P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

Transkriptio

1 È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º½ ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ¾ º½ Å Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Å ÐÐ Ò ÖÚ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Î Ö Ò Ò Ú ÖØ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ È Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Å ÐÐ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ö Ø º½ Î Ú Ö ÙÙ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Î ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º½ Î ÚÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ À ÓÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ò ÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÌÙØ ÑÙ Ò ØÓØ ÙØÙ º½ Ò ØÓÒ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ó Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙÙØØÙ Ò Ú Ð ÒØ Ñ ÐÐ Ò ÐÙÓÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º ¼ ÌÙÐÓ Ø ¾ º½ Ì ¹ Ö Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Î Ø ÐÙÚÐ Ò ÑÙÓ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓ ÒØ

3 ½ ÂÓ ÒØÓ ÌÝ Ö Ó Ø ÐÐ Ò Ô Ò Ò Ö Ò ÐÐ ÒØ Ò Ð ØØÝÚÒ ØØ Ò ÓÑ Ú Ö ¹ ÙÙ Ø Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ø ÝØØ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ð ØÓÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ º ÌÝ Ò Ð ÙÓ Ð Ø Ð ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ¹ Ø Ó Ø ÙÖ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÝÒ Ò Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ò ØØ Ð Ñ Òº ÄÓÔÙÐØ Ø ÐÐÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ ÝØ ØØÚÒ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ô ÖÙ Ø Ø ØÝ ÓÚ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ Ò Ð ¹ ÙÐÐ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ò ÝØ ØØÚØ ÙÙÖ Øº Å Ø Ñ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ ÙØ ÙØ Ò Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º Ì ÐÓÙ ¹ Ø Ð ØÓØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÝØ ØÒ Ò Ñ ØÝ Ø Ö Ö Ó¹ Ò ÐÝÝ º ÌÝ Ô Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ØØ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ø ¹ Ö Ò ÚÙй Ð ØÙØ Ø Ò Ñ ÐÐ ÐÐÝØÝ ÐÐ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ð Ð Ò ÓÑ Ø Ò Ëµ ÙÓ ØØ Ð Ñ Ò ± Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ô Ò Ò ÒÓØØ Ò ÓÐ Ú Ò Ö º Å ÐÐ ÒÒÙ Ò Ø ÚÓ Ø¹ Ø Ò ÓÒ ØÙØ Ø ¹ Ö Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ð ÝØÝÚ Ö Ø Ø Ô Ò Ò Ú ¹ Ú Ö ÙÙ ÐÐ º È Ö ÒØ Ø Ú Ú Ö ÙÙØØ ÓÒ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÝØØ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙع ØÙ Ò Ñ ÖÓØ ÐÓÙ Ò ÙÙÖ Ø ÙØ Ò Ò Ø Ó Ø ØÝ ØØ ÑÝÝ º ÌÑÒ ØÝ Ò ÖÒ Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØ ÚÓ Ò Ó Ý Ø Ö Ú ÒÒÓ Ô Ò Ò Ø Ð ÒÔØ Ø ØÓ Ò ÚÙÐÐ º Ò ØÓÒ ØÝ ÝØ ØÒ ÆÓÖ ¹ ÓÒ ÖÒ Ò Ó ÚÙÓ Ø Ù Ø Ð ÝØÝÚ Ø Ø ØÓ ÓØ ÓÚ Ø ÙÐ Ø ÐÙ ØØ Ú ÓÒ¹ ÖÒ Ò Ú Ö Ó ÚÙ ÐØ Ð ÝØÝÚ Ø Ó ÚÙÓ Ø Ù Ø º Å ÐÐ ÒÒÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÐ ØØ ÑÙ Ò ØØ Ø ¹ ÖØ ØØ ÓÑ Ú Ö ÙÙ ¹ Ø Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ø Ð Ú º ÌÐÐ Ò Ò Ø ÚÓ Ò Ô Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò º ÄÙÚÙ º½ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø Ó Ò Ò Ø ¹ Ö Ø Ò ØØ ÐÙ ÐÐ ÝÒØÝÝ ØÝ Ò Ò Ñ Ö ØÝ Øº ÄÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ó Ð¹ Ñ ØÓ ÓÒ ÚÙÐÐ Ñ ÐÐ ÒÒÙ ØÓØ ÙØ Ø Òº Å ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ò ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ú ØÓ ØÓ Ø Ò Ò Ö Ó Ò Ò Ñ Ø ÑÙÙ¹ ØÓ Ø ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø º ½

4 ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò ÓÓÑ Ø Ð ØÓ ÓÐ Ø ØÙØ Ð Ù Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ù Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º ÄÙÚÙÒ ÐØ ÓÒ Ú ØØ Ø º ½ º ½ ¹ ½ ¾¼ º ¾¼ ¹ º ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ë ØÙÒÒ Ó ÓÒ Ó ÓÒ Ý ØØ Ø ØÙÐÓ Ø e ÒÒ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ Ø Ú ÖÑÙÙ ÐÐ ÚÓ ÑÖ Øغ ÂÓ Ø ØÐÐ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÒ¹ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ø e ÙØ ÙØ Ò Ð Ø Ô Ù º È ÖÙ ÓÙ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ µ Ω ÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Óº Ì Ô ØÙÑ E ÓÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ω Ó ÓÙ Óº Ì Ô ØÙÑ Ò E ÒÓ¹ Ø Ò ØØÙÚ Ò Ó ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ e E Ð ÙÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ð ØØÝÚ Ð Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙº ÃÓ ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÚÓ ÒÒ ÐØ Ú ÖÑ Ø Ø Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÔÙ ÙØ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ö ÒÓ ÑÖ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò¹ ØÝÑ Ø Ý Ò Ð Ñ Ò Òº ÌÓ Ø Ø Ò ØÙÒÒ Ó ØØ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Sº ÂÓ Ø ØØÙÒÙØØ Ø Ô ØÙÑ E S Ó Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ n(e) Ó ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò E ØØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ó ØØ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ n ÖØ º ÌÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Ì Ô ØÙÑ Ò E ØÓ ÒÒ ÝÝ = lim n n(e) n. Î ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÒØÙ Ø Ú Ø ÝÚ ÝØØÚ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ò Òº ÂÓ Ó ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ n ÖØ Ð Ø Ô ØÙÑ E ÓÒ ØØÙÒÙØ n(e) ÖØ Ò Ò ÚÓ Ò Ó ÓÐÐ Ú ÖÑÓ Ø ØØ ØÓ ØÓ Ò Ú Ö ØØ n Ö ¹ ÖÚÓ Ð ØÝÝ ÑÑ Ò ØÙ ÐÙ Ù n(e) ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö ÚÓ Ò ÓÐÐ Ú ÖÑÓ ØØ ØÓ Ø ØØ ØÙÒ¹ Ò Ó ØØ Ù Ò ÖØ Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ð ØÝÝ Ò Ñ ÐÙ Ù ÇÐ ØÙ Ò Ý Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ Ú Ò Ð Ò ÑÙØ º ÐÐ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø ÓÒ ØØÚ Ñ Ð ÑÔ Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ º ÌÑ ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ ÓÐ ØØ Ñ ÐÐ ØÙÒÒ Ó ÓÒ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ωº ÓÓÑ ¾º½º½º ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò ÓÓÑ Øµ ÂÓ ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø Ô ØÙÑ ÐÐ E ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù P(E) Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø Óغ ¾

5 ½º 0 P(E) 1 ¾º P(Ω) = 1 º à ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ E 1,E 2,... Ó ÐÐ E i E j = ÐÐ i j ÔØ ( ) P E i = i=1 P(E i ) i=1 ÓÓÑ Ø ÓÒ Ò Ñ ØØÝ Ú ÒÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ö ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò ÑÙ Òº ÙÒ Ø Ó Ø P ÙØÙ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ ÐÐ Ø ØÝØ ÓÓÑ Øº ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÓ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò Ö ÒØ Ñ Ò Òº Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÑÙÙØ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ µð Ù ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º½º¾º P( ) = 0. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò A A c = Ω Ñ A c ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÓÓÑ Ò ¾º º ÒÓ ÐÐ P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. ÃÓ = Ω c Ò Ò ØØ Ñ ÐÐ A = Ω ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó P( ) = 1 P(Ω) = 0. ÌÝ Ò ÓÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ò ØÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò ÒÒ ÐØ º ÁÒØÙ Ø Ú Ø ØÖ Ú Ð Ò Ð Ù Ò Ó Ó ØØ Ñ ¹ Ò Ò ØÓ Ñ ØÖ Ò ØÝ ÐÙÒ Ù Ö Ø Ô Ù º Ä Ù ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ E 1,...,E n Ö ÐÐ Ø Ô ØÙÑ º ÌÐÐ Ò P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ).

6 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ E n+1 = E n+2 =... = º ÌÐÐ Ò ( ) P(E 1 E n ) = P E n = P(E k ) = n=1 k=1 n P(E k )+0 = P(E 1 )+ +P(E n ). k=1 Ä Ù ¾º½º º ÂÓ A 1,A 2,... ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ò ( ) P A n n=1 P(A n ). n=1 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ B 1 = A 1 B n = A c 1 Ac n 1 A n ÐÐ n 2º ÌÐÐ Ò B i B j = ÐÐ i j n=1 B n = n=1 A n ÓÐÐÓ Ò ( ) ( ) P A n = P B n = P(B n ). n=1 n=1 n=1 ÃÓ B n A n Ò Ò P(B n ) P(A n ) Ó Ø Ú Ø ÙÖ º Ä Ù ØØ ¾º½º ÙØ ÙØ Ò Ù Ò ÓÓÐ Ò ÔÝ ØÐ º ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÖÚ Ó ¹ Ñ Òº ÄÙÚÙ ¾º¾ Ø ØØÝ Ð Ù ¾º¾º ÒØ ØÝ ÐÙÒ ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ò Ý Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ö ÑÔ Ò ÑÖ ØØÑ Òº ¾º¾ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Í Ò Ø Ö Ø ÐØ ÓØ Ò Ø ØØÝ ØÙÒÒ ÐÑ Ø Ø Ö Ø Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ ÐÐ Ø Ø ØÓ Ó ÑÙÙØØ ÐÙØÙÒ ÐÑ Ò ØØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Óй Ð Ò Ø Ú ÐÐ º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º Î ÒÒ ÓØ ØÓ ÓÐ Ò ÓÐ Ñ Ò Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ØÝ ÐÙ Ó ÐÔÓØØ ÐÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ Ø º

7 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½º Ì Ô ØÙÑ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØØÙÑ ÐÐ ÐÐ ÓÐÐ ØØ Ø Ô ØÙÑ B ÓÒ Ó ØØÙÒÙغ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ñ Ö ØÒ P(A B) = P(A B), ¾º½µ P(B) ÐÙ Ø Ò ³Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B³º Ú Ø Ò ÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ñ Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ð Ñ º ØÓ P(A B) Ø Ö Ó ØØ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò B ØØÙ ÑÝ A ØØÙÙº ÌÐÐ Ò Ø ØÓØ ÙØÙÙ Ó Ò Ð Ø Ô ØÙÑ a Ø Ò ØØ a A Bº ÌÓ ÐØ Ó Ø ØÒ ØØB ÓÒ ØØÙÒÙØ Ò Ò Ø ÓÒ ØÙÐÐÙØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ø Ð ÒØ Ò ÙÙ ÓØÓ Ú ÖÙÙ º ÆÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ú ÖÖ Ø Ò ØÓ ÒÒ Ýݹ Ø ÒP(B)º ÀÙÓÑ Ó Ø Ú ÓÒ ØØ Ý ØÐ ¾º½ ÓÒ Ñ Ð Ú Ò ÙÒ P(B) > 0 ÓÐÐÓ Ò ÑÝ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØݺ ÇØ Ø Ò Ñ Ö ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝØ Øº Ñ Ö ¾º¾º¾º À Ø ØÒ ÓÐ Ó ÖØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ÐÐ ØÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÖÙÙÒ Ø Ð Ú ÓÒ 1 / 2 Ð ØØÓ ÓÒ ØÝ Ò ØØÙÑ ÒÚ Ö Ò Ò Ø ØØÚ ÓÐ Ó ³Ö ÐÙ³º ÂÓ Ø ØÒ ØØ ¹ Ø ØÓ Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÖÙÙÒ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÐÐ ØÙÐ ÖÙÙÒ ÆÝØ Ñ ÓÐÐ Ø Ð Ø Ô Ù Ø Ð ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = {(kr,kr),(kr,kl),(kl,kr),(kl,kl)} Ñ Ö Ø Ö Ó ØØ ÖÙÙÒ Ð Ð Ú º ÃÓ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò ÙÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1 / 4 º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ A = ÑÓÐ ÑÑ Ø ØÓØ ÓÚ Ø ÖÙÙÒ Ó ÐØ Ð Ø Ô Ù Ò (kr,kr) Ø Ô ØÙÑ B = Ò Ò ØÓ Ò Ò ØØÓ ÓÒ ÖÙÙÒ Ó ÐØ Ð Ø Ô Ù Ø(kr,kr),(kr,kl),(kl,kr)º ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) = P(A B) P(B) = 1 / 4 3 / 4 = 1 3. Ú Ò ÙØ Ò ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø P ÙØ ÙØØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P( B)º ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ú Ø Ú Ø ÓÓÑ Ø Ù Ò ÐÐ ÑÙØØ ÓÐÐ Bº Ä ÑÔ Ø Ö Ø ÐÙ ÚÙÙ¹ Ø Ø Ò Ø Ó Ñ Ö º ¾ Ø ¾¼ º ¹ º Ë ÙÖ Ú ÓÓØ Ò Ö ÒÒÙ Ô Ð Ó Ø Ò Ò ÒÓØÙÒ Ý Ò Ý ØÐ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ º ØÐ Ò Ø Ù Ø ÐÐ ÓÒ ØÙ ØÙÒÒ Ó Ø Ó Ø Ô ØÙ¹ Ñ A ÓÒ ØØÙÒÙØ ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ø ØØÙ Ó Ñ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ

8 B k º ÐÙ ÓÐ Ø Ø Ò A ØØ B Ø Ô ØÙÑ º Ì Ô ØÙÑ A ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó A = (A B) (A B c ). ÃÓ AB AB c ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò Ð Ù Ò ¾º¾º Ý ØÐ Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó P(A) = P(A B)+P(AB c ) = P(A B)P(B)+P(A B c )P(B c ) = P(A B)P(B)+P(A B c )[1 P(B)]. ¾º¾µ ØÐ Ò ¾º¾ ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ B A ÓÐÐ ¹B Ô ÒÓØ ØØÙ ÖÚÓ Ñ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú Ø Ò Ú ÖÖ Ò Ô ÒÓ ÖÚÓ Ù Ò ÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ Ó ÓÒ Ú ÖÖ Ø Òº ØÐ ¾º½ ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ø Ð ÒØ Ò Ó ÓÒ n ÔÔ Ð ØØ ÓÐÐ ¹ Ø Ú Ø Ô ØÙÑ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÓ Ø Ò Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ B 1,...,B n ÔØ ØÓ n B i = Ω. i=1 ÌÑ ÓÒ Ò ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ñ Ö Ø Ò ØØ B n = (B 1... B n 1 ) c º Ì Ô ØÙÑ A ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò B i ÚÙÐÐ Ø Ò ØØ A = n AB i. i=1 ÃÓ Ø Ô ØÙÑ Ø AB i ÓÚ Ø ÑÝ Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ Ò ¾º¾ ÒÓ ÐÐ P(A) = = n P(A B i ) i=1 n P(A B i )P(B i ). i=1 ¾º µ ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ø Ô ØÙÑ A ÓÒ ØØÙÒÙØ ÐÙØ Ò ÑÖ ØØ ØÓ Ò¹

9 Ò ÝÝ Ø Ô ØÙÑ Ò B k ØØÙÑ ÐÐ º ØÐ Ò ¾º½ ¾º ÒÓ ÐÐ Ò P(B k A) = P(B k A) P(A) = P(A B k)p(b k ). ¾º µ n P(A B i )P(B i ) i=1 ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÓÐ Ø ØØÙ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A i ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ iº ÂÓ Ò Ò ÓÐ Ò Ò ÚÓ Ò Ó ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A 1... A n ) ÖÚ Ó ÑÙÙØ Ò Ù Ò ÝØØÑÐÐ Ð Ù ØØ ¾º½º º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ð Ù Ò ÙÖ Ù ÓØ Ø Ý Ø Ý Ø ØÒ ØÓ Ø Ñ ØØ Ó Ò ÚÙÐÐ ÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ØØÙ º Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A 1,...,A n Ø Ô ØÙÑ º ÌÐÐ Ò n P(A 1... A n ) = P(A i A j ) + i<j<k i=1 P(A i ) i<j P(A i A j A k ) +( 1) n+1 P(A 1... A n ). Ë ÙÖ Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ø Ô ØÙÑ º ÌÐÐ Ò P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). ÌÓ Ò Ò ÓÒ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ó ØØÙÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ ¹ Ø ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝØ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò Ð P(A B) = P(A), ¾º µ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ A B ÙØ ÙØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º Î Ø Ú Ø ØÐÐ Ò ÑÝ P(B A) = P(B)º ÇÐ ØØ Ò ØØP(B) > 0 Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º ÒÓ ÐÐ Ý ØÐ ¾º½ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ ÑÙÓ Ó P(A B) = P(A)P(B). ¾º µ Ä Ø Ò Ý Ñ Ö Ñ Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØÓ Ø Ò Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ º

10 Ñ Ö ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P Ø Ò ØØ P(A) = 0.5 P(B) = 0.2º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º ÒÓ ÐÐ P(A B) = P(A) = 0.5º ÆÝØ Ý ØÐ Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ P(A B) = P(A) = 0.5 = P(A B) 0.2 P(A B) = 0.1. à РÐÐ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð ÝÑÑÖØ Ñ Ø ÖÓ ÓÒ Ö ÐÐ ÐÐ Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º Ì Ø ÝÝ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ø ¹ ØÚÒ Ú ØØ Ø ÓØ ØÓ ÚÓØØ Ú Ø Ð ÝØØÚØ ÐÙ ÐÐ Ý Ò Òº Ñ Ö ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒA B Ø Ô ØÙÑ Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ P(A) > 0 P(B) > 0º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ó A,B ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò A,B ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º Ä Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ó A,B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò A,B ÚØ ÓÐ Ö ÐÐ º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A B = º ÇÐ ØÙ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ð P(A B) = 0º ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ P(A B) = P(A B) = 0 ÑÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½µ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ P(B) B ÓÒ Ó ØØÙÒÙغ ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º Ò ÐÐ P(A B) = P(A) > 0 Ð A B ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ð P(A B) = P(A)º ÌÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ B ÓÒ ØØÙÒÙØ Ø Ô ØÙÑ A ÚÓ ÓÐРع ØÙÒÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P(A) ÓÐÐÓ Ò P(A B) > 0 Ð A B ÓÐÐÓ Ò Ò ÚØ ÓÐ Ö ÐÐ º

11 Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ò Ø ØØÝ Ò ØÝ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò Ð ÙÙÖ Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝÝÒ ÓÖ¹ Ö Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Òº ÄÙÚÙÒ Ø ÓÖ ÓÒ Ô Ö Ò Ú ØØ Ø º ½ º ¹ ½¾ ½ º ½ ² ¾ ¾¼ º ¼ ¹ ¾½ ¾¾ º ² ½¼ ¹ ¼ º½ ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÄÙÚÙ ¾ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ÓÒ ÔÓ Ò ØÙØÙ ØÙØØ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ð ÙÒ Ø Ó Ò Ó Ò ÖÚÓØ ÑÖØÝÚØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ð Ø ÓÙ ÓÒ ØÓ Ñ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ ØÓ Ñ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ X ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ω Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ò ω ÓÒ Ð Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÙÒ Ø Ó º ÌÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ X ÖÚÓ Ò X(ω)º ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ < b < Ø Ò ØØ F X (b) = P{X b}. à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ú Ø Ø Ù Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó Ú Ò Ý ÝÑÝ Òº Ñ Ö P{a < X b} = F X (b) F X (a) ÐÐ a < bº ÌÑ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ {X b} Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò {X a} {a < X b} ÙÒ ÓÒ Ò ÌÐÐ Ò {X b} = {X a} {a < X b}. P{X b} = P{X a}+p{a < X b} P{a < X b} = P{X b} P{X a} = F X (b) F X (a). à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓØ Ø Ø ØÒ ØÓ Ø Ñ ØØ º

12 Ä Ù º½º º ÂÓ X ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F(x) ÓÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ F X (x) ÓÒ ¹Ú Ò Ú Ð F X (x) F X (y) ÙÒ x yº µ F X ( ) lim x F X (x) = 0, F(+ ) lim x + F X (x) = 1º µ F X (x) ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ Ð lim F X(b) = F X (b 0 ) Ó ÐÐ b > b 0 º b b 0 + Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÚÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐ ÓÐÑ Ò ÔÖÝ ÑÒ Ö Ø¹ Ø Ò Ø ÙÚ Ò ØÝÝÔÔ Òº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÒÓØ Ò ÓÐ ¹ Ú Ò Ö ØØ Ó Ò Ð Ø ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º ÌÐÐ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ñ p p(x) = P{X = x}. º½µ Ñ Ö º½º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó Ω = {x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 } ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò Ð ¹ Ø ØÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P[X = x i ] > 0 ÐÐ i = 1,...,5º ÃÙÚ ½ ÓÒ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÙÚ ¾ ÓÒ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÃÙÚ ½ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ º ½¼

13 ÃÙÚ ¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒØ Ó F X º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ó Ó Ô ÐÓ Ø¹ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ØØ F X (x) = x xp X (x ), º¾µ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Øp X (x ) > 0º ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÑÝ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º Ñ Ö º½º Ø ØØ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò Ñ Ö Ö Ø Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ø ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø º Å Ø Ñ Ø ÓØ ÓÚ Ø ØØÒ Ø ÐÙ Ù Ö ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ø ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó Ø º Ö Ð ÙÑ Ø ÖÚ Ø Ò ØÙØ ØØ Ö Ð ÐÑ Øº ¹ Ñ Ö Ò Ö ØÝ Ø Ö Ø Ø ÙÑ Ø Ø ÐÐÒ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ó { p P[X = x] = p X (x) = x (1 p) 1 x x = 0,1 0 muulloin ÓÐÐ Ò p [0,1] ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÙÒ Ø ÓÒ p X ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÓÓÑ Ø ½ ¾ ÓØØ Ò ÚÓ Ò ÒÓ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÌÑ ÓÒ Ð Ø ØÒ ½½

14 ÐÚº ÃÓ p [0,1] Ò Ò p X (0) = 1 p [0,1] p X (1) = p [0,1]º Ä 2 i=1 p X(x i ) = 1 p+p = 1 Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÐÐ Ø ØØ Ò Ù ÑÔ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º Â Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ò Ý ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ Ò ÐÓ ¹ Ò Ò Ý ØÐ Ò º¾ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ø ÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f X ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ¹ Ó Ñ x (, )º F X (x) = x f X (y)dy, ÌÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ f X ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð Ò º Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ø Ò ÒØÙ Ø Ú Ò Ò ÙÖ Ù Ø Øº Ä Ù º½º º ÂÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÐÐ Ö ÚÓ ØÙÚ Ò Ò F (x) = d dx F = f(x), ÐÐÓ Ò ÙÒ f ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ F Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÐÐ ØÓ ØØ Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ú Ø Ø ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ Ó Ú Ò Ý ÝÑÝ Òº Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ¹ ÙÒ Ø Ó f ØÓ Ñ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ ÓÒ ÚÐ ÐÐ [a,b] Ò Ý ØÐ Ø P{a X b} = ØØ Ñ ÐÐ b = a Ý ØÐ Ò º Ò P{X = a} = ÓØ Ò Ø ÙÚ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ a a b a f X (x)dx. º µ f X (x)dx = 0, P{X < a} = P{X a} = F(a) = a f X (x)dx. ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý ØØ Ò ÖÚÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓÐÐ º ½¾

15 Ñ Ö º½º º ÇÐ ÓÓÒX Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X ÙÚ ÓÒ { 3 f X (x) = 4 ( x2 +2x) 0 x 2 0 muulloin ÃÙÚ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X º à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ F X (a) ÓÒ ØÐÐ Ò 0 a < 0 1 F X (a) = 4 ( a3 +3a 2 ) 0 a < 2 1 a 2 Ì Ö Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó f ØÓ ÐÐ Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÂÓØØ Ò Ò ÓÒ Ò Ò lim x F X (x) = lim x x f X(x)dx = 1º ÃÓ ÙÒ Ø Ó f ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÖÚÓ Ú Ò ÚÐ ÐÐ(0,2) Ò Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ ÒØ Ö Ð 2 0 f X(x)dxº 2 0 f X (x)dx = / 2 = 1 4 ( 8+12) = = 1 ½ ( x 3 +3x 2 )

16 ÃÙÚ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒØ Ó F X º ÙÒ Ø Ó f ÐÔ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò F ÓÒ Ø Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÙÚ º ÃÙØ Ò Ö ØØ Ò Ò ÑÝ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÙ Ù Ö Ð Ó Ø Ñ Ö Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÂÓ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ò λ > 0 ÓÒ ÑÙÓØÓ { λe f X (x) = λx x 0 0 x < 0, Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÙØÙÒÙغ ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÙÒ Ø Óf X ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ú Ò Ó F(+ ) = 1º ÆÝØ ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º¾ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ F(+ ) = lim a + F X(a) = lim a + = lim a + 0 / a = 0+1 = 1 a 0 λe λx dx e λx = lim a + e λa +e λ0 Ö Ø Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ØÝÝÔ¹ Ô ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ½

17 ÅÖ Ø ÐÑ º½º½¼º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ó Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ F = c 1 F d +c 2 F ac, Ñ c 1,c 2 > 0,c 1 + c 2 = 1 F d ÓÒ Ö Ø Ò F ac Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º½¼ ÑÙ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÑÙ Ò Ú Ò ÙÖ Ó ¹ Ø Ø Ò ÚÙÓ Ò Ø ØÝ Ò Ô Ð Ø º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÃÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ú ÖØ Ò ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø ÔÙ Ù ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø º ÅÓÑ ÒØØ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÙÖ º Ñ Ö ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÚ ÐØ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ØÙÓØØ Ø ØÙ ÑÖ Ò Ò ÚÓ ØØÓº Ö ØÖ Ñ¹ Ñ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ø ØÝ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓ EX ÓÒ ÑÙÓØÓ EX = xf X (x)dx ÓÐ ØØ Ò ØØ Ý Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ØØ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º¾º Ì ØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ú Ø Ú ÐÐ Ó ÐÐ ÑÙØØ Ø Ò ØØ ÒØ Ö Ð Ú Ø Ò Ùѹ Ñ Ò i=1 Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X(x) ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÓÒ p X (x i )º ¹ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ø Ò ÑÙÓØÓ EX = x i p X (x i ). i=1 Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ EX ÓÒ Ô ÒÓØ ØØÙ Ö¹ ÚÓ ÖÚÓ Ø x i Ó ³Ô ÒÓÒ ³ ÓÒ ÖÚÓÒ x i ØØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ p X (x i )º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ ÓÒ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð p X (x i ) = 1/N Ñ N ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ø Ö ØÑ ØØ Ø ÖÚÓ X EX = N i=1 x i 1 N = 1 N ½ N x i = X i=1

18 Ä Ù º¾º º ÂÓ f ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ò ØÐÐ Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g Ó ÓØÙ ÖÚÓ E[g(X)] = g(x)f X (x)dx. Ä Ù ØØ Ø ØÓ Ø Ø º Å Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ú ØØ Ø ¾¼ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ö Ø ØÖ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ð ØØÝÚ ÓÑ Ò ÙÙ º Ä Ù º¾º º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ c 0 Ú Óº Ä ÓÐ ÓÓØ g(x),g 1 (X) g 2 (X) Ö Ð ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓغ ÌÐÐ Ò ½º E(c) = c ¾º E(cg(X)) = ceg(x) º E(g 1 (X)+g 2 (X)) = Eg 1 (X)+Eg 2 (X) º Eg 1 (X) Eg 2 (X) Ó g 1 (x) g 2 (x) ÐÐ x º Eg(X) E g(x) º ÌÓ ØÙ º ½º E(c) = cf X(x)dx = c f X(x)dx = c ¾º E(cg(X)) = cg(x)f X(x)dx = c g(x)f X(x)dx = ceg(x) º E(g 1 (X)+g 2 (X)) = = [g 1 (x)+g 2 (x)]f X (x)dx g 1 (x)f X (x)dx+ = Eg 1 (X)+Eg 2 (X) g 2 (x)f X (x)dx ½

19 º ÂÓ f(x) g(x) ÐÐ x R Ò Ò f(x)dx ÌÐÐ Ò Eg 1 (X) = R R g(x)dx. g 1 (x)f X (x)dx g 2 (x)f X (x)dx = Eg 2 (X). º ÂÓ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÙ Ó Ê Ò Ò ÑÝ f ÓÒ ÓÐÐÓ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ö Ð Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ f f. ÌØ Ò Eg(X) = = R R g(x)f X (x)dx g(x)f X (x) dx g(x) f X (x)dx = E g(x). ÐÐ ÙØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ý ÝÐÐ ÔÙÚÐ Ò Ø Ö ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÐÚ ØØÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Òº Ù ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ µ n E[X EX] n ÌÖ Ø Ù ÑÓÑ ÒØØ ÓÚ Ø Ò Ò ØÓ Ò Ò µ 2 E[X EX] 2 ÓÐÑ Ù ÑÓÑ ÒØØ µ 3 E[X EX] 3 º ÐÐ Ø ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X Ú Ö Ò Ð ÑÑ Ø Ò Ú ÒÓÙ º ½

20 ÇÐ ÓÓÒ Y = h(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ h(x) = (X EX) 2 ÓÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º½ ÒÓ ÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ EY = E[(X EX) 2 ] = [x EX] 2 f X (x)dx. ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ h(x) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ú Ö Ò º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò Ð Ñ Ò Ò ÚÓ ÓÐÐ ØÝ Ð Ø Ø Ò Ò ÙÙÖØ Ò Ò ØÓ Ò Ó ÐÐ º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò ÑÙ Ò Ñ Ð Ø ÝØØ Ó Ð ØØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÝÚ ÑÖ Ø ØØ ÙÙ º Ä ÑÑ º¾º º Var(X) = EX 2 [EX] 2 º ÌÓ ØÙ º Var(X) = E[X EX] 2 = E(X 2 2XEX +[EX] 2 ) = EX 2 2EXEX +[EX] 2 = EX 2 [EX] 2. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓÒ Ò Ð Ò ÖÓØÙ º Ä Ù º¾º º Var(aX +b) = a 2 Var(X)º ÌÓ ØÙ º Var(aX +b) = E[(aX +b) E(aX +b)] 2 = E[aX +b E(aX) b] 2 = E[a(X EX)] 2 = a 2 E[X EX] 2 = a 2 Var(X). Â Ø Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ Ú Ö Ò ÐÐ ÝØ ØÒ ÐÝ Ý ÑÔ Ñ Ö ÒØ Ø Ò ØØ µ = EX σ 2 = Var(X)º Ä ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ð ¹ ÓÒØ σ(x) = Var(X)º ½

21 Ä Ù º¾º º ÇÐ ÓÓÒ X = X E(X) σ(x) Var(X ) = 1º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÌÐÐ Ò EX = 0 ÌÓ ØÙ º ÃÝØ ØÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ EX ÓÒ¹ Ò ÐÐ σ(x) Ú Ö Ò ÐÐ Var(X) ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ Ö ÒØ ØÓ ØÙ ¹ Ò Ð ÝØØÑ º ÆÝØ EX = µ σ(x) = σ Var(X) = σ 2 º º ( ) ( ) X E(X) X µ EX = E = E σ(x) σ ( ) 1 = E (X µ) = 1 E(X µ) σ σ = 1 σ [E(X) µ] = 1 σ [µ µ] = 0 º ( ) ( ) X E(X) X µ Var(X ) = Var = Var σ(x) σ ( ) 1 = Var (X µ) = 1 σ σ2var(x µ) = Var(X) σ 2 = σ2 σ 2 = 1. ÐÐ Ø ØØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÙØ ÙØ Ò Ø Ò Ö Ó Ù ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ º ÌÐÐ Ò Ñ Ò Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Ò Ó ÐØ Ý ØÐ º ÌÑ ÐÔÓØØ Ñ Ö ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÖØ ÐÙ º ÌÙÒÒ ØÙ Ò ØÐÐ Ò Ò ÙÑ ÓÒ ØÓ ÒÒ ¹ Ø Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÌÖ Ø ÙÑ ÅÓÒ Ø ØÙØ ØÙØ ØÙÒÒ ÐÑ Ø ÒÝØØÚØ ÒÓÙ ØØ Ú Ò Ò Ò ÒÓØØÙ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ö ØØ Ò ØÖ ÙÒ Ø Ó ØÙØ ØØ Ñ Ø Ö Ð ÑÔ ÐÑ Øº ÅÝ ØÑÒ ØÝ Ò ÑÔ Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÐ ØØ ¹ ÑÙ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÙØÙÒ Ø ØÙÒÒ ÐÑ Øº ½

22 ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ EX = µ Ú Ö Ò Var(X) = σ 2 ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ f(x) = 1 2πσ e 1 2( x µ σ ) 2, Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÙØÙÒÙØ Ø Ñ Ö ØÒ X N(µ,σ 2 )º ÂÓØØ Ø ØÒ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ f ØÓ ÐÐ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÓÒ ÒÝØ ØØÚ ØØ f(x) = 1º Ö ØÓ ØÙ ÓÒ Ú ØØ ¾¼ ÑÙØØ Ø Ø Ý ÐÔ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ö ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ º Ñ Ö º¾º½¼º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ¹ ÖÚÓÐÐ µ Ú Ö Ò ÐÐ σ 2 Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = αx +β ÓÒ ÒÓÖÑ ¹ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ αµ+β Ú Ö Ò ÐÐ α 2 σ 2 º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α > 0º ÌÐÐ Ò F Y (a) = P{Y a} = P{αX +β a} = P{X a β α } = F X ( a β α ÃÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F ÖÚÓ Ô Ø a β Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º ÑÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ α ÑÖØÝ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ò ØØ ). ( ) a β (a β)/α 1 F X = e 1 2( x µ σ ) 2 dx. α 2πσ Ì ÑÐÐ ÒØ Ö Ð Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ØÓ y = αx+β Ò F Y (a) Ó ØÝ Ò F Y (a) = a 1 e 1 [y (αµ+β)] 2 2 α 2 σ 2 dy. 2πασ ¾¼

23 ÃÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ F Y (a) = a f Y(y)dy Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f Y (y) = 1 e 1 [y (αµ+β)] 2 2 α 2 σ 2, 2πασ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ αµ+β α 2 σ 2 º ÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ØÖ ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ò ÒÓØØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ò Ö ÑÙÓØÓº Ä Ù Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ µ σ 2 Ò Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = (X µ)/σ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ 0 1 Ñ Ö ØÒ Y N(0,1)º ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º½½º Ä Ù º¾º ØÓØ Ñ ØÒ Ø Ò Ö Ó ÙÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ø º ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙØÙÒÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô Ø ØÐÐ Ò ÑÙÓØÓÒ º Î ÓÐ ØÙ ÐÑ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ ÙÙ Ø Ô Ø Ò Ô Ò Ò Ò ÖÚÓ Ò Ñ Ð Ò Ó Ó Ò Ò ØÙØ ÑÙ Ò ØÓ ÓÒ ÙØÙÒÙØ Ø ÑÐÐ Ò Ò ÑÙ Ø º ÇÐ ØÙ Ò ØÐÐ Ò ÓÒ ØØ ÙÑ Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ø ÙÙ¹ Ö ÑÔ Ñ Ø Ô Ò ÑÑ Ø Ò ØÓ Ø ÓÒ Ý º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ Ñ Ó ÑÙ ØÙØØ ÑÙÓ ÓÐØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ó Ø Ð¹ ØÝÝ Ø ÙÒ Ò ØÓÒ Ó Ó Ú º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½¾º ÑÑ ÙÒ Ø Ó Γ ÓÒ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ n > 0 Γ(n) 0 x n 1 e x dx = 2 0 y 2n 1 e y2 dy. ÑÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ó Ó Ø ØØ Ú Ý Ø ÙÙÖÙÙ Γ(n) = (n 1)!º Ì Ø ÝØ ØÒ ÑÖ Ø ØØ ÙÑ Ó Ò ÚÙÐÐ ØÙØ Ø Ò Ö Ö Ó ¹ Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ËØÙ Òس Ò Ø¹ ÙÑ Ú ¹ Ô Ù Ø ÐÐ n Ó ÓÐÐ Ò n > 0,n R + f X (x) = Γ( ) n ( nπ Γ n ( ) 2) 1+ x 2 (n+1)/2 n ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ ÝØ ØÒ Ð ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ú ¹ Ô Ù Ø ØØ n ÓÐ Ú ÐРع ÙÑ ÐÐ º ÃÓ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø¹ ÙÑ ÓÒ ¾½

24 ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ò ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ º½º ÒÒ ØÙØ Óغ Æ Ò ØÓ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ø ÓÐ Ñ Ð Ø ÓØ Ò ÚÙÙØ Ø Òº ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÑ f ÑÙÓ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÔ Ö¹ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ÙÑ Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú ÒF jakauma F(n 1,n 2 ) n 1,n 2 N Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÑÙÓØÓ Γ( n 1 +n 2 2 ) ( ) n n1 /2 1 n 2 x (1/2)(n 1 f X (x) = Γ( n 1 2 )Γ( n ( ) ) 1+ n (1/2)(n1 +n 1 2 ) 0 < x < x, n 2 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò. ¹ ÙÑ ÓÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò n 1,n 2 ÑÖ ØØ Ð Ñ ÙÒ Ø ÓÔ Ö º ÃÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÚÓ Ú Ø Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö ØÝ ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ø Ù¹ Ñ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º ÌÑÒ Ò ÙÑ Ò Ó ÐÐ Ó Ó Ø Ø Ò ÐÔ Ú Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ú Ò Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÐÔ Ú Òº º Í Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÐØÝ Ý ØØ Ò Ð Ý ÙÐÓØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØØ º ÃÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÓÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ù Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø ¹ Ò Ø Ù ÑÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ø Ö ÔÔÙÚÙÙ Ø º Ì Ø ÝÝ Ø Ð ÒÒ ÑÑ ØØ ÐÝÒ Ó Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ØØÝ ÑÓÑ ÒØØ Ø ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ º ÐÓ Ø Ø Ò ØØ Ð ÑÐÐ Ð Ù ÐÐ º¾º Ò ÐÓ Ò Ò ØÙÐÓ Ó Ø Ý Ø Ý Ø ØÒ ØÓ Ø Ñ ØØ º Ä Ù º º½º ÇÐ ÓÓÒ(X 1,...,X n ) Ò¹ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÓÓÒ E[g(X 1,...,X n )] ÓÐ Ñ º ÌÐÐ Ò Eg(X 1,...,X n ) = g(x 1,...,x n )f X1,...,X n (x 1,...,x n )dx 1...dx n. ÒÒ Ò ØØ ÐÝÒ ÙÐÓØØ Ñ Ø Ò¹ÙÐÓØØ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò ÓØ Ø Ò Ø Ù Ø Ð ÒØ Ò Ó ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø Ø ØØÙÑ Ø Ò ØÓ ÒÒ Ýݹ غ ¾¾

25 ÅÖ Ø ÐÑ º º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ø Ø Ø ÙÚ Ó ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ x y ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f(x,y) ÓÒ ÐÐ Ö Ð ÐÙ ÙÔ Ö ÓÙ Ó ÐÐ C R 2 ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ º P{(X,Y) C} = f(x, y)dxdy. ÙÒ Ø ÓØ f(x,y) ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ØÝ Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó º ÇÒ ÓÐ Ñ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ö ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ý ÑÙØØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º Ø Ð ÒÒ ØØ Ð ÅÖ Ø ÐÑ º º º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y Ý Ø ØØÝ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó f(x,y) Ö ÙÒ Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ f X (x) f Y (y)º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Y ÒÓØ Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó ÐÐ x X,y Y º C f(x,y) = f X (x)f Y (y) Ä Ù Ò º º½ ÑÖ Ø ÐÑÒ º º ÒÓ ÐÐ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ Ò ÙÖ Ú Ð Ù º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º º º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ g h ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ E[g(X)h(Y)] = Eg(X)Eh(Y). ÌÓ ØÙ º E[g(X)h(Y)] = = = g(x)h(y)f(x, y)dxdy g(x)h(y)f X (x)f Y (y)dxdy g(x)f X (x)dx = Eg(x)Eh(y). h(y)f Y (y)dy ¾

26 ÅÖ Ø ÐÑ º º º ÇÐ ÓÓÒ(X 1,X 2 ) ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ź Ö Ø ÐÐÒ ÐÐ ¹Ò Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ n 1,n 2 ÐÙ Ù µ n1,n 2 = E{(X 1 EX 1 ) n 1 (X 2 EX 2 ) n 2 } ÓÐ ØØ Ò ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º ÄÙ Ù µ n1,n 2 ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò (X 1,X 2 ) Ý Ø ØÝ Ù ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÖØ ÐÙÓ ÓÒ n 1 +n 2 º Ñ Ö º º º ÇÐ ÓÓÒ = (X 1,X 2 ) ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º º ÒÓ ÐÐ º µ 1,0 = µ 0,1 = 0º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ µ 1,0 = 0º ÆÝØ µ 1,0 = E{(X 1 EX 1 ) 1 (X 2 EX 2 ) 0 } = E{(X 1 EX 1 ) 1} = EX 1 EX 1 = 0. Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ µ 0,1 = 0º º µ 2,0 = Var(X 1 ) µ 0,2 = Var(X 2 )º ÃÙØ Ò ÐÐ Ò Ò Ó º Ö ØØ ÒÝØØ Ú Ò ØÓ Ò Ò Ø Ô Ù º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ µ 2,0 = Var(X 1 )º ÌÐÐ Ò µ 2,0 = E{(X 1 EX 1 ) 2 (X 2 EX 2 ) 0 } = E{(X 1 EX 1 ) 2 1} = Var(X 1 ). º µ 1,1 = E{(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )}º ÌÐÐ Ø ØÓ Ò ÖØ ÐÙÓ Ò µ 1,1 Ý Ø ØØÝ Ù ÑÓÑ ÒØØ ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1,X 2 ÓÚ Ö Ò Ñ Ö ØÒ cov(x 1,X 2 )º Ñ Ö Ò º º Ó º Ø ØØÝ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÚ Ö Ò ÐÐ ÚÓ Ò Ð Ù ÓÐÐÓ Ò Ò ÝØØ ÐÔÓ ÑÔ Ý ØÐ ÓÚ Ö Ò Ò ÑÖ Ø¹ ØÑ º Cov(X 1,X 2 ) = E{(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )} = E[X 1 X 2 EX 1 X 2 X 1 EX 2 +EX 1 EX 2 ] = E(X 1 X 2 ) EX 1 EX 2 EX 1 EX 2 +EX 1 EX 2 = E(X 1 X 2 ) EX 1 EX 2. ¾

27 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º ÒÓ ÐÐ Cov(X 1,X 2 ) = 0 Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØX 1,X 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ÃÙ Ø Ò Ò ÚÓ ÒÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÓÒ ÒÓÐÐ º Ã Ø Ó Ñ Ö Ø º º º½½ º ÐÐ Ø ÐØÝ ÓÚ Ö Ò ØÙÐ ÝØØ Ò Ñ Ö Ð ØØ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ú Ö Ò º Var(X 1 +X 2 ) = E { [X 1 +X 2 E(X 1 +X 2 )] 2} = E { [X 1 +X 2 EX 1 EX 2 ] 2} = E { [(X 1 EX 1 )+(X 2 EX 2 )] 2} = E { (X 1 EX 1 ) 2 +(X 2 EX 2 ) 2 +2(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 ) } = E { (X 1 EX 1 ) 2} +E { (X 2 EX 2 ) 2} +2E { (X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 ) } = Var(X 1 )+Var(X 2 )+2Cov(X 1,X 2 ). Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ý ØØ Ø Ò Ú Ö Ò Ò ÙÑÑ Ð ØØÝÒ ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÐÐ º Ç ÓØÙ ÖÚÓØ EX 1,EX 2 R ÚÓ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ÖÚÓÐØ Ò Ú ÐÐ ÙÙÖ Ø º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÓÚ Ö Ò Ò ÖÚÓ ÚÓ Ú ÐÐ ÙÙÖ Ø º ÌÐÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð Ú ÖØ ÐÐ Ñ Ö ¹ Ø ÙÑÔ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ A Ú B ÓÖÖ ÐÓ Ò ÑÑÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò C Ò º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÖÖÓ Ò ÓÒ ÚÙÐÐ Ú ÖØ ÐÙ ÓÒ¹ Ò ØÙÙº ÅÖ Ø ÐÑ º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX 1,X 2 ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ÓÒ ÑÙÓ¹ ØÓ ρ(x 1,X 2 ) = Cov(X 1,X 2 ) σ(x 1 )σ(x 2 ). ÅÖ Ø ÐÑÒ º º ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÓ Ø Ú ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ ÚÙÓ Ò ÝØØ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ø Ú ÖØ ÐØ ÓÖÖ Ð Ø Ó Ò ÙÙÖÙÙ º à ÖÖÓ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÖÚÓ Ú Ò ÚÐ ÐØ [ 1,1]º Ä Ù º º º ÃÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ ÐÐ ρ ÓÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù¹ Ù Ø ½º 1 ρ(x 1,X 2 ) 1 ¾

28 ¾º ρ(x 1,X 2 ) = 1 X 2 EX 2 σ(x 2 = X 1 EX 1 ) σ(x 1 ) º ρ(x 1,X 2 ) = 1 X 2 EX 2 σ(x 2 = X 1 EX 1 ) σ(x 1 ) ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ø Ó Ø ½º ÅÙÙØ Ó Ø Ø Ó º ½¾ º ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X 1,X 2 ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ö Ò ØσX 2 1,σX 2 2 º ÌÐÐ Ò ( X1 0 Var + X ) 2 σ X1 σ X2 = Var(X 1) + Var(X 2) + 2Cov(X 1,X 2 ) σx 2 1 σx 2 2 σ X1 σ X2 = Cov(X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 = 2[1+ρ(X 1,X 2 )], Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ØØ 1 ρ(x 1,X 2 )º Î Ø Ú Ø ( X1 0 Var X ) 2 σ X1 σ X2 = Var(X 1) + Var(X 2) σx 2 1 ( σ X2 ) 2Cov(X 1,X 2 ) 2 σ X1 σ X2 = Cov(X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 = 2[1 ρ(x 1,X 2 )], Ó Ø Ò ρ(x 1,X 2 ) 1º ÃÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò Ñ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ò Ö Ø Ù ØØ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ÔÓ Ø Ú ÐÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 Ú ÑÝ X 2 Ú Ú Ø Ú Ø Ò Ø Ú ÐÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ Ô ÒÚ ØÓ Òº Ä Ñ Ø Ð Ñ¹ Ñ ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø Ø ÖÖÓ Ò ÓÒ Ò Ò Ø ÚÓ Ñ ÑÔ ÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙ ÙÒ Ø ÖÚÓ 0 Ò Ó Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙØØ º ¾

29 º ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ ØÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÌÝ ØÙØ Ø Ò Ð Ø ØØÚ ÑÙÙØØÙ X Ð ØØÚ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y i Ö ØÝ Ø Ð Ø ØÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ EX ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y i º ÅÖ Ø ÐÑ º º½º ÂÓ ÓÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X Y (x y) ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ Y ÓÒ E[X Y = y] = xf X Y (x y)dx ÀÙÓÑ Ó Ø Ú ÓÒ ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E[X Y = y] ÓÒ Ú Ò Ô Ð ÐÙ Ù ÑÙØØ E(X Y) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ä Ù º º¾º ÇÐ ØØ Ò ØØ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ò Ò Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ EX = E[E(X Y)]. ÄÙÚÙ ¾º¾ Ø ÐØÝ ÑÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÓÚ Ð¹ Ð ØØ Ú ÑÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ Ý Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ º ÌÐÐ Ò Ø¹ ÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó p X Y ÓÐÐ Y = y Ø Ò ØØ p X Y (x y) = P{X = x Y = y} = p(xy) p Y (y). º µ ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ØÓ EX = y E[X Y = y]p{y = y} ¾

30 ÓÒ ØÓ º ÅÙÓ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ó Ø ÔÙÓÐØ E[X Y = y]p{y = y} = xp{x = x Y = y}p{y = y} y y x = P{X = x,y = y} x P{Y = y} P{Y = y} y x = xp{x = x,y = y} y x = x x y P{X = x,y = y} = x xp{x = x} = EX Ä Ù Ò º º¾ Ó Ó ØØ Ñ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ Ú Ø Ú Ù Ò ÐÙÚÙ ¾º¾ ¹ Ø ØÝÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ¾º¾º Æ Ñ ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ³Ô ÒÓØ ØØÙÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ³ Ó ÐÐ X ÓÒ ÓÐÐ Ø ØØÙº ¾

31 Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ Ì ÐÙÚÙ ÓÒ ÐÝ ÝØ ÙÚ Ù ØÝ ÝØ ØÝ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ð Ö Ö ¹ Ó Ò ÐÝÝ Ø º Ä Ø ÐÐÒ Ø ØÝ ÝØ ØÝØ Ö Ö ÓÒ ØÙÓØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ØØ Øº ÄÙÚÙÒ Ø ÓÖ ÓÒ Ô Ö Ò Ú ØØ Ø ½¾ ½ ½ ½ ½ ¾ º½ Å Ò Ø ÐÑ Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ÓÒ Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ¹ ÓÐÐ Ò Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Òx i Ý Ø ÐÑ ÒÒÙ Ø ØØ Ð Ø ØØÚ ÑÙÙع ØÙ yº Å Ø Ñ Ø Ú Ø Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ô Ò Ñ¹ ÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÌÑÒ ØÝ Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ ÝØ ØÒ Ö ØÝ ¹ Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ y = β 0 +β 1 x, Ñ y ÓÒ Ð Ø ØØÚ ÑÙÙØØÙ x ÓÒ Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ β 0,β 1 ÓØ ÓÚ Ø ÓÚ Ø ØØ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Øº Í Ò Ð ØØ Ò Ö Ö Ó Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ù ÑÔ º Ð Ø Ö Ó Ø ØØÙÒ y = β 0 +β 1 x β p x p. ÈÙ ÙØØ Ð Ò Ö Ø Ö Ö Ó Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö ¹ ÙÙØØ Ó ÓÒ Ý Ò Ò ÙØ ÙØÙ Ø Ù ¹Å Ö ÓÚ Ò Ó Ø ÓØ ÙÚ Ú Ø Ð Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ Òº Ä Ò Ö ÙÙ ÓÐ ØÙ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ ÓÐÐ ¹ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò E(Y X) = Xβ, Ñ X Ø Ö Ó ØØ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ñ ØÖ β ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò Ý ØØ Ò Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ý ¹ ÑÙÙØÓ ÓÒ Ú Ó β i Ó Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ ÝÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò E(Y X) X i = β i. Ê Ð Ñ ÐÑ Ò ÐÑ Ø ØÙØ ØØ ÓÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú ØØ ÐÙÓØÙ Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ö µ ÙÚ Ù Ð ÙÔ Ö Ø ÐÑ Øº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚ Ø Ø ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ø Ñ Ð Ø ÐÐÝØØ ¾

32 Ñ ÐÐ Òº ÌÐÐ Ò ÐÑ Ò ÐÙÓ ÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÖÓ Ú ÙÙ º ÐÐ Ù¹ Ú ØÙ Ö Ö Ó ØÐÐ Ø Ú Ö Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ ÓÐ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒº Ë Ø ÙØ ÙØ Ò ØÐÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º ÐÐ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø ØØ ÐÙÓ ÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÖÚÓØ ÖÓ Ú Ø ØÙØ ØÙÒ Ò ØÓÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓ Ø º ÌÑ Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ó Ø ØØ Ñ Ð Ø Ñ ÐÐ ÓÐ Ð Ý ØØÚ º ÇÒ ØÝÝ ÝØØÚ Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ð ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ø Ò ØÓ º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ØÝ Ò Ú Ø Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ð Ò¹ Ò ØØ Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ÐØÝÚÒ Ú Ö Øغ ÃÙÒ Ú ÒØÓÔ Ø y i ÓÒ Ø Ýݹ Ò r Ô Ñ ÐÐ Ò ÖÚÓ Ø ŷ i Ð r i = y i ŷ i, º½µ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ r ÓÒ Ñ ÐÐ Ò ÐØÑ Ú Ö ½ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÒÒ Ò º Ö Ù Ðº Ð ÑÖÝØÝÚ Ð ¹ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ù Ò Ð ØØ Ò Ö Ö Ó Ö Ó Ø ¹ Ø Ò ÑÙÓ Ó y = β 0 +β 1 x β p x p +r. ÂØØÑÐÐ ÝÐÐ ÓÐ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÔÓ ÒÒ Ø ÖÑ r Ò Ý ØÐ º½ ÒØÝÚ ŷ Ð ŷ = β 0 +β 1 x β p x p. Å ÓÐÐ ÑÑ Ò ÝÚÒ Ñ ÐÐ Ò Ô ØÒ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÒÒ rº ÂÒ¹ Ò Ò Ñ ØÖ Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ r = Y Xβ. ÂÒÒ Ú ØÓÖ Ò r Ô ØÙÙ ÑÖ Ø ØÒ Ù Ð Ò Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÐ ( n 1/2 r 2 = ri) 2, ÓØ Ñ Ò ÑÓ Òº Ì Ø ÐÑ Ø Ò Ñ ØÝ Ô Ò Ò Ò Ð ÙÑÑ º i=1 ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º½º Ù Ð Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÒ Ö ÐÑ Ø ÐÐ ØÙØØÙ Ø ÝÝ ¹ Ñ ØØ Ñ Ò Ø ÓÒÔ Ø Ò x 1,x 2 ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ y ÓÒ ÑÖ Ø ØØÝ Ò ¹ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ Ò Ò Ð ÙÙÖ Ò Ð y = x 2 1 +x 2 2. ½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ø Ö Ó ØØ Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ØÙØ ØØ Ú Ò ÙÙÖ Ò ³ØÓ ÐÐ Ò³ Ö¹ ÚÓÒ ÖÓØÙ Ø ÓÐ Ñ ØØ Ò Ú ØØ Ú º ÂÒÒ ÓÒ Ñ ÐÐ Ò ÒØ Ñ Ò ÖÚÓÒ Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ÚÐ Ò Ò ÖÓØÙ º ¼

33 ÆÓÖÑ ÓÒ ÝÐ Ø ØØÚ n ¹ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÓÐÐÓ Ò ÑÙÓ ÓÒ y = x 2 1 +x x 2 n. ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ Xβ = Y ÝÐ ÑÖÝØÝÚ ÓÙ Ó Ý ØÐ Ø Ñ X ÓÒ m n Ñ ØÖ m > nº È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ñ Ò ÑÓ Ù Ð Ò ÒÓÖÑ Ò ÒÒ Ú ØÓÖ Òrº ÌÓ Ò ÒÓ Òβ ÓÒ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ùº min β r 2 = min β Y Xβ 2 Ä Ù º½º º ÂÓ Ñ ØÖ Ò X Ö Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ò Ò Ñ ØÖ (X T X) 1 ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐÓ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù min β Y Xβ 2 X T Xβ = X T Y. ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ø Ó º ¾ ¹¾ º ÇØ Ø Ò ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ Ò Ò Ñ Ö Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÝØ Øº Ñ Ö º½º º ÇÐ ÓÓÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ ÓÐÑ Ø ÓÒ Ô Ø ØØ z 1 = (1,6),z 2 = (2,7) z 3 = (3,10)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ø ØØÙ ÐÑ Ø ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÙÓÖ ÐÐ y = β 0 +β 1 xº ÂÒÒ Ò Ñ ØÖ Ý ØÐ Ø Ò ÑÙÓ ÓÒ 6 r = Y Xβ = ( β0 β 1 Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ Ú Ö Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ý ØØ Ø Ö Ø ØÙ Ó Ñ ØÖ ÒA Ö Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ð (X T X) 1 ÓÒ ÓÐ Ñ º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ø Ø Ô Ù Ò Ò ÓÒº ÌÐÐ Ò X T = ( ),X T X = ( ). ). ½

34 Å ØÖ (X T X) 1 ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ù ¹ÂÓÖ Ò ¹Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ ( 7 ) (X T X) 1 1 = ØÐ ÖÝ ÑÒ X T Xβ = X T Y Ö Ø Ù Ò β = (X T X) 1 X T Y = ( ÁÐÑ Ø Ô Ö Ø Ò ÙÚ Ú ÙÓÖ ÒÝ ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ y = 2x º ). ÃÙÚ À Ú ÒØÓÔ Ø Ø z i,i = 1,2,3 ÈÆË ¹ ÓÚ Ø ØØÙ ÙÓÖ yº Æ Ò ÓÒ ØÙ ÒÒ Ú ØÓÖ ÓÐÐÓ Ò Ò Ô ØÙÙ r 2 = 1º r = 1/3 2/3 2/3 ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ù ¹Å Ö ÓÚ Óغ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÙÖ Ú ØÓ ÙØ ÙØ Ò Ù ¹Å Ö ÓÚ Ó Ù ¹ Ò Ð ØØ Ò Ö Ö Ó º, ¾

35 ½º È Ö Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Å ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó y = β 0 +β 1 x β k x k +r, Ñ β 0,β 1,...,β k ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ r ÓÒ Ò ÝÑØ Ò ØÙÒÒ Ò Ò Ú Ö Ø ÖÑ º ¾º Ë ØÙÒÒ ÓØ ÒØ ÇÒ ÓÐ Ñ ØÙÒÒ ÓØÓ Ó ÓÒ n Ú ÒØÓ {(x i1,x i2,...,x in,y i ) : i = 1,2,...,n} ÓØ ÙÖ Ú Ø ÓÐ ØÙ Ø ½º º ¹ÃÓÐÐ Ò Ö Ø ÑÙÙØØÙ Ø Ë Ð ØØÚØ ÑÙÙØØÙ ÚØ ÓÐÐ Ú Ó ¹ Ø Ý Ò Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ØÝ ÐÐ Ð Ò Ö Ö ÔÔÙÚÙÙ Ù Ø ØÓ Ò Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Òº º ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Î Ö Ø ÖÑ Ò r ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÒÓÐÐ ÐÐ Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò E(r x 1,x 2,...,x k ) = 0. º ÀÓÑÓ Ø ÙÙ Î Ö Ø ÖÑ Ò r Ú Ö Ò ÓÒ Ú Ó ÐÐ Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð Var(r x 1,x 2,...,x k ) = σ 2. ÆÑ ÓØ ÓÚ Ø ÓÐ ØØ ÑÙ ÓØ ØÓØ ÙØÙ Ò ÙÚ Ú Ø Ð Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ Òº ÃÓ ØÓ ÐÐ ÙÙ Ù Ò Ò Ú Ø Ø ÓÖ Ò Ò Ò Ø ÓРع Ø ÑÙ Ô Ø ÓØØÓÑ Ò Ú Ò ÐÐ Ò Ó Ø Ó Ø ÓÒ ÝÚ ÔÝÖ º º¾ Å ÐÐ Ò ÖÚ Ó ÒØ ÐÐ Ø ØØÝ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÓØ Ò¹ Ø ÙÒ Ñ ÐÐ Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø º Å ÐÐ Ò ÝÚÝÝØØ ÖÚ Ó Ò Ö Ð ÐÐ Ø Ð ØÓÐÐ ÐÐ ÙÙÖ ÐÐ º Ì ØÝ Ø ØÝ ÓÚ ØØ Ø ÓÒ ÖÚ Ó ØÙ ÓÐÑ Ò Ö ÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ º Æ ÓÚ Ø Ð ØÝ Ø R 2 Ø¹Ø Ø ¹ Ø Ø Ø º º¾º½ Î Ö Ò Ò Ú ÖØ ÐÙ ÅÙÓ Ñ ÐÐ Ý ØÐ º½ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓ y i Ö Ó Ø ØØÙ ÓÚ Ø ØÙÒ Ö¹ ÚÓÒ ŷ i ÒÒ Ø ÖÑ Ò r i ÙÑÑ Ò y i = ŷ i + ˆr i.

36 ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÑÙ Ò ÒÒ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(r x i ) = 0 Ó Cov(ŷ i,r) = E(ŷ i r) = 0 ¾ º ¾ ¹ µ Ò Ò ØÙØ ØØ Ô Ò Ñ¹ ÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÚ Ø ØØ Ú Ö Ø ÖÑ ÚÓ Ò Ø Ð¹ Ð Ö Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÙÙÖ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ý ØÒ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ Ò ÝÚÝÝØغ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÇÐ ÓÓÒy Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ ÖÚÓ y i Ú ÒØÓ Ò ¹ ØÓÒ i Ú ÒØÓ ŷ i Ð Ø ØØÝ ÖÚÓ i r i ÒÒ Ú ÒÒÓÐÐ iº ÇÐ ÓÓÒ Øй Ð Ò ËËÌ ËË ËËÊ n (y i y) 2 º¾µ i=1 n (ŷ i y) 2 º µ i=1 n r 2. i=1 º µ ÄÝ ÒÒ ËËÌ ØÙÐ ÒÓ Ø ØÓØ Ð ÙÑ Ó ÕÙ Ö Ñ ØØ Ú ÒØÓ Ò ¹ ØÓÒ Ú Ø ÐÙ º ËË Ð ÜÔÐ Ò ÙÑ Ó ÕÙ Ö Ñ ØØ Ð Ø ØØÝ Ò ÖÚÓ Ò Ú Ø ÐÙ ËËÊ Ö Ù Ð ÙÑ Ó ÕÙ Ö ÓÒ Ò Ò ÒÓØØÙ ÒÒ Ò Ð Ùѹ Ñ º ËËÌ ÚÓ Ò Ò ÐÑ Ø Ø ÖÑ Ò ËË ËËÊ ÙÑÑ Ò Ð SST = SSE +SSR. º µ ÌØ Ý ØÐ ÝØ ØÒ ÝÚ ÑÖ Ø ØØ Ø Ù Ò ÝÚ Ò Ð Ø¹ ØÚØ ÑÙÙØØÙ ÙÚ Ú Ø Ð Ø ØØÚ ÑÙÙØØÙ º ÇÐ ØØ Ò ØØ ËËÌ 0 Ò Ò Ý ØÐ º ÚÓ Ò Ø ÖÑ ÐÐ ËËÌ ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ 1 = SSE SST + SSR SST. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º Ê Ö ÓÑ ÐÐ Ò Ð ØÝ Ø R 2 ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ØÐ Ò R 2 = SSE SST = 1 SSR SST. ÂÓ Ø ÖÑ Ø ËËÌ ËË Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ n 1 Ò Ò Ò Ð Ù¹ Ô Ö Ò ØØ Ð Ø ØØÝ Ò ÖÚÓ Ò Ú Ö Ò Øº Å ÐÐ Ò Ð ØÝ Ø ÚÓ Ò Ø Ò ØÙÐ Ø Ò ØÓÒ Ð Ø ØØÝ Ò Ú ØØÙ Ò ÖÚÓ Ò Ú Ö Ò Ò Ù Ø º

37 º¾º¾ È Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ò ÖÚ Ó Ñ Ò ÝØ ØÒ Ò Ò ÙØ Ùع ØÙ Ø¹Ø Ø º Å Ö Ø ÚÝÝ Ø Ø ÐÐ ØÙØ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙع Ø º Ð Ò Ø Ø Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÙÙÖ Ò Ò ØÓ Ò ÓØ ÓÚ Ø Ð Ñ Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙØÙÒ Ø º ÃÙ Ø Ò Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø Ø Ø Ò ÑÝ Ò ØÓ ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø Ú ÑÑÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ø º ÌÐÐ Ò Ø Ø Ò ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÐÙ¹ ÚÙ º¾ Ø ØØÝ ËØÙ Òس Ò ÙÑ º  ÙÑ ÑÙ ØÙØØ ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ ÑÙØØ ÐÐ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ú Ø ÐÙÚÐ º Ò ØÓÒ ÓÓ Ø Ö ÔÔÙ Ò ÐÐ ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ú Ô Ù Ø n 1 Ñ n ÓÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº Å Ø ÙÙÖ ÑÔ n Ø Ð ÑÔÒ ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ β 0 β 1 Ý Ò ÖØ Ò Ö Ö ÓÒ ØÙÓØØ Ñ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Øº ÌÐÐ Ò Ý Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ò Ö Ú Ö Ø Ò Ý ØÐ Ø 1 se b0 = ˆσ n + x 2 (xi x) 2 se b1 = ˆσ (xi x) 2, º µ º µ Ñ ˆσ ÓÒ Ò ØÓ Ø Ø ÑÓ ØÙ Ú Ø ÐÙÚÐ º Î Ø ÐÙÚÐ ÚÓ Ò Ð ¹ Ñ Ö Ý ØÐ Ø º Ø Ò ØØ Ñ n ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ˆσ 2 = SSR n 2, ËØ Ò Ö Ú Ö Ø ÝØ ØÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ Ø¹ ØÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º È Ö Ñ ØÖ Ò β 0 β 1 ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ b 0 ± t se b0 b 1 ± t se b1, º µ º µ Ñ t ÓÒ Ú Ô Ù Ø Ò n 2 ÓÑ Ú Ò ËØÙ Òس Ò ÙÑ Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ð ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ö Ø ÐÐ ÖÚÓÐÐ (1 c)/2º c ÓÒ Ø Ø Ù Ò Ú Ð ØØÙ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó Ñ Ö Ø ±

38 ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ø ØØÝ Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ Ø Ö Ó ØØ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÐÙØ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝØØ ÖÚÓÒ β 1 ÑÓÐ ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Òº ÌÐÐ Ò Ý ÓÒ Ò Ò ÒÓØØÙ ÔÙÓÐ Ò Ò Ø¹Ø Ø Ø Ó ÃÙÚ º ÌÑ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÝØ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ØÝ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ º ÂÓ Ù ÓÒ Ñ Ð Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ò ØÓ ÔÙÓÐ Ö ¹ ÖÚÓ Óй ÐÓ Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ Òº ÃÙÚ ÖÒ ËØÙ ÒØ Ò ÙÑ Ò Ö ØØ Ø ÖÚÓØ ¾º¾¾ µ ÔÙÓÐ Ø¹Ø Ø Ú Ð ØÙÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÐ º à ÐÐ ÓÐ Ú Ú Ð Ó Ò Ò ÐÙ ØØ ÙÑ Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ± ÐØ Ø ÒÒØ Ö Ò Ð Ò (1 c)/2 ± º ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÝØ ØÒ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÙØ Ò Ø Ø Ø ÝÔÓ¹ Ø H 0 : β 1 = 0º ÌÐÐ Ò Ð Ø Ò ÖÚÓ t = b 1 se b1. ÂÓ ÖÚÓ t ÓÒ Ø ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò t Ò Ò ØÐÐ Ò ÝÔÓØ H 0 ÝÐØÒ Ø Ö Ø ÐØÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö Ø Úº Î Ø Ú Ø Ö ¹ Ø ÐÙ Ø Ò ÝÔÓØ ÐÐ H 0 : β 0 = 0º ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º º ÀÝÔÓØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÝÐ Ø ÓØ Ò Ú Ø ØØ ÓÒ ØÓØÙÙ ÖÚÓ Ø ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø º ÌÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ø Ø¹ Ø Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ H 0 : β j = 0 Ú ØÓ ØÓ ÝÔÓØ H a : β j 0º ÂÓ ÝÔÓØ H 0 ÝÐØ Ò Ò ØÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ø ÓØ ÓÐ ¹ Ú Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö Ø ÚÝÝØØ ÓÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ β j Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ x j ÝÐØÒ Ñ ÐÐ Ø º ÂÓ H 0 ÝÐØÒ Ò Ò ÝÔÓØ H a Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ β j ÓÒ ØØ Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö Ø Úº ÀÝÔÓØ Ò Ø Ô Ö ÝØ Ý ØÒ ØÑÒ Ø Ö ÑÑ Òº

39 Í Ò Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö Ö Ó Ó ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ β j Ð ¹ Ø Ò ÑÝ ÓÑ Ø Ø Ò Ö Ú Ö Øº Î ÓÒ Ú Ö Ý ØÐ ÓÒ Ñ Ù Ò ÅÖ ¹ Ø ÐÑ º¾º º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ê Ö Ó ÖØÓ Ñ Ò β j Ø Ò Ö Ú Ö Ò Ý ØÐ Ò se bj = ˆσ SST j (1 Rj 2) ÒÓ ÐÐ Ñ SST j ÓÒ Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò X j ØÓØ Ð ÙÑ Ó ÕÙ Ö Rj 2 ÓÒ Ó ØØ Ð ØÝ Ø ¾ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X j º Î Ø ÐÙÚÐ ˆσ Ò ØÐÐ ÖØ Ý ØÐ Ø ˆσ 2 = SSR n k 1, Ñ p ÓÒ Ð ØØÚ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Òµ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ ÙÑÖº È Ö Ñ ØÖ Òβ j ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ú Ø Ú ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ù Ò ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÌÐÐ Ò ËØÙ Òس Ò ÙÑ Ò Ú Ô Ù Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò n k 1 = n (p + 1)º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ú Ô Ù Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓ Ò Ø ØØÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÖÓØÙ Ò º ÂÓ Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ý Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ò n 2 ÙØ Ò ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÀÝÔÓ¹ Ø Ò H 0 : β j = 0 ÖÚ Ó ÒØ ØÓØ ÙØ Ø Ò ÙØ Ò ÐÐ ÓÒ Ø ØØݺ º¾º Å ÐÐ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ý ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝØغ ÌÑÒ Ð ÓÒ Ñ Ð Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝØØ ÑÝ Ó ÓÒ ÙÙØ Ò º ÌÐÐ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ ØØ º ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ú ØØÑ ØÐÐ Ò ÑÙÓ ÓÒ H 0 = β k q+1 = 0,...,β k = 0, Ó ÔÓ ÙÐ Ð ØØÚ ÑÙÙØØÙ Ö Ö Ó Ø ÑÖÒ qº ÆÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÒ ØÓØØ Ú Ò ÐÐÓ Ò Ó Ø Ö Ø ÐÐÙØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö ¹ ØÝ ØØ Ñ º Î ØÓ ØÓ ÝÔÓØ ØÓØ ÙØÙÙ Ó Ý Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò Ò ÙØ ÙØØÙ Ö Ó Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ¾ Ç ØØ Ð ØÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ø Øº à ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ Ú Ò ØÙØ Ö¹ ÐÐ ÙÙØØ Ó Ø ÐÐÒ Ù Ò Ð ØØ Ò Ö Ö ÓØ Ò º ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ø Ø Ù Ò ÐÐ Ô ÖØ Ð Ó ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ø Ø Ò Ø ÖÑ ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ ØÓÒ Ñ ÐÐ

40 y = β 0 +β 1 x 1 + +β k q x k q +r. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ê Ö ÓÑ ÐÐ Ò ¹ Ø Ø Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ØÐ Ò F (SSR r SSR ur )/q SSR ur /(n k 1), Ñ Ð Ú Ø r Ø Ö Ó ØØ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ú Ø ur Ö Ó ØØ Ñ ØÓÒØ Ð Ù¹ Ô Ö Ø Ñ ÐÐ º Ë ØÙ ØÙÐÓ Ø Ú ÖÖ Ø Ò ÙÑ Ò F q,n k 1 Ú Ð ØÙÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÐÐ Ú ÖÖ Ø Ò ØÙ ØÙÐÓ Ø Ö Ø Ò ÖÚÓÓÒº ÂÓ ØÙ ØÙÐÓ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ Ò Ò ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÚÓ Ò ÝÐغ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ ¹ ÙÑ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ð¹ Ð n 1,n 2 º ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾º ÑÙ Ø Ð ØØÙ ÖÚÓ F Ú ÖÖ Ø Ò Ð¹ Ð Ò ¹ ÙÑ Ò Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ò ØØ ÙÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÖÚÓ ÓÒ q ØÓ Ò Ò n k 1º

41 È Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ö Ø Ì ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô Ò Ò Ó Ø Ñ Ø Ö Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú ¹ Ú Ö ÙÙ Ö ÐØ ÙÓ ÙØÙÑ Ò Ø ØØÝ Ö Ñ ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÝÚ ÙÓÒÓ ÔÙÓÐ º ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ ÖÖÓØ Ò ÐÝ Ý Ø ÙÖÓÓÔÔ Ð Ø Ô Ò Ø ÐÝ ÓÑ Ø Ø Ó ÑÙÙÒ ÑÙ ÙÓ ØØ Ð Ý Ò Ö Ñ Ø Ò ÝØØ ÒÓØØÓ º Ä Ø Ò ÐÙÚÙÒ Ö Ó ØØ Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÖ Ú Ú ØØ Ø ½ ¾ ½¼ ½ ¾½ º º½ Î Ú Ö ÙÙ Ö ÌÙÐÓ Ð ÐÑ ÙÚ ÝÖ ØÝ Ò Ö Ú ÖØÓ Ð ÝÖ ØÝ Ò ØÙÐÐ Ò ÐØ ÔÓ ØÙÒ Ò Ö Ó Ò ÑÖ Ñ Ö Ø Ð Ù Ò Ø Ú ÖØ Ð Ò ÐØ º Ã Ú ÖÖ Ø ÙÑÑ ØØÙÒ Ý Ø Ò Ò ÝÖ ØÝ Ò Ý Ò Ø Ð Ù Ò ÚÓ Ø¹ ØÓ Ø Ø ÔÔ Óº È Ò Ò ØÙÐÓ Ð ÐÑ Ø Ð ÝØÝÚ Ú ÖØÓ ÓÒ ÑÙÙÒ ÑÙ ÓÖ¹ ÓØÙÐÓØ ¹Ñ ÒÓØ Ò Ò ÒÓØÙØ Ð Ö Ù Ø Ð Ó ØÙ Ø Ó ØÙÒ Ø Ø ÔÔ Óغ Ì ÔÙÓÐ Ø Ò ØØ Ô Ò Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ò ÓÐÐ Ò Ø ØÝÐÐ Ø Ð¹ к ÌÐÐ Ò Ö Ø Ò ÝÐ ÑÙÙÒ ÑÙ Ô Ò Ò ÑÝ ÒØÑ Ò Ð ÒÓ Ò Ø Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ò Ø Ø ÐÐ ØÙ Ø Ò Ó ÓÒ ÑÖغ Ì Ø Ø Ò ÐÚ Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø ÐÐ ØÙ Ø Ò Ó ÓÒ ÑÖ ÓÒ Ú ÐÐÙØ ÐÐ Ø Ø Ö Ø Ð٠ع غ ÌÙÐÓ Ð ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ý ØÓ Ò Ø Ò ØØ ÙÒ Ò Ø ¹ Ð Ù Ò ÚÓ ØØÓ Ø Ø ÔÔ Ó Ð ØÒ Ø Ò ÓÑ Ò ÔÓÑ Òº Ò ØÓÒ Ø ¹ Ö Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º½ Î ØØ ½ Ô Ò ØÓ Ñ ÒÒ ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ð Ö Ð Ø Ö Ó ¹ Ø Ó Ø Ø ÚÓ Ø ÐÐ Ò ÚÓ ØØÓ Ó ÒÓÑ Ø Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ò ¹ Ú ØØ Ñ º ÆÑ ÓÚ Ø ÐÙÓØØÓÖ ÓÖ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ö Ð Ú Ø ØØ Ö º ÌÑ ÐÙÓ ØØ ÐÙ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ú Ò Ö ÐÐ ÙÙ ÐÙÓ ØØ ÐÙ ÓÒ Ù Ø Ö Ð º ÃÙ Ø Ò Ò Ô Ò Ò ÑÙ Ò Ò ÝÖ ¹ ØÝ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ó ØØ Ú Ò Ò Ø Ø ØÙÐÓ Ð ÐÑ Ø º ÆÑ ÓÚ Ø Ú Ú Ö ÙÙ ¹ Ð ØÓ Ñ ÒØ Ö º Ä ØÓ Ñ ÒØ Ö ÓÒ ØÙÐÓ Ð ÐÑ Ò ÙÙÐÙÚ Ö º Ñ Ö ÓÖ Ó¹ Ö Ö Ð Ó ØÙÙ ØÙÐÓ Ð ÐÑ Ò Ó ÒØÓ¹ ÓØØÓÐ Ò Ù ÓÖÓÒ ÚÐ Ò Ò ÖÓØÙ Ô Ò Ò º ËÙÙÖ Ó Ø¹ Ó ÙÙ Ð Ô Ò Ò ÐÙÓØÓ Ø ÓÒ Ô Ø ÒØ ÓÖ Ó Ñ Ö ÙÒØÓÐ ÒÓ º ÂÓ Ò Ò Ð ÒÓ Ò Ö Ó ØÙ Ó Ø Ò ÐÝ Ý ÐÐ Ú ØÙÚ ÓÖ Ó ÐÐ Ö Ó ØÙ Ö Ø Ù ÐÐ Ñ Ö Ò Ó¹ Ö Ó ÒÓÙ Ñ Ö ØØÚ Ø º Ì ØØ Ô Ò Ò ÝÖ ØÝ Òµ Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ð ÒÒ ØØ º ÌØ Ò Ú Ú Ö ¹ ÙÙ Ö Ð ØØÝÝ Ô Ò Ò ÝÖ ØÝ Òµ Ø Òº Î Ú Ö ÙÙ Ö Ò ÐØÝÝ

42 ÐÐ Ø ÐÐÝ Ø ÐÙÓ ØØ ÐÙ Ø Ò Ò ÐÙÓØØÓ¹ ÓÖ ÓÖ º ÄÙÓØØÓÖ Ò ØÓ¹ Ø ÙØÙ Ô Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ú Ø Ù Ø Ú Ð Ó Ò Ñ Ö ÐÙÓØØÓØ ÔÔ ¹ Ó Ò ÑÙÓ Ó º ÇÒ ÑÝ ÑÙ Ø Ú Ú Ö ÙÙØ Ò Ð ØØÝÚ Ö Ò Ö Ð Ó ¹ ØÙÑ Ø ÔÓ Ó Ò ÐÐ Ø ÐØÝ ÐÙÓ ØØ ÐÙ ÓÒ Ú ÑÔ ÓÚ ÐØ º ÌÐÐ ¹ Ò Ò ÓÒ Ñ Ö Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø Ö ÙØ Ò Ó ÒÒ ÓÔ ÑÙ ¹ Ô Ð ÚØ Ö Øº º¾ Î ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ê Ó ØÙ Ð ØÓ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð Ø ØÙÓØØÓ¹Ó ÓØÙ Ò Ú ÔÙÚ ÙØÙ Ò ÚÙÐÐ Ù Ò Ñ Ø Ò ÓÑ ÔÓÑ Ñ ÓÐÐ Ø º Î ÔÙÚ ÙØÙ Ò ÐÙÓÑ Ð¹ Ð ÓÒ ÓÐÑ Ú ØÓ ØÓ º Ì Ò Ú ÔÙÚ ÙØÙ ÓÒ ÝÐ ÑÑ Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÝØ ØØÝ ÑÙÓØÓº Ë ÝÒØÝÝ ÙÒ ÝÖ ØÝ Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ ÝÐ ØØ ÓÑ Ò ÔÓÑ Òº È Ò ÐÐ ØÑ ÝÐ Ò Ø Ö Ó ØØ Ð ÒÓ ØØ Ñ Ø ÓÑ ÔÓÑ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÑÖÐк Ì ÐÓÙ ÐÐ Ò Ò Ú ÔÙÚ ÙØÙ Ø Ö Ó ØØ Ô Ò Ò ÐØ ØÙÑ Ø ÐÐ ÐÐ Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ò ÖÚÓÒ ÑÙÙØÓ ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ø Ñ ØØÙ ÑÖº Ë ÝÒØÝ Ò Ò Ú ÔÙÚ ÙØÙ Ø Ö Ó ØØ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÔÓ Ø Ó Ø ÓÒ Ò ÑÑÒ Ú Ø ØØ Ú Ù Ò ÓÒ Ò Ñ Ö Ò ¹ ÖÚÓº Î Ñ ÚÙÓ Ò Ò Ò Ö Ò Ð ÙÐ Ø Ò Ô ØÒ Ô Ò ØÓÖ Ò ÐÙÓ¹ Ñ Ð ÐÐ Ø Ú ÔÙÚ ÙØÙ Ø Ø Ò ØØ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ó Òº Ì Ø ÝÝ Ø ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ÓÒ ÒÓ Ø ØØÙ Ð Ò Ô Ò Ú ÐÚÓÒØ ÓÑ Ø Ò Ð ÓÑÑ ØØ Ó Ò Ò ËÙÔ ÖÚ ÓÒ Ëµ ØÓ Ñ Ø Ý ÙÙ ¹ ÒÒ ÐÐÝ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙ ÓÐÐ Ú Ø Ú Ø Ö Ø ÚÓ Ø Ò ØÙÐ Ú ÙÙ ÚÐØغ Ë Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÐÙÓ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ò Ð¹ Ð Ø Ð Ø Ö ÒÔ ØÓØ ÚÓ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÐÐÓ Ò ÓÐ Ò ÒÚÐ Ø Ú ÖØ ÐÙ ÐÔÓ Ò Òº ÅÙÙÒ ÑÙ ÙÖÓÓÔ Ò Ô ÖÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÓØØ ÒÙØ ÒØ ÔØ Ð Ù ÐÑ Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò ÒØ ÐÝÒ ÔÙÓÐ Ø º ÃÝØÒÒ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ö ØÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ø ÖÑ Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø º Å Ø Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ØØ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÃÓ ÓÒ ÒÒ ÐØÝ ÙÙ¹ Ö Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ö ÔÔÙÙ Ò ÒØ Ð Ò ÔØ Ø Ð Ø Ñ Ø ¹ Ò ÐÙØ Ò ÐÐÝØغ Ø Ø ÑÖ Ø ÐÑ ÐÐ ÓÒ ØØ ÓÑ Ú Ö ÙÙ ¹ Ø Ò ÐÙØ Ò ÓÐ Ú Ò ¹Ö Ô ÖÙ Ø Ò Ò ÙÙÖ º Ä ÒÒ ÝØ Ø Ñ Ò ÒÐ ÖØÓ Ñ Ö Ú Ö ÐÐ ÙÙ ¹ Ø Ú Ð Ö Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ò Ö Ò ÙÓÑ Ó Ñ º Ë Ò Ö ÔÓÖØ ½ ÓÒ Ý ØÝ Ó Ø Ø Ó Ø ÓÑ Ú Ö ¹ ÙÙ Ø Ò Ð Ñ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ÓØÙ ± Ú ÑÑ Ú Ø Ø ÚÙÓ Ò ¾¼½ ¹ ¾¼½ ÚÐ Ò Ò ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÐÐ Ø Ø ÓÐÐ º Ó ÓØ ¹ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ø Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÖØ ØØ ÑÓÒ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ¼

43 Ö º Å ÐÑ ÒÔ Ò Ò ÙÐ Ñ Ò Ø ÓØØ Ò ÑÙ Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ð ¹ Ø Ò Ñ ÐÐ Ô Ò Ò Ì Ö ½¹Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ô Ò Ò ÓÚ Ø ØÙÐÐ Ú Ö ÐÐ Ù٠й Ð Ñ Ö ØÒ Ass adj Ð Ó ÓÒ Ú Ö ÐÐ ÙÙ ÐÐ Ó Ø ÓÒ Ú ÒÒ ØØÝ Ò Ø¹ ØÓÑ Ø Ý Ý Ø º Ì Ö ½ Ú Ö ÐÐ ÙÙ ÐØ ÓÑ Ò ÔÓÑ Ò Ð ØØÝÒ Ô Ò Ò Ö ÖÚ ÐÐ Ú ÒÒ ØØÝÒ Ò ØØÓÑ ÐÐ Ý Ý Ðк ØÐ Ò ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ OA = Tier1 Ass adj = ÓÑ ÔÓÑ Ö ÖÚ Ø ¹ Ò ØØÓÑ Ø Ý Ý Ø. º½µ Î Ö Ø ¹ Ò ØØÓÑ Ø Ý Ý Ø Î ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ÓÒ ÓÐÐÙØ Ó ÝØ ÑÙÙÒ ÑÙ ÈÓ Ó ¹ Ñ Ö º Ë Ò ÝØØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØÙ Ö Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ý Ú ÐÐÓ Ù Ò Ã Ò º Ä Ò ÑÑ Ò Ñ Ò ÙÖÓÓÔ Ò ÝØØ ÒÓØÓ Ø ÓÒ ÔØØÒÝØ ËÚ Ø º Ý Ú ÐÐÓ ÝØ ÓÐ Ú Ñ ÐÐ Ý Ò ÖØ Ø Ú Ø Ô Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÓÑ ÔÓÑ ± Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ø Òº Ö ØÝ Ò Ñ Ð Ò Ò¹ ØÓ Ø ÓÒ ØØ ÒÝ Ý Ò Ò Ö Ó ØÙ Ö Ð ÙÒ ÙÙÖ Ý Ú ÐÐÓ Ø Ó Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò ÒØ ÐÝ ÓÒ Ó ÓÐÐÙØ ÝØ º º¾º½ Î ÚÙÙ Ø ÄÙÓØØÓÐÙÓ ØÙ Ý Ø ËØ Ò Ö ² ÈÓÓÖ Ò ÑÙ Ò Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ý ÝÐÐ Ò Ò Ð ÚÐ Ò Ô Ò Ò Ö ÖÚ Ó ÒØ Ò Ö ØÝ Ø Ö ÔÓ¹ Ñ Ò Ñ ØØ Ñ Òº ÌÑ Ú Ø Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ñ Ø ÐØ Ð ÑÙØØ Ø Ö Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ ÓÐÐÓ Ò Ù Ø Ø ÐÓÙ Ò Ù ÐÙÚÙØ ØÙÐ Ú Ø Ò ÒÚÐ Ø Ú ÖØ Ð٠й ÔÓ ÑÑ º Ä Ô Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÐÔ Ò ÝÚÝÝ Ö Ð Ø Ò Ò ØÓ Ò ÙÐ ÙÙ ÓÚ Ø Ð ÒØÖ Ø Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ý ÝÐÐ ÝÝ ÐÐ º Î ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ø Ð Ò ØÓ ÚÓÑ Ú Ø Ý Ð Ò Ò Ù ÐÙ Ùº ØÙ Ò ÓÒ ÐÙÓ Ô Ò ÐÐ ÔÓÑ Ú Ø Ø ÓØ Ú Ú Ø Ø ÐÓÙ ÐÐ Ø ÝÚ Ò Ó Ò Ú Ø Ú Ø Ô Ò Ò ÚØ Ø ÒØÙÑ º ÌÑÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÐÐ Ø ÐÙÓØÓÒ ÒØÓ Ø ÐÓÙ ÐÐ Ò ÙÙÑ Ò Ò ÝÖ ØØ Ò ¹ Ø Ñ Ö ÒÓ Ò Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÝÐ ÙÙÑ Ò Ñ Ø º ÇÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò ÓÒ ÑÔ Ö Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ ØØÙ ÓÐ Ú Ò ÑÝ Ø Ý Ð Ò Òº ÆÓÙ Ù Ù ÒØ Ö ¹ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ò Ð Ý ÓÐÐÓ Ò Ô Ò Ø Ú ØØ Ú Ø Ø Ø Ò Ð Ò ØØÓÑ Ò Ý Ý Ò ÐÙ Ø Ò ÑÙ Ò Ð ÖÚÓ Ó ÐÑ ØÓ ÙÐÙØ Ð ÒÒ Ð¹ Ð Ø Ú ÖÓ Ñ Øº Ä ÖÚÓ ÓÒ ÖÚ Ó ÝÖ ØÝ Ò ØÙÓØØÓ¹ Ù Ø Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ø Ø Ø ÙÓÑ Ó º Ç ÐÑ ØÓ ÙÐÙØ ÙÙÐÙÚ Ø Ø ¹ ÖÒ Ò ØØÓÑ Ø Ý Ý Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú ÖÓ Ñ Ø ÓÒ ÓÑ ÖÒ Ø Ó ÐÙ Ù º½ ½

44 Ð Ò Ú Ø Ø Ó ØØ Ú Ø Ò ÒÚ ÑÖ Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙØØ º ÌÐÐ Ò ÓÑ Ú Ö Ù¹ Ù Ø Ô Ò Ò º Î Ø Ú Ø ÙÓÒÓ Ò Ó Ò Ð ÒÓ ØÙ ¹ Ó ØÙ ØÓ Ñ ÒØ Ú ÒÒ ØÒ Ø ÔÔ Ó Ò Ô ÐÓ Ó Ø Ú ØØ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø ØØ º Î ÐÚÓÒØ Ú Ö ÒÓÑ Ø ÚÓ Ú Ø ÝÖ ØØ Ú ÙØØ ÑÝ Ø Ý Ð ÝÝ Ò ÔÓ Ø Ñ Ò Ñ Ö ÑÙÙØØ Ñ ÐÐ Ú ÑÑ ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ö Ø Ö Ø Ø ÐÓÙ Ø ¹ Ð ÒØ Ò ÑÙ Ò Ø ØØ Ñ ÐÐ Ñ Ö Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ø ÚÓ Ø Ø Ó º Î Ö ÒÓÑ Ø Ò Ö Ø Ù Ò ÙØ Ò Ð Ò ÒÒ Ò ÑÙÙØÓ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ò ØÓ ØÙÑ Ò Ò ÑÙØØ ÙÙ ØÙ ÚÓ ÑÝ Ô ÐÐ ÙÙ Ò Ö ¹ Ò Ñ Òº º¾º¾ À ÓÙ Ø ÎÇ ÓÐ ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ø ØØ ØÝ ÐÙ ÙÙ Ò Ô Ò Ö Ò ¹ ØÑ º Ë Ò ÓÙ ÓÒ Ø ØØÝ Ù Ø Ú ØØ Øº ÓØ ØØÙ ÑÖ Ø ÐÑ ÎÇ ÐÐ ÖÓØØ Ð Ô Ò Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ö Ò ÑÙ Ò Ó ÚÓ ØÙÓ ÑÙ Ò Ò ÔØÓ ÚÓØØÙ ÒÒÙ Ø Ñ º ÁÐÑ Ò Ö ÐÐ ÒØ ÐÝÑ Ò Ñ ÙØ Ò Ë Ä Á ÁÁ Ô Ò Ø ØØ Ú Ø Ñ Ö Ú ØØ Ø Ø Ò Ö ¹ Ô ØÓ ÑÑ ÐÐ ØÙÓØØ ÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ò ØÙÓØØÓ Ò ØÓ ÚÓ º ÌÓ ÎÇ ÐÐ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ö Ð Ò Òº ÇÒ ÖÚ Ó Ø٠ع Ø Ç Ë Ú ÔÙÚ ÙØÙ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú ÐÐ Ò ÓÚ Ø Ó Ò Ø Ô Ù ÓÐÐ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ø Ò Ú Ø ØØ Ú ¹Ó º Ñ Ö ØÐÐ Ø ÓÒ ÑÙÙÒ ÑÙ ¹ Ó ÒÒ Ö Ø Ó Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ú Ò Ñ Ú ÚÙØØ Ñ Ò ÑÖ Ø¹ Ø ÐÝ º ÇÒ Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÎÇ Ò ÒÒ ÐØ ØØ ÒÝ Ý Ò Ò Ø ÐÓÙ Ö ÓÒ Ð Ø Ò Ý Ú ÐÐÓ Ø Ó ÎÇ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÝØ Ó Ô ÑÑÒ º ÃÖ Ò ÙÙÖ Ø Ð ÝØÝÚØ ÒÒÓÚ Ø Ú Ø Ö Ó ØÙ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ø Ö ØÝ Ø ÐÙÓØØÓÖ Ò ÖØÓÓÒ ÐÙÓ Ù Ø ØÙÓØ Ô Ø Ø ÓØ Ö Ó Ø ØØ Ò ÐÝ Ý ÐÐ Ö ¹ ÐÐ º Æ ÐØ Ø Ú Ø Ô Ò Ø Ò Ò ÐÙÓØØÓ¹ Ö Ó ØÙ Ö ÐÐ Ø Ò Ð¹ ÐÝØ ØØÝ Ò ÑÝ ÝÒØÝ ÐÐ Ú ÚÙØÙ ÐÐ ÑÙ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ º º Ð Ò ÓÑ Ø Ð Ò Ô Ò Ú ÐÚÓÒØ ÓÑ Ø Ô ÖÙ Ø ØØ Ò ÚÙÓÒÒ ½ Ú ÐÙÙØØ ¹ Ô Ò ¹ Ñ Ö ÒÓ ÐÐ Ø Ô ØÙÒ Ò Ö Ò Ð Ñ Ò Ò º ÃÓÑ Ø ÓÓ ØÙÙ ÒÑ Ò Ù Ô Ò Ø Ø Ô Ò Ú ÐÚÓÒØ Ð Ñ Øº Ë Ò Ô Ð¹ Ð Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ô Ö ÒØ Ú ÐÚÓÒÒ Ò ØÖ Ý Ò ÝÑÑÖØÑ Ø Ð ¹ ØÙ Ñ ÐÑ ÒÐ Ù Ø ÔÝÖ Ð ÒØÑÒ Ò ÐÐ Ø Ò Ú ÐÚÓ Ò ØÓ ¹ Ñ ÒØ Ø ÔÓ º ÃÓÑ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ú Ø Ø ØÓ ÒÑ Ò Ú ÐÚÓÒÒ Ø ØØÚØ Ø Ó ÑÔ ÒÓ Ò ÒÚÐ Ò Ô Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ú ÐÚÓÒØ Ò ¾

45 ØØ Ú Ø Ú ÑÑ Ú Ø ÑÙ Ø ÖÔ ÐÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º Ë Ò ÔØ ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ð ÒÚÓ Ñ Ú Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ø ÒÖ ÙÙÒØ Ú ÚÓ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò ÐÐ Ø Ú ÐÚÓÒØ Ð Ñ Ø ÚÓ Ú Ø Ô Ö ÒØ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ô Ö Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ø ÚÓ ÐÐ º Ö ØÖ Ø ÚÓ Ø ÓÒ ØØ Ò ÒÚÐ Ø ØÓ Ñ Ú Ø Ô Ò Ø Ú ÐÚÓÒÒ Ò Ô Ö Òº Ð Á & ÁÁ & ÁÁÁ ÎÙÓ Ø ½ ÓÑ Ø ÓÒ ÙÐ ÙØ Ó Ó ÓÙ ÓÒ Ó ØÙ Ô Ò Ú ÐÚÓÒ¹ Ò Ò ¹ Ø ÐÝÒ ØÙ º ÎÙÓÒÒ ½ ÙÐ ØÙ Ö ÈÖ Ò ÔÐ ÓÖ Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó Ò ³ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ØØ Ô Ö ØØ Ø Ú ÐÚÓÒØ ¹ Ú ØÙÙÒ Ñ Ø Ó Ò ÙÐ ÓÑ Ò ÓÒØØÓÖ Ø ØÓ Ý Ø Ö Ó ØÙ ÓØ ¹ ÙÐ ÓÑ Ø Ò Ú ÐÚÓÒØ Ú Ö ÒÓÑ Ø Ò Òº Ö¹ Ò Ó ØÙ ØÝ ÒÒ ØØ Ò ÚÙÓ Ò ½ ¼ ½ ¾º Î Ñ ÚÙÓ Ò ÔÔ ÒÓ ÓÑ Ø Ò ØÝ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÔÓÑ Ò Ö ØØÚÝݹ Ò Ø Ö Ø ÐÙ º ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ú ÙØØ Ò Ô Ò Ò ÒØÝÚ Ò ÔÓÑ ¹ Ù Ø Ò Ò ÒÚÐ Ø Ò Ö Ò Ú º Ì Ø Ò ÔØ Ý ÒÑÙ Ø ÔÓÑ Ò Ñ ØØ Ù Ø Ú Ø Ö Ô ÒÓØ ØÙÐÐ Ð ØÝÑ ÐÐ ÔÓ Ø Ñ Ò ÚÐ ÐØ ÐÔ ÐÙ ÚÖ ØÚØ ÖÓØ ÔÓÑ Ú Ø ÑÙ º ÎÙÓÒÒ ½ ÙÐ ØÙ ÈÓÑ ÓÔ ÑÙ Ô Ø Ð ÓÖ µ Ø Ö Ó Ý Ø Ò ÚØ Ñ Ò Ñ ÔÓÑ Ú Ø ÑÙ ¹ Ø Ô Ò ÐÐ Ó ÓÐ Ò ÔÖÓ ÒØØ Ö Ô ÒÓØ ØÙ Ø Ú Ö ÐÐ ÙÙ ¹ Ø º Ä Ú ÐØ ÓØ ÑÙ Ò ÐÙ Ò ÓÑ Ø Ò ÙÙÐÙÑ ØØÓÑ Ø ÓØØ Ú Ø ÓÔ ÑÙ Ò ÝØØ Ò ÚÙÓ Ò ØÓ º ÐÙ Ø Ø ÓÔ ÑÙ Ò ÓÐ Ø Ö Ó ØÙ Ð Ð ÙÙ ØÙ Ø ÑÙ ÙÒ Ò Ø Ò Ø ÖÔ ÐÐ º Ñ Ö ÚÙÓ Ò ½ ½ Ð ÒÒ ÝØ Ø¹ ØÚÒ ÔÓÑ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ö ÒÒ ØØ Òº ÎÙÓÒÒ ½ ÙÐ Ø Ò Ô Ö Ò¹ ÒÙ ÓØÙ ÈÓÑ ÓÔ ÑÙ Ò Ñ Ö Ò Ö Ò ÐÐ ÒØ Ò Å Ö Ø Ö Ñ Ò¹ Òصº Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÐ ÓØØ Ô Ö ÑÑ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ô Ò Ò Ó Ø Ñ Ø Ñ Ö ¹ Ò Ö Ø ÝØØ Ò Ú ÐÙ ¹ Ø¹Ö Ñ ÐÐ ÔÓÑ Ú Ø ÑÙ Ø Ò ÖÚ Ó Ñ Ò Ã ÐÐ ½ ÓÑ Ø ÓØØ ÙÙ Ò ÔÓÑ Ö Ñ Ò ÐÙÓÑ Ø ÓÖÚ Ñ Ò ÚÙÓ Ò ½ ÓÔ ÑÙ º ÌÝ Ò ØÙÐÓ Ò Ø ÐØ Ò Ö Æ Û Ô Ø Ð Ö Ñ ¹ ÛÓÖ ÐÐ ¾¼¼ º È Ö ÑÑ Ò Ð ÁÁ¹ ÓÔ ÑÙ Ò ØÙÒÒ ØÙÒ Ö Ò Ó¹ ØÙ Ø Ô ÖÙ ØÙ Ú Ø ÓÐÑ Ò Ô Ð Ö Òº Ò ÑÑ Ò Ò Ô Ð Ö ÑÖ ØØ Ð Ñ Ò ¹ Ñ ÔÓÑ Ú Ø ÑÙ Ò Ó ÓÒ Ô Ö ÒÒ ÐØÙ Ð ÒÒ ØØÙ Ú Ö Ó ÚÙÓ Ò ½ Ú Ø Ú Ø º ÌÓ Ò Ò Ô Ð Ö ÓØØ Ú ÐÚÓÒÒ ÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÙ Ò Ø ØÙÙØ ÓÒ ÔÓÑ Ò Ö ØØÚÝÝ Ø Ø ÖÚ Ó ÒÒ Ø º ÃÓÐÑ Ô Ð Ö Ó ØØ Ú Ú ¹ Ø Ñ Ö Ò ÙÖ ÖÓ Ø Ø ÖÚ ÐÐ Ò Ô Ò ØÓ Ñ ÒØ Òº Ò ¹ Ò ÓÐÑ Ò Ô Ð Ö Ò Ù ÓØ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú Ò Ò ÖÙÒ ÓÒ ØÓ Ñ Ú Ò ÔÓ¹

46 Ñ ÓÓÒº ÎÙÓÒÒ ¾¼¼ ÓÑ Ø ÙÐ Ó Ó ÐÑ Ò Ö Ó Ú Ú Ø Ñ Ò Ð ÁÁ Ò ÔÓÑ Ó º Ö ØÝ ÙÓÑ Ó Ô Ø ÓÐ Ø ØØÝ Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ø Ò ÖÚÓÔ Ô Ö Ó ØÙ Ø Ò ÔÓ Ø Óµ ØØ ÐÝ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø Ò ÚÐ Ò ¹ Ò ÙÔ Ò ÝÒØ Ú Ö ØÓÒ Ú ØÙÙغ ÆÑ ÑÙÙØ Ô ØØ Ò ÐØÝÚØ ÙÙ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ó Ð ÑÔ ÒØ ÐÝÒ Ú ÐÚÓÒÒ Ò Ô Ö ÒØ Ñ ÝÖ ØÝ ¹ Ø ÓÒ Ð Ù Ý Ý Ò ØÓ Ñ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ ÔÙ ÒÒÙØ Ò Ò Ö º ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ô ØØ ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ð ÁÁÁº ÌÝ Ò Ø Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÝÒÒ ÐÓÔÙÐÐ Ø ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ú ØØ Ò ÚÙÓ Ò ¾¼½ ¹ ¾¼½ ÚÐ Ò Ò º ÎÙÓ Ò ¾¼½ ÐÙ Ø Ö Ó ØÙ Ð ØÓ Ø Ò ÓÒ Ø ØØ Ú ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙ ÙÒ ÓÑ Ø Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ÐÐ Ø Ó ÐÐ º ÐÐ Ø Ò Ð ÓÑ Ø ÓÒ Ø ÖØØÙÒÙØ ÑÙ Ò Ò ØÖ Ò Ú ÐÚÓÒÒ Ò Ó Ø Ò ÙØ Ò Ö ÒÔ ØÓÓÒ Ø Ð ÒØ Ö ØÙ Ò Ö ØÝÝÔÔ Ò Ö Òº ÃÓÑ Ø ØÝ ÒØ Ð Ð Ø ÑÝ ÖÚÓÔ Ô Ö ¹ Ú ÙÙØÙ Ú ÐÚÓÒØ Ú Ö Ò¹ ÓÑ Ø Ò Ò Ö Ó ØÙ Ò ÑÓÒ Ð ÝÖ ØÝ Ø Ò Ú ÐÚÓÒÒ Ò ØØÑ ÐÙ Ù ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ö ÒÓ ÐÐ Ý Ø ØÝ Ñ Ö ØØÚ Ò ÓÖ Ò Ø Ó Ò Ò º

47 ÌÙØ ÑÙ Ò ØÓØ ÙØÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØÝ ÝØ ØØÚ Ò ØÓ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ò Ò Ðݹ Ó Ñ Òº ÐÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò ØÓÒ Ø ¹ ÖØ ÓØØ ÐÙ ÐÐ ØÙÐ Ð ØÝ Ø Ñ Ø Ù Ò Ö Ø Ö Ó ØØ º Ä ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÝ ÝØ ØØÚØ Ø Ò Ð ØØÝÚØ ØØ Ø Ø ÐÐÒ Ô Ò Ò Ø Ý ØÐ º Å ÐÐ ÒÒÙ ¹ Ò Ô ÖÙ Ø Ú Ð ØÙ Ø ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ö ØØÚÒ ÝÚ Ò ÐÚ Ø Ñ Ø Ø ÙÚ º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÑÚ Ú Ö ÙÙ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ó Ø Ò Ð Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ý ØÐ Ø º½ ÓÒ Ð Ò Ú Ò¹ Ò ØÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ý Ò ÖØ Ò ÑÙÓØÓÓÒº Ë Ú ÒÒ ØÝÐÐ ÑÙÓ ÓÐÐ ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ Ú Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ð ÒØ º ÄÙÚÙÒ Ø ÓÖ ÓÒ Ô Ö Ò Ú ØØ Ø ½½ ½ ½ ¾ º º½ Ò ØÓÒ ØØ ÐÝ ÌÝ Ò Ò ØÓÒ ÝØ ØÒ ÆÓÖ Ô Ò Ò ÓÒ ÖÒ Ø ØØ º Ì Ò Ó ÚÙ¹ Ó ÖÚÓØ ÓÒ ÖØØÝ Ô Ò Ò Ú Ö Ó ÚÙ ÐØ Ð ÝØÝÚ Ø Ó ÚÙÓ Ø Ù Ø º Ò ØÓÓÒ ÙÙÐÙÙ ¾ Ó ÚÙÓ Ø Ù Ò Ø Ø ÓØ ÓØ ÐØÚØ Ú Ö¹ Ø Ð Ø ½»¾¼¼ ¹»¾¼½½º Ò ØÓÒÖ Ù Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ú ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò ¹ ØÓÓÒ Ò ØØÑ ÑÙÓØÓÓÒº ÌÝ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ó Ø Ò Ú Ñ Ò ÙÐ ¹ Ø ØØÙ Ó ÚÙÓ Ø Ù ÓÐ ÚÙÓ Ò ¾¼½½ Ú Ñ Ò Ò Ð Ú ÖØ Ð»¾¼½½º ÌÓ Ð¹ Ø Ø Ò ØØÑ ÑÙÓØÓ ÑÙÙØØÙ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÙÔÔ ÑÑ Ú ÖØ Ð Ø»¾¼¼ Ø Ô Òº Ò ØÓ ÓÒ Ò Ò ÒÓØØÙ Ö ¹ Ò ØÓ Ó ÐØ Ú ÒØÓ Ý Ø Ø Ù ÑÑ Ø ÑÙÙØØÙ Ø Ú Ð ØÙÐÐ Ø Ö Ø ÐÙÚÐ Ðк Ì ¹ ÖØ Ò Ò Ú ÐÚÓÒÒ Ò ÓØ ÚÙ ÐØ Ú º µ Ð ÝØÝÝ Ô Ð ÓÒ Ö Ó ØÙ Ð ØÓ Ø Ò Ò¹ Ø ÐÝ Ú ÐÚÓÒØ Ó Ú Ø ØÓ º Í ÑÑ Ø ÑÖ Ø ÐÑØ Ò ØÓÒ Ø ¹ Ö ÐÐ ÓÒ ØÙ Ú Ò ÙÐ Ñ Ø Ö Ó ØÙ ØÓÖ Ò ÑÖÝ Ó Ó ÐÑ Ò Ì Ð Ò¹ ÔØ ØÓ Ñ ÒØ ÖØÓÑÙ Ð ØØ Ø ½ Ì Ò Ú ØÝØØ Ó Øº Ò ØÓÒ ÙÙ ÑÑ Ø ÓÒ Ö Ø ÐØÝÒ Ý Ø Ò ½ Ö Ú Ö ÐÐ Ù¹ Ù Ö ½ Ú Ð Öº Æ Ø Ö ØØ Ò ÔÓ Ò Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ö Ò Ò Ú ÐÚÓÒØ Ð Ú ÓÒ Ú Ö ÒÓÑ Ò Ø ØÙÙØ Ó ÓÒ Ø ØÚ ³ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ö ÒÓ Ò Ú ÐÚÓØØ Ú Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ò ÓØØ Ò Ò ÚÓ Ø Ò Ö Ó ÖÝ ØÝ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØÓ Ñ Ò ÒÓÔ Ø Ù ÓØØ Ú Ø ³º È ÖÙ Ú ØÙÙ Ô Ò ¹ Ö Ó ØÙ ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ú ÐÚÓÑ Ø ÓÒ ØÓ Ñ Ó ÐÐ Ø ÐÐÒº Ò Ò Ú ÐÚÓÒØ ØÓ Ñ ØÝ Ò¹ ØÚÒ Ú ÐÚÓ Ò Ý Ñ Ö ÒÓ Ò Ò º Ö ÐÐ x 5,x 8,x 17,x 20 x 27 Ð ÝØÝÒÝØ ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ò Ú ÐÚÓÒÒ ÐØ ÆÓÖ ÐØ º

48 ÐÐ Ò Ø ÔÙÙØØÙ Ø ØÓ Ö ØÝ Ø Ð ÙÔÙÓÐ Ò Ó ÚÙÓ Ø Ù Ø Ò Ó ÐØ º Ä Ò ÓÐ Ú Ø Ù Ø ÐÐ ÐØ Ó ÙÙ ÐØ Ò Ú º Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÐÙ ØØ ÐÓ ÑÙ Ò ÓØ ØÙ Ø Ú Ö ÐÐ ÙÙ Ö Ø Ð ØØ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ Ù ÙÒ Ò ÖÒ Ø Ø Ð Ò Ú Ø Ø Ò x 1 ÃØ Ø Ú Ö Ø Ù Ô Ò Ø ÐÐ ØÙ Ø Ã Ð ÐÐ Ø Ñ ÙÚÐ ¹ Ò Ø ÑÙ Ò ÐÙ Ò ¹ ÙÖÓÑÖ Ø Ø Ð Ø ÓÐ ÓØ Ú Ø¹ Ø Ñ ØØ Ú Ø Ñ Ø ËÙÓÑ Ò È Ò ÐØ º Ú µ x 2 Î ÐØ ÓÒ Ú Ð ØÓÙÑÙ Ø Î ÐØ ÓÒ Ð Ò Ð Ñ Ð Ñ Ö Ò ÐÔÓ ÐØ Ú Ð Ö Ó Ó Ò Ó ØÙ Ú Ø Ð Ý Ò Ô ÚÒ ÚÐ Ðк ÒÓÖ º µ x 3 Ë Ñ Ø ÐÙÓØØÓÐ ØÓ ÐØ ÅÙÙØ Ù Ò Ú ØØ Ñ ØØ Ú Ø Ñ Ø Ù Ô Ò ÐØ ÓØ ¹ ØØ ÙÐ ÓÑ ÐÐ ÐÙÓØØÓÐ ØÓ ÐÐ ÒÒ ØÙØ ÐÙ¹ ÓØÓØ Ø ÝØ Ø ÐÐ ØÙ Ø Ø Ù Ø Ò ÑÙ Ò Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø Ò ØÓÙÑÙ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ð Ó ÐÐ Ñ ØÙØ ÑÖغ Ì Ò ÖÝ ÑÒ ÐÙ Ø Ò ÑÙÙÒ ÑÙ Ù Ô Ò Ò Ø ÐÐ Ø ØÙØ Ú ÑÑ Ú Ö ÒØÓ¹ Ø ÐÐ ØÙ Ø ÑÙØØ ÐÙÓØØÓÐ ØÓ Ø Ò Ð Ñ Ö Ò ÐÔÓ Ñ º Ú µ x 4 ÄÙÓØÓØ ÝÐ ÐÐ ÅÙÙØ Ù Ò Ù Ô Ò ÐÐ ÐÙÓØØÓÐ ØÓ ÐÐ ÒÒ ØÙØ ÐÙÓØÓØ ÓØ ÚØ ÓÐ Ð Ñ Ö Ò ÐÔÓ º Ú µ x 5 ÃÓÖÓÐÐ Ø ÖÚÓÔ Ô Ö Øº x 6 Ç Ø Ë ÐÐ Ø Ó Ø ÒØ Ö ØÓ¹ Ó ØÙ Ó ÙÙ Ø ÑÙÙØ ÐÐ Ø Ó ÙÙ Ø ÓØ ØÙÓØØ Ú Ø Ó Ù Ò Ý Ø Ò ÓÑ Ò ÔÓÑ Òº Ú µ x 7 ÂÓ ÒÒ ÓÔ ÑÙ Ø ËÓÔ ÑÙ Ø Ñ ØÙØ ÔÖ Ñ ÓØ Ø Ò Ú Ø Ú ÔÙÓÐ ÐÐ Ø ØØÚØ Ó ÒÒ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ø ÝÚØ ÖÚÓغ Ú µ x 8 ÃÓÖ ÓÖ Ò ÙÓ Ú Ò Ö Ò ÝÚÒ ÖÚÓÒ ÑÙÙØÓ Øº x 9 Ò ØØÓÑ Ø Ý Ý Ø Î Ø ÐÐ Ø Ó Ù Ø Ú Ö Ø ÙØ Ò ØÓ Ñ¹ ÐÙÚ Ø Ø Ø Ú Ö Ñ Ö Øº Ú µ

49 x 10 Ò ÐÐ Ø Ý Ý Ø Ã ÒØ Ø ÓÑ ÙÙ ÑÙÙØ ÒØ Ø Ø Ò¹ Ø Ø Ý Ø Ò Ó Ø Ó ÙÙ Ø ÑÙÙØ Ò ÐÐ Ø Ý Ý Øº Ò ÑÑ Ò ÙÙÐÙÙ ÑÙÙÒ ÑÙ Ö ÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÐÙ Ø Ð ØØÝÑ ¹ Ñ ÙØ Ö ÒÒÙ Ø ÐØÓ ÒÒ Øº ÌÓ Ò Ó ÙÙ Ø ÐÐ Ø Ý Ø Ø ÓØ ÚØ Ö Ó Ø ÑÙÙØ ØÓ Ñ ÒØ Ù Ò ÒØ Ø Ò ÓÑ ØÙ Ø ÐÐ ÒØ º ÅÙ Ò Ò ÐÐ Ò Ý Ý Ò Ð Ø Ò ÑÙÙÒ ÑÙ ØÓ Ñ¹ Ø ÐÓ Ò Ð ØØ Ø ÓÒ ÙÚÓØ Ò º Ú µ x 11 Ë Ó ØÙ ÒØ Ø Ø ÅÙÙ Ù Ò ÓÑ ÝØ ÓÐ Ú ÒØ Ø Óй Ð ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò Ô ÚÙÓ Ö ØÙÓØØÓ»Ø ÖÚÓÒÒÓÙ Ù º Ú µ x 12 Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ú ÖÓ Ñ Ø Â ÓØÙ ÖÓ Ø Ó ØÙÚ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ú ÖÓ Ñ Ø ÑÓ Ò Ù Ò ÑÙ Ø ÚÐ Ø ÖÓ Ø Ó ØÙÚ Ø Ú ÖÓ Ñ Øº Ú µ x 13 ÅÙÙØ Ú Ö Ø Å Ù Ò ÚÐ ØÝ Ø ÝÒØÝÒ Ø Ú ØØ Ñ ØØ ¹ Ú Ø Ñ Ø Ö Ð ÐÐ ÐÚ ØØ ÐÝØ Ð ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ñ Ø Ó ÒÒ ¹ ÓÔ ÑÙ Ò Ð ØØÝÚØ Ñ Ö Ò Ð Ø Ð Ñ Ø ÑÙÙØ Ñ Ø Ó Ò ØØÑ Ò ÓÐ ÑÙÙØ ÓÔ Ú Ø ¹ Öº Ú µ x 14 Ë ÖØÓ Ñ Ø Ñ ØÙØ ÒÒ ÓØ Ë Ñ ØØ ÓÐ Ú Ø ÓÖÓØ ÑÙÙØ ØÙÓØÓØ Ñ ØÙØ ÓÖ Ó¹ ÑÙÙØ Ñ ÒÓ ÒÒ Óغ Ú µ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐÙØ ÖØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ØØ Ò ØÙØ ÑÙ Ò Ò ØÓÒ ÝØ ØÝÒ Ø Ò Ú Ø Ú ¹Ó Òº È Ò Ò Ó ÓÒ Ú Ö ÐÐ ÙÙ ÓÒ Ò Ò Ö Ò ÙÑÑ º Ì Ò Ú Ð Ö ÓÒ ÑÙ Ò ½ Ó Ò Ð ØØ Ø Ò Ò Ú ØØ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø x 15 Î Ð Ø ÐÙÓØØÓÐ ØÓ ÐÐ Î Ð Ø ÐÐ Ó Ë Ñ Ø ÐÙÓØØÓÐ ØÓ Ð¹ Ø Ø Ö Ó Ø ØÙ ÐÐ ÐÙÓØØÓÐ ØÓ ÐÐ Ù Ô Ò ÐÐ º Ú µ x 16 Ð Ò Ø ÐÐ ØÙ Ø ÑÙÙØ Ú Ð Ø ÝÐ ÐÐ Î Ð Ø ÑÙ ÐÐ Ù Ò ÐÙÓØØÓ¹ Ð ØÓ ÐÐ Ù Ô Ò ÐÐ º x 17 Î Ð Ø Ú ÙÙØÙ ÒÓØØ ÐÐ º x 18 Ð Ò Ð Ò Ð ØÙØ Ú Ð Ö Ø ÄÙÓØØÓÐ ØÓ Ò Ð Ò Ð ¹ Ñ Ø ÓÙ ÓÚ Ð Ö Øº Ú µ x 19 ÂÓ ÒÒ ÓÔ ÑÙ Ø ËÓÔ ÑÙ Ø ÙØ ÔÖ Ñ ÓÑ ÙØ Ø Ò Ú Ø ØØ Ú ÔÙÓÐ ÐÐ Ø ØØÚØ Ó ÒÒ Ø Ò Ò Ø Ú Ø ÝÚØ Ö¹ ÚÓغ