π( f (x)) 2 dx π(x 2 + 1) 2 dx π(x 4 + 2x 2 + 1)dx ) = 1016π 15

Transkriptio

1 BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Kevät 7 Vaikka useissa tehtävissä pyydetään vain lauseketta, ratkaisua tehdessäsi hahmottele aina kuva ja merkitse näkyviin myös lausekkeen osien geometriset merkitykset, eli säteet, kappaleiden leveydet yms. Tässä harjoituksessa (ja tulevissakin) merkitään punaisella tähdellä ( ) sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissävälikokeessa johtaa automaattisesti arvosanaan. Pääosin nämä "tähtitehtävät" ovat yksinkertaisemmasta päästä olevia mekaanisia tehtäviä (eli "valitse oikea kaava ja sijoita"). Tässä harjoituksessa niitä on ehkäpä harvinaisen paljon. Ja syytä on muistaa ettei pelkästään näiden osaaminen tähtitehtävien osaaminen välttämättä takaa kurssin läpäisyä.. ( ) (a) Käyrä f (x) x + pyörähtää x-akselin ympäri välillä x [,]. Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus? Ratkaisu: a V ( f (x)) dx (x + ) dx (x 4 + x + )dx ( x ) x + x ( ) ( 5 + ) + (b) Mikä olisi tilavuus, jos sama käyrä pyörähtäisi y-akselin ympäri? Ratkaisu: b y f (x) x + y x ± y x f (y) V 4 ( f (y)) dy (y )dy ( y ) y ( ) ( ) 4. ( ) Alue jota rajoittavat suorat x ja x 4 sekä x-akseli että käyrä f (x) x on pyörähtämässä y-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?

2 Ratkaisu V dv 4 x x dx x x f (x)dx x 4 dx 5 5 (45 5 ). (a) Mikä on muodostuneen kappaleen tilavuus, kun käyrä f (x) (sin(x) )(cos(x)) pyörähtää x-akselin ympäri välillä x [, ]? Piirrä kuva Ratkaisu: y x Pyörähdyskappaleelle pätee kaava V ( f (x)) dx ((sin(x)) cos(x) ) dx sin(x) cos(x) dx (sin(x)) (b) Määritä tilavuus, kun käyrä y x pyörähtää suoran y 4 ympäri välillä x [,] Ratkaisu:

3 y y x y 4 x Kaavaa b V ( f (x)) dx a voidaan käyttää, jos kappale pyörähtäisi x-akselin ympäri. Skaalataan funktio pyörähtämään suoran y 4 ympäri eli A(x) (4 x ) Tällöin V (A(x)) dx (4 x ) dx (4 8x + x 6 ) dx (6x 8x4 4 + x7 7 ) ( ) (a) Kartalla 4km pitkän hiihtoladun korkeusprofiili noudattaa funktiota f (x) 5(+cos(.x)), x [, 4], missä x on kuljettu matka (kartalla) ladun alkupisteestä laskien. Koska korkeusprofiili ei ole vakiofunktio, ei todellinen ladun pituus ole tietenkään sama kuin pituus kartalla. Määritä lauseke ladun todelliselle pituudelle jossa korkeusvaihtelu otetaan huomioon. (b) Ylämäkeen hiihtäessä joutuu tekemään enemmän töitä kuin alamäkeen mennessä. Oletetaan että kartalla edettyä metriä kohden tehty työ on suoraan verrannollinen ladun nousukulmaan (olkoon verrannollisuuskerroin k), ja alamäkeen mentäessä työtä ei tarvitse tehdä lainkaan. Määritä lauseke kokonaistyölle joka tehdään kun hiihdetään ladun alkupäästä sen loppupäähän. 5. (a) ( ) Laske käyrän f (x) 6 x + x pituus, kun x.

4 ratkaisu a s b a + ( f (x)) dx f (x) x x + ( f (x)) ( + 4 x4 + ) 4 x 4 4 x x 4 ( x + ) x ( x + ) x dx 6 x x 4 (b) Trigonometrisia funktioita rakastava arkkitehti päättää että uuden observatorion katon on täytyy olla perinteisen puolipallon sijasta sen kappaleen muotoinen joka muodostuu kun sin(x) funktio pyörähtää väliltä x [, ] suoran x ympäri. Mikä on katon muodostaman "kupolin" pinta-ala tilavuus? Pelkät lausekkeet riittävät. Ratkaisu b 6. (a) ( ) Määritä pinta-ala pyörähdyskappaleelle joka muodostuu kun käyrä f (x) cos(x) pyörähtää väliltä x [, 4 ] x-akselin ympäri. Pelkkä lauseke riittää Ratkaisu a 4 A f (x) + ( f (x)) dx f (x) + ( f (x)) 4 dx + cos(x) + ( sin(x)) 4 dx + ( f (x)) + ( f (x)) dx ( cos(x)) + ( sin(x)) dx (b) Käyrä e x pyörähtää välillä x [,4] x-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala? Laske integraali loppuun saakka Ratkaisu b A x4 x x4 x x4 x x4 x e x + (e x ) dx u + u + u du u du ( u u + + ln u + u + ( (e 8 (e 8 ) + + ln e8 + ) ex (e x ) + + ln ex + ) (e x ) + ( ) (Beta k. 88) ) (e 8 ) + ( 5 ln + ) 5

5 ( )e x u 4e x du dx dx du 4ex u du 7. Paraabelit x + 4y ja x + y pyörähtävät x-akselin ympäri ja tällöin paraabelien väliin jäävästä alueesta syntyvä pyörähdyskappale on "kapselin"kuori. Mikä on tämän kuoren (a) tilavuus (b) ulkokuoren pinta-ala. (c) Samat kysymykset, mutta nyt pyörähtää y-akselin ympäri. Pelkät lausekkeet riittävät. 8. Käyrä f (x) x, x [,] pyörähtää suoran y ympäri. Mikä on muodostuvan pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala? Pelkkä lauseke riittää Ratkaisu: y r f (x) f (x) x x Säde kohdalla x on Tällöin r(x) f (x) ds ( ( f (x)) ds S r(x) + ( f (x)) dx ( x) + ( x ) dx

6 Vastauksia: Teht.#: (a) 6 5 (b) 4 Teht.#: Teht.#: (a) 4 (b) 8 7 Teht.#4: Teht.#5: (a) 4 (b) Teht.#6: (a) cos(x) + ( sin(x)) dx + 4 (b) Teht.#7: ( cos(x)) + ( sin(x)) dx Teht.#8: ( x) + ( x ) dx