Osa 5. lukujonot ja sarjat.

Transkriptio

1 Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a a n Lauseke tai funkjo jonka arvo riippuu indeksistä Indeksin lähtöarvo (usein 0 tai 1) Luetaan: summa a k, jossa k käy 1:stä n:ään. 1

2 4 i=1 3 k=0 5 å=3 4 Esimerkkejä (i + 3) = (1+ 3)+ ( + 3)+ (3+ 3)+ (4 + 3) = = k = = =14 ( å +1) = ( 3 +1)+ ( 4 +1)+ ( 5 +1) 8.97 Jos summanavan lausekkeen arvo ei riipu summausindeksistä, summan laskeminen on varsin helppoa: (3) = =1 n=1 Lukujono, summa ja sarja. Lukujono on järjesteny joukko lukuja x 1, x, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x + x x N i=1 Jos lukujono on äärenömän pitkä (eli N = ) sanotaan summaa sarjaksi (tai joskus sarjan summaksi). Äärellinen lukujonon jäsenten summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymänä.

3 Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan, enä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan, enä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeewsta, geometrista ja Taylorin sarjaa. AritmeeWnen lukujono ja summa a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + d) (a 1 + (n -1)d) d = vakio n a a 3 = a 1 + (N 1)d N=1 [ ] a n = n a 1 + a n Esim: = = 5050 Kun n, summa on ääretön (paitsi triviaalissa tapauksessa a 1 = d = 0). Aritmee0nen sarja (aritmee0sen sarjan summa) siis hajaantuu aina. 3

4 Geometrinen lukujono ja summa a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q a 1 q n-1 q = vakio n-1 a =! " a 1 q N # $ N=0 a 3 a 4 a n = a 1(1 q n ) 1 q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 a n = a 1 qn+1 a 1 q n = q Tätä käytetään tesjnä sille onko jokin "tuntematon lukujono tai sarja geometrinen vai ei. Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, summa on äärellinen vain jos q < 1. Tällöin geometrinen sarja siis suppenee, muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on:!a " 1 q N # $ = N=0 Esim: lim N a 1 (1 q N ) 1 q = a 1 1 q ( q <1) suhdeluku 1 suppenee suhdeluku hajaantuu suhdeluku 1 hajaantuu 4

5 Taylorin sarja Jos funkjolla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funkjon voi esinää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 ) = + f''(x 0)(x x 0 ) f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n=0 n! Esimerkki: alkeisfunkjoiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) Taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvinavat derivaatat: d dx d dx (ex ) = e x, d dx (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d d3 (sin(x))=cos(x), (sin(x))= sin(x), dx dx 3 (ex )= cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 + f''(x 0 )(x x 0 ) + f'''(x 0 )(x x 0 )3 5

6 f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 + f''(x 0)(x x 0 ) + f'''(x 0)(x x 0 ) 3 Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 =1+ x + x + x3 6 + e0 (x 0) cos(0)(x 0)1 sin(x) sin(0) + + = x x3 6 + e0 (x 0) 3 -sin(0)(x 0) -cos(0)(x 0)3 + sin(x) x - x3 6 6

7 Taylorin sarja hyöty Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa analyywnen (eli äärenömän monta kertaa derivoituva) funkjo ilmaista "lokaalisj" (jonkin pisteen läheisyydessä) likimääräisesj polynomina. Tämä helponaa usein laskemista huomanavasj, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funkjoita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten raja- arvojen ja likimääräisten arvojen selvinämisessä. Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r Tarkastellaan kahta vierekkäistä saman suuruista muna vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys d. Halutaan Jetää sähkökentän voimakkuus, kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulonuvuudessa): E = kq (r d) kq d (r + d) r +q q 7

8 Muokataan hieman: E = = kq (r d) kq (r + d) kq r (1 d r ) kq r (1+ d = kq # r (1 d r ) (1+ d & $ % r ) '( r ) r q d +q Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja- arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) ja (1 d/r) sarjoiksi muunujan d/r suhteen. (1+x) :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) (x 0) (1+ 0) (1+ 0) 3 3 (1+ 0) 4 + (x - 0) + (x - 0) +... =1 x + 3x x Äsken saajin: (1+ x) 1 x (kun x 0) r q d +q Jolloin (1+ d r ) 1 d r Ja edelleen ja (1 d r ) 1+ d r E = kq # r (1 d r ) (1+ d & $ % r ) '( kq d (1+ r r = 4kqd r 3 (1- d r )) Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.) 8

9 Taylorin sarja kemiassa: esim Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteew aallonpituudella λ kappaaleen lämpöjlan ollessa T): p(λ)= 8πhc (e λ 5 hc λkt 1) 1 Miltä p(λ) näynää, kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään eksponenwfunkjo Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. hc 8πhc λkt (e 1) 1 = 8πhc λ 5 λ 5 (e x 1) 1 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) λ ) 1 hc 8πhc λkt (e 1) 1 = 8πhc λ 5 λ 5 (e x 1) 1 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) λ 5 = 8πhc (1+x+ x λ ) 1 = 8πhc λ ) 1 (x+ x +...) 1 Jos x on riinävän pieni, x, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta ja jänää vain lineaarinen termi p(λ)= 8πhc λ 5 (x) 1 = 8πhc λkt λ 5 hc = 8πkT, λ 4 mikä sanuu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos 9