MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,..., Sarja siis hajaantuu. b) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k + k + 2) k= josta saadaan S n ( n) =. n n = ( 2 3) + ( 3 4) + ( 4 5) + ( n n + ) + ( n + n + 2) = 2 n + 2, n =, 2,..., Sarja siis hajaantuu. c) Muodostetaan osasummien jono S n = = josta saadaan n [ ] (k + 3) 2 (k + 4) 2 k= [ 4 2 ] [ ] = 6, n =, 2,..., (n + 4) 2 Sarja siis suppenee. d) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( ) k + 2 k + k= S n ( 2 n + 2) =. n n [ (n + 2) 2 (n + 3) 2 [ ] S n n n 6 (n + 4) 2 = 6. ] [ + (n + 3) 2 (n + 4) 2 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) n + n n + 2 n + = +, n =, 2,..., 2 n + 2 ] josta saadaan Sarja siis suppenee. S n ( + ) =. n n 2 n + 2 2

2 e) Vertailuperiaate: 0 < kaikilla k =, 2, 3,.... Vertailusarja suppenee vertailuperiaatteen nojalla. f) Vertailuperiaate: kaikilla k =, 2,.... Vertailusarja hajaantuu. g) Vertailuperiaate: kaikilla k =, 2,.... Vertailusarja hajaantuu. h) Vertailuperiaate: 3 3k 3 + < 3 3k 3 = k 3 k= k k > 2 2 k = k= k 2 suppenee (p = 3 > ), joten tutkittava sarja k 2 > 0 hajaantuu (0 < p = k > 5 5 k = k= k 2 kaikilla k =, 2, 3,.... Vertailusarja k 2 > 0 hajaantuu (0 < p = 2 5k 0k 3 k > 5k 0k 3 k = 2 3 k > 0 k= 2k 3 sarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. i) Vertailuperiaate: kaikilla k =, 2, 3,.... Vertailusarja hajaantuu vertailuperiaatteen nojalla. 3k 3k 2 > 3k 3k 2 = k > 0 k= k hajaantuu (0 < p = 3 ), joten tutkittava sarja ), joten tutkittava sarja ), joten tutkittava hajaantuu (0 < p = ), joten tutkittava sarja

3 2. a) Integraalitesti: Tarkastellaan funktiota f(x) = xe x2, kun x. Funktio f(x) = xe x2 > 0, kun x. Funktio f(x) on vähenevä, sillä f (x) = e x2 + xe x2 ( 2x) = ( 2x 2 )e x2 < 0, kun x. Epäoleellinen integraali f(x) dx = xe x2 dx = / ( ) = 2 e x2 2e <. Sarja suppenee integraalitestin nojalla. b) Integraalitesti: x Tarkastellaan funktiota f(x) = 3x 2, kun x. x Funktio f(x) = 3x 2 > 0, kun x. Funktio f(x) on vähenevä, sillä kun x. Epäoleellinen integraali f (x) = (3x2 ) 6x x (3x 2 ) 2 = 3x2 + (3x 2 ) 2 < 0, f(x) dx = Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. x 3x 2 dx = / 6 ln 3x 2 =.

4 c) Integraalitesti: Tarkastellaan funktiota f(x) = 4(x + 2) 5, kun x. Funktio f(x) = 4(x + 2) 5 > 0, kun x. kun x, joten f on vähenevä funktio. 4(x + 2) 5 dx = f (x) = ( 5)4(x + 2) 6 = 20(x + 2) 6 < 0, / (x + 2) 4 = 8 <, joten epäoleellinen integraali suppenee. Sarja suppenee integraalitestin nojalla. d) Integraalitesti: 6x + 5 Tarkastellaan funktiota f(x) = 3x 2, kun x. + 5x + 6x + 5 Funktio f(x) = 3x 2 > 0, kun x. + 5x + Funktio f(x) on vähenevä, sillä kun x. Epäoleellinen integraali f (x) = 6(3x2 + 5x + ) (6x + 5)(6x + 5) (3x 2 + 5x + ) 2 = 8x2 + 30x + 9 (3x 2 + 5x + ) 2 < 0, f(x) dx = Sarja hajaantuu integraalitestin nojalla. 6x + 5 3x 2 + 5x + dx = / ln 3x 2 + 5x + =. e) Integraalitestissä käytettävä funktio f(x) = (2x + )(3x + 4), x, ei ole vähenevä, vaan kasvava, sillä f (x) = 2(3x + 4) + (2x + )( )(3x + 4) 2 3 = 5(3x + 4) 2 > 0, kun x. 3. a) Koska potenssisarjan suppenemissäde R = 4, potenssisarja suppenee varmasti, kun x < 4. Piste x = 6 on selvästi tämän välin ulkopuolella, joten potenssisarja hajaantuu pisteessä x = 6. b) Koska potenssisarja suppenee varmasti, kun 0 < x < < x 5 < 5, niin suppenemissäde R = 5. TAI Lasketaan raja-arvo: 5 k+ L a k+ a k k k k + Suppenemissäde on (k + )5 k+ ( + (k + 2)5 k k )5 + 2 = 5. k R = L = 5. c) Suppenemissäde R =, joten potenssisarja varmasti suppenee, kun x < < x <.

5 d) Suppenemissäde R = 2, joten potenssisarja varmasti suppenee, kun x < 2 e) Lasketaan raja-arvo: L a k+ a k Suppenemissäde on 2 < x < 2 4 k+ 4 k R = L = 4, 2 < x < 2. 4 k 4k+ 4 = 4. joten tutkittava potenssisarja varmasti suppenee, kun x < 4 4 < x < 4. f) Lasketaan raja-arvo: L a k+ a k Suppenemissäde on 3 k+ 3 k R = L = 3. 3 k 3k+ 3 = 3. Koska potenssisarjan suppenemissäde R = 3, potenssisarja suppenee varmasti, kun x < 3. Piste x = 4 on selvästi tämän välin ulkopuolella, joten potenssisarja hajaantuu pisteessä x = 4. Potenssisarjan hajaantumisen pisteessä x = 4 voi perustella myös niin, että sijoittaa arvon x = 4 annettuun potenssisarjaan ja toteaa saadun sarjan ( k 4 ( ) 3) k = k=0 ( ) ( ) ( ) geometriseksi sarjaksi, joka hajaantuu, koska kahden peräkkäisen termin suhde 4 3 <. g) Lasketaan raja-arvo: L a k+ a k Suppenemissäde on h) Lasketaan raja-arvo: L a k+ a k Suppenemissäde on k k+ k + 3 k 5 k+ k + 5 k k R = L = 5. R = L = 3. k5 k+ (k + )5 k (k + 2)3 k (k + )3k+ 5 + k = k ( + k )3 = 3.

6 i) Olkoon t = x 3. Tällöin potenssisarja on muotoa ( ) k 4 2 k (5k + ) tk. Lasketaan raja-arvo: L a k+ a k ( ) k+ 4 2 k+ (5(k + ) + ) ( ) k 4 2 k (5k + ) k= 5k + 2(5k + 6) 5 + k 2(5 + 6 k ) = 2. Suppenemissäde R = L = 2, joten tutkittava potenssisarja varmasti suppenee, kun 4. a) Tunnetaan potenssisarjat t = x 3 < 2 2 < x 3 < 2 < x < 5. arc tan(x) = x x3 5 x, x <, sin(x) = x x3 + x5 x, x R, sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, arc tan(x) x sin(3x) sinh(3x) 3x (3x)3 3x 33 x 3 x 3 ( ( 2 33 x 3 = + (3x) x 5 x (3x) 3 x 5 x ) : x3 3 + x2 2 3 x 5 x x = 2. ) : x 3 x 3 5 x x (3x + (3x)3 x 3 5 x 3x 33 x 3 35 x 5 + (3x)5 3 x + (3x) )

7 b) Tunnetaan potenssisarjat cos(x) = x2 + x4 4! x6 6!, x R, sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, arc tan(x) = x x3 5 x, x <, 2 cos(x) + sinh(x 2 ) 2 x 3 arc tan(x) x 2 2( + x4 4! x6 6! ) + x2 + (x2 ) 3 + (x2 ) 5 + (x2 ) 2 x 3 (x x3 5 x ) 2x x4 2x6 + x 2 + x6 4! 6! + x0 + x4 2 x 4 x6 3 + x8 5 x0 2x 4 ( 2x6 + x6 4! 6! + x0 + x4 ) : x 4 = (x 4 x6 3 + x8 5 x0 ) : x4 2 4! 2x2 + x2 6! + x6 + x0 2 = 2. x2 3 + x4 5 x6

8 c) Tunnetaan potenssisarjat sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, arc tan(x) = x x3 5 x, x <, sin(x) = x x3 + x5 x, x R, x 8 sinh(x) arc tan(x 3 ) sin(x 3 ) x 3 x8 (x + + x5 ) x 3 (x3 ) 3 + (x3 ) 5 (x (x3 ) 3 x9 + (x9 + + = 6 x + x3 + (x3 ) 5 x 3 x9 5 x3 + x9 6 x5 20 x + x3 ( x x5 ) : x 9 20 ) : x9 x 2 + x x6 20 = 6. )

9 d) Tunnetaan Maclaurinin kehitelmät sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, cosh(x) = + x2 + x4 4! + x6 6!, x R, ln( + x) = x x2, x <, 4 sinh(3x) 3x cosh(x) x 2 ln( + x) (3x) 3 3x + + (3x)5 + (3x) 3x( + x2 + x4 4! + x6 6! ) x 2 (x x2 4 ) 3 3 x 3 3x x x 3x 3x3 3x5 3x 4! 6! x 2 + x5 3 x ( 3 )x3 + ( ! )x5 + ( 3 3 6! )x ) : x 3 (x 2 + x5 3 x6 4 ) : x (35 3 4! )x2 + ( 3 3 6! )x4 x 2 + x2 3 x3 4 = 33 3 = 3.

10 e) Tunnetaan potenssisarjat cos(x) = x2 + x4 4! x6 6!, x R, sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, ln( + x) = x x2, x <, 4 x cos(3x) + sinh(3x) 4x x 4 ln( + x) ( (3x) 2 x + (3x)4 4! (3x)6 6! ) + ( 3x + (3x)3 x 4 (x x2 4 ) + (3x)5 + (3x) ) 4x ( 3 2 x 2 x + 34 x 4 36 x 6 ) + ( 3x + 33 x x x ) 4x 4! 6! x 5 x6 2 + x 3 x x 3 x + 34 x 5 36 x + 3x + 33 x x x 4x 4! 6! x 5 x6 2 + x 3 x [( ! )x5 + ( ! )x ] : x 5 (x 5 x6 2 + x 3 x8 4 ) : x ! + (3 36 6! )x2 x 2 + x2 3 x3 4 = ! = 34 4! (3 5 + ) = 52 5.

11 f) Tunnetaan Maclaurinin kehitelmät arc tan(x) = x x3 5 x, x <, cos(x) = x2 + x4 4! x6 6!, x R, e x = + x + x2 + x3, x R, 3 arc tan(2x) x cos(4x) 5x 6x 5 e x (2x) 3 3(2x 3 + (2x)5 5 (2x) ) x( (4x)2 6x 5 ( + x + x2 + x3 ) + (4x)4 4! (4x)6 6! ) 5x 2 3 x 3 3(2x + 25 x 5 2 x ) x( 42 x x 4 46 x 6 ) 5x 3 5 4! 6! 6x 5 + 6x 6 + 6x + 6x8 96x 5 6x 8x x x + 8x 3 32x x 5x x 5 + 6x 6 + 8x + 8x [( )x5 + ( )x ] : x 5 (6x 5 + 6x 6 + 8x + 8x8 3 ) : x ( )x x + 8x 2 + 8x3 3 = 6 ( ) = 8 5.

12 g) Tunnetaan potenssisarjat sin(x) = x x3 + x5 x, x R, cos(x) = x2 + x4 4! x6 6!, x R, e x = + x + x2 + x3, x R, x sin(x) cos(2x) e x2 (2x)2 22 x 2 + (2x)4 4! + 24 x 4 4! x2 x 3 x(x + x5 x ) (2x)6 ( + x 2 + (x2 ) 2 6! x 4 + x6 x8 26 x 6 6! x 4 (x2 + x6 x8 ) : x2 [ 3x 2 + ( 24 4! )x4 ] : x 2 x 2 + x4 x6 3 + ( 24 4! )x2 + (x2 ) 3 x 2 x4 x6 = 3 = 3. )

13 h) Tunnetaan potenssisarjat e x = + x + x2 + x3, x R, sin(x) = x x3 + x5 x, x R, xe 2x5 x sin(x 2 ) x 2 x x ( + (2x 5 ) + (2x5 ) 2 ( (x2 ) (x2 ) 3 + (x2 ) 5 ( + 2x x 0 ( x2 x6 + x0 2 2 x x + 2x6 + (2x = 2 x 2 x6 + x0 2 2 x ( x6 + x0 2 2 x 5 + (2x5 ) 3 (x2 ) + 23 x 5 x x 6 x x 6 x x 0 + x4 x8 = 2. ) x ) x 2 ) x ) x 2 x x 2 ) : x 6 ) : x 6

14 i) Tunnetaan Maclaurinin kehitelmät sin(x) = x x3 + x5 x, x R, ln( + x) = x x2, x <, 4 arc tan(x) = x x3 5 x, x <, sin(x 2 ) x ln( + x) arc tan(3x 3 ) (x 2 ) 3 (x2 + (x2 ) 5 (x2 ) ) x(x x2 4 ) 3x 3 (3x3 ) 3 + (3x3 ) 5 (3x3 ) 3 5 x 6 (x2 + x0 x4 ) x(x x2 4 ) 3x 3 33 x x 5 3 x x 6 x2 + x0 x4 x 2 x4 4 3x 3 33 x x 5 3 x x 3 ( 2 x4 4 x6 + x0 x4 ) : x 3 (3x 3 33 x x 5 3 x 2 ) : x = 2 3 = 6. 2 x 3 + x2 4 x3 + x x 3 33 x x x 8

15 j) Tunnetaan potenssisarjat ln( + x) = x x2, x <, 4 sinh(x) = x + x3 + x5 + x, x R, cos(x) = x2 + x4 4! x6 6!, x R, 2 ln( + x) sinh(2x) + x 2 2x 2x cos(3x) x 2 2(x (2x)3 ) (2x + + (2x)5 + (2x) ) + x 2 4 2x 2x( (3x)2 + (3x)4 (3x)6 ) 4! 6! x 2 2(x 4 ) (2x + 23 x x x ) + x 2 2x 2x( 32 x x 4 36 x 6 ) 4! 6! 2x 3 2x x2 + 8x3 2x 32x5 28x + x 2 2 2x 2x + 9x 3 62x x 4! 6! 2x 3 ( 2 = 2 32x5 28x ) : x 3 (9x ! x x 6! ) : x 3 3 x 2 32x2 28x ! x x 6! = 2 2.