x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
|
|
|
- Esa-Pekka Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ ¹ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó¹ ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö Ø¹ ØÚÒ Ð Ðк Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B (p) Ø Ò ØØ v B (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑغ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e t AT e t A t ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v, W Av 2 W v, Wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a), ). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e t A Ke t β, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e t A v 2 t. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e t A v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε
2 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÃÝØØ Ò Ú t y(t) 2 = 2 y(t), y (t) Ò ÐÐ Ò v, WAv = = 2 t e t A v, e t A Av t = e t A v 2 t = 2 Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v, Wv W v 2. / e t A v, Ae t A v t = e t A v 2 = 2 v 2, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = º 2 W Ø Ø Ò ØÙÐÓ x, y W = x, Wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x, x W. ÇÐ ÓÓØ m 2 M 2 W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x, y R n ÔØ x, y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x, f(x) Ax lim W x x 2 W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (, σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) =. x W < δ = x, f(x) Ax W (σ c) x 2 W, x, f(x) W x, Ax W + (σ c) x 2 W c x 2 W. t > x() W < δ, Ò Ò t x(t) 2 W = 2 x(t), f(x(t)) W 2c x(t) 2 W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Re λ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.
3 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x 2 x + x = 2 2 x 2 x + x 2 ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (, ) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (2, 2). ÆÝØ Df(x) = 2 2x 2 º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = 2 ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô ¹ Ö Ø ( 2, [ 3 ]) (, [ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð¹ ØÝÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ± [ 3 ] ÔÓ ØÙÚ Ø x 2 Ð Ô Ø Òº È Ø q = (2, 2) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Df(q) = 2 4 ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ ± i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ 2 2 ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ØÓ¹ Ö ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º p q ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº Ñ Ö º¾ À ÐÙÖ µº Ñ Ö Ò ½º¾ Ý Ø Ñ ÐÐ x (t) = L x 2 ÓÒ Ø Ô ÒÓ¹ g sin(x ) Ô Ø Ø (x, x 2 ) = (kπ, ), k Z. È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø Ñ Ö Ø ÚØ Ý Ð Ø Ñ ÐÙÖ ÖÓ ÙÙ Ð ÚÓ Ð Ô Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò ÝÐ Ô Ò Ø Ô ÒÓ Ð Ú ÐÙÖ º 2π ÖÓØ Ð Ú Ø Ú Ò ÔÝ Ö Ý ÖÖÓ ¹ º [ ÆÝØ Df(x) = L g cosx Df(2jπ, ) = ], ÓØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø L g Df((2j + )π, ) = L g ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø λ,2 = ±i g L λ,2 = ± g. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ L Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÑÙ Ò Ô Ø Ð º ÃÙÒ k ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÙ Ø Ø Ñ ÒÖ Ø ÒÝ Ý Ø ÝÐ Ø ØÙÐÓ ¹ ÑÑ ÚØ Ú Ð Ö Ø ÒÓÑ Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ñ ØÒº ÇØ Ø Ò Ý ÚÙ Ò Ö ÐÝݺ Æ ÑÑ ØØ E = 2 v2 + gl( cosθ) = 2 x2 2 + gl( cosx ). ÓÒ Ú Ó Ô Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ö Ø Ù ÝÖ t E(t) = x 2x 2 + gl sin(x )x = x 2 g sin(x ) + gl sin(x ) L x 2 =.
4 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ E() δ 2, Ò Ò E(t) δ 2 ÐÐ t x 2 (t) 2δ cos(x (t)) δ2 gl, Ð θ kπ α. º ÙÚ µº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö Ø¹ Ù ÔÝ ÝÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ ØÐÐ Ø Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ö ØØÚÒ Ð Ðغ Ë ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÑÙØØ ÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º gl δ 2 α cos θ θ x 2 Î Ö ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù Ý¹ Ö º ÀÙÓÑ Ö ØÝ Ø Ô Ø Ð Ø Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø Ø ØÓ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k ص Ùй Ú Ø Ò º Ø ÖÓ Ð Ò Øµ Ö Ø Ùغ π π x ÂÓ ÓØ ÑÑ ÑÝ ÐÑ ÒÚ ØÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒÓÔ ÙØ Ò Ý Ø Ñ ÑÙÓ ÓÒ θ (t) = v(t), L v (t) = g sin(θ(t)) αv(t), [ Ð f(x) = x ] L 2. ÆÝØ Ø Ô ÒÓÔ Ø g sin(x ) αx 2 Df(2jπ, ) = L g α Df((2j + )π, ) = L g α ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÒÝØ Ú Ø Ú Ø λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 g L λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 + g L.. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ô Ø ¹ Ð ÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÁØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÔØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ ÓØ Ò Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÙÖ Ò Ó Ö Ø Ù Ø ÔØÝÝ Ø Ð Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº π x 2 π x
5 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Î Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ¹ ÐÙÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø k Ô Ö ÐÐ Ò Òµ ÚØ ÓÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÙÒ Ø Ô Ø Ð Ø k Ô Ö ØÓÒµ ÓÚ Øº Î Ñ ÒÒ ØÙÒ ÐÙÖ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óغ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V (x) = x p 2 W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙ¹ ÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ grav (x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò V t (ϕt (x)) t= = grav (x), f(x) <. Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V (x) > V (p), µ grav (x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gra V (x), f(x) < ÐÐ x U \ {p, ܵ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V (x) = x p 2 W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p, Wf(x) < {p, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾
6 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ØÙÐÓ Òº Æ ÒÔ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ò Ñ Ö º¾µ Ó ÓÒ Ò Ö E ÓÒ ÓØ µ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V غ x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò 2x + 3x x = x x 2 x2 2 Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä ¹ x3 2 Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ 2 ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V (x) = a x 2 + a 2 x 2 2, a, a 2 >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ grav (x), f(x) = 2a x x + 2a 2x 2 x 2 = 2a x ( 2x + 3x x 3 2 ) + 2a 2x 2 ( 2x 2 x2 2 x3 2 ) = 4a x 2 + (6a 4a 2 )x 2 x3 2 2a 2x 4 2, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a = 2, a 2 = 3 Ò grav (x), f(x) = 8x 2 6x 4 2, Ð V (x) = 2x 2 + 3x 2 2 ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò V (ϕ t (u)) V (u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. V t (ϕt (u) = grav (ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), ÓØ Ò ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V (x), ÓÐÐÓ Ò c > V (p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x U V (x) < c º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u U c, Ò Ò V (ϕ t (u)) V (u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò Ë p ÓÒ Ø Ð º ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓÒ ε >, c > V (p) ÙØ Ò Ðк ÂÓ u U c, Ò Ò V (ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V (p), ÓØ Ò V = lim t V (ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V (p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V (p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V (x) V ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gra V (x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò V t (ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V (ϕ t (u)) V (u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V (ϕ t (u)) = V (p). ÌÓ ÐØ V (p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º
7 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ì ØÚ º º Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ x a) x 2x = x 2 2x 2 2 x x 2 x 3 b) 3x 3 = x x x 2 x 5 2x 3 2 x 2 x 2. Î Ñ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÙÖ Ñ Ö º¾µ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÙÖ Ú Ø º Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ m Ð ÙÙ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÚÓ Ñ ÒØ F(x) = gra φ(x), Ñ φ ÓÒ Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ x ÓÒ Ñ Ò Ô v Ò ÒÓÔ Ù Ò x = v, v = gra φ(x). m ÇÐ ÓÓÒ (x, v ) R 6 Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÌÐÐ Ò v = graφ(x ) =. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö E(x, v) = 2 m v 2 + φ(x). Ë ÐÚ Ø E(x, v) = m v, graφ(x) + graφ(x), v =, t m Ð Ò Ö ÐÝݺ Æ Ò ÓÐÐ Ò E ÓÒ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ó Ò (x, ) Ò ÝÑÔÖ Ø (x, v) (x, ) = E(x, v) > E(x, ) Ð ÙÒ x ÓÒ φ Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º ÌÑ ÓÒ Ä Ö Ò Ò Ð Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒØÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø (x, ) ÓÒ Ø Ð Ó x ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Øº ÅÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ x = f(x) = grav (x), x U, Ñ V ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò C 2 ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö ÒØØ Ý Ø Ñ º Æ ÐÐ V Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ØØ º Ä Ù º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = grav (x) ÔØ µ V Ò ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ ÂÓ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø º µ ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÝÖØ Ð Ú Ø V Ò Ø ÖÚÓÔ ÒÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø º µ ÂÓ V ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ x (τ) 2 τ V (x()). ÌÓ º µ ÆÝØ grav (x), f(x) = gra V (x), grav (x) = gra V (x) 2. µ ÃÙÒ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ò º ÓØ µ¹µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº µ ÂÓ x U ÓÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø v ÓÒ Ô ÒÒ Ò { y U V (y) = V (x) Ø Ò ÒØØ Ô Ø x, Ò Ò h V (x + hv) h= = Ð grav (x), v =. µ ÌÓ ØÙ Ò µ Ó Ò ÑÙ Ò V (x()) V (x(t)) = Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ó V (x(t)). t t V (x(τ)) τ = τ x (τ) 2 τ,
8 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º º ÇÐ Ó Ý Ø Ñ [ x cos(x )[x = f(x) = 2 sin(x )] sin(x ] 2 ) + sin(x ) x 2 Ö ÒØØ Ý Ø Ñ ÂÓØØ f ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ ÓÒ ÓÐØ Ú f 2 x. Æ Ò Ò ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø = cos(x ). ÃÓ f 2 = V x 2, Ò V (x, x 2 ) = x 2 ( + sin(x ) ξ) ξ + g(x ) = x 2 ( + sin(x )) + 2 x2 2 + g(x ). ÌÓ ÐØ V x = f, Ó Ø g ÐÐ Ð x 2 cos(x ) g (x ) = x 2 cos(x ) ( + sin(x )) cos(x ) 2 sin(x ) g(x ) = x [( + sin(ξ)) cos(ξ) + 2 sin(ξ)] ξ = 2 ( + sin(x )) 2 2 cos(x ), V (x, x 2 ) = 2 (x 2 sin(x )) 2 2 cos(x ). f x 2 = x 2 ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø (x, x 2 ) = (kπ, ). È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø V Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ô Ö ØØÓÑ Ø ØÙÐ Ô Ø Øº Î Ö ÙÚ ÓÒ Ó Ø ¹ Ò V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ ÑÙÙØ Ñ ØÖ ØÓÖ º Ì Ö Ø Ð ÐÐ Ø ÙÖ Ù Ð Ù ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓØ ØÑÒ ÙÚ Ò ÚÙÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ Ú ØÖ ØÓÖ Ò Ð ÙÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔØÝÚØ Ö Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº ÇÒ Ó ØÑ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÚ Ø Ð ÙÔ Ø Ø Î Ø Ù ÓÐ º Å µ x º º Ê Ø Ù Ò ÑÓØØ ÐÙ º Ê Ø Ù Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÖØÓÓ Ô Ð ÓÒ ÓÙ ÓØ Ó ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ Ú ÓÑ Ö Ò Òº [ Ì Ö Ø Ð ÑÑ [ Ñ Ò Ó Ý Ø Ñ Øº Å Ö ØÒ { ÑÚ ¹ x f x Ø x =, f = Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ x y] g] = f(x, y) = f(x) Ð. y = g(x, y) ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÓÙ ÓØ X + = { (x, y) f(x, y) >, X = { (x, y) f(x, y) <, Y + = { (x, y) g(x, y) >, Y = { (x, y) g(x, y) <,
9 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ A ++ = X + Y +, A + = X + Y, A + = X Y +, A = X Y. ÂÓÙ Ó X + Ö Ø ÙÒ x ÓÓÖ Ò ØØ Ú ÓØ Ò ÙÐ Ø Ò Ó ÐÐ Ô Ò ÓÙ Ó A ++ ÝÐÚ ØÓÓÒ Ó ÐÐ Ò º ÂÓÙ Ó Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÙÐ Ø Ò Ó Ó Ú ¹ Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ø ØØ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÂÓ Ú Ð Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ð Ò Ö Ó ¹ ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÐÐ Ù Ò Ó Ñ Ð Ó ÝÚ ÙÚ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖØ ÙÐ Ú Øº Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ { x = x + y y = x 2 x y ÑÑ X + = {y > x, X = {y < x, X = {y = x, Y + = {y < x 2 x, Y = {y > x 2 x, Y = {y = x 2 x. Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø p [ = (, ) ] q = (2, 2). Df(x, y) =, ÓØ Ò 2x p : Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ Df(, ) =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,2 = ± i. ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó Ù º q : Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ Df(2, 2) =, 3 ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,2 = ± 3. ÌÑ [ ÓÒ ØÙÐ ] ÓÐÐ ÓÒ[ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ] v = v 3 2 = º ÃÙÚ ÓÙ ÓØ 3 A ++ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÒÙÓÐ ÐÐ º Ì ØÚ º º ÌÙØ Ñ Ò Ø Ô Ò Ý Ø Ñ { x = y y = x x 3 ky, ÙÒ k =, 2. Í Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ø º { x = f(x, y) y = g(x, y) Ö Ø Ù ÝÖØ xy Ø Ó Ð ÝØÝÚØ Ð Ö Ý ØÐ Ò y x = y/t x/t = g(x, y) f(x, y) ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ê Ø Ù Ö Ø Ù ÝÖ ÓÚ Ø Ö Ó Ø º Ê Ø Ù ÓÒ t Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ÝÖ ÓÒ R n Ò ÝÐÐ xy Ø ÓÒµ Ó ÓÙ Óº
10 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ Ò { x = x + xy 2 y = x 2 x 2 y y x = x2 x 2 y x + xy = x 2 y +, Ö Ø Ù ÝÖØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò Ð 2 y2 + y = 2 x2 + C. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (, ) ÝÑÔݹ Ö Øº Ì ØÚ Ô ÖÖ ÓÙ ÓØ X +, X, Y +, Y Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÙØ Ò Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ô Ø Ò ÙÐ Ú Øº ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Øµº Ì ØÚ º º ÆÝØ ØØ Ô ØÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ½º ÓÒ ÐÙ p >, s > Ý Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÓÒ Ø Ð º Î ÒÝØ Ý ØÐ p s = p/t cp + sp = s/t as bsp = s c s p a bp ÓÒ Ô ÖÓ ØÙÚ sp Ø Ó Ò Ö Ø Ù ÝÖØ a ln p bp = c ln s + s + C, ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ ÙÐ Ú ÙÐ ØØÙ ÝÖ º Ì ØÚ º º Å Ø ÝÖ Ô Ø Ò Ý Ø Ñ Ò µ x = αx, y = βy, µ x = 2x y, y = 4x y, Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø º º È Ö Ó Ø Ö Ø Ùغ Ì Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓØ Ô Ð Ú Ø Ð ÙÔ Ø Ò º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ý Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÔÝ Ö ÚØ Ö Ø¹ Ùغ ÂÓ Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ô Ø Ø x Ð Ø Ú Ö Ø Ù ØÙÐ ÙÙ Ø Ò x Ò Ò τ ÙÐÙØØÙ Ð Ó φ τ (x ) = x, Ò Ò ØÖ ØÓÖ Γ = { φ t (x ) t [, τ] ÑÙÓ Ó Ø ÙÐ ØÙÒ ÝÖÒ R n º ÌÐÐ Ò φ τ (x) = x ÐÐ x Γ, ÐÐ Ó x = φ t (x ), Ò Ò φ τ (x) = φ τ (φ t (x )) = φ t (φ τ (x )) = φ t (x ) = x. ÌÓ Ò ÒÓ Ò φ t+τ (x) = φ t (x) ÐÐ t R, x Γ. ÌÐÐ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÙØ Ò τ Ô Ö Ó º ÇÐ ÑÑ Ò Ò Ø Ò Ø Ñ Ö Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ ÐÙÖ ÐÐ º ÃÙØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÑÝ Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò Γ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØ ÔÝ ÝÚØ Ò Ð ÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ó Ò Ù Ø Ð ØÝÚØ Ò Γ º ÑÑ ÖÝ Ý Ò Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ò ÐÙÓØ ÑÑ ÒØÙ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö º Ñ Ö º º Î Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ò Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ÑÝ Ô Ö Ó ÔÝ ÝÚØ Ð Ðк Ì Ö Ø ØÑÒ ÚÓ ÒÝØØ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö º ÆÑ ÚØ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÐ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÖ ØÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø ÓÙ Ó R n º
11 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ñ Ö º½¼º ÇÐ ÓÓÒ Ý Ø Ñ x = f(x) ÒÝØ x = ( x2 x2 2 )x + 4x 2 x 2 = 4x + ( x 2 x 2 2)x 2. 4 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø f x () =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 4,2 = ±4i. Ö Ø ØÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙ µº ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ x Ú Ù Ò Ô Ò Ò º Ä Ø Ò Ó x (t) = f(x(t)), Ò Ò t x(t) 2 = 2x x + 2x 2x 2 = = 2[( x 2 x 2 2)x 2 + 4x x 2 4x x 2 + ( x 2 x2 2 )x2 2 ] = = 2 x(t) 2 ( x(t) 2 ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò g(t) = x(t) 2 ØÓØ ÙØØ g (t) = 2g(t)( g(t)). x x Ì Ø Ò Ò Ø ØØ g = ÓÒ ØÑÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÐÐ (2g( g)) g g= = 2 < µº Ð ÙÔ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ø ØØ Ó x() =, Ò Ò x(t) = ÐÐ t Ó x(), Ò Ò x(t), ÙÒ t. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ [ cos sin4t 4t ] ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓØ Ú Ø Ú ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖº ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Øº Ñ Ö º½½ Î Ò Ö ÈÓеº ÃÙÙÐÙ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ø Ó Ø ÓÐ Ð ØÖÓÒ ÔÙØ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ ÓÒ Ò º Î Ò Ö ÈÓÐ Ò Ý ØÐ Ô ÖÙ ÑÙÓ Ó Ò { x = y x 3 + x. y = x ÆÙÑ Ö Ø ÑÙÐÓ ØÙÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÖÚÓ Ø [. ] ÒÝØØ ØÐØ y.5 x t ÆÝØØ ÐØ ØØ Ö Ø Ù ÐÙÑ Ò Ô Ö Ó Ø º ÇÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ó Ù ÓÖ Ó Ð Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ ÓÒ [ ], ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = ± i
12 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ ÐÙ Ø Ó x ÐÐ y ÐÐ ÓÒ Ú ÓÑ Ö Ð ÓÙ Ó Ò X +/, Y +/ Ð Ù A ++ = { (x, y) x < y > x 3 x A + = { (x, y) x > y > x 3 x A + = { (x, y) x < y < x 3 x A = { (x, y) x > y < x 3 x º A A -+ A A +- y Ð ÐÐ x =, ÓØ Ò y =, Ð Ú ØÓÖ ÒØØ ÓÒ Ú ÙÓÖ Ó ÐÐ ÔÓ¹ Ø Ú ÐÐ Ú ÑÑ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ y Ð ÐÐ º ÃÝÖÐÐ y = x 3 x ÔØ x =, ÓÐÐÓ Ò Ú ØÓÖ ÒØØ ÓÒ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ð Ô Ò ÙÒ x > ÝÐ Ô Ò ÙÒ x <. ÇÖ ÓÒ Ð ÐÐ Ý Ø Ñ ÝØØÝØÝÝ Ù¹ ] Ø Ò [ x y ] = [ ][ x y ÙÚ ÖÑ ÝÖÒÔØ µº ÌÙØ Ø Ò Ñ Ø Ò Ý Ø Ñ ÝØØÝØÝÝ Ù Ò ÓÖ Ó Ø º à ÒØØÚ ØÓÖ Ø Ø Ð Ñ ÐÐ ÒÝØØ ÐØ ØØ Ù Ö Ø ÙØ Ð ØÝ ÚØ ÓÖ Ó º È Ò Ò ÒÓÖÑ Ä Ø Ò t φt (x, y) 2 t= = 2x (y x 3 + x) + 2y ( x) = 2x 2 x 4. Æ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÓÐ x 2 +y 2 Ú Ù Ò ÙÙÖ º ÆÓÖÑ Ú Ò ÙÐ ØØ y Ð Ò Ð Ðк ÆÓÖÑ = Ú Ó Ú Ø ÝÑÔÝÖº Æ Ø ÙÐ Ø Ò ÒÔ Ò ÓÐ ÝÑÔÝÖ ØØ Ò Ú Ù Ò ÙÙÖ º ÃÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ô Ó ÓÐ Ô Ø ÙÐ Ò Ò Ó ÐÐ ÝÐ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ò Ò y Ð Ò Ð ÐÐ ÒØØ ÙÐ ÒÔ Òº ÌÐÐ Ò Ò ÐÐ Ô ÓÐ Ñ Ö V (x, y) = 2x 2 2xy + y 2 = r 2. ÇÒ Ó ØÑÒ Ö ÙÒ ÐÐ ÒØØ ÒÔ Ò ÐÐ Ô Ò ÙÐ ÓÒÓÖÑ Ð ÓÒ ( gra V (x, y) = x (2x2 2xy + y 2 ), ) y (2x2 2xy + y 2 ) = (4x 2y, 2x + 2y) ÒØØ ÓÒ ÒÔ Ò Ó grav, f < ÐÐ Ô Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ð Ô Ø y = x ± r 2 x 2, x r. Ø Ø Ò g(r, x) = gra V (x, y), f(x, y) V (x,y)=r 2, ÓÐÐÓ Ò g(r, x) = 2 (3x 2 x 4 + x(x 2 2) ) r 2 x 2 r 2. ÆÝØ Ô Ø Ð ÝØ r > Ø Ò Ø¹ Ø ØÑ ÓÐ Ò Ø Ú Ò Ò ÐÐ x [ r, r]. È ÖÖ ÐÐÒ g(r, x) ÝÖ Ö r Ò ÖÚÓ ÐÐ º Æ Ò ØØ ÙÒ r = 2, Ò Ò g ÓÒ Ò Ò Ø Ú Ò Òº ÃÝй Ð ØÑÒ ÚÓ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÒÝع Ø ÑÙØØ ÓÒ Ñ Ò Ø Ù Ø Ó¹ Ø Ò ÐÙÓØ Ø Ò ÒÝØ ÙÚ Òº r= g x -r r r=2 r=3
13 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ 3 p K A ++ p A -+ A A +- ÆÝØ ÓÙ Ó K = { (x, y) 2x 2 2xy + 2y 2 4, ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ Ö ÙÒ Ò Ô Ø grav, f < ÓÒ Ò ¹ Ø Ú Ò Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø ÒÚ Ö ÒØØ Ò Ö ÙÒ Ò ÐÔ Ñ Ò ØÖ ØÓÖ Ô ÙÐÓ º Ë Ó Ö Ø Ù Ð Ø Ô Ø Ø x K, Ò Ò ÔÝ ÝÝ K ÐÐ t, Ð x K = φ t (x) K t. -3 Å Ø Ò ÒÝØ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò ØÖ ØÓÖ ÝØØÝØÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø x K Ú Ô ÐÙ A ++. Ì Ø Ð Ø ÚÐÐ ØÖ ØÓÖ ÐÐ x ØØ y ÓÓÖ Ò Ø Ø Ú Ú Ø Ð ÙÐ Ø Ò Ó Ó Ò Ó ÐÐ ÝÐÚ ØÓÓÒ ÙÒÒ ØÙÐÐ Ò ÐÙ Ò A ++ K Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÚÓ ØÙÐÐ K Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÒØØ Ó Ó ØØ ÒÔ Òº Ë ÑÓ Ò ÑÝ Ò ÚÓ Ø Ö¹ ÑØ ÝÖÒ y = x 3 x, ÐÐ ØÐÐ ÒØØ Ó Ó ØØ ÝÐ Ð A ++ Ò Ô Òº ÂÓÒÒ Ò ÓÒ ØÙÐØ Ú ÐÐ f(φ t (x )) c >, ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝØÒ ÖØ ÐÐ Ö Ø ÙØ ØÙÐ Ú Ø ÐØ ÔÓ Ô Òµº ÒÓ Ú ØÓ ØÓ ÓÒ ØØ Ø ÖÑØÒ y Ð Ò ÚÙØ Ò ÐÙ Ò A + K. Ë Ñ ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ú Ñ Ø ÙÖ Ú ÝÖÒ y = x 3 x ÐÔ ÓÙ ÓÓÒ A K ÐØ A + K Ò ÙØØ Ø Ò A ++ K ÓÒº Æ Ò ÝØØÝØÝÝ Ó Ò Ò K ÙÐ Ú ØÖ ØÓÖ Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÖ Óµº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p = (, a ) ÐÐ Ô Ò K Ö ÙÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò y Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ð a = 2. Ì ØÝÒ ÖÖÓ Ò A + A A + A ++ ÐÐ Ô Ò ÐÐ φ t (p ) Ó Ø y Ð Ò Ô Ø φ t (p ) = p = (, a ), Ñ a < a, ÐÐ p Ø Ð ØÒ Ø K Ò Ò Ø Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÚÓ ØÙÐÐ º ÌÓ Ò ÖÖÓ Ò Ð Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø p 2 = (, a 2 ) = φ t (p ). ÂÓ ÓÐ a 2 a, Ò Ò ÝÖ { φ t (p ) t [, t ] ÓÐ ÓÙØÙ¹ ÒÙØ Ð Ñ Ò ÝÖÒ { φ t (p ) t [, t ]. ÌÖ ØÓÖ Ø ÚØ ÚÓ Ð Ø ØÓ Ò ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ð Ø Ö Ø Ù µº Ë Ô a 2 < a. Æ Ò Ø Ò Ò Ô Ø ÓÒÓ {p k k = {(, a k ) k, Ñ a k+ < a k p k+ = φ t k (p k ). ÅÓÒÓØÓÒ ÐÐ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÓÒÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ÖÚÓ ÓØ Ò Ø Ø Ò a = lim k a k p = (, a ). Î Ø Ú Ø Ó f(p ),µ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ τ = lim k t k ÓÒ ÓÐ Ñ º φ Ò Ø ÙÚÙÙ Ø Ò ÒÝØ ÌÓ Ò ÒÓ Ò p ÓÒ Ô Ö Ó Ò Ò ØÖ ØÓÖ º p = lim k p k = lim k p k+ = lim k φ t k (p k ) = φ τ (p ). ÓÒ Ô Ö Ó Ò Ò Ô Ø Γ = { φ t (p ) t [, τ]
14 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÇÐ ÑÑ ØÓ Ø Ò Ø ØØ Î Ò Ö ÈÓÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ö Ó Ò Ò ØÖ ØÓ¹ Ö Γ ÓØ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚغ ÌÑ Ó ÐØ Ò Ð ØØ Ð ØÖÓÒ ÔÙØ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Òº Ä Ø Ö Ø ÐÙ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð ÒÝØØ ØØ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÙØ Ò ÙÚ Ø ÚÓ ÔØ Ðе ØØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ò ÒÓ Ô Ö Ó Ò Ò Ö Ø Ù ØØ Ö Ø ÙØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ð ØÝÚØ Γ º ÅÙØØ ÓÐ Ò Ø Ò Ó Ð ÐÐ ÓÑÑ º Ã Ñ Ò Ó ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ø Ù Ò Ð Ð Ý¹ Ý ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ ÓÙ Ó Ó Ö Ø ÙØ ÔÝ Ý Úغ ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ó ØÖ ØÓÖ Ø ÚØ Ð ØÓ Ò Ò ÚØ Ô Ø Ó ÑÓÒ ÑÙØ Ø ÖØ Ð ÑÒ ØÓ ¹ Òº ÃÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÒØÒ ÓÐÑ ÚÓ ÒØÝ Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÝØØÝØÝÑ Øº ÃÙÙÐÙ Ñ Ö Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ú Ñ Ö º½¾ ÄÓÖ ÒÞ Ò ØØÖ ØÓÖ µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ x = (y x) y = x(28 z) y. z = xy 8z 3 ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÖ Ó p, q = (±6 2, ±6 2, 27), Ó Ð Ò Ö Ó Ù ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÖ Ó : λ = λ 2 = λ 3 =.83 p : λ p = λ p 2,3 =.94 ± i.9 q : λ q = λ q 2,3 =.94 ± i.9. ÇÖ Ó Ð Ò Ö Ó ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ó Ò Ò Ø Ð Ø ¹ Ó Ý Ñ Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ð ÙÓÖ º p q Ø Ô ÒÚ ¹ ØÓ Ò Ý Ñ Ò Ó Ø Ø Ð Ø ÙÓ¹ Ö Ø Ñ Ò Ó Ø Ô Ø ¹ Ð Ø Ø ÓØ Ú Ø Ø Ò ÓÑÔÐ ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓ º Ê Ø ÙØ ÔÝ Ö ÚØ p Ø q Ø ÔÓ Ô Òº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ò Ø ÚØ Ò Ò ÙÒÒ ÔÙØÓ Ú Ø Ð ÐÐ ØÓ Ò Ô ¹ Ø Ð Ø Ó º Ã Ù Ð Ø ÚØ Ö Ø¹ ÙØ Ð ØÝÚØ Ò Ø Ô Ø Ø ÚØ ØÒÒ ÓÒÒ Ò ÙÐ Ñ Òº ÌÑ Ó Ò ÓÒ Ò º ØØÖ ØÓÖ º ÆÙ¹ Ñ Ö ÐÐ ÑÙÐÓ ÒÒ ÐÐ ÒÝØØ ØÐØ x p z q y
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 2.5 2 Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼ Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º
Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º
Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º
Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
x α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET