ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2"

Transkriptio

1 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200

2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali Pinta-alat ja porrasfunktiot Pinta-ala raja-arvona Porrasfunktiot ja niiden integraalit Riemann-integraali ja Riemann-integroituvuus Esimerkkejä Riemannin summat Integraalin ominaisuuksia Integraalien arviointia Integraalit keskiarvoina Integraali ylärajansa funktiona Logaritmin määrittely integraalin avulla Derivaatta ja integraali analyysin peruslause Integraalin derivaatta Primitiivi (antiderivaatta) ja integraali Integrointitekniikkaa Derivointikaavoista saatuja integrointikaavoja Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto Osittaisintegrointi Rationaalifunktioiden integrointi Trigonometristen funktioiden integrointi (*)Eräiden muiden funktioiden integroinnista Epäoleelliset integraalit 7

3 6. Numeerisista sarjoista Peruskäsitteet ja integraalitarkastin Suppenemistarkastimia Vuorottelevat sarjat ja termien järjestyksen vaihto Potenssisarjoista Funktiosarjat ja suppeneminen Tasainen suppeneminen Eksponenttifunktion sarja Potenssisarjojen perusominaisuuksia Taylorin ja Maclaurinin sarjakehitelmistä ja niiden sovelluksista

4 6. Numeerisista sarjoista Kurssin loppuosassa tarkastellaan numeerisia sarjoja. Sarjojen teorialla on paljon sovelluksia analyysin eri osa-alueilla ja myös muilla matematiikan aloilla, mm. erilaisten funktioiden arvioinnissa ja alkulukujen ominaisuuksien tutkimuksessa. Kaikille tuttuna esimerkkinä mainittakoon geometrinen sarja, joka on esimerkkitapaus potenssi- tai yleisemmin funktiosarjasta. Tällaisia sarjoja tulee vastaan luonnollisella tavalla käytännön sovelluksissa, kuten vaikkapa sijoituslaskennassa tai populaatiodynamiikassa. 6.. Peruskäsitteet ja integraalitarkastin Sarjalla tarkoitetaan numeroituvasti äärettömän monen luvun summaa. Yhteenlaskettavat luvut voidaan numeroituvuuden ansiosta järjestää jonoksi (a n ) n= = (a, a 2, a 3,...). Luonnollinen tapa käsitellä ääretöntä summaa a + a 2 + a a n + on aloittaa yhteenlasku alkupään termeistä ja tarkastella osasummia S n : S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3,. S n.. = a + a 2 + a a n = n k= a k,. 6.. Määritelmä. Jonoon (a n ) n= liittyvää osasummien jonoa (S n) n= kutsutaan sarjaksi ja sitä merkitään a n = a + a 2 + a a n + n= Sarja suppenee, merkitään n= a n, jos osasummien jonolla on äärellinen raja-arvo S. Tätä raja-arvoa kutsutaan sarjan summaksi. Sarjalle käytetään merkintöjä S = k= a k = lim n S n = lim n n a k. k= 87

5 Jos osasummien jono (S n ) ei suppene (eli raja-arvoa ei ole olemassa tai se on ± ), sarja hajaantuu. Tällöin merkitään n= a n. Yhteenlaskettavia a n kutsutaan sarjan termeiksi Huomautus. Ei ole millään tavalla oleellista, että termien indeksointi alkaa ykkösestä. Yleisemmin, jos indeksointi alkaa kokonaisluvusta k, niin voidaan määritellä vastaavasti i=k Etenkin tapaus k = 0 esiintyy usein. a i = lim n n a i. i=k 6.3. Esimerkki. Päättymättömät desimaalikehitelmät voidaan tulkita suppeneviksi sarjoiksi. Esimerkiksi π = Esimerkki. Jonoa a n =, n N, vastaava sarja hajaantuu, sillä osasummien S n = n a k = k= n = n k= jono kasvaa rajatta Esimerkki. Sarja ( ) n = ± n=0 hajaantuu, sillä osasumma S n =, kun n on parillinen, ja S n = 0, kun n on pariton. Näin ollen raja-arvoa lim n S n ei ole olemassa (raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen). haj.tark Lause (Hajaantumistarkastin). Jos sarja n= a n suppenee, niin lim n a n = 0. Näin ollen, jos lim n a n 0, niin sarja n= a n hajaantuu. 88

6 Todistus: Olkoon S = n= a n. Tällöin lim a n = lim (S n S n ) = S S = 0. n n 6.7. Huomautus. Edellisessä lauseessa on oltava tarkkana päättelyn suunnan kanssa. Nimittäin siitä, että lim n a n = 0 ei seuraa, että sarja n= a n suppenee. Tämän vuoksi lause onkin nimetty hajaantumistarkastimeksi Esimerkki. Kurssilla Analyysi I todistettiin, että jono a n = q n lähestyy raja-arvoa nolla, kun q <, lähestyy raja-arvoa yksi, kun q =, hajaantuu muulloin. Näin ollen hajaantumistarkastimen nojalla geometrinen sarja n=0 qn hajaantuu, kun q. Kun q < tämän sarjan osasummaksi tulee S n = n k=0 q n = + q + q q n = qn+ q q, kun n eli geometrinen sarja suppenee, kun q <, ja tällöin n=0 q n = q. Edellisessä huomautuksessa todettiin, ettei hajaantumistarkastin anna riittävää ehtoa sille, että sarja suppenisi. Toisin sanoen on mahdollista, että sarja n= a n hajaantuu, vaikka lim n a n = 0. Havainnollistetaan tätä pian esimerkein. Pohditaan kuitenkin ensin sarjojen suppenemisen ja epäoleellisten integraalien suppenemisen välistä yhteyttä, sillä tämä auttaa mainittujen esimerkkien ymmärtämisessä. Määritellään harjoituksista tuttu hakasfunktio, joka yksinkertaisesti pyöristää reaaliluvun alaspäin lähimmäksi kokonaisluvuksi: [x] = n, kun x [n, n + [, n Z. 89

7 Hakasfunktion avulla jono (a n ) n= = (a, a 2,...) voidaan muuttaa välillä [, [ määritellyksi reaalifunktioksi f p asettamalla f p (x) = a [x]. Funktio f p saa täten arvon a välillä x [, 2[, arvon a 2 välillä x [2, 3[ ja niin edespäin. Funktiota f p kutsutaan tästä syystä sarjaa n= a n vastaavaksi porrasfunktioksi (kertaa tarvittaessa porrasfunktio luvusta 2 ainoana erona aiempaan määritelmään tässä kohtaa on se, että funktiolle annetaan tietty arvo aina välin alkupisteessä). Alla olevassa kuvassa näemme osan harmonista sarjaa n= vastaavan porrasfunktion n kuvaajasta. y x Olkoon sitten n Z + mielivaltainen. Välillä x [n, n + [ funktio f p saa vakioarvon a n, joten n+ a n = f p (x) dx. n Käyttämällä hyväksi integraalin additiivisuutta saadaan tästä sarjan n a n osasummille esitys n+ S n = f p (x) dx. Tämän esimerkin valossa seuraava tulos ei ole lainkaan yllättävä. porr.tark Lemma (porrasfunktiotarkastin). Sarja n= a n suppenee silloin ja vain silloin, kun epäoleellinen integraali f p (x) dx 90

8 suppenee. Lisäksi tällöin integraalin arvo yhtyy sarjan summaan. Todistus: Merkitään F(c) = c f p. Oletetaan ensin, että sarja suppenee ja sen summa on S. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Tällöin S S n < ε/2, kun n on tarpeeksi suuri. Hajaantumistarkastimen nojalla myös a n < ε/2, kun n on tarpeeksi suuri. Olkoon siis M = M(ε) sellainen luku, että nämä molemmat ehdot toteutuvat, kun n > M. Jos sitten c > M + 2, niin F(c) S = F([c]) + c [c] f p S F([c]) S + S[c] S c + f p < ε 2 + ε 2 = ε, [c] c [c] f p sillä F(c) = c f p = [c] f p + c f [c] p, ja välillä [[c], c] on f p (x) = a [c] < ε/2. Näin ollen epäoleellinen integraali suppenee kohti raja-arvoa S. Oletetaan sitten, että kyseinen epäoleellinen integraali suppenee kohti raja-arvoa S. Tällöin S n = F(n + ) lähestyy raja-arvonaan sekin lukua S, kun n Seuraus (sarjan summan lineaarisuus). Oletetaan, että sarjat lin n= a n ja n= b n suppenevat, ja että niiden summat ovat A ja B. Jos α, β R ovat mielivaltaisia vakioita, niin tällöin myös lineaarikombinaationa saatu sarja n= (αa n+βb n ) suppenee ja sen summa on αa + βb. Todistus: Aiemmin todistettiin, että sekä määrätty integraali että funktion rajaarvo käyttäytyvät vastaavalla tavalla lineaarisesti. Näin ollen väite seuraa nyt välittömästi Lemmasta 6.9. Sanotaan, että sarja n= a n suppenee itseisesti, jos sarja n= a n suppenee, ja että sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Epäoleellisten integraalien vastaavasta tuloksesta saadaan jälleen välittömästi alla oleva sarjojen suppenemista koskeva seuraus. 6.. Seuraus. Itseisesti suppeneva sarja suppenee. Palautetaan mieleen luennolla (todistuksetta) esitetty epäoleellisten integraalien Cauchy-ehto. 9

9 int.c-ehto 6.2. Lause (Cauchy-ehto). Oletetaan, että f on Riemann-integroituva välillä [a, c] kaikilla c > a. Tällöin epäoleellinen integraali a f(x) dx suppenee, jos ja vain jos jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen luku M = M(ε) > a, että c 2 f(x) dx < ε c aina, kun c 2 > c > M. Epäoleellisten integraalien Cauchy-ehto saa sarjojen puolella seuraavan muodon. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Ideana on, että epäoleellisen integraalin häntäpään pätkää c 2 c f vastaa osasummien erotus S(m) S(n) = a n+ + a n a m = m+ f p. n+ C-ehto 6.3. Seuraus (Cauchy-ehto). Sarja n= a n suppenee, jos ja vain jos kutakin lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen rajaluku M = M(ε), että aina, kun n > M ja p > 0, niin a n+ + a n a n+p < ε. Cauchy-ehto kertoo tarkemmassa muodossa sen tosiasian, että sarjan suppeneminen riippuu ainoastaan siitä, miten sarjan äärettömän häntäpään termit käyttäytyvät. Näin ollen esimerkiksi äärellisen monen termin poistaminen sarjasta ei muuta sen suppenemista. Toisaalta suppenevan sarjan summan S suuruusluokka määräytyy alkupään termeistä jäännöstermien R n = S S n = k>n a k lähestyessä nollaa, kun n. Seuraavaksi lähdetään liikkelle funktiosta f, määritellään jono a n = f(n) ja tutkitaan näin muodostuvaa sarjaa. Jotta arviot varmasti onnistuisivat, rajoitutaan tapaukseen, jossa funktio f on ei-negatiivinen ja monotonisesti vähenevä. 92

10 int.tark Lause (Integraalitarkastin). Oletetaan, että funktio f : [, [ R on ei-negatiivinen ja vähenevä. Tällöin f(n) n= Molempien supetessa on voimassa arviot f f(n) f() + n= f(x) dx. Todistus: Olkoon f p sarjaa n= f(n) vastaava porrasfunktio, ts. f p(x) = f([x]). Funktion f monotonisuudesta seuraa, että aina, kun x 2, niin f(x) f p (x) f(x ). Tätä havainnollistetaan alla olevassa kuvassa, jossa nähdään funktion f(x) = /x (alin), sarjaa n= f(n) vastaavan porrasfunktion (kesk.) ja funktion f(x ) (ylin) kuvaajat yhdessä. y f x Jos tässä integraali f(x ) dx = f suppenee, niin majoranttiperiaatteen 2 nojalla myös integraali f 2 p suppenee, joten sarja suppenee tällöin Lemman 6.9 nojalla. Jos taas f 2 p suppenee, niin majoranttiperiaatteen nojalla f suppenee. 2 Koska lisäksi f on vähenevyyden nojalla integroituva välillä [, 2], integraali f suppenee silloin ja vain silloin, kun f suppenee. Integraalien supetessa niiden 2 välillä on voimassa epäyhtälöt ( ) f f p = f(n) f() f(x ) dx = f. 2 2 n= Väitetyt arviot seuraavat näistä epäyhtälöistä lisäämällä niihin puolittain luku f() ja ottamalla huomioon monotonisuuden seurauksena saatava arvio 2 f f(). 2 93

11 harm.sarja 6.5. Esimerkki. Koska integraali (/x) dx hajaantuu (Esimerkki 5.5, α ), niin ns. harmoninen sarja n n= hajaantuu integraalitarkastimen nojalla. Yleisemmin Esimerkin 5.5 seurauksena nähdään, että kun s > 0, niin sarja ζ(s) = n= n s suppenee, kun s >, ja hajaantuu, kun 0 < s Huomautus. Esimerkissä 6.5 esiintyvät suppenevat sarjat määrittelevät (osin) ns. Riemannin zeta-funktion ζ(s). Riemann päätyi tutkimaan tätä funktiota pohtiessaan alkulukujen jakautumista. Kyseinen funktio on keskeisessä roolissa analyyttiseksi lukuteoriaksi kutsutulla matematiikan osa-alueella. Suppenevia sarjoja ζ(s) kutsutaan myös yliharmonisiksi sarjoiksi. Myöhemmillä kursseilla johdetaan menetelmiä, joiden avulla voidaan laskea funktion ζ(s) arvo, kun s on parillinen positiivinen kokonaisluku. Näistä useimmin esiintyy ζ(2) = π Esimerkki. Todistetaan välillä s > voimassa olevat arviot s ζ(s) s s. Kun s >, niin epäoleellinen integraali (/xs ) dx = /(s ). Koska sarjan ζ(s) ensimmäinen termi = ja + (/(s )) = s/(s ), niin väitteet seuraavat Lauseen 6.4 arvioista. Esitetään vielä tämän kappaleen lopuksi yksi hieman mutkikkaampi esimerkki. Esimerkissä esitettävää tekniikkaa käyttämällä saadaan tuotettua vastaesimerkkifunktioita eri tarkoituksiin. Analyysin sovellusten kannalta nämä eivät ole erityisen keskeisiä, mutta toisaalta osoittavat hyvin pelkkiin alkeisfunktioesimerkkeihin perustuvan ajattelun vaarat. Edellisen luvun perusteella saattoi syntyä sellainen mielikuva, että jos epäoleellinen integraali 0 f suppenee, niin tällöin välttämättä lim x f(x) = 0. Tämän 94

12 luvun hajaantumistarkastin vielä vahvistaa osaltaan tätä käsitystä. Tämä (enemmän tai vähemmän intuitiivinen) käsitys on kuitenkin virheellinen, kuten seuraavassa esimerkissä nähdään. Funktio voi nimittäin olla äärettömän pitkällä välillä jopa rajoittamaton, vaikka sen epäoleellinen integraali suppenee. piikki 6.8. Esimerkki. Annetaan esimerkki välillä [, [ määritellystä jatkuvasta ja ei-negatiivisesta funktiosta f(x), jolle epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee, mutta joka ei ole rajoitettu ja jolle raja-arvoa lim x f(x) ei ole olemassa. Ideana on koota funktion kuvaaja äärettömän monesta kolmiomaisesta piikistä, jolloin funktio saa arvon nolla piikkien ulkopuolella. Piikkejä on numeroituvasti ääretön määrä, joten ne voidaan kätevästi indeksoida positiivisilla kokonaisluvuilla. Oletetaan, että piikin numero k pinta-ala on a k, ja että ko. piikki esiintyy osana funktion kuvaajaa välin [k, k + ] (pienellä) osavälillä. Tällöin n+ f = S(n) = n k= a k, joten jos sarja n= a n suppenee, niin vastaava epäoleellinen integraalikin suppenee. Suppenevalle sarjalle tietenkin a n 0, mutta piikkien korkeuden voidaan silti antaa kasvaa rajatta, kun k, kunhan niitä vastaavasti kavennetaan. Alla olevassa kuvassa on rajoittamaton ja jatkuva funktio f, jolle f = π 2 /2. y x Valitaan siis suppenevaa sarjaa ζ(2)/2 seuraten a k = /(2k 2 ). Kolmiolla, jonka korkeus on h = k ja kanta a = /(k 3 ) on pinta-alana a k. Jatkuvuuden takaamiseksi asetetaan piikin huippu puoliväliin (jolloin kolmiosta tulee tasakylkinen). Kyseisen kolmion nouseva reuna nousee h:n verran matkalla a/2, joten sen kulmakerroin on 2k 4. Vastaavasti laskevan reunan kulmakerroin on 2k 4. Funktio määritellään siten 95

13 välillä [n, n + [ paloittain seuraavasti: 2n 4 (x n), jos x [n, n + [, 2n 3 f(x) = 2n 2n 4 (x n), jos x [n +, n + [, 2n 3 n 3 0, jos x [n +, n + [. n 3 Koska piikit eivät leikkaa toisiaan, ne ovat lineaarisen polynomin kuvaajan osia. Lisäksi piikkien välillä funktio saa arvon nolla, joten funktion kuvaaja on yhtenäinen murtoviiva. Integraali f laskee piikkien pinta-alojen summan, joka on ζ(2)/2 = π 2 /2 (vaikka sitä ei tämän kurssin tiedoilla pystykään laskemaan). Juuri tämän funktion kuvaaja oli yläpuolella olevassa kuvassa Suppenemistarkastimia Tässä kappaleessa johdetaan muutamia käyttökelpoisia kriteerejä, joiden avulla kysymys annetun sarjan suppenemisesta tai hajaantumisesta voidaan jatkossa usein (mutta ei aina) helposti ratkaista. Seuraavat kaksi tulosta perustuvat siihen, että tunnetaan jokin positiiviterminen sarja, jonka suppeneminen tai hajaantuminen on jo tiedossa. Tunnetun sarjan avulla voidaan sitten tehdä vastaava päätelmä (suppenee/hajaantuu?) jostakin toisesta sarjasta, kunhan vastintermien vertailu onnistuu sopivalla tavalla. Tästä syystä näitä tuloksia kutsutaan myös vertailutarkastimiksi (vertaa epäoleellisten integraalien vertailuperiaatteisiin!) Lause (Majoranttiperiaate). Olkoon K > 0 jokin vakio. Oletetaan, että sarjojen n= a n ja n= b n termit toteuttavat jostakin rajasta n alkaen epäyhtälön a n Kb n. Erityisesti siis b n 0, kun n n. Tällöin b n n= a n (itseisesti). Todistus: Väite seuraa suoraan epäoleellisten integraalien majoranttiperiaatteesta ja Lauseesta 6.9. n= Esimerkki. Kun a n = (2 n + 4 n )/(3 n + 5 n ), niin sarja n= a n suppenee, koska kaikille n Z, n > 0, on voimassa arvio a n = 2n + 4 n 3 n + 5 n 4n + 4 n 5 n = 2 ja majoroiva sarja n= qn, q = 4/5 <, suppenee. ( ) n 4, 5 96

14 6.2. Seuraus (Minoranttiperiaate). Olkoon K > 0 jokin vakio. Oletetaan, että sarjojen n= a n ja n= b n termit toteuttavat jostakin rajasta n alkaen epäyhtälön a n Kb n. Erityisesti siis b n 0, kun n n. Tällöin a n n= b n. n= Todistus: Jos majoroiva sarja n= b n suppenisi, niin tällöin majoranttiperiaatteen nojalla myös sarja n= a n suppenisi. Tämä on ristiriita Esimerkki. Sarja n=2 2n 5 4 n7 3n 2 hajaantuu, koska 2n 5 4 n7 3n 2 n n = 7/4 n 3/4, kun n > 5, ja sarja n=2 hajaantuu. n 3/ Huomautus. Vertailutarkastimia käytettäessä on huomattava, että jos halutaan perustella positiivitermisen sarjan hajaantumista, sarjan termejä on arvioitava alaspäin. Jos taas halutaan todistaa postiiviterminen sarja suppenevaksi, termejä on arvioitava ylöspäin. Edelleen, jos majoroiva sarja (yllä b n ) hajaantuu tai minoroiva sarja (yllä a n ) suppenee, mitään johtopäätöksiä ei voida tehdä, vaan on keksittävä jokin toinen lähestymistapa Esimerkki. Oletetaan, että termit a n ovat kaikki > 0, ja että sarja n= a n suppenee. Osoitetaan, että tällöin myös sarja log( + a n ) n= suppenee. Kääntäen, jos sarja n= a n hajaantuu, niin myös sarja n= log(+a n) hajaantuu. 97

15 Logaritmifunktion jatkuvuuden nojalla lim n log( + a n ) = log( + lim n a n ). Näin ollen, jos hajaantumistarkastin (Lause 6.6) kertoo toisen sarjoista hajaantuvan, niin samoin käy toisenkin sarjan. Rajoituksetta voidaan siis olettaa, että lim n a n = 0 = lim n log( + a n ). Koska l Hospitalin säännön nojalla saadaan raja-arvotulos log( + x) lim x 0 x =, log( + a n ) lim =. n a n On siis olemassa sellainen rajaluku n N, että aina, kun n n, suhde log( + a n )/a n poikkeaa luvusta vähemmän kuin /2. Toisin sanoen, n > n 2 log( + a n) + a n 2 2 a n log( + a n ) 3 2 a n. Jos nyt sarja n= a n suppenee, niin saadaan arviot (kun n > n ) 0 < log( + a n ) 3 2 a n, joten majoranttiperiaatteen nojalla sarja n= log( + a n) suppenee niin ikään. Jos taas sarja n= a n hajaantuu, niin epäyhtälöt (kun n > n ) 0 < a n /2 log( + a n) yhdessä minoranttiperiaatteen kanssa takaavat, että sarja n= log( + a n) hajaantuu sekin. Vertailutarkastinta käytettäessä tunnettuna vertailusarjana esiintyy ylivoimaisesti useimmin geometrinen sarja (sekä suppeneva että hajaantuva). Seuraavaksi yleisimpiä ovat harmoninen ja yliharmoninen sarja. Seuraavaksi johdetaan geometrisia sarjoja vertailusarjoina käyttäen suppenemis/hajaantumistarkastin, joka perustuu ainoastaan tutkittavan sarjan termien ominaisuuksiin. Tarkastin nimittäin tutkii kahden peräkkäisen termin osamäärän a n+ /a n käyttäytymistä, kun n. 98

16 osam.tark Lause (Osamäärätarkastin). (i) Oletetaan, että on olemassa vakio L, 0 < L <, ja luku n N siten, että sarjan n= a n termit toteuttavat epäyhtälön a n+ a n L aina, kun n n. Tällöin n= a n. (ii) Oletetaan, että on olemassa vakio L ja luku n N siten, että sarjan n= a n termit toteuttavat epäyhtälön a n+ a n L aina, kun n n. Tällöin n= a n. Todistus: Merkitään kummassakin tapauksessa A = a n. Tällöin on oltava A > 0, koska muutoin kahden peräkkäisen termin osamäärää ei voitaisi muodostaa. Tapauksessa (i) saadaan suoraviivaisella induktiolla, että a n +k AL k aina, kun k 0. Näin ollen suppeneva geometrinen sarja k=0 ALk majoroi alkuperäisen sarjan jäännöstermiä n n a n. Väite seuraa majoranttiperiaatteesta. Tapauksessa (ii) nähdään induktiolla, että a n +k AL k. Näin ollen lim n a n 0 ja väite seuraa hajaantumistarkastimesta. Osamäärätarkastimesta käytetään usein muotoa, jossa tutkitaan raja-arvoa a lim n+ n a n. Tällöin on oltava tarkkana, sillä tapauksessa, missä kyseinen rajaarvo on yksi ei voida päätellä mitään! osam.lim Lause (Osamäärätarkastin). Oletetaan, että sarjan n= a n termien suhteen itseisarvolla on raja-arvo lim a n+ n a n = K. Jos K <, niin sarja suppenee. Jos K >, niin sarja hajaantuu. Todistus: Merkitään ε = L K. Olkoon L = (K + )/2 lukujen K ja keskiarvo. Jos K <, niin tällöin K < L <, joten oletuksen perusteella jostakin luvusta n = n(ε) alkaen a n+ /a n L. Sarjan n= a n suppeneminen seuraa siten osamäärätarkastimen ensimmäisestä versiosta. Jos K >, niin tällöin K > L >, joten oletuksen perusteella jostakin luvusta n = n(ε) alkaen a n+ /a n L. Sarjan n= a n hajaantuminen seuraa siten osamäärätarkastimen ensimmäisestä versiosta

17 Koska raja-arvomuodon kanssa tehdään usein virheitä, ensimmäinen esimerkki on varoittava Esimerkki. Annetaan esimerkit kahdesta sellaisesta sarjasta, joista toinen suppenee, toinen hajaantuu, ja kummallekin lim n a n+ a n =. Harmonisella sarjalla n= (/n) on a n = /n, joten a n+ a n = /(n + ) /n = n n +, kun n. Harmoninen sarja kelpaa siten hajaantuvaksi esimerkiksi. Suppeneva esimerkki saadaan yliharmonisesta sarjasta, jolle a n = /n 2. Tässäkin a n+ /(n + )2 = = a n /n 2 n 2 (n + ) 2, kun n, ja sarja n= suppenee kohti summaansa ζ(2). n 2 e:n sarja Esimerkki. Osoitetaan, että sarja suppenee. n=0 Tässä a n = /n!, joten n! = a n+ a n = /(n + )! /n! = n! (n + )! = n + 0, kun n. Sarjan suppeneminen seuraa siten Lauseesta Seuraavassa luvussa näytämme, että tämän sarjan summa on Neperin luku e. exp.sarja Esimerkki. Olkoon x R jokin reaalinen parametri. Osoitetaan Esimerkkiä 6.28 yleistäen, että sarja x n n! suppenee itseisesti. n=0 00

18 Nyt sarjan yleinen termi on a n = x n /n!. Tällöin Koska x n+ a n+ a n = x n+ n! x n (n + )! = x n +. 0, kun n, niin väite seuraa. Seuraava esimerkki osoittaa, että Lausetta 6.25 voidaan käyttää silloinkin, kun peräkkäisten termien suhteella ei ole raja-arvoa Esimerkki. Tutkitaan sarjan suppenemista. Sarjan yleisen termin lauseke on kaikille n =, 2, a n = 2[n/2] 3 n Tässä kahden peräkkäisen termin suhde a n+ /a n on a 2k+ a 2k = 2k /3 2k+ 2 k /3 2k = 3, kun n = 2k on parillinen. Kun n = 2k + on pariton, suhteeksi tulee a 2k+2 a 2k+ = 2k+ /3 2k+2 2 k /3 2k+ = 2 3. Näin ollen raja-arvoa lim n a n+ /a n ei ole olemassa. Sarja kuitenkin suppenee Lauseen 6.25 nojalla, koska kohdassa (i) voidaan valita L = 2/3 < Vuorottelevat sarjat ja termien järjestyksen vaihto Jos sarjan termeistä kaikki äärellistä poikkeusjoukkoa lukuun ottamatta ovat samanmerkkisiä (+ tai ), niin sarjan mahdollinen suppeneminen on aina itseistä, koska äärellisen monen termin jättäminen pois sarjasta ei muuta sen suppenemista. 0

19 Näin ollen ehdollista suppenemista voi esiintyä vain silloin, kun sarjassa on äärettömän monta positiivista ja äärettömän monta negatiivista termiä. Yksinkertaisin tilanne, jossa näin käy on ns. vuorotteleva (alternoiva) sarja. a 0 a + a 2 a 3 + a 4 a ( ) n a n + = ( ) n a n, missä a n > 0 n N. Tällaisten jonojen suppenemista käsittelee seuraava erittäin yksinkertainen kriteeri. n=0 alternoiva 6.3. Lause (Leibnizin lause). Jos (i) positiivisten lukujen jono (a n ), n N, on vähenevä eli ja (ii) lim n a n = 0, a 0 a a 2... a n a n+ 0 niin vuorotteleva sarja n=0 ( )n a n suppenee. Lisäksi jäännöstermi R n = S S n on samanmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi, ja R n a n+. Todistus: Tutkitaan erikseen parillisten ja parittomien osasummien jonoja. Jos k N, niin ensimmäisen oletuksen nojalla S 2k+2 = S 2k a 2k+ + a 2k+2 = S 2k (a 2k+ a 2k+2 ) S 2k, joten parillisten osasummien jono on vähenevä: S 0 S 2 S 4. Vastaavasti S 2k+3 = S 2k+ + a 2k+2 a 2k+3 = S 2k+ + (a 2k+2 a 2k+3 ) S 2k+, joten parittomien osasummien jono on kasvava: S S 3 S 5. Kaikille k N on lisäksi voimassa epäyhtälö S 2k+ = S 2k a 2k+ S 2k. ( ) Jokainen parillinen osasumma on siis kuin sitä edeltävä pariton osasumma, joka on puolestaan S. Näin ollen parillisten osasummien jono (S 2k ), k N, on vähenevä 02

20 ja alhaalta rajoitettu. Monotonisten jonojen peruslauseen nojalla tällä jonolla on raja-arvo S parillinen = lim k S 2k. Edelleen epäyhtälön ( ) nojalla jokainen pariton osasumma on kuin sitä edeltänyt parillinen osasumma, joka on puolestaan S 0. Näin ollen jono (S 2k+ ), k N, on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, joten sillä on raja-arvo Jälkimmäisen oletuksen nojalla S pariton = lim k S 2k+. 0 = lim k a 2k+ = lim k (S 2k S 2k+ ) = S parillinen S pariton. Näin ollen S parillinen = S pariton = S eli parillisten osasummien ja parittomien osasummien jonoilla on yhteinen raja-arvo S, mikä on tällöin myös sarjan summa. Osajonojen monotonisuuden perusteella sitten S 0 S 2 S 4 S S 5 S 3 S. Jäännöstermiä koskeva väite seuraa tästä, koska sarjan osasummia muodostettaessa seuraavan termin ottaminen mukaan siirtää aina osasumman arvon raja-arvon S toiselle puolelle Huomautus. Leibnizin lausetta sovellettaessa riittää, että sen ehdot (termien etumerkkien vuorottelu ja itseisarvojen monotoninen väheneminen kohti nollaa) toteutuvat jostakin indeksin arvosta n N alkaen. Tällöin tietenkin jäännöstermiä koskeva väite on voimassa vain, kun n n. log2 sarja Esimerkki. Koska jono (a n ), a n = /n, n Z +, toteuttaa Leibnizin lauseen ehdot, niin sarja = ( ) n n suppenee. Suppeneminen on ehdollista, koska termien itseisarvoista muodostuva harmoninen sarja hajaantuu. Olkoon tarkasteltavan sarjan summa S. Leibnizin lauseen arvioista S 2 S S 3 (huomaa, että nyt kun parillisen indeksin omaavat termit ovat negatiivisia, niin parilliset osasummat ovatkin S ja parittomat S) nähdään, että n= 2 S

21 Seuraavassa luvussa osoittamme, että S = log 2. Osasummien suppeneminen on varsin hidasta. Jotta sarjan osasumma S n olisi oikein (siis S) kolmen desimaalin tarkkuudella, jäännöstermin R n tulee olla itseisarvoltaan < /000. Leibnizin lauseen nojalla tähän päästään vasta, kun n 000, jolloin osasummassa on mukana jo tuhat termiä. Esimerkin 6.33 ehdollisesti suppenevalla sarjalla on ilmeisiä yhteisiä piirteitä Esimerkin 5.3 epäoleellisen integraalin 0 sin x x dx kanssa. Kuten nähtiin, integraali suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Tässä integraalissa säännöllisesti merkkiään vaihtava sinifunktio tuottaa vuorottelua vastaavan positiivisten ja negatiivisten termien osittaisen kumoutumisen. Suppenevassa sarjassa perättäisiä termejä voidaan yhdistellä lisäämällä sarjaan sulkuja. Näin saatu uusi sarja suppenee ja sillä on sama summa alkuperäisen sarjan kanssa. Tämä johtuu siitä, että suluttamalla saadun sarjan osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jonon osajono, joten se suppenee kohti samaa rajaarvoa. Näin ollen Esimerkin 6.33 sarjasta voidaan muodostaa uusi sarja ( ) ( ) ( ) + = 6 k= ( 2k ), 2k jonka termit on saatu laskemalla yhteen kaksi alkuperäisen sarjan peräkkäistä termiä. Tämän sarjan osasummat ovat tarkalleen ne alkuperäisen sarjan osasummat, joissa on parillinen määrä yhteenlaskettavia. Tämän sarjan yleinen termi on ( 2k ) = 2k 2k (2k ) 2k(2k ) = 2k(2k ), joten sarja suppenee itseisesti, koska sitä majoroi suppeneva yliharmoninen sarja k=. Tämän sarjan suppeneminen on kuitenkin melkein yhtä hidasta kuin alkuperäisen k 2 sarjankin. Sulkujen poistaminen suppenevasta sarjasta ei sen sijaan ole luvallista, ellei niin syntynyt uusi sarja sekin suppene (jolloin äsken esitettyjen perustelujen nojalla sulkujen lisääminen takaisin ei muuta sarjan suppenemista eikä summaa). Varoittavana esimerkkinä toimii suppeneva sarja = + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +, 04

22 jonka summa on selvästi. Jos sulut poistetaan, saadaan sarja , joka hajaantuu, koska sen osasummina esiintyvät vuorotellen luvut ja 0. Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestyksen vaihtaminenkaan ei ole luvallista (tilanne on siis hyvin erilainen kuin äärellisen monen luvun summan tapauksessa), kuten seuraavaksi nähdään. permut Esimerkki. Osoitetaan, että kun Esimerkin 6.33 sarjan S = ( ) n n= n termit lasketaankin yhteen järjestyksessä , niin syntyvä sarja kyllä edelleen suppenee, mutta sen summan arvoksi tulee nyt S 2 S. Sulkuja lisäämällä nähtiin jo, että joten S = ( ) ( ) ( ) + = 6 S 2 = k= ( 4k 2 ). 4k Käyttämällä Seurausta 6.0 saadaan sitten, että S 2 = S S 2 = = = k= 2k ) 2k [( ( 2k k= ( 2 4 Merkitään sarjaa, joka saadaan poistamalla tästä sulut k= ( 2k ), 2k ( 4k 2 )] 4k 4k 2 ) 4k ) ( ) +. 8 b n = , n= 05

23 ja olkoot S n = n k= b k vastaavat osasummat. Yllä tarkastellun sarjan osasummina esiintyvät luvut S 3n, n Z +, joten jo nähdyn perusteella lim S 3n = S n 2. Toisaalta muut eli muotoa S 3n+ tai S 3n+2 olevat osasummat eivät poikkea osasummista S 3n merkittävästi. Nimittäin lim S 3n+ = lim (S 3n + b 3n+ ) = S n n 2 + lim n 2n + = S 2 ja lim S 3n+2 = lim (S 3n+3 b 3n+3 ) = S n n 2 + lim n 4(n + ) = S 2. Koska kaikilla näillä kolmella osajonolla on yhteinen raja-arvo S/2, se on myös sarjan n= b n summa. Esimerkissä 6.33 nähtiin, että S > /2, joten S S/2. Usein vastaan tulee tilanteita, joissa ei haluta tai edes voida spesifioida termien järjestystä. Tällaisia tilanteita varten todistetaan seuraavaksi, ettei Esimerkin 6.34 tapainen anomalia voi esiintyä, jos sarja suppenee itseisesti. Itseisesti suppenevan sarjan termien järjestyksen vaihtaminen on siis luvallista. its.permut Lause. Olkoon S = n= a n itseisesti suppeneva sarja ja n= b n siitä termien järjestystä vaihtamalla saatu sarja. Tällöin myös sarja n= b n suppenee itseisesti ja sen summa on S. Todistus: Merkitään osasummia S n = n k= a k ja T n = n k= b k. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Soveltamalla Cauchy-ehtoa suppenevaan sarjaan n= a n löydetään sellainen luku N(ε), että aina, kun n N(ε) ja p, niin a n+ + a n a n+p < ε/2. Termit a k, k =, 2,..., N(ε), esiintyvät kukin myös toisessa sarjassa: a k = b f(k), missä f : Z + Z + on järjestyksen vaihtoa kuvaava bijektio. Oletetaan sitten, että n on suurempi kuin mikään luvuista N(ε), f(), f(2),..., f(n(ε)) ja tutkitaan erotusta T n S n. Tässä erotuksessa esiintyy lukuja b k plusmerkkisinä ja lukuja a k miinusmerkkisinä. Pari b f(k) a k = a k a k = 0, kunhan sekä k että f(k) ovat n. Erityisesti kaikki termit a, a 2,...,a N(ε) ovat kumoutuneet. Kun kumoutumiset on otettu huomioon, jäljellä on äärellinen määrä termejä T n S n = (±a l ), missä aina 06

24 l > N(ε). Näin ollen voidaan valita luonnollinen luku p siten, että kaikille mukana oleville termeille ±a l epäyhtälö l N(ε) + p on tosi. Kolmioepäyhtälön nojalla T n S n a N(ε)+ + a N(ε) a N(ε)+p < ε/2. Edelleen T n S T n S n + S n S < ε 2 + ε 2 = ε. Näin ollen lim n T n = S ja siis n= b n = S. Soveltamalla jo todistettua tulosta sarjaan n= a n nähdään, että sarja n= b n suppenee, joten sarjan n= b n suppeneminen on itseistä. Tutkitaan luvun lopuksi kahden sarjan kertolaskua. Kurssilla Analyysi I esitettiin tulos, jonka mukaan rationaalilukujen joukko on numeroituva. Tutkimalla sen todistusta näet, että joukko N N on sekin numeroituva. Näin ollen parit (i, j) voidaan asettaa jonoon. Olkoot siis i=0 a i ja j=0 b j kaksi sarjaa. Kutsumme (numeroituvasti äärettömän monen termin) summaa ai b j näiden sarjojen tulosarjaksi, jos tässä summassa esiintyvät kaikki indeksiparit (i, j) jossakin järjestyksessä. tulosarja Lause. Oletetaan, että sarjat i=0 a i = S ja j=0 b j = T suppenevat itseisesti. Tällöin jokainen tulosarja a i b j suppenee itseisesti kohti tuloa ST. Todistus: Olkoon k=0 c k, missä c k = a i(k) b j(k), jokin tulosarja. Tutkitaan osasummaa n U n = c k. k=0 Olkoon N suurin indekseistä i(k), k = 0,,..., n, ja M suurin indekseistä j(k), k = 0,,..., n. Tällöin jokainen osasumman ( U n termi c k = a i(k) b j(k) N )( esiintyy terminä osasummien tulossa i=0 a M ) i j=0 b j. Tämä tulo on ( ( i=0 a ) i ) j=0 b j, joten myös ( )( ) U n a i b j. i=0 j=0 07

25 Kasvava jono U n on siis ylhäältä rajoitettu. Näin ollen se suppenee eli tulosarja k=0 c k suppenee itseisesti. Täten Lauseen 6.35 nojalla kaikki tulosarjat suppenevat ja niillä on sama summa. Olkoot sitten S n = n i=0 a i ja T n = n j=0 b j. Tulosarjassa, jossa on ryhmitelty tulot a i b j sen mukaan, miten suuri suurempi indekseistä i ja j on (alla sulut osoittavat ryhmittelyn), ts. sarjassa a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 + a b ) + (a 0 b 2 + a b 2 + a 2 b 0 + a 2 b + a 2 b 2 ) + osasummina esiintyvät tulot S 0 T 0, S T, S 2 T 2,... (aina sulkulausekkeen päättyessä). Kahden suppenevan jonon tulona jono (S n T n ) suppenee kohti raja-arvoa ST. Koska nämä esiintyivät tässä suppenevan tulosarjan osasummina, myös tulosarjan osasummien jono suppenee kohti samaa raja-arvoa ST. Laskennallisesti (etenkin seuraavassa luvussa) kätevin tulosarja on sellainen, jossa tulot a i b j ryhmitellään indeksien summan i + j mukaan: a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 )+(a 2 b 0 +a b +a 0 b 2 )+ +(a n b 0 +a n b +a n 2 b 2 + +a 0 b n )+. Kun kiinnitetään summan arvoksi i + j = k, niin indeksin i mahdolliset arvot ovat i = 0,, 2,..., k, k, ja toinen indeksi j määräytyy yhtälöstä i+j = k j = k i. Näin saadaan itseisesti suppenevien sarjojen i=0 a i ja j=0 b j ns. Cauchyn tulo. ( ) ( ) a i b j = i=0 j=0 ( k ) a i b k i. k=0 i=0 geom.nelio Esimerkki. Kun x <, niin geometrinen sarja k=0 xk suppenee itseisesti ja sen summa S = /( x). Tämän sarjan Cauchyn tulona sen itsensä kanssa saadaan siten tulos ( )( ( x) = x i 2 i=0 j=0 x j ) = Siis aina, kun x <, on voimassa kaava ( k ) x i x k i = k=0 i=0 (k + )x k. k=0 ( x) 2 = + 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter

Lisätiedot

Riemannin sarjateoreema

Riemannin sarjateoreema Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Kuinka määritellään 2 3?

Kuinka määritellään 2 3? Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5 Sisältö Johdanto.................................................................... 5. Kerrattavaa..............................................................

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anna-Kaisa Torvinen Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Syyskuu 2010 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot