λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
|
|
|
- Urho Parviainen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È
2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ø Ù Ø ¾ Ì Ø ÐÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ØØÚ Ý Ò ÖØ ØÙ º½ Ì ÖÚ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓØ ØØÙ Ý Ò ÖØ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖØ ØÙ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ º º º º º ½¼ Å ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø ½½ º½ Ê Ø ÙÒ Ö ÝÝ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º¾ Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ò ÖØ ØÙ Ò Ú ÙØÙ ÙÑ ØÙÐÓ Ò º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ ½ Î ØØ Ø ½
3 ½ ÂÓ ÒØÓ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ö Ù Ò ÔÝÖ ØØÝ ÖÚ Ó Ñ Ò ÓØ Ð ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ú ÙØÙ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐÑ Ò Ú ÖØ ÐÙ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ¹ ÙÙ Ò ÐÝÝ º ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ÑÙÓ ÒØÙ Ö ÔØ Ú Ø Ø ¹ Ø Ò Ö Ø ¾¾ Ñ Ø Ñ ØØ ÑÑ ¾ ÚÙÓ Ò ÐÓÔÔÙÙÒ Ñ ÒÒ ØØ Ð Ù Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÑÓÒ ÑÙØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø ½ ½ ½ º Ö Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ö ÓÒ ØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾½ Ó ØÙÐÓ Ø ÔÝÖ ØÒ ØØÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ØØÑ Ò ÑÙÓ Ó º Ò ÖØ ÑÑ ÐÐ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙØØ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÑ Ò ÓÒ ØÝ Ø ÙÚ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÙØ Ò Ø ØÝ º Ì ØÓØ Ò Ò ØÝ Ò ÑÝ Ø ÓØ Ð ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ò ÓÒ Ýع ÝØÝÒÝØ Ö Ð Ø Ò Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò Ý ÝÒØÑ Ò Ò ½¼ º ÆÑ Ó ÐÑ ØÓØ ØÙÓع Ø Ú Ø Ú ÐÑ Ø Ò ÐÝÝ ÓÔ Ö Ø Ú Ø Ø Ð ÒØ Ø Ó Ø Ñ ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ù¹ Ö Ù Ø º Ì Ö Ø ÐØ Ú Ø Ð ÒØ ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ù Ø ÓÑ Ú ÓÐÐ Ò ÓÙ Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ö Ð Ö Ø ÐÑ º ÌÑ ØÝ Ø Ö Ø Ð Ñ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÚÓ Ø Ò ÝØØ ØÐÐ Ú ¹ Ø Ý Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ñ Ò Ø Ù ÑÔ ÓÙ Ó º ÌÝ ÓØ Ø Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ø Ð Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ñ Ñ ÓÐÐ Ø ÓÙ¹ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ø ÓÙ Ó Ø º ÌÑ ÐÙÓ Ð¹ ÐÝØÝ Ø Ð ÒØ Ø Ó ÑÑ ÐÐ ØÓ Ø ÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÐÐ ÑÝ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙØ Ð ÒØ º ÌÑ ØÝ ØÙØ ÑÝ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú ÙØÙ Ý ÐÐ Ý Ò Ö¹ Ø ØÙ ÐÐ ÓÒ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Òº ½
4 ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ø Ù Ø Æ Ò Ù Ò Ù Ò ÓØ ÓÒ ÝØÝ Ò Ò Ð ØØÝÚ Ò ØÓ Ñ Ò ÙÖ Ù ÓÒ ÐÙع ØÙ ÒÒ Ó º Î Ö ÑÑ ØÓÖ Ó Ò ÝÒÒ Ò Ø ÓÖ Ø Ó ÒØ ÓÐ Ö Ð ¹ Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ò ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ó Ø Ñ ÓÔÔ Ò ØØ ÐÝ Ñº ËÙÒ Ì Òº ¼¼ ÃÖº ¾¾ µº ÖÐ ÚÓÒ Ð Ù Û ØÞ ØØ ÚÙÓÒÒ ½ ¾ ÙÖ Ø Ò Ð Ù Ú Ò ÓÒ ÑÙ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÓÒ ØÙÐÓ Ý Ò ÑÖ Ø Ò Ò Ð Ù Ø Ø Ø ÐÙ¹ ÓÐÓ Ù Ø Ø º Î Ö Ò Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ð Ó Ú Ø ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ ÐÙ Ø Ø ÐÙÙÒ Ð ØØÝÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙØ Ñ ÐÐ º Ì ¹ Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ò ÑÑ ÙÖ ÒÙÙÖØ ÓÐ Ú Ø Ý Ú ÐØ Ð Ò Ò ÙÔ Ö Â Ù Î Ð ÒØ Ò Ö ØØ Ð Ò Ò ØÙØ Ö Ö Ïº Ä Ò Ø Ö Ú ÒÐ Ò Ò Åº Ç ÔÓÚ ÓÒ Ø Ö ÑÔ Ò Ð ÐÐ ÝÝ ÓÒ ÒÝØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º Ä Ò Ø Ö ØÙØ Ø Ø ÐÙÒ ÝÒ Ñ Ö ÒØ Ð Ð ÒÒ Ò Ò ÙÐÑ Ø ÐÓ ØØ Ò Ò Ö Ò ¹Ð ÓÙÐÙ ÙÙ ½ ½ Ö Ò ÙÐ Ù ÓØ ÚÙÓÒÒ ½ ½ ÓÓØØ Ò Ñ Ò Ø Ó Ò ½ º Æ ÖØ Ð Ò ØØ Ð Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ô Ö ÙÚ Ñ Ò Ø Ö Ð Ø Ø Ø ÐÙØ Ð ÒÒ ØØ º ÀÒ ÙØ Ù Ò Ø Ô ¹ Ö ÒØ Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð º Î Ø Ú Ò ÐØ Ö ÒØ Ð ¹ Ý ØÐ Ô Ö ÓÒ Ø ÐØÝ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò ÙÐÙ Ù Ø Ö Ð ÑѺ µ Ó Ø ÝÐ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ź Ç ÔÓÚ ØØ Ä Ò Ø Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ ÑÓ ØÙÐÓ Ö Ø Ú ÐÐ Ó ØØÙÒ ½ Ø Ò ÑÝ Ò ØÖ Ø Ð Ú ÒØÓ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ø º ÎÙÓÒÒ ½ ¾ Ô Ð ØÙ ØØ ÂºÎº ÓÐ ÑÙÓ Ó Ø ÒÙØ Ú Ø Ú Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö Ò Ó ÚÙÓÒÒ ½ ¼¾ ÑÙØØ ØÙÐÓ Ø ÓÐ Ð ØØÙ ¼ ÚÙÓ º Ì ¹ Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ØÝØØ Ò Ô Ø Ò Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ò Ú Ð Ù Ò ØÙØ ¹ Ñ Ò ½ Ú Ø Ú Ñ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò Ò ÓÒ ÓØ ØØÙ Ñ Ö Ø¹ ØÚ Ð Ø Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ò Ø Ñ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ú º ËÑ Ø ÝÖ ØØ ÚÙÓÒÒ ½ ÓÚ ØØ Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒØ Ò ÑÙÓØÓ Ð Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò ÚÙÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò ÐÚ Ý¹ ØÝ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ ¾½ º ËÑ Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ó ÓÒ Ö ØØ Ò ÒØÙ Ø Ú Ò Ò Ý Ò Ö¹ ¾
5 Ø Ø Ó ØØ Ú Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ÌØ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ ÓÒ ØØ ÑÑ Ò ØÙØ ØØÙ Ø Ö ÑÑ Ò ½ º Ë Ø ÓÒ Ô ØØÝ Ô ÖÙ Ð Ø Ó ¹ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÐÐ ÙÓÖ Ø ØØ Ú ÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ÐÐ ÐÐ Ú Ø ÙÓ¹ Ö Ò Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ÃÝ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÐÐ ÓÐ Ú ÔÔ Ð º Ì Ø ÐÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÔØ Ð db dt = µ RR dr dt = µ BB, Ñ B,R,µ R µ B ÓÚ Ø Ò Ò ÔÙÒ Ò Ú ÚÙÙ ÔÙÒ Ò Ò Ò ØÙÐ Ò Ø Ó ÙÙ Ú Ø Ú Ö ØÝ º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ø ÑÝ Ð ÙÚ ÚÙÙ Ò ÑÖ ØØÑ Ð Ù ÖÚÓ B(0) = B 0, R(0) = R 0 º ½µ ÂÓ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ø ÙÚ Ò Ø ÓÒ [0,B 0 ] [0,R 0 ] Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó S = { 0,1,...,N B 1,N B } { 0,1,...,N R 1,N R } Ó N B N R ÓÚ Ø Ò Ò ÔÙÒ Ò Ð ÙÚ ÚÙÙ Ø Ô ÝØÒ ÐÔÓ Ø Ø Ö¹ Ø Ð Ñ Ò Ø ÙÚ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ ÓÒ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ S ¹ Ú ÖÙÙ T = R + º ÂÓØØ Ø Ð ÖØÝÑ Ò ÈÓ ÓÒ¹ÔÖÓ Ò ÒØ Ò Ø Ø Ø λ (i,j) (k,l), (i,j),(k,l) S Ú Ø Ú Ø Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ½µ ØÝØÝÝ ÓÐÐ λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. ¾µ
6 (N B,N R ) µ R N R µ B N B (N B 1,N R ) (N B,N R 1) µ R N R µ B (N B 1) µ R (N R 1) µ B N B º º (0,1) (1,0) µ B 0 µ R 0 (0,0) ÃÙÚ ½ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð Ú Ø Ú Ø ÙÚ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ º ÃÝ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½º Ì Ø ÚÓ Ø Ò Ø Ø Ð ÖØÝÑÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ö Ø Ø Ó T d = { t i } K i=0 Ó ¹ Ò Ý Ò Ò Ø Ò Ó ÐÐ ÓÑÑ ÐØ ÙÑÑ ÐØ Ó ÔÙÓÐ ÐØ ØÙ ÓÙØÙÙ Ý Ý º Ì Ø Ô ÝØØ Ò Ò ÙÓÖ Ò ËÑ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ ¾½ Ò ¹ ÓÖ Ó Ú Ò Ø ÐÓ Ò ÓÖ Ø ÓØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ì Ö Ø ÐÙÒ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÐÐ Ø ØÓ ØÓ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ò Ø Ò ÝØ ØÒ Ý ¹ Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ó Ò ÚÐ Ò Ò Ô ØÙÙØØ ÙÓÑ Ó º Ì ØÝ ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ð Ñ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ú Ð ØØÙ Ò Ò¹ Ø Òº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ ØÐÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø ÚÐ Ò Ò Ö Ø ¹ Ø Ó T d = { t i } i=0 ÚÐ ÐÐ t = t i+1 t i º Ö Ø Ô Ð Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ¹
7 ÝÝ Ñ ØÖ ÓÒ Ö ØÓ ÙÚ Ò ½ ÔÖÓ Ñ Ö Ø ÖØÝÑØ Ó ¹ ÓÐ Ù ÑÑ Ò Ý Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐØÒ ÒÓÐÐ ÐÐ Ò ÓÚ Ø Ö ÒØ Ð Ò Ô Ò ½¾ º ÌÐÐ Ò Ô ÝØÒ ÙÚ Ò ¾ ÑÙ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÙÒº ÌÑ Ú Ø ÙÚ ½ Ø ØÝÒ ÔÖÓ Ò ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò Ý ØÐ Ò ½ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø ÙÐ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º 1 µ R N R t µ B N B t (N B,N R ) µ R N R t µ B N B t 1 µ R N R t µ B (N B 1) t 1 µ R (N R 1) t µ B N B t (N B 1,N R ) (N B,N R 1) µ R N R t µ B (N B 1) t µ R (N R 1) t µ B N B t ½ º º ½ (0,1) (1,0) 0 0 (0,0) ½ ÃÙÚ ¾ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð Ú Ø Ú Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ó Ö ÒØ Ð Ø Ø Ð ÖØÝÑØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ó ÔÙ¹ ÓØ ØØÙ ÔÓ º ½¾ ÌÑÒ Ø ÙÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ t Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ Ö ØØ Ò Ö ØØ ÖÓÓÐ º ÃÓ ¹ Ý Ò Ò Ø Ò Ò ÚÓ Ø Ô ØÙ Ú Ò Ý ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò Ù Ò ØÙ ÓÙØÙ¹ Ñ Ø Ô ØÙÑ Ò ÒÓÐÐ Ö ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ÓÚ Ò ÙÙÖ º ÅÝ Ò
8 Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ø Ð ÖØÝÑØ ÔØ ÚØ Ú Ò Ô Ò ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ ÐÐ Ø ÙÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò Ö ÒØ Ð ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÓÒº ÐÐ Ø ØÝÒ Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÖØÓÑ ØÖ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø Ð ÑÙÙØÙ Ò Ø Ø ØÓ Òº ÃÙ Ø Ò Ò Ø Ö Ø ÐØ ÙÙÖ Ó ÓÒ ÙÙ Ñ Ö ¹ Ñ Ú ÚÙÙ ÐØ Ò ØÙ Ò Ò ÖÑ Ð Ø Ð ÖØÓÑ ØÖ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ÐÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ S = (N B + 1)(N R + 1) Ú ÒÓÔ Ø ÓÙ Ó Ò Ó Ó Ò Ú º ÃÝ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÒ Ø Ð Ö¹ ØÓÑ ØÖ P R S S ÓÒ Ù Ò Ð Ò Ó ÝØÒÒ Ò Ð ÒØ Ú ÖØ Òº º½ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ØØÚ Ý Ò ÖØ ØÙ Ì ÖÚ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ ÃÙØ Ò Ó ÒÒÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÒÝ Ý Ó Ø Ñ Ð ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø Ð ÒØ ÓÒ Ù Ø ÓÙ Ó Ö Ó ÔÙÓÐ ÐØ º Ì Ö Ø ÐÙ ÓÒ ØÖ ØÙØ ÓÙ ¹ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÐÙÓ ØØ Ò ÓØ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÒ Ù Ø ÓÙ Ó Ó Ò Ú ÚÙÙ ÐÙØ Ò ØÙÒØ º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖ L l ÒÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ð ÙÚ ÚÙÙ N l l = 1,...,Lº ÂÓÙ Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ËÑ Ø Ò ØÙ ÑÙ ÐÐ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ó Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÓÓ ØÙÙ ¹ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ú ÚÙÙ Ò Ý Ø ÐÑ Ø Ð S = S 1 S 2 S L L Ó S l = {1,...,N l } l = 1,...,Lº ÌÐÐ Ò S = S l º Ë Ò ÐÝÝØØ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ ØØ ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ ØÑ ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò Ö ØØ Ò Ò Ð Ð Ø Ó Ø ÐÐ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ó Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ö ØØ Ò ÙÙÖ º Ì Ø Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø ÖÚ Ð ÝØ Ø Ô Ð Ú ÚÙÙ ÙÑ Ð ÒÒ Ð¹ Ð Ø ÚÝ ÑÑ Òº Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ý Ò ÖØ ØÙ Ó ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò Ð Ñ Ò Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ø Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø º l=1
9 º¾ ÓØ ØØÙ Ý Ò ÖØ ØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙØØ Ø Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò Ø ÚÐ ÐÐ ¹ Ö Ø Ø ÓÐÐ T d = { t k } k=0 t = t k+1 t k º ÇÒ ÐÚ ØØ ÓÙ ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ¹ ÐÙ X Ê Y N B N R º º n B n R p nb,n B 1 n R q nr,n R 1 n B n B 1 n R 1 p nb,n B 2 n R q nr,n R 2 n B n B 2 n R 2 p nb,0 n R q nr,0 n B 0 0 ÃÙÚ ÓØ ØÙ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ð Ø Ó Ò Ø Ø Ð Ú Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ¹ ØÙØ Ø Ò Ö ØØ Ò Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó Ò Ø Ð Ö¹ ØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ØÓ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð Ø º ÃÙÚ Ò ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ø Ú Ò Ø ÐÓ Ø n B n R Ð Ø Ú Ò ÖØÝÑ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Øº
10 ÒÒ ÝÝ Ò Ú ÙØØ Ñ ÐÐ Ø ØÙÐ Ò ÝØØ ÑÙÙØ ÓÙ ÓØ Ó Ø Ú Ø Òº ÌÑ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ÔÔÙÙ ÑÙ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ò Ö¹ Ø ÙÙ Ò ÚÙÓ ÐÙ Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙ Ó ØÙØ ØØ Ú Ø Ú ÚÙÙ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø ÔÖÓ X = { X k := X(t k ) } k=0 Y = { Y k := Y (t k ) } k=0 Ð Ù Ö¹ ÚÓ ÐÐ X 0 = N B Y 0 = N R º Ì Ð ÒÒ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º ÈÖÓ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÐÐ Ø ØÝÒ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð Ø º ÌÑÒ Ó Ó Ø ØÙØ ÑÑ ØÓ Ò Ó ¹ ÔÙÓÐ Ò Ú ÚÙÙ Ò ÑÙ Ò ÓÐÐ Ø ØØÙ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ P X Y =nr R (N B+1) (N B +1) P Y X=nB R (N R+1) (N R +1) ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ [P X Y =nr ] ij = p ij nr = P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) [P Y X=nB ] ij = q ij nb = P ( Y k+1 = j Y k = i,x k = n B ) µ Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò ØØ Ú ÚÙÙ ÐØ Ò n ÓÐ Ú Ò Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ý ØØ Ø Ò Ý ¹ Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ø ØÝÐÐ ÚÐ ÐÐ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÌÐÐ Ò Ý Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò Ú Ø ØÓ ØÓ Ó ØØ ØÙ ÓÙØÙÒ ¹ Ò Ý Ò ÑÖ ÓÒ ÒÓÑ ÙØÙÒÙØ Ò n,pµ ÓÐÐ Ò pº ÂÓ Ø ØÝÐÐ ¹ ÚÐ ÐÐ ØÙ ÓÙØÙÒ Ò Ý Ò ÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ e ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ø ÑÝ ÙÓÖ Ò ÐÐ Ø ØØÝ ÒÓÑ ÙÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐØ Ú np = e Ð p = e n µ ÇÐ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÔØ Ø Ô¹ Ô Ó Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÙÑÑ Ò Ò Ó ¹ µ ÔÙÓÐ Ò Ø ÔÔ Ó ÙÑ º ÌÐÐ Ò [P X Y =nr ] ij = P( Bin( i, R n R t i ) = i j )º ¹ Ð Ò Ú Ð ÒÒ Ò ØÖ Ý Ò ÝÝ Ø Ø Ö ØØ Ò ÝÚ Ò t ÓÒ Ú Ð ØØ Ú Ø Ò ØØ µ Rn R t i ÓÒ Ò Ð Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò ½º
11 Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝØØ p ij = = P(X k+1 = j X k = i) N R n R =0 N R n R =0 P ( Y k = n R X k = i ) P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) P ( Y k = n R, X k = i ) P(X k = i) P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) µ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ø X k Y k ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÚÓ Ò µ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó = = N R n R =0 N R n R =0 N R n R =0 P(Y k = n R )P(X k = i) P ( ) X k+1 = j X k = i,y k = n R P(X k = i) P(Y k = n R )P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) P(Y k = n R )[P X Y =nr ] ij µ ÐÐ Ø ØÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐ ØÙ ÓÐ Ø ÓÖ ØØ Ø Ú Ð ÙØØ ØÙÐÓ ¹ Ò Ô ÒØ Ú Ö Øغ ÌÑ ÓÐ ØÙ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ó Ñ ÓÐÐ Ø ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò Ð Ñ Ò ØÓ Ø Ò ÖÖ ÐÐ Òº Î Ö Ò ÙÙÖÙÙØØ Ú ÙØÙ ÔÓ Ø Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ð ÑÔÒº Î Ø Ú ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ø ÑÝ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ q ij µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó P X = P Y = N R n R =0 N B n B =0 P(Y = n R ) P X Y =nr P(X = n B ) P Y X=nB µ ÐÐ ÓÐ Ú Ñ Ö ÒØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ò Ö Ò Ó Ø Ú ÐÐ Ø ØÙÐ ÐÑ ØØ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ø º ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò¹ Ò Ð Ø Ú ØØ Ú ÐÐ P(X = n B ) P(Y = n R ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÚ º Ë
12 Ô Ö ÑÔ ÓÒ Ò Ñ Ö Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ø ÐÐ t k ÙÖ Ú Ø P (k) X = P (k) Y = N R n R =0 N B n B =0 P(Y k = n R ) P X Yk =n R P(X k = n B ) P Y Xk =n B µ Ä ÒØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ½º ÐÙ Ø Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Øº ¾º Ä Ø Ò ÓÐÐ Ø Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø P X Y =nr P Y X=nB Ú ÐÐ µº º Ä Ø Ò ÐÙØØÙ ¹ ÐØ Ò ÑÖ µ Ä Ø Ò Ò Ø ØØ Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø P (k) X P (k) Y Ú ÐÐ µº µ È Ú Ø ØÒ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÖØÓÑ ÐÐ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ ÐÐ º º Ò ÖØ ØÙ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙ ÓÒ ÐÔÔÓ ÝÐ Ø Ù ÑÑ Ò ÓÙ ÓÒ Ø ¹ Ø ÐÙ Ó Ø ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ¹ Ð ØØ Ò ÑÓÒ Ò Ô Ö ØØ Ò Ø ¹ Ø ÐÙÒ º Ä ÒØ Ø Ò ØÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ½º ÐÙ Ø Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Øº ¾º Ä Ø Ò ÙÐÐ Ò ÓÙ ÓÔ Ö ÐÐ ÓÐÐ Ø Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú ÐÐ µº º Ä Ø Ò ÐÙØØÙ ¹ ÐØ Ò ÑÖ ½¼
13 µ ÈØ ØÒ ØÙÐ Ò ÝØØ Ð Ñ ÓÙ Ó Ó Ø ØÙÐØ Ñ Ò Òº ¹ Ò ÖØ ÑÑ ÐÐ Ò Ù Ò ÓÙ Ó Ñ ÑÓ ÙØØ Ñ Ò Ø ÔÔ ÓÒ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ º µ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ø ØØ Ø Ô Ö ØØ Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú ÐÐ µ Ò Ø Ô Ù Ó ØÙÐØ ÝØ ØÒº µ È Ú Ø ØÒ ÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÙÑ ÖØÓÑ ÐÐ ÙÐÐ Ò ÓÙ ¹ ÓÓÒ Ó ØÙÒÙØØ ØÙÐØ Ú Ø Ú ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ù Ò ØÙÐ Ú ÙØÙ ÙØØ ØÙÐ Ò Ñ Ð ÓÙ ÓÐÐ Ø Ð ÖØÓØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ñ ØÖ Ò ÓÐÐ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ¹ Ð Ò ÐÓÔÙ ÖÖÓØ Òº Å ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ø ØØÝ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÒØ Ñ ØÙÐÓ º Ì Ö Ø ÐÙ¹ Ñ Ö ÐÔ ÝÚ Ò Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ñ ÐÐ º È Ö Ñ Ø¹ Ö Ò N B N R µ R µ B Ú Ð ÒÒ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÙÙÖØ Ñ Ö ØÝ Ø ÐÐ Ö Ø Ù ÓÒ Ð ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙ Ñ ÐÐ Ú Ð Ø Ø Ú Ø Ñ ÒÐ Ò Ò ÙÒ ¹ Ð t Ú Ð Ø Ò Ö ØØÚÒ Ô Ò ÒÒ ØØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ¹ Ò ÑÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ Ô Ö ½µ Ú Ø Ú µ Ð Ø Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ µ Ý Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÙÚ µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÐÐ N B = 100, N R = 120, µ R = 0.005/min, µ B = 0.006/minº ÌÙØ Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ÓÐÑ ØÙÒØ Ø Ø ÐÙÒ Ð Ñ Ø Ð Ø¹ ÐÐ t = 3 hº ½½
14 º½ º½º½ Ê Ø ÙÒ Ö ÝÝ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ã Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÚÐ ÐÐ [0,1] ÓØ Ò Ö ØÝ Ø ÓÒ ÓÐØ Ú µ R N R t + µ B N B t 1º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ØÓ ÚÓØØ Ú ØØ ØÑ ÙÑÑ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ý Ó ÑÙÙØ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÙÓÑ Ó Ñ Ø¹ Ø ØØÑ Ò Ò ÙØØ Ù Ø ÐÐ Ø ÙÙÖ Ò Ú Ö Òº Ñ Ö ÝÚ Ö Ó ØÙ ÓÒ max(µ R N t, µ B N t) 0.01 Ó Ô Ø Ö Ø Ø Ó Ø ÙØÙÚ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ò ¹ ÐØ Ó Ò ÒÓ Ò Ó º Ì Ñ Ö Ú Ø ÑÙ Ø ÙÖ 0.006/min 100 t 0.01 = t 1 s Joukkojen vahvuusjakaumat eri aikadiskretaatioilla laskettuna (klassinen malli) t = 30 s t = 1 s t = 0,1 s todennäköisyys yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ ÃÐ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ò Ö ÙÒ ÙÑ ¹ Ñ Ö Ø Ð ÒØ Ö ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÐÐ º ½¾
15 Å Ö ØÒ Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ò ÔÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ø ÐÐ t = 3 h ÙÒ Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ t Ø X t Ŷ tº ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ØØÙ ÙÑ ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ½ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Ø ØØÝ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ¹ ÚÙÙ ÙÑ Ò ÖÚÓØ X Ŷ ÓÒÒ Ø σ X σ Y º Ì ÙÐÙ Ó ½ ÃÐ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º X σx Ŷ σ Y t = 30s ¾ ½ ½½ ¾ ½½ ¾ t = 1s ¾ ½½ ¾ ½½ ¼ t = 0,1s ¾ ½ ½½ ¾ ½½ Ä ØÙ Ø ÙÑ Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÙÒÒ Ò ¹ Ð ÓÒ Ö ØØÚÒ ÐÝ ÝØ Ø Ö Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ñ ÐÐ ÙÒÒ Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò ¹ Ð ÐÐ ÙØ ÙÑ Ø ÔÓ Ú Ø ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø Ú Ò ÝÚ Ò Ú Òº Ñ Ö X 1s X 0,1s 2 = 0, Ŷ1s Ŷ0,1s 2 = 79, º º½º¾ Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ Ò ÖØ Ø ØÙ Ñ ÐÐ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò Ó ØÙ Ò Ò Ø Ù Ú Ø ÑÙ Ø Ú Ò Ö Ø Ø ÓÒ ÙØØ Ñ Ú Ö ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ØØ ¹ Ð Ò Ò ÙØÙÒ Ø Ø ÔÔ ÓØ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò º Å Ø ÙÙÖ ÑÑ Ø ¹ Ð Ò Ò ÙØÙÒ Ø Ø ÔÔ ÓØ ÓÚ Ø Ø ÙÙÖ ÑÔ Ú Ö ØÑÒ ÓÐ ØÙ Ò Ó Ó Ø Ø Ô ØÙÙº Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÙÓÑ Ó Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ò ÑÖ ØÙ ÓÙØÙÑ ÒÓÔ Ù º Ì Ø Ó ØÙ Ò Ø ÔÔ Ó ÒÒÙ Ø ÓÒ ÐÔÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ý ÓÐÐÓ Ò Ú Ò µ ÑÙ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ ½
16 Ø Ð Ø ½ Ø Ð Ò ¼ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ý º Ã Ú ÚÓ Ò Ø Ñ ÒØ ( p = min 1, e ), µ n ÓÐÐÓ Ò ØÐØ ÓÒ ÐÑ Ø ÚÐØÝØÒº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý Ø Ñ ØØ Ò Ú Ö Ò ÚÐØØÑ ÝÝØ ¹ Ð Ò Ú Ð ÒÒ ÐÐ Ú ÖÑ Ø ØØ Ø Ñ ÒÒÝ Ó ÑÙ ¹ Ø Ù Ò Ð ÑÔ Ø ÐÓ º Joukkojen vahvuusjakaumat eri aikadiskretaatioilla laskettuna (yksinkertaistettu malli) t = 5 min t = 1 min t = 30 s 0.04 todennäköisyys yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ¹ Ñ Ö Ø Ð ÒØ Ö ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÐÐ º Å Ö ØÒ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ò ÔÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙ¹ Ù Ò ÙÑ Ø ÐÐ t = 3 h ÙÒ Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ t Ø X t Ỹ tº ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ Ö ¹ Ð ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ù¹ ½
17 Ñ Ò ÖÚÓØ X Ỹ ÓÒÒ Ø σ X σ Y º Ì ÙÐÙ Ó ¾ Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ¹ ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º X σx Ỹ σ Y t = 5min ¾ ¼ t = 1min ¾ ¾ ¾ ¼ t = 30s ¾ ¾ ¼ t = 1s ¾ ¼ ½ ÌÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ¼ ÙÒÒ Ò ¹ Ð ÓÒ Ó Ö ØØÚÒ ÐÝ ÝØ Ý Ò ÙÒ¹ Ò Ò ¹ Ð ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ Ø ÚØ Ñ Ö ØØÚ Ø Ø Ö ÒØÙÒ Ø ÐРغ X 30s X 1s 2 = 0, Ỹ30s Ỹ1s 2 = 1, º º¾ Ò ÖØ ØÙ Ò Ú ÙØÙ ÙÑ ØÙÐÓ Ò Ì ÙÐÙ Ó Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙغ X Y σ X σ Y Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò ¾ ¼¼ ¹ ¹ Ó Ò ÝÒÒ Ò Ñ ÐÐ ½µ ÃÐ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ¾ ¾ ½½ ½½ ¼ Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ Ò ÖØ Ø ØØÙ Å Ö ÓÚ Ò ¾ ¾ ¼ Ñ ÐÐ ÙÚ µ ÃÙØ Ò ÐÐ ØÓ ØØ Ò ( X1s Ŷ1s) ( X30s Ỹ30s) ÓÚ Ø Ö Ø Ø ÓÐØ Ò Ö Ø¹ ØÚÒ Ø Ö Ó º Î ÖØ ÐÐ Ò ÒÝØ Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ º ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÐÐ ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ½
18 Ò Ø ÐÐ t = 3hº ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ÚÓ Ò Ú Ø ÓÚ Ø ÙÑ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò Ö Ð Øº Ä ØØÙ Ò ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º Ì ÙÐÙ Ó Ø ÚÓ Ò Ò ØØ ÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ¹ ÖÚÓØ Ú Ø Ú Ø ÝÚ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö Ò Ö Ø Ù º ÃÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò Ð Ú ÑÔ ÙÑ Ù Ò Ý Ò Ö¹ Ø Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ º 0.06 Klassisella ja yksinkertaistetulla mallilla laskettujen jakaumien vertailu Klassinen malli ( t = 1 s) Yksinkertaistettu malli ( t = 30 s) todennäköisyys yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ ÃÐ Ò Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ø Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ¹ ÙÑ Ò Ú ÖØ ÐÙº ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÙØØ º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ Ø ÇÐ ÓÓÒ ÙÑ Z ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ø ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ Dº Å Ö¹ ØÒ Z Ø Ø ÑÓ ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ú Ø Ò ØØ D ÐÐ N Z ÐÐ º Ö Ñ ¹ ½
19 ÓÐÐ ÙÙ ØÙØ Ø ÝÝØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÓÒ ÝØØ Ò º Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ø ÝÝØØ Ò Ðº Ø Ø Ø Ð Ø Ò µ ¾¼ Z N Z SD := sup P(X S) P(N Z S) S D ½¼µ ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½¼µ Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Òº Æ Ò Ø Ð ØÓй Ð Ø Ø ÝÝ Ø Ò Ø Ø ÑÓ Ù Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º Ø ÝÝ Ø ÚÓ Ò Ú Ø ØØ ÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ Ø ÒÓÙ¹ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ì ÙÐÙ Ó Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ø ÝÝ Ø Ò Ø Ø ¹ ÑÓ Ù Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø º X N X SD Y N Y SD ÃÐ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ 24, , Ò ÖØ Ø ØØÙ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÙÚ µ 14, , Ø ÒÚ ØÓ Ì ØÝ ÓÒ Ø ÐØÝ Ö Ø Ô Ñ ÐÐ ÒØ Ø Ø ÐÙ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ Ò ÚÙÐÐ º ÌÝ ÓÒ ØÙØ ØØÙ Ð Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ò ÙÐÑ Ø º ÌÑ ØÝ ØØ Ð Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø º ÌÑ Ñ ÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò Ð ÒÒ ØØ ÚÙÙ Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ ÐÑ Ò ØØ Ð ÒØ Ô Ø ØØ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓÒ ÐÑ º ÌÝ ÓÒ ØÙØ ØØÙ ÑÝ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø Ú ÖØ ÐØÙ Ø ØÝÐÐ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ¹ ØØÙ Ò ÙÑ Òº ÌÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÒÓ ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ ½
20 Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ó ØÙÙÐÐ Ò ÝÚ Ò Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ØÙÐÓ Ú ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÓÐ ÑÓÒ ÝÑÑ Ò ÖØ Ò Ò Ð ¹ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Òº ÃÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÑÙØØ Ý Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ØÙÓØØ Ñ Ò Ô Ò Ñ¹ ÑØ ÓÒÒ Øº Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÓÒ ÑÝ ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÐÓ ÑÙÓ¹ ØÓ ÐÙÐØ Ò ÐÐ Ò Ò ØØ ÖÚÓ Ø ÔÓ ÓÙ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ñ Ò Ð ØØÝÚÒ ÖØ ÒØÙÚ Ò Ú ÙØÙ Òº ÌÝ Ø ÐØÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ö Ó Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò Ò ÙÐÑ Ø ØÓØ ÙØØ Ñ ¹ ÐÔÓ Ò Ð ÒØ Ø Ó Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÚ ÐØÙÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø ¹ Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Òº Ä ØÙØ ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ó ØÙÙÐÐ Ø Ð ÐÐ Ñ ÐРй Ð Ø Ú ØÙÐÓ Ó Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò ÖØ ÒØÙÚ Ú ÙØÙ Ò Ò Ó ØØ Ò ØÙÐÓ ÙÓÑ ÓØØ º ÃÓ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö¹ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ö Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ø ÓØÙØ ÑÙ Ò Ó ÚÓ ÓÐÐ Ø ÙÓÖ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò ÖÚÓÒ ÓÒÒ Ò ÑÖ Ø¹ ØÑ º ÆÓÖÑ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ ÐÐ Ò Ø ÚÓ Ø Ò ÝØØ Ó Ó Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÙÑ Ò Ð ÒØ Ø ÖÚ Ø ÙÓÖ ØØ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÐÐ º ½
21 Î ØØ Ø ½ Ø ÍºÆº ½ µº Ð Ñ ÒØ Ó ÔÔÐ ËØÓ Ø ÈÖÓ Ë ÓÒ Ø ÓÒº ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ¾ ÓÒ Ö Ëº ÖÖ Ð ÊºÄº ½ ¼µº Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÅÓ Ð ÓÖ Ò ÈÐ ÒÒ Ò ËÝ Ø Ñ Ê Ö Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò ÒÒ Ö ÓÖ Ê Ôغ ËÊÄ ¾½ Ìʹ ¼¹¾ ½ º Ð Ù Û ØÞ º ÚÓÒº ½ ¾ µº ËÓ Ø º ËÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÒÒ ÐѺ ½ ¾ ÏËÇ º Ø Ñ Ò ËºÂº ½ ¾µº Ä Ò Ø Ö ÅÓ Ð Ó Ù Ö ÐÐ Ï Ö Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк½¼ ÔÔº ½ ¹ ¾ º Ò Ð ÂºÀº ½ µº Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö³ Ä Ûº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø ÇÔ Ö¹ Ø ÓÒ Ê Ö ËÓ ØÝ Ó Ñ Ö ÎÓк ¾ ÔÔº ½ ¹½ ½º ÖÓ Ñ Ò ËºÁº ½ µº ÅÙÐØ Ú Ö Ð ÐÙÐÙ Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒº Ë ÙÒ Ö ÓÐÐ ÈÙ Ð Ò º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ ½µº Ä Ò Ø Ö È Ö Ñ Ø Ö ÓÖ ÓÑ ØØÐ Ó Ø Ä Ø ÌÛÓ ÀÙÒ Ö Ö º ÓÑ Ø ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÖÓÙÔ ÓÖØ ÐÚÓ Ö Î ÇÊ ¹Ëȹ½¾¾º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ µº À ØÓÖ Ð Ø Ò Ä Ò Ø Ö³ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑ Øº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÖÓÙÔ ÓÖØ ÐÚÓ Ö Î ÇÊ ¹Ëȹ½ ¼º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ µº ÅÓ Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö³ ÕÙ Ø ÓÒ º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ½ ÔÔº ¹ º ½¼ ÀÝÝØ Ò Ò Åº ¾¼¼ µº È Ø ØÓÝÐ ÚÓ Ñ Ø Ð ÐÐ Ø Ø ÐÙ ÒØÐÐ ËÓØ Ð ÐÐ Ø Ò Ñ ØÓ Ò ÐÝÝ Ò Ñ Ø Ñ ÐÐ º Î Ø Ö Ã ÖØÓ Ö Ò Ó Ò¹ ÓÖÑ Ø Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Óº ÁË Æ ½¹¾ ¹½ ¼ ¹ º ½½ Ã Ò ÄºÂº Ä ÔÔ ºÁº ¾¼¼ µº Ò Ü ÑÔÐ Ó Å Ö ÓÚ Ò ÓÑ Ø ÅÓ Ð Ò º ÆÓÖ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÝÑÔÓ ÙÑ ¾¼¼ À Ð Ò º ½
22 ½¾ Ã Ò ÄºÂº ¾¼¼ µº Ì Ø ÐÙÒ ØÓ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ º ÔÐÓÑ ØÝ ËÝ Ø Ñ ¹ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙº ½ ÃÖ Ò Ìº ¾¼¼ µº ËÝÒØ Ø ÓÒ¹Å Ò Ò Ø Ä Ò ÓÑ Ø ÅÓ Ð ÝÒ ÓѺ ÆÓÖ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÝÑÔÓ ÙÑ ¾¼¼ À Ð Ò º ½ Ä Ò Ø Ö ºÏº ½ ½ µº ÖÖ Ø Ò Ï Ö Ö ¹ Ø ÛÒ Ó Ø ÓÙÖØ ÖѺ ÓÒ Ø Ð ² Óº ½ Ä Ø Ò Ò Åº ¾¼¼ µº ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ ÓØ Ð ÐÐ º Å ÒÔÙÓÐÙ ØÙ ÓÖ ÓÙ¹ ÐÙ Ì Ò Ò Ð ØÓ º ½ Ä٠̺Ϻ ¾¼¼¼µº Ì ËØÓ Ø Î Ö Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Óѹ Ø Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ì Ð Ó Ï Ò Ø Ú Ö ÏÓÒ³Ø Óº Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ÆÓº º ½ Ç ÔÓÚ Åº ½ ½ µº Ì ÁÒ Ù Ò Ó ÆÙÑ Ö Ð ËØÖ Ò Ø Ó Ò ÓÖ ÓÒ Ì Ö Ù ÐØ º Ò Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ò ÒÒ À ÐÑ ÓРʺĺ Ê Ñ ºËºµ Ø Ó Ï Ö Ö ÅÓ Ð Ò ØÓ Ñº Ö Ò Âº ÃÖ Åº ÊÓ ÒØ Ð Êº º ½ µº Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÓ Øݺ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ½ È Ø Ö ÓÒ ÊºÀº ½ µº Å Ø Ó Ó Ì Ò ÓÑ Ø Ò ÐÝ Ø Ó Ê ÔÓÖØ Ó Ø Ì Ò ÓÒ Ö Ò À Ð Ø Ö Ò ØÓ Ñº ÓÐ Ñ Ò Àº ÐÐ Ö º Ê ÔÓÖØ ÆÓº ½ ÐÐ Ø Ê Ö Ä ÓÖ ØÓÖ Ö Ò ÈÖÓÚ Ò ÖÓÙÒ º ½ Ê Ë Ð Ñ Ð¹Ã Ð µ ºËº À Ñ ÏºÅº ¾¼¼½µº Ý Ò ËØÓ Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ì ÓÖÝ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ÆÓº ÔÔº ¹ º ¾¼ Ë º Î Ò Ëº ¾¼¼ µº ÓÑÔÐ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ËØ Ø Ø ÖÓ ÃÒÓÛÐ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ÎÓк ¼ ÆÓº ¾ ÔÔº ½ ¹¾ º ¾½ ËÑ Ø º º ½ µº Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÙÑ Ö Ó ËÙÖÚ ÚÓÖ Ò ÌÛÓ¹Ë ÓÑ Ø Ë ØÙ Ø ÓÒº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ½ ÆÓº ÔÔº ¾ ¹ º ¾¾ Ì ËÙÒº Òº ¼¼ ÃÖºµ ËÓ Ò ÝÒÒ Ò Ø ØÓº ËÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÒÒ ÐѺ ½ ¾ ÄÓÚ Ö Øº ¾¼
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ