2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

Transkriptio

1 Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ

2 ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = Ð x = 7 5 µ Ê Ø Ý ØÐ ax = b Ñ x ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ a,b R ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØØÙ ÂÓ a 0 Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 ÓÐÐ Ý ØÐ ÚÓ Ò ÖØÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò Ú Ø Ù x = b a ÂÓ a = 0 Ò Ò a 1 ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ¹ ÓÐÓ Ö ÔÔÙÙ b Ø ÂÓ b = 0 Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ 0 x = 0 Ó ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐ x R Ë Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù ÂÓ b 0 Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ 0 x = b Ó ØÓØ Ù Ù Ñ ÐÐÒ x Ò ÖÚÓÐÐ ØÐ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ½¾ Ñ Ö Ê Ø Ý ØÐ Ô Ö { 2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø x 2 = 3 x 1 Ë Ó Ø Ø Ò ØÑ ÝÐ ÑÔÒ Ý ¹ ØÐ Ò ÓÐÐÓ Ò Ò 2x 1 +3 x 1 = 1 Ð x 1 = 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò x 2 = 3 ( 2) = 5 Ë Ø Ò Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù { x1 = 2 x 2 = 5. Ì Ö Ø Ø Ò Ú Ð Ö Ø Ù µ Ê Ø Ý ØÐ Ô Ö { 2 ( 2)+5 = = 3. { 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. Ò ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø Ò x 2 = 5x Ë Ó Ø Ø Ò ØÑ ØÓ Ò Ý ØÐ Ò ÓÐÐÓ Ò 10x 1 2(5x 1 +1) = 2 Ð 2 = 2, Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ë Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ½ Ñ Ö ÌÙÐ Ø Ñ Ö ½¾ ÓÑ ØÖ Ø ØÐ ax 1 + bx 2 = c ÙÚ ÙÓÖ Ø Ó R 2 Ñ Ð a 0 Ø b 0 ÐÐ ØÐÐ Ò x 1 = bx a 2+ c Ø x a 2 = ax b 1+ c b È Ø Ô Ö (x 1,x 2 ) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Òax 1 +bx 2 = c Ó Ú Ò Ó ÙÙÐÙÙ ÙÓÖ ÐÐ x 1 = bx a 2 + c (a 0) Ë Ø Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò a { ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

3 Ö Ø Ù ÓÒ ÙÓÖ Ò ax 1 + bx 2 = e cx 1 + dx 2 = f Ð Ù Ô Ø Ä Ù Ô Ø ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÙÓÖ Ø ÚØ ÓÐ Ý Ò ÙÙÒØ Ø ØÓ Ò ÒÓ Ò b 0,d 0µ a b c d eli ad bc 0. ÂÓ ad bc = 0 Ò Ò ÙÓÖ Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÙÙÒØ Ø ÌÐÐ Ò Ò ÚØ Ð Ð Ý Ø¹ Ð Ô Ö ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù Ø Ò ÓÚ Ø Ñ ÙÓÖ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù ÐÐ Ó Ò Ò (x 1,x 2 ) Ó ÙÙÐÙÙ ÙÓÖ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù x 2 = k 1 x 1 +e x 2 = k 2 x 1 +f x 2 = kx 1 +e x 2 = kx 1 +f x 2 = kx 1 +e x 2 = kx 1 +f e = f ½ Ñ Ö Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 1 2x 2 + x 3 = 0 µ 2x 2 8x 3 = 0 4x 1 + 7x 2 3x 3 = 3 ÂÓ x 1 2x 2 + x 3 = 0 Ò Ò 4(x 1 2x 2 + x 3 ) = 0 ÓØ Ò Ð ÑÐÐ 0 ÓÐÑ ÒØ Ò Ý ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ò µ x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0 4x 1 + 7x 2 3x 3 +4x 1 8x 2 +4x 3 = 3+0 x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0 x 2 + x 3 = 3. Ë Ø Ò ( ) x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 x 2 + x 3 = 3 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 x 3 = 1 x 1 = 7 x 2 = 4 x 3 = 1. x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 3x 3 = 3 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 = 4 x 3 = 1

4 Ì Ö Ø Ø Ò Ö Ø Ù 7 2 ( 4) 1 = 0 2 ( 4) 8 ( 1) = 0 4 ( 7)+7 ( 4) 3 ( 1) = 3. ½ ÅÖ Ø ÐÑ Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÓØÓ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, Ñ a ij,b i R, i = 1,...,k, j = 1,...,n ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØØÙ x i R, i = 1,...,n ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ØÐ ÖÝ ÑÒ ØÓØ ÙØØ Ú ÐÙ Ù ÓÒÓ (x 1,...,x n ) ÒÓØ Ò Ý ¹ ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó ÒÓØ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø¹ Ù ÓÙ Ó ÂÓ b 1 = b 2 = = b k = 0 Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÓÑÓ Ò Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x 1 = x 2 = = x n = 0 ½ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÚÓ ¹ Ò Ö Ø Ø ÝØØÑÐÐ ÙÖ Ú ÓÔ Ö Ø Ó Ø P ij Ú Ø Ò Ý ØÐ Ø i j ÒÒ M i (c) ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ i ÐÙÚÙÐÐ c 0 A ij (c) ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ i ÐÙÚÙÐÐ c R Ð ØÒ Ý ØÐ Ò j Ñ i j ÆÑ ÚØ ÑÙÙØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÙÙ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ Ú ¹ Ú Ð ÒØØ Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ò ÃÓ Ö Ú ÓÔ Ö Ø ÓØ Ú ÙØØ Ú Ø Ú Ò Ö¹ ØÓ Ñ Ò a ij b i ÓÒ Ø Ú ÝØØ Ð ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a k1 a k2 a kn b k Ê Ú ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ú ÒÒ ØÒ ÑÙÓØÓÓÒ Ó Ô Ð Ø ÒÓÐÐ Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð ÑÑ Ò Ó Ò Ö Ú Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÙ Ù ÓÒ 1 Ò Ýй Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÒÓÐÐ ÝÐ ÑÑÒ Ö Ú Ò Ò ÑÑ Ò Ò 1 ÓÒ Ð ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ò ÑÑ Ò 1 Ò Ú Ñ¹ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ë Ú ÒØÑ Ò Ð Ò ÓÒ ÓÐÑ Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ

5 ½µ d d d n x 1 = d 1 x 2 = d 2 x n = d n. Ð Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ¾µ ÂÓ Ò Ö Ú Ø ÓÒ 0 0 c Ñ c 0 ÌÐÐ Ò Ò Ý ØÐ 0 = c Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÓØ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù µ Ì Ô Ù Ø ½µ ¾µ ÚØ ÒÒÝ ÌÐÐ Ò ÔØÖ Ú Ð Ý ØÐ Ø ÓÒ Ú ÑÑÒ Ù Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù Ñ Ö¹ Ð { x1 +2x 2 = 6 x 3 = 5 Ð x 1 = 2x 2 +6 x 2 R x 3 = 5. Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ú ÒØÒ Ý ÔÓÖÖ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ú ÒØÒ ½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 10 x 1 3x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 2. Ä ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ P A 13 ( 2) M 2 ( 1 5 ) M 3 ( 5 64 ) A 23( 3) A 31(3) A 32 ( 3 5 ) P Ð x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = 1. µ Å Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ x 1 + ax 3 = b+1 2x 1 + x 2 + 4ax 3 = 4b+2 3x 2 5ax 3 = 5b 1 Ö Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ Ö ÔÔÙÙ Ú Ó Ø a b

6 Ä ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ 1 0 a b a 4b a 5b 1 A 23 (3) 1 0 a b a 2b 0 0 a b 1 A 12( 2) A 31( 1) A 32 ( 2) 1 0 a b a 2b 0 3 5a 5b a b 1 ÂÓ a 0 Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = b 1. a ÂÓ a = 0 b 1 Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ÂÓ a = 0 b = 1 Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 R. ¾ Î ØÓÖ Ñ ØÖ ¾½ Ñ Ö ÃÓÙÐÙ Ú ØÓÖ ÓÐ ÒÙÓÐ ÓÐÐ ÓÐ ÙÙÒØ ÙÙÖÙÙ Ð Ô ØÙÙ Ë ÖÖ ØÒ Ú ØÓÖ Ø Ò ØØ Ò Ð ÙÔ ÓÒ ÓÖ Ó ÌÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ Ô Ø (x 1,x 2 ) ÂÓ Ú ØÓÖ Ò ÙÙÒØ Ø ÙÙÖÙÙØØ ÑÙÙØ Ø Ò Ò Ò ÐÓÔÔÙÔ Ø (x 1,x 2 ) ÑÙÙع ØÙÙ ÓØ Ò Ö Ú ØÓÖ Ø Ú Ø Ö Ô Ø (x 1,x 2 ) ÃÒØ Ò Ó Ò Ò Ø ÓÒ Ô Ø Ô Ö (x 1,x 2 ) ÑÖ Ú ØÓÖ Ò ÝÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ë Ø Ò Ø ÓÒ Ú ØÓÖ Ø ÚÓ Ò Ñ Ø Ø ÓÒ R 2 = {(x 1,x 2 ) x 1,x 2 R} Ò x 2 (x 1,x 2 ) x 1

7 Î ØÓÖ Ø x = (x 1,x 2 ) y = (y 1,y 2 ) Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ð ØØ Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ò ËÙѹ Ñ Ú ØÓÖ Ò x + y Ò ÑÑ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ x 1 + y 1 ØÓ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ x 2 +y 2 Ë (x 1,x 2 )+(y 1,y 2 ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2 ) (x 1,x 2 ) y 2 x 2 x+y x 1 y 1 (y 1,y 2 ) Î ØÓÖ x = (x 1,x 2 ) ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙÐÐ λ > 0 Ø Ò ØØ Ú ØÓÖ Ò ÙÙÒØ ÐÝÝ Ô ØÙÙ ØÙÐ ÖÖÓØÙ ÐÙÚÙÐÐ λ Å Ö ØÒ λ (x 1,x 2 ) = (y 1,y 2 ) ÃÓ ÙÙÒØ ÑÙÙØÙ Ò Ò y 2 y 1 = x 2 x 1 Ð y 2 = x 2 x 1 y 1 ÆÝØ y 1 = tx 1 ÓÐÐ Ò t R ÓØ Ò y 2 = x 2 x 1 tx 1 = tx 2 Ë λ (x 1,x 2 ) = (tx 1,tx 2 ) ÓÐÐ Òt > 0 ÃÓ Ú ØÓÖ Ò λ (x 1,x 2 ) Ô ØÙÙ ÓÒ λ ÖØ Ú ØÓÖ Ò (x 1,x 2 ) Ô ØÙÙ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ø t 2 x 2 1 +t2 x 2 2 = λ2 (x 2 1 +x2 2 ) Ð t 2 = λ 2 ÓØ Ò t = λ Ë λ (x 1,x 2 ) = (λx 1,λx 2 ) ÌÑ ÔØ ÑÝ ÙÒ λ 0 (x 1,x 2 ) λ (x 1,x 2 ) = (y 1,y 2 ) ¾¾ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ n N = {1,2,3,...} ÂÓÒÓ x = (x 1,x 2,...,x n ) Ñ ¹ x 1,x 2,...,x n R ÓÒ n¹ùðóøø Ò Ò Ø n¹ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ò Ú ØÓÖ Ã Ò n¹ ÙÐÓØØ Ø Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ú ÖÙÙ R n Ø R n = {(x 1,x 2,...,x n ) x 1,x 2,...,x n R}. Î ØÓÖ Ø x,y R n ÓÚ Ø Ñ Ø Ó x i = y i ÐÐ i = 1,...,n ÇÐ ÓÓØ x,y R n λ R ÌÐÐ Ò x+y = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,...,x n +y n ) R n λx = (λx 1,λx 2,...,λx n ) R n. ¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ x,y,z R n λ,µ R ÌÐÐ Ò µ x+y = y +x Ú ÒÒ ÙÙ µ µ x+(y +z) = (x+y)+z Ð ØÒÒ ÝÝ µ µ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ 0 = (0,...,0) R n x+0 = x µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ø Ú ØÓÖ x = 1 x x+( x) = 0 µ λ(µx) = (λµ)x µ 1 x = x

8 µ (λ+µ)x = λx+µx µ λ(x+y) = λx+λy Ó ØØ ÐÙРص ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò µ ÅÙÙØ ÀÌ ÇÐ ÓÓØ x = (x 1,...x n ), y = (y 1,...,y n ) λ R ÆÝØ λ(x+y) = λ ( (x 1,...,x n )+(y 1,...,y n ) ) = λ(x 1 +y 1,...,x n +y n ) = ( λ(x 1 +y 1 ),...,λ(x n +y n ) ) = (λx 1 +λy 1,...,λx n +λy n ) = (λx 1,...,λx n )+(λy 1,...,λy n ) = λ(x 1,...,x n )+λ(y 1,...,y n ) = λx+λy. ¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä Ù Ò ¾ µ¹ Ó Ò ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ y R n ÓÒ Ú Ø Ú ØÓÖ y R n ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ x y := x+( y) ¾ Ñ Ö ÇÐ ÓÓØx = (2a+3b+5c,a 3c,5b 3c) R 3 y = (10, 2,2) R 3 Î ØÓÖ Ý ØÐ x = y Ú Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ 2a + 3b + 5c = 10 a 3c = 2 ÎÖØ Ñ Ö ½ µµ 5b 3c = 2. ¾ ÅÖ Ø ÐÑ Ê Ð ÐÙÚÙ Ø a ij Ñ i = 1,...,k j = 1,...,n ÑÙÓ Ó Ø Ø¹ ØÙ Ú ÓØ a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn ÒÓØ Ò k n¹ñ ØÖ Í Ò Ñ Ö ØÒ A = [a ij ] ÄÙ Ù a ij ÒÓØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ð Ó a ij ÓÒ Ð Ó Ö Ú ÐÐi Ö jµ ÌÓ Ò Ò Ñ Ö ÒØ Ð ÓÐÐ a ij ÓÒ A ij Å ØÖ Ø A B ÓÚ Ø Ñ Ø Ó A ij = B ij ÐÐ i j Ã Ò k n¹ Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ÝÑ ÓÐ ÐÐ M(k,n) ÇÐ ÓÓØ A,B M(k,n) λ R ÌÐÐ Ò A+B M(k,n) λa M(n,k) Ñ ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,n (A+B) ij = A ij +B ij (λa) ij = λa ij ¾ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓØ a b A = c d 2+d 2b B =. c d

9 ÌÐÐ Ò A = B a = 2+d b = 2b c = c d = d a = 2 b = 0 c R d = 0. µ ÇÐ ÓÓØ A = B = ÌÐÐ Ò A B ÓÚ Ø 2 3¹ Ñ ØÖ Ó ÐÐ ÔØ A+B = = A = = ¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ A,B,C M(k,n) λ,µ R ÌÐÐ Ò µ A+B = B +A µ A+(B +C) = (A+B)+C µ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ñ ØÖ 0 M(k,n) ÓÐÐ A+0 = A µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ø Ñ ØÖ A M(k,n) ÓÐÐ A+( A) = 0 µ λ(µa) = (λµ)a µ 1A = A µ (λ+µ)a = λa+µa µ λ(a+b) = λa+λb ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò µ ÑÙÙØ ÀÌ Ú ÖØ Ð Ù ¾ µ ÇÐ ÓÓÒA = [a ij ] ÅÖ Ø ÐÐÒ k n¹ñ ØÖ 0 ØØ Ñ ÐÐ 0 ij = 0 ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,n ÌÐÐ Ò 0 M(k,n) (A+0) ij = A ij +0 ij = a ij +0 = a ij = A ij ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,n Ë Ø Ò A+0 = A ¾ Å Ö ÒØ ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ ÙÑÑ ÐÐ k a i = a 1 +a 2 + +a k. i=1 Ñ Ö 5 5 i 2 = b ij = b i2 +b i3 +b i4 +b i5. i=1 j=2

10 ½¼ ¾½¼ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓØ A M(k,n) B M(n,l) Å ØÖ Ò A B ØÙÐÓ ÓÒ Ñ ØÖ AB M(k,l) Ñ (AB) ij = n A ip B pj = A i1 B 1j +A i2 B 2j + +A in B nj p=1 ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,l ¾½½ ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÌÙÐÓÑ ØÖ ÒAB Ð Ó(AB) ij Ò ÖØÓÑ ÐÐ A Òi Ò Ò Ö Ú Ò Ð ÓØA i1,a i2,...,a in Ú Ø Ú ÐÐ B Òj ÒÒ Ò Ö Ò Ð Ó ÐÐ B 1j,B 2j,...,B nj Ð Ñ ÐÐ Ò Ò ÙØ ØÙÐÓØ Ý Ø Ò µ ÌÙÐÓ AB ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ ØÖ Ò B Ö Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ µ Î AB ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò BA ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Î BA ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ AB BA µ ÇÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ AB = 0 Ú A 0 B 0 ¾½¾ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓØ A = M(2,3) B = M(3,3) ÌÐÐ Ò AB ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÒ 2 3¹Ñ ØÖ AB = = = ÌÙÐÓ BA ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ µ ÇÐ ÓÓØ A = [ ] M(1,3) B = 0 3 M(3,1). 1

11 ½½ ÌÐÐ Ò AB = [ ] 0 3 = [ ] = [ 7 ] M(1,1) 1 BA = 0 3 [ ] = = M(3,3) Ö ØÝ Ø AB BA µ ÇÐ ÓÓØ ÌÐÐ Ò A = AB = M(2,2) B = M(2,2) = M(2,2). ÒØ BA 0 0 ¾½ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ A B C Ñ ØÖ λ R ÌÐÐ Ò µ A(B +C) = AB +AC µ (A+B)C = AC +BC µ A(BC) = (AB)C µ (λa)b = A(λB) = λ(abµ Ò ÙÒ Ý Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÌÓ ØÙ µ ÇÐ ÓÓØA M(k,n) B,C M(n,l) ÌÐÐ Ò Ú Ò ØÐÐ Ò B+C M(n,l) A(B +C) M(k,l) AB M(k,l) AC M(k,l) AC +BC M(k,l) ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÆÝØ ( n A(B +C) )ij = A ip (B +C) pj = p=1 n A ip (B pj +C pj ) = p=1 n (A ip B pj +A ip C pj ) p=1 = A i1 B 1j +A i1 C 1j +A i2 B 2j +A i2 C 2j + +A in B nj +A in C nj n n = A ip B pj + A ip C pj = (AB) ij +(AC) ij = (AB +BC) ij p=1 p=1 ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,l Ë Ø Ò A(B +C) = AB +AC µ µ ÀÌ

12 ½¾ µ ÇÐ ÓÓØ A M(k,n) B M(n,l) λ R ÌÐÐ Ò Ú Ò ØÐÐ Ò AB (λa)b A(λB) ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ( n n n n (λa)b )ij = (λa) ip B pj = (λa ip )B pj = λa ip B pj = λ A ip B pj p=1 p=1 = λ(ab) ij = ( λ(ab) ) ij p=1 p=1 ÐÐ i = 1,...,k j = 1,...,l Ë Ø Ò (λa)b = λ(ab) ÌÓ Ò Ò Ú Ø ÀÌ ¾½ Å Ö ÒØ ÌÙÐ Ø Ò R n Ò Ú ØÓÖ Ø n 1¹Ñ ØÖ Ð ÔÝ ØÝÚ ØÓÖ x 1 x x = 2. x n ÌÑ ØÙÐ ÒØ ÑÙÙØ Ú ØÓÖ Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ø Ø x 1 y 1 x x+y = 2 + y 2 x n y n x 1 x λx = λ 2. x n ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Ñ a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k Ax = b, x a 11 a 1 b 1 1n x A =, x = 2 b = b 2. a k1 a kn x n b k Å ØÖ A ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ b Ú ÓÚ ØÓÖ ¾½ Ñ Ö ØÐ ÖÝ ÑÒ 3x 1 x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + 4x 2 + x 3 2x 4 = 0 5x 2 + 3x 3 7x 4 = 1 ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ A = Ú ÓÚ ØÓÖ ÓÒ b =

13 ¾½ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ A M(k,n) ÌÐÐ Ò A ÑÖ ÙÚ Ù Ò F A : R n R k F A (x) = Ax R k ÐÐ x R n ÃÙÚ Ù Ò F A ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ R n Ñ Ð ÓÙ Ó ÓÒ R k ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = b Ö Ø Ù ÓÙ Ó ÓÒ Ø Ò Ô Ø Ò b Ð Ù ÙÚ ÙÚ Ù F A Ð F 1 A ({b}) = {x Rn F A (x) = Ax = b}. ¾½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒA M(k,n) Ë ÙÖ Ú Ø Ú ØØ Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò µ µ µ µ µ ÀÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x = 0 µ Ã ÐÐ b R k Ý ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ö Ø Ù µ ÃÙÚ Ù F A : R n R k F A (x) = Ax ÓÒ Ò Ø Ó µ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ax = b Ó Ø Ø Ð Ò¹ Ø Ò Â Ç 0 1 Ì. 0 0 Á 0 0 Æ ÌÓ ØÙ µ µ Ã Ø Ó Ó Ø ½ µ (b) ÒØ Ø ÇÒ ÓÐ Ñ b R k x,y R n x y Ó ÐÐ Ax = b = Ay ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 0 = b b = Ax Ay = Ax+A( y) = A(x y), ÓØ Ò z = x y 0 ÓÒ ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ò Ax = 0 Ö Ø Ù ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÓØ Ò ÒØ Ø ÓÒ ÚÖ µ µ ÀÌ µ µ Ó Ax = 0 Ò Ò F A (x) = 0 = A0 = F A (0) ÓØ Ò F A Ò Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ x = 0 Ë Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÆÝØ Ú ØØ Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ¾½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(k,n) Ë ÙÖ Ú Ø Ú ØØ Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ Ã ÐÐ b R k Ý ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÒ Ò Ò Ý Ö Ø Ù µ ÃÙÚ Ù F A : R n R k F A (x) = Ax ÓÒ ÙÖ Ø Ó ½ µ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ô Ù ¾µ Ð Ö Ú Ñ c 0µ ÒÒÝ ÌÓ ØÙ µ µ Ã Ø Ó Ó Ø ½ ÅÙÙØ ÀÌ 0 0 c

14 ½ ¾½ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓÒ A = ÌÐÐ Ò Ax = x 1 x x1 x = 3, x 2 ( ÓØ Ò F A : R 3 R 2 ÓÒ F A (x1,x 2,x 3 ) ) =: F(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 3,x 2 ) ÇÒ Ó F A ÙÖ Ø Ó ÇÐ ÓÓÒ b = (b 1,b 2 ) R 2 ÆÝØ F A (x) = b Ó { x x1 x 3 = b 1 = b 1 +x 3 1 x x 2 = b 2 = b 2 2 x 3 R. Ö ØÝ Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ x 3 = 0 Ò F A (b 1,b 2,0) = (b 1,b 2 ) Ë F A ÓÒ ÙÖ Ø Ó ÃÓ Ý ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù F A ÓÐ Ò Ø Ó µ ÇÐ ÓÓÒ B = ÃÙÚ Ù ÓÒ Ò Ø Ó ÐÐ Bx = 0 F B : R 3 R 3, F B (x 1,x 2,x 3 ) = (x 1,x 1 +x 2,x 2 +3x 3 ) x 1 x 1 +x 2 = 0 0 x 2 +3x 3 0 x 3 x 1 = 0 x 1 +x 2 = 0 x 2 +3x 3 = 0 Ú Ø ÙÖ Ð Ù Ø ¾½ ÃÙÚ Ù F B ÓÒ ÑÝ ÙÖ Ø Ó ÐÐ x 1 = b 1 x 1 = b 1 x 1 +x 2 = b 2 x 2 = b 2 b 1 x 2 +3x 3 = b 3 x 3 = 1(b 3 3 b 2 +b 1 ), ÓØ Ò Ú Ø ÙÖ Ð Ù Ø ¾½ x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0, ¾¾¼ ÅÖ Ø ÐÑ Å ØÖ A ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ Ó A M(n,n) ÓÐÐ Ò n N Æ Ð Ñ ØÖ A = [a ij ] ÓÒ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó a ij = 0 ÐÐ i j ÓÒ Ð ¹ Ñ ØÖ I = [δ ij ] = M(n,n) 0 1 ÓÒ Ý Ñ ØÖ Ð ÒØØ Ò Ò Ñ ØÖ ÃÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ ½ Ì { 1, i = j δ ij = 0, i j. ¾¾½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) ÌÐÐ Ò IA = AI = A ÌÓ ØÙ ÀÌ

15 ¾¾¾ ÅÖ Ø ÐÑ Æ Ð Ñ ØÖ A M(n,n) ÓÒ ÒØÝÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ B M(n,n) ÓÐÐ AB = BA = I ÌÐÐ Ò B ÓÒ A Ò ÒØ Ñ ØÖ Ø Ñ Ö ØÒ B = A ¾¾ Ñ Ö µ Å ØÖ A = ÓÒ ÒØÝÚ A = ÐÐ = = a b µ Å ØÖ A = ÓÐ ÒØÝÚ ÂÓ Ò Ñ ØØ Ò ÓÐ B = ÓÐÐ 2 4 c d 1 2 a b a+2c b+2d 1 0 = =, 2 4 c d 2a+4c 2b+4d 0 1 Ò Ò a+2c = 1 b+2d = 0 2a+4c = 0 2b+4d = 1. ½ Ö ØÝ Ø { a+2c = 1 2a+4c = 0 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ë Ø Ò B Ø ÓÐ { 0 = 1 a = 2c, ¾¾ Ä Ù µ ÂÓ Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ò ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ø (A 1 ) 1 = A µ ÂÓ A,B M(n,n) ÓÚ Ø ÒØÝÚ Ò Ò AB ÓÒ ÒØÝÚ (AB) 1 = B 1 A 1. ÌÓ ØÙ µ ÇÐ ÓÓØ B C Ñ ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ ÌÐÐ Ò B ľ¾½ = BI = B(AC) ľ½ = (BA)C = IC ľ¾½ = C. Ë B = C Ð ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÃÓ A 1 A = I = AA 1 ÓÒ A = (A 1 ) 1 µ ÆÝØ B 1 A 1 M(n,n) (AB)(B 1 A 1 ) ľ½ = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 ľ½ = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Ë (AB) 1 = B 1 A 1

16 ½ ¾¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒA M(n,n) ÒØÝÚ ÌÐÐ Ò ÐÐ b R n Ý ØÐ ÐÐAx = b ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù x = A 1 b ÌÓ ØÙ Î ØÓÖ A 1 b ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÐÐ A(A 1 b) = (AA 1 )b = Ib = b. ÌÓ ÐØ Ó Ax = b Ò Ò A 1 b = A 1 (Ax) = (A 1 A)x = Ix = x, ÓØ Ò x = A 1 b ¾¾ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ { 2x1 + x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5. ÃÓ A = ( Ñ ÓÒ ÒØÝÚ A = ¾¾ µ ) Ò Ò 3 2 x = A 1 b = ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÒÓ Ö Ø Ù = 3 2][ 5 1 Ð { x1 = 2 x 2 = 1 µ ÂÓ A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò Ð Ù Ò ¾¾ ÒÓ ÐÐ A 2 = AA ÓÒ ÒØÝÚ (A 2 ) 1 = (AA) 1 = A 1 A 1 = (A 1 ) 2. ¾¾ Ä Ù ÌÝ ÒÔÙÓÐ ØÙ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ A,B M(n,n) ÂÓ AB = I Ø BA = I Ò Ò A B ÓÚ Ø ÒØÝÚ A = B 1 B = A 1 ÌÓ ØÙ Ë ÚÙÙØ Ø Ò ¾¾ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Å ØÖ ÒA M(n,n) ÒØÝÚÝÝ ÚÓ Ò Ø Ø Ø A 1 ÚÓ Ò Ø Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÙÖ Ú Ø ½µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ [ A I ] ¾µ ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ µ ÂÓ A ÑÙÙØØÙÙ I ÓÒ Ú Ú Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ A 1 ÂÓ A ÑÙÙØÙ I A ÓÐ ÒØÝÚ

17 È ÖÙ Ø ÐÙ Ä Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ØØ Ð ÝØ X M(n,n) ÓÐÐ AX = I Å Ö ØÒ X Ò Ö Ø ÔÝ ØÝÚ ØÓÖ ÐÐ x 1,...,x n Ø X = [ x 1 x n] Ñ ¹ x i M(n,1) ÐÐ i = 1,...,n ÀÙÓÑ ØØ I = [ e 1 e n] Ñ 0 e j 1 = j Ð Ó ÓÒ 1 0 ÆÝØ µ 0 AX = I Ax 1 = e 1 Ax 2 = e 2 Ax n = e n. ØÐ ÖÝ Ñ µ ÓÓ ØÙÙ n Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø Ó ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÖÓ ÒÑ Ø¹ Ö Ë Ø Ò Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ñ Ò ¹ Ø ÓÐÐÓ Ò Ð ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ [ A I ] ÂÓ ØÑ ÑÙÓ ÙØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ [ I B ] Ò Ò Ñ ØÖ Ò X j Ö x j ÓÒ B Ò j Ö B j ÐÐ j = 1,...,n ÓØ Ò X = B Ë Ø Ò AB = AX = I Ð B = A 1 ÂÓ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ I Ø Ò Ò ÓÒ Ô ÝØØÝ Ø Ô Ù Ò ¾µ Ð Ö Ø Ö Ø Ò ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ax j = e j ÓÐ Ö Ø Ù A ÓÐ ÒØÝÚ Ì Ô Ù Ø µ Ó ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù ÚÓ ÒØÝ Ð Ù Ò ¾¾ µ ÒÓ ÐÐ A 1 ÓÒ Ý ØØ Ò Òµ ¾¾ Ñ Ö µ ÃÒÒ A = Ä ÒÒ ØØÙ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ A 21 ( 1) A 23 (2) A 12( 2) A 13 ( 3) Ë A 1 = A 32( 1) ½

18 ½ Ì Ö Ø Ø Ò Ö Ø Ù AA 1 = = µ ÇÒ Ó A = 1 1 ÒØÝÚ 1 1 ÆÝØ [ ] [ A 12 ( 1) ], ÓØ Ò ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ð A ÓÐ ÒØÝÚ ¾ ¼ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ A M(k,n) Å ØÖ Ò A ØÖ Ò ÔÓÓ ÓÒ A T M(n,k) Ñ (A T ) ij = A ji ÐÐ i = 1,...,n j = 1,...,k ¾ ½ ÀÙÓÑ ÙØÙ ÌÖ Ò ÔÓÓ Ò Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð ÙÔ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ö Ø ØÖ Ò ¹ ÔÓÓ Ò Ö Ø ÓÚ Ø Ð ÙÔ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Ö Ú ¾ ¾ Ñ Ö µ ÂÓ A = Ò Ò A T = x 1 T µ x 1 x n = x n ¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ A,B M(k,n) C M(n,l) λ R ÌÐÐ Ò µ (A T ) T = A µ (A+B) T = A T +B T µ (λa) T = λa T µ (AC) T = C T A T ÌÓ ØÙ µ µ ÀÌ µ ÆÝØ AC M(k,l) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓØ Ò (AC) T M(l,k) Ä C T M(l,n) A T M(n,k) ÓØ Ò C T A T M(l,k) ÆÝØ ( ) n n n (AC) T = (AC) ij ji = A jp C pi = C pi A jp = (C T ) ip (A T ) pj = (C T A T ) ij p=1 p=1 p=1 ÐÐ i = 1,...,l j = 1,...,k Ë Ø Ò (AC) T = C T A T

19 ½ ¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) ÒØÝÚ ÌÐÐ Ò A T ÓÒ ÒØÝÚ (A T ) 1 = (A 1 ) T. ÌÓ ØÙ ÀÌ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ½ Ñ Ö ÇÐ ÓÓØ x,y R 2 Å Ö ØÒ x = x 2 1 +x2 2 Ú ØÓÖ Ò x Ô ØÙÙØØ ÃÓÙÐÙ Ø ÑÙ Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ô Ø ØÙÐÓ x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 = x y cosα Ñ α ÓÒ Ú ØÓÖ Ò x y ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ Î ØÓÖ Ò x y ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ A = x h = x y sinα = x y cos( π α) = b y, 2 Ñ b = x b Ò y Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ π α Ë b ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ Ú ØÓÖ 2 x Ú Ø Ò Ð b x = 0 ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò b ÙØ Ò ÙÚ ÓÒ b = ( x 2,x 1 ) ÐÐ ØÐÐ Ò b x = x 2 x 1 +x 1 x 2 = 0 b = ( x 2 ) 2 +x 2 1 = x Ë Ø Ò A = b y = x 2 y 1 +x 1 y 2. b π 2 α α y h x ¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ Ñ Ö Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ ØÖ Ò A = a11 Ö Ò a 21 a11 a 12 Ö Ú ØÓ¹ a 21 a 22 a12 ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ð ÓÒ a a 11 a 22 a 12 a 21 Å Ö ØÒ 22 deta = a 11 a 22 a 12 a 21 ÚÖØ Ñ ½µ Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ÓÐÑ Ò Ú ØÓÖ Ò a 11 a 12 a 13 ÑÖÑÒ ÙÙÒØ Ö¹ Ñ Ò Ø Ð ÚÙÙ ÓÒ Ð Ù Ò deta = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ø ÖÚÓ a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 a22 a = a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det 23 a21 a +a 33 a 31 a 13 det a 31 a 32

20 ¾¼ ÅÖ Ø ÐÑ Å ØÖ Ò A M(n,n) ij Ð Ñ ØÖ A ij M(n 1,n 1) Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ A Ø i Ö Ú j Ö Æ Ð Ñ ØÖ Ò A M(n,n) Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ ÓÒ ÐÙ Ù deta = n ( 1) 1+j A 1j deta 1j, j=1 Ñ det[a] = a ÀÙÓÑ ÙØÙ Å ØÖ ÒA M(n,n) Ö Ú ØÓÖ Ò Ú Ö ØØÑÒn¹ÙÐÓØØ Ò ÙÙÒØ ÖÑ Ò Ø Ð ÚÙÙ ÓÒ deta Ö ØÝ Ø 1¹ÙÐÓØØ Ò ÙÙÒØ ÖÑ Ò Ð Ò Ò Ô ØÙÙ ÓÒ deta = a Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓÒ A = ÌÐÐ Ò A 11 = 0 4, A = 3 4, A = Ò µ ÇÐ ÓÓÒ A = deta = a11 a 12 ÌÐÐ Ò a 21 a 22 2 ( 1) 1+j a 1j deta 1j = ( 1) 1+1 a 11 deta 11 +( 1) 1+2 a 12 deta 12 j=1 = a 11 det[a 22 ] a 12 det[a 21 ] = a 11 a 22 a 12 a 21. µ ÇÐ ÓÓÒ A = ÌÐÐ Ò deta = ( 1) 2 2 det +( 1) 4 2 det 0 3 +( 1) det = 2( ) (1 2 3 ( 1))+2(1 1 0 ( 1)) = 9.

21 a a µ ÇÐ ÓÓÒ A = ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÌÐÐ Ò 0 a nn a deta = a 11 det +0 0 a nn a = a 11 a 22 det 0 a nn = = a 11 a nn. Ë ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÓÒ Ð Ð Ó Ò ØÙÐÓ Ö ØÝ Ø deti = 1 ÀÙÓÑ ØØ A Ò Ö Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ ÓØ Ò Ò Ú Ö ØØÚØ ÙÓÖ Ø Ø Ó Ò ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø a ii ¾½ Ä Ù Æ Ð Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ÔØ µ ØØÑ ÒØ i Ò Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò n deta = ( 1) i+k a ik deta ik, k=1 µ ØØÑ ÒØ j Ò Ò Ö Ò Ù Ø Ò n deta = ( 1) k+j a kj deta kj. k=1 ÌÓ ØÙ Ë ÚÙÙØ Ø Ò À ÐÔÔÓ Ù Ó Ø Ð ÚÙÙ ØÙÐ ÒÒ Ø µ Ñ Ö ÇÐ ÓÓÒ A = Ä Ø Ò deta µ ØØÑÐÐ 2. Ö Ú Ò Ù Ø Ò deta = ( 1) det +( 1) det 1 2 +( 1) det = ( )+0 3(2 1 1 ( 1)) = 9,

22 ¾¾ µ ØØÑÐÐ 3 Ö Ò Ù Ø Ò 1 0 deta = ( 1) det +( 1) det +( 1) det = 2(1 1 0 ( 1)) 3(2 1 1 ( 1))+2( ) = 9. Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) Ë ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ µ ÇÐ ÓÓÒ B Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò A Ò Ö Ú» Ö ÐÙÚÙÐÐ λ R ÌÐÐ Ò detb = λdeta µ ÂÓ Ó Ò A Ò Ö Ú» Ö ÓÒ ÒÓÐÐ Ò Ò deta = 0 µ ÇÐ ÓÓÒ A = [S 1 S n ] Ñ S j ÓÒ A Ò j Ö ÂÓ S j = V 1 +V 2 ÓÐÐ Ò j Ò Ò deta = det[s 1 V 1 +V 2 S n ] = det[s 1 V 1 S n ]+det[s 1 V 2 S n ]. R 1 Î Ø Ú Ø ÓÐ ÓÓÒ A = Ñ R i ÓÒ A Ò i Ö Ú ÂÓ R i = W 1 + W 2 R n ÓÐÐ Ò i Ò Ò R 1 deta = det W 1 +W 2 = det W 1 +det W 2. R n R n R n µ ÂÓ A ÓÒ Ñ Ö Ú» Ö ØØ Ò Ò deta = 0 µ ÂÓ Ñ ØÖ B Ò A Ø Ú Ø Ñ ÐÐ Ö Ú» Ö ØØ ÒÒ Ò Ò detb = deta µ ÂÓ B Ò A Ø Ð ÑÐÐ Ö Ú Ò» Ö Ò i Ö Ú» Ö j i ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ λ R Ò Ò detb = deta ÌÓ ØÙ µ ÌÓ Ø Ø Ò Ö Ú Ú ØÓ ØÓ Ë Ö Ú ØÓ ØÓ ÑÓ Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ B ÓÒ ØÙ ÖØÓÑ ÐÐ A Ò i Ö Ú ÐÙÚÙÐÐ λ ÌÐÐ Ò ØØÑÐÐ i Ò Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò detb = = λ n ( 1) i+k B ik detb ik = k=1 R 1 R 1 n ( 1) i+k λa ik deta ik k=1 n ( 1) i+k A ik deta ik = λdeta. k=1

23 ¾ µ Ë ÙÖ µ¹ Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ λ = 0 µ ÌÓ Ø Ø Ò Ö Ø Ô Ù Ê Ú Ø Ô Ù ØÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ú Ø ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ n Ò Ù Ø Ò ÃÙÒ n = 1 ÓÒ det[a+b] = a+b = det[a]+det[b], ÓØ Ò Ú Ø ÔØ Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ø ÔØ n n¹ñ ØÖ ÐÐ Ç Ó ¹ Ø Ø Ò ØØ ÔØ ØÐÐ Ò ÑÝ (n+1) (n+1)¹ñ ØÖ ÐÐ ÇÐ ÓÓØ A = [ S 1 V 1 +V 2 S n+1], B = [ S 1 V 1 S n+1] C = [ S 1 V 2 S n+1], Ñ V 1 V 2 ÓÚ Ø j ÒÒ Ö ÌÐÐ Ò n+1 deta = ( 1) 1+k A 1k deta 1k k=1 j 1 = ( 1) 1+k A 1k deta 1k +( 1) 1+j (V1 1 +V2 1 )deta1j + = k=1 n+1 k=1,k j n+1 k=j+1 ( 1) 1+k A 1k deta 1k ( 1) 1+k A 1k (detb 1k +detc 1k )+( 1) 1+j V1 1 detb1j +( 1) 1+j V1 2 detc1j n+1 n+1 = ( 1) 1+k B 1k detb 1k + ( 1) 1+k C 1k detc 1k = detb +detc. k=1 µ ÀÌ Ò Ù Ø ÓÐÐ n Ò Ù Ø Òµ R 1 k=1 R 1 R i R j R i +R j µ ÇÐ ÓÓØ A = B = ÅÖ Ø ÐÐÒ C = R j R i R i +R j R n R n R n ÆÝØ µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ detc = 0 Ä µ¹ Ó Ò ÒÓ ÐÐ 0 = detc R 1 R 1 R i R j R i R i R j R j = det +det = det +det +det +det R i +R j R i +R j R i R j R i R j R n R n R n R n R n R n = deta+detb. R 1 R 1 R 1 R 1 R 1

24 ¾ Ë detb = deta µ ÀÌ Å Ö ÒØ Å Ö ÒØ A S ij (c) Ø Ö Ó ØØ ØØ i Ö ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙÐÐ c Ð ØÒ Ö Ò j A R ij (c) Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ú Ö Ú ÓÔ Ö Ø ÓØ ½¼ Ñ Ö µ det = det A S 12 ( 1) = det A S 23 (1) Ä µ = 0. µ det = 5 det Ä µ = 5 ( 1) 4+2 1det = 5 ( 1) det µ ÇÐ ÓÓÒ det ÆÝØ det 2a 6b c 3d AS 12 (1) = 5 det A S 21 ( 2) = 5 det = 10 ( 6+8) = a b = 2 Ä Ø Ò det c d Ä µ = 2 det a 3b c 3d [ 2a 6b det c 3d Ä µ = 2 3det ] d c b+2d a+2c a b = 6 2 = 12 c d d c det b+2d a+2c Ä µ = det Ä µ Ä µ = det b a +2det d c d c d c d c d c +det b a 2d 2c Ä µ = ( 1) 2 det Ä µ a b +2 0 = 2. c d ½½ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓÒ A = [ a ] M(1,1) ÌÐÐ Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó deta = a 0 a11 a µ ÇÐ ÓÓÒ A = 12 ÂÓ deta 0 Ò Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ò ÒØ Ñ ØÖ a 21 a [ 22 ] ÓÒ A 1 = 1 a22 a 12 ÐÐ deta a 21 a 11

25 ¾ a11 a 12 a 21 a 22 a22 a 12 a 21 a 11 1 deta = 1 a11 a 22 a 12 a 21 0 = deta 0 a 21 a 12 +a 11 a ÂÓ deta = 0 Ò Ò ÓÐ ØØ Ò ØØ a 12 0µ [ ] a11 a M 2 ( a 12 ) a 11 a a 21 a A 12 (a 22 ) a 12 a 21 +a 11 a 22 a 12 a 22 +a 12 a 22 a 22 a 12 det A=0 a11 a , 0 0 a 22 a 12 ÓØ Ò A ÓÐ ÒØÝÚ ÙÒ a 12 0µ Ì Ö Ø Ø Ô Ù a 21 0 Ë A M(2,2) ÓÒ ÒØÝÚ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ deta 0 ½¾ Ä Ù Å ØÖ A M(n,n) ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó deta 0 ÌÓ ØÙ : ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A ÓÒ ÒØÝÚ ÌÐÐ ÒA ÑÙÙØØÙÙ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ñ ØÖ I Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó P ij Ú Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ Ö Ò ÓÔ Ö Ø Ó M i (c) ÖØÓÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò c ÐÐ c 0µ A R ij (c) ÑÙÙØ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ Ë Ø Ò deta = c deti = c ÓÐÐ Ò c 0 ÓØ Ò deta 0 : ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A ÓÐ ÒØÝÚ ÌÐÐ Ò A ÑÙÙØØÙÙ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÐÐ Ñ ØÖ B Ó ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ë Ø Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ deta = c detb = 0 ½ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ A,B M(n,n) ÌÐÐ Ò µ det(ab) = detadetb µ det(a T ) = deta µ Ó A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò det(a 1 ) = 1 deta ÌÓ ØÙ µ µ ÚÙÙØ Ø Ò µ ÃÓ 1 = deti = det(aa 1 ) (a) = detadet(a 1 ) Ò Ò det(a 1 ) = 1 deta ½ Ñ Ö µ ÇÒ Ó Ñ ØÖ ÒØÝÚ ÃÓ deta = det ] = ( 1) 1 det[ 3+2 = 7 0, ÓÒ A ÒØÝÚ Ð Ù Ò ½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ

26 ¾ µ Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ ¹Ñ ØÖ ÓÐÐ A T = A 1 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÐÐ Ò Ò A ÓÒ ÓÐ Ñ Ë ÐÐÓ Ò deta = det(a T ) = det( A 1 ) = ( 1) 2011 det(a 1 ) = 1 deta, ÓØ Ò (deta) 2 = 1 Ñ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ë A Ø ÓÐ ÓÐ Ñ ½ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) Å ØÖ Ò A Ð ØØÓÑ ØÖ M(n,n) Ñ (cofa) ij = ( 1) i+j deta ij ÐÐ i,j = 1,...,n ÓÒ cofa ½ ÀÙÓÑ ÙØÙ ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) ÌÐÐ Ò ÐÐ i = 1,...,n n n deta = ( 1) i+k A ik deta ik = A ik (cofa) ik. k=1 ½ Ñ Ö ÇÐ ÓÓÒ A = ÌÐÐ Ò (cofa) 11 = ( 1) 1+1 det = 12, (cofa) = ( 1) 1+2 det Ë Ø Ò 2 3 (cofa) 32 = ( 1) 3+2 det = 2, Ò 0 1 k= cofa = ½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) ÌÐÐ Ò Ö ØÝ Ø Ó A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò A(cofA) T = deta I. A 1 = 1 deta (cofa)t. 0 1 = 3, 3 7 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ i,j {1,...,n} ÅÖ Ø ÐÐÒ B M(n,n) ÙÖ Ú Ø B = A Ô Ø B Ò j Ö Ú ÓÒ Ñ Ù Ò A Ò i Ö Ú ÌÐÐ Ò n n n ( detb = B jk (cofb) jk = A ik (cofa) jk = A ) ik (cofa) T kj k=1 = ( A(cofA) T) ij. k=1 k=1

27 ÂÓ i = j Ò Ò B = A ÓØ Ò detb = deta ÂÓ i j Ò Ò B ÓÒ Ñ Ö Ú ÓØ Ò detb = 0 Ë ( A(cofA) T ) ij = { deta, Ó i = j 0, Ó i j Ð A(cofA) T = deta I. ¾ ÂÓ A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò deta 0 ÓØ Ò A 1 deta (cofa)t = I Ð A 1 = 1 deta (cofa)t. ½ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓÒ A = ÌÐÐ Ò deta AS 23 = (1) det ] = ( 1) 1 det[ 2+2 = 3 0, ÓØ Ò A ÓÒ ÒØÝÚ A 1 = 1 deta (cofa)t Ñ ½ = µ ÇÐ ÓÓÒ A = deta 0 Ò Ò 1 3 a11 a 12 ÌÐÐ Ò cofa = a 21 a 22 A 1 = 1 deta (cofa)t = 1 deta T = a22 a 21 ÂÓ A ÓÒ ÒØÝÚ Ð a 12 a 11 a22 a 12 a 21 a 11 ÚÖØ Ñ ½½µ. ¾¼ Ä Ù Ö Ñ Ö Ò ÒØ µ ÇÐ ÓÓÒ A M(n,n) ÒØÝÚ ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ¹ ÖÝ ÑÒ Ax = b Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = detc(1) deta x 2 = detc(2) deta Ñ x n = detc(n) deta, A b 1... A 1n A C(i) = b 2... A 2n M(n,n) ÐÐ i = 1,...,n. A n1... b n... A nn Ö

28 ¾ ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ A 1 = 1 deta (cofa)t Ë Ø Ò Ð Ù Ò ¾¾ ÒÓ ÐÐ Ý ØÐ Ò Ax = b Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÆÝØ x i = 1 deta = 1 deta n k=1 n k=1 x = A 1 b = 1 deta (cofa)t b. ( (cofa) T ) ik b k = 1 deta n b k (cofa) ki k=1 ( 1) k+i b k deta ki = detc(i) deta ÐÐ i = 1,...,n. ¾½ Ñ Ö Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 1 x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 2. Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ A = 1 0 A deta S 13 = (1) = 4 0 Ë Ø Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ö Ñ Ö Ò ÒØ ÚÓ ÓÚ ÐØ ÆÝØ b = 1 1 ÓØ Ò 2 C(1) = detc(1) AS 13 = (1) det = 7. Ë x 1 = Î Ø Ú Ø C(2) = , detc(2) = 7 x 2 = C(3) = , detc(3) = 3 x 3 = ØÐ ÖÝ ÑÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = 7 4 x 2 = 7 4 x 3 = 3. 4

29 ¾ ¾¾ Ä Ù Å ØÖ ÐÐ A M(n,n) ÙÖ Ú Ø Ú ØØ Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù ÐÐ b R n µ ÀÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x = 0 µ Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÑÙÙÒØ A Ò ÒØØ Ñ ØÖ µ ÃÙÚ Ù F A : R n R n F A (x) = Ax ÓÒ Ø Ó µ A ÓÒ ÒØÝÚ µ deta 0 ÌÓ ØÙ ÀÌ ÃÓ Ó Ó ØÓ Ø ØÙØ ØÙÐÓ Ø Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ R n ½ ÅÖ Ø ÐÑ Î ØÓÖ x R n ÓÒ Ú ØÓÖ Ò v 1,...,v k R n Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø λ 1,...,λ k R ØØ k x = λ i v i. i=1 ¾ Å Ö ÒØ Å Ö ØÒ e i = (0,...,0,1,0,...,0) R n i = 1,...,n Î ØÓÖ Ø e 1,...,e n ÙØ ÙØ Ò R n Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒØ Ú ØÓÖ Ñ Ö µ Î ØÓÖ (3,4,5) R 3 ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ Òe 1,e 2,e 3 R 3 Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÐÐ (3,4,5) = 3(1,0,0)+4(0,1,0)+5(0,0,1) = 3e 1 +4e 2 +5e 3. µ ÇÐ ÓÓØ x = ( 1,1, 2) v 1 = (1,2,0) v 2 = (3,0,4) v 3 = (2,1,2) ÇÒ Ó x Ú ØÓÖ Ò v 1 v 2 v 3 Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÌÙØ Ø Ò Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ø λ 1,λ 2,λ 3 R ØØ x = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +λ 3 v 3 ( 1,1, 2) = λ 1 (1,2,0)+λ 2 (3,0,4)+λ 3 (2,1,2) ( 1,1, 2) = (λ 1 +3λ 2 +2λ 3,2λ 1 +λ 3,4λ 2 +2λ 3 ) λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3 = 1 λ 1 = 1 1 λ λ 1 + λ 3 = 1 λ 2 = 1 1λ λ 2 + 2λ 3 = 2. λ 3 R. ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö λ 3 = 0 Ò x = 1 2 v v 2 +0 v 3.

30 ¼ Ë Ø Ò x ÓÒ Ú ØÓÖ Ò v 1 v 2 v 3 Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÀÙÓÑ ØØ ØÝ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑ Î ØÓÖ Ø v 1,...,v k R n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÐÐ Ø λ 1,...,λ k R ØØ λ i 0 ÓÐÐ Ò i = 1,...,k k i=1 λ iv i = 0 ÅÙÙØÓ Ò Ú ØÓÖ Ø v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ó Ø k i=1 λ iv i = 0 ÙÖ ØØ λ 1 = = λ k = 0 ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Ä Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ú ØÓÖ Ò ÑÓÒ ÖÖÓ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø ÙÐ ØØÙ ÐÑÙ λ 4 v 4 λ 3 v 3 λ 1 v 1 λ 2 v 2 µ Í Ò ÝØ ØÒ ÐÝ ÒØ Ø Ä Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÄÁ Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØÓÒ µ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÓÙ Ó {v 1,...,v k } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ»Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ó Ú ¹ ØÓÖ Ø v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ»Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ñ Ö µ Î ØÓÖ Ø v 1 = (1,2,0) v 2 = (3,0,4) v 3 = (2,1,2) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÐÐ 1 v 1 +1 v 2 2 v 3 = (1,2,0)+(3,0,4) (4,2,4) = (0,0,0) = 0. µ ÂÓÙ Ó {(1,0,0),(0,0,1)} R 3 ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐ Ó Ø λ 1 (1,0,0)+λ 2 (0,0,1) = (0,0,0) ÙÖ ØØ (λ 1,0,λ 2 ) = (0,0,0) Ð λ 1 = 0 = λ 2 µ ÇÐ ÓÓØ v 1,...,v k R n ÂÓ v i = 0 ÓÐÐ Ò i = 1,...,k Ò Ò Ú ØÓÖ Ø v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÌÓ ØÙ Î Ð Ø Ò λ j = 0 ÐÐ j i λ i = 1 ÌÐÐ Ò k λ j v j = 0 v v i 1 +1 v i +0 v i v k = = 0 j=1 λ i 0 µ ÇÐ ÓÓÒ V = {v} R n ÌÐÐ Ò V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ v 0 ÌÓ ØÙ : ÂÓ v = 0 Ò Ò µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ : ÂÓ v 0 Ò Ò λv = 0 Ú Ò Ó λ = 0 ÓØ Ò V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ µ ÂÓ Ú ØÓÖ Ø v 1,...,v k R n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ú ØÓÖ Ø v 1,... v k,v R n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÓÐ Ô v R n Ñ Ø Ò

31 ½ ÌÓ ØÙ ÀÌ µ Ä Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÓÙ ÓÒ Ó Ò Ò ÔØÝ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÌÓ ØÙ ÀÌ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ Ö ÐÐ ÓÙ Ó V R n Ú ÒØÒ Ð ÓØ ÌÐÐ Ò V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó Ò V Ò Ð Ó v ÓÒ Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ V\{v} Ð Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÌÓ ØÙ : ÇÐ Ø Ò ØØ v V ÓÒ Ú ØÓÖ Ò v 1,...,v k V\{v} Ð Ò Ö ÓÑ ¹ Ò Ø Ó ØÓ Ò ÒÓ Ò v = k i=1 λ iv i Ó ÐÐ Ò λ i R i = 1,...,k ÌÐÐ Ò k λ i v i 1 v = 0, i=1 ÓØ Ò Ú ØÓÖ Øv 1,...,v k,v ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ë Ø ÒV ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ñ Ö Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ : ÇÐ ÓÓÒ V = {v 1,...,v k } Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø λ 1,...,λ k R ØØ λ i 0 ÓÐÐ Ò i = 1,...,k k j=1 λ jv j = 0 Ë Ø Ò λ i v i = k λ j v j Ð v i = j=1 j i k j=1 j i ÓØ Ò v i ÓÒ ÓÙ ÓÒ V\{v i } Ð Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó λ j λ i v j, Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ A M(n,k) Å Ö ØÒ A = [ A 1 A k ] Ñ Ai R n ÓÒ A Ò i Ö Ú ØÓÖ ÐÐ i = 1,...,k ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø A 1,...,A k R n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó ÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú ¹ Ð Ö Ø Ù x = 0 a 11 a ik ÌÓ ØÙ Å Ö ØÒ A =. ÆÝØ a n1... a nk a 11 x 1 + +a 1k x k 0 Ax = 0 a n1 x 1 + +a nk x k = 0 a 11 x 1 a 1k x k = x 1 A 1 + +x k A k = 0, a n1 x 1 a nk x k 0 Ñ x i R A i R n ÐÐ i = 1,...,k

32 ¾ ÂÓ A 1,...,A k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò x 1 = = x k = 0 ÓØ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x = 0 ÂÓ Ø Ý ØÐ ÐÐ Ax = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ò Ò Ú ØÓÖ Ø A 1,...,A k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ë ÙÖ Ù ÇÐ ÓÓØv 1,...,v n R n ÅÖ Ø ÐÐÒ Ñ ØÖ A M(n,n) ØØ Ñ Ð¹ Ð A = [ v 1 v n ] ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø v1,...,v n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó deta 0 ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ð Ù Ø ¾¾ ½¼ Ñ Ö µ ÇÐ ÓÓØ v 1 = (a 11,a 21 ) R 2 v 2 = (a 12,a 22 ) R 2 ÌÐÐ Ò v 1 v 2 ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó a11 a det 12 0, a 21 a 22 Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ Ú ØÓÖ Ò v 1 v 2 Ú Ö ØØÑÒ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó Ø Ô ØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ v 1 v 2 ÓÚ Ø Ö ÙÙÒØ Ø µ ÇÐ ÓÓØ v 1 = (0,3,1) v 2 = (1, 1,1) v 3 = (3,3,5) ÌÙØ Ø Ò ÓÚ Ø Ó v 1 v 2 v 3 Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ det AS 23 = ( 3) det = (6 6) = 0, ÓØ Ò v 1 v 2 v 3 ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÃÙ Ø Ò Ò Ò ÓÚ Ø ÐÚ Ø Ö ÙÙÒØ ½½ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ S = {v 1,...,v k } R n ÔØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÂÓÙ¹ ÓÒ S Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ó Ô Ø µ S = v 1,...,v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,...,k} ÓÒ Ú ØÓÖ Ò v 1,...,v k Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÓÙ Ó j=1 ½¾ Ñ Ö µ ÐÐ v S Ò ÔØ ØØ S S ÐÐ v = 1 v + w S\{v} 0 w µ 1 = {λ 1 λ R} = R µ Ú ÖÙÙ Ò R n ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÒØ Ú ØÓÖ Ø e 1,...,e n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑ e 1,...,e n = R n ÌÓ ØÙ ÀÌ µ ÇÐ ÓÓÒ S = {(1,0,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,1)} R 3 ÌÐÐ Ò S = R 3

33 ÌÓ ØÙ Ë ÐÚ Ø S R 3 ÐÐ S R 3 Ç Ó Ø Ø Ò ØØ R 3 S ÇÐ ÓÓÒ x R 3 ÇÒ Ð Ý ØØÚ ÐÐ Ø λ 1,...,λ 4 R ØØ x=λ 1 (1,0,0)+λ 2 (2,1,0)+λ 3 (0,0,1)+λ 4 (0,1,1)=(λ 1 +2λ 2,λ 2 +λ 4,λ 3 +λ 4 ) λ λ 1 + 2λ 2 = x 1 1 = x 1 2x 2 +2λ 4 λ λ 2 + λ 4 = x 2 2 = x 2 λ 4 λ λ 3 + λ 4 = x 3 = x 3 λ 4 3 λ 4 R. Î Ð Ø Ò λ 4 = 0 ÓÐÐÓ Ò λ 1 = x 1 2x 2 λ 2 = x 2 λ 3 = x 3 Ë x = (x 1 2x 2 )(1,0,0)+x 2 (2,1,0)+x 3 (0,0,1)+0 (0,1,1) S Ð R 3 S Æ Ò ÓÐÐ Ò S = R 3 µ Å ÓÒ ÓÙ ÓÒ S = {(1,0,1),(2,0,1)} Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ó Ë ÐÚ Ø S R 3 ÐÐ Ò x S Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø λ 1,λ 2 R ØØ λ 1 + 2λ 2 = x 1 λ 1 = 2x 3 x 1 x = λ 1 (1,0,1)+λ 2 (2,0,1) 0 = x 2 λ 2 = x 1 x 3 λ 1 + λ 2 = x 3 x 2 = 0 Ë x S Ó Ú Ò Ó x 2 = 0 Ð S = {x R 3 x 2 = 0} ÓÒ xz¹ø Ó ½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ S = {v 1,...,v k } R n ÔØÝ ÓÙ Ó x R n ÌÐÐ Ò µ x S S {x} = S µ ÂÓ S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò Ò x / S v 1,...,v k,x ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÌÓ ØÙ µ : ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x S Ð x = k i=1 λ iv i Ó ÐÐ Ò λ 1,...,λ k R ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ S {x} = S Ë ÐÚ Ø S S {x} ÐÐ Ó y S Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø µ 1,...,µ k R ØØ k k y = µ i v i = µ i v i +0 x, i=1 ÓØ Ò y S {x} ÇÐ ÓÓÒ y S {x} ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø µ 1,...,µ k,µ k+1 R ØØ k k k k y = µ i v i +µ k+1 x = µ i v i +µ k+1 λ i v i = (µ i +µ k+1 λ i )v i, i=1 ÓØ Ò y S Ë S {x} S S {x} = S i=1 : ÇÐ Ø Ø Ò ØØ S {x} = S Ñ Ö Ò ½¾ µ ÒÓ ÐÐ x S {x} = S ÓØ Ò x S µ ÀÌ i=1 i=1 i=1

34 ½ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ S = {v 1,...,v k } R n ÔØÝ ÓÙ Ó w 1,...,w l S Ñ l k +1 ÌÐÐ Ò w 1,...,w l ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÌÓ ØÙ ÃÓ w j S ÐÐ j = 1,...,l Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ø a ij R i = 1,...,k j = 1,...,l ØØ w 1 = a 11 v 1 + +a k1 v k w 2 = a 12 v 1 + +a k2 v k w l = a 1l v 1 + +a kl v k. Ê ØØ Ð ÝØ ÐÐ Ø λ 1,...,λ l R ØØ (λ 1,...,λ l ) 0 l j=1 λ jw j = 0 ØÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ µ λ 1 (a 11 v 1 + +a k1 v k )+ +λ l (a 1l v 1 + +a kl v k ) = (a 11 λ 1 + +a 1l λ l )v 1 + +(a k1 λ 1 + +a kl λ l )v k = 0 ÓÒ ÔØÖ Ú Ð Ö Ø Ù λ = (λ 1,...,λ l ) 0 ØÐ µ ØÓØ ÙØÙÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó Ò v i Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ð ÓÑÓ Ò Ý ØÐ a 11 λ 1 + +a 1l λ l = 0 a k1 λ 1 + +a kl λ l = 0. ØÓØ ÙØÙÙ ÃÓ Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ Ò ÑÑÒ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ù Ò Ý ØÐ Ø l > kµ Ò Ò Ù Ò ÂÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ø Ô Ù ½µ ÒÒÝ ÃÓ Ý ØÐ ÓÒ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ø Ô Ù ¾µ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ë Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ö Ø Ù Ö ØÝ Ø ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù λ 0 ½ Ë ÙÖ Ù ÇÐ ÓÓÒ S = {v 1,...,v k } R n µ ÂÓ k > n Ò Ò S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ µ ÂÓ k < n Ò Ò S R n ÌÓ ØÙ µ ÃÓ e 1,...,e n = R n v 1,...,v k R n k > n Ò Ò Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ µ ÂÓ S = R n Ò Ò Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ e 1,...,e n R n ÓÐ Ú Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ n > kµ Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ½ Ë ÙÖ Ù ÇÐ ÓÓÒ S R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÌÐÐ Ò S = R n S : ÓÒ n Ð ÓØ ÌÓ ØÙ : Ë ÙÖ ÙÖ Ù ½ : ÂÓ S R n Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ x R n \ S Ä Ù Ò ½ µ ÒÓ ÐÐ S {x} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÙÖ Ù Ò ½ Ò

35 ½ Ñ Ö µ Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÂÓÙ Ó {(1,1,5),(3,3,2),(e,π,e π ),(10,10 10, )} ÓÒ Ð Ò ¹ µ (4,3,2,1,0),(1,2,3,4,5) R 5 µ (0,3,1),(1, 1,1),(1,2,3) = R 3 ÐÐ det = 3 0, ÓØ Ò (0,3,1) (1, 1,1) (1,2,3) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÙÖ Ù Ò ÒÓ¹ ÐÐ ½ Ñ Ö ÂÓÙ Ó R ÚÓ Ò ÙÔÓØØ Ø ÓÓÒ R 2 Ñ Ø Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ R = {(x,0) R 2 x R} Ò ÂÓ x,y R Ò Òx+y = (x 1,0)+(y 1,0) = (x 1 +y 1,0) R λx = λ(x 1,0) = (λx 1,0) R ÐÐ λ R ÇÒ Ó R 2 ÑÙ Ø ØÓ Ó ¹ ÓÙ Ó ÓØ ÓÚ Ø ÙÐ ØØÙ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ò Ù Ø Ò ÒØ R n ½ ÅÖ Ø ÐÑ ÔØÝ ÓÙ Ó V R n ÓÒ R n Ò Ú ØÓÖ µ Ð Ú ÖÙÙ Ó µ v,w V v +w V µ λ R, v V λv V ¾¼ Ñ Ö µ ÂÓ V R n ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò 0 V ÐÐ Ó V ÓÒ ÓÐ Ñ v V ÓØ Ò 0 = 0 v V µ ÂÓÙ ÓØ V = {0} V = R n ÓÚ Ø R n Ò ØÖ Ú Ð Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø µ ÂÓÙ Ó V = {(t, 5t) R 2 t R} ÓÒ R 2 Ò Ð Ú ÖÙÙ ÌÓ ØÙ ÃÓ (0,0) = (0, 5 0) V Ò Ò V ÇÐ ÓÓØ v,w V ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø s,t R ØØ v = (s, 5s) w = (t, 5t) ÆÝØ v +w = (s, 5s)+(t, 5t) = (s+t, 5(s+t)) = (h, 5h) V, ÐÐ h = s+t R Ë ÑÓ Ò ÐÐ λ R λv = λ(s, 5s) = (λs, 5λs) = (h, 5h) V, Ñ h = λs R Ë V ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ µ ÂÓÙ Ó H = {(x,y) R 2 x+y = 1} ÓÐ R 2 Ò Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ 0 / H Ó ÀÙÓÑ ØØ (1,0) H ÑÙØØ 2 (1,0) / H ÐÐ Ë ÑÓ Ò (0,1) H ÑÙØØ (1,0)+(0,1) = (1,1) / H ÐÐ 1+1 1

36 µ V 1 ÓÒ R 2 Ò Ð Ú ÖÙÙ ÑÙØØ V 2 V 3 ÚØ ÓÐ V 1 V 2 V 3 µ ÂÓÙ Ó V = {x R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 = 0} ÓÒ R 3 Ò Ð Ú ÖÙÙ ÌÓ ØÙ ÃÓ = 0 Ò Ò 0 V ÓØ Ò V ÇÐ ÓÓØ x,y V ÆÝØ (x+y) 1 +2(x+y) 2 +3(x+y) 3 = x 1 +y 1 +2x 2 +2y 2 +3x 3 +3y 3 = x 1 +2x 2 +3x 3 +y 1 +2y 2 +3y 3 = 0+0 = 0, ÓØ Ò x+y V Ë ÑÓ Ò ÐÐ λ R (λx) 1 +2(λx) 2 +3(λx) 3 = λx 1 +2λx 2 +3λx 3 = λ(x 1 +2x 2 +3x 3 ) = λ 0 = 0, ÓØ Ò λx V Ë V ÓÒ R 3 Ò Ð Ú ÖÙÙ ¾½ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ V,W R n Ð Ú ÖÙÙ ÌÐÐ Ò V W ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÑÙØØ V W ÝÐ Ò ÓÐ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÌÓ ØÙ ÃÓ 0 V 0 W Ò Ò 0 V W ÓØ Ò V W ÇÐ ÓÓØ v,w V W λ R ÆÝØ v,w V ÓØ Ò v+w V v,w W ÓØ Ò v+w W Ë v+w V W Ä λv V λv W ÓØ Ò λv V W Æ Ò ÓÐÐ Ò V W ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ Ì Ô Ù V W ÀÌ ¾¾ Ä Ù ÇÐ ÓÓÒV R n Ð Ú ÖÙÙ ÌÐÐ Ò ÐÐ k N ÔØ Ó v 1,...,v k V λ 1,...,λ k R Ò Ò k i=1 λ iv i V. ÌÓ ØÙ ÀÌ ¾ Ä Ù µ ÇÐ ÓÓÒ A M(k,n) ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = 0 Ö Ø Ù ÓÙ Ó R 0 ÓÒ R n Ò Ð Ú ¹ ÖÙÙ µ ÇÐ ÓÓÒ b R k A M(k,n) ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ax = b ÓÒ Ó Ò Ö Ø Ù x 0 ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = b Ö Ø Ù ÓÙ Ó ÓÒ R = x 0 +R 0 = {x 0 +y y R 0 }, Ñ R 0 ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = 0 Ö Ø Ù ÓÙ Ó

37 ÌÓ ØÙ µ ÃÓ A0 = 0 Ò Ò 0 R 0 ÇÐ ÓÓØ x,y R 0 ÌÐÐ Ò A(x+y) = Ax+Ay = 0+0 = 0, ÓØ Ò x+y R 0 Ë ÑÓ Ò A(λx) = λax = λ 0 = 0 ÐÐ λ R ÓØ Ò λx R 0 µ ÇÐ ÓÓÒ z R ÌÐÐ Ò z = x 0 +y ÓÐÐ Ò y R 0 ÆÝØ Az = A(x 0 +y) = Ax 0 +Ay = b+0 = b, ÓØ Ò z ÓÒ Ý ØÐ Ò Ax = b Ö Ø Ù ÂÓ Ø z ÓÒ Ý ØÐ Ò Ax = b Ö Ø Ù Ò Ò A(z x 0 ) = Az Ax 0 = b b = 0, ÓØ Ò z x 0 R 0 ÆÝØ z = x 0 +z x 0 R ¾ Ä Ù ÔØÝ Ò ÓÙ ÓÒ S = {v 1,...,v k } R n Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ó S ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ Ë ÓÒ Ô Ò Ò R n Ò Ð Ú ÖÙÙ Ó ÐØ ÓÙ ÓÒ S ØÓ Ò ÒÓ Ò Ó V ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ S V Ò Ò S V ÌÓ ØÙ Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ S ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÃÓ S S S Ò Ò S ÇÐ ÓÓØv,w S ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ λ 1,...,λ k R µ 1,...,µ k R Ó ÐÐ v = k i=1 λ iv i w = k i=1 µ iv i ÌÐÐ Ò k k k v +w = λ i v i + µ i v i = (λ i +µ i )v i S. Ë ÑÓ Ò Ó λ R Ò Ò i=1 Ë S ÓÒ R n Ò Ð Ú ÖÙÙ λv = λ i=1 k λ i v i = i=1 i=1 k (λλ i )v i S. ÇÐ ÓÓÒ V R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÓÐÐ S V Ç Ó Ø Ø Ò ØØ S V ÇÐ ÓÓÒ v S ÌÐÐ Ò Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ø λ 1,...,λ k R ØØ v = k i=1 λ iv i ÃÓ v i V ÐÐ i = 1,...,k Ò Ò Ð Ù Ò ¾¾ ÒÓ ÐÐ v V Ë S V ¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÂÓÙ ÓÒ S Ð Ò Ö Ø Ú Ö Ó S ÙØ ÙØ Ò Ù Ò S Ò Ú Ö Ø¹ ØÑ Ð Ú ÖÙÙ ÂÓ V ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ V = S Ò Ò S Ú Ö ØØ V Ò µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÒØ Ú ØÓÖ Ø e 1,...,e n Ú Ö ØØÚØ R n Ò ÐÐ e 1,...,e n = R n Ä Ú ØÓÖ Ø e 1,...,e n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ¾ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ V R n Ð Ú ÖÙÙ Î ØÓÖ Ø v 1,...,v k V ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ú ÖÙÙ Ò V ÒÒ Ò Ó i=1 µ v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ µ v 1,...,v k = V ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÙ Ó {v 1,...,v k } ÓÒ V Ò ÒØ

38 ¾ Ñ Ö µ Î ØÓÖ 1 R ÑÙÓ Ó Ø R Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÒÒ Ò Ñ Ö µ ½¾ µµ ÅÝ 2 R ÓÒ R Ò ÒØ µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÒØ Ú ØÓÖ Ø e 1,...,e n R n ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø R n Ò ÒÒ Ò µ ÂÓÙ Ó S = {(π,e),(10,10 10 )} ÓÒ R 2 Ò ÒØ È ÖÙ Ø ÐÙ Î ØÓÖ Ø (π,e) (10,10 10 ) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÐÐ π 10 det e = π e 0, Ó π > e < 30 Ë ÐÚ Ø S R 2 ÇÐ ÓÓÒ x R 2 Ø ØÒ ÐÐ Ø λ,µ R ØØ λ(π,e)+µ(10,10 10 ) = (x 1,x 2 ) { πλ+10µ = x1 eλ µ = x 2 { λ = 10 9 x 1 x π e µ = πx 2 ex π 10e. Ë (x 1,x 2 ) = 109 x 1 x π e (π,e) + πx 2 ex π 10e (10,1010 ) Æ Ò ÓÐÐ Ò S = R 2 S ÓÒ R 2 Ò ÒØ ÀÙÓÑ ØØ ÙÖ Ù ½ ÒØ ÙÓÖ Ò Ø ÓÒ S = R 2 µ Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø Ö ÒØÓ ÚÖØ µ¹ Ó Ø µ µ ÂÓÙ Ó S = {(1,0,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,1)} R 3 ÓÐ R 3 Ò ÒØ Ú S = R 3 Ñ Ö ½¾ µµ ÐÐ S ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÙÖ Ù Ò ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µ Ñ Ö ¾¼ µ ØÓ ØØ Ò ØØ V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} ÓÒ R 3 Ò Ð Ú ÖÙÙ Ø ØÒ V ÐÐ ÒØ ÃÓ x V Ó Ú Ò Ó x 1 = 2x 2 3x 3 ÓÒ V = {( 2s 3t,s,t) R 3 s,t R}. Ë x V Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø s,t R ØØ x = ( 2s 3t,s,t) = ( 2s,s,0)+( 3t,0,t) = s( 2,1,0)+t( 3,0,1). Æ Ò ÓÐÐ Ò V = ( 2,1,0),( 3,0,1) Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ( 2,1,0) ( 3,0,1) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÇÐ ÓÓØ λ,µ R ÐÐ Ø ØØ λ( 2,1,0)+µ( 3,0,1) = 0 2λ 3µ = 0 λ = 0 µ = 0 { λ = 0 µ = 0. Ë Ú ØÓÖ Ø ( 2,1,0) ( 3,0,1) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ë Ø Ò ÓÙ Ó {( 2,1,0),( 3,0,1)} ÓÒ V Ò ÒØ µ ÂÓ Ò Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ú Ö ÓÒ ÒØ µ ÌÖ Ú Ð ÐÐ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÐÐ {0} ÓÐ ÒØ ÐÐ ÐÐ ÓÐ Ý ØÒ Ð Ò Ö ¹ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ó ÓÙ Ó

39 ¾ Ä Ù ÂÓ Ú ØÓÖ Ø v 1,...,v k R n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ó¹ Ò Ò v v 1,...,v k ÚÓ Ò ØØ Ý ØØ Ø ÑÙÓ Ó k v = λ i v i, Ñ λ 1,...,λ k R i=1 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ v v 1,...,v k ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø λ 1,...,λ k R ØØ v = k i=1 λ iv i ÇÐ ÓÓØ µ 1,...,µ k R ÐÐ Ø ØØ v = k i=1 µ iv i Ç Ó Ø Ø Ò ØØ λ i = µ i ÐÐ i = 1,...,k ÆÝØ k k k 0 = v v = λ i v i µ i v i = (λ i µ i )v i. i=1 i=1 ÃÓ v 1,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÒ λ i µ i = 0 ÐÐ i = 1,...,k Ð λ i = µ i ÐÐ i = 1,...,k ¾ ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ K = {v 1,...,v k } Ð Ú ÖÙÙ Ò V R n ÒØ Î ØÓÖ Ò v K ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ K ÓÚ Ø Ð Ù Ò ¾ ÒØ Ñ Ø Ý ØØ Ø ÖØÓ ¹ Ñ Ø λ 1,...,λ k Ó ÐÐ v = k i=1 λ iv i ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ v = (λ 1,...,λ k ) K ÂÓ K ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò R n ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ Ò Ò Ð Ò K Ø ØÒ ÔÓ x = (x 1,...,x n ) ¼ ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÙÒ ÝØ ØÒ ÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ö ÒØ (λ 1,...,λ k ) K ÓÒ ÒÒ Ò K Ð Ó Ò Ö ØÝ ÒÒ Ø ØØÝ ÂÓ Ö ØÝ Ø Ú Ø Ò ÑÝ ÓÓÖ Ò ØØ Ò λ 1,...,λ k Ö ØÝ Ú ØÙÙ Ú Ø Ú Ø ÃÓÓÖ Ò ØØ ØÝ Ò Ý Ø Ý ÒØ ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÓÒÓ (v 1,...,v k ) ÓÙ Ó {v 1,...,v k } Ã ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ô ÖÑÙ¹ ØÓ ÒØ ÒØ Ø Ò ÙÙ Ò ÒÒ Ò ½ Ñ Ö Î ØÓÖ Ò(1,0) R 2 ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ K = {(π,e),(10,10 10 )} ÓÚ Ø Ñ Ö Ò ¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÐ π e e π 10e i=1 (1,0) = π e (π,e) e π 10e (10,1010 ). Ë (1,0) = ( 109 ) π 10e K ÇÐ ÓÓÒ v = ( ) π 10e K ÌÐÐ Ò v Ò ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒÒ ÓÚ Ø 0 1 ÐÐ 1 v = 10 9 π e (π,e)+ π π 10e (10,1010 ) = (0,1) π e, e 10 9 π e, π ¾ Ä Ù Ð Ú ÖÙÙ Ò V R n Ó ÒÒ ÓÒ Ñ ÑÖ Ú ØÓÖ Ø Ö ØÝ Ø R n Ò Ó Ò ÓÒ n Ú ØÓÖ ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ K V Ò ÒØ Ó ÓÒ k Ú ØÓÖ ÇÐ ÓÓÒ L V Ò Ó Ò ØÓ Ò Ò ÒØ Ó ÓÒ l Ú ØÓÖ ÃÓ L V = K L ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò Ò l k ÙÖ Ù Ò ½ µ ÒÓ ÐÐ Ë ÑÓ Ò K V = L K ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓØ Ò k l Ë k = l ÃÓ R n Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒÒ ÓÒ n Ú ØÓÖ ÓÒ Ø Ò R n Ò Ó ÒÒ n Ú ØÓÖ

40 ¼ ÅÖ Ø ÐÑ ÂÓ Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ V R n ÓÒ k¹ Ð Ó Ò Ò ÒØ Ò Ò V Ò ¹ Ñ Ò Ó Ð ÙÐÓØØÙÚÙÙ ÓÒ k ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ dimv = k Ä ÓÚ Ø Ò ØØ dim{0} = 0 Ñ Ö µ dimr n = n µ ÇÐ ÓÓÒ V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} Ñ Ö Ò ¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ K = {( 2,1,0),( 3,0,1)} ÓÒ V Ò ÒØ ÓØ Ò dimv = 2 Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ V R n Ð Ú ÖÙÙ {v 1,...,v k } V Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ¹ ØÓÒ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò V Ò ÒØ K ØØ {v 1,...,v k } K ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ S = {v 1,...,v k } ÂÓ S = V Ò Ò S ÓÒ V Ò ÒØ ÓØ Ò K = S ÂÓ S V Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ w 1 V\ S ÐÐ S V ÌÐÐ Ò S {w 1 } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ð Ù Ò ½ µ ÒÓ ÐÐ ÂÓ S {w 1 } = V Ò Ò S {w 1 } = K ÓÒ V Ò ÒØ ÂÓ S {w 1 } V Ò Ò Ð ÝØÝÝ w 2 V\ S {w 1 } ÌÐÐ Ò S {w 1 } {w 2 } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÂÓ S {w 1 } {w 2 } V Ò Ò Ø Ø Ò Ò Ò Î Ð ÒØ ÔÖÓ ÔØØÝÝ Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ð Ò Ð Ò ÐÐ V R n Ó R n Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÙ Ó ÓÒ ÓÖ ÒØ Òn Ð ÓØ ÙÖ Ù ½ µµ Ë Ø Ò ØÙÐÓ Ò ÓÒ V Ò ÒØ K = S {w 1,...,w l } ÓÐÐ Ò l ÓÐÐ k +l n Ë ÙÖ Ù ÇÐ ÓÓÒ V {0} R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÌÐÐ Ò V ÐÐ ÓÒ ÒØ ÌÓ ØÙ ÃÓ V {0} ÓÒ ÓÐ Ñ v V\{0} Ñ Ö Ò µ ÒÓ ÐÐ {v} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ä Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ {v} ÚÓ Ò Ð ÒØ V Ò ÒÒ ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ó S ÓÒ Ð Ú ÖÙÙ Ë ÙÖ Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò R n Ò Ð Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ K Ð Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ó Ä Ù ÇÐ ÓÓÒ V R n Ð Ú ÖÙÙ dimv = k > 0 ÇÐ ÓÓÒ K V k¹ Ð Ó Ò Ò ÓÙ Ó ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ K ÓÒ V Ò ÒØ µ K ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ µ K = V ÌÓ ØÙ ÅÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µ µ µ Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ µ µ µ µ Ä Ù Ò ÒÓ ÐÐ K ÚÓ Ò Ð ÒØ V Ò ÒÒ L K Ä Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ L ÓÒ k Ð ÓØ Ë Ø Ò L = K K = V µ µ ÂÓ K ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò k 2 ÐÐ Ó K = {v} Ò Ò v 0 ÐÐ V {0} Ë Ø Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ v K λ 1,...,λ k 1 R Ó ÐÐ

41 v = v i K\{v} λ iv i Ë Ø Ò Ð Ù Ò ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ V = K = K\{v} ÓØ Ò Ð Ù Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ó Ò Ò V Ò k¹ Ð Ó Ò Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÐÐ dimv = k Ë ÙÖ Ù ÇÐ ÓÓØ v 1,...,v n R n ÌÐÐ Ò det [ v 1 v n ] 0 {v1,...,v n } ÓÒ R n Ò ÒØ ½ ÌÓ ØÙ ÀÌ ¼ Ä Ù ÇÐ ÓÓØ V W R n Ð Ú ÖÙÙ ÌÐÐ Ò µ dimv dimw n µ dimv = dimw V = W ÌÓ ØÙ ÀÌ ½ Ñ Ö µ ÂÓÙ Ó {(π,0,e),(0,1,75),(2010,0,49)} ÓÒ R 3 Ò ÒØ ÐÐ Ò ÓÒ ÓÐÑ Ð ÓØ det π = 49π 2010e 0. e µ ÂÓÙ Ó {(1,2)} R 2 ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓØ Ò ÚÓ Ò Ð ÒØ R 2 Ò ÒÒ Ñ Ö K = {(1,2),(1, 1)} ÓÒ R 2 Ò ÒØ ÐÐ Ò ÓÒ Ð ÓØ 1 1 det = ¾ ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø ÙÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò ØÙÐ ÒØ ÇÐ ÓÓÒ A M(k,n) Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÑÓ Ò Ý ØÐ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 Ax = 0 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = 0. À Ö Ó ØÙ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó V i = {x R n n a ij x j = 0} ÓÒ R n Ò (n 1)¹ÙÐÓØØ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ i = 1,...,k Ñ Ð a ij 0 ÓÐÐ Ò j = 1,...,n ÂÓ a ij = 0 ÐÐ j = 1,...,n Ò ÒV i = R n µ Ë Ø Ò Ax = 0 Ó Ú Ò Ó x V i ÐÐ i = 1,...,k ØÓ Ò ÒÓ Ò x k i=1 V i Ë Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ax = 0 Ö Ø Ù ÓÙ Ó ÓÒ (n 1)¹ÙÐÓØØ Ø Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò Ð Ù Ó ÓÒ l¹ùðóøø Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ ÓÐÐ Ò l n 1 ÂÓ n = 2 Ý ÓÒ ÙÓÖ Ò Ð Ù j=1

42 ¾ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑAx = b Ñ b R k Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ ÓÙ Ó n V b i i = {x R n a ij x j = b i } ÓÒ (n 1)¹ÙÐÓØØ Ò Ò Ø Ó ÙÒ a ij 0 ÓÐÐ Ò jµ Ó ÙÐ Ô Ø Ò x i 0 ÙØØ Ñ x i 0 ÓÒ Ý ØÐ Ò n j=1 a ijx j = b i Ó Ò Ö Ø Ù ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ò Ö Ø Ù a ij 0µ x j = 1 (b i a il x l ) a ij l j x l R, l j. ØÐ Ò Ax = b Ö Ø Ù ÓÒ (n 1)¹ÙÐÓØØ Ø Ò Ø Ó Ò V b i i Ð Ù k i=1 V b i i Ë ÓÒ l¹ùðóøø Ò Ò Ø Ó ÓÐÐ Ò l n 1 Ø ØÝ ÓÙ Ó Ó Ý ØÐ ÐÐ Ax = b ÓÐ Ý ØÒ Ö Ø Ù j=1