Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
|
|
- Marja Härkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼
2 Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ðݺ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ¹ ØÝ Ø Ó Ø ÐÐ ÐÙ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Òº ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÙÙÐÙÙ ÝÐ ÑÔÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò Ô Ö Òº ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÙ Ò Ø ØÝØ ÓØ ØÝØØÚ ÙÒ Ø Ó¹ Ø ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø Ö Ø Ò Ò ÒÓØÙÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ø ¹ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÒº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ Ô ÒÓØ ØØÙ ÙÑÑ ÓÑÔÐ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÒÒ Ò Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú ¹ ÖÙÙ ÐÐ L 2 º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÝ ¹ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ f L 2 º Ä ØØ Ð ÑÑ ÐÝ Ý Ø Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Òº ÌÙØ ÐÑ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ö ØØ Ò Ø ØØ L 2 ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ¹ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ ÓÐ ÐÙÓÒØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ ÐÑ Ò À Ð ÖØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ø Øغ ÌÓ Ø ÑÑ ÑÝ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ ÐØ L 2 Ú ÖÙÙØ Ò L 2 º
3 Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾ ½º½ ÆÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ Î ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ½½ ¾º½ ÌÝ ÐÐ ÝÝ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ ÃÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÙÖ Ö¹ Ö ½ º½ ÌÝ ÐÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÓÙ Ó Ø º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¾ º½ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ØØ Ø
4 ÂÓ ÒØÓ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÐÐ ÓÒ ÑÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù ÐÐ Ö Ø ¹ Ò ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÙØ Ò Ñ Ö Ø Ð Ò Ð Ò ØØ ÐÝ º Ì Ò ¹ Ø Ò ÐÓ Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ò ÓÔÔ Ö ÐÐ ÙÙ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ø ÐÐÒ¹ Ò Ù Ò Ð ÒÒ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø º ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò Ý ÝÐÐ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ù Ø Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÝÚÐÐ ÑÔÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº Ì ØÙØ ÐÑ ÔÝÖ ÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú ÐÐ ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÝÚ Ò¹ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ð Ø Ø Ò ÙÐÑ º ÐÙ ÝÑÑ ÐÔ ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ÝÐ ÓÑ Ò ÙÙ º ÌÑÒ Ð Ò ØÑÑ ÑÖ Ø ÐÑØ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ º ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ ÚÐØØÑ ÒØ ÝØØ Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø Øغ ѹ Ñ Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ø Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙ¹ ÚÙÙØØ ÝÚÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò ØØ Ð ÑÑ ØØ Ú Ò ÐØ Ó Ò Ù Ò ÓÒ ÚÐØØÑØ ÒØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØØ Ø Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ º ÄÙÚÙ ¾ ØØ Ð ÑÑ Ú ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º Ç Ó ¹ Ø ÑÑ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò ØÙØ ¹ Ñ Ò Ò ÖÓ ÓÐ ÒÒ Ø Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ø Ô Ù Ø º ÌÑÒ Ð Ò Ñ¹ Ö ØØ Ð ÑÑ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ð Ò ØØ Ð ÑÑ À Ð ÖØ Ò Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò ØØ Øº Ë ÙÖ ¹ Ú ØÓ Ø ÑÑ Ó Ø Ò Ý ÝÐÐ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ð Ù Ø º Ë Ò Ð Ò ØÓ Ø ÑÑ ØØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ ÐÐ Ä Ù ¹ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÄÙÚÙ ØÓ Ø ÑÑ ÐÙ ØØ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T) Ñ T ÓÒ Ó Ò ¹Ñ ØØ Ò Ò Ö ¹ Ð ÐÙ ÙÚÐ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ØÑÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ó ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 (T) ÓÒ Ø ØØÚ Ò Ò ÒÓØÙÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ò Ñ Ø ØÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö Ö ØØ Ð ÚÒ Ð ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ý Ó Ó Ø ÑÑ ØØ Ó Ø Ä Ù ¹Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÔÔ Ò Ú ÓÒÓ ÓÒ Ø ÖÑ Ø Ò ØÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ø º ÄÙÚÙ ØÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº Ì Ý Ø Ý ¹ ½
5 ØÙÓÑÑ ÐÝ Ý Ø ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ó Ú ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ø º ÇÒ ÐÑ Ø Ð ØØÝÚØ Ð ÒÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ Ð ÚÒ ÒØ Ö Ð Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº ÌÑÒ Ð Ò ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÖ ÑÔ ÓÑ Ò ÙÙ º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÄÓÔÙ ØØ Ð ÑÑ ÐÝ Ý Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ ØÖ Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Òº ÄÙ ÐØ ÐÐÝØ ØÒ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ô ¹ ÖÙ Ø ØÓ Ò ÐÐ ÒØ º Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò ØÙÒØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÙ ÐÐ Ù ÑÙع Ø ÚÐØØÑØ Òغ ÃÓ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ð٠ѹ Ñ Ö ØÝ Ò ØÖ ÚÙ ØÙØ ÐÑ Ñ Ò ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò ¹ Ô Ö º Ä Ò Ö Ð Ö ÚÓ Ò Ô Ø ÓÔÔ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò Ò ÚÐ Ø Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ø ÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ö ØÝ Ø ØÝ ÐÐ Ø Ò ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ ¹ ÙÙ ØÙØ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÓÒ Ô Ö Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÑÝ Ö Ø Ò¹ ÙÐÓØØ Ø Ú ÖÙ٠غ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ò ÙÐÑ Ø Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ò Ñ ØØ ÑÝ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ º ѹ Ñ Ù Ø Ò Ò Ø ØÙØ ÐÑ ÔÐ ØØ Ø ÝØ ØØ Ò Ñ ØÝ Ø Ú ØÓ ÐÐ Ø ØÙÐ Ø ÑÑ Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò ÒÓÖÑ ¹ Ø ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÙÒ Ø Ó º ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÒ ÄÓ Ò Ø Ò Ø Ò È ÓØÖ Å Ù Ò Ò Ö¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ À Ð ÖØ ËÔ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐØ ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ØÙØ ÐÑ Ò Ý Ø ÝØ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò ÓÔ Ú º ½ ½º½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ÆÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò Cº ÙÒ Ø ÓØ : V V R ÒÓØ Ò ÒÓÖÑ Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÔØ ÚØ Ó Ð¹ Ð u v V Ð Ö ÐÐ c C ƽµ u = 0 u = 0 ¾
6 ƾµ Æ µ cu = c u u + v u + v. Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º Î ØÓÖ Ø u V Ó ÐÐ u = 1 ÒÓØ Ò Ý Ú ØÓÖ º ØÓ Æ µ ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ø ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò C ÓÐ ÓÓØ x,y V º ÙÒ Ø ÓØ x, y : V V C ÒÓØ Ò ØÙÐÓ Ó ÙÖ ¹ Ú Ø ÓØ ÔØ ÚØ Ó ÐÐ u v w V Ð Ö ÐÐ c C Ë̽µ Ë̾µ ËÌ µ ËÌ µ ËÌ µ u, u 0 u, u = 0 u = 0 u + v, w = u, w + v, w cu, v = c u, v u, v = v, u. Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÐÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ¹ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØÓÒØ Ó ÓÙ Ó Ó Ú Ö ØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Òº à ÒÒ Ò Ð Ó Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ ÙØ ÙÑÑ Ò Ò Ú Ö ØØÑÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó º ÅÓ¹ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÒ ÐØ Ö Ø Ú ÓÒ ÓÒ Ó ÒØ Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º Î ØÓÖ Ø u v V ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ØÙÐÓÒ, Ù Ø Ò Ó u, v = 0. Î ØÓÖ ÓÙ Ó {ϕ 0,ϕ 1,...} V ÒÓØ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ý Ú ØÓÖ Ø º Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ø ØÒ ØØ Ó Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ú Ý ØØ Ø ÒÒ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö Óѹ Ò Ø ÓÒ º Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ñ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÑÑ Ù¹ Ö Ú ØÙÐÓ Ó ÐÑ Ý Ø Ý Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú ÖÙ٠ѹ Ö Ø ÐÐÝÒ ØÙÐÓÒ ÚÐ Ðк
7 Ä Ù ½º½º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } n ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º ÂÓ v = c k ϕ k, Ò Ò c k = v, ϕ k º ÌÓ ØÙ º ÃÓ {ϕ k } n ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð 0, ÙÒ i j, ϕ i, ϕ j = 1, ÙÒ i = j. ÆÝØ ØÓ Ò ËÌ µ ËÌ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ v, ϕ i = c k ϕ k, ϕ i = c k ϕ k, ϕ i = c i ϕ i 2 = c i. Ì ØÝ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ð ÒØ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ó Ñ Ò ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ö Ø ÒÙÐÓØØ ¹ Ø Ô Ù ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÒÒ Ø ØØÚ ÙÓÑ ÓØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÑÖ ØØ Ð ÚÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ò Ý ÝÑÝ Òº Æ Ø Ý ÝÑÝ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº Ì Ú ÓØ ÑÑ ÐÐ Ñ Ö Ò Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ØÙÐÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º½º ÇÐ ÓÓÒ C(a,b) ÚÐ ÐÐ [a,b] R ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø ÙÚ Ò ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Óº ÆÝØ ÙÒ Ø Ó f, g = b a f(t)g(t)dt ÑÖ ØØ Ð ØÙÐÓÒ ÓÙ Ó C(a,b)º ÂÓ Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÑÝ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ó ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ u = u, u. À ÐÔÓ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÓ Æ½µ ÙÖ Ó Ø Ë̾µº Ä ÙÓÑ ¹ Ø Ò ØØ ØÙÐÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ cu = cu, cu = cc u, u = c u, ÓØ Ò ÑÝ ØÓ Æ¾µ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º ÂÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÚÓ Ñ ÓÐÓ ÓØ Ú ÖØ Ò ØÓ Ø ÑÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ò Ù ÝÒ¹ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Òº
8 Ä Ù ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ u,v V º ÌÐÐ Ò u, v u v. ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ¼ µº ÂÓ v = 0 Ú Ø ÙÖ ÙÓÖ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v 0º Ë ØÙÐÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ½º½µ 0 u + cv, u + cv = u, u + c u, v + c v, u + c 2 v, v. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c = u, v v, v 1 º Ì ÑÐÐ Ó ØÙ ÖØÓÑ ÐÐ ÔÝ ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÙÐÓÐÐ v, v Ò 0 u, u v, v u, v 2 = u 2 v 2 u, v 2, ÓØ Ò u, v u v º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ u,v V º ÌÐÐ Ò u + v u + v. ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ½ µº ÃÙÒ c = 1 Ò Ð Ù ½º½µ ÑÙÓØÓÓÒ x + y 2 = x + y, x + y = x, x + 2Ê x, y + y, y x, x + 2 x, y + y, y x x y + y 2 Ä Ù Ò ½º¾ ÒÓ ÐÐ µ = ( x + y ) 2. ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ø x y ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº ÌÐÐ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÝÐ ØÝ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð ÐÐ Ú ØÓÖ ÓÙ ÓÐÐ º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓØ x 1,x 2,...,x n V ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò x k = x k 2. ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò º ¾ º ½ º
9 Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø ÒÐÙÓØØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø ¹ Ô Ù ÓÒ Ñ Ð Ø ÔÙ Ù ÑÝ ÓÖØ ÓÒ Ð Ø ÙÒ Ø Ó Ø º Ñ Ö ½º¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙØØ C( π,π)º ÇÐ ÓÓØ f(t) = sin(mt) g(t) = cos(nt) Ñ m,n Rº ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ f, g = π π π sin(mt) cos(nt)dt = 1 sin(mt + nt) sin(mt nt)dt 2 π = 1 [ ] π cos(m n)t cos(m + n)t = 0, 2 m n m + n ÙÒ m n m nº ÌÓ ÐØ Ó m = n Ø m = n π π sin(mt) cos(nt)dt = 1 2 = 1 2 π π π π π sin(mt + nt) sin(mt nt)dt sin(2mt)dt = 1 [ cos(2mt) 2 2m ] π π = 0. ÙÒ Ø ÓØ f(t) = sin(mt) g(t) = cos(nt) ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÙÐÓÒ, Ù Ø Òº Ë ÙÖ Ú ÓØ ÑÑ Ñ Ö Ò ÑÙÓ Ó ÐÐ ØÙÐÓ Ò Ó Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ñ Ö ØØÚ Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ú º Ñ Ö ½º ÚÖغ ½ º ½¼ Ѻ º µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [ π,π] ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø ÙÚ Ò ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó C( π,π)º ÙÒ Ø Ó f, g = π π f(t)g(t)dt ÑÖ ØØ Ð ØÙÐÓÒ ÓÙ Ó C( π,π)º ÇÐ ÓÓÒ φ k (t) = eikt k Zº ÆÝØ φ m, φ n = 1 π e imt e int dt = 1 π 0, e i(m n)t ÙÒ m n dt = π π 1, ÙÒ m = n ÙÒ Ø ÓØ {φ k (t)} k Z ÓÚ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó C( π,π)º Ñ Ö Ò ½º ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÓÒ ØÙÐ Ú Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÒÒ ÐØ Ò Òº Å Ö Ø ÑÑ Ò Ø Ø Ø Ò¹ Ô Ò φ k (t) = eikt, k Z.
10 ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } n ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ¹ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ u V º Î ØÓÖ Ò u ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó ÓÙ ÓÒ {ϕ k } n Ú Ö ØØÑÒ Ð Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ú ØÓÖ P n (u) = u, ϕ k ϕ k. Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò C {ϕ k } n Ñ Ð Ó ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð u V º ÆÝØ Ò ÓÖØÓÒÓÖ¹ min γk F u γ k ϕ k = u u, ϕ k ϕ k = u P n (u). ÇÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó P n (u) ÓÒ Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ú ¹ ÖÙÙ Ò Ð ÓÐÐ u Ò Ñ Ð ØØ Ñ Ò ÑÓ ÒÓÖÑ Ò u P n (u) º ÌÓ ØÙ º ½ º ½½¼ µº Î Ð Ø Ò Ú ØÓÖ u V Ñ Ö ØÒ u, ϕ k = c k º ÆÝØ u γ k ϕ k 2 = u γ k ϕ k, u γ k ϕ k = u, u u, = u, u = u, u = u 2 + = u 2 + γ k ϕ k γ k ϕ k, u + γ k ϕ k, γ k u, ϕ k γ k ϕ k, u + (γ k c k + γ k c k ) + γ k γ k (γ k γ k γ k c k γ k c k + c k c k ) γ k c k 2 c k 2. ÌÑ Ô Ò ÑÑÒ ÖÚÓÒ ÙÒ γ k = c k º j=1 c k 2 γ k ϕ k γ k γ j ϕ k, ϕ j Ä Ù Ò ½º ØÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÓÑ ÑÑ ØØ u P n (u) 2 = u 2 u, ϕ k 2.
11 Ë ÐÚ Ø u 2 u, ϕ k 2 0. ÂÖ ØÑÐÐ ÔÝ ØÐ Ò Ø ÖÑ Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÒØ Ñ ÐÐ n ÑÑ ÙÖ Ú Ò Ð Ò ÔÝ ØÐ Òº Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº ÆÝØ Ó ÐÐ u V u, ϕ k 2 u 2. Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò Ö u, ϕ k 2 ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº Ë Ö ÓÒ ÑÝ ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ò ÓØ Ò ÙÔÔ Ò º ½º¾ ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÇÐ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ó Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ØØ ÒÓÖÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö Ò ½º½ Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð ÚÓ ÑÑ Ò Ö Ó ØØ f = b b [ b 1/2 f, f = f(t)f(t)dt = f(t) 2 dt = f(t) dt] 2. a a a ÌØ ÒÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ º Ì Ú Ñ Ò Ø ÑÑ ÝÐ Ø ØÝÒ L p ¹ÒÓÖÑ Ò f p = [ b f, f = f(t) p dt ØØ Ò ÑÙØØ ØÙÐ ÑÑ Ø Ó Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ô Ù Ø p = 2 ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø º Å Ö Ø ÑÑ Ø Ó Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ 2 ÐÑ Ò Ð Ò º ÃÓ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ Ö Ð Ò ÚÙÐÐ Ö Ø Ú ¹ Ý ÝÑÝ Ø Ñ ÐÐÓ Ò ØÑ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓÐ Ò¹ Ò Ò Ò ÑÝ Ø Ó ÓØ Ò ØÑÑ ØÑÒ ÒØ Ö Ð Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÓÒ Ð ØØݹ ÚÒ ÑÖ Ø ÐÑÒº ÁÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÐÐ Ø Ö Ó Ø ÑÑ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙØØ a ] 1/p
12 Ó ÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙØØ ÝÐ ÑÔ ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø º Ì Ö¹ Ó ØÙ Ò ÑÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ñ¹ Ñ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÙ ÓÒ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Òº ÌÑ ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ø ÐÐ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÒÒ ÐØ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÐ º Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ð ÑÔ ØØ ÐÝ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ô Ö ÑÑ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÙ Ó I Ó f(t) dt <. I ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ó f 2 ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ º Ì Ò¹ Ø Ö Ð ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÙ ÓÒ I ÝÐ º Å Ö Ø ÑÑ I Ò ÓÙ Ó I ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó L 1 (I)º Æ Ð ÒØ ÖÓ ¹ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ñ Ö Ø ÑÑ Ú Ø Ú Ø L 2 (I)º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÝ Ä Ù ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ØØ ÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø ØÐÐ Ò Ñ Ø º ¾ º µº Å Ö ÒÒÐÐ f Ø Ö Ó Ø ÑÑ ÒØ Ö Ð Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ ÝÐ º Ñ Ö ½º º ¾ º Ø Øº µº ÇÐ ÓÓØ I = [0, 1] f = 1/ tº ÆÝØ ÒØ Ö Ð [0,1] f(t) 2 dt = [0,1] 1 t dt ÒØÙÙº Ë Ô f / L 2 (I)º ÃÙ Ø Ò Ò f L 1 (I) ÐÐ 1 [ f(t) dt = dt = 2 ] 1 t t = 2. t [0,1] [0,1] Ñ Ö ½º º ¾ º Ø Øº µº ÇÐ ÓÓÒ f g L 2 ([a,b]) Ñ a,b Rº Ù ÝÒ¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ f(t)g(t) dt = f, g f g = f(t) 2 dt g(t) 2 dt. [a,b] [a,b] [a,b] ÇÐ ÓÓÒ g(t) = 1 ÐÐ t [a,b]º ÆÝØ f(t) dt f(t) 2 dt b a <, [a,b] [a,b] ÓØ Ò f L 1 ([a,b])º Ë Ó f L 2 ([a,b]) Ò Ò f L 1 ([a,b])º ½ Ä Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Ѻ ¾ º º 0
13 Ë ÙÖ Ú ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ðº ÒÙÐÐ ÙÒØ ÓÒµ ÒÓÐÐ ¹ ÓÙ ÓÒ Ò Ðº ÒÙÐРص ÚÖغ ¾ º ¾ º µº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÙÒ Ø ÓØ f ÒÓØ Ò ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Ó Ó f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ f = 0. ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÂÓÙ Ó I R ÒÓØ Ò ÒÓÐÐ ÓÙ Ó Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ ¹ Ó Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó 1, ÙÒ x I χ I (x) = 0, ÙÒ x / I ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº ÌÝ ÓÙ Ó ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ö ¹ ÒÓÐÐ ÓÙ Ó Ø º ÂÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø ÒÓÐÐ ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ØÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÓÐ Ú Ò ÚÓ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ñ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñº º Ñ Ö ½º º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [0, 1] 1, ÙÒ x Q χ Q [0,1] (x) = 0, ÙÒ x / Q ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó Q [0, 1] ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ ØØ Ò Ò ÓÙ Óº Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò ØÙØÙ ØÙÒÙØ ÐÙ ØØ ÙÓÑ ¹ Ø ØØ ÐÐ Ø ØØÝ ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÝ ÑÙÓØÓ ÔÓ Ø Ú ÒÓÑ Ø º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÑÑ ÓÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÙÙ Ò ¹ Ø ÐÑ Ò ØØ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò ÝÚÐÐ ÑÔ ØØ ÐÝ ØÙÐ Ø ÖÔ ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÙÐÓØØ Ñ Ò Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ñ¹ Ô Ò ÐÙÓ Ò Ø Ù Ø Ò Ò Ø ÖÔ ÐÐ ÙÖ Ú Ò Ø Ñ ÒÒÝ Òº ¹ Ñ Ö ½º½ ÓÐ Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ f Ø ÙÚ º ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ò Ä Ù Ò Ñ Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ø ÙÚ º Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ 1, ÙÒ t = 0, f : [ 1, 1] {0, 1}, f(t) = 0, ÑÙÙÐÐÓ Ò ½¼
14 ÒÓÖÑ ÓÒ ÒÓÐÐ Ú ÙÒ Ø Ó f ÓÐ Ò ÒØØ Ø ÒÓÐÐ ÙØ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ½º¾ Ó Ø (ST2) ÒÝØØ ÐÐÝØØÚÒº ÇÒ ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø ¹ Ø Ú ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø f L 1 (R) Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ { } f g g L 1 (R): f g = 0 ÑÖÑ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÓÒ Ø ÖÔ Ò ÓØØ Ä Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ò ÚÙÐÐ ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ÒÓÖÑ ØÓ ÐÐ ÓÒ ÒÓÖÑ º ¾ º ¾ ½ º ½½ µº ÃÙ Ø Ò Ò ÝØÒÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò Ø Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ ÚÓ Ò Ø Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÐÑ Ò ØØ ØÙÐ Ø ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º ÃÙØ ÙÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø f g Ú Ú Ð ÒØ Ó f g ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº à ÒÒ Ú Ú Ð ÒØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ø ØØ Ú ÝØ ÓÐ Ú Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ f g ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÑÒ ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ö Ø f = g Ѻ º ¾ ¾º½ Î ØÓÖ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÌÝ ÐÐ ÝÝ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ë Ö Ð ¹ ØØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÒ ØÖ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º ÃÝ ÝÑÝ ØÝ ÐÐ ÝÝ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÓÒ ÓÐ Ò¹ Ò Ò Ò ÑÝ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐÙÓÒ¹ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ ÒÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ ¹ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÇÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓØ ÚØ ÓÐ ØÝ ÐÐ ¹ º ÌÑÒ Ó Ó Ø ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º ÅÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ¹ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ØÝ ÐÐ ÝÝ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÚÙÐÐ º à º º ¾ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ V ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ º Î ØÓÖ ÓÒÓ {ϕ k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù N ε Ø Ò ØØ m,n > N ε ϕ m ϕ n < ε. ½½
15 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ V ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ º Î ¹ ØÓÖ ÓÒÓ {ϕ k } ÙÔÔ Ò Ó Ø Ú ØÓÖ ϕ V ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó ϕ k ϕ 0 ÙÒ k º Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ó Ú ÖÙÙ Ò Ó¹ Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º Ë ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÝ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ Ö ÙÔÔ Ò Ó Ò Ó ÙÑÑ Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ð ÑÝ ØÓ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø Øغ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ {f n } L 1 (R)º Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÒÓ {f n } ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø Ó Ø f L 1 (R) Ó f n (x) f(x) ÐÐ Ô Ø ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò Ñ Ö Ø Ñ¹ Ñ f n f Ѻ º ÇÐ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ¹ ÖÙÙ Ó Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÙÔÔ Ò º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÓÒº Ñ Ö ¾º½ º º ¾ µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [0, 1] ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø¹ ÙÚ Ò Ö Ð Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó C(0, 1)º ÂÓÙ Ó C(0, 1) ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ¹ ÖÙÙ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ L 1 ¹ÒÓÖÑ ÇÐ ÓÓÒ {f k } ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ f 1 = 1 0 f(t) dt. 0, ÙÒ 0 t 1 1, 2 k ( f k (t) = k 2 t 1 + ) 1 2 k, ÙÒ 1 1 t 1 + 1, 2 k 2 k 1, ÙÒ t 1. 2 k ÇÐ ÓÓÒ m nº Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ t [0, 1] ÔØ f m (t) f n (t) f m (t) + f n (t) 2. Î Ð Ø Ò ε > 0º ÇÐ ÓÓÒ N ε ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ 1 N ε < ε 4 º ÃÙÒ m n N ε ½¾
16 Ò Ò 1 m 1 n 1 N ε < ε 4 º ÆÝØ f m (t) f n (t) 1 = 1 0 f m (t) f n (t) dt ( n) 1 = ( 1 2 n) f m(t) f n (t) dt 1 ( n) ( n) 2dt = 4 n < ε, ÓØ Ò ÓÒÓ {f k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÃÙ Ø Ò Ò ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ 0, 0 t < 1 2 f(t) = 1, t = , < t 1, 2 Ó ÓÐ Ø ÙÚ º ÈØØ Ð ÑÑ ØØ C(0, 1) ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ò ÙØØ ÑÝ ÑÙ ¹ Ø Ò ÐÙÙ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ø Ô Ù Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ º ÎÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÒÓÖÑ Ø ÓÚ Ø Ú Ú Ð Òع Ø º Ѻ º¾ ¾ µº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ò ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ñ Ò ÙÔÔ Ò Ñ ¹ ØØ Òº Ö Ø ÒÙÐÓØØ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ø Ð ÒÒ ÓÐ Ò Ò Ý Ò Ö¹ Ø Ò Òº À Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÑÑ ØØ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ f k (t) = k 1 χ [k,2k] Ñ χ [k,2k] ÓÒ ÚÐ Ò [k, 2k] Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó k Nº Ë ÐÚ Ø f k L 1 (R) L 2 (R)º ÂÓÒÓ f k ÙÔÔ Ò L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÐÐ f k 2 = [ 2k k 1/2 [ 1 f k (t) dt] 2 = k 2 2k k ] 1/2 dt = 1, k ÓØ Ò ÐÚ Ø f k 2 0 ÙÒ k º ÃÙ Ø Ò Ò f k 1 0 ÐÐ f k 1 = 2k k f k (t) dt = 1 k 2k k dt = 1. Ñ Ö ¾º½ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ C(0, 1) ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò L 1 Ù ¹ Ø Òº ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ ÙÙÖ ØÓ ÒÒ Ø ØØ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÒÓÖÑ Ø ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ú Ú Ð ÒØØ º Ú ÖÙÙ C(0, 1) ÓÒ¹ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ ÓÒ Ù Ø Ò ØÑ Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò º ¾ º ¾¾ µº ½
17 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÌÝ ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙØØ ÙØ ÙØ Ò Ò Ò Ú ÖÙÙ¹ º ÌÝ ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ÖÙÙØØ ÙØ ÙØ Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ä Ù ¾º½º L 1 (R) ÓÒ Ò Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ë ÙÖ Ú ÑÝ ÑÔ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÑÑ ÒÒ ÐØ Ö ØØ Ò Ò Ò Ú ¹ ÖÙÙ ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Æ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò {z n } n=1 ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ z n 2 <, n=1 ÙØ ÙØ Ò l 2 ¹ Ú ÖÙÙ º Ú ÖÙÙ l 2 ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ¾ º µ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ¹ ØÙÐÓ a n, b n = a n b n. n=0 Ë ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ l 2 ¹ÒÓÖÑ z = ( z n 2 ) 1/2. n=0 Ä Ù ¾º¾º Ú ÖÙÙ l 2 ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ Ø ÑÑ ØÙÒÒ ØÙ ØØ l 2 ÓÒ ØÙÐÓ Ú ¹ ÖÙÙ º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ l 2 ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ a n = {α n,1,α n,2,...}, n = 1, 2,... Ù ÝÒ ÓÒÓ Ú ÖÙÙ l 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù M ε Ø Ò ØØ ÙÒ m,n > M ε ¾º½µ α m,k α n,k 2 < ε. Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ k N ÓÒÓ {α n,k } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÙ Ó C ÓØ Ò ÙÔÔ Ò º Å Ö ØÒ ÒÝØ α k = lim n α n,k a = {α n }. ½
18 ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ a l 2 ØØ a = lim n {α n }º ÃÓ Ò ¾º½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ k 0 ÔØ k 0 k 0 ( α m,k α n,k ) 2 α m,k α n,k 2 < ε. ÃÙÒ m k 0 Ò ¾º¾µ ( α k α n,k ) 2 ε. ÃÓ α n,k 2 <, ÙÖ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ α k 2 = ( α k α n,k + α n,k ) 2 ( α k α n,k ) 2 + α n,k 2 <. ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ a l 2 º ÃÓ ÔÝ ØÐ ¾º¾µ ÔØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙÐÐ ε ÓÒ lim n ( α k α n,k ) 2 = 0, ÓØ Ò a = lim n {α n }. Ì Ö Ø ÐÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÑ ½º¾ ½º ÙÓÑ ÑÑ ØØ ÓÖØÓ ÓÒ ¹ Ð ÙÙ ÓÐ ÐÙÓÒØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÚ Ò Ò Ú ÖÙÙ º ÃÓ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð ÙÙ Ò Ø ÓÒ Ò Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ø ÓÖ ÓÒ À Ð Ö¹ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÑÑ ÒÒ ÐØ ÚÐØØÑØ Òº È Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ L 2 ([a,b]) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ë Ø ÒÒ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ º ½
19 ¾º¾ ÃÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ø ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØØ ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ ØØ Ò Ø Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØØ ÚÓ Ñ Ø º Ñ Ö ¾º º ¾ º µº ÇÐ ÓÓÒ 1 f n (x) = n, ÙÒ x [ n,n], 0, ÑÙÙÐÐÓ Ò. ÆÝØ f n (x) 0 ÐÐ x R ÓØ Ò f n 0 Ѻ º ÌÓ ÐØ f n (x) 1 = n n f n (x) dx = 2 n, ÓØ Ò ÓÒÓ f n ÙÔÔ Ò L 1 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ä Ù ¾º Ù Ø Ò Ò ÐÑ Ý Ø Ý Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ ÙÔÔ Ò Ú Ò Ó ÓÒÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ ÚÐ Ðк Ä Ù ¾º º ÂÓ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f pn } ÓÐÐ ÔØ f pn f Ѻ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ë ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø ÝØ ØÒ ÝÐ Ø Ò Ñ ØÝ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö¹ Ò Ò Ð Ù Ð ÅùР٠º ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ó ÓÒ ¹ Ú Ú Ø ¹Ú Ò Úº Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R)º ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð ÓÒÓ {f n } ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ f n M ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ M ÐÐ n Nº Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f L 1 (R) ÓÐÐ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò f n f Ѻ º Ä ØÐÐ Ò f Mº ÌÓ ØÙ º à º ¾ º º Ä Ù ¾º ØÙÒÒ Ø Ò ÝÐ Ø Ä Ù Ò ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù¹ Ò Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ô Ð Ò ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò Ð Ã¹ Ð Ù Ò º Ä Ù Ò ÑÙ Ò Ó Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒÓ ÓØ Ö ¹ Ó ØØ ÝÐ ÐØ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÙÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ó Ø ÒØ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ½
20 Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R) ÓÐ ÓÓÒ h L 1 (R)º ÂÓ f n f Ѻ º f n h ÐÐ n N Ò Ò ÐÐÓ Ò f L 1 (R) f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ Ã º ¾ º ¼ µº ÇÐ ÓÓØ m,n N ÓÐ ÓÓÒ g m,n = max { f m,..., f m+n }. Î Ð Ø Ò m Nº ÆÝØ ÓÒÓ {g m,1,g m,2,...} ÓÒ ¹Ú Ò Úº ÃÓ g m,n = g m,n h <, ÓÒ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó g m ØØ ÙÒ n g m,n g m Ѻ º ÂÓÒÓ {g n } ÓÒ ¹ Ú Ú 0 g n ÐÐ n Nº ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó g ØØ g n g ÐÐ ÓØ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ g n g ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ð Ù Ò Ú Ø ÔØ ÙÒ f = 0º ÇÐ ÓÓÒ f = 0º Ë ÐÐÓ Ò f n 0 Ѻ º ÓØ Ò g n 0 Ѻ º ÃÓ ÓÒÓ g n ÙÔÔ Ò ÑÝ ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÓÒ ÓÐØ Ú g n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº Ë Ô f n g n 0, ÓØ Ò f n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØØ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ ÙÒ f = 0º ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò f 0º ÂÓ ÐÐ Ú Ú ÐÐ ÓÒÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ¹ Ù {p n } ÔØ h n = f pn+1 f pn 0 Ѻ º ÐÐ Ò Ó ÐÐ n N ÔØ h n 2hº ÌÓ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ ØØ h n 0 ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº ÂÓÒÓ {f n } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò b L 1 (R) ØØ f n bº ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f qn } ØØ f qn b Ѻ º ÌÓ ÐØ f qn f Ѻ º ÓØ Ò f = b Ѻ º Ë ÐÚ Ø ÒÝØ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÐÐ f n f 1 = f n f = f n b f + b f n b + f b = f n b = f n b 1 0, ÓØ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ f 0º ½
21 ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ø ØÒ Ù Ò ÑÝ ÙÖ ¹ Ú ÑÙÓ Ó º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ù Ò ¾º ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º ÆÝØ f L 1 (R) lim f n = lim f n. n n Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ØÑ ØÙÐÓ ÙÖ Ð Ù Ò ¾º Ú ØØ Øº Ä Ù Ò ¾º ÑÙ¹ Ò f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò Ð lim n f n f = 0. ÌÓ ÐØ ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ f n f Ѻ º Ð lim f n (t) f(t) = 0 Ñ Ð Ò n ÐÐ t Rº ÇÒ ÓÐØ Ú lim n f n = lim f n. n ËÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÖ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÒ ÒØ Ö Ð Ò Ö ØÝ ÚÓ Ò Ú Ø º ËÙÔÔ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÐ ØØ ÓÑ ¹ Ò ÙÙØØ ¾ º µº Ë ÙÖ Ú ØÓÙÒ Ð ÑÑ ÙÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ø º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ f n L 1 (R) ÓÐ ÓÓÒ {f n } ÓÒÓ ¹Ò Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ó ÐÐ ÔØ f n M ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ M ÐÐ n Nº ÂÓ f n f Ѻ º Ò Ò ÐÐÓ Ò f L 1 (R) f Mº ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ ÓÓÒ γ n,k = min {f n,f n+1,...,f n+k } Ñ n,k Nº Î Ð Ø Ò n Nº ÆÝØ ÓÒÓ {γ n,1,γ n,2,...} ÓÒ ¹ Ú Ú ÓÒÓ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º Ä γ n,k γ n,1 <. ÆÝØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ γ n,k γ n Ѻ º ÓØ Ò γ n = inf {f n,f n+1,...} Ѻ º Ë ÐÚ Ø γ n f n M. ÃÓ γ 1 γ 2 γ 3... ÓÒ ÓÒÓ {γ n } ¹Ú Ò Úº ÆÝØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó f ØØ γ n f f M. ½
22 Ä Ù ¾º º L 2 ([a,b]) a,b R ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÌÓ ØÙ º ¾ º µº ÇÐ Ø ÑÑ Ø ØÙÒÒ ØÙ ØØ L 2 ([a,b]) ÓÒ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓØ Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ {f n } Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÑÖ Ø ÐØÝ Ù ÝÒ ÓÒÓº Ë ÐÐÓ Ò b a f m f n 2 0, ÙÒ m,n º ÃÙÒ m,n ÙÖ Ù ÝÒ¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ b b b f m f n 1 f m f n 2 = b b a f m f n 2 0. a a a a Ë Ô {f n } ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÑÝ Ú ÖÙÙ L 1 ([a,b])º ÃÓ L 1 ([a,b]) ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f L 1 ([a,b]) ÓÐÐ ÔØ b a f f n 0, ÙÒ n º Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒÓÒ {f n } Ó ÓÒÓ {f pn } ØØ f pn f Ѻ º Ë ÐÚ Ø ÐÐ ε > 0 b a f pm f pn 2 < ε, ÙÒ m n Ú Ð Ø Ò Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ë Ô ÙÒ n b a f pm f 2 ε Ð Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ º ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ f L 2 ([a,b])º Ä b f f n 2 b f f pn 2 + b a a a f pn f n 2 < 2ε, ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÈØØ Ð ÑÑ ØØ f n f ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÝ Ú ÖÙÙ L 2 ([a,b]) ÓØ Ò L 2 ([a,b]) ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÓÙÖ Ö¹ Ö Ä Ù Ò ½º½ Ý Ø Ý ØÓØ ÑÑ ØØ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ø ØØÚ Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ¹ ØÙÒ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø ÐÑ Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÙÑÑ Ò ÚÙй Ð ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò ½
23 Ò ÓÙ ÙÑÑ Ù Ø Ò Ò ØØ Ð ÑÒ Ö ØØ Ñ ÙÑÑ ÓÐÐÓ Ò Ò ÒÓÙ Ý ÝÑÝ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÙÓÑ ÒÒ Ø ØØ Ú ÖÙÙ ÐÐ L 2 ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ö ¹ Ø ÐÙ Ò Ò ÙÐÑ Ø º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ Ò ØØ Ú ÖÙÙ L 2 ÚÓ ÑÑ Ø ØÝ Ò Ö Ó ØÙ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ì ÐÙÚÙ ØÑÑ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº Ë Ò Ð Ò Øѹ Ñ Ó Ø Ò ÙÓÑ Ó Ø ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø º ØØ Ð ÑÑ ÑÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ö Ð Ò Ú Ö ÓÒº Ì ÔÔ Ð Ø Ö Ø ÐÙÑÑ Ö Ó ØØÙÚ Ø Óй Ð Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ó Ò ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f ÓÙ Ó R ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù P R ( 0) ØØ f(t) = f(t + P) t R. ÄÙ Ù P ÒÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÒ Ô ØÙÙ º ÃÙÒ P = Ñ Ö Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ñ Ø Ø Ò ¹Ñ ØØ Ø ÚÐ Ö Ñ ÐÐ T º º½ ÌÝ ÐÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÓÙ Ó Ø Ì Ð ÐÙÚÙ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ò ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØØÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½º Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ¹ Ó {φ k } k Z ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÑÖ ØØ Ð ÑÑÑ ØÙÐÓÒ Ù Ø Òº Ë ÙÖ Ú ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ø Ö Ó Ø ÑÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ H À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º ÇÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } H ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ó Ó ÐÐ f H f = f, ϕ k ϕ k. ÇÐ ÑÑ Ô Ò Ú ÐÑ Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ Ð¹ Ð ÝÝ Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌØ ØÓ ØÙ Ø Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Òº ¾¼
24 Ä Ù º½º ÂÓ ÙÒ Ø Ó f L 1 (T) f, φ n = 0 ÐÐ n N Ò Ò f = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ º ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ½½ º Ä Ù º¾º ÂÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ú ÖÙÙ L 2 (T)º ÌÓ ØÙ ÚÖغ ¾ º ½½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Å Ö ØÒ ÒÝØ y = f, φ k φ k Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÙÑÑ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÙ Ó L 2 (T)º ÃÓ {φ k } k Z ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ð Ù ½º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ f, φ k φ k 2 = f, φ k φ k 2, ÐÐ Ò f, φ k φ k 2 = f, φ k f, φ k φ k 2 = f, φ k 2. Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò Ð Ù ½º µ ÒÓ ÐÐ Ö f, φ k 2 ÙÔÔ Ò ÓØ Ò ÓÒÓ S n = f, φ k φ k ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÃÓ L 2 (T) ÓÒ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö f, φ k φ k ÙÔÔ Ò º Ë ØØ Ò Ó Ó Ø ÑÑ ØØ y = f Ѻ º ÃÓ f L 2 (T) Ò Ò Ñ Ö Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f L 1 (T)º Ë ÐÚ Ø ÐÐ n N ÔØ f y, φ n = f, φ n f, φ k φ k, φ n = f, φ n f, φ k φ k, φ n = f, φ n f, φ n = 0, ¾½
25 ÓØ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ f y = 0 Ѻ º Ë Ô f = f, φ k φ k. Ë ÙÖ Ú È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ ÓÒ ÚÐØØÑØ Ò Ö ØØÚ ØÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÐÐ À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ä Ù º º À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó {ϕ n } ÓÒ ØÝ Ð¹ Ð Ò Ò Ó Ú Ò Ó Ó ÐÐ u H º½µ u 2 = u, ϕ n 2. n=1 ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓÒ u Hº Ä Ù Ò ½º ØÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÐÐ n N ÔØ º¾µ u u, ϕ k ϕ k 2 = u 2 u, ϕ k 2. ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ {ϕ n } ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò Ë Ô Ú Ò º¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim u u, ϕ k ϕ k 2 = 0. n lim n ÓØ Ò º½µ ÓÒ ÚÓ Ñ º [ u 2 ] u, ϕ k 2 = 0, ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ º½µ ÔØ º ÃÙÒ n Ú Ò º¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓØ Ò {ϕ n } ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº lim u u, ϕ k ϕ k 2 = 0, n ¾¾
26 º¾ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ä Ù Ò º¾ Ò Ò ÐØ ÓÒ ØØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ö Ø ÐÑÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø Ö Ø º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø¹ Ø ÓÙ ÓÒ {φ k } k Z Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò Ó ÙÔ¹ Ô Ò Ó Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f L 2 (T)º ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ð Ù Ò ½º½ ØÙÐÓ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÑÑ ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) Ø Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Ä Ù Ò º¾ Ñ Ö Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö¹ Ø f = c k φ k, k Z Ñ c k = f, φ k = 1 T f(t)e ikt dt. ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º à ÖØÓ Ñ c k (f) = f, φ k = 1 f(t)e ikt dt, k Z ÙØ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ë Ö T c k (f)φ k k Z ÙØ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö º ÃÙÒ ÐÙ ÑÑ ÒÓ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑ Ñ Ö Ø ÑÑ f k Z c k (f)φ k. ÃÓ Ö Ð ÖÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÓÐ ÓÚ Ò Ò ÐÙÓÒØ Ú Ó ÑÑ ÙÖ Ú Ö Ð Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Òº Ê Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø Ö¹ Ñ Ø c k φ k k Zµ ÐÑ Ø Ò Ù Ò Ò Ò Ó Ò Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø ÚÖغ ½ º µº ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ c n e int + c n e int = c n (cos nt + i sin nt) + c n (cos nt i sin nt) = (c n + c n ) cos nt + i(c n c n ) sin nt, ¾
27 Ñ n Nº ÌÓ ÐØ ÙÓÑ Ø Ò ØØ c k φ k = c ke ikt. Å Ö ØÒ Ò ÙÖ Ú a n = c n + c n = 1 ( 1 = 1 π = 1 π T T T f(t) eint + e int dt 2 f(t)e int dt + 1 f(t) cos(nt)dt, n = 1, 2, 3,... T ) f(t)e int dt Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò Ñ Ö Ø b n = i(c n c n ) = 1 f(t) sin(nt)dt, n = 1, 2, 3,... π T ÌÓ Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ k = 0 ÌÓ ÐØ Ó n = 0 Ò Ò c 0 φ 0 = c 0 = 1 a 0 = 1 π T T f(t)dt, ÓØ Ò a 0 = 2c 0 φ 0 º ÃÓÑÔÐ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò c k (f)φ k k Z f(t)dt. Ø ÖÑ c 0 φ 0 Ú Ø Ö Ð ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÖÑ a 0 2 º Ä ÐÚ Ø b o = 0º ÆÝØ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó a (a n cos(nt) + b n sin(nt)). n=1 Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ 1, ÙÒ π < t < 0, f(t) = 1, ÙÒ 0 < t < π. ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ a (a n cos(nt) + b n sin(nt)), n=1 ¾
28 Ñ ÃÙÒ n = 0 a n = 1 f(t) cos(nt)dt π T b n = 1 f(t) sin(nt)dt, n = 1, 2, 3,... π T a 0 = 1 π π ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò n 0º ÆÝØ π f(t)dt = 1 π a n = 1 π π π π 0 dt 1 π 0 π f(t) cos(nt)dt = 0. Î Ø Ú Ø b n = 1 π f(t) sin(nt) = 1 [ 0 sin(nt)dt + π π π π = 1 [ ] 0 cos(nt) 1 [ ] π cos(nt) = 4 π n π π n 0 πn, dt = 0. π 0 ] sin(nt)dt ÙÒ n = 2k 1 k = 1, 2,...µº Ë ÑÓ Ò ÙÓÑ Ø Ò ØØ b n = 0 ÙÒ n = 2k ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ Ö ÓÒ b n = 4 π(2k 1). f(t) 4 π sin(2k 1)t. 2k 1 Ñ Ö º¾ º ½ º ½½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (T)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓØ Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) n¹ùðóøø Ò Ð Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ú Ö ØØ ÓÙ Ó {φ k } n º Ë ÓÒ P n (f) = f, φ k = f, φ k φ k = c k φ k, Ñ c k = f, φ k φ k = 1 T f(t)e ikt dt = c k (f). ¾
29 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ØÙÐ Ó ØØ Ô Ø ØØ ¹ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒØ Ö Ð ¹ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ö Ó Ò T ÝÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó ØÓÔØ Ö ¹ Ø ÐÑÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ô Ö Ó Ò Ý ØØ Ô Ø f(x) = f, φ n φ n (x). n=1 È Ø ØØ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ú Ú ÑÔ º Ä ÒÒ ÖØ ÖÐ ÓÒ ØÓ Ø ÚÙÓÒÒ ½ ØØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ò ÐÐ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ö ØØ Ò Ú Ø Ú º º Ð Ø ØØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÐÐ Ð ÐÙÚÙ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ ÓÙ ÓÒ {φ k } k Z Ð Ò Ö Óѹ Ò Ø ÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f L 2 (T)º Ä Ù Ø ½º Ñ Ö Ø º¾ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑ ÓÒ Ø ØÝ Ñ Ð Ô Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ØÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ ÝÐ ÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ {ϕ k } À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÐÐ Hº ÇÐ ÓÓÒ {ϕ k } À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº Ð Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ u, ϕ k 2 u 2, ÓØ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó ÐÐ u Hº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒÓ { u, ϕ k } l 2 º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } Ú ÖÙÙ H Ò Ù Ó ÙÚ Ù Ò Ú ÖÙÙ ÐØ H Ú ÖÙÙØ Ò l 2 º Ë Ö Ø ÐÑ u u, ϕ k ϕ k ÙØ ÙØ Ò Ð ÓÒ u H ÝÐ Ø ØÝ ÓÙÖ Ö¹ Ö º Î Ø Ú Ø ÖØÓ Ñ u, ϕ k ÙØ ÙØ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÓÙ ÓÒ {ϕ k } ÑÖÑ ÝÐ Ø ØÝ ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ º Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ ÝÝ Ø Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {ϕ k } Ú ÖÙÙ Ò H ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ {α k } ÓÒÓ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù º Ë Ö ¾
30 α k ϕ k ÙÔÔ Ò Ó Ú Ò Ó {a k } l 2 º Ë ÐÐÓ Ò ÑÝ a k ϕ k = a k 2. ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓØ m > n > 0º ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ º µ n=1 m a k ϕ k = m a k 2. k=n ÂÓ {a k } l 2 Ò Ò ÐÚ Ø Ö a kϕ k ÙÔÔ Ò Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ Ð¹ Ð ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ö a kϕ k ÙÔÔ Ò º ÃÓ Ò º½µ ÒÓ ÐÐ ÑÝ Ö a k 2 ÙÔÔ Ò ÐÐ Ö Ò Ó ÙÑÑ Ò ÓÒÓ S m = m a k 2 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÙ Ó Rº ÃÙÒ k = 1 m Ý Ø¹ Ð º µ Ò k=n a k ϕ k = a k 2. n=1 ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓØ H 1 H 2 À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º Ú ÖÙÙ H 1 ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò H 2 Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù L: H 1 H 2 ØØ L ÓÒ Ø Ó L(x), L(y) = x, y Ó ÐÐ x,y H 1 º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù Ø L ÙØ ÙØ Ò ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙ٠й Ø H 1 Ú ÖÙÙØ Ò H 2 º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ H À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó {ϕ k } º ÌÓ Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ H ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ¹ Ò l 2 Ò ØØ ÓÑÓÖ Ñ Ò ÑÖ ØØ ÙÚ Ù T : H l 2 Ñ T (x) = (α 1,α 2,...) α k = x, ϕ k k Nº Ë ÐÚ Ø T ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÐÓ Ø ÑÑ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ÙÚ Ù T ÓÒ Ø Óº ¾
31 ÇÐ ÓÓØ U V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓÒ L: U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò L ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÙ Ó N(L) = {u U : L(u) = 0}. Ä Ò Ö Ð Ö Ø Ø ØÒ ØØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù L ÓÒ Ò Ø Ó Ó Ú Ò Ó N(L) = 0º Ë ÐÚ Ø ÒÝØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T ÓÒ Ò Ø Ó ÐÐ Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ x H x = x, ϕ k ϕ k = α k ϕ k, ÓØ Ò Ó α k = 0 ÐÐ k N ÓÒ ØÐÐ Ò ÓÐØ Ú x = 0º ÐÐ Ò T ÓÒ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ð Ù º ÔØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÓÒÓÐÐ {a k } l 2 º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ H Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÓÐÐ ÓÒ ØÝ ÐÐ ¹ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº Ú ÖÙÙ H ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò ¹ º ÌÓ ØÙ º ¾ º ½¾ µº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {ϕ k } Ú ÖÙÙ Ò H ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖ¹ ØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ x Hº ÇÐ ÓÓÒ Ú Ð Ð Ò Ö ÙÚ Ù T Ù¹ Ø Ò Ðк ÇÒ Ó Ó Ó Ø ØØÙ ØØ T ÓÒ Ø Óº Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ T (x), T (y) = x, y º Å Ö ØÒ β k = y, ϕ k º ÆÝØ T (x), T (y) = (α 1,α 2,...), (β 1,β 2,...) = α k β k = x, ϕ k y, ϕ k = x, y, ϕ k ϕ k = x, y, ϕ k ϕ k = x, y. ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó ÓÒ ÓÑÓÖ ¹ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó Ò ÒÒ ÐØ ØÙÐÓ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ø ÓÒÓ {a k } l 2 Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f L 2 (T) ØØ f a k ϕ k, Ñ a k = f, ϕ k º ÑÝ ÙÓÑ ÙØÙ ½ º ½¾½ µº ÌØ ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ê Þ Ò¹ Ö Ò Ð Ù º ¾
32 º½ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÐÐ ÓÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó ÐÐ ÓÒ T ÝÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÐÐ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÓÐ Ñ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÙÔÔ Ò Ú ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐѺ Ë Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò c k (f) = 1 f(t)e ikt dt, Ñ k Zº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÙÒ Ø Ó T ˆf(k) = 1 π π f(t)e ikt dt. ÌØ ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÝ ¹ ÓÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º ÃÝØÒÒ ØÑ Ø Ô ØÙÙ ÒØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ô ØÙÙ Ò Ú Ö ØØ º Ѻ ½ º ½ µº ÇÒ ÐÑ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ó Ú Ø Óغ ÁÒØ Ö Ð Ò 1 f(t)e ikt dt ÝØØÑ Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÚØ ÓÐ Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑÑ Ó ÑÑ Ò Ñ Ö ¹ ¾º¾ ÙÓÑ ÒÒ Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø L 1 ¹ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Ò ÚÓ Ñ Ø º ÂÓ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö Ò ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÑÑ ÚÓ ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ¹ Ø º ¾ º ½ µº ÃÝØÒÒ ÚÓ ÑÑ Ù Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R) ÙÒ Ò ÓÐ ÑÑ Ø ØÓ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ø º Ì Ö ÑÔ ÝÚ ÒØÝÑ Ò Ò Ò Ò Ý Ý¹ ÑÝ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò ÔÙ ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R)º ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó ˆf(k) = 1 ¾ f(t)e ikt dt.
33 ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÓ Ò ÑÝ ÓÙ Ó L 1 (R) L 2 (R)º ÌÐÐ Ò ÓÐ Ø ÑÑ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ ØØ Ð ÚÒ ÒØ Ö Ð Ò ÙÔÔ Ò Ú Òº ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÙÒÒÓ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ F(f)º Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ˆf(k) = 1 e t, ÙÒ t 0, f(t) = e t, ÙÒ t < 0. = 1 [ 0 = 1 lim b = 1 lim b [ = 1 f(t)e ikt dt e t e ikt dt + [ 0 e (ik 1)t dt + b [ 1 e (ik 1)b 0 ] e t e ikt dt b 0 ] e (ik+1)t dt ] e (ik+1)b 1 ik 1 ik ik ] 2ik = ik + 1 (k2 + 1). º¾ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ë ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ø ÐÔÓ Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù º½º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R) a Cº Ë ÐÐÓ Ò µ µ µ µ µ F(f + g) = F(f) + F(g) F(af) = af(f) F { f(t) } = F {f( t)} F {f(t u)} = F {f(t)}e iku F {f(at)} = (1/a)F {f(t/a)}, a > 0. Ä Ù º¾º ÁÒØ ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) ÓÐ ÓÓØ k,h Rº Ë ÐÐÓ Ò ¼
34 ˆf(k + h) ˆf(k) = 1 e ikt (e iht 1)f(t)dt ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ 1 e iht 1 f(t) dt. lim ˆf(k + h) ˆf(k) 1 = lim e iht 1 f(t) dt = 0. h 0 h 0 ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ e iht 1 f(t) 2 f(t) ØØ lim h 0 e iht 1 = 0 ÐÐ t Rº ÆÝØ ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò Ð Ù ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim h 0 1 e iht 1 f(t) dt = 1 lim h 0 eiht 1 f(t) dt = 0. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R)º ÙÒ Ø Ó Ò f g ÓÒÚÓ¹ ÐÙÙØ Ó f g ÓÒ (f g)(t) = f g(t) = 1 = 1 f(y)g(t y)dy. f(t y)g(y)dy Ë ÙÖ Ú ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐ Ù ÐÑ Ý Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÙÒÒÓ Ò Ý Ýй Ð ÑÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ Ò Ñ ØØ Ò ÑÙÙÒÒ ØØ Ú ÖØÓ¹ Ð Ù ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓØ f,g L 1 (R) L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò F(f g) = F(f)F(g). ÌÓ ØÙ º ½ º ½ µº ØÑÑ Ø ÐÙÓÒÒÓ Ò ØÓ ØÙ ÐÐ º ÃÓÒÚÓ¹ ÐÙÙØ ÓÒ f g ÒØ ÖÓ ØÙÚÙÙ ÒØ ÖÓ ÒØ Ö ØÝ Ò Ú Ø Ñ Ò Ò Ó ¹ µ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ù Ò Ò Ð Ù Ò º ¾ º µº ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ½
35 µ F(f g)(k) = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 e ikt ( 1 ( e ikt f(t y)g(y)dy g(y) g(y) e ikt f(t y)dtdy e ik(t+y) f(t)dtdy g(y)e iky dy 1 ) f(t y)g(y)dy ) dt dt e ikt f(t)dt = F(f)F(g). ÇÐ ÑÑ ÑÑ Ò ØÓ Ø Ò Ø È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ó ÐÐ º Î ¹ Ø Ú ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ Ø ÙÚ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø Ô Ù º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò ˆf 2 = f 2. ÌÓ ØÙ º ¾ º ½ µº ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ f = 0 ÐÐ ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÆÝØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f c k (f)e ikt, k Z Ñ Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f 2 2 = c k (f) = f, e ikt = 1 π k= π 1 f(t)e ikt dt f(t)e ikt dt. 2 = k= ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò g(t) = e iξt f(t)º Ë ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ g ÔØ g 2 2 = = k= k= 1 g(t)e ikt dt 1 f(t)e i(k+ξ)t dt 2 2 = ˆf(k) 2. ˆf(k + ξ) 2. k= ¾
36 Ë ÐÚ Ø f 2 2 = g 2 2 ÓØ Ò º½µ f 2 2 = k= ˆf(k + ξ) 2. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ð Ù º½µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ξ Ù Ø Ò ÚÐ Ò [0, 1] ÝÐ Ò f 2 2 = k= 1 0 ˆf(k + ξ) 2 dξ = ˆf(ξ) 2 dξ = ˆf 2 2. ÂÓ f 0 ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù λ > 0 ØØ ÙÒ Ø Ó g(t) = f(λt) = 0 ÐÐ ÚÐ Ò [ π,π] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÆÝØ Ð Ù Ò º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ ĝ(k) = 1 λ ˆf ÓØ Ò f 2 2 = λ g 2 2 = λ ĝ 2 2 = λ 1 λ ˆf ( ) k, λ ( ) ξ 2 dξ = λ ˆf(ξ) 2 dξ = ˆf 2 2. Ñ Ö º¾ º ½ º ½ ¾ Ø Øº º¾ µº Ä Ø Ò ÔÓÐ ÐÐ Ò Ò ÒØ Ö Ð x 2 (x 2 + 1) 2dx. Ñ Ö Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ e t, ÙÒ t 0, f(t) = e t, ÙÒ t < 0 ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ˆf(k) = 2ik (k2 + 1). ÌÓ ÐØ f(t) 2 dt = 0 = lim b e 2t dt + ( 0 0 e 2t dt + b e 2t dt b = lim b ( 1 e 2b ) = 1. 0 ) e 2t dt
37 È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ˆf 2 = f 2 ÓØ Ò 2ik (k2 + 1) 2 dk = 2 π k 2 (k 2 + 1) 2dk = 1. Ë Ô x 2 (x 2 + 1) 2dx = π 2. Ä Ù º º ÂÓ f,g L 2 (R) Ò Ò f(t)ĝ(t)dt = ˆf(t)g(t)dt. ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ½ º Ë ÙÖ Ú ÔÙÐ Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÒØ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ñ¹ Ö ØØ Ð Ñ º Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ f L 1 (R) L 2 (R) ÓÐ ÓÓÒ g = ˆfº Ë ÐÐÓ Ò f = ĝº ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼¼ µº ÇÐ ÓÓÒ g = ˆfº ÆÝØ Ð Ù Ò º º Ô ÖÙ Ø ÐÐ f, ĝ = ˆf, g = ˆf, ˆf = ˆf 2 2 = f 2 2. ÐÐ Ò È Ö Ú Ð Ò Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ ĝ 2 2 = g 2 2 = ˆf 2 2 = f 2 2. Ë Ò f ĝ 2 2 = f ĝ, f ĝ = ˆf 2 2 f, ĝ f, ĝ + ĝ 2 2 = 0, ÓØ Ò f = ĝº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (R)º Ë ÐÐÓ Ò 1 n f(t) = lim n n ˆf(k)e ikt dk, Ñ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ L 2 ¹ÒÓÖÑ Ò Ù Ø Òº
38 ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼½ µº ÂÓ g = ˆf Ò Ò ÐÐÓ Ò Ð ÑÑ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 n f(t) = ĝ(t) = lim e ikt g(k)dk n n 1 n = lim e ikt g(k)dk n n 1 n = lim e ikt ˆf(k)dk. n n ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÙÒ f L 1 (R) L 2 (R) Ý Ø ÙÙÖÙÙ f(t) = 1 e ikt ˆf(k)dk ÓÒ ÚÓ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÙ Ó Rº Ä Ù ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ø ÙØ ÙØ Ò ÒØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÙÒ Ø Ó f Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ô Ö Ò F {f(t)} = 1 F 1 { ˆf(k)} = 1 f(t)e ikt dt, ˆf(k)e ikt dk. ÇÐ ÑÑ ÑÑ Ò Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖ¹ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º Ð Ø ØÝÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ý Ø Ý¹ Ú Ø ÑÑ ØØ ÝÐ Ø ØØÝ Ò ÓÙÖ Ö¹ ÖØÓ Ñ Ò ÓÙ Ó Ò Ù Ó Ó¹ ÑÓ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ø H Ú ÖÙÙØ Ò l 2 º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ù Ó ÓÑÓÖ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ø L 2 (R) Ú ÖÙÙØ Ò L 2 (R)º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÝØØ ØÙÐÓÒº Ä Ù º º ÂÓ f,g L 2 (R) Ò Ò f(t)g(t)dt = ˆf(k)ĝ(k)dk. ÌÓ ØÙ º à º ¾ º ¾¼½ º Ä Ù º º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ F ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ ÐØ L 2 (R) Ú ÖÙÙ¹ Ø Ò L 2 (R)º
39 ÌÓ ØÙ º ¾ º ¾¼¾ µº Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ F(f), F(g) = f, g. ÂÓ F(f) = 0 Ò Ò ÐÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÒ ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò N(F) = 0 ÓØ Ò ÙÚ Ù F ÓÒ Ò Ø Óº ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ÙÚ Ù F ÓÒ ÙÖ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ f L 2 (R) ÓÐ ÓÓØ h = f g = ĥº ÆÝØ Ð ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ f = h = ĝ ÓØ Ò f = ĝº ÇÐ ÑÑ ØÓ Ø Ò Ø ØØ ÙÚ Ù F : L 2 (R) L 2 (R) ÓÒ ÓÑÓÖ ¹ Ñ º ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ÐØ Ð Ù º Ó Ó Ø ÑÑ Ø¹ Ø Ó Ò Ò Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ò l 2 Ò º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ Ø ØÝ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ò Ý ¹ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò À Ð ÖØ Ò Ú ÖÙÙ º º Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÐ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö ¹ ÝÐ ÑÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º Ì Ð ÐÙÚÙ ØØ Ð ÑÑ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ó ÓÒ ÑÑ ÒÙÑ Ö Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ ÒØ ØÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ ØÝÝÔÔ º ÃÙØ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö ØØ Ð Ú Ó ÙÙ ÑÝ Ø Ð ÐÙÚÙ Ö ¹ Ó Ø ÑÑ Ø Ö Ø ÐÙÑÑ Ó Ñ Ò Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ T ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ º ÇÐ Ø ÑÑ Ð ØØ T ÓÒ ÚÐ [0, ]º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ { } k G N = : k = 0, 1, 2,...,N 1 = {x k : k = 0, 1, 2,...,N 1} N ÚÐ Ò T Ó ÓÐ ÓÓÒ l N ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ø f : G N Cº ÂÓÙ Ó l N ÓÒ Ú ¹ ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÝÐ Ð Ö ÙÒÒ Ò Cº ÌÐÐ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ 1, ÙÒ k = n, e n (x k ) = 0, ÙÒ k n. Ë ÐÚ Ø {e n } N 1 n=0 Ø Ó ÐÐ f l N ÔØ ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÙ Óº Ä ÐÐ ÙÒ ¹ f = N 1 k=0 f(x k )e k,
40 ÓØ Ò ÓÙ Ó {e n } N 1 n=0 ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò l N ÒØ Ú ÖÙÙ Ò l N Ñ Ò Ó ÓÒ Nº Ú ÖÙÙ l N ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÐÓ º¾µ f, g = N 1 k=0 f(x k )g(x k ). ÇÐ ÓÓÒ ω = ω N = e (i/n) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó ψ n (x k ) = e (in k N ) = ω nk. ÌÝ ÑÑ Ø Ò Ø Ñ Ô ØÙÐÓ ÓÒ ØØ ÓÙ Ó {φ k } k Z ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò L 2 (T) ØÝ ÐÐ Ò Ò ÓÖØÒÓÒÓÖÑ Ð Ó ÓÙ Óº ÌÑ Ñ ÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f L 2 (T) ØØÑ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÀÙÓÑ Ñ¹ Ñ ØØ Ú Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó ψ n (x k ) ÑÙÓ Ó Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ ÐÐ l N º Ä Ù º º ÂÓÙ Ó {ψ n } N 1 n=0 ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò l N ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÒØ º Ä ψ n 2 = Nº ÌÓ ØÙ º ½ º ¾ µº ÃÓ ÓÙ ÓÒ {ψ n } N 1 n=0 Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ ÓÙ Ó ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ó º¾µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ØÙÐÓÒ Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ 0 m,n N 1º Ë ÐÐÓ Ò ψ m, ψ n = N 1 k=0 ω mk ω nk = N 1 k=0 ω (m n)k. ÃÙÒ m = n Ú Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ÐÐ ψ m, ψ n = ψ n 2 = Nº ÇÐ ÓÓÒ m nº Ë ÐÐÓ Ò N 1 k=0 ω (m n)k ÓÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑÑ ÓÒ Ù ÐÙ Ù ÓÒ ω (m n) 1º ÓÑ ØÖ Ò Ùѹ Ñ Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ m, ψ n = 1 ω(m n)n ω (m n) = 1 ei(m n) ω (m n) = 0.
41 ÆÝØ ÚÓ ÑÑ Ñ Ò Ø ÐÐ ÓÐ ÒÒ Ø ÑÓ Ò Ù Ò Ø ÙÚ Ò ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ý Ø Ý ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÙÖ Ú Ø º Ä Ù Ò ½º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f l n ÚÓ Ò ÒÝØ ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ f = N 1 k=0 c k ψ k, Ñ c k = f, ψ k ψ k, ψ k = 1 N f, ψ k. ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f l N º ÆÝØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ó ˆf(n) = 1 N N 1 k=0 f(x k )e ikn/n, n N. Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ú Ø Ú Ø f(x k ) = N 1 n=0 ˆf(n)e ikn/n. ÄÙ Ù ÓÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó f(x k ) g(x k ) = N 1 n=0 f(x n )g(x k n ). Ã Ò ÐÙ Ù ÓÒÓÒ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ñ Ö Ø ¹ Ð Ò Ð Ò ØØ ÐÝ º Ë Ò Ð Ò ÙÓ ØØ Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÓÒ¹ ÚÓÐÙÙØ ÓÓÒº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÑÝ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø ¹ Ô Ù (f g)(n) = ˆf(n)ĝ(n). Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø ØÑ ÓÒ Ñ Ö ØØÚ ÐÐ ¹ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÔ Ø Ò Ò ÒÓØØ٠̹ Ð ÓÖ ØÑ º ÃÙÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ö Ø Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ØØ٠̹ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó Ý Ò ÖØ Ø ÐÙ Ù¹ ÓÒÓ Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ØÙÐÓº Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ñ ÓÐÐ ¹ Ø ÒÓÔ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÑÔÐ ÙÙ ÓÒ ÙÓÑ ØØ ¹ Ú Ø ÑÙ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ô Ò ÑÔ º
42 Î ØØ Ø ½ ÎÖ Ø Ð º ÓÙÖ Ö Ò ÐÝ Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ ¾ Ò Ø Äº ² Å Ù Ò Èº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ À Ð ÖØ ËÔ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ñ ÔÖ Òº Ë Ò Ó ½ ¼ ÀÓÖÒ Êº ² ÂÓ Ò ÓÒ º Å ØÖ Ü Ò ÐÝ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ½ ½ µ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotT 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
LisätiedotP(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Lisätiedotx α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Lisätiedot(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotC A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Lisätiedotx = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Lisätiedot284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotPainekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
LisätiedotÌ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
LisätiedotHajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotX = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Lisätiedot