÖ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÒÒ ÝÐØÒº Ë Ø Ò Ó ÐÙÒÔ Ö Ò ÒÓÐÐ ÓÒ ½ Ð Ò Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ð ÒÓÐÐ ÒØÝÝ ½ ¼ Ôк Ë ÑÓ Ò Ø Ô ØÙÙ Ý Ø Ò Ó ÐÐ º Ð ØÙØ Ø Ò ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ý ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÑÝ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ÑÝ Ý ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ô Ö ØÓÒ ÑÖº ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÔÙÓÐ Ø Ø Ò ÑÝ Ý Ø Ò ØÝØÝÝ ÔÙÓÐ ØØÙ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú Ò Ó µº ÂÓ ÐÙÒÔ Ö Ò Ý ÒÓÐÐ ÓÒ Ö ÑÖ Ó Ò Ú Ý Ø ÑÖ ØÙÐ Ô Ö ØÓÒ ÐÙ Ù Ý Ø ÚÓ Ò ÝÐغ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
26 Ò ÐÝ Ó Ò Ú Ø ÑÙ º ÂÓ Ò Ò ÖÖÓ Ú Ø Ò O(Ò)º à ÖÖÓ Ø Ò ½ + ÐÓ ¾ Ò ÔÐ ÓÖ ÒØ Ò ÐÐ Ó ÖÖÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ò Ý Ø Ò ÑÖ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Ë Ø Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ (½ + ÐÓ ¾ Ò)O(Ò) Ð O(Ò ÐÓ Ò)º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
27 Ä Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ú Ø ÑÙ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ Ð Ò Ö Ó ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º Ò Ù ÐÐ ÓÒ ÐÐ ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ º ÁØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ø Ò Ð Ó ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ý Ò Ù ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ O(Ò ÐÓ Ò) ÓÒ Ø ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ã Ò Ù Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ÓÔ Ó ÒÓÐÐ Ø ØÓ ÐÐ Ò Ù ÐÐ Ú ÖØ ØØ Ò ÒÓÐÐ Ò Ð Ñ Ý Ø Ò Ð Ñ Òº Ë ÐÚ Ø Ò Ò ØÙ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÝØØ O(Ò) Ð ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
28 ½ ¾ Ë Ð Ò Ù ÝÐ Ý Ø Ó ÒÓÐÐ ÓÒ Ý Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ð ½º Ò Ù ÐÐ ÒÓÐÐ ÙÒÒ Ó Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ý Ò Òº ÃÓÔ Ó ÒÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò Ù ÐÐ ¾º Ë Ð Ý Ø ½º Ò Ù ÐÐ Ò Ù Ò ÐÓÔÔÙÙÒº ÈÝÝ ÝÐ ÒÓÐÐ Ò Ù ÐÐ ¾ Ó Ø Ý Ø Ó Ø º ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÐÓÔÔÙÚ Ø ÒÒ Ò Ý ÝÐ Ý Ø º ÂÓ ÒÓÐÐ Ø ÓÒ ÔÝÝ ØØÝ ÝÐ ÝÚ Ýº ÂÓ ÒÓÐÐ ÓÒ Ð ÐÐ ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
29 ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÐ Ø ÑÙÐÓ ÒÒ Ø È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ØÙÐÓ Ö ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÐ Ø Ù Ø Ø º Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ Ø(Ò) ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ø(Ò) Òº ÌÐÐ Ò Ý Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÚÓ ÑÙÐÓ ÑÓÒ Ò Ù Ø Ò Ø(Ò) ÝØØÚ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØØ O(Ø ¾ (Ò))º ÌÓ ØÙ º Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ð Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ú Ö ÓØ Ò ÑÙÐÓ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÐ º È Ð ÙØ Ø Ò Ò Ò Ñ Ð Ò Ô Ø ÖÑ Ø Ò ÓÒ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
30 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò Ý Ò Ù Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÑÙØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ δ : É Σ P (É Σ {Ä, Ê}) Ë ÓÒ Ù Ø Ú ØÓ ÖØÝÑ Ñ ÐÐ Ð Ø Ø Ð ÐÐ Ñ ÐÐ Ñ Ö Ðк Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÔÙÙÐÐ ÓÒ Ö Ø ÙÚ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ù Ò Ø Ð ÒØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Òº ÂÓ Ó Ò Ö Ó Ø ÝÚ ÝÚÒ Ø Ð Ò Ý Ø ÝÚ ÝØÒ ÑÙÙØ Ò ÝÐØÒº Ë ÓÖÑ Ð Ñ ØØ ØØ ÐÙÑ ÐÐ ÓÒ ÝÚ Ò Ð ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø Ö ÐÐ Ø Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑ ØØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
31 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Æ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Òº ÌÐÐ Ò Æ Ò Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Ò Ò Ô ØÙ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÝØ ØØÝ Ò Ð Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò ÑÖ ÙÒ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÔÓÐÙØ Ý ÐÐ Ý ØØ Ðк Ë ÙÖ Ú Ø ÙÚ Ø Ú Ð Ú Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ Ó Ò ÖÓ Ú ÙÙ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ Ú Ø Ñ Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ¹ º Ë ÓÒ Ú Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙØØ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ú Ø ÓÔ Ö Ð Ø Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ý Ø Ý º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
32 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾¼»
33 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾½»
34 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾¾»
35 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
36 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
37 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
38 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
39 f(n) f(n) reject reject accept accept/reject ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
40 Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ì ÑÑ Ó Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ ÐØ ØØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Øº È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÑÙÐÓ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ Ø(Ò) ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ø(Ò) Òº ÌÐÐ Ò Ó Ø Ò Ø(Ò) Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ý Ò Ù Ø ÓÒ ØØ Ú Ø Ý Ò Ù Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÑÓ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÓÒ ¾ O(Ø(Ò)) º ÌÓ ØÙ º Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø ¹ ÙÖ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
41 ÄÙÓ È ÃÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÐÙÓ Ò È ØÙÐ ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ØÐÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ø ÓØ Ò ØØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÝ ÝØÒÒ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
42 ÄÙÓ È ÃÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÐÙÓ Ò È ØÙÐ ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ØÐÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ø ÓØ Ò ØØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÝ ÝØÒÒ º Ë Ò Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ ÝØÒÒ ÙÙÖ ÐÐ Ý ØØ Ðк ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑ ÝÒØÝÝ Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ Ö Ø Ù Ô ÖÙ ØÙÙ Ö ³ Ò ÚÓ Ñ Ò Ø ÒØÒ ÓÐÐÓ Ò Ý Ò Ý Ø Ñ ØØ Ø Ö Ú ØÓ ØÓ º Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò ÙÙÖ Ò ÐÙÓ Ò Ó Ø Ý Ø Ò ØÖ Ò Ñ Ö Ò ØÓ Ñ ÙÙÖ Èº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
43 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
44 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
45 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ÌÓ Ò Ò Ñ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÑ ØÓ Ø º ÇÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØØ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ó ÐÑÓ Ò Ù ÑÔ Ð ÓÖ ØÑ º À Ñ Ò Ø ÓØØÓÑ ÑÔ ÑÙØØ Ô Ò ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ Ô ÒØ Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ö Ø ÙÙÒº ËÙÙÖ Ò Ø Ô Ù Ò ÝØ ØÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ô Ö ÑÔ ÑÙØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ º Æ Ò Ó ÐÑ ØÓ ØÓ Ñ Ø Ó ÑÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ð ÒØ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
46 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÝØÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙÚÙÐÐ ÓÔ Ú Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº Ñ Ö Ð ÓÔÔ Ò ÒÒÝ ÚÓ Ø Ò Ø ÝÐ ÐÐ ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(Ò ¾ )º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ØÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÑ ÖÓØ Ò ÝÚØ ÝØÒÒ Ð Ó Ò Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ º ÌÓ Ò Ò Ñ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÑ ØÓ Ø º ÇÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØØ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ó ÐÑÓ Ò Ù ÑÔ Ð ÓÖ ØÑ º À Ñ Ò Ø ÓØØÓÑ ÑÔ ÑÙØØ Ô Ò ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ Ô ÒØ Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ö Ø ÙÙÒº ËÙÙÖ Ò Ø Ô Ù Ò ÝØ ØÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ô Ö ÑÔ ÑÙØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ó Ø ÐØÚ Ð ÓÖ ØÑ º Æ Ò Ó ÐÑ ØÓ ØÓ Ñ Ø Ó ÑÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ð ÒØ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ÑÝ ØØ ÝØÒÒ ÒÝØ ÒØÝÚÒ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÝÚ Ò ÙÙÖ Ñº Ò ½¼¼ º Ì Ú ÐÐ ÑÑ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ½ ¾ Ó Ò ÖÚ Ò Ø Ð ÒØ Ø º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
47 ÅÖ Ø ÐÑ È ÓÒ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÙÓ ÓØ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ý Ò Ù ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò È = ÌÁÅ (Ò ) È ÓÒ ØÖ Ó ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ú Ð ÒØØ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ý Ò Ù Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ò ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò Ú Ø Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ ÝØÒÒ Ö Ø Ø Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò ÓÙ Ó º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
48 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
49 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Ñ Ö ÓÒÓ Ùº ÈØ Ù Ä( ) Ê Ø Ù Ñ Ö Ó ¹ ÓÙÒ Ö¹Ã Ñ Ò ÝÐ Ò Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÙÙØ ÓÐÐ º ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ò Ð ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
50 ÄÙÓ Ò È ÔÖÓ Ð ÑÓ Ë ÙÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙÓ Ò È ÇÒ ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ º ÇÒ Ó ÓÐ Ñ ÔÓÐ Ù Ø Ø Ò Ê Ø Ù ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ø Ð Òº Ë ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Òº ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Ñ Ö ÓÒÓ Ùº ÈØ Ù Ä( ) Ê Ø Ù Ñ Ö Ó ¹ ÓÙÒ Ö¹Ã Ñ Ò ÝÐ Ò Ò ÒÒÝ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÙÙØ ÓÐÐ º ÖÐÝÒ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ò Ð ÐÐ º ÇÒ ÐÑ ÒÒ ØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙ Ù º ÇÚ Ø Ó ÐÙÚÙØ ÒÒ ÓØØÓÑ Ê Ø Ù Ë ÙÖ Ú Ø ØØÚ Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø Ò ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Òº ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø ÒÒ ÓØØÓÑ Ó Ø ÓÒ ½º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
51 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÁÒÔÙØ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ º Å Ò Ø ÐÑ ½ Û Ð ¼ Ó ¾ := ÑÓ Ú Ò Û Ð ÓÙØÔÙØ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
52 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
53 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
54 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ Ý = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ìº à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
55 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ Ý = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
56 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ Ý = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º Ë Ø Ò ÖÖÓ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ ÐÙÚÙ Ø ¾ ÐÓ ¾ ¾ ÐÓ ¾ Ú ÖÖ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
57 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÐÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó ÖÖ Ò Ö Ú ÐÐ ¾ Ò ÖÚÓ Ú ÒØÒ ÔÙÓÐ ØØÙÙº Æ Ñ ØØ Ò Ó /¾ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ < < /¾ ÓØ Ò Ú ÒØÒ ÂÓ Ø /¾ < Ò Ò ÔÙÓÐ ØØÙÙº ÑÓ Ý = < /¾ ÐÐ Ò Ú ÒØÒ Ò Ò ÖÚÓØ Ú Ø Ò Ó ÖÖÓ ÐÐ Ð ÓØ Ò ÐÙ Ù Ò ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØÙÚ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º Ë Ø Ò ÖÖÓ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ ÐÙÚÙ Ø ¾ ÐÓ ¾ ¾ ÐÓ ¾ Ú ÖÖ Òº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ Ð ÓÖ ØÑ Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÙÚÙÒ Ô ØÙ٠Ѻ ÒÖ Ö Ø ÐÑ º Ë Ø Ò ÐÓ ¾ ÓÒ Ý ØØ Ò Ó Ó ÓØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò O(Ò) Ý ØØ Ò ÓÓÒ ÑÙ Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
58 ÄÙÓ ÆÈ ÌÙÐ ÑÑ ÒÝØ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ÐÙÓ Ò Ó ÐØ ÑÓÒ ÝØÒÒ ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º Ò ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Ø Ù Ø ØØ Ò Ö Ø Ù Ô ÖÙ ØÙÙ ØÓ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ º ÄÙÓ ÆÈ ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÖÑ Ð Ø ÑÙØØ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÑÝ Ñ Ò Ú ÒÒÓÐÐ ÑÑ Ò ÓØØ ÐÙÓ Ò ÒØÙ Ø Ú Ò Ò Ñ Ö ØÝ ØÙÐ Ð ÑÑ º Ö Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ý ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó Ø ÚÙÙ º Ã Ø ÓØ Ò Ø Ø Ò Ò Ô Ö Ñ Ö º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
59 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùµ ËÙÙÒÒ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú Ö ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ó Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò À ÅÈ ÌÀ Ó ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑ Ó Ø,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ò ÓÐÑÙ Ò Ø ÚÐ ÐÐ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùº ØÙÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒº Ê Ò ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ò Ò ÐÔÔÓ Øغ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
60 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùµ ËÙÙÒÒ ØÙÒ Ú Ö ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú Ö ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÙÐ Ó Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò À ÅÈ ÌÀ Ó ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑ Ó Ø,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ò ÓÐÑÙ Ò Ø ÚÐ ÐÐ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ùº ØÙÒÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒº Ê Ò ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ò Ò ÐÔÔÓ Øغ ÂÓ Ø Ö ÓØ Ò Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÐÔÔÓ Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ó Ø Ö Ó À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù Ú º ÃÝ Ò ÔÓÐ Ù ÖÖ Ò ÐÔ Ø ÓØ Ò ÙÐ Ø Ò Ó Ò ÓÐÑÙ Ò ÙØØ Ø ÑÐÐ Ò ÖÖ Òºµ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ó Ø Ú º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
61 Ü ÑÔÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐÙÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ Ö Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÐ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù º ÓÐ Ù Ø Ò Ò Ý ØÒ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ú Ö Ó Ú Ø Ù Ø Ù Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙÙ Ø Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
62 Î Ö Ó Ø ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ Î Ö Ó Ð ÐÐ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Î ÓÐÐ = {Û Î ÔØ Û, ÓÖ ÓÑ ØÖ Ò } ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Î Ó ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Û Ò Ù Ø Òº à РÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ö Ó Ø Ú Ó ÐÐ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó º ËÝÑ ÓÐ ÓÒ ÖØ ØØ Ø ØÓ ØÙ ØØ Û ÙÙÐÙÙ Ð Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
63 Ü ÑÔÐ À ÅÈ ÌÀ ØÓ ØÙ µ À ÅÈ ÌÀ¹ÓÒ ÐÑ ÐÐ,, Ø ØÓ ØÙ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÓÐ Ù Ø Ø Òº Ü ÑÔÐ ÇÅÈÇËÁÌ Ëµ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÅÈÇËÁÌ Ë = {Ü Ü = ÔÕ, Ô, Õ Æ, Ô, Õ > ½} ÇÅÈÇËÁÌ Ë¹ÓÒ ÐÑ ÐÐ ØÓ ØÙ ÐÙÚÙÐÐ Ü ÓÒ Ý Ò Ø º  ÓÐ Ù ÚÓ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÐÙÚÙÒ Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ò Ú Ò Ò ØØ Ò ÔÓ ÙØÙÙ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù ÊË µº ÅÝ Ð ÙÐÙ ÙØ Ø Ù ÓÒ Ò Ð Ó Ò Ú Ñ ÚÙÓ Ò ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÑÑ Ò ØÙÒÒ ØØ Ò Ú Ò ØÙÒÒ Ð ÓÖ ØÑ ºµ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
64 ÄÙÓ ÆÈ ÅÖ Ø ÐÑ ÆÈ ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ó º ÄÙÓ ÆÈ ÓÒ ØÖ Ó ÐØ ÑÓÒ ÝØÒÒ Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ ÙØ Ò À ÅÈ ÌÀ ÇÅÈÇËÁÌ Ëº È ÆȺ ÆÈ ØÙÐ ÒÓ Ø ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ì ÖÑ Ó ØÙÙ ÐÙÓ Ò Ú ØÓ ØÓ Ø ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ó ÝØ ØÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙÓ ÆÈ ÑÝ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ò Ò Ñ Ö º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
65 Ü ÑÔÐ À ÅÈ ÌÀ¹ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù ÆÌÅ Ðе Ê Ø ÙØ Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ò ØØ Ò Ò ÖÚ Ø Ò Ö Ø Ù Ø Ò Ó ØØ Ò Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÖÚ Ù Ó º ËÝ Ø ÃÓÐÑ Ó,, Ø Ñ ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó Ø Ò ÓÐÑÙ º ½ ¾ Ã Ö Ó Ø Ð Ø ÐÙ Ù Ô ½,, Ô Ñ Ñ Ñ ÓÒ Ò ÓÐÑÙ Ò Ð Ñ Ó Ò Ò ÐÙ Ù Ú Ð Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÚÐ ÐØ [½, Ñ]º Ì Ö Ø ØØ Ñ ÐÙ Ù ØÓ ØÙ Ð Ø º ÂÓ ØÓ ØÙÙ ÝÐ Ý Ø º Ì Ö Ø ØØ = Ô ½ Ø = Ô Ò º ÂÓ ÓÐ ÝÐ Ý Ø º ÂÓ ÐÐ, ½ Ñ ½ Ø Ö Ø ØØ (Ô ½, Ô +½ ) ÓÒ Ò Ö º ÂÓ Ó Ò Ô Ö ÓÐ ÝÐ Ý Ø º ÂÓ Ø Ø Ø ÓÒ Ú ØÝ ÐÔ ÓÒÒ ØÙÒ Ø ÝÚ Ýº ÂÓ Ð ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ ØÓ ÓÐ ÓØ Ò Ó Ó Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
66 Ä Ù Ã Ð ÓÒ ÐÙÓ ÆÈ Ó Ú Ò Ó ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ º ÌÓ ØÙ º Î Ö Ó Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ µ ÆÝØ ØÒ Ù Ò Ú Ö Ó ÑÙÙØ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÑÙÐÓ Ú Ö Ó ÖÚ Ñ ÐÐ ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ ÆÈ ÒÝØ ØÒ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ñ Ú ÆÌÅ Æ Ó ØÙÒÒ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Î Ú Ö Ó º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ Î ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ØÓ Ñ Ò Ý ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ò Ù Ø Òº ËÝ Ø Û ÓÒ Ô ØÙÙ Òº ½ ¾ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ñ Ö ÓÒÓ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ò º Î Ý ØØ ÐÐ Û, º ÂÓ Î ÝÚ ÝÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
67 ÌÓ ØÙ º ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ö Ó µ ÌÓ Ø Ø Ò ÒÝØ ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Æ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ò Ú Ö Ó º ËÝ Ø Å Ö ÓÒÓÔ Ö Û, º Ð ÓÖ ØÑ Î ½ ¾ Ë ÑÙÐÓ Æ Ý ØØ ÐÐ Û Ø Ò ØØ ØÙÐ Ø Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÙØÙÑ Ó Ó Ñ Ö ÙÖ Ú Ú Ð Ø Òº ÂÓ ÓÒ Ô ÐÔÓ Ó Ý Ø ÝÐØÒºµ ÂÓ ØÑ Æ Ò Ò ÐÐ Ú Ð ÒÒÓ ÐÐ Ú Ð ØØÙ Ö ÝÚ ÝÝ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
68 ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Á Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÝÚ ÝÑ Ð ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÓÖ Ú Ú Ø ÑÝ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÙÐÐ º ÈÖÓ Ð Ø Ò ÓÒ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ÖØÝÑÒ δ : É Σ É Σ {Ä, Ê} [¼, ½] ÌÙÐ ÒØ δ(õ ½, ½, Õ ¾, ¾, ) Ø Ö Ó ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ØØ ÓÒ Ø Ð Õ ½ ÐÙ Ò ÝÑ ÓÐ Ò ½ ÔØÝÝ Ø Ð Ò Õ ¾ Ö Ó ØØ Ò Ù ÐÐ ¾ Ò ÖØÝÝ Ò ÙÙÒØ Òº Î Ø ÑÙ Ò ÓÒ ØØ (Õ ¾, ¾, ) É Σ {Ä,Ê} δ(õ ½, ½, Õ ¾, ¾, ) = ½ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
69 ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÁÁ Ä Ú Ø Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓØØ ÚÐØÝØØ Ò Ð ØØ ÚÙÙØ Ò Ð ØØÝÚ ÐØ Ô Ö ØØ ÐÐ ÐØ ÓÒ ÐÑ ÐØ º ÇÐ ÓÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÓÒ Ò Ú Ø ÑÙ Ý ØØ ÐÐ Ô ÑÑÒ Ö Ò ØÒ ¼µ Ú Ø ÑÙ º ÆÝØ ÐÙÓ ÆÈ ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓØ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ò ÓÒ ÝÚ ÝÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÓÐÐ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ðк ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
70 ÄÙÓ ÆÌÁÅ ÎÓ ÑÑ ÒÝØ ØØ ÐÙÓ Ò ÆÈ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ð ÑÔ Ù Ò ÑÑ Ò ØØÑÐÐ Ú Ö Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÖ Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐÑ ÆÌÁÅ Ø Òµµ ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ O(Ø(Ò))º Ë Ò ÚÐ ØØ Ñ Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÆÈ = ÆÌÁÅ (Ò ) ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
71 Ü ÑÔÐ ËÙÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ú Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ð Ú Ö Ó ÓÒ Ñ Ò Ø Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÖѺ ÂÓ Ð ÐØ ÓÐÑÙ ÔÙ ÙØ Ò ¹ Рغ ÃÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÑÖØ ÐØ Ú Ö Ó Ø ØÝÒ ÙÙÖÙ Ò Ð Òº ÓÖÑ Ð Ø Ý ÝÑÝ ÓÒ Ð ÄÁÉÍ = {, ÓÒ ÙÙÒØ Ñ ØÓÒ Ú Ö Ó, Ó Ð } Ñ Ö ÙÖ Ú Ò Ú Ö ÓÒ ÔÙÒ ÐÐ Ñ Ö ØÝØ ÓÐÑÙØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ¹ Ð Òº ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
72 Ä Ù ÄÁÉÍ ÙÙÐÙÙ ÆÈ Òº ÌÓ ØÙ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ú Ö Ó Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ý ØØ Ò ÓÒ,, º ½ ¾ Ì Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÓÐÑÙÒ ÓÙ Óº Ì Ø ÐØ ÖÑÒ Ó Ò Ò ÓÐÑÙÔ Ö Ò ÚÐ Ðк ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓØ ÚÓ Ñ ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
73 ÌÓ ØÙ º Î ØÓ ØÓ Ò Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Òº ËÝ ØØ Ò ÓÒ ÒÝØ Ú Ö Ó ÐÙ Ù º ½ ¾ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÓÐÑÙÒ ÓÙ Ó Øº Ì Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ó ÒÑ ÓÐÑÙ Ð Òº ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
74 Ü ÑÔÐ ËÍ Ë Ì¹ËÍŵ ÇÒ ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù ÓÙ Ó = {Ü ½,, Ü } Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ø Ó ÐÙ Ùµº ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÔØØ Ð ÝØÝÝ ÐÙ Ù Ý ½,, Ý Ò Ó Ò ÙÑÑ ÓÒ Øº ÓÖÑ Ð Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØØ ËÍ Ë Ì ËÍÅ = { Ë, Ø }, Ñ Ë = {Ü ½,, Ü } ÓÐÐ Ò Ó ÓÙ ÓÐÐ {Ý ½,, Ý Ò } Ë ÔØ Ò =½ Ý = غ Ñ Ö {, ½½, ½, ¾½, ¾ }, ¾ ËÍ Ë Ì ËÍÅ ÐÐ + ¾½ = ¾ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ë {Ý ½,, Ý Ò } ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÑÓÒ ÓÙ Ó Ð Ò ÚÓ ÓÐÐ Ù ÑÔ ÑÓ Ð Ó Ø º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¼»
75 Ä Ù ËÍ Ë Ì¹ËÍÅ ÙÙÐÙÙ ÆÈ Òº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÖØ ØØ Ð ØÓ ØÙ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ú Ö Ó Î ÙÖ Ú Ø º ËÝ ØØ Ò ÓÒ Ô Ö Ë, Ø, º ½ Ì Ø ÓÒ Ó Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Øº ¾ Ì Ø ÙÙÐÙÙ Ó Ë Òº ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø Ø Ó ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
76 ÌÓ ØÙ º Î ØÓ ØÓ Ò Ò ØÓ ØÙ Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ º ËÝ ØØ Ò ÒÝØ Ë, Ø º ½ Î Ð Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ø Ë Ò Ó ÓÙ Ó º ¾ Ì Ø ÓÒ Ó Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Øº ÂÓ Ø Ø Ó ÝÚ Ý ÑÙÙØ Ò ÝÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ¾»
77 ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÄÁÉÍ ËÍ Ë Ì ËÍÅ ÚØ ÐÑ Ø ÓÐ ÆÈ Ò Ð Ó Ø º ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò Ñ Ö ÒØ ÓÆÈ ÓÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÆÈ Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ø º Ø Ø ÓÚ Ø Ó ÆÈ ÓÆÈ Ö ÐÐ º ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
x α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½