arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
|
|
|
- Maarit Ahola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty/Section Laitos Institution Department Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tietojenkäsittelytieteenlaitos Tekijä Författare Author Mikko Alakunnas Työn nimi Arbetets titel Title Elliptisen käyrän salauksen perusteita Oppiaine Läroämne Subject Monenosapuolen protokollat Työn laji Arbetets art Level Seminaariartikkeli Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages 19 Tiivistelmä Referat Abstract Tämä artikkeli käsittelee elliptisen käyrän salauksen perusteita. Elliptiset käyrät ovat eräs vaihtoehto, joiden avulla voidaan rakentaa julkisen avaimen kryptosysteemi. Artikkelissa tutustutaan ensin esimerkkien avulla tarvittaviin algebran perusteisiin (kongruenssi, ryhmät, kunnat) ja esitellään yleisesti elliptiset käyrät ryhmäoperaatioineen. Sen jälkeen määritellään elliptisten käyrien diskreetin logaritmin ongelma ja esitetään kuinka selväteksti koodataan elliptisen käyrän pisteeksi. Lopuksi käydään läpi kaksi esimerkkiä elliptisen käyrän kryptosysteemistä, elliptisen käyrän analogia El Gamalin kryptosysteemille ja Menez Vanzone variantti El Gamalista. ACM Computing Classification System (CCS): E.3 [Data encryption] Avainsanat Nyckelord Keywords Elliptisen käyrän salaus, tietoturva, algebra Säilytyspaikka Förvaringställe Where deposited Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information
3
4 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ¾º½ ÃÓÒ ÖÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÊÝ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ñ Ö º º º º º º º º º ¾º ÃÙÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÃÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÒÖ ÙÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÃÙÒØ Ò ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ½¼ º½ Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ ÅÙ Ø ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÊÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ Ö ÐÐ ÙÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ½ º½ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ë ÐÚØ Ø Ò ØØÑ Ò Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ ¾¼ Î ØØ Ø ¾¾ ½
5 ½ ÂÓ ÒØÓ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò ÔÓ Ò ÓÒ Ø ÐØÝ Ó ÚÙÓÒÒ ½ º ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÝÐ ØÝ Ò Ô ÖÙ ¹ ØÙÚ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò ØÝ Ò ÑÝ Øº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø ÔÓ ¹ ÙØÙÚ Ø Ð Ö ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ó Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò ÝÑÑÖØÑ ¹ Ò Ò Ú Ø ÝÚ Ò ÝÚÐÐ Ø Ô Ö ØÝÑ Ø Ð Ö Òº ÃÙ Ø Ò Ò ÝÐ ÙÚ Ò ¹ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ø ÚÓ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ó ÐÐ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÓÒ ÒÓÙ ÙØ Ú ÖØ Ò ÓØ ØØ Ú Ú ØÓ Ó ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ º Ë Ò ØÙÒ ÓÒ ÐÝ ÝØ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ñ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò ÑÙÖØ Ñ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º Ì ÖØ Ð ÒÒ Ø Ò ÝÐ ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØ Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù º Ò Ý Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ÐÔ ÑÙÙØ Ñ Ð¹ Ö ÐÐ Ô ÖÙ Ó Ø ÓÒ ÖÙ Ò ÖÝ ÑØ ÙÒÒ Øµ ÓÒ Ð Ò Ø ÐÐÒ ÝÐ ÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖغ Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ø Ò ÐÓ ¹ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÒÒ ÐØ Ô Ö ÝØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÝØØ Òº ÖØ Ð ÓÒ Ñ Ö ÐÚ Ð Ò Ø Ø Ò ÓÓ¹ Ñ Ø ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Òº ¾ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø Ð Ö ÐÐ ØØ Ø ÓØ ÙØØ Ú Ø Ýѹ ÑÖØÑÒ Ø Ó Ø ÐØÚ Ó Ø º à ØØ Ò ØØ ÐÝ ÚÙÙØ Ø Ò Ò ¹ Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ ØÙ Ø ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º Šؼ ¾º½ ÃÓÒ ÖÙ Ò ÅÖ Ø ÐѺ ÇÐ ÓÓÒ Ñ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ a, b Z ¹ ÓÒ Óй Ð Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ Ñ Ñ Ö ØÒ m (a b)µ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØØ Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ñ Ö ØÒ ÑÓ Ñµº ¾
6 ÌØ Ò Ñ Ø ØÒ ÓÙ ÓÒ Z ÓÒ ÖÙ Ò ÐÙ Ù Ñ ÓÒ Ò ÑÓ ÙÐ º Ñ Ö ½º 6 1 (mod 5) (mod 5)º ÄÙÚÙÒ Ü Ú Ø ÐÙ Ù ÑÓ ÙÐÓ Ñ ÓÒ ÐÙ Ù Ý ÓÐÐ ÔØ x y 1 ÑÓ Ñµº à ÖØÓ¹ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ö Ó ØØ Ñ ØØ ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ x y = xyº ÄÙÚÙÐÐ Ü ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ø ÐÙ Ù ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ü Ò Ñ Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½ Ø º syt(x, m) = 1º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò a b (mod m) Ó Ú Ò Ó Ñ Ö º Ó µ ÓÒ Ñ Ò ÑÓÒ Ò ÖØ Ú ÐÐ Ý Ø Ù Ò Ø º a b (mod m) a = b + mq, q Zº ÃÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ Ñ ÚÓ Ò Ó ØØ Z Ò Ô Ø Ú Ö Ò ÓÙ Ó Ò ÓÙ ¹ Ó Ò Ó ÓÐ ÑÓ Ð Ó Ø µ ā = {a + mk k Z} ÂÓÙ Ó ā ÓÒ ÐÙÚÙÒ ÒÒ ÐÙÓ ÑÓ ÙÐÓ Ñº Ë Ñ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ò ÙÙÐÙ¹ Ú Ø ÐÙÚÙØ ØØÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ú Ø Ñ Ò Ó ÒÒ Òº Ã Ò ÒÒ ÐÙÓ ¹ Ò ÑÓ Ñ ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Z m ÐÐ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú Ø Z m = { 0, 1,..., m 1} ÂÒÒ ÐÙÓ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙÒ ÚÙÐÐ x + ȳ = x + y x ȳ = xyº Šؼ ½
7 Ñ Ö ¾ Šؼ ½ Z 3 = { 0, 1, 2} Ñ 0 = 0 + 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} 1 = 1 + 3Z = {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} 2 = 2 + 3Z = {..., 4, 1, 2, 5, 8,...} ¾º¾ ÊÝ Ñ ¾º¾º½ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÒÒ Ò ÖÝ ÑÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ý Ò ÐÔ ÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐѺ ÂÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ð ØØ Ó Ò Ö Ø ØØÝÝÒ Ô Ö Ò Ò Ð Ó Ø s, Ý ØØ Ò Ò Ð ÓÒ s,, º ÌØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Ñº ÙÖ Ú Ø s s, = s,, º ÂÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÙÚ Ù : G G Gº ÅÖ Ø ÐѺ ÇÐ ÓÓÒ ÔØÝ ÓÙ Óº È Ö µ ÒÓØ Ò ÖÝ Ñ Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ¼º ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø º a b G a, b Gº ½º (a b) c = a (b c) a, b, c G Ð ØÒÒ ÝÝ µº ¾º ÂÓÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ø Ò ØØ e a = a e = a a Gº º ÂÓ Ø Ò Ð ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ò Ð Ó a 1 Ò ÒØ Ð Óµ ØØ a a 1 = a 1 a = eº
8 ÂÓ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ð Ú ÒÒ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ô Ö µ ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ ÓÐÐÓ Ò ØÝØØ Ð ÓÒ º a b = b a a, b G Ú ÒÒ ÙÙ µº Ð Ò ÖÝ Ñ Ò Ñ Ó ØÙÙ ÒÓÖ Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Æ Ð À ÒÖ Ð Ø º ÂÓ Ô Ö µ ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Ò ÒÓØ Ò ÐÝ Ý Ø ØØ ÓÒ ÖÝ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ Ò Ù Ø Òµº ÊÝ Ñ ÒÓØ Ò Ø Ú ÖÝ Ñ Ó Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ý Ø Ò¹ Ð Ùµº Î Ø Ú Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÖØÓÐ Ùµº ÊÝ ÑÒ Ð ÓÒ ÒØ Ð ÓØ Ñ Ö ØÒ Ø Ú ÖÝ Ñ ¹ ÑÙй Ø ÔÐ Ø Ú ÖÝ Ñ a 1 º ÊÝ Ñ (G, ) ÒÓØ Ò Ö ÐÐ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ð Ó ¹ Ø º Ö ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓØ Ò Ò ÖØ ÐÙÚÙ Ñ Ö ØÒ ÓÖ µº Ö ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù Ñ Ö ØÒ µ ÓÒ Ô Ò Ò ÐÐ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÐÐ ÔØ g d = eº ÂÓ ÖÝ ÑÐÐ (G, ) ÓÒ Ó ÓÙ Ó À Ô Ö (H, ) ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ À ÓÒ ÖÝ ÑÒ Ð ÖÝ Ñº ÊÝ Ñ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó A G ØØ ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó a 1 a 2... a n Ñ a i Aº ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÖÝ ÑÒ Ò ÖÓ Ú ÓÙ Ó Ñ Ö¹ ØÒ A = Gº ÂÓ ÖÝ Ñ A ÓÒ Ú Ò Ý Ð Ó Ò Ò ÓÒ ÖÝ ÑÒ Ò Ö ØØÓÖ º ÌÐÐ Ò Ó Ø Ð ÓØ x G Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ g i = x ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñº Šؼ ¾º¾º¾ ÊÝ ÑÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð ØØÝÚ Ñ Ö Ñ Ö º È Ö (Z 3, +) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ ÓÒ Ý Ø ÒÐ Ù µ ÑÓ ÙÐÓ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ 0º ÊÝ ÑÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ
9 º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ø ÙÐÙ Ø Ò Ò ØØ ÖÝ Ñ ÓØ ¼ ¾ ØÝØØÝÚغ ½ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ð ØÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ó ÓÙ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ú ÒÒ Ò Ò Ò Ò ÖÝ Ñ Z 3 ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñº Ì ÙÐÙ Ó ¾ Z 3 Ò Ý Ø ÒÐ ÙØ ÙÐÙ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö (Z \ {0}, ) Ó Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ ½º È Ö (Z \ {0}, ) ÓÐ ÖÝ Ñ ÐÐ ØÓ ØÝØݺ Ñ Ö x Z º º 3 x = 1º Ñ Ö º Z 5 = { 1, 2, 3, 4} ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñ ÐÐ 2 ÓÒ Ò Ò Ö ØØÓÖ º 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8 = 3º ¾º ÃÙÒØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ý Ø Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ º Ë ÓÒ ØÖ ØØ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚÓ ¹ Ò ØÓØ ÙØØ Ø Ó Ø º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ý Ø Ñ ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ø Ó ¹ Ø Ð ÙÐÙ Ù ÙÒØ Ò ÒÖ ÙÒØ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒØ Ð ÒÒÓ Ø Ò ÚÙй Ð º Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÙÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÒÖ ÙÒÒ Ø Ñ Ò Ø Ò ÙÒØ Ð ÒÒÓ Øº ÄÓÔÙ ÒÝØ ØÒ Ù Ò ÙÒØ Ø ØÒ ÒÖ ÑÙÓ Ó º ÃÙÒØ Ò Ö ØÑ Ø Ò Ð Ø¹ ØÝÚ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ý ÐÔ ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ø Øº À Ò¼ ¾ ¾º º½ ÃÙÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐѺ ÃÙÒØ ÓÒ ÓÐÑ Ó K, +, µ Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ Ã½º È Ö (K, +) Ð Ò ÖÝ Ñº
10 þº È Ö (K \ {0}, ) ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ Ã º a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc a, b, c K Ñ Ö Å Ø¼ ½½ º R ÓÒ ÙÒØ º Ë Ò Ò Z ÓÐ ÙÒØ Ó ØÓ Ã¾ ØÝØÝ Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÙÒÒ Ò Ã Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ùº ÃÙÒÒ Ò Ð Ó Ò Ú ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÙØØ a, b K, a b = a + ( b) Ñ ¹ ÓÒ Ò Ú Ø ¹ Ð Ó ÙÒÒ Ãº Î Ø Ú Ø ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÓÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÙØØ a, b K b 0, a b = a b 1 Ñ b 1 ÓÒ Ò Ú Ø ¹ Ð Ó ÙÒÒ Ãº ÅÖ Ø ÐѺ ÃÙÒÒ Ò (K, +, ) Ó ÓÙ Ó F ÙØ ÙØ Ò K Ò Ð ÙÒÒ Ó F ÓÒ ÙÒØ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Òº Ì Ø ÙÖ ØØ (F, +) ÓÒ (K, +) Ò Ð ÖÝ Ñ (F \{0}, ) ÓÒ (K \{0}, ) Ò Ð ÖÝ Ñº Ä Ó F ÓÒ K Ò Ð ÙÒØ Ò Ò K ÓÒ F Ò ÙÒØ Ð ÒÒÙ º ÃÙÒÒ Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒØ Ã ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Õ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó q = p m, p P m Z º Ð ÙÐÙ Ù Ô ÓÒ ÙÒ¹ Ò Ò Ã Ö Ø Ö Ø Ñ Ö º char(k) = pµº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ØÝ ÑÙÓØÓ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÝØ ØØÚÒ ÙÒÒ Ò Ö ¹ Ø Ö Ø Ø Ø º ÔÔ Ð º¾µº ÂÓ m = 1 Ò Ò ÙÒØ Ã ÙØ ÙØ Ò Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ º ÂÓ m 2 Ò Ò ÙÒØ Ã ÓÒ ÙÒØ Ð ÒÒÙ º ÇÐ ÓÓÒ Õ Ñ Ò Ø Ò Ð ÙÐÙÚÙÒ Ô ÔÓØ Ò ØÐÐ Ò Õ Ø Ó Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ò Ý ÖØ ÐÙ Ù Õ ÓÐ Ú ÙÒØ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó ÙÒØ Ã Ã³ ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÖØ ÐÙ Ù Õ Ò Ò Ò ÓÚ Ø Ð Ó Ò Ò Ñ Ñ Ø Ú ÐÐ Ñ ÙÒØ Ð Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò ÒÒ ÐØ µº ÚÓ Ò Ú Ø Ñ Ö Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÙÒÒ ÐÐ Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ ÙØ ÙÐÙغ Šؼ À Ò¼ ¾ ¾º º¾ Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒØ K p ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ø µ {0, 1, 2,..., p 1} Ñ Ý Ø Ò ¹ ÖØÓÐ ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÙÓÖ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ Ôº Ñ Ö À Ò¼ ¾ º ÃÙÒÒ Ò K 29 Ð ÓØ ÓÚ Ø ß¼ ½ ¾ ººº ¾ к Ñ Ö Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø
11 ½º Ø ÒÐ Ù = 8 ÐÐ 37 8 (mod 29)º ¾º Î ÒÒÝ Ð Ù = 26 ÐÐ 3 26 (mod 29). º à ÖØÓÐ Ù = 21 ÐÐ (mod 29)º º Î Ø ¹ Ð Ó 17 1 = 12 ÐÐ (mod 29)º ¾º º ÒÖ ÙÒÒ Ø ÒÖ ÙÒÒ ÙØ ÙØ Ò Ö ÐÐ Ø ÙÒØ Ã ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ 2 m º ÃÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾º ÃÙÒØ K 2 m ÚÓ Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò m 1º ÈÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÙÒÒ Ø K 2 = {0, 1} K 2 m = {a m 1 z m 1 +a m 2 z m a 2 z 2 +a 1 z+a 0 : a 1 {0, 1}}º ÒÖ ÙÒÒ Ò ÐÙÓÑ Ú Ð Ø Ò ÓØÓÒ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Þµ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ñº ÈÓÐÝÒÓÑ Ò ÓØØÓÑÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ ØØ Ø Ð ÑÔ Ø Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓÒ º ÌÐÐ Ò ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò Ý ¹ Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ Ó ÖØÓ Ñ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ ¾º ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó Ò ÖØÓÐ Ù ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò ÑÓ ÙÐÓÓÒ Þµº Å ÐÐ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Þµ g(z) (mod f(z)) ØÙÓØØ Ý ØØ Ò Ó ÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Þµ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñº ÂÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Þµ Ò Ñ ÐÐ Þµ Þµ ÐÐ º À Ò¼ ¾ Ñ Ö Ã Ö¼ º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÒØ K 2 2º Î Ð Ø Ò Ò Ò Ø ØØ ¾ ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Üµ Ñ Ö f(x) = x 2 + x + 1º Î Ð ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÓØÓÒ Ó ÐÐ ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒ x {0, 1} = Z 2 º ÌØ Ò ÐÐ ÑÝ Ò ÓÐ ÙÙÖ ÓØ Ò ÚÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓº ÃÙÒØ K 2 2 ÓÓ ØÙÙ Ð Ó Ø {0, 1, x, x+1}º Ð ÓØ ÓÚ Ø Ó ÒÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÓ ÙÐÓÓÒ Üµº ÃÙÒÒ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù Ø ÙÐÙ Ó Ø Ò Ò ÙÒÒ Ò Ð ÙØÓ Ñ Ø٠غ
12 + ¼ ½ Ü Ü ½ ¼ ¼ ½ Ü Ü ½ ½ ½ ¼ Ü ½ Ü Ü Ü Ü ½ ¼ ½ Ü ½ Ü ½ Ü ½ ¼ ½ Ü Ü ½ ½ ½ Ü Ü ½ Ü Ü Ü ½ ½ Ü ½ Ü ½ ½ Ü Ì ÙÐÙ Ó ÃÙÒÒ Ò K 2 2 Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ ÙØ ÙÐÙØ ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÙÒØ Ò ØÝ Ø Ô ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ò ÙÒØ Ð ¹ ÒÒÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ p P m 2º Å Ö ØÒ K p [z] Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó ÑÙÙØØÙ Ò Þ Ù Ø Ò Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø ÙÙÐÙÚ Ø ÙÒØ Ò K p º ÇÐ ÓÓÒ Þµ ¹ Ø ØØ Ñ ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ f(z) K p [z]º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Þµ ÓØØÓÑÙÙ ÐÐ Ø Ö¹ Ó Ø Ø Ò Ø ØØ Þµ ÚÓ ØØ ÓÙ ÓÓÒ K p [z] ÙÙÐÙÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙÐÓÒ Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñº Î ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Þµ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ó ÐÐ Ô Ñº Ä ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ð ÝØÑ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑ º ÃÙÒÒ Ò K p m Ð ÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÙ Ó K p [z] Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ñ K p m = {a m 1 z m 1 + a m 2 z m a 2 z 2 + a 1 z + a 0 : a i K p }º À Ò¼ ¾ ¾º º ÃÙÒØ Ò ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ø ÚÓ Ò ØØ ÒÖ ÑÙÓ Ó Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ ÚÙÐÐ º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ ÝØ ÓÒ Ï ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø ØÙÙÖ Ñ Ï ÓÒ ÐÐ Óй Ð Ò Ò ÐÙ Ùº ÃÓØ ÓÒ Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ Ø ¾ Ø ¹ ØØ ÙÒ Ø ÙÐ ÙØ ØÙØ Ö Ø ÐÑØ ÐÝ ÓÖØ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ½ Ø ØØ º Ï ¹ ØØ Ò Ò Ò Ø Ø ÒÙÑ ÖÓ Ò ÒÓÐÐ Ø (W 1) Ò Ñ Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ Ñ Ö ØÒ ÒÓÐÐ ¹ Ø º
13 Ð ÙÐÙ Ù ÙÒÒ Ò K p Ð ÓØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÒÓÐÐ Ø (p 1) Òº ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ô Ò Ô ØÙÙ ØØ Ò t = m W Ø ÙÐÙ ÓÒ Ô ØÙÙ º Ð Ó a K p ÚÓ Ò ØØ Ï W {}}{ ¹ ØØ Ø Ò ÒÓ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ A = ( A[t 1],..., A[2], A[1], A[0] ) Ñ A[0] Ò }{{} Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ ÓÒ Ú Ø Ò Ñ Ö Ø Úº Ð ÓÒ a ÑÙÙÒÒÓ ÒÖ ØÝ ¹ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø Ô ØÙÙ ÙÖ Ú Ø m a = 2 (t 1)W A[t 1] W A[2] + 2 W A[1] + A[0]º ÒÖ ÙÒØ K 2 m ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ º ÇÐ ÓÓÒ f(z) Ø ØØ m ÓÐ Ú ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ö ØÒ f(z) = z m + r(z)º ÃÙÒÒ Ò K 2 m Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ò Ø ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò mº ÒÖ ÙÒÒ Ò Ð Ó a(z) = a m 1 z m a 1 z + a 0 ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÒÖ Ú ØÓÖ Ò a = (a m 1,..., a 2, a 1, a 0 ) Ó ÓÒ m ÔÐ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ t = m W s = Wt mº й Ó a(z) ÚÓ Ò ØØ Ï¹ ØØ Ø Ò ÒÓ Ò Ø ÙÐÙ ÓÒ A = (A[t 1],..., A[0]) Ñ A[0] Ò Ó ÒÔÙÓÐ Ò ØØ ÓÒ a 0 A[t 1] Ú ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ø s ØØ Ø Ø Ò Ò ÒÓÐÐ º À Ò¼ ¾ s {}}{... a m 1 a (t 1)W }{{} A[t 1],..., a 2W 1 a W+1 a W }{{} A[1], a W 1 a 0 }{{} A[0] ÃÙÚ ½ Ð ÓÒ a(z) K 2 m ØÝ ÒÖ ÑÙÓ Ó º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ö ÐÐ Ø Ò ÝÖ Ò Ó ÓÙ ÓÒº ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÓÒ Ð Ð Ô Ò ÙÐ Ö Ò Ò Ñ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÝÖÒ ÙÚ ÓÐ Ø Ö¹ Ú Ó Ø Ð Ø Òº ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Ã Ñ Ö ØÒ Ãµº Ò Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ñ Ö ØÒ º ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ñ ØÒ Ø Ñ Ø ÐÐ Ô Ò Ò º ËÝÝ Ò ¹ Ñ ØÝ Ò Ó ØÙÙ ØÓÖ Ø ÐÐ Ñ Ò ÑÙÓØÓ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ ØÙØ ØØ Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÐÐ Ô Ò Ö ÒÔ ØÙÙØØ Ð ØØ º Ä Ò¼ ½ ½¼
14 Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ØÝ ÑÙÓØÓ Ð¹ Ð ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Óغ º½ Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Ã ÑÖ Ø ÐÐÒ Ï Ö ØÖ Ò Ý ØÐ ÐÐ y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 ½µ Å ÖØÓ Ñ Ø a 1, a 2, a 3, a 4, a 6 K Ò Ö Ñ Ò ÒØØ 0º ØÐ ½µ ÙØ ÙØ Ò Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓ Ó º ÂÓ L ÓÒ Ñ Ø Ò ÙÒÒ Ò K ÙÒØ Ð ÒÒÙ Ò Ò L ¹Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÝÖ E ÓÒ Ò Ò Ô Ø ¹ Ò (x, y) ÓÙ Ó ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò ½µ E(L) = {(x, y) L L : y 2 + a 1 xy + a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6 = 0} { }, Ñ ÓÒ Ô Ø Ö ØØ ÑÝÝ º ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ó ÐÐ ÙÒÒ Ò K ÙÒØ Ð ÒÒÙ ÐÐ Lº À Ò¼ º¾ ÅÙ Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÚÓ Ò ØØ Ñ Ø Ò ÙÒÒ Ãº Ï Ö ØÖ Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÑÙÓØÓ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÓÔ Ú ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ Ó Ö ÔÔÙ٠ݹ Ø ØØÚÒ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø Ø º ÂÓ ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÐ ¾ Ø ÚÓ Ò ÝÖ ÙÚ Ú Ý ØÐ ½µ ØØ ÑÙÓ Ó y 2 = x 3 + ax + b ¾µ ÇÐ ÓÓÒ f(x) = x 3 + ax + bº ÂÓØØ Ý ØÐ Ò ¾µ ÙÚ Ñ ÝÖ ÓÐ Ô Ò ÙÐ ¹ Ö Ò Ò ØÙÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Üµ Ö Ñ Ò ÒØ Ò ÓÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º à ÖÖÓ ÒØ Ò ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ý ØÐ 16(4a b 2 ) 0º ½½
15 ÂÓ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÚÓ Ò ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ØØ ÑÙÓ¹ Ó y 2 = x 3 + ax 2 + bx + cº ÂÓ ÖÖÓ Ò ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾ ÚÓ Ò ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ØØ ¹ ÑÙÓ Ó ÝÐ Ò ÙÐ Ö Ò Ò ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö Ò Òº ÂÓ ÝÖÒ ÖÖÓ Ò a 1 0 Ò Ò ÝÖ ÚÓ Ò ØØ ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÑÙÓ Ó y 2 + xy = x 3 + ax 2 + b, a, b Kº Ð Ò ÙÐ Ö Ò ÝÖÒ Ö Ñ Ò ÒØØ ÓÒ = bº Ð Ò ÙÐ Ö Ò ÝÖÒ Ò Ñ ¹ ØÝ Ó ØÙÙ ÝÖÒ Ö Ó ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÆÑ ÝÖØ ÓÒ ØÓ ØØÙ ÖÝÔØÓ Ö ¹ Ø Ó ÐÐ Ò Ö ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÓÒ ÒÓÔ Ø Ö Ø Ø Ú º ÂÓ a 1 = 0 ÝÖ ÒÓØ Ò ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ÑÙÓØÓÓÒ y 2 + cy = x 3 + ax + b, a, b, c K = c 4 º ÃÙÚ ¾ ÓÒ Ø ÐØÝ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖ E(R)º ÂÓ ÙÒØ Ò ÓÐ ÑÙÙ Ù Ò R Ò Ò ÝÖÒ ØØÑ Ò Ò Ú Ù Ð Ø ÓÐ Ú º ÃÙÚ Ò ÝÖØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ y 2 = f(x)º ÈÓÐÝÒÓÑ ÐРܵ ÓÒ Ó Ó Ý Ø ÓÐÑ Ö Ð ÙÙÖØ º ÂÓ ÙÙÖ ÓÒ ÓÐÑ Ò Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ö ÙÙÖ º ÅÙÙØ Ò ÝÖ ÓÐ Ô Ò ÙÐ Ö Ò Ò ÐÐ ÝÖ ÚÓ ÓÐÐ Ø ÖÚ Ó Ø Ø Ð Ø Ò Ø º ÙÚ µº ÌÝ ÒÒ ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ð Ô Ø Ø Ô Ø ÐÐ Ö ØØ ÑÝÝ µº È Ø ØØ Ñ Ö ØÒ ÑÝ ÝÑ ÓÐ ÐРǺ Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ò ØØ Ý¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ø Ð Ú Ø ÝÖ Ø Ô Ø º ÌÑ Ô Ø ÓÒ ØÖ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ò ÖØ Ø Ò ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø ÐÐ º À Ò¼ Ä Ò¼ ½¾
16 ÃÙÚ ¾ ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ E(R)º ÃÙÚ Ð Ø ÝÖغ º ÊÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ E ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ ÝÐ ÙÒÒ Ò Kº à ÐÐ Ô Ø ÐÐ E(K) ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ý Ø ÒÐ ÙØÓ Ñ ØÙ +µº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ØÙÓØØ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ô Ø Ò Ó¹ ÙÙÐÙÙ ÝÖÐÐ E(K)º È Ö (E(K), +) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ò ÖÝ ÑÒ Ñ ½
17 Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ Ô Ø Ö ØØ ÑÝÝ ( )º ÊÝ Ñ (E(K), +) ÝØØÑÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÃÙÚ ÙÚ Ø Ò Ý Ø ÒÐ ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÑ ØÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) Q = (x 2, y 2 ) Ö Ô Ø Ø E(K) º ÌÐÐ Ò P Ò Q Ò ÙÑÑ R ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø º Ò Ò Ú ØÒ ÙÓÖ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ËÙÓÖ Ð ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÓÐÑ ÒÒ Ô Ø º È Ø R Ò ÙÒ ÙÓÖ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Ô Ð Ø Ò Ü ¹ Ð Ò Ù Ø Òº È Ø R = 2P (2P = P + P) Ò ÙÖ Ú Ø º È ÖÖ ØÒ Ô Ø Ò P ÙØØ Ø Ò ØØ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÐÐ º È Ø R Ò ÙÒ Ø Ò ÒØ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Ô Ð Ø Ò Ü¹ Ð Ò Ù Ø Òº ÃÙÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÚ Ù Ô Ø Ò È É Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ º Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ø ÝØ ØØÚ Ø ÙÒÒ Ø º Çй ÓÓÒ E(K) : y 2 = x 3 + ax + b, char(k) 2, 3º ÌÐÐ Ò ÖÝ ÑÓÔ Ö Ø ÓØ Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ò ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø ½º Æ ÙØÖ Ð Ð Óº P + = + P = P P E(K)º ¾º ÃÒØ Ð Óغ ÂÓ P = (x, y) E(K) Ò Ò (x, y) + (x, y) = º È Ø ØØ (x, y) Ñ Ö ØÒ P Ø ÙØ ÙØ Ò P Ò ÒØ Ð Ó º È Ø P ÓÒ Ò ÝÖÐÐ E(K)º ÈØ ÑÝ ØØ = º ½
18 º È Ø Ò Ý Ø ÒÐ Ùº ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) E(K) Q = (x 2, y 2 ) E(K) Ñ P ±Qº ÌÐÐ Ò P + Q = (x 3, y 3 ) Ñ x 3 = ( y2 y 1 x 2 x 1 ) 2 x1 x 2 y 3 = ( y2 y 1 x 2 x 1 )(x 1 x 3 ) y 1 º º È Ø Ò ÖØÓÑ Ò Ò ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ P = (x 1, y 1 ) E(K) Ñ P ( ) P º ÌÐÐ Ò 2P = (x 3, y 3 ) Ñ 3x 2 2 ( ) 1 x 3 = +a 2y 2x1 1 3x 2 1 y 3 = +a 2y 1 (x 1 x 3 ) y 1 º ÂÓ ÙÒÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÓÒ ¾ Ø Ò Ò Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ú ÐÐ º Ë ÑÓ Ò ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ¹ÝÐ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ÝÖ ÐÐ º ÆÑ ØÝ ¹ ÑÙÓ ÓØ Ñ Ö Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º À Ò¼ Ø ØÝØ Ú Ø ÝØØÚØ ÙÒÒ Ò K ÖØÓÐ ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÒØ Ð ÓÒ Ø¹ Ñ Ø ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÂÓ ÒØ Ð ÓÒ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ø Ú ÑÔ Ù Ò ÖØÓÐ ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò Ô Ø Ò ØÝ ÝØØ ÔÖÓ Ø Ú ÓÓÖ ¹ Ò ØØ º È Ø Ò ØÝ ÔÖÓ Ø Ú Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ð Ó¹ Ö ØÑ Ø Ý ÐÔ ÑÙØØ Ò ÓÒ ÐÙ ØØ Ú Ð Ö ÐÐ ÙÙ Ø º À Ò¼ º ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ Ö ÐÐ ÙÒÒ ÐÐ ÔÔ Ð Ø ØÝØ Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ó Ø ÑÝ Ú ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÓÓÖ Ò ØØ ÙÒØ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÈÓ Ù Ò ÓÚ Ø Ö Ø ¹ Ö Ø Ò ¾ ÙÒÒ Ø Ó Ú Ø ÓÚ Ø Ñ Ò Ö Ð Øº Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ E ÝÐ ÙÒÒ Ò K 5 ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÖ E : y 2 x 3 + 4x + 4 (mod 5) ÃÝÖ ÓÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ Ó ÐÐ ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒÒ K 5 º Ä ÝÖÒ Ö Ñ Ò ÒØØ = 16( ) = º ÌÐÐ Ò Ô Ø Ø E ÓÚ Ø Ô Ö Ø (x, y) mod 5 ÓØ ØÝØØÚØ ÐÐ Ò Ý ØÐ Òº ½
19 x 0 y 2 4 y 2, 3 (mod 5) x 1 y y 2, 3 (mod 5) x 2 y y 0 (mod 5) x 3 y Ö Ø Ù ÐÐ y / K 5 x 4 y y 2, 3 (mod 5) x y º E Ò Ô Ø Ø ÓÚ Ø (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (4, 2), (4, 3), (, )º È Ø Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÙÒÒ Ò K 5 Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÑÓ ÙÐÓÓÒ º Ñ Ö ½¼º Ä Ø Ò P + Q Ñ P = (1, 2), Q = (4, 3)º ( x 3 4 1) (mod 5) ( ) y 3 (1 4) 2 2(1 4) 2 2 (mod 5) (1, 2) + (4, 3) = (4, 2)º ÌÓ Ø Ò Ö ØÖ ØÙÐÓ Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÐÐ ÔØ Ø Ý¹ Ö Øº À Ò Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ E Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò K p ÝÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖº ÌÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ E(K p ) Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ N ØÓØ ÙØØ ÓÒ q q N q qº ÌÙÐÓ Ø ÝØØÚØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓØ Ð Ú Ø ØÙÒÒ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø ¹ Ò ÐÙ ÙÑÖº Æ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÝØ ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÝ ØÝØØÑ ÙÒ Ø ØÒ ÓÔ Ú ÐÐ ÔØ Ø ÝÖº Ä Ò¼ ¾ ½
20 ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÎÙÓÒÒ ½ Æ Ð ÃÓ Ð ØÞ Î ØÓÖ Å ÐÐ Ö ØØ ÚØ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ¹ ÓØÙ Ø Ù Ò ÐÐ ÔØ ÝÖ ÝØØÑÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ¹ Ð Ù Ö Ø ÐÑ º ½ ¼ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò ÐÓÔÙÐÐ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø Ú Ø Ð Ò ÙÔ ÐÐ Ñ Ö ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ò Ö Ó ÒØ ÓÖ Ò Ø ÓØ Ñ¹ Ö ØØ Ð ÚØ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ ÝÖ ØÝ Ø ÓÚ Ð Ú Ø Ò Ø ØÙÓØØ Ò º À Ò¼ ¾ Ì ÔÔ Ð Ø ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ECDPLµ Ù Ò ÐÚØ Ø Ø ØÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Ò Ù Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ø Ô ØÙÙ Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÑÙ Ø º º½ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÅÖ Ø ÐѺ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÙÖ Ú º Çй ÓÓÒ E(K q ) ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ Ô Ø P E(K q ) ord(k q ) = n Ô Ø Q P º ÇÒ¹ ÐÑ Ò ÓÒ Ð ÝØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù l [0, n 1] º º Q = lp º ÄÙ Ù l ÙØ ÙØ Ò Q Ò Ö Ø ÐÓ Ö ØÑ ÒÒ P º Å Ö ØÒ l = log P Qº ÄÈ Ò Ö Ø Ñ Ò Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ Ö ØÝ Ò ØÖ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ¹ º Ë Ò Ù ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÐ ÒÒ Ø Ú ÑÔ Ù Ò Ð Ò Ò Ö Ø Ò ÐÓ¹ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÔØ ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØÒ ÙÙÐÙÚ Ò Ú Ø ÚÙÙ ÐØ Ò ÐÙÓ Ò NP co NP º ÌÑÒ ÚÙÓ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÝØ Øع ÚØ Ú Ñ ÒÔ ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÐÝ Ý ÑÔ Ù Ò Ñº ÊË º ÄÈ Ò Ö Ø ÙÐÐ ØÙÒÒ Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÆÓÔ ÑÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ ¹ Ò ÓÚ Ø Ú Ø ÚÙÙ ÐØ Ò Ó Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ð ÐÙÚÙÒ #E ÙÙÖ Ò Ø ÓÒ Ö ØØÚÒ Óº ÇÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ ÓÐ ØÝØØÝ Ú Ñ Ò ¼ ÚÙÓ Ò Ò º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ Ó Ø Ú ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ØÓ ØÙ Ø ÐÐ ØØ ÄÈ ÓÐ Ú Ø Ö Ø Ø Ú º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ú Ð Ø Ø ÓÒ Ó ÄÈ ÐÐ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º ÂÓ ÓÐ ÓÐ Ñ ØÓ ØÙ Ó Ó Ó ØØ ØØ ÄÈ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ñ Ú Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ¹ Ò Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ P NP º ÄÈ Ù Ø Ò Ò Ø Ø ÓÐ Ú Ò NP ¹ØÝ ÐÐ Ò Òº Ä Ò¼ À Ò¼ ½ ½
21 º¾ Ë ÐÚØ Ø Ò ØØÑ Ò Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÅÓÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÐÚØ Ø Ô Ø ÓÓ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÖÚÓ ÓØØ ÚÓ Ò Ð Ø ÝØØ Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÐÚØ Ø ØÝØÝÝ ÓÓ Ø Ú Ð ØÙÒ ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø º Ì Ø Ò ÓÓ Ñ Ø Ú ÙØØ ØØ Ø Ø Ñ ØÒ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó ÔÝ ØÝ Ð Ñ Ò ÒÓÔ Ø Ö ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ Ò ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ô Ø Øº ÃÙ Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÔ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ Ñ Ô Ø Ò Ð ÝØÑ Òº ÆÑ Ð ÓÖ ØÑ Ø ØÓ Ò ÚÓ Ú Ø Ô Ò Ð¹ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÔÓÒÒ ØÙ Ð ÝØÑÒ Ô Ø º ÃÓ Ð ØÞ ÓÒ ØØÒÝØ Ù Ø Ö Ø ÔÓ Ø Ø Ò ÓÓ Ñ Ò ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÐÐ E Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÐ ÙÒÒ Ò K q Ñ q = p n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ ÐÙ Ùº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö ÓÓ Ù Ø Ô º ÃÓ ÇÐ ÓÓÒ n = 1 ØÐÐ Ò q = p 3 (mod 4) Ú Ð Ø Ò p º º char(k p ) 2, 3º ÌÐÐ Ò E ÓÒ ÑÙÓØÓ E : y 2 x 3 + bx + c (mod p)º ÌÙÐ Ø Ò ÐÚØ Ø ÐÓ ÓØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ m ÚÐ ÐØ 0 m < p Ø ¹ Ø Ò Ü Ò Ô ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò Ýº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙ y K p ÓÒ Ú Ò 1 2 º ÌÑÒ ÚÙÓ ÓÒ Ø ØÚ ÙÖ Ú ÓÖ Ù ÓÔ Ö Ø Óº Â Ø ¹ Ø Ò ÐÙ Ù m ÓÐÑ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ¼¹ µ Ñ Ö ÐÙÚÙ ÐÐ ¼ ¼ ¼º ÌÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù x ÓÐÐ ÔØ 1000m x < 1000(m + 1)º Ë Ó Ø Ø Ò x E Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò yº ÂÓ y / K p Ò Ò Ø Ò Ñ ÙÙ ÐÐ Ò ÓÐÑ ÐÐ ÑÙÙÐÐ ÐÙ¹ ÚÙÐÐ º ÃÙÒÒ ½¼¼¼ Ú ØÓ ØÓ ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ø Ð Ý ØÒ y ÓÐÐ ÔØ y K p º È Ø Ò ÓÓ Ù Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ º ÂÓ y Ð Ý ØÒ Ò Ò P m = (x, y)º ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x ÔÙÖ Ñ Ò Ò Ø Ò ÐÚØ Ø m Ø Ô ØÙÙ Ý Ò ÖØ Ø ÔÙ ÓØØ Ñ ÐÐ Ü Ò ÓÐÑ Ú Ñ Ø ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ º º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ò Ó ÔÙÓÐØ Ò ØÙÒØ Ñ ¹ Z p Ú Ð ØØÙ ÙÒØ E(Z p ) Ú Ð ØØÙ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÝÖ α E(Z p ) Ô ÖÙ Ô Ø Ó Ò ÖÓ Ø ÖÔ ÙÙÖ Ò Ð ÖÝ ÑÒ Ò Ô Ø Øº ½
22 ÂÓ Ò Ò Ó ÔÙÓÐ Ú Ð Ø ØÙÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ a X Ó ÓÒ Ò Ò ¹ Ð Ò Ò Ú Ñ Ò º Ä Ð Ú Ø ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ó ÓÒ Ô Ø a X α = α αº }{{} a X kpl ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ Ð ØØ Ú Ø Ò m ØÙÐ ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ µ ÐÐ º ÓÓ ÐÙÚÙÒ Ñ ÝÖÒ E Ô Ø ε Ñ Ö ÑÑ Ò Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ð Ô Ø Ò εº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò ÓÒ a B αº Ú Ð Ø ØÙÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ð ØØ ÐÐ Ô Ö Ò C 1, C 2 µ ÓØ ÓÚ Ø ÝÖÒ E Ô Ø Ø Ñ (C 1, C 2 ) = (kα, ε + k(a B α))º ÔÙÖ Ð ØÙÒ Ú Ø Ò Ð Ñ ÐÐ C 2 a B (C 1 ) = ε + k(a B α) a B (kα) = ε + ka B α ka B α = εº ÐÐ ÙÚ ØØÙ Ø Ô ÓÒ Ö ÒÒ Ø ØØ Ú Ð Ñ Ð Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ø ÓÒ Ø ØÝ ÑÝ ÑÙ Ø Ð Ñ Ð Ò Ú Ö ÒØØ º Ìй Ð Ò Ò ÓÒ ÑѺ Å Ò Þ¹Î Ò ØÓÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÖÓÒ ÐÐ Ø ØØÝÝÒ Ø Ô Ò ÓÒ ÐÚØ Ø Ò ÓÓ Ñ Ò Ò ÝÖÒ E Ô Ø º Ì Ý Ø Ñ ÙÐ Ò Ú ¹ Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò ÐÐ Ñ Ö º Ë Ð ØØ Ú Ú Ø ÐÓ Ó ØÙÐ Ø Ò ÙÒÒ Ò Z p Ô Ö (w 1, w 2 ). ÃÖÝÔØ Ù ÙÒ Ø ÓØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ Ó Ò ØÙÒÒ ÐÙ Ù c 1 : Ô Ø Ò m(a B α) ܹ ÓÓÖ Ò ØØ c 2 : Ô Ø Ò m(a B α) ݹ ÓÓÖ Ò ØØ y 0 : Ô Ø mα y 1 : c 1 w 1 (mod p) y 2 : c 2 w 2 (mod p)º ½
23 ÄÙÚÙÐÐ Ñ ÖÖÓØØ Ú Ô Ø a B α ÓÒ Ú Ø ÒÓØØ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Òº Ë Ð ØØ Ú Ú Ø ÐÓ Ó ÖÖÓØ Ò Ú Ð ØÙÒ Ô Ø Ò mα Ü Ý ¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ º ÌÑ ÓÒ ÒÓÔ ÑÔ Ø Ô Ô Ø Ò ÓÓ Ù Ò Ù Ò ÑÑ Ò Ø ØØÝ ÃÓ Ð ØÞ Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÐ ØÓ ØØÙ ÓÐ Ú Ò Ý ØÒ ØÙÖÚ ØØÓÑ ÑÔ Ñ Ò Ø ÐѺ Ë Ð Ù ÔÙÖ Ù¹ ÙÒ Ø ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø S((w 1, w 2 ), m) = (y 0, y 1, y 2 ) P(y 0, y 1, y 2 ) = (y 1 c 1 1 (mod p), y 2 c 1 2 (mod p))º ÈÙÖ Ù ÙÒ Ø ÓÒ c 1 c 2 Ò Ú Ø ÒÓØØ Ò Ð Ò Ú Ñ Ò Ð ÐÙÚÙÒ a B ÚÙÐÐ Ô Ø Ø y 0 ÙÖ Ú Ø a B y 0 = a B (mα) = m(a B α) = (c 1, c 2 )º ÈÙÖ Ù ÙÒ Ø Ó ØÙÓØØ Ô Ö Ò (w 1, w 2 ) ÙÒ y 1 ÖÖÓØ Ò c 1 Ò Ú Ø ¹ Ð ÓÐÐ Ú Ø Ú Ø y 2 c 2 Ò Ú Ø ¹ Ð ÓÐÐ º Ä Ò¼ Ë Ø ÒÚ ØÓ Æ Ð ÃÓ Ð ØÞ Î ØÓÖ Å ÐÐ Ö ØØ ÚØ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò ÝØØ Ö ØØ Ò ÐÓ¹ Ö ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÖÙÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÓ Ò Ó ÚÙÓÒÒ ½ º ÃÝ ÝÑÝ ÓÐÐÙØ Ð Ù Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÙÙ Ø Ñ Ò Ò Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ ØÙÒÒ Ø¹ ØÙ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ ÚÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÙÙ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÖÝ Ñ Ò Ú Ö Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÝÚ Ò Ú Ú Ø Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ¹ ØÙÙÖ Ò ÖÝ ÑØ Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Øµ Ò Ò Ð ØØÝÚ Ò Ø ÓÖ Ó Òº Ë Ò ØÝ Ð¹ Ð Ò Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ò Ú Ø ÝÚ Ò ÝÚÐÐ Ø Ø ØÑÝ Ø Ð Ö Ø ÑÙØØ ÝÐ ÙÚ Ò Ý Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ñ ÚÙÙ Ø ÚÓ Ô ÖÙ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ø ¹ Ó ÐÐ Òº ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ Ð Ù Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ÒÓ Ò Ù ÓÑÙ Ò ØØ Ö ¹ Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÝÑÔÖ Ø ÓÒ Ú Ø Ö Ø Ø Ú º ÃÙ Ø Ò¹ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ñ ØÒ ØÓ ØÙ Ø ÐÐ ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º ÌÐÐ Ò ØÓ ØÙ Ò Ð ÝØÝÑ Ò Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÖÒ Ô ÖÙ Ý ÝÑÝ Ò Ó Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ØØ P NP º ÃÓ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÝÖÒ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ¾¼
24 ÓÐ ÓÐ Ñ Ý Ø Ø Ó Ø Ö Ø Ù Ù Ò Ð ÐÐ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÐÝ ÑÔ Ù Ò Ñ Ö ÊË º ÃÙ Ø Ò Ò ÐÐ ÔØ Ø ÝÖØ ÚØ ÓÚ ÐÐÙ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÓ º Ð ¹ Ò ÙÐ Ö ÐÐ ÔØ ÝÖ Ö Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÐÔÓ Ø Ö Ø¹ Ø Ú º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖÒ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ò ÝØØ ÓÒ Ø ÐÐ ÓÔ Ú Ò ÝÖÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú Ø Ú ÓÔ Ö Ø Óº ËÓÔ Ú Ò ÝÖ Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÐ ØØÝ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÄÝ Ý Ò Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ Ò ÚÙÓ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÙ ÙØØ Ð Ú Ú ØÓ ØÓ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Ö ¹ Ø ÐÑ Ñ Ú Ñ Ò Ô ØÙÙ ÐÐ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ñ Ö ØÝ Ù Ò Ð Ù ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓÔ Ù ÐÐ º ¾½
25 Î ØØ Ø À Ò¼ Å Ò Þ º Î Ò ØÓÒ Ëº À Ò Ö ÓÒ º Ù ØÓ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô Ýº ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º à ּ ̺ à ÖÚ º Ì ØÓØÙÖÚ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º Ì ØÓØÙÖÚ ÙÖ Ò Ð ØØÝÚ ÐÙ Ò¹ ØÓÑÓÒ Ø À Ð Ò Ò Ð ÓÔ ØÓ Ø ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À Ð Ò ¾¼¼ º ÃÓ Æº ÃÓ Ð ØÞº ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ýº Å Ø Ñ Ø Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½½ µ ¾¼ ¾¼ ½ º Ä Ò¼ º Ä ÒÒ º ÐÐ ÔØ Ò ÝÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ Øº ÈÖ Ñ ¹ Ø Ö Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ º Šؼ ÆØÒ Ò Åº Å Ø Ò ÝР̺ Ð Ö º Ä Ñ ÖÝ À Ð Ò ¾¼¼ º Ë Åº Ë º ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÖÝÔØÓ Ý Ø Ñ º ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØÖ Ð ½ º ¾¾
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÓ ØÛ
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ