ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

Transkriptio

1 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ º º º º ½ ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾½ ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º¾ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ º ¼ ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ º º º º º º ½ ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

2 ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

3 À Ö Ó ØÙ ½ µ À Ø Ø ÒÓÔÔ 100 ÖØ º Î ÖØ ØÙÐÓ Ò Ú ØØÙ Ö ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Òº º ÎÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÒ ÔÙ ÓØÙ Ô Ð ÓÙ Ù Ø ÓÐ Ú Ø ÀÈà 1/3µ ÂÓ Ö Ø 1/2µ ÃÖÔØ 1/3µ ÔÓÓÒ ÄÍ Ë 1/6µ Ì ÔÔ Ö 1/3µ Â È 1/7µ ÀÁ à 1/6µ ÌÈË 1/9µº ÖÐÐ ØÝ Ô ÐÐ Ö Ø ØØ Ò ÒÒ Ò ÔÙ Ó¹ ØÙ Ô Ð Ò Ð Ù ÚÙÓ Ò Ñ Ø Ö Ó Ú Ú ÓÒÐÝ ÒØ ÝØØ Ò ÙÐÙ ÐÑÓ Ø ØØÙ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ñ Ö Ì ÔÔ Ö Ñ Ø Ö Ò Ò ÚÓ Ø Ø Ô ÒÓ ÓÐÑ Ò ÖØ Ò º µ Ä ÒÒ ØØÙ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ô ÝÓ Ó µ ÚÙÐÐ ÓÙ ¹ Ù Ò ÚÓ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ ½º º¾µº Ä ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ÙÑÑ Sº µ Ë Ð ÐÐ Ó Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÑÑ ÐÐ Sº Å Ð Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò µ ÇÐ Ø ØØ Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ó Ø º Ä Ó Ó¹ Ø ØØÙ ÚÓ ØØÓ Ó Ú Ø Ì ÔÔ Ö ÚÓ ØØÓ P(A)+Ô ÒÓ (1 P(A)) º ÌÓØ ÙØØ Ó Ú Ù Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ½¼º Ö Ý ÐÝ ØÙØ ØØ Ò Ù Ø ÙØÙÑ Ø Ð ÐÐ Ò ÓÖØØ Ò Ø Ò Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÝØ ØÙÐÓ Øº ÒÒ ËÙ ÙÔÙÓÐ ÅÝ ÒØ Ò Ò Ã ÐØ Ò Ò Ø Ò Æ Ò Ò ¼ ½ ½ ¼¼ Å ½ ¾ ½ ¼¼ Ø Ò ¾ ¾ ½½¼¼ ÃÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ö Ú Ò º µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓØÓ Ú ÖÙÙ µº µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ó µ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø º µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ù Ó Ö Ø Ó Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù µº ½½º Ñ Ö ½º¾ ÐÙ ÒÒÓص ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÖÒ ÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ¹ ÑÖغ µ Ä ÑÔ Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ µ ÖÚÓ Ô Ø 15.3º µ Ä Ù Ù ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÖÚÓ P 20 (18.5,20.5) Ò ÚÙÐÐ º µ Ä ØÓ Ö ÑÑ ÐÙÓ [18.5,20.5] ÙÚ Ú Ò ÔÝÐÚÒ ÓÖ¹ Ù º

4 ¾¼ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ

5 ÄÙ Ù ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ð ÒÒ Ú Ò Ö ÐÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ ¹ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ωº ÐÙ Ø ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ó ÓÚ ÐØÙÙ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òº ÄÓÔÙ ¹ Ø ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙÓÒÒ Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø ØÝ Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ º Ñ Ö Ä Ù ¾º½ Ø ØÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ó Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ù¹ Ö Ú Ø Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÃÙÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º Ë ÐÐÓ Ò Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ØÓ Ó ¹ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú ÙÙ Ö ØØ Ö ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ò 1 3 Ð µ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ ¹ Ð Ñ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ A ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð¹ Ö º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÙÚ Ù P : A [0,1] Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ÓÓÑ ½º P(A) 0 ÐÐ A Aº ¾º ÂÓ A,B A A B = Ò Ò P(A+B) = P(A)+P(B)º º P(Ω) = 1. ÂÓ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ò {ω i } ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ P({ω i }) = p i 0, 1 i n P(Ω) = n i=1 p i = 1 Ò Ò Å¹ Ö Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÓÑ Ø ÙÖ ØØ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò A Ω ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ P(A) = ω i A P({ω i})º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ó ÐÑ A ÓÒ Ω Ò ¾½

6 ¾¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ÌØ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó¹ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö ÙØ ÙØ Ò Ω Ò ÔÓØ Ò ÓÙ Ó Ø Ñ Ö ØÒ P(Ω)º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ Ù Ø Ò Ò ØØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÓÒ ÝÐ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò ÒÒ ÐØ Ð Ò ÚÐ º Ð Ø Ô Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ö Ó ØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ º ¾º½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÐÙÓÒÒ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÑØ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¹ ¾º½ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ØÖ Ø Ð ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÙÖ Ø ÙÓÖ ¹ Ú Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º Ë ÙÖ Ú ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö A A ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ P ÓÒ ÒÒ ØØÙº Å Ö ÒØ A,B A Ø Ö Ó ØØ ØØ A B ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º Ä Ù ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓØÓ Ú ÖÙÙ A Ó Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ð Ö P Ð Ö A ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÂÓ A,B A Ò Ò ÑÑ ØÙÐÓ Ø ½º ÂÓ B A Ò Ò P(B) P(A) ¾º P(A c ) = 1 P(A) º P(A\B) = P(A) P(A B) º ÂÓ B A Ò Ò P(A B) = P(A) P(B)º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ó Ø 1. ÃÓ B A Ò Ò A = B +A B c º Ź Ö Ø ÐÑÒ ¾º½ Ó Ò 2 Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(A) = P(B) + P(A B c ) Ó Ò 1 Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(A B c ) 0 ÓØ Ò P(B) P(A)º Æ Ò Ó Ø 1 ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÅÙ ØØ Ò Ó Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ú ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÓÑ Ò ÙÙ 2 ÚÓ Ò ÙÓÖ Ú Ú Ø ÝÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ º Ä Ù ¾º¾ ÇÐ ÓÓØ A 1 A 2 º º º A n Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ö ÐРص Ω Ò Ó ¹ ÓÙ ÓØ Ð Ø Ô ØÙÑ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµº Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ). ÁØ Ø Ú ÙÙ ÝÐ ØÝÝ ÑÝ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ô Ö ØØ Ò Ö Ð¹ Ð ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A 1 A 2 A 3 º º º Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+. ÂÓ A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµ Ω = A 1 A 2 A n Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ A 1,A 2,...,A n ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ¹ Ò Ω Óº

7 ¾º½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ¾ Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ó Ó ÐÑ A 1,A 2,...,A n ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó E Ω ÓÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò P(E) = n P(E A i ). i=1 Ë ÙÖ Ù ¾º½ Å ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A B Ô Ø Ô Ò ØØ P(A) = P(A B)+P(A B c ). Ä Ù Ò ¾º½ Ó Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÑÝ ÓÙ Ó ÐÐ ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ð¹ Ð º ÌÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù º Ä Ù ¾º ÂÓ A Ω B Ω Ò Ò ¾º½º½µ P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). ÌÓ ØÙ º ÃÙØ Ò ÃÙÚ Ó ¾º½ Ó Ó ØØ ÓÙ ÓØ A B c A B A c B ÑÙÓ Ó ¹ A B c A B A c B A c B c ÃÙÚ Ó ¾º½º Ì Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ º Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ Òº Ë ¾º½º¾µ P(A B) = P(A B c )+P(A B)+P(A c B). Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò Ú Ø Ú Ø P(A) = P(A B c )+P(A B) P(B) = P(A c B)+P(A B), ÓØ Ò ¾º½º µ P(A)+P(B) = P(A B c )+P(A c B)+2P(A B). ÃÙÒ ÒØ Ø Ø Ø ¾º½º µ Ú ÒÒ ØÒ ÔÙÓÐ ØØ Ò P(A B), Ò Ð Ù P(A)+P(B) P(A B) = P(A B c )+P(A c B)+P(A B), ÓÒ Ó ÔÙÓÐ ÓÒ ¾º½º¾µ Ò ÑÙ Ò P(A B)º Æ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº

8 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÌÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÚÓ Ò ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º ØÑÑ ÐÙ ÝÐ ØÝ Ò ÙÒ Ø Ô ØÙ¹ Ñ ÓÒ ÓÐÑ º Ð Ò Ò Ø Ô Ù Ò Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ ÑÙØØ Ø ¹ ØÒ Ú Ø ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ù ¾º ÂÓ A 1 A 2 A 3 ÓÚ Ø Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ø Ô ØÙÑ µ Ò Ò ¾º½º µ P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ). ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º ÔÝ ØÐ ÃÓ P(A B) 1 ÙÖ Ä Ù Ø ¾º ¾º½º µ P(A B) P(A)+P(B) 1. ÔÝ ØÐ ¾º½º ÒÓØ Ò ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º Ñ Ö ¾º½ ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ ØØ ÓÐÐ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÔÝ ØÝØ Ð Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ø Ö Ø ÑÙØØ ØÙÒÒ ¹ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(A) P(B)º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö P(A) = P(B) = 0.95º Ë ÐÐÓ Ò P(A B) = ÂÓ P(A) + P(B) < 1 Ò Ò Ð Ö ¾º½º µ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò ÔÝ ØÐ Ô Ø ØÖ Ú Ð Ø Ô Ò º ¾º¾ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ P(Ω) ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ð Ö º ÂÓ ÐÐ A P(Ω) ÑÖ Ø ÐÐÒ ¾º¾º½µ P(A) = A n, Ñ A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÐÙ ÙÑÖÑ ØØ º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø Ó ÓÒ Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ö ØÝ Ø Ó Ò Ò Ð Ø Ô Ù ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð p i = P({ω i }) = 1 n, 1 i n Ñ n ÓÒ Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ò Ñ ÐÐ A Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ nº ÌØ ³ ÙÓØÙ Ø Ô Ö ³ ¹ ÒØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ ¾º¾º½µ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÑÙ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙ ÙÑÖÑ ØØ ØÓØ ÙØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÑ Ò ÙÙ Ø 1 2º

9 ¾º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø ¾ Ñ Ö ¾º¾ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò Ö ÐÑÐÙ Ù ÚÓ ¹ Ò Ô Ø Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÑÖ Ø ÐÐ ÒÒ Ò ¾º¾º½µ ÑÙ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {1,2,3,4,5,6}º Ë ÐÐÓ Ò Ö ØÝ ¹ Ø P({i}) = 1 6 i = 1,...,6º ÂÓ Ø ØÒ Ø ÒÓÔÔ ÚÓ Ò ÝÑÑ Ø¹ Ö Ð Ø Ô Ù Ú Ð Ø Ö Ø ØÝØ Ô Ö Ø (1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6). Ë Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ Ó (½º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù ¾º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù)º ÌÑÒ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = {(i,j) i,j {1,2,3,4,5,6}}. ÃÓ Ω = 36 Ò Ò P ( {(i,j)} ) = 1 ÐÐ i,j {1,2,3,4,5,6}º 36 Î Ø ØÒ ØØ Ö Ò Ð Ò Ò Ø Ð Ñ Ù Ô ÐÙÖ Ú Ð Ö Å Ö Ú Ø Ó ÐÐ Ø ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Ò µ À Ø ØØ ÒÓÔÔ 4 ÖØ ÒÒ ØØ ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓÒ Òº µ À Ø ØØ Ø ÒÓÔÔ 24 ÖØ ÒÒ Ø ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓ Ô Ö º Å Ö ÙÓÑ ÚÒ Ô Ø Ô Ð Ö Ú ÐÐ ÐÝ Ò Ú ØÓ ÙÙØÓ Ô Ö Ò ÔÙÓÐ Ø º ÀÒ Ù Ø Ò Ò ÔÝ ØÝÒÝØ Ø ÓÖ ØØ Ø Ð ØØÑÒ Ú ÒØÓ Ò Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ µ Ò ÒÔ Ò ÒØÝ Ö Ò Ð Ò ÐÓ Ó¹ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ Ð È Ð Ò ÔÙÓÐ Ò Òº ½ ¼µº Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÓØ Ò ÒØ Ò Ò Ð Ù Ý Ý Ò ÙÙÐÙ Ò È Ð Ò È ÖÖ ÖÑ Ø Ò ÚÐ Ò Ö ÒÚ ØÓÓÒ Ó Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÝÒØÝÝÒº ÃÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ Ùѹ ÖÐк Î Ø ØÚ ÓÒ Ô Ö ØØ ÐÔÔÓ ÚÓ ÝØÒÒ Ó Ó ØØ Ù¹ ØÙ ÝÐÐØØÚÒ Ò Ð º ÄÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Ò ÐÔÓØØ Ñ Øѹ Ñ Ð ÐÙÚÙ ¾º Ó Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ô Ö ØØ Ø ØÙÐÓ º ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø Ö ÐÐ Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÔÔÓ Ð Ø¹ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º ÌÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ä Ù ¾º½µ ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ø ¾º½º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ). Ö ØØ Ñ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ Ø ØÝØ ¹ ÓÓÑ Ø ÓÚ Ø Ð Ò ÚРغ ÃÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÔÓ ¹ Ø ÑÖ Ø ÐØÚ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙÓ º Ð Ø ÓÖ

10 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÚØ ÓÐ Ø Ô ØÙÑ º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò Ω Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ó ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Òº Ð Ø ÓÖ Ò Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ ØÝØÝÝ ÑÙÓ Ó Ø Ò º σ¹ Ð Ö º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ ÃÓ Ó ÐÑ F ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ñ σ¹ Ð Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ½º Ω Fº ¾º ÂÓ A F Ò Ò A c Fº º ÂÓ A 1,A 2,... F Ò Ò i=1 A i Fº Ñ Ö ¾º ÇÐ ÓÓÒ I(a,b) Ô Ò Ò Ð Ö Ó ÐØ ÙÐ ØÙØ ÚÐ Ø [c,d] [a,b], a c d b Ω = [a,b]º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö I(1,5) Ô Ò Ò Ð Ö Ó ÐØ ÙÐ ØÙØ ÚÐ Ø[c,d] [1,5], 1 c d 5º ÃÙÙÐÙÙ Ó Ñ Ö ÓÙ Ó {2, 3, 4,...} Ð Ö Ò I(1,5)º ØØ Ø Ô ¹ 2 3 Ø Ø c [1,5] ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ö Ò I(1,5) ÐÐ c = [1,c] [c,5]º à ¹ Ö ÐÐ Ø ÙÒ ÓÒ Ø {2, 3 n+1,..., } = n 2 n i=1 {i+1 } ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ö Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ i ½º¾ ÓÑ Ò ÙÙ Ò 3 ÒÓ ÐÐ Ð Ö Ò I(1,5)º ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ I(1,5) ÓÒ σ¹ Ð Ö Ò Ò ÐÐÓ Ò { i+1 } = {2, 3 i 2, 4,...} I(1,5). 3 i=1 Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ý ¹ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ô ØÙÑ A F ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÃÙÚ Ù P : F R ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ø ½º 0 P(A) 1º ¾º P( ) = 0 P(Ω) = 1º º ÂÓ ÓÙ ÓØ A i F,i = 1,2,... ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø A i A j ÙÒ i jµ Ò Ò ( ) P A i = P(A i ). i=1 Æ Ø ÓÓÑ Ø ÚÓ Ò Ø ØÝ Ø Ó Ø Ñ Ø Ð Ù Ø Ù Ò ÐÐ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù º ÃÓÐÑ Ó (Ω,F,P) ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ú ÖÙÙ Ñ Ω ÓÒ ¹ØÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ F ÓÒ σ¹ Ð Ö P: F [0,1] ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØ µº ÌÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ø Ó ÒÒ Ò ØØ Ú ÒÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó º ƺ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½ ¼ µ ÚÙÓÒÒ ½ ¾ º i=1

11 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ÂÓ A 1,...,A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ n ¾º º½µ P( A i ) = i=1 n P(A i ) i=1 ÐÐ n 1º ÃÓ Ý ØÐ Ò ¾º º½µ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 1 ÐÐ n 1 Ò Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÙÔÔ Ò ÙÒ n º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º¾µ lim P( n n i=1 A i ) = lim n n P(A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø Ø ÙÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ø ØØÝσ¹ Ø Ú ÙÙ P( A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ¾º ¾º º½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø ÇÐ ÓÓØ Ó Ò E 1 E 2 ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ω 1 Ω 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø Ω 1 Ω 2 º Å Ö ØÒ Ω 1 = n 1 Ω 2 = n 2 º ËÙÑÑ Ô Ö Ø º Ì Ò Ó Ó Ó E 1 Ø E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 +n 2 º ÌÙÐÓÔ Ö Ø º Ì Ò Ó Ø E 1 E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó Ò E = E 1 E 2 ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 n 2 º Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý ÝÑÝ ½º Ë ÒÙÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ô Ø Ò Ð Ø ÓÙ ÙØ ÓÐÑ Ø Ò Ø ÝÑÑ Ò Ø Ù Øº ÅÓÒØ Ó Ù Ó ÓÒ ÙÙØØ Ò Ø ÚÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø ¾º Ø 2¹ÒÙÑ ÖÓ Ø ÐÙÚÙØ ÓØ ÒÙÑ ÖÓ Ø {1,5,6,9} ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø º ÅÓÒ Ò Ó Ö Ö ØÝ Ò 10 Ö ÚÓ Ò ÝÐÐÝ ØØ Ã Ò Ñ Ö Ø ØØÝ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ò Ú Ø Ù ØÙÐÓÔ Ö Ø¹ Ø Ò ÚÙÐÐ º

12 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ω Ð Ó Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ Ω = n ÚÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ Ð ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ1 Øn Òº Î Ð Ø ÒΩ Ø Ô Ö Ò r Ð ÓØ Ó Ò Ò Ú Ð ØØÙ Ð Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò Ø ¹ Ò Ω Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º Î Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ò ØÙ Ö Ø ØØÝ ÓÒÓ ÙØ ÙØ Ò Ö Ø ØÝ r¹óøó (a 1,a 2,...,a r ) Ó Ó Ò Ò Ð¹ Ó 1 a j nº ÂÖ Ø ØÝ r¹óøó Ñ Ð Ó ÚÓ ØÓ ØÙ ÑÓÒØ ÖØ º Ì Ò Ñ Ö Ö Ø ØØÝ 3¹ÓØÓ ÓÙ Ó Ø A = {a,b}º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ØÝØ 3¹ÓØÓ Ø ÓÚ Ø aaa aab aba abb baa bab bba bbbº ÂÖ Ø ØØÝ Ò 3¹ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò 2 3 = 8º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ø ÙÖ ØØ Ω Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ö Ø ØØÝ Ò r¹óøó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n r º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÂÓ Ω Ø Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ ¹ r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ó Ñ Ð Ó ÚÓ ÒØÝ Ú Ò ÖÖ Òº ÌÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ø ÙØ ÙØ Ò Ω Ò r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a,b,c,d} 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc, Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ 4 3 = 12º Ð Ø r¹ô ÖÑÙØ ¹ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ω Ø ÓÒ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r +1), 0 < r n. Å Ö ÒØ n (r) ÐÙ Ø Ò n Ò r¹ ÖØÓÑ º ÃÙÒ r = n Ò ÓÙ ÓÒ Ω n¹ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÓÙ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó º È ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò Ö Ø ØØÝ ÓÒÓº ÂÓÙ ÓÒ Ω Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 Ø Ñ Ö ØÒ n! ÐÙ Ø Ò n¹ ÖØÓÑ º Ñ Ö ¾º ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ µ ÃÙØ Ù ÐÐ ÓÒ r Ò Ð º À Ò ¹ Ð Ò ÝÒØÝÑÔ ÚØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø r Ò Ô ÚÑÖÒ ÓÒÓÒ Ó Ñ Ô Ú¹ ÑÖ ÚÓ ØÓ ØÙ º ÎÙÓ Ò Ô Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ n = 365 Ó Ö Ù ÚÙÓØØ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ø 365 r ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒÓ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ò¹ Ð ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú Ò ÒÒ Ò 365 Ò Ô ÚÒ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 365 (r) Ñ ÓÒ Ò r Ò Ô ØÙ Ø Ò Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ¹ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ Ú Ò ¾º¾º½µ ÑÙ Ò P(³ Ö ÝÒØÝÑÔ Úس) = 365(r) 365 r. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ 1 365(r) 365 r.

13 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ ÃÙÒ Ω Ø Ú Ð Ø Ò r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ω Ò Ó ÓÙ ¹ Óº ÆÝØ ÒÒ Ø Ø ÙÓÑ ÓØ Ð Ó Ò Ö ØÝ Ò Ú Ò ÒÓ Ø Ò Ò Ñ Ø Ð ÓØ Ó ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ Øº ÂÓÙ ÓÒ r Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓÙ ÓÒ r¹ ÓÑ Ò Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a,b,c,d} 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÚ Ø {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. ÂÓ Ø 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ º Ñ Ö¹ 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓÓÒ {a,b} Ð ØØÝÚØ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab baº ÃÓ 2¹ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 12 ÔÔ Ð ØØ Ò Ò 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 2 6 ÔÔ Ð ØØ º  ÝÐ Ø ÃÓ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó Ø r¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ r! r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) Ò Ò r¹ ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) r! = n! r!(n r)!, ÓØ Ñ Ö ØÒ ( n r) ÐÙ Ø Ò n r Ò ÝÐ º ÂÓÙ Ó KIRJAIMET = {a,a,a,a,t,t,e,e,e,k} = {4 a,2 t,3 e,1 k} ÓÒ4 a¹ Ö ÒØ 2 t Ø 3 e Ø Ý kº ÌÐÐ Ø ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÑÓÒ ÓÙ Ó º Ñ Ö ¾º ÃÙ Ò ÑÓÒØ Ö Ð Ø 10¹ Ö Ñ Ø Ò ÑÓÒ ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET = {4 a,2 t,3 e,1 k} Ö Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ë Ò ÓÒ Ö Ñ ÐÐ 10 Ö Ô Ó Ò Ò Ö Ò ÚÓ Ò Ó ØØ Ó ÓÒ Ò 10 Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ô Ø º Ò Ò a¹ Ö Ñ Ò Ô ÚÓ Ò Ú Ð Ø ( ) 10 4 Ø Ú ÐÐ Ð ÐÐ Ò Ò 6 Ò Ô Ò ÚÓ Ò b Ó ØØ ( 6 2) Ø Ú ÐÐ Ò Ò c ( ( 4 3) Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙ d ÐÐ 1 1) = 1 Ô º à ÖØÓÐ ÙÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( )( )( ) = ! 4!2!3!1! = Ñ Ö etaakaetea ÓÒ Ý ÓØ ØÝØØÚ Ò º Ñ Ö ¾º 10¹ Ö Ñ Ò Ò Ò ÓÒ ÑÓÒ ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET Ô ÖÑÙØ Ø Óº ÃÙÒ Ø atte,aate kate ÓÚ Ø ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET 4¹Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ Ó n Ð ÓØ Ó Ø n 1 ÙÙÐÙÙ ½º ÖÝ ÑÒ n 2 2º ÖÝ ÑÒ ÐÓÔÙÐØ n k Ð ÓØ kº ÖÝ ÑÒ ÓØ Ò n = n 1 + n n k º ÂÓÙ Ó Ø Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ð Ó Ø ÙÒÒ ÓÒ Ú Ð ØØÙº ÃÙ Ò ÑÓÒØ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ø Ö Ð Ø Ð Ó ÓÒÓ ÚÓ Ò ÆÝØ Ø ÐÐ Ò ØØ ÙÒ Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ñ ÒÐ ÑÙØØ Ö Ð Ù Ò ÑÙ Ò ÖÝ Ñ Ò Ð Óغ ÑÑ ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ö Ð ÖÝ ÑÒ Ö ØÝ º Î Ø Ù Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÐÐ 10¹ Ö Ñ ÒÓ Ó Ú Ñ Ö º Î Ð ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( n n n1 n 1 n 2 ) ( ) n n1 n 2 n k 1 n k = n! n 1!n 2! n k!.

14 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÌØ Ð Ù ØØ ÒÓØ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ø Ñ Ö ØÒ ( ) n! ¾º º½µ n 1!n 2! n k! = n. n 1 n 2... n k ÃÙÒ k = 2 Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n = n! ( n 1 n 2 n 1!n 2! = n! n n 1!(n n 1 )! = Ñ Ö ¾º ÎÓ Ñ Ø ÐÙÒÓÔ ØØ 28 ÓÔÔ Ð Ò ÐÙÓ Ò ÓÔÔ Ð ÐÐ 9 ÔÙÒ Ø 10 Ò Ø 9 ÐØ Ø Ô Ð Ô Ø ÑÙÓ Ó Ø Ò ÓÐÑ Ó٠٠ع Ø º ÅÓÒØ Ó Ö ÓÙ Ù ØØ Ò Ð Ù Ò ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÓÔÔ Ð Ø ÚÓ Ò ÔÙÒ Ò Ò Ò ÐØ Ò Ø Ò ØØ ÔÙÒ ÓÒ 9 Ò 10 ÐØ 9º Î Ø Ù ÓÒ n 1 ). 28! 9!10!9! = ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ Î Ð Ø Òr Ô ÐÐÓ ÙÙÖÒ Ø Ó ÓÒ k Ö Ð Ø Ñ Ö Ö ÚÖ Øµ Ô ÐÐÓ º ÂÓ Ú Ð ÒÒ Ö Ø Ö Ò Ô ÐÐÓÒ ÚÖ Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÙÙÖÒ Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ô ÐÐÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØØ Ò r = k = 3µº Ì ÙÐÙ Ó ¾º½º Ö Ð Ø Ú Ð ÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ r = k = 3º ÌÙÐÓ ÂÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ô Ø ØÒ Ñ Ö Ý Ò Ô ÐÐÓÒ Ó ÐÐ º Ã Ò Ú Ð ÒØÓ Ò Ð Ò Ñ ÐÐ ÓÒ rµ Ñ Ö º ÀÙÓÑ ØØ r ÚÓ ÓÐÐ

15 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ½ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò k Ú Ñ Ö r = k = 3º Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º½ Ú Ñ ÐÐ Ö ÐÐ Ô ÐÐÓ Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ö Ò ÓÒÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÂÓÒÓ ÓÒ Ý Ø Ò = r+k 1µ Ñ Ö º ÃÙ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ¾ ¹Ñ Ö ÚÓ ¹Ñ Ö ÖÝ Ñ Ò Î Ø Ù ÓÒ 5! = ( 5 3!2! 2) = 10º Î Ø Ú Ø ÝÐ Ø Ô Ù Ö Ð Ø Ò ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) ( ) k +r 1 k +r 1 =. r k 1 Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ¾º º¾µ x 1 +x 2 + x k = r, Ñ k r ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÑÙÙØØÙ Ø x 1 x 2 º º º x k ÚÓ Ú Ø ÖÚÓ Ò ÔÒ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÅÓÒØ Ó Ö ¹ Ð Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ ¾º º¾µ ÓÒ ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö r = 7 k = 3º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ø ³ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ³ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ø Ù x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 1º Ê Ø Ù x 1 = 7 x 2 = 0 x 3 = 0 ÓÒ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÑÙÓØÓ À ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÓÒ 7 ÐÑ r = 7µ 2 ÓÚ Ú k 1 = 2µ Ð Ý Ø Ò 9 k +r 1 = 9µ Ó Ø º  ÓÚ Ú Ø ÚÓ Ò Ó ØØ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ( 9 2) = 36 Ø Ú ÐÐ º Ò ÐÓ Ø ÚÓ ÑÑ ÔØ ÐÐ ØØ Ý ØÐ Ò ¾º º¾µ ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÖ Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) k+r 1 k 1 º ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÝØ n Ò r¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÔÒ Ø Ú ÐÐ Ó¹ ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ¾º º µ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r +1), r > 0; n (0) = 1. ÂÓ n ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò n (r) ÓÒ n Ò Ð ÓÒ ÓÙ ÓÒ {1,2,...,n} Ò r Ò r nµ Ó Ó Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö ØÝ Ø n¹ ÖØÓÑ ÓÒ n! = n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 0¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ 0! = 0 (0) = 1º

16 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾º º µ ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ ( ) n = r n (r) r!, r 0; 0, r < 0. ÀÙÓÑ ØØ ÝÐÐ Ø ØÝØ n (r) ( n r) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ n Rº Ä Ù ÐÐ Ø ØØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ò ØÙÐ ÒØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ñ Ö ¾º à ÖØÓÑ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ñ Ö ¾º º µ ¾º º µ 3 (5) = ( 1) = 0 (0.5) (4) = 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) = ( ) 3 = 0 ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 ( ) n = n(0) = 1 ÐÐ n R 0 0! ( ) 0.5 = 0.5(4) = 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) 6 4 4! ( ) 2 = 2(3) 3 3! = ( 2)( 3)( 4) 6 = 4. ÅÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ØÓ Ø ØØ ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +, r r 1 r ( ) ( ) n n 1 r = n. r r 1 ÂÓ s ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò ÐÐÓ Ò ¾º º µ ËØ ÖÐ Ò Ò Ú r (s) ( n r ) ( ) n s = n (s). r s ¾º º µ n! 2πn n n e n. ÒØ ÖØÓÑ ÐÐ ÝÚÒ Ð ÖÚÓÒº = 5 128

17 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð ØØÝÝ ÑÓÒ ØÖ Ø ÒØ Ø ØØ º Ì Ð ÐÙÚÙ ¹ Ø ØØÚØ ÓÐÑ ÒØ Ø ØØ ÓÚ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ º Ä Ù ¾º ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò n ( ) n ¾º º µ (a+b) n = a r b n r r r=0 à ÖØÓ Ñ ( n r) ÙØ ÙØ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ º Ä Ù ¾º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò ¾º º½¼µ n r=0 ( )( ) a b = r n r ( a+b Ä Ù ¾º ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙÚÙØ t 1 t 2 º º º t k º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º½½µ (t 1 +t 2 + +t k ) n = ( ) n t n 1 1 n 1 n 2... n tn 2 2 tn k k, k n 1 + +n k =n Ñ ÙÑÑ Ý ÝÐ Ò ÐÐ Ø Ò ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò n 1 n 2 º º º n k ØØ n 1 +n 2 + +n k = nº n ). ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÝ Ò Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ð Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓÙ Óº Í ÑÑ Ø Ò ØÝ ÒÒ ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú ØØ Ñ ØØ Ð Ò Ò ÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Òº Ë ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ø ¹ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÙÑ Ö Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÚÙÐÐ º ÆÑ ÑÙÙØØÙ Ø ÐÙÓÒÒ Ø ¹ Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ º Ë ØÙÒÒ ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ÐÐ ³Ó س ÑÙÙØØ٠غ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓÒ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ëŵ X ÓÒ ÙÚ Ù ÙÒ Ø Óµ Ω ÐØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Rº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ X Y Z º º º ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ X: Ω R,

18 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ X(ω) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ð ØØ Ó Ò Ð ¹ Ø Ô Ù Ò ω Ω Ý Ò Ú Ò Ý Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ X(ω) Rº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Z º º º ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ x y z º º º Å Ö ØÒ X(ω) = xº Å Ö ÒØ S X R ÖÚÓ ÓÙ Óµ Ø Ö Ó ØØ X Ò ÖÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó º ÂÓ S X R ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òµ Ò Ò X ÓÒ Ö ØØ º Í Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø S Ó Ò Ð ØØÝÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ý ÐÑ Ý Ø Ý Øº Â Ø Ù¹ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÓÒ Ó Ò ÚÐ I Rº ÇÒ ÑÝ ÑÙ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙØØ ØØ Ð ÑÑ Ú Ò Ö ØØ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ñ Ö ¾º½¼ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º Å Ö ØÒ R = ³ ÖÙÙÒ ³ L = ³ Ð Ú ³º Ë ÐÐÓ Ò ω: RRR RRL RLR RLL LRR LRL LLR LLL Y(ω): ÆÝØ Ñ Ö Y(RRL) = Y(RLR) = 2º ÇÐ ÓÓÒ A r Ø Ô ØÙÑ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ r º Å Ö ÒØ (Y = 2) Ø Ö Ó ØØ Ø Ô ØÙÑ A 2 = {RRL,RLR, LRR} P(Y = 2) = P(A 2 ) = 3/8º Î Ø Ú Ø (Y 1) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ A 0 A 1 = {RLL,LRL,LLR,LLL} P(Y 1) = 1/2º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S Y = {0,1,2,3}º Ð Ø Ñ Ö ÒØ (X B), B R Ø Ö Ó ØØ ÐÐ Ø Ø Ô ØÙÑ A Ω ØØ A = {ω Ω X(ω) B}º ÌØ Ø Ô ØÙÑ Ñ Ö ØÒ ÑÝ X 1 (B) = Aº Ñ Ö ¾º½¼ Ø Ô ØÙÑ (Y [0,1]) ÓÒ A = {RLL,LRL,LLR,LLL} Ó Y(ω) [0,1] ÙÒω A Y(ω) / [0,1] ÙÒ ω A c º Ë Y 1 ([0,1]) = Aº Ñ Ö ¾º½½ Å Ð Ô Ý ÐÝ Ø Ù Ø Ò100 ÐØ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÐØ Ø ÑÔ Ö Ð ÐØ Ò Ó ÙØ ØÙÐØ ÒÒ Ò ÙÖÓÔ ÖÐ Ñ ÒØØ Ú Ð ¾¼¼ Ò Ó ¹ ÙØ ØÙ µ Ñ ÒØ ÐÐ ÓÒ ËÙÓÑ Ò Æ Ìǹ ÒÝÝØ Òº ÅÓÒØ ¹ Ó Ö Ð Ø ÓØÓ Ø 100¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ µ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ð Ø Ð Ø Ô Ù ω ÓÒ ÓØÓ Ò Ú Ð ØØ Ú Ò Ò Ð Ò ÓÙ Ó ω = {h 1,h 2,...,h 100 }º À Ø Ø Ð¹ Ø Ú Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ 1 Ø 100 Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X i,1 i 100 Ø Ò ØØ X i (ω) = 1 Ó h i ÒÒ ØØ ËÙÓÑ Ò Æ Ìǹ ÒÝÝØغ ÂÓ h i Ú ØÙ Ø Æ Ìǹ ÒÝÝØØ Ò Ò X i (ω) = 1 X i (ω) = 0 ÙÒ Ò Ð ÐÐ ÓÐ ÒØ Ø Ú Ø º ÂÓ Ò Ò X i (ω) { 1,0,1} i = 1,2,...,100º ÅÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Æ ÌÇ ÓÒ Ð ØØÝÑ Ò ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÇÐ ÑÑ Ó ÐÐ ÑÔÐ ØØ Ø ÓÚ ÐØ Ò Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ø¹ غ ÆÓÔ Ò ØØÓÓÒ Ð ÒØ Ò ØØÓÓÒ ÓÖØØ Ô Ø Ø ØÚ Ò Ú Ð ÒØÓ Ò Ð ØØÝÚ ÐÐ ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ò ØØ Øº Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ØÙØØÙ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º

19 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾º ÂÓ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÖÚÓ Ð٠غ Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÃÙÚ Ù ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÆÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù {1,2,3,4,5,6} Y ÃÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ {0,1,2,3} Ð ÒØ Ò ØÓ Z À ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ¹ {1,2,3...} Ò Ò 1. ÖÙÙÒ W ÃÓÖØØ Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ {,,, } ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÓÐ ÑÑ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö ¹ Ð ÐÙ Ù º Æ Ò Ò ÚÐØØÑØØ ÓÐ º Ñ Ö Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º¾ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò W ÖÚÓ ÓÒ Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò ³Ñ ³º ÆÑ ÖÚÓØ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÖÚ ØØ ÓÓ Ø ÒÙÑ Ö Ø º ÂÓ Ò Ý Ø Ý Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö ØÙÒÒ Ô Ö ØÙÒÒ ÓÒÓ Ø ØÙÒÒ Ö ØÝ º Æ ¹ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÝÐ ØÝ Ò Ô Ð Ø Ò ØÙÓÒÒ ÑÔ Ò º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½ ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ax, X +Y, X Y, XY X Y (Y 0) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ a ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÙÒ Ø Óº Å Ø Ñ Ø Ò Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÑÑ ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó x sin(logx) Ø x f[h(x)] = (f h)(x). Ø ØØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ W Ì Ù¹ ÐÙ Ó ¾º¾µ ÓÒ Ñ Ö ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ V Ñ Ò ÓÙ¹ Ó S = {,,, } ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÖ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÖØ Ò ÚÖ V(W) = V[W(ω)] ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S V = {ÑÙ Ø ÔÙÒ Ò Ò}º ÃÓÖØØ Ô Ò ÓÖ¹ Ø Ø 52 Ôе ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ ÓÒ ωº ÇÐ ÓÓÒ Y ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÒØ Ò ØÓ Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾µº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö g(y) = Y 3 ( Ø h(y) = Y 3 ) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ã Ò Ø Ù ÑÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ω h[x(ω),y(ω)]

20 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÑÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó h ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ ÖÚÓ ÓÙ Ó {(X(ω),Y(ω)) ω Ω} R 2 º ÌØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø h(x,y)º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÁÒ ØØÓÖ µ ÇÐ ÓÓÒ A Ø Ô ØÙÑ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ωº Ì Ô ØÙÑ Ò A Ò ØØÓÖ I A ÖÚÓÒ 0 Ø 1 ÙÖ Ú Ø { 1, Ó ω A; I A (ω) = 0, Ó ω / A. ÂÓ Ø Ô ØÙÑ A ØØÙÙ Ò Ò I A = 1 ÑÙÙØÓ Ò I A = 0º ÁÒ ØØÓÖ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ P(I A = 1) = P(A) P(I A = 0) = P(A c ) = 1 P(A). ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ò ØØÓÖ Ú Ô ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Òº À Ø ØÒ Ð ÒØØ n ÖØ ÓÐ ÓÓÒ X k Ø Ô ØÙÑ Ò ³ ÖÙÙÒ kº ØÓ ³ 1 k nµ Ò ØØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º º½µ X = X 1 +X 2 + +X n ÓÒ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ Ó ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø Ò ÖÙÙÒ Òµ ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ö ØÝ Ø Ò ÙÑ Ø º À ¹ ÐÙ ÑÑ Ø Ø Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ X Ò ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò Ø ¹ Ò Ö Ð Ð ÒR Ò Ó ÓÙ ÓÓÒBº Å Ö ØÒ Ø Ô ØÙÑ {ω Ω X(ω) B} ÐÝ Ý Ø (X B)º Å Ð Ò ÒÒÓÒ Ó Ø Ò ÓÚ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ¾º º½µ P(X B) = P({ω Ω X(ω) B}),B Ω. Å Ö ÒØ P(X B) Ó Ó ØØ ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ÚÙÐÐ º ÃÓ B ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò Ö Ð Ð Ò R Ò Ó ÓÙ Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X B) ÑÖ ØØ Ð ÚØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÐÝ Ý Ø ÙÑ µ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº µ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÓÒ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó P X Ó Ð ØØ Ó Ò R Ò Ó ÓÙ ÓÓÒ B ÖÚÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ¾º º½µ ÑÙ ¹ Ø º ÂÓÙ ÓÓÒ B Ð Ø ØØÝ ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ P X (B)º µ ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò B = (,x] Ð B ÓÒ ÔÙÓÐ ÚÓ Ò ÚÐ Ò Ò ÒØ Ø Ø Ò ¾º º½µ ÒÓ ÐÐ Ò ¾º º¾µ P(X (,x]) = P({ω Ω X(ω) x}) = P(X x). Ê Ð Ø Ó ¾º º¾µ ÑÖ ØØ Ð Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ F X (x) = P(X x)º ÙÒ ¹ Ø ÓØ F X ÙØ ÙØ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º

21 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ ÓÒ R Ò Ó ÓÙ Ó Ð¹ Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Óº Ë ÓÒ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÂÓ P X (B) ØÙÒÒ Ø Ò ÐÐ B R Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö¹ ÚÓØ F X (x) ÐÐ x Rº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ Ð Ñ ØÝØÝÝ Ø ØÙÒØ Ú Ò Ò ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ Ò ÚÐ Ò B = (,x] ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø P X ((,x])º ÐÐØØÚ ÝÐÐ ÑÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò¹ º ÂÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ð ØØÝÚ Ý ¹ ØØ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ØÝ R Ò Ó ÓÙ ¹ Ó Ò ÐÙÓ º Ì Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú Ø ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º Ñ Ö ¾º½¾ ÇÐ ÓÓÒY ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐÑ Ò Ð ÒØ Ò ØÓ ¹ Ñ Ö ¾º½¼µº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ú Ø Ú ØØÑØ ÙØ Ò ³Ø Ñй Ð Ò Ý ÖÙÙÒ ³ Y = 1 Ø ³ ÓÖ ÒØ Ò ¾ ÖÙÙÒ ³ Y 2 ÑÖ ØØ ¹ Ð ÚØ Ø Ô ØÙÑ Òº Ì Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐÐÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Y B º ÂÓ B = (,2] Ò Ò B ÑÖ ØØ Ð ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ø Ô ØÙÑ Ò {ω Ω Y(ω) B}) = {RRL,RLR,RLL,LRR,LRL,LLR,LLL} P Y (B) = P({ω Ω Y(ω) B}) = 7/8º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ô ÒØ Ø Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ ØØÑ Ø Ô ØÙÑ º Ñ Ö ¾º½ Ë ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ê Ò ÓÑ Ï Ð µ È È ÚÓ Ô ¹ Ð Ú Ø ÖÙÙÒ Ð Ú º È Ð Ø ØÒ Ô Ö Ò Ð ÒØØ n ÖØ Ø Ñ Ö n = 20º Ò ÙÒ ØÙÐ ÖÙÙÒ Rµ È ÚÓ ØØ ÙÖÓÒ È ÚÓÐØ º ÃÙÒ ØÙÐ Ð Ú Lµ È Ú ÙÖÓÒ È ÚÓÐÐ º ÃÙÚ Ó ¾º¾ Ø ØÝÒ Ô Ð Ò ØÙÐÓ n = 20µ ÓÒ È ÚÓ ØØ ¾ ÙÖÓ º LRLRRRRLRLLRRRLRLLRL ÃÙÚ Ó ¾º¾º ÃÖÙÙÒÙ Ð Ú ¹Ô Ð Ò ØÙÐÓ Ò ØÝ ÙÒ Ô Ð Ò Ô ¹ ØÙÙ ÓÒ 20 ØØÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ È ÚÓ ØØ s ÙÖÓ ÙÒ n = s 20µ ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÓ ØØÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÎÓ ØØÓ S ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i i = 1,2,...,20µ ÙÑÑ Ò S 20 = X 1 +X 2 + +X 20,

22 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ { 1, ÙÒ ÖÙÙÒ iº ØÓ ; X i = 1, ÙÒ Ð Ú iº ØÓ. Å Ò ÚÓ ØÓÒ S 20 = s ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ô Ò Òµ ÇÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ø Ö Ø ÐÐ ÑÝ Ø Ù Ò Ù Ò È ÓÒ ÚÓ ØÓÐÐ Ô Ð Ò Ò º ÂÓ Ô Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ó ÚÓ ØØÓ 0µ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ØØ È ÓÒ Ó Ó Ó Ò ÓÐ ÐÐ ÐÐ ØÓÐÐ Ó Ó º ÂÓ È ÓÐ Ø ÔÔ ÓÐÐ ÐÐ ÐÐ ØÓÐÐ Ô Ø Ó Ò ÓÚ ÑÑ ØØ Ò ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÔÔ ÓÐÐ º ÂÓ Ò Ò Ô Ð ØÙÓØØ Ú Ø Ú Ò ÙÚ Ò Ù Ò ÃÙÚ Ó ¾º¾º ÃÙÚ ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ô Ø Ø (0,0) (1,S 1 ) (2,S 2 ) º º º (20,S 20 )º ÌÐÐ Ø ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ö Ò ÓÑ Û Ð µº Ö Ø ¹ Ô Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒ Ú ÐÝ ÓÒ Ø ÐÐ ØØ ØÙÒÒ Ú Ð ÊÏ Ê Ò ÓÑ Ï Ð Öµ Ð Ø ÓÖ Ó Ø ØÒµ ØÙÙ ÙÒÒ Ð Ò Ó ¹ ÐÐ Ø ÐÒµ Ø Ú ÑÑ ÐÐ ÔÓ Ó Òµº Ñ Ö ÃÙÚ Ó ¾º¾ Ù¹ Ú ÙÐ Ô Ø Ò (5,1) ÙØØ º ÊÏ ÓÒ ÙÒÒ Ò Ú ÐÝÒ Ð Ò Ý Ò Ð Ò ÔÓ Ó Ò x Ð Ø º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ò Ñ ÓÐÐ ¹ Ø Ò Ô Ð Ò ÙÐ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 2 20 º ÃÓ Ö ÓÒ Ö ØÓÒ ØÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø 2 20 Ô Ð Ò ÙÐ Ù ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº ¾º º½ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µµ X Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ x 1 x 2 Ò Ò {X x 1 } {X x 2 } ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ä Ù ¾º½µ Ó Ø ½µ P(X x 1 ) P(X x 2 ) ÓØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) ÓÒ Ú Ú Ú ¹ Ò Úµº Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ø ½º 0 F(x) 1, x Rº ¾º F(x) ÓÒ x Ò Ú Ú Ú Ò Úµ ÙÒ Ø Óº º F(x) ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ Ø º ÐÐ x 0 R ÓÒ lim x x 0 + F(x) = F(x 0) x x 0 + Ø Ö Ó ØØ ØØ x 0 Ð ØÝØÒ Ó ÐØ µº º lim F(x) = 0 lim x F(x) = 1º x Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ø Ö Ø ÐØ ÓÙ ÙØ Ò Ù Ò Ð Ñ Ò ÑÙÓ¹ ØÓ P(X = a), P(X < b), P(X b), P(X > a), P(X a), P(a X b), P(a < X b), P(a X < b) Ò P(a < X < b) ÓÐ Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ñ a b ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ P ÓÒ X Ò ÙÑ Ò

23 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ð ØØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÑÑ Ò P X º ÂØÑÑ Ø Ó Ð Ò Ò ÔÓ Ó Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ý Ø Ý Ø ÐÚº Ñ Ö ¾º º µ (a < X b) = {ω a < X(ω) b} = {ω X(ω) b} {ω X(ω) a}, Ó {ω X(ω) b} = {ω X(ω) a}+{ω a < X(ω) b}º Ë ÐÐÓ Ò Ó P({ω a < X(ω) b}) = F X (b) F X (a), P({ω X(ω) b} {ω X(ω) a}) = P({ω X(ω) b}) P({ω X(ω) a}) = P X (X b) P X (X a) = F X (b) F X (a). ÇÐ ÓÓÒ X Ò Ð Ò ÚÙÓ T Ð Ò ÙÒ Ω ÓÒ ÙÓÑ Ð Ø Ò ÓÙ Óº Ë ÐÐÓ Ò {X = 20} = {ω X(ω) = 20} = {ω 20 T(ω) < 21}) ÓÒ ¾¼¹ÚÙÓØ Ò ÙÓÑ Ð Ø Ò ÓÙ Óº ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X = {x 1,x 2,...,x n,...,} ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ p n = P(X = x n ), x n S X, n = 1,2,... ÂÓ x / S X Ò Ò P(X = x) = 0º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø p n ÓÒ ÐÑ Ø ØØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ Òº Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X B) = x n B ÐÐ B S X º ÂÓ Ø Ö Ð ÐÙ Ù x Ó Ø p n F X (x) = P(X x) = x n xp n ÐÐ a < b P(a < X b) = F X (b) F X (a) = p n. a<x n b Ñ Ö ¾º½ Ñ Ö ¾º½¼ Ø ØØ Ò Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S = {0,1,2, 3}º ÆÝØ {ω X = 0} = {LLL}, {ω X = 1} = {RLL,LRL,LLR}, {ω X = 2} = {RRL,LRR,RLR}, {ω X = 3} = {RRR},

24 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ë ÐÐÓ Ò F X (0) = P(X 0) = P({LLL}) = 1/8, F X (1) = P(X 1) = P({LLL,RLL,LRL,LLR}) = 4/8, F X (2) = P(X 2) = P({LLL,RLL,LRL,LLR,RRL,LRR,RLR}) = 7/8, F X (3) = P(X 3) = P({LLL,RLL,LRL,LLR,RRL,LRR,RLR,RRR}) = 1. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 0, ÙÒ x < 0; 1, ÙÒ 0 x < 1; 8 4 F X (x) =, ÙÒ 1 x < 2; 8 7, ÙÒ 2 x < 3; 8 1, ÙÒ x 3. F X (x) f X (x) x x ÃÙÚ Ó ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X (x) ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ f X (x) ÙÚ Øº Ñ Ö Ò ¾º½ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº È Ø ÝÐ Ø Ò Ô ¹ Ò ØØ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ÎÓ ÑÑ ÒÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ö ØØ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 0, x < 0; F(x) = x 2, 0 x < 1; 1, 1 x. à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ( 1 P 2 < X 3 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) = F F = =

25 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ½ f(x) F(x) x F ( 3 1 ) 4 F ( ) x ÃÙÚ Ó ¾º º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x) = 2x ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) = x 2 º ( 3 P 4 < X 3 ) = F 2 ( ) 3 F 2 ( ) 3 = 1 4 ( ) 2 3 = Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø ÙÚÙÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X Ø ÙÚÙÙ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ¾º½ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X (x) ÓÒ x Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ö ØØ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ x Ò ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ¾º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ð ØØÝÚ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ÒÒ ÓÒ ÑÓ¹ Ò Ø ÝØØ ÐÔÓ Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ö Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÑÖ ÖÚÓ x i, i 1 Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(X = x i ), i 1º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó f X ÙÖ Ú Ø ¾º º µ f X (x) = { P(X = x i ), ÙÒ x = x i, i 1 0, ÑÙÙØÓ Òº ÙÒØ ÓØ f X ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Ø Ý ÙÒ Ø Ó º Ö Ø Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ ÒÓØ Ò Ø Ú ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Ó º

26 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÐÙ ØØ Ñ Ö ØÒ S X = X(Ω) = {x X(ω) = x, ω Ω} Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÙÚ Ù f X : S X [0,1]. ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØf X (x) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÙØØ f X (x) = 0 Ò ÙÒ x / S X º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÓØ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Æ ÒÔ Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò Ó Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Óº Ä Ù ¾º½¼ Ø ØØÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ¹ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º º Ä Ù ¾º½¼ Ê Ð Ø ÓÐÐ ¾º º µ ÑÖ Ø ÐÐÝÐÐ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ f X ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º f X (x) 0 ÐÐ x Rº ¾º Å ÐÐ Ø Ò B R, P(X B) = º ÂÓ F X ÓÒ X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò Ò F X (x) = x i x x i B f X (x i ) Ñ x i S X º f X (x i ) x i Rf X (x i ) = 1, x i S X. º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x i < x i+1 ÙÒ i 1º Ë ÐÐÓ Ò f X (x i+1 ) = F X (x i+1 ) F X (x i ), i 1, f X (x 1 ) = F X (x 1 ). Ä Ù Ò ¾º½¼ Ó 3 4 ÓÒ Ø ØØÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ÈÓÖÖ ÙÒØ ÓÒ F(x) ³ ÝÔÔÝ Ø³ F X (x i+1 ) F X (x i ) ÓÚ Ø Ô Ø x 1 x 2 º º º ÝÔÔÝ Ø Ò ÙÙÖÙÙ Ø ÓÚ Ø f X (x 1 ) f X (x 2 ) º º º ÂÓ Ñ Ö f(x) = 1 2x, x = 1,2,..., Ò Ò Ñ Ö F(3.5) = P(x 3.5) = f(1)+f(2)+f(3) = = 7 8. Ñ Ö ¾º½ Â Ø Ø Ò Ñ Ö ¾º½ Ó Ø ØØ Ò Ö ØÓÒØ Ð Òع Ø 3 ÖØ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º ÅÖ Ø ØÒ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÆÝØ X 1 (0) = {LLL}, X 1 (1) = {RLL,LRL,LLR}, X 1 (2) = {RRL,LRR,RLR}, X 1 (3) = {RRR},

27 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ñ Ñ Ö ÒØ X 1 (x) = {ω X(ω) = x} ÓÒ Ò ÐÐ Ø Ò Ð Ø ¹ Ô Ù Ø Ò ω ÓÙ Ó ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ô Ø Ò xº ÃÓ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(X = 0) = P(X 1 (0)) = P({LLL}) = 1/8, P(X = 1) = P(X 1 (1)) = P({RLL,LRL,LLR} = 3/8, P(X = 2) = P(X 1 (2)) = P({RRL,LRR,RLR} = 3/8, P(X = 3) = P(X 1 (3)) = P({RRR} = 1/8. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 1, ÙÒ x = 0; 8 3, ÙÒ x = 1; 8 3 f X (x) =, ÙÒ x = 2; 8 1, ÙÒ x = 3; 8 0, ÑÙÙØÓ Òº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {x 1,x 2,...,x N }º ÂÓ f(x k ) = 1 N ÐÐ k = 1,2,...,N, Ò Ò X ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø ÙÑ Ñ Ö ØÒ X Tasd(x 1,x 2,...,x N )º ÀÝÚ Ò Ù ÒX Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒS = {1,2,...,N} ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Tasd(1,2,...,N)º Ñ Ö ÒÓÔ Ò ØÓ ÐÑÐÙÚÙÒ X ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {1,2,3,4,5,6} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) = 1 6, x = 1,2,3,4,5,6. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f X ØØ ¾º º µ f X (x) 0 ÐÐ x R, P(X B) = f X (x)dx, B R. ÙÒØ ÓØ f X ÙØ ÙØ Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó º ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ä Ù ¾º½½ Ø ØØÚØ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¾º½½ Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ ¾º º µ ÓÒ Ù¹ Ö Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø B

28 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ½º F X (x) = x ¾º f X (x)dx = R f X (t)dt ÐÐ x Rº f X (x)dx = 1º º F X (x) = d dx F X(x) = f X (x) Ô Ø x R Ó f X (x) ÓÒ Ø ÙÚ º Ä Ù ¾º½½ Ó 1 Ú Ð Ø Ò B = (,x] 2. Ó B = Rº Ä Ù ¾º½¼ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ Ò Ò Ô Ð ÙØÙÙ Ý Ø ÒÐ ÙÙÒ Ð Ù ¾º½½ ÒØ ÖÓ ÒØ Òº ÁÒØ ÖÓ ÒØ ÐÙ B ÓÒ ÚÐ Ø ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓÖ Ò¹ Ø Ò Ö ÐÐ Ø ÑÖ Ø ÚÐ º ÁÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø Ò ÐÝÝ Ø ØÙØØÙ Ê Ñ ¹ Ò Ò ÒØ Ö Ð º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º ÂÓ F ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÐÐ ¹ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØØ F X = F º Å ÐÐÓ Ò ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ø ØØÝ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ØÝØÝÝ ÓÐÐ (1) f(x) 0 ÐÐ x R (2) x i f(x i ) = 1 ÙÒ X ÓÒ Ö Ø¹ Ø f X (x)dx = 1 ÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù Ý Ò Ô Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(X = x) = 0 ÐÐ x Rº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 2x ÙÒ 0 < x < 1º ÌÑÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø ÓØ 0, x < 0; F(x) = x 2, 0 x < 1; 1, 1 x. Ø Ö Ø ÐØ Ò Ñ Ö ¾º½ º ÆÝØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ F(x) = x 0 2tdt = x 2, ÙÒ 0 x < 1º ÃÙÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö¹ ØÝÑ ÙÒ Ø Ó F (x) = d dx x2 = 2x, 0 x < 1. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ º ¹ Ñ Ö P ( 1 X 3 2 4) Ò ÙÓÖ Ò y = 2x x¹ Ð Ò ÚÐ Ò ÚÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò ( 1 P 2 X 3 ) = 4 3/4 1/2 2xdx = 5 15, Ó Ø ØÝ Ø ÚÓ Ò ØØ ÑÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º

29 ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ó ØØ Ó Ú Ð Ø Ò n Ð ÓØ N Ò Ð ÓÒ ÓÙ Ó Ø n Nµ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó º Î Ð ÒØ ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò ÓØ ÒÒ º À ¹ ÐÙØ Ò Ñ Ö Ø Ø ÒÒ Ò ÔÖ ÒØ Ò Ú Ð Ñ ÓÒ Ó Ò ÒÒ ØÙ º à ÒÒ ØÙ Ø ÚÓ Ø ØÓ Ø Ù Ø Ð Ñ ÐÐ Ò Ø ÐØ Ø ÓÚ Ø Ò Øº ÇÒ ÝØÒÒ Ñ ÓØÓÒØ Ø Ø ÐÐ ÔÓØ Ò¹ Ø Ð Ò Ø º Ë Ø Ò ÓØÓ Ð Ú Ð Ø Ò Ú Ò Ó Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ò Øº ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò Ó ¹ ÙØÙØ Ò Ð Øº Æ Ñ ØÑÑ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò ÓØ ÒØ Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ º Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒÒ ÓØ ÒØ Ëǵº ËÇ Ñ ÓÐÐ Ø n Ò Ó Ó Ø ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ¹ º ËÇ ÐÐ Ú Ð ØØÙ ÓØÓ Ø ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ ØÙÒÒ ÓØÓ º Ò ÖØ ØÙÒÒ ÓØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò Ø Ò Ø¹ Ø Ù Ò Ð Ó ÚÓ ØÙÐÐ ÓØÓ Ò ÓÖ ÒØ Ò ÖÖ Òº Î Ð Ø Ò n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ N غ Ø ÐÐ Ò Ð ÓØ Ú Ð ØÙ Ö ØÝ º Ë ÐÐÓ Ò ½º Ð Ó ÚÓ Ò Ú ¹ Ð Ø N ÐÐ Ø Ú ÐÐ ¾º Ð Ó (N 1) ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó ØÓ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ö Ð Ó Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ò º ÄÓÔÙÐØ nº Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø [N (n 1)] ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N(N 1)(N 2) (N n+1) = N (n). ÇØÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÒÒ Ø Ó Ó Ò Ò N (n) Ø Ö Ø ØÝ Ø ÓØÓ Ø ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/N (n) º ÃÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÓØÓ Ø Ò Ð Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) N n ÓØÓ Ø ÓÐ Ø Ø Ò Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò Ó Ò ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÓÒ 1 ( N n), Ñ ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) N = N(n). n n! ÇØÓ ÓÒ ( N n) ÔÔ Ð ØØ ËÇ Ò ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ñ Ö ¾º½ ÅÓÒ ÓÖØØ Ô Ð Ø Ò n Ò ÓÖØ Ò ÓØÓ µ Ô ¹ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Óµ Ó ÓÒ N ÓÖØØ º È ÓÒ ÝÚ Ò Ó Ø ØØÙ Ó Ô Ò ÓÖØØ Ò N! Ö ØÝ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØn ÓÖع Ø ÓÒ ØØÙ ÝÚ Ò Ó Ø ØÙ Ø Ô Ø º Ë ÐÐ Ô Ò Ö ØÝ Ó ÒÑ n ÓÖØØ ÓÚ Ø Ø ØÝ Ö ØÝ Ñ Ö Ô Ò ÔÐе ÓÒ (N n)! ÔÔ Ð ØØ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ n ÓÖØØ Ø ØÝ Ö ØÝ ÓÒ (N n)! N! = 1 N (n). ÂÓ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/N (n) Ó Ò ÓØÓ Ò Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ ( N n) º

30 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Å ÓÒ Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÓÖØØ Ô Ø N = 52µ Ò Ô Ø ÙÓÖ ( 1, 2, 3, 4, 5) Ö Ð Ø Ò Ú Ò Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ ( 52 5) = ÓØ Ò Ô Ø ÙÓÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ º ÂÓ Ð ÓÖØØ Ò Ô Ø Ó ØÙÐÐ ÒÒ ØÙ Ö ØÝ (1,2,3,4,5) Ò Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ 52 (5) = Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ ¹ Ò ( 1, 2, 3, 4, 5) ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ º ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ a + b Ð ÓØ Ñ Ö Ú Ø ÓÒ a Ñ Ø bò Ø Ø ØÙÓØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒaÚ ÐÐ Ø bú Ö Ø ÒØ ØÙÓØ Ø¹ Ø º Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø n Ò Ó Ó Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 1 ÓÐ Ú Ð Ó¹ Ø n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 2 Ì Ú ÒÓÑ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ ÝØ ØØÝ ØÙÒÒ Ó ÓÒ Ô ÐÐÓ Ò Ú Ð ÒØ ÙÙÖÒ Ø º ÍÙÖÒ ÓÒ a Ú Ð Ó Ø b ÑÙ Ø Ô ÐÐÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ n Ô ÐÐÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ Ì ÙÐÙ Ó ¾º º Î Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ö ÐÐ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø ÌÝÝÔÔ ½ ÌÝÝÔÔ ¾ Ø Ò ÈÓÔÙÐ Ø Ó a b a+b ÇØÓ x n x n ÈÓÔÙÐ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò ( ) a+b n Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø n Ò Ó¹ Ó Ø ÓØÓ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÃÓ a Ø ØÝÝÔÔ 1 ÓÐ Ú Ø Ð Ó Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø x ÔÔ Ð ØØ ( ) ( a x Ø Ú ÐÐ n x Ð ÓØ b Ø b n x) Ø Ú ÐÐ Ò Ò ( )( a b x n x) ÐÐ Ø ÓØÓ Ø Ó ÓÒ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 1 n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 2 ÓÐ Ú Ð ÓØ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØÝÝÔ¹ Ô 1 ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ( a b ) ¾º º½µ f(x) = x)( n x ), x = 0,1,2,... ( a+b n ÐÐ Ø ØÝ Ø ÓØ ÒØ ¹ Ø ÐÑ Ø Ø ØÝ Ø ÙÖ ØØ ØÓ Ò x a n x b ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÚÓ Ñ º ÂÓ ÓØ ÚØ ÓÐ ÚÓ Ñ Ò Ò f(x) = 0º  ÙÑ ¾º º½µ ÙØ ÙØ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ ÙÑ º Ë ÓÒ ØÖ ÑÝ Ñ Ö Ó Ò Ò Ò º Ø Ö Ó Ò Ø Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒÒ º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ Å Ò Ø ÓÐÐ ÙÙ ÔÖÓ ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÑÝ Ú Ö ÐÐ ØÙÓØØ Ø ÓÒ Ó ÓØ ØØ Ú º Ö ØÝ ÐÐ ÓÒ ÝØ Ö Ð Ð ÙÒÚ ÖÑ ØÙ Ö Ø Ð¹ Ñ ÓØØ ÚÓ Ø Ò Ô Ø ÝÐÐ Ö ØØÚÒ ÝÚ Ð ØÙº Î Ö ÐÐ Ø ØÙÓØØ Ø ÓÐ

31 ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ú ØØ Ú ÔÓ Ø ØØ Ú ÓØØ Ò ÚØ ÓÙØÙ ÐÐ º Ì ØÝ ¹ Ø ÚÓ Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò ØÙÓØ Ö ØØÚÒ Ø Ö Ø º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ø Ö ØÙ ÓÐ ÝØÒÒ ÝÐ Ò Ö Ð Ø Ò Ò ÓÐ Ø ÐÓÙ ÐÐ Ø ÒÒ ØØ Ú Ø ÓÒ ÓÔ Ñ ÓØÓÒØ Ó Ø Ö ØÙ Ñ Ö ØÙ Ó ØÙÓØØ Òº ÇÒ ÝÐ Ò ÝØ ØØÚ Ø Ö ØÙ ÓØ ÒØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÓØØ Ø ÓÚ Ø Ó Ó Ú Ö ÐÐ Ø ÝÚ ÝØØÚ Ò ØÙ¹ Ð Ú Ø Ð ÙÒ Ø Ö ØÙ Ò N Ò ØÙÓØØ Ò Ö º Î Ð Ø Ò Ó Ø Ö Ø ØÙÒÒ Ø n ØÙÓØ ØØ Ø Ö ØÙ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ý ØÒ x Ú ÐÐ Ø º ÂÓ x ÓÒ ÙÙÖ ØÓ ÒÒ Ø Ö ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ú ÐÐ Ö Ô Ø ÝÐØ Ø Ô ÒÒ Ø ÓØ Ö ØÙ Òº ÎÓ ÑÑ ÝØØ ÔØ ÒØ ÀÝÚ Ý Ö Ó x h ÑÙÙØÓ Ò ÝÐ Ö Ø Ø Ø Ð µº ÆÝØ ÓÐ Ú Ð ØØ Ú ÝÚ ÝÑ Ö h Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ø º ÇÒ Ø ¹ ØÝ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÓØÓ x > h Ú Ú ÐÐ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ v ØÙÓ¹ Ø ¹ Ö ÓÐ Ò Ð Ò ÙÙÖ º ÌÓ ÐØ ÚÓ ØÓ x c ØÓØ ÙØÙ Ú ØÙÓØ ¹ Ö ÓÐ Ð Ú ÐÐ º ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÔØÒØÚ Ö Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø ½º Ð Ò Ú Ö Ö Ó ÓÒ Ú Ò Ú ÐÐ ÝÐØÒ ¾º Ð Ò Ú Ö Ö Ó ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ú ÐÐ ÝÚ ÝØÒº ÂÓ ÝÚ ÝÑ Ö h Ú Ø Ø Ò Ô Ò Ò 2º Ð Ò Ú Ö ÑÙØØ 1º Ð Ò Ú Ö Ú º ÅÓÐ ÑÔ Ú Ö Ø ÚÓ Ò Ô Ò ÒØ Ñ Ò Ø Ú Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ÓØÓ Ó Ó n ÑÙØØ Ø ÒÓ Ø Ø Ö ØÙ Ù Ø ÒÒÙ º ÂÓØØ h Ò n Ò ÖÚÓØ ÚÓ Ø Ò ÑÖ ØØ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÓÐ ØÙÒÒ ØØ Ú Ø Ö ØÙ Ù ¹ Ø ÒÒÙ Ø 1º 2º Ð Ò Ú Ö Ò ÙØØ Ñ Ø Ù Ø ÒÒ٠غ ÇÐ ÑÝ Ø ØØÚ Ú Ö Ð Ø Ò ÐÙ ÙÑÖÒ v ÙÑ ÝÐ ØÙÓØ ¹ Ö Òº ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Î Ð Ø Ò n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ó ÓÒ N Ð ÓØ º ØØ Ð ÑÑ ØØ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ð ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÙÓ Ú Ø {1,2,...,N}º ÇØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÓØÓ Ò Ù ÑÑ Ò Ù Ò Ö¹ Ö Òº ÇÒ Ñ Ö Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ Ñ Ð Ó ØÓ ØÙÚ Ø n ÖØ º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ Ú Ð ÒÒ Ò ÔÖÓ Ò Ó Ð ÓØ Ú Ð Ø Ò Ô Ö Òº ÂÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ð Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÓÒ ÑÙØØ Ø ÒÒ Ò ØÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ ÑÙ Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò 1º Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø N ÐÐ Ø Ú ÐÐ 2º Ð Ó ÑÝ N ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙÐØ nº Ð Ó N ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó ÐÐ Ú Ð ÒÒÓ Ú Ð ØÙØ ÚÓ Ú Ø ØÙÐÐ ÙÙ Ø Ò ÓØÓ Òº Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò Ú Ð ØØÙ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N n º Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓØÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò Ó Ñ ÓÐÐ Ø N n Ö¹ Ø ØØÝ ÓÒÓ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº Æ Ò Ú Ð ØØÙ ÓØÓ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ Ëǵ Ô Ð ÙØØ Òº

32 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ Ú Ð Ø Ò ÓÐÑ ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð ÙØØ Ò ÒÙÑ ÖÓ ¹ Ø ¼ ½ ¾ º º º º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò 10 3 = 1000 Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø Ø¹ ØÝ ÓÒÓ ¼¼¼ ¼¼½ ¼¼¾ º º º º Ç ÓÙ Ó {1,2,3} ÚÓ Ò Ú Ð Ø 3! = 6 Ø ¹ Ú ÐÐ ÓØ Ò ÓØÓ Ò {1,2,3} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.006º ÇØÓ {1,1,3} ÚÓ Ò 3 ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ö Ø ØÝØ ÓÒÓØ (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) й ØÚØ Ñ Ø Ð Óغ ÇØÓ Ò {1,1,3} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.003º ÇØÓ {1,1,1} Ò Ú Ò Ý ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓØ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.001º ÇØ ÒÒ ¹ Ô Ð ÙØØ Ò Ö ØÑØØ Ñص ÓØÓ Ø ÚØ ÓÐ Ý Ø ØÓ ÒÒ ÙØ Ò ÓØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ A i Ø Ô ØÙÑ ØØ Ú Ð Ø Ò iº Ð Ó i = 1,2,...,Nº ÃÓ Ú Ð Ò¹ Ò Ò Ó Òµ ØÙÐÓ ÓÒ Ú ÖÑ Ø Ý Ú Ò Ý Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A N Ò Ò Ω = A 1 A 2 A N ÓÒ Ó Ò Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Òµ Ð ØØÝÚÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º Î Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÒ iº Ð Ó ØÓ ØÙÙ ÓØÓ n i 0 n i nµ ÖØ i = 1,2,...,Nµº Ë ÐÐÓ Ò n i=1 n i = n Ö Ð Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓ Ò ¾º º½µ ÑÙ Ò ( ) n n! = n 1 n 2... n N n 1!n 2! n N!. ÇÐ ÓÓÒ X i Ð ÓÒ i ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÆÝØ Ó Ò X i Ò Ö¹ ÚÓ ÐÙ ÓÒ {0,1,2,...,n} X 1 +X 2 + +X N = nº Å Ö ØÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝØØP(X 1 = n 1,X 2 = n 2,...,X N = n N ) Ý Ò ÖØ Ø P(n 1,n 2,...,n N ) Ó ÚÓ Ò Ð Ú ÐÐ ( ) n 1 P(n 1,n 2,...,n N ) = n 1 n 2... n N N n. Ñ Ö ¾º¾¼ Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø {A 1,A 2,A 3 } N = 3µ5 ÖØ n = 5µ Ð Ó Ô Ð ÙØØ Òº Ë ÐÐÓ ÒA 1 A 1 A 3 A 1 A 3 ÓÒ Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒÓ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Òµ Ñ X 1 = 3 X 2 = 0,X 3 = 2 X 1 + X 2 + X 3 = 5º ÂÓ¹ ÒÓÒ A 1 A 1 A 3 A 1 A 3 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÑÓ Ò Ù Ò Ó Ò Ú Ò Ô ØÙ Ò Ö¹ Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/3 5 º ÃÓ Ö Ð ØÙÐÓ ÓÒÓ Ó X 1 = 3 X 2 = 0 X 3 = 2 ÓÒ ( ) 5 = 5! !0!2! = 10, Ò Ò ( ) 5 1 P(X 1 = 3,X 2 = 0,X 3 = 2) = = = Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ n Ò Ó Ó Ò Ö Ø ØØÝÝÒ ÓØÓ Ò ØÙÐ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø ÓÒ n Ò ÑÑ Ø Ð ÓØ n Nµ Ñ Ø Ò Ö ØÝ Ãݹ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ X 1 = X 2 = = X n = 1 X n+1 = = X N = 0º ÌÑÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(1,1,...,1,0,...,0) = n! 1 (1!) n (0!) N n N = n! n N n.

33 ¾º º ÒÓÑ ÙÑ ÇØÓ Ò Ð ÓØ Ö Ð Ë ÐÐ Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó Ñ Ò Ð Ó ØÓ ØÙ ÓÒ N (n) = N(N 1) (N n+1) ÔÔ Ð ØØ º ÂÓ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ñ Ò Ð Ó ØÓ ØÙ ÓÒ ¾º º½µ P(³Ë Ñ ØÓ ØÙ³) = N(n) N n = N! (N n)!n n. ÇÒ ÐÚ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¾º º½µ ÓÒ 0 Ó n > Nº ÀÙÓÑ ØØ N (n) = 0 Ó n > Nº ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ Ñ Ö ¾º µ N = 365 n = rº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ËØ ÖÐ Ò Ò Ú ¾º º µ ÖØÓ Ñ Ò N! (N 1)! Ò Ð ÖÚÓ ¾º º¾µ ( ) N n+1/2 N! N (N n)!n e n. n N n ÃÙÒ N n ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò Ð Ù ¾º º¾µ Ð ØÝÝ Ý Øº ÂÓ ÝÚ Ò ÙÙÖ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ú Ð Ø Òn Ð ÓØ n Nµ Ô Ð ÙØØ Ò Ò Ò ÓÒ ÝÚ Ò ÔØÓ ÒÒ Ø ØØ Ñ Ð Ó Ú Ð Ø Ò Ù ÑÑ Ò Ù Ò ÖÖ Òº ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÓÚ Ø ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ò ÒØØ Ø ÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó N ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÓØÓ Ó Ó nº ¾º ÒÓÑ ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ ÒÐ Ð Ó Ø a ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A b ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ Bº Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø n Ð ÓØ Ô Ð ÙØØ Òº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ð ÓØ ØÝÝÔÔ A n x Ð ÓØ ØÝÝÔÔ B ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ú Ø Ú ÙÙÖÒ Ñ ÐÐ Ù Ò ÝÔ Ö ÓÑ Ø¹ Ö Ò ÙÑ Ò Ý Ø Ý º ÍÙÖÒ ÓÒ a Ú Ð Ó Ø b ÑÙ Ø Ô ÐÐÓ º Î ¹ Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò n Ô ÐÐÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ ÃÓ ÓØ ÒØ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò ÙÙÖÒ Ò ÐØ ÑÙÙØÙº Ì ÙÐÙ Ó ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÌÝÝÔÔ ÌÝÝÔÔ Ø Ò ÈÓÔÙÐ Ø Ó a b a+b ÇØÓ x n x n Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò n Ò Ó Ó Ø Ò Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ (a+b) n º Ë ÐÐ Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó ÓÒ Ò Ò

34 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ð Ó Ø ØØ Ò n x ØÝÝÔÔ B ÓÒ a x b n x º ( ÌÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò x Ò Ð ÓÒ Ô n Ò Ô ØÙ ÓÒÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø n ) x Ø Ú ÐÐ º ÇØÓ Ö ØÑØØ Ñ µ Ó ÓÒ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ B ÓÐ Ú Ð Ó Ø ÓÒ ( n x) a x b n x ÔÔ Ð ØØ º Çй ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n a x b n x f(x) = x (a+b) n, x = 0,1,2,...,n. Å Ö ØÒ ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ó ÙÙØØ p = a 1 p = a+b b ÓÒ ØÝÝÔÔ B ÓÐ Ú Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ º ÆÝØ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó a+b ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ò Ø Ú ÐÐ ÑÑ ØÝ ÑÙÓ Ó ( ) n ¾º º½µ f(x) = p x (1 p) n x, x = 0,1,2,...,n. x ÙÒ Ø Ó ¾º º½µ ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÃÙÒ X ÒÓ٠ع Ø ÒÓÑ ÙÑ Ñ Ö Ø ÑÑ X Bin(n,p)º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÃÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÓØÓ Ó Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ò Ò¹ Ò ÐØ Ó Ò Ò Ñ ÒØ Ú Ø Ò ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ú Ô Ð ÙØØ ¹ Ñ ØØ º ÃÙÒ a + b ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò n Ñ Ö ØÒ a + b nµ Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ ¾º º½µ ÓÒ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ¾º º½µ ÝÚ Ð ÖÚÓº ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÚÙй Ð ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º½¾ ÂÓ a+b n Ò Ò ( a b ) ( ) ¾º º¾µ x)( n x n ) p x (1 p) n x, x = 0,1,2,..., x ( a+b n Ñ p = a/(a+b)º ÃÓ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÒ ÐÔÓÑÔ Ð Ù Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ ¹ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÚÓ Ò Ö Ð Ø ÓØ ¾º º¾µ ÝØØ Ð ÒÒ ÝÚ ÙÒ a+b nº ÌÓ Ò ÒÝ Ý ÐÐ Ó ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ø Ö Ø ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø ÙÓÖ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Ø Ú a+b ÓÒ ÙÙÖ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ø ÒÚ ØÓ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÔÒ Ø Ú ÙÙ P(A) 0 A Ωº

35 Ø ÒÚ ØÓ ½ ÅÓÒÓØÓÒ ÙÙ P(A) P(B) ÙÒ A B Ωº Ø Ú ÙÙ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØØ P(A) = n P(A i ) i=1 P(A c ) = 1 P(A)º Ó A 1 A 2 º º ºA n ÓÒ A Ò Óº Ø ÒÐ ÙÐ Ù P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)º ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(ω i ) = 1 n, ÐÐ ω i Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n }; P(A) = p(ω i ) = A n = ³ ÙÓØ٠س. ³ ³ ω i A ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÂÖ Ø ØØÝ Ò n¹óøó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ó Ó ÓÒ N ½µ Ú Ð ÒØ Ô ÐÙØØ Ò N n ¾µ Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ N (n) = N(N 1)(N 2) (N n+1), 0 n N N (N) = N!º ÇØÓ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µ Ð n¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ( ) N = N(n) n n! = N! n!(n n)!. ÅÙÐØ ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n = n 1 n 2... n k n! n 1!n 2! n k!. ÒÓÑ Ð Ù (1+t) n = n r=0 ( ) n t r, r ÐÐ t R ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ nº

36 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÙÚ Ù X: Ω Rº X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X(ω) S Rº ÂÓ S ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò Ò X ÓÒ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ax, X +Y, X Y, XY ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ a ÓÒ Ö Ð Ú Óº X Y, Y 0 Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ P(X A) = x AP(X = x) ÐÐ A Sº X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F F(x) = P(X x)º ÂÓ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ö ØØ Ò Ò f(x) = P(X = x)º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) = ( a b ) x)( n x ), x a n x b. ( a+b n ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0,1,...,n. ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò ÓÓÑ Ø ÇÐ ÓÓÒF Ó ÒΩ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ σ¹ Ð Ö º ÃÙÚ Ù P: F R ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø Ò Ó ½º 0 P(A) 1 ÐÐ A Fº ¾º P( ) = 0 P(Ω) = 1º º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A i F i = 1,2,...µ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò ( P i=1 A i ) = P(A i ). i=1

37 À Ö Ó ØÙ À Ö Ó ØÙ ½º Ä ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø µ 6 (3) 0 (5) 5 (0) 7! ( ( 7 ) 7 ) 3 3 º µ ( ( 10) 14 ( ) 1.5 ) º ¾º ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù 0 p 1º Ç Ó Ø ØØ µ n n x=0( x) p x (1 p) n x = 1 Î Å Ö Ø (1 p) + p = (1 p)(1 + p ) ÝØ ÒÓÑ ¹ 1 p Ð Ù ØØ ºµ µ n x=0 x( n x) p x (1 p) n x = npº Î ÃÝØ ÝÚ ØÙÐÓ Ø x ( ) ( n x = n n 1 x 1) ÒÓÑ Ð Ù ØØ ºµ º µ Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø ¾ ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º 39 Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ µ Î Ð Ø Ò ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º 39 Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÄÓØØÓµº Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ µ Î Ð Ø Ò ¾ ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º n Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÐÐ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ º Ã Ø ØÓ Ø Ú Ö ÒÝØØ Ø ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú º Ë Ò¹ ÒÙ Ò Ø ÒÝØØ Ø ÙÒÓ ØÙ Ú Ø Ñ Ö Ø ÑØØ ÓØ Ò Ò ÓÐ Ò ÐÝ Ó ¹ Ø Ú ÙÙ Ø Ò Ý Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ Ö ØÝ µº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ò ÐÝÝ Ò ÑÑ Ø ÔÓ Ø Ú µ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ÑÐÐ Ò Ò ÐÝÝ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ô Ö Ò º Ö Ò Ð Ø Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó Ò Ó ÐÐ ØÙ ½ Ñ Ø ¾¼ Ò ¹ Ø º ÃÝÑÑ Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓØ Ð Ø ØÙØ ØØ Ú ÙÙØØ Ó ¹ ØÓ Ó ØÓÖÝ Ñµ ÐÓÔÙØ ÙÙÐÙ Ú Ø Ú ÖØ ÐÙÖÝ ÑÒº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ØØ Ó ØÓÖÝ ÑÒ ØÙÐ µ Ò Ò Ý ÙÑÔ Ò Ù ÙÔÙÓÐØ µ Ò Ò ÓÐÑ ÙÑÔ Ò Ù ÙÔÙÓÐØ º µ Î Ð Ø Ò 30 ÒÒÝ Ò ØÙÓØ ¹ Ö Ø 4 ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ø Ö ØÙ Òº ÂÓ ØÙÓØ ¹ Ö ÓÒ 3 Ú ÐÐ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÐÐ ÓØÓ ÓÒ º Ø ÑÐÐ Ò 2 Ú ÐÐ Ø º Ò Ò 2 Ú ÐÐ Ø

38 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ µ ÇÐ ÓÓÒ 30 Ò ÒÒÝ Ò ØÙÓØ ¹ Ö d Ú ÐÐ Ø º ÌÙÓØ ¹ Ö Ø Ø Ö ¹ Ø Ø Ò n Ò ÒÒÝ Ò ÓØÓ º Ö Ð Ø ØÒ ÑÝÝÒØ Ò Ó ÓØÓ ÓÐ Ý ØÒ Ú ÐÐ Ø ÑÙÙØÓ Ò Ö Ô Ð ÙØ Ø Òº À ÐÙØ Ò ØØ5Ú Ð¹ Ð Ø ÐØÚØ ØÙÓØ ¹ ÖØ Ô Ð ÙØ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ p 0.95º ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ Ó Ó ÐÐÓ Ò Ø ÖÚ Ø Ò º µ Ë Ó Ø Ø Ò 22 Ô ÐÐÓ ØÙÒÒ Ø 120 Ð Ø ÓÓÒº Å ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ØØ Ý Ò Ð Ø Ó ÓÐ Ò ÑÔ Ù Ò Ý Ô ÐÐÓ µ Ö 120 Ô ÚÒ Ó Ô ØØ Ò 22 Ð ÒÒ ÓÒ ØØ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ñ Ò Ô ÚÒ Ô Ø Ò Ò Ò 2 ÓÒ Ø¹ Ø Ó Ö ÔÔ Ù Ø Ó ØØÙÚ Ø ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ º º Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò 3 Ô ÐÐÓ Ð Ø Ó Ø Ó ÓÒ 3 ÔÙÒ ¹ Ø 4 ÐØ Ø 5 Ò Ø Ô ÐÐÓ º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ô ÐÐÓØ ÓÚ Ø Ñ ÒÚÖ µ Ô ÐÐÓØ ÓÚ Ø Ö ÚÖ º Ä Ú Ø Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÙÒ ÓØ ÒØ ÓÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º º Ö Ú Ð ÐÔÓ Ò Ù Ò ÙÔÙÒ Ø Ø Ò ÙÙÖ ÒÒ Ò Ú Ð Ñ Ð Ô Ý ÐÝ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ 100 Ò Ð Ò ÓØÓ Ú Ð ÐÔÓ Ø Ò ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Ó Ø º Ó Ø ÓÐ Ú Ø A Bº Î Ð Ò ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ¹ ØÒ ØØ A Ò ÒÒ ØÙ ÓÐ ± B Ò ÒÒ ØÙ ±º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ý ÐÝ µ 51 Ò Ð ÒÒ ØØ A Ø µ ÝÐ ÔÙÓÐ Ø ÒÒ ØØ A Ø µ ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ ÓÒ Ø ØÚ ÓØØ ÓØÓ ÓÐ B Ò ÒÒ ØØ Ò ÑÑÒ Ù Ò A Ò ÒÒ ØØ Ú ÒØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.9 ½¼º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ñ ¹ ÐÙ ÓÒ ØØÙ ÓÐÑ Ò Ô ÒØ ¹ Рй Ø Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò Ø Ð Ò A B Cº Ä ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ¹ Ø Ð Ò Ý ÒÒ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ù Ø 1 : 2 : 3º ÂÓ Ò Ñ ¹ Ø ÐÐ Òµ Ó ¹ ÐÙ Ò M Ù Ø ÐÐ Ò Ò ÒØ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ó Ó Ñ ¹ ÐÙ Ò ÒØ Ò Ò Ú ÐÐ V(M) = P(M A)+2P(M B)+3P(M C), 2 Ñ P(M) = M M ÓÒ M Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ω ÓÒ Ó Ó Ñ ¹ ÐÙ Ò Ω Ô ÒØ ¹ Ð º Ç Ó Ø ØØV(M) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØ µ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½µº ½½º ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ö ÐÐ Ò Òº Ç Ó Ø ØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÓ¹ Ñ Ø ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ¹ Ò Ù٠غ

39 À Ö Ó ØÙ ½¾º ÅÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØÚ ÓÒ Ú ØØÑ Ó Ø Ó Ò ÓÒ Ú Ø ØØ Ú ØÓ Ìµ Ø ÔØÓ µº Î Ø Ù ÓÒ Ó Ò Ø ÚÖ Ò Ó Ø Ú Ø Ù Ø 1 Ô Ø ØØ ÚÖ Ø 1 Ô Ø Øغ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÅÖ ÊÏ Ê Ò¹ ÓÑ Ï Ð Öµ Ú Ø Ú ØØÑ Ò ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø À ØØ Ñ Ö Ð ÒØØ µº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÊÏ Ò Ø Ú Ò Ô Ø ÑÖÒ µ Å ÓÒ ÊÏ Ò Ô Ø ÑÖÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ µ ÂÓ ÓÐÑ ÒØ Ò Ú ØÓ ØÓÒ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ú Ø Ø Ò Ø Æµ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÊÏ Ò Ø Ú Ò Ô Ø Ñ¹ ÖÒ ½ º Å Ø ÚÓ Ø ÒÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A Ó ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø Ò Ò Å Ø Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ô ØÙÑ A B ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ½ º ÌÓ Ø Ø ÒÐ ÙÐ Ù ¾º Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ (A B) A = B (A B). ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ 550 ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ó ÓÒ ¾ ± Ô Ð ÒØÙÒ Ø º µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ25 ÓÑ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ ÓØ ÒØ Ô ¹ Ð ÙØØ Ñ ØØ µ ÓÒ 2 Ô Ð ÒØÙÒÙØØ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ25 ÓÑ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ ÓÒ ÓÖ Ò¹ Ø Ò 2 Ô Ð ÒØÙÒÙØØ µ À ÐÙØ Ò ØØ Ò Ò ¾ ± Ô Ð ÒØÙÒ Ø ÐØÚØ Ð Ø ÓØ Ýй ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ p 0.95º ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ Ó Ó ÓÒ Ú Ð ØØ Ú ½ º ÇÚ ÓÒ Ö Ð Ø µ ÐÙ Ó Ú Ñ Ø ÓÚ Ø Ò Ò ÙÙ Ò ÓÙ Ó ¹ Ó Ø ÒÒ Ø Ò ÑÙ Ò º ÇÐ Ø Ö ÔÙ ÓØØ ÒÙØ Ý Ò Ò Ø ÙÙ Ø ÓÒÒ Òº µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú Ð Ø ÓÚ Ò Ù Ú Ñ ÐÐ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÓÚ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó¹ Ð Ñ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ñ Ø ÒÝØØÚØ ØÝ Ò ¹ Ñ ÒÐ ÐØ ºµ ½ º µ ÃÙ Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ x 1 +x 2 = 5 ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ù Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÔÒ Ø Ú µ ÁÒÚ ØÓ Ø 20 ØÙ ØØ ÙÖÓ 4 Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ó Ø Òº ÂÓ Ò Ó ØÙ Ò ØÙÐ ÓÐÐ 100 ÙÖÓÒ ÑÓÒ ÖØ º ÅÓÒØ Ó ÒÚ ØÓ ÒØ ØÖ ¹ Ø ÓÒ Ó Ó Ó ÙÑÑ ÓÒ Ó Ø ØØ Ú

40 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ µ ÅÓÒØ Ó ØÖ Ø ÓÒ ÐÐÓ Ò Ó Ó Ó ÙÑÑ Ø ÖÚ Ø ÒÚ ØÓ ¹ ½ º Ì ØÓ ÓÒ ÓÒ n ÔÖÓ ÓÖ r ØÝ Ø Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ØÙÒ¹ Ò Ø º Ö ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ØÙÐ Ú Ò Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø r 1 r 2 º º º r n r i 0 i = 1,2,...,n ¾º º µ r 1 +r 2 + +r n = r. µ Å ÓÒ Ö Ð Ø Ò Ú Ö Ù ÙÑ Ò ØÐ Ò ¾º º µ Ö Ø Ù Ò ÐÙ¹ ÙÑÖµ µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø ØÝÐÐ ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ÓÒ k 0 k r ØÝ Ø µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÒ ØÙØ n ÐÙ Ù r 1 r 2 º º º r n ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý Ø¹ Ð Ò ¾º º µ Ñ ÓÐÐ Ø n r Ø Ò Ó ØØ ÐÙ ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ÓÚ Ø Ý Ø Ñ ÓÐÐ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ö Ù ÐÙÚÙØ r 1 r 2 º º º r n