3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

Transkriptio

1 Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman asteen termin kerroin on 2.Ratkaise polynomin nollakohdat ja kertoimet kun polynomi kulkee pisteiden (0,0), (1,30) ja ( 1, 30) kautta. 4. Olkoon f (x) kuten edellisessä tehtävässä. Ratkaise epäyhtälöt f (x) 0 b) f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4 5. Ratkaise polynomin 2x 4 8x 3 10x x 72 loput nollakohdat kun tiedetään että x = 2 on kaksinkertainen nollakohta. 6. Osoita että kaikille reaaliluvuille pätee a b a b. 7. Osoita että seuraavat funktiot ovat injektioita f (x) = x 1+x b) f (x) = x x Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun f (x) = x 1+x b) f (x) = x x Määritä vakiot a ja b funktiolle f (x) = ax + b siten, että ( x R) ( f f (x) = f (x) ) b) ( x R) ( f f (x) = x ). 10. Olkoon f (x) = sin(x) ja g(x) = 1/(1 x). Määritä f g ja D( f g) b) g f ja D(g f ) 11. Olkoon f (x) = x2 x+1 x2 x 1 ja g(x) = x 2 + 2x x 2 2x. Määritä raja-arvot lim f (x) b) lim g(x) c) lim g f (x) 12. Määritä raja-arvot (mikäli ovat olemass lim x 3 x 2 x 6 x 3 b) lim x 3 x 5 x 2 x 6 c) lim 3x 3 5 5x 3 x 6

2 13. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään perustuen 1 x 1 lim = b) lim x 1 (x 1) 2 x 1 x 2 1 = Laske f (x) derivaatan määritelmään ja luennoilla annettuihin trigonometristen funktioiden muuntokaavoihin perustuen, kun f (x) on x 3 + 7x b) sin(x). 15. Laske f (x) kun f (x) on 1 2x+1 b) (x + ((3x) 5 2) 1/2 ) 6 c) cos 3 (sin 2 (2x 2 ))x Olkoon f (x) = sin(x 2 ) ( cos 2 x 1 ). Määritä f (x) ja etsi 5 pistettä jotka toteuttavat yhtälön f (x) = Näytä suoraan laskemalla että funktion f (x) = (x m (x b) n derivaatalla on nollakohta välillä ]a,b[, jos m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja. 18. Olkoon f (x) = x 1. Laske derivaatat f (1), f (2), f (3) ja f (4). b) f (123) (vinkki: käytä matemaattista induktiot. 19. Määritä derivaatta f (x) kun g(x) = x ja ( f g) (x) = Esine liikkuu pitkin koordinaattilinjaa siten, että sen paikalle s pätee: s = 2t 2 12t + 8, t 0. Määritä esineen nopeus ajanhetkellä t = 1 ja ajanhetkellä t = 6. Milloin nopeus saa arvon 0? Milloin nopeus on positiivinen? 21. Kappale ammutaan xy-koordinaatiston pisteestä ( 3, 0). Missä kulmassa kappale on ammuttu, kun se tippuu 45 asteen kulmassa koordinaattiin (1,0) b) (1,1). Kappaleen lentoradan tiedetään noudattavan paraabelia, eli y = ax 2 + bx + c. 22. ( Etsi y ja y käyttäen implisiittistä differentiointia kun 2x + y 2sin(xy) = π/2 (b) Mikä on edellä mainitun käyrän pisteeseen (π/4, 1) asetetun tangentin yhtälö? Normaalin yhtälö? 23. Derivoi funktiot f (x) = (1/x) ln(x2) ja g(x) = (cosx) x x sinx. 24. ( Laske f (0) kun f (x) = 1+x(1 x) 1/3 (1+5x) 4/5 (b) Derivoi f (x) = g(x)g(2x)g(3x)g(4x)g(5x), missä g(x) = ( 2) x 25. ( Ratkaise epäyhtälö log 1/2 (x 2 2) > log 1/2 (x) (b) Ratkaise yhtälö tan(sin 1 (2x)) = Henkilön A palkka on aluksi 1600 EUR/kk ja henkilön B palkka on 2500 EUR/kk. A:n palkan korotus on vuosittain 4% ja B:n 3%. Kuinka monta vuotta kestää siihen että A saa vähintään yhtä paljon palkkaa kuin B? Jos palkkojen sovitaan tasaantuvan kolmessa vuodessa, paljonko on oltava A:n korotus vuosittain, kun B:n on 3%. 27. Anna esimerkki funktiosta f (x) jolla on vino asymptootti y = 2x mutta jolle ei päde lim f (x) = 2.

3 28. Olkoon f (x) = cos 1 (cos(x)) ja g(x) = cos ( cos 1 (x) ). Mitä ovat arvo- ja määrittelyjoukot D( f ), D(g), R ( f ), R (g). Piirrä kuvaajat. b) Määritä derivaatat D( f (2x)) ja D(g(2x)). 29. Olkoon g(x) = sinh(πx 3 ). Mitä on g (x) b) g 1 (x) c) (g 1 ) (x) 30. Määritä funktion f (x) = xe x singulaaripisteet b) kriittiset pisteet c) ääriarvot d) konkaavisuus. Hahmottele kuvaaja. 31. Kartongista valmistetaan pyramidin muotoisia pakkauksia. Pakkauksen kokonaispintaala on 1 neliömetri. Mitä arvoa pakkauksen tilavuus lähestyy kun pohjan pinta-ala A 0? Mitkä ovat pakkauksen mitat kun pakkauksen tilavuuden tahdotaan olevan mahdollisimman suuri ja korkeuden täytyy olla alle 2 metriä? 32. Laske raja-arvot ( lim 1t x 0 te 1 ) at 33. b) lim x 0 10 x e x x ( c) lim sinx ) 1/x 2 x 0 x Muodosta 4. asteen Taylorin polynomit (pisteessä funktioille f (x) = sin(x) ja g(x) = ln(x). b) Arvioi edellä muodostettujen polynomien avulla mitä on f (π/ ) ja g(1.2). Anna myös virheiden ylärajat ja suunnat. 34. Määritä seuraavat integraalit. b) ja c) kohdissa suorita integrointi kirjoittamalla integroitava funktio ensin muotoon f (g(x))g (x). 9 4 ( x 1 x ) dx b) 2π 0 sinu(1 sin2 u)du c) e 0 a x dx (a > 0) 35. Laske integraalit ja havainnollista kuvan avulla mitä lasketut luku-arvot merkitsevät. 9 4 x x 1 dx b) 2π 0 sinu(1 sin 2 u) du c) e0 a x dx (a > 0) 36. Määritä a siten että välillä [0,1] funktioiden f (x) = x 3 ja g(x) = ax 2 väliin jäävä pinta-ala olisi mahdollisimman pieni. 37. Olkoon f (x) määritelty kaavalla f (x) = π(1 + x 0 sin( f (t))dt). Mitä on f (0), f (0) ja f (0)? Voit olettaa f :n kaikki derivaatat jatkuvaksi. b) Laske f (x), päättele mitä on f (n) (0) ja mahdollinen lauseke f (x):lle (induktiotodistuksia ei tarvitse tehdä). Varmista päätelmäsi tarkistamalla että f (x):n lauseke toteuttaa integraaliyhtälön ja edellä tehdyt oletukset. 38. Ratkaise 2x + 1 > x b) t 2 t t = 1 c) x + 1 < x 2 + 2x Ratkaise x 2 1 (x + 1)(x 4) > 0 b) x 2 3 x > 1 c) 2 x 1 > x + 1

4 40. Mitkä kolmannen asteen polynomit kulkevat pisteiden (0, 0), (1, 0) ja (3, 0) kautta? b) Pesäpalloilija heittää palloa (heittokulma tuntematon) ja 30 metrin päässä heittopaikasta pallo tippuu takaisin maahan (samalle tasolle kuin heittotaso). Korkeimmillaan pallo käy 5 metrin korkeudella. Esitä pallon lentorata funktiona (xy-koordinaatistoss kun tiedetään että lentorata noudattaa toisen asteen yhtälöä. 41. Määritä luvut a ja b siten että suorat y = x/4 1, y = 4x 5 ja y = ax +b rajaavat sellaisen tasakylkisen kolmion jonka hypotenuusan pituus on ja jonka sisään origo jää. 42. Muodosta seuraavien funktioiden määrittely- ja arvojoukot. h(t) = t 2 t b) g(x) = 1 1 x Muodosta yhdistetyt funktiot f h ja h f sekä näiden määrittelyjoukot kun f (x) = cos(2x + π) ja h(x) = 1/x (1) 44. Erään tuulivoimalan teho P noudattaa mallia P = f (x) = 5x 1/2, missä x on tuulen nopeus. Jos tuulen nopeus ajan suhteen noudattaa lauseketta sin(t) niin mikä on tuulivoimalan teho ajan funktiona? b) Oletetaan nyt että e.m. tuulivoimala toimii vain kun tuulen nopeus on yli 1, niin minä ajanhetkinä voimala toimii? c) Minä ajanhetkinä voimala toimii maksimitehollaan? 45. Olkoon f (x) = x 1. Osoita että f (x) on injektio ja määritä f 1. Määritä myös mitä on R ( f 1 ) ja D( f 1 ). 46. Jos kappaleen nopeus ajan funktiona on v(t) = t niin voidaanko aika t määrittää yksikäsitteisesti jos e.m. kappaleen nopeus pystytään t 2 +1 mittaamaan? 47. Jos f on injektio niin näytä että myös g on injektio kun g määritellään kaavalla g(x) = f (2x) b) g(x) = 1 1 f (x) 48. Määritä edellisen tehtävän funktioille myös käänteisfunktio g 1 (funktion f 1 avulla lausuttun. 49. Etsi sellainen lukuarvo m että funktio { x m,x < 3 g(x) = 1 mx,x 3 on jatkuva. Määritä funktion f (x) = g(x) g(2x) lauseke. 50. Määritä seuraavat raja-arvot (mikäli ovat olemassa lim x 2 x 2 4 x 2 4x+4 2 x cos(x) b) lim x 4 x 4 c) lim x

5 51. Etsi ne pisteet joissa funktiota f (x) = x2 1 ei voida laajentaa jatkuvaksi. x Laske raja-arvo (cosh 1) lim h 0 h 53. Kappaleen nopeus ajan funktiona on v(t) = t t Mikä on kappaleen kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3. b) Milloin kiihtyvyys on positiivista, milloin negatiivista c) Kun t niin mitä käy kiihtyvyydelle? Entä nopeudelle? 54. Osoita matemaattisen induktion avulla oikeiksi summakaavat 55. n i=0 i = n(n + 1) 2 b) n i=0 i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Derivoi yhdistetyt funktiot f h ja h f kun f (x) = cos(2x + π) ja h(x) = 1/x. b) Derivoi funktio f (x) = (x cos(sin(cos(x)))) Määritä käyrän x y + ( y x) 3 = 2 pisteeseen ( 1, 1) asetetun tangentin ja normaalin yhtälöt. 57. Miltä väliltä vakio a on valittava jotta yhtälön ay+cos(y) = cos(x) x 2 /2 määräämällä käyrällä ei ole pystysuoraa tangenttia? Kuinka monessa pisteessä e.m. käyrällä on vaakasuora tangetti? 58. Mikä on viisikannan (pentagrammin) pinta-ala kun etäisyys keskipisteestä jokaiseen kärkeen on 10 metriä? 59. Etsi funktion f (x) = x2 2x+5 x asymptootit. Mitä on ( f 1) (1) kun f (x) = cosh(x)? b) Mitä on ( f 1) (0) kun f (x) = sinh(x) 61. Osoita että D(cos 1 (x)) = 1/ 1 x 2. b) Mikä on funktion cos 1 ( 2cos(x)) määrittelyjoukkko? 62. Laske f (x) kun f (x) = π xsin(x). b) Laske ( 2 x + 3e 4x + xcos(x 2 ) ) dx. c) Laske f (x) kun f (x) = xe x sin(x)cos(x)cosh(x) 63. Viisi metriä pitkien tikapuiden alapää on asetettu metrin päähän seinästä ja yläpää nojaa seinään. Tikapuiden alapäätä aletaan vetämään vaakatasossa nopeudella 3 m/s seinästä pois päin. Määrää tikkaiden yläpään kiihtyvyys ajan funktiona. Mikä on e.m. kiihtyvyys sillä hetkellä kun tikkaat ovat 45 asteen kulmassa? 64. Suunnistaja on pellolla 1.2 km päässä itä-länsi suuntaiselta tieltä (etelän puolell. Olkoon piste A se tien piste jolle suunnistajalla on lyhin matka. Piste B on e.m. tiellä 1 km päässä pisteestä A. Suunnistaja etenee pellolla 8 km/h ja tiellä 16 km/h. Miten suunnistajan kannattaa valita reittinsä jotta hän pääsee mahdollisimman nopeasti pisteeseen B. (piirrä vastaukseen kuva josta etäisyydet ilmenevät).

6 65. Oletetaan että ensimmäisen euron jälkeen varallisuuden y karttumisnopeus noudattaa kaavaa y = k(y)y, missä k(y) = 0.1( /y) Olkoon rahaston A varallisuus euroa ja rahastojen B varallisuus on kymmenkertainen tähän nähden hetkellä t = 0. Mitä käy e.m. rahastojen varallisuuksien suhteelle kun t? Funktiolla f (x) = sin(x)/(1 + x 2 ) on yksi asymptootti, mikä? Missä pisteissä f (x) leikkaa asymptoottinsa? 68. Etsi funktion f (u) = (u 2 1) 1/3 lokaalit ja globaalit ääriarvot. 69. Millä väleillä edellisen tehtävän funktio on konkaavi ylöspäin ja millä väleillä konkaavi alaspäin? Hahmottele funktio edellä laskemiesi tietojen avulla. 70. Määritä lauseke Taylorin 3. asteen pisteessä a = 0 muodostetulle polynomille P 3 (x) kun f (x) = 1 x 1. Anna yläraja approksimaatiovirheen f (x) P 3(x) suuruudelle kun x = 0.5. Maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys korkeudella h merenpinnasta noudattaa lauseketta ( ) R a(h) = g, R + h missä vakio g 9.2 ja R 6400 (maapallon säde). Arvioi linearisaation avulla (Taylorin ensimmäisen asteen polynomi), miten e.m. kiihtyvyys muuttuu kun siirrytään merenpinnalta 10 kilometrin korkeuteen. b) 20 kilometrin korkeuteen c) 100 kilometrin korkeuteen. Vertaa e.m. tuloksia suoraan kiihtyvyyden kaavalla laskettuihin tuloksiin. 71. Määritä raja-arvot lim x 0 sin(ax) sin(bx) ( 1 b) lim x 0+ x 1 ) sin(x) 72. Heilurin liikettä voidaan kuvata yhtälöllä d 2 θ dt 2 = g sinθ. (2) l Tarkastellaan nyt vain pieniä kulmia, 0 θ π/50 Kuinka suuri virhe maksimissaan yhtälön oikealla puolella tapahtuu jos tehdään yleinen approksimaatio sinθ = θ. (Ohje: käytä Taylorin polynomien ominaisuuksia.)

7 73. Kappale lähtee levosta (alkunopeudella v = 0) paikasta x = 0 ja liikkuu x-akselia pitkin kiihtyvyydellä a(t) = 12t. Mikä on kappaleen paikkafunktio x(t)? 74. Laske alueen R pinta-ala, jonka rajaavat y = x 2 /2 4, x-akseli, x = 2 ja x = Laske integraali 2 5 2x + 6 dx. Laske funktioiden f (x) = sin(x) ja g(x) = cos(x) väliin jäävä pinta-ala kun x [0,2π]. Laske h (x), kun h(x) = x 2 0 t 3 sint dt. 78. Onko funktiolla 2x+x 2 f (x) = 1 + arctan ( t 2) dt 0 lokaaleja minimi- tai maksimipisteitä välillä ] π/2,π/2[. 79. Mikä on funktion q(t) lauseke kun q (t) = 0.08e 500t sinh(300t) ja q(0) = 0?