Demonstraatioharjoitus 1, pe 17.1
|
|
- Harri Korhonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.4 Matematiikan peruskurssi S, kevät 00 Demonstraatioharjoitukset, erä Högnäs Tässä ensimmäinen erä ratkaisuja demonstraatiotehtäviin. (Kuvat ovat melko heikkolaatuisia ja ainoastaan "kvalitatiivisia".) Demonstraatioharjoitus, pe 7.. [Ad4 9. / ] Tutki onko lukujono { n cos ( )} nπ n=0 (a) ylhäältä tai alhaalta rajoitettu (b) positiivinen tai negatiivinen (c) kasvava, vähenevä tai alternoiva (d) suppeneva, hajaantuva, tai rajatta kasvava tai vähenevä. Ratkaisu. Jono on siis muotoa {a n } n=0, missä ( nπ ) a n = n cos. Koska ( nπ cos ) =, jos n = 4k, jos n = 4k + 0, jos n = 4k + tai n = 4k + 3, missä k on kokonaisluku, pätee { ( nπ )} n cos = {0, 0,, 0, 4, 6, 0, 8, 0,, 4, 6,...} n=0 (a) Olkoon n = 4k, missä k N. Tällöin a n = 4k cos kπ = 4k, joten jono ei ole ylhäältä rajoitettu (kaikilla M on olemassa k siten että 4k > M, joten on olemassa n siten että a n > M). Jos taas n = 4k + saadaan a n = (4k + ) cos(k + )π = (4k + ), eli jono ei myöskään ole alhaalta rajoitettu (sillä kaikilla m on olemassa k siten että (4k + ) < m, joten on olemassa n siten että a n < m.
2 Jono ei siis ole ylhäältä eikä alhaalta rajoitettu. (b) Näimme (a)-tapauksessa, että jonolla on sekä positiivisia että negatiivisia alkioita, joten se ei voi olla negatiivinen eikä positiivinen. (c) Koska a 4k+ = 0, a 4k+ = (4k + ) < 0 ja a 4k+3 = 0 jono ei voi olla vähenevä eikä kasvava (edes suurilla indekseillä n). Koska a 4k = 4k > 0, a 4k+ = 0 ja a 4k+ 0 se ei myöskään ole alternoiva (edes suurilla indekseillä). (d) Koska jono ei ole rajoitettu, se ei suppene, eli se on hajaantuva. Se ei myöskään kasva rajatta :een tai :een, sillä mielivaltaisen isoilla indekseillä n = 4k + on a n = 0.. [Ad4 9. / 30] Olkoon a = ja a n+ = + a n, kun n =,, 3,... Näytä, että jono {a n } n= on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Päättele, että jono suppenee ja etsi sen raja-arvo. (Vihje: Osoita, että a n 3 jokaisella n.) Ratkaisu. Todistetaan induktiolla, että jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n pätee (i) a n < a n+ (ii) a n < 3. Ensinnäkin on selvä, että molemmat väitteet pätevät kun n = (a = < 3 = a ). Induktio-oletus on nyt, että väitteet pätevät tietyllä n, ja pitää todistaa, että ne pätevät myös luvulla n +. (i): Pitää todistaa, että a n+ < a n+, so. + a n < + a n+. Mutta viimeinen epäyhtälö on tosi, sillä induktio-oletuksen mukaan a n < a n+. (ii): Pitää todistaa, että a n+ < 3, so. + a n < 3 eli toisin sanoen +a n < 9. Mutta viimeinen epäyhtälö on varmasti tosi, sillä induktiooletuksen mukaan + a k < + 3 = 7. Olemme näin ollen todistaneet molemmat väitteet. Jono on siis kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli se suppenee (ja lisäksi raja-arvo 3). Olkoon a jonon raja-arvo. Siispä a = lim n a n = lim n a n+ = lim n + an = + a,
3 missä viimeinen yhtälö seuraa siitä, että + x on jatkuva x:n funktio. Siispä a = + a, eli a a = 0, josta saamme a = ±. Koska jono on aidosti kasvava pätee a > a =, ja voimme hylätä negatiivisen neliöjuuren. Päättelemme näin ollen, että lim n a n = +. Huomautus. Koska {a n } n= on aidosti kasvava, pätee a n < + a n, joten a n < a n +, eli (a n ) <. Näin ollen a n < + seuraa siitä, että jono on aidosti kasvava (ja tietenkin + < 3). Muutama sana matemaattisesta induktiosta Olkoon P (n) joku matemaattinen väite (n = 0,,,...). Väite todistetaan matemaattisella induktiolla seuraavasti. I. Osoitetaan ensin, että P (0) on tosi. II. Osoitetaan seuraavaksi, että kaikilla n = 0,,,... pätee jos P (n) on tosi (induktio-oletus), niin on myös P (n + ) tosi, ts. P (n) P (n + ). Jos I ja II onnistuvat, niin väite on tosi kaikilla n = 0,,,.... Tietenkin voidaan nollan sijasta aloittaa ykkösestä, eli todistetaan I:ssä, että P () on tosi, ja II:ssa että P (n) P (n + ) kun n =,, 3,..., jolloin koko todistus osoittaisi, että P (n) on tosi kaikilla n N = {,, 4,...} (N on posiitiivisten kokonaislukujen eli nk luonnollisten lukujen joukko) Seuraava induktiotodistuksen muunnelma on usein käyttökelpoinen. I. Osoitetaan ensin, että P (0) on tosi. II. Osoitetaan seuraavaksi, että kaikilla n =,, 3,... pätee jos P (k) on tosi jokaisella k < n (induktio-oletus), niin on myös P (n) tosi. Induktiotodistuksen pitävyys on muuten ekvivalentti seuraavan triviaalilta vaikuttavan kokonaislukujen ominaisuuden kanssa: Jokaisella ei-tyhjällä joukolla, jonka kaikki alkiot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, on pienin alkio. 3
4 3. [Ad4 9. / ] Etsi päättymättömän sarjan (n )(n + ) = n= summa, jos se suppenee. Ratkaisu. Sarjan termi a n = voidaan jakaa osamurtolukuihin asettammalla (n )(n+) (n )(n + ) = A n + B n + kaikilla n N. Siispä (n )(n + ) = A(n + ) + B(n ) (n )(n + ) = ((A + B)n + (A B). (n )(n + ) Tästä seuraa, että (A + B)n + (B A) = kaikilla n. Saadaan { A +B = 0 A B =. Tämän systeemin ratkaisu on A =, B =, joten a n = n n +. Osasummalle s N saadaan siis N s N = (n )(n + ) = N n= n= = {( ) ( ) ( ) + (N ) + (N ) + ( ). = N + Täten lim N s N =, eli n= ( n ) n + (n )(n + ) = 4 ( )} N N +
5 4. [Ad4 9. / 0] Kuten edellisessä tehtävässä sarjalle 3+ n n=. 3 n+ Ratkaisu. Pätee sekä n= n= 3 3 = n+ n= n 3 = n+ n= 9 ( ) n+ = 3 ( ) n = 3 (sillä < ja < ). Saadaan 3 3 n= 3 + n 3 n+ = n= m=0 m=0 9 7 ( ) m = 3 9 ( ) m = n n+ 3 = n = 7 8 n= = 6 = 9. (Palautetaan mieleen, että jos a n = A ja b n = B, niin (αa n + n= βb n ) = αa + βb kaikilla α, β R.) 5. [Ad4 9.3 / 3]Tutki, suppeneeko sarja n=3 n= n ln n. ln ln n Ratkaisu. Funktio f(x) = x ln x on positiivinen, jatkuva ja (aidosti) vähenevä kun x 3 (huomaa, että ln ln x > ln ln e = ln = 0 ln ln x kun x > e, 7). Sarja hajaantuu siis :een jos integraali 3 x ln x ln ln x dx n= hajaantuu :een ja suppenee jos tämä integraali suppenee. Käyttämällä substituutiota u = ln x saadaan " du = dx/x", jolloin 3 x ln x ln ln x dx = ln 3 u ln u du. Uusi substituutio v = ln u, jolloin " dv = du/u", antaa näin ollen 3 x ln x ln ln x dx = 5 ln ln 3 v dv.
6 Viimeinen integraali hajaantuu (sillä [ = ln ln 3 L/ (ln ln 3)/ kun L. Integraalitesti. Jos a n = f(n), missä f on positiivinen, jatkuva ja vähenevä (kirjassa "nonincreasing") funktio jollain välillä [N, ) (missä N on positiivinen kokonaisluku), niin sarja infty a n ja integraali f(x) dx v/] L joko molemmat suppenevat tai molemmat hajaantuvat :een. 6. [Ad4 9.3 / 35] Osoita integraalitestin avulla, että sarja suppenee, ja että sen summa on pienempi kuin π/. Osoita +n n= integraalitestin avulla, että sarja kuin π/. Ratkaisu. Saadaan (Piirrä kuva!) n= n= + n < n= suppenee, ja että sen summa on pienempi +n 0 dx + x = [arctan x] 0 = π. N Demonstraatioharjoitus, pe [Ad4 9.4 / 5] Tutki suppeneeko sarja itseisesti tai ehdollisesti vai hajaantuuko se. n=0 ( ) n (n ) n + Ratkaisu. Lasketaan sarjan termien itseisarvojen raja-arvo (n ) n lim n ( )n n = lim n + n + n Toisaalta tiedämme, että suppenevalle sarjalle jolloin lim a n = 0. Tehtävän sarja n n=0 se hajaantuu. = lim n n + n = =. n=0 ( ) n (n ) n + a n pätee lim n a n = 0, ei siis suppene, eli 6
7 n=0 n + Huomautus. Sarja on alternoiva kun n, mutta termien itseisarvot eivät suppene monotonisesti 0:aan. Toisaalta sarja termit a n voidaan kirjoittaa a n = ( ) n + ( ) n n +. Sarja ( ) n suppenee äärelliseen summaan s, sillä se on al- ternoiva ja suppenee monotonisesti nollaan kun n. Sarjan n + ( ) n osasummat sitävasoin ovat vuorotellen ja -. Tästä seuraa, n=0 että alkuperäsen sarjan osasummat s n konvergoivat raja-arvoon s +, kun taas osasummat s n+ konvergoivat raja-arvoon s. Sarja ei siis hajaannu :een tai :een.. [Ad4. / 6] Hahmottele funktion f(x, y) = y x tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Toteamme ensin, että on kyse ei-negatiivisesta reaaliarvoisesta funktiosta, joka on määritelty kun y x 0, so. kun y x. Koska x 0 täytyy siis y > 0 ja y x. Toisaalta nämä kaksi epäyhtälöä takaa, että y x 0. Siispä D(f) = {(x, y) R 0 < y x }. Funktion tasa-arvokäyrien yhtälöt ovat muotoa f(x, y) = C, missä C on (reaaliarvoinen) vakio. Nähdään heti, että vakion C ollessa negatiivinen on {(x, y) R y x = C} = { }, eli käyrä on tyhjä joukko. Kun C 0 saadaan y x = C y = x + C, eli tasa-arvokäyrän f(x, y) = C yhtälö voidaan kirjoittaa y = x + C, missä x R jos C > 0, ja x R \ {0} jos C = 0. Alla on piirretty tasa-arvokärät C:n arvoilla 0.5, ja. 7
8 x x 3. [Ad4. / 3] Laske raja-arvo lim +y (x,y) (0,0) y Perustele. mikäli se on olemassa. Ratkaisu. Olkoon f(x, y) = x +y. On selvä, että D(f) = {(x, y) y R y 0}. Tarkastellaan funktion käyttäytymistä kun (x, y) (0, 0) pitkin käyrää y = x 3 (onhan lim x 3 = 0!). Pätee x 0 f(x, x 3 ) = x + x3 Kysytty raja-arvo ei siis ole olemassa. {, if x 0+, if x [Ad4. / 4] Tarkastellaan funktiota f(x, y) = x3 y 3 (x y). Määrittele funktion arvot viivalla x = y, s.e. funktiosta tulee jatkuva R x y :ssa. Ratkaisu. Ilmeisesti D(f) = {(x, y) R x y}. Koska sekä osoittajan että nimittäjän polynomilla on nollakohta kun x = y, voidaan suorittaa jakolasku (tee se!), ja tulos on polynomi, Tästä seuraa, että x 3 y 3 x y = x + xy + y (x y). x 3 y 3 lim (x,y) (a,b) x y = lim x + xy + y = a + ab + b. (x,y) (a,b) Jos siis määritellään f(x, x) = 3x, tulee f jatkuvaksi kaikkialla tasossa R, ja f(x, y) = x + xy + y kaikilla (x, y) R. 8
9 Muistathan jatkuvuuden määritelmän: Funktio on jatkuva pisteessä a jos f on määritelty a:n ympäristössä ja lim x a = f(a). Huomautus. On selvä, että raja-arvon määritelmän vaatimus, että jokainen pisteen (a, b) ympäristö sisältää D(f):n pisteitä, toteutuu. 5. [Ad4.3 / 4] Määrää funktion g(x, y, z) = xz (ensimmäisen kertaluvun) osittaisderivaatat, ja laske niiden arvot pisteessä (,, y+z ). Ratkaisu. Lasketaan esim. seuraavalla tavalla g (x, y, z) = { } xy = { } y x y + z x y + z x = y y + z, g (x, y, z) = { } xy = { } xy(y + z) y y + z y = xz ( )(y + y) y (y + z) = xz(y + z) = xz (y + z), g 3 (x, y, z) = { } xy y y + z = x(y + z) xz (y + z) = = (y + z) (xz) xz (y + z) z z (y + z) xy (y + z). (Osittaisderivaatathan lasketaan derivoimalla kyseisen muuttujan suhteen niin että muut muuttujat pidetään vakioina.) Saadaan siis g (,, ) = + g (,, ) = ( + ) = 4 g 3 (,, ) = ( + ) = [Ad4.3 / 34] Laske pisteen (,, 0) etäisyys pyörähdysparaboloidista, jonka yhtälö on z = x + y. 9
10 Kuva: Pyörähdysparaboloidi Ratkaisu. Olkoon P = (,, 0), ja olkoon Q = (X, Y, Z) lähin piste kyseisellä paraboloidilla (jolloin Z = X + Y ). Silloin jana P Q on kohtisuora paraboloidia vastaan pisteessä Q, eli P Q = (X )i + (Y )j+zk on saman- tai vastakkaissuuntainen paraboloidin normaalivektorin n kanssa pisteessä Q. Toisin sanoen P Q = tn. Paraboloidin normaalivektoriksi pisteessä (X, Y, Z) voimme ottaa n = z x i + z y j k (x,y,z)=(x,y,z) = Xi + Y j k. Siispä t(xi+y j k) = (X )i+(y )j+zk, eli komponenteittain X = tx Y = ty. Z = t Laskemalla ensimmäisen ja toisen yhtälön erotus, saamme X Y = t(x Y ), eli ( t)(x Y ) = 0. Tästä seuraa, että X = Y tai t =. Toinen vaihtoehto ei kuitenkaan ole mahdollinen, sillä silloin Z = t = < 0, ja toisaalta Z = X +Y 0. Siispä X = Y ja t = Z = X, jolloin X = (X + X )X = 4X 3, eli 4X 3 + X = 0. Kokeilemalla nähdään, että X = on yksi ratkaisu. Sitten suoritetaan jakolasku 4X3 +X. Tulos on 4X + X +. Tällä toisen asteen X 0
11 polynomilla ei ole reaalisia nollakohtia (totea), joten olemme löytäneet yksikäsitteisen ratkaisun X =, Y = X =, Z = X + Y =, eli etsitty piste on Q = (,, ). Täten P Q = i j+ k. Pisteen (,, 0) ja paraboloidin z = x + y välimatka on siis P Q = ( ) + ( ) + ( ) = 3. Demonstraatioharjoitus 3, pe..0. [Ad4.5 / 4] Olkoon sähkökentän voimakkuus E paikan (x, y, z) ja ajan t funktio, E = f(x, y, z, t). Etsi sähkökentän voimakkuuden muutosnopeus ajan suhteen kun mittalaite liikkuu avaruudessa pitkin (ympyrä)ruuvikierrettä x = sin t, y = cos t, z = t. (Funktio f oletetaan kaikkialla dierentioituvaksi.) Ratkaisu. Hetkellä t on mittalaite siis pisteessä (x(t), y(t), z(t)), missä x(t) = sin t y(t) = cos t, z = t jolloin se mittaa sähkökentän voimakkuudeksi g(t) = f(x(t), y(t), z(t), t) = f(sin t, cos t, t, t). Mittalaitteen mittaaman kentän voimakkuuden muutosnopeus on siis g (t) = dg. Tämä lasketaan ketjusäännön avulla. Selkeyden takia kirjoitetaan nyt f = f(x, y, z, s), missä s = s(t) = t. Ketjusääntö voidaan dt nyt kirjoittaa d f dx f(x(t), y(t), z(t), s(t)) = dt x dt + f dy y dt + f dz z dt + f ds s dt, mikä tarkoittaa g (t) = d dt f(x(t), y(t), z(t), s(t)) = f (x(t), y(t), z(t), s(t))x (t) + f (x(t), y(t), z(t), s(t))y (t) + f 3 (x(t), y(t), z(t), s(t))z (t) + f 4 (x(t), y(t), z(t), s(t))s (t).
12 Nyt x (t) = cos t, y (t) = sin t, z (t) = ja s (t) =, jolloin siis g (t) = f (sin t, cos t, t, t) cos t f (sin t, cos t, t, t) sin t + f 3 (sin t, cos t, t, t) + f 4 (sin t, cos t, t, t).. [Ad4.5 / 9] Lausu y x f(y, xy, x ) funktion f osittaisderivaattojen avulla, kun nämä oletetaan jatkuviksi. Ratkaisu. Sovelletaan ketjusääntöä. Merkitään f = f(u, v, w), u = u(x, y) = y, v = v(x, y) = xy, w = w(x, y) = x. Silloin x f(y, xy, x ) = f(u(x, y), v(x, y), w(x, y)) x = f u u x + f v v x + f w w x = f (y, xy, x ) x (y ) + f (y, xy, x ) x (xy) + f 3 (y, xy, x ) x ( x ) = yf (y, xy, x ) xf 3 (y, xy, x ). Derivoimalla viimeinen lauseke y:n suhteen saadaan y x f(y, xy, x ) = ( yf (y, xy, x ) xf 3 (y, xy, x ) ) y = f (y, xy, x ) + y y f (y, xy, x ) x y f 3(y, xy, x ). Derivaatat f y (y, xy, x ) ja f y 3(y, xy, x ) lasketaan ketjusäännön avulla y f i(y, xy, x ) = y f i(u(x, y), v(x, y), w(x, y)) = f i u u y + f i v v y + f i w w y = f i (y, xy, x ) y (y ) + f i (y, xy, x ) y (xy) + f i3 (y, xy, x ) y ( x ) = yf i (y, xy, x ) + xf i (y, xy, x ) (i =,, 3).
13 Sijoittamalla edelliseen yhtälöön saadaan y x f(y, xy, x ) = f (y, xy, x ) + y(yf (y, xy, x ) + xf (y, xy, x )) x(yf 3 (y, xy, x ) + xf 3 (y, xy, x )) = f (y, xy, x ) + y f (y, xy, x ) 4xyf 3 (y, xy, x ) + xyf (y, xy, x ) x f 3 (y, xy, x ), missä ollaan huomioitu, että f ij = f ji. (Olisi tietysti ollut yhtä korrektia säilyttää alkuperäiset f, f 3 ja f 3 lopullisessa vastauksessa.) 3. [Ad4.6 / 4] Etsi sopivaa linearisointia käyttäen likiarvo funktiolle f(x, y) = 4 x +xy+y pisteessä (.,.8). Linearisointi pisteessä (a, b) tarkoittaa, että etsitään pinnan z = f(x, y) tangenttitaso (a, b):ssä, ja korvataan f(x, y) tämän tangenttitason z- koordinaatilla. Siis f(x, y) L(x, y) := f(a, b) + f (a, b)(x a) + f (a, b)(y b). Nyt (x, y) = (.,.8), joten on luonnollista valita (a, b) = (, ), piste joka on lähellä (.,.8), ja jossa f(a, b), f (a, b) ja f (a, b) on helppo laskea. Lasketaan tarvittavat osittaisderivaatat. f (x, y) = 4(x + xy + y ) x (x + xy + y) = ja symmetriaa hyväksi käyttäen (f(x, y) = f(y, x)) f (x, y) = x f(y, x) = f 4(x + y) (y, x) = (x + xy + y ). Saadaan siis 4 f(, ) = + + = 4 = 4( + ) f (, ) = ( + + ) = = f (, ) = f (, ) =. 3 4(x + y) (x + xy + y )
14 4. [Ad4.6 / 4] Määrää muunnoksen f(r, θ) = (x, y) Jacobin matriisi, missä x = r cos θ ja y = r sin θ. (Vaikka (r, θ) voidaan katsoa napakoordinaateiksi, ne ovat myös karteesisia koordinaatteja omassa (r, θ)- tasossaan.) Ratkaisu. Voidaan kirjoittaaa f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Funktio f kuvaa siis pisteen napakoordinaatit pisteen karteesisille koordinaateille. Huomaa kuitenkin, että pari (r, θ) on myös tavallinen karteesinen koordinaattipari. Jacobin matriisin määritelmästä saadaan suoraan ( Df(r, θ) = (r cos θ) ) ( (r cos θ) r θ cos θ r sin θ = (r sin θ) (r sin θ) sin θ r cos θ r θ 5. [Ad4.7 / ] Laske funktion f(x, y) = x +y (0, 0) vektorin i j suuntaan. ). kasvunopeus pisteessä Ratkaisu. Pitää siis määrätä funktion f(x, y) = x suuntaderivaatta +y vektorin v = i j suuntaan. Vastaava yksikkövektori on u = v = v (i j). Suuntaderivaatta suuntaan u on D u f(x, y) = u f(x, y). Nyt joten ja f(x, y) = f x i + f y j = + y i + x ( + y) j f(0, 0) = i D u f(0, 0) = (i j) i = i i + j i = 6. [Ad4.7 / 7] Missä suunnissa funktion f(x, y) = xy kasvunopeus pisteessä (, 0) on. Onko olemassa suuntia jossa se on 3? Entä? Ratkaisu. Saadaan f(x, y) = f i + f j = y i + x j ja f(, 0) = j, x y joten sen derivaatta pisteessä (, 0) yksikkövektorin u = u i + u j sunnassa on D u f(, 0) = (u i + u j) j = u. 4
15 Siispä D u f(, 0) = jos ja vain jos u = /. Koska u on yksikkövektori, jolloin u = u + u, tämä on mahdollista silloin kun u = ( /) = ± 3/. Funktion f(x, y) = x suuntaderivaatta pisteessä (, 0) on siis - suunnissa ± 3 i j. +y On selvä, että u, joten D u f(, 0) = u. Suuntaderivaatta ei siis voi olla -3. Se on - kun u = / =, jolloin u = ± ( ) = 0. Vastaava suunta on siis j. Vaihtoehtoinen menetelmä loppuosalle. Meillä on D u f(, 0) = u j = u f(, 0) cos θ = cos θ missä θ on u:n ja f(, 0) = j:n välinen kulma. Siispä D u f(, 0). Suuntaderivaatta pisteessä (, 0) ei siis voi olla 3. Se on kun cos θ = / =, eli kun θ = π (+nπ). Tämä tapahtuu siis jos u ja f(, 0) = j välinen kulma on π, eli 80, siis kun u on vastakkaissuuntainen f(, 0):n kanssa. Demonstraatioharjoitus 4, pe 8..0 Tämä dokumentti on vielä kesken, mutta varsinkin kahden viimeisen tehtävän ratkaisuista voisi olla hyötyä viikon 7 kotitehtäviä laskettaessa.. [Ad4.8 / -] Laske a) dx dy kun xy3 +x 4 y = ja b) x y kun xy3 = y z. Millä muuttujien arvoilla kyseiset ratkaisut x = x(y) ja x = x(y, z) ovat olemassa? Ratkaisu. a) Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon F (x, y) = 0, missä F (x, y) = xy 3 + x 4 y. Tämän funktion osittaisderivaatat ovat jatkuvia, joten jos F (x 0, y 0 ) ja F (x 0, y 0 ) 0, niin x = x(y) ratkeaa yhtälöstä pisteen (x 0, y 0 ) ympäristössä, ja sen derivaatta on jatkuva. Se voidaan laskea derivoimalla F (x(y), y) = 0 (implisiittisesti). Saadaan F (x, y) dx + F dy (x, y) = 0, josta dx = F (x,y). Nyt F dy F (x,y) (x, y) = y 3 + 4x 3 y ja F (x, y) = 3xy + x 4, joten dx dy = 3xy + x 4 y 3 + 4x 3 y. 5
16 Ehto F (x 0, y 0 ) 0 voidaan kirjoittaa y x 3 0y 0 0, eli y 0 0 ja y0 4x 3 0. Jos siis yhtälö F (x 0, y 0 ) = 0 pätee ja edellä mainittu ehto toteutuu, niin x voidaan ratkaista y:n funktiona tämän pisteen ympäristössä, ratkaisu on jatkuvasti derivoituva, ja se vodaan laskea yllä annetulla kaavalla. (Ehdon F (x 0, y 0 ) 0 geometrinen tulkinta on, ettei F:n tasa-arvokäyrän normaali ole y-akselin suuntainen, siis ettei tasa-arvokäyrän tangentti ole x-akselin suuntainen.) Huomautus. Haluaisimme tietää, millä y:n arvoilla yhtälö F (x, y) = 0 on ratkaisu x. Jos y = 0 on selvä, että F (x, y) = 0, eli ratkaisua x ei ole. Olkoon siis y 0 0. Silloin F (x, y 0 ) = 0 jos ja vain jos g(x) := x 4 + xy0 y 0 = 0. On selvä, että g(x) kun x ±. Siispä g:llä on minimi jollain x jossa g (x ) = 0. Funktiolla g on siis nollakohta täsmälleen silloin kun tämä minimin on 0. Mutta g (x) = 4x 3 +y0 = 0 täsmälleen silloin kun x = x = ( y 0 ) /3. Minimi saavutetaan siis tällä x:n arvolla, ja minimi on g(x ) = 3 ( y 0 ) 8/3 y 0. Nähdään, että g(x ) 0, täsmälleen silloin kun y 0 > 0 tai 3 ( y 0 ) 8/3 y 0 0 ja y 0 < 0, eli toisin sanoen kun y 0 > 0 tai y 0. Jos tämä ehto on 3 voimassa löytyy siis 3/ x 0 jossa F (x 0, y 0 ) = 0. Yllä saatu lisäehto y x 3 0y 0 0 tarkoittaa siis, että x 0 x, jolloin g(x ) 0. Tästä lisävaatimuksesta seuraa, siis, että derivoituva ratkaisu x = x(y) yhtälölle F (x, y) = 0 on olemassa pisteen y = y 0 ympäristössä jos y > 0 tai y 0 <. 3 3/ b) Koska yhtälössä xy 3 = y z on kolme muuttujaa, päätellään, että, ainakin tietyissä tapauksissa, pitäisi olla mahdollista ratkaista yksi näistä funktiona kahdesta muusta muuttujasta. Tässä pyydetään laske-, eli tarkastellaan ratkaisua x = x(y, z). maan x y Vaihtoehto. Huomataan, että jos y 0 voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon x = z, jolla on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat kun y 0. Saadaan x = + 3z. y y 3 y y 3 y 4 Kun y = 0 löytyy ratkaisuja vain jos z = 0, jolloin kaikki x:t kelpaavat. Mutta pisteen (y, z) = (0, 0) ympäristöstä löytyy pisteitä (0, z) joissa z 0, ja joissa tarkasteltu yhtälö ei siis ratkea millään x. Ratkaisu x = x(y, z) on siis olemassa pisteen (y 0, z 0 ) ympäristössä täsmälleen silloin kun y 0 0, ja silloin sen osittaisderivaatat ovat jatkuvia. 6
17 Vaihtoehto. Sovelletaan nyt kirjan/luentojen teoriaa. Olkoon F (x, y, z) = xy 3 y + z. Yhtälö josta ratkaistaan x = x(y, z) on siis F (x, y, z) = 0. Jos siis F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 ja F (x 0, y 0, z 0 ) 0, niin pisteen (y 0, z 0 ) ympäristössä on funktio x = x(y, z) jolla F (x(y, z), y, z) = 0, x 0 = x(y 0, z 0 ). Tämän funktion osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Derivaatta x voidaan laskea derivoimalla yhtälö F (x(y, z), y, z) = 0 y implisiittisesti. Saadaan F (x, y, z) x + F y (x, y, z), eli Jos tähän sijoitetaan x = y x y = F (x, y, z) F (x, y, z) = 3xy. y 3 z y 3, nähdään, että tulos on sama kuin ensimmäisessä ratkaisuvaihtoehdossa. Ehto F (x, y, z) 0 tarkoittaa, että y 3 0 so. y 0, mikä on sekin sama kuin ensimmäisessä ratkaisussa. Geometrinen tulkinta tästä ehdosta on, että F:n tasa-arvopinnan normaalivektori ei ole yz-tasossa, eli tasa-arvopinnalla ei ole x-akselin suuntaista tangenttia. (Katso kirjaa jos et ymmärrä miksi meillä on tällainen ehto.). [Ad4.8 / 7] Osoita, että x, y ja z voidaan ratkaista u:n ja v:n funktioina yhtälöistä xy + zu + v = 3 x 3 z + y uv = xu + yv xyz = lähellä pistettä P 0, jossa (x, y, z, u, v) = (,,,, ). Laske ( ) y pisteessä (u, v) = (, u v ). Ratkaisu. Ensinnäkin todetaan, että muuttujia on viisi ja yhtälöitä kolme, joten 3 muuttujaa voidaan ratkaista 5 3 = funktiona, edellyttäen, että tietyt ehdot toteutuvat. Tässä valitaan u ja v riippumattomiksi muuttujiksi, ja osoitetaan, että löytyy x = x(u, v), y = y(u, v) ja z = z(u, v) se. yhtälöt toteutuvat pisteen (u, v) = (, ) ympäristössä. Määritellään F (x, y, z, u, v) := xy + zu + v 3 G(x, y, z, u, v) := x 3 z + y uv H(x, y, z, u, v) := xu + yv xyz 7,
18 jolloin yhtälösysteemi voidaan kirjoittaa F (x, y, z, u, v) = 0 G(x, y, z, u, v) = 0 H(x, y, z, u, v) = 0 Ensinnäkin on helppo todeta, että P 0 on yhtälösysteemin ratkaisu, so. F (P 0 ) = G(P 0 ) = H(P 0 ) = 0. Toiseksi F:n G:n ja H:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Lasketaan nyt F F F (F, G, H) (x, y, z) = x u z G G G x u z = y xy u 3x z x 3 u yz v xz xy. Siispä (F, G, H) (x, y, z) = P0 H x H u H z = ( )( ) = ( )( 3 ) = 4 0 Implisiittifunktiolauseen mukaan löytyy siis kolme funktiota x(u, v), y(u, v) ja z(u, v) joilla F (x(u, v), y(u, v), z(u, v), u, v) = 0 G(x(u, v), y(u, v), z(u, v), u, v) = 0 H(x(u, v), y(u, v), z(u, v), u, v) = 0 pisteen (u, u) = (, ) ympäristössä. Näiden funktioiden osittaisderivaatat u:n ja v:n suhteen ovat jatkuvia. Lasketaan vielä ( ) y pisteessä (u, v) = (, ). Käytetään kaavaa u v ( ) y u v = (F,G,H) (x,u,z) (F,G,H) (x,y,z) Nimittäjän olemme jo laskeneet. Osoittajalle saadaan F F F (F, G, H) (x, u, z) = x u z G G G x u z = H x H u 8 H z. y z u 3x z v x 3 u yz x xy,
19 josta (F, G, H) (x, u, z) = P0 3 0 = ( ) 3+ 3 = + 4 = 6. + ( )( )3+3 3 Siispä ( ) y u v (u,v)=(,) = [Ad4.8 / 9] Etsi dx/dy, kun F (x, y, z, w) = 0, G(x, y, z, w) = 0 ja H(x, y, z, w) = 0. Ratkaisu. Nyt on neljä muuttujaa, ja kolme yhtälöä, joten tietyllä y:n arvolla saadaan systeemi jossa on kolme yhtälöä ja kolme muuttujaa x, z, w, joten ainakin tietyillä ehdoilla voidaan ratkaista nämä kolme muuttujaa. Toisin sanoen saadaan nämä määrättyä y:n funktiona. Jos annetut kolme yhtälöä toteutuvat pisteessä (x 0, y 0, z 0, w 0 ), F:llä, G:llä ja H:lla on jatkuvat osittaisderivaatat tämän pisteen ympäristössä ja (F, G, H) (x, z, w) 0, niin löytyy x = x(y), z = z(y) ja w = w(y) se. että yhtälöt F = 0, G = 0 ja H = 0 toteutuvat kun (x, y, z, w) = (x(y), y, z(y), w(y)) pisteen y 0 ympäristössä. Funktiot x(y), z(y) ja w(y) ovat jatkuvasti derivoituvia tässä ympäristössä. Lisäksi dx voidaan laskea seuraavan dy kaavan avulla. dx dy = (F,G,H) (y,z,w) (F,G,H) (x,z,w), (Funktioiden z(y) ja w(y) derivaatat lasketaan analogisilla kaavoilla. Muista, että nimittäjän Jacobin determinantissa derivoidaan ratkaistavien muuttujien x, z ja w suhteen, kun taas osoittajassa derivoitava muuttuja x korvataan muuttujalla y jonka suhteen derivoidaan.) 9
20 4. [Ad4.9 / 5] Laske funktion f(x, y) = e x +y Taylorin kehitelmä pisteen (0, 0) ympäristössä. Ratkaisu. Tässä ei ole käytännöllistä käyttää kaavaa m f(x, y) = j!(m j)! Dj D m j f(0, 0)x j y m j, m=0 j=0 sillä derivaattojen yleisen lausekkeen löytäminen on vaivalloista. Esimerkiksi x (ex +y ) = xe x +y, +y (ex ) = e x +y + 4x e x +y, x... Seuraava menetelmä on yksinkertaisempi: Kirjoitetaan t = x + y, jolloin e x +y = e t = n! tn. Nyt t n = (x + y ) n = joten saadaan e x +y = e t = sillä n!( n k) = n=0 n! n k=0 n k=0 n! =. n! k!(n k)! k!(n k)! n=0 ( ) n (x ) k (y ) n k = k ( ) n x k y n k = k n k=0 n n=0 k=0 ( ) n x k y n k, k k!(n k)! xk y n k, 5. [Ad4.9 / ] Laske funktion f(x, y) = +x +x +y 4 Taylorin polynomi astetta pisteen (0, 0) ympäristössä. Ratkaisu. Funktion f Taylorin polynomi astetta n pisteen (0, 0) ympäristössä on n m P n (x, y) = j!(m j)! Dj D m j f(0, 0)x j y m j m=0 j=0 0
21 missä D = and D x =. Kun n = saadaan y P (x, y) = f(0, 0) + D f(0, 0)x + D (0, 0)y + D f(0, 0)x + D D f(0, 0)xy + D f(0, 0)y. Ensinnäkin f(0, 0) = =. Lasketaan derivaatat. ja f x = ( + x + y 4 ) x( + x) = x x + y 4 ( + x + y 4 ) ( + x + y 4 ) f y = 4( + x)y3 ( + x + y 4 ), joten D f(0, 0) = ja D f(0, 0) = 0. Lasketaan edelleen f x = ( ) x x + y 4 x ( + x + y 4 ) = ( x)( + x + y 4 ) x( + x + y 4 )( x x + y 4 ) ( + x + y 4 ) 4 = 4x + x y 4 4xy 4, ( + x + y 4 3 f x y = ( ) 4( + x)y 3 x ( + x + y 4 ) ja = ( 4y3 )( + x + y 4 ) x( + x + y 4 )( 4( + x)y 3 ) ( + x + y 4 ) 4 = 4y3 ( + x + x y 4 ) ( + x + y 4 ) 3 f y = y ( 4( + x)y 3 ( + x + y 4 ) ) = ( + x)y ( + x + y 4 ) 4y 3 ( + x + y 4 )( 4( + x)y 3 ) ( + x + y 4 ) 4 = 4( + x)y ( 3 3x + 4y 4 ) ( + x + y 4 ) 3,
22 josta D f(0, 0) =, D D f(0, 0) = D f(0, 0) = 0. Siispä P (x, y) = + x x. Vaihtoehtoinen menetelmä. Voidaan laskea f(x, y) = ( + x) ( (x + y 4 )) = ( + x) ( (x + y 4 )) n. Tässä ( (x + y 4 )) n = ( ) n n (x ) k (y 4 ) n k = ( ) n n x k y 4n 4k, joten saadaan f(x, y) = k=0 ( ) n ( + x) n=0 n=0 n x k y 4n 4k. Kun tästä kerätään termit astetta, saadaan taas P (x, y) = +x x. 6. [Ad4.9 / 4] Osoita, että yhtälöllä + xy = + x + ln( + y) on ratkaisu muotoa y = f(x) pisteen x = 0 ympäristössä, missä f(0) = 0. Määrää funktion f Maclaurinin sarjan ensimmäiset kolme nollasta poikkeavaa termiä. Ratkaisu. Määritellään k=0 F (x, y) := + xy x ln( + y). Annettu yhtälö voidaan siis kirjoittaa F (x, y) = 0. Nähdään heti, että F (0, 0) = 0. Todetaan myös, että F:llä on jatkuvat osittaisderivaatat kun y > ja xy >, eli erityisesti jossain pisteen (0, 0) ympäristössä. Lisäksi huomataan, että F (x, y) = x ja F +xy +y (0, 0) = 0. Siten y = f(x) voidaan ratkaista ehdosta F (x, y) = 0 pisteen (0, 0) ympäristössä, se. f(0) = 0 ja f on jatkuvasti derivoituva. Saadaan f (x) = F (x, f(x))/f (x, f(x)). Koska F:n osittaisderivaatat ovat olemassa pisteen (0, 0) ympäristössä nähdään helposti, että f voidaan derivoida, ja f voidaan kirjoittaa F:n osittaisderivaattojen avulla. Jatkamalla näin, nähdään, että k=0
23 f:llä on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteen x = 0 ympäristössä. Voidaan siis muodostaa tämän funktion Maclaurinin sarja (so. Taylorin kehitelmä pisteessä x = 0), ja sarjan summa on itse funktio pisteen x = 0 ympäristössä. Koska f(0) = 0, on siis olemassa vakioita a, a,..., siten että y = f(x) = a x + a x + a 3 x kaikille x jossain pisteen x = 0 ympäristössä. Sijoitetaan tämä sarja y:n paikalle yhtälöön + xy = + x + ln( + y) ja käytetään hyväksi seuraavia standardikehitelmiä + t = + t 4 t t3... ln( + t) = t t + t3 3 t jotka pätevät tarpeeksi pienillä argumenteilla t. Saadaan siis + xy = + xy 8 (xy) +... = + x (a + a x + a 3 x +...) 8 x4 (a + a x + a 3 x +...) +... = + a x + a x3 + ( a 3 a 8 )x
24 sekä + x + ln( + y) = + x + a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x x (a + a x + a 3 x +...) + 3 x3 (a + a x +...) 3 4 x4 (a + a x +...) = + (a + )x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 x (a + a a x + (a + a a 3 )x +...) + 3 x3 (a 3 + 3a a x +...) 4 x4 (a ) +... = + (a + )x + (a a )x + (a 3 a a + a3 3 )x3 + (a 4 a + a a a4 4 )x Näissä Maclaurinin kehitelmissä on otetu mukaan termit astetta 4. Koska kehitelmät yhtyvät pisteen x = 0 ympäristössä, ovat x k :n kertoimet samat molemmissa kehitelmissä k =,,.... Saadaan seraava yhtälöryhmä 0 = a + a = a a Saadaan jonka ratkaisu on a = a 3 a a + a3 3 a 3 a 8 = a 4 a + a a a4 4 a = a = a + a a 3 = a a a a3 3 a 4 = a 3 a 8 + a a a + a4 4 a = a = 0 a 3 =. 3 a 4 = 7 4 Funktion f Maclaurinin kehitelmän ensimmäiset kolme nollasta poikkeavaa termiä ovat siten P 4 (x, y) = x + x3 + 7x ,
25 0.6 y x Kuva: Implisiittisesti määritelty funktio y = y(x) Demonstraatioharjoitus 5, pe 5.. [Ad4 3. / 5] Etsi ja luokittele funktion f(x, y) = x y + 8 x y kriittiset pisteet. Ratkaisu. Ensinnäkin on selvä, että funktio on määritelty kun x 0 ja y 0, eli D(f) = {(x, y) R x 0 ja y 0}. Kun x 0 ja y 0, saadaan f (x, y) = y 8 y ja f (x, y) = x y, joten kriittiset pisteet ratkaistaan yhtälösysteemistä { y 8 x = 0 x y = 0. Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan y = x /8, ja sijoitus toiseen antaa 64/x 3 =, eli x = 64 /3 = 4 ja y =. On siis olemassa yksi kriittinen piste (x, y) = ( 4, ). Lasketaan toisen kertaluvun derivaatat pisteessä ( 4, ). Nyt f (x, y) = 6/x 3, f (x, y) = /y ja f (x, y) = x/y 3, joten A = f ( 4, ) = 4 B = f ( 4, ) = 4 C = f ( 4, ) = 5
26 Siispä A < 0 ja B = /6 < /4 = AC, joten piste ( 4, ) on lokaali maksimipiste. Piste ei kuitenkaan ole globaali maksimipiste, sillä f(x, ) = x + 8 kun x 0+ (ja f(x, ) kun x x 0, joten globaalia minimiä ei myöskään ole.. [Ad4 3. / 8] Etsi funktion f(x, y) = x/( + x + y ) maksimi- ja minimiarvot. Kuva: Pinta z = f(x, y) = x/( + x + y ) Ratkaisu. Ensin todetaan, että funktiolla ei ole singulaarisia pisteitä, sillä sen osittaisderivaatat ovat kaikkialla jatkuvia, jolloin se on kaikkialla dierentioituva. Nähdään, että kun x + y, niin f(x, y) 0, sillä x f(x, y) = + x + y x + y = x + y x + y 0 kun x +y, Toisaalta esimerkiksi f(±, 0) = ±/. On siis olemassa R > 0 siten että 4 f(x, y) 4 kun x + y R. Funktiolla on siis maksimija minimipiste. Nämä maksimit ja minimit ovat myös lokaaleja ääriarvopisteitä ja täten kriittisä pisteitä, sillä singulaarisia pisteitä ei ole. Tästä seuraa, että saa suurimman ja pienimmän arvonsa kriittisissä pisteissä. Määrätään siis funktion kriittiset pisteet. Pätee f (x, y) = ( + x + y ) x x ( + x + y ) = x + y ( + x + y ) 6
27 ja f (x, y) = xy ( + x + y ). Kriittiset pisteet saadaan asettamalla f (x, y) = f (x, y) = 0, josta yhtälöt { y x + = 0 xy = 0 Toinen yhtälö toteutuu jos x = 0 tai y = 0. Vaihtoehto x = 0 hylätään, sillä jos se sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön saadaan y =, millä ei ole reaalisia ratkaisuja y. Siispä y = 0, ja sijoittamalla ensimmäiseen yhtälöön saadaan x = ±. Kriittiset pisteet ovat siis (, 0) ja (, 0). Funktion arvot näissä ovat f(, 0) = ja f(, 0) =. Funktion suurin arvo on siis f(, 0) = ja funktion pienin arvo f(, 0) =. Mielenkiinnon vuoksi voisi vielä tarkistaa, mitä toisen kertaluvun deriivaatat kertovat yllä saatujen kriittisten pisteiden laadusta. Saadaan ensinnäkin f (x, y) = x( + x + y ) 4x( + x + y )( + y x ) ( + x + y ) 4 = x3 6xy 6x ( + x + y ) 3 f (x, y) = y( + x + y ) 4x( + x + y )( xy) ( + x + y ) 4 = y3 + 6x y y ( + x + y ) 3 f (x, y) = x( + x + y ) 4y( + x + y )( + y x ) ( + x + y ) 4 = x3 4y 3 + 4x y xy x 4y ( + x + y ) 3, 7
28 josta pisteen (, 0) tapauksessa A = f (, 0) = 4 8 = B = f (, 0) = 0 C = f (, 0) = 4 8 =. Koska A < 0 ja B = 0 < = AC, päätellään, että piste (, 0) on 4 lokaali maksimipiste, kuten pitääkin. Pisteen (, 0) tapauksessa lasketaan A = f (, 0) = 4 8 = B = f (, 0) = 0 C = f (, 0) = 4 8 = jolloin A > 0 ja B = 0 < = AC. Tästä päätellään, että piste (, 0) 4 on lokaali minimipiste, joka on odotettu tulos. 3. [Ad4 3. / 4] Etsi funktion f(x, y) = x + y maksimi- ja minimiarvot kiekolla x + y. Ratkaisu. Funktio f(x, y) = x + y jatkuva, ja alue x + y on suljettu ja rajoitettu, joten funktiolla on tässä alueessa maksimi ja minimi. Funktiolla ei ole singulaarisia pisteitän alueessa x + y < (eikä muuallakaan), joten ääriarvot se saavuttaa kriittisessä pisteissä tai reunalla x + y =. Huomataan kuitenkin heti, ettei kriittisiä pisteitä ole, sillä f 0 ja f 0. Funktio saavuttaa siis suurimman ja pienimmän arvonsa alueessa x + y sen reunalla x + y = (=yksikköympyrä). Parametrisoidaan tämä ympyrä: { x(t) = cos t (0 t π). y(t) = sin t Saadaan g(t) = f(cos t, sin t) = cos t + sin t. Tämä on jatkuva t:n funktio, joten sillä on maksimi ja minimi. Koska sillä ei ole singulaarisia pisteitä, ja koska se on jaksollinen se saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä. Saadaan g (t) = sin t + cos t, joten g (t) = 0 tan t =. 8
29 Kriittisissä pisteissä pätee siis y =, ja kun x x + y = saadaan 5x =, eli x = ±/ 5, ja tästä y = ±/ 5 (sama etumerkki kuin x:llä). Tästä seuraa, että f( 5, 5 ) = 5 on funktion f(x, y) = x + y maksimi ja f( 5, 5 ) = 5 funktion minimi kiekolla x + y. 4. [Ad4 3. / 0] Etsi funktion f(x, y) = x y +x +y suurin ja pienin arvo ylemmässä puolitasossa y 0. Ratkaisu. Koska Kuva: Pinta z = f(x, y) = x y +x +y x y + x + y x x + y + y x + y 0, kun x + y pätee siis f(x, y) 0 kun x + y. Koska esimerkiksi f(, 0) = ja f(, 0) = on funktiolla minimi ja maksimi alueessa y 0. nämä se saavuttaa joko alueen sisäpisteessä, jolloin kyseinen piste on kriittinen piste (singulaarisia pisteitä ei ole!), tai reunalla y = 0. Lasketaan ensin kriittiset pisteet. Saadaan ja f (x, y) = ( + x + y ) x(x y) = x + y + xy + ( + x + y ) ( + x + y ) f (x, y) = ( + x + y ) y(x y) ( + x + y ) = x + y xy ( + x + y ), 9
30 joten kriittiset pisteet ovat yhtälöryhmän { x + y + xy + = 0 x + y xy = 0 ratkaisut. Lasketaan näiden yhtälöiden summa ja erotus { x + y = 0 4xy + = 0 Ensimmäisestä näistä saadaan y = ±x. Vaihtoehto y = x on hylättävä, sillä jos se sijoitetaan toiseen, saadaan x =, mikä ei ole mahdollista. Siispä y = x, mikä yhtälön 4xy = kanssa antaa x = ±/ = y. Saadaan f(, ) = =. Piste (, ) ei sen sijaan kuulu alueeseen y 0. Tarkastellaan nyt funktion arvoja alueen reunalla y = 0. Tutkitaan siis funktiota g(x) = f(x, 0) = x/( + x ). Tämä saavuttaa ääriarvonsa kriittisissä pisteissä (sillä g(x) 0 kun x ±. Saadaan g (x) = f (x, 0) = ( x )/( + x ), joten g (x) = 0 x = ±. Näissä pisteissä pätee g() = f(, 0) = ja g( ) = f(, 0) =. Funktion { suurimmat ja pienimmät arvot alueessa y 0 ovat siis joukossa f(, 0) =, f(, 0) =, f(, ) = }. Suurin arvo on siis f(, 0) = ja pienin f(, ) =. 5. [Ad4 3.3 / ] Etsi pisteen (3, 0) lyhin etäisyys parabeliin y = x a) palauttamalla ongelma sitomattomaksi yhden muuttujan ääriarvoongelmaksi, b) käyttämällä Lagrangen kertoimia. 30
31 x Kuva: Parabeli y = x ja piste (3,0) Ratkaisu. Pitää siis minimoida pisteen (x, y) etäisyys pisteeseen (3, 0), kun y = x. Tuo etäisyys on d(x, y) = (x 3) + y. Se saavuttaa miniminsä samassa pisteessä kuin f(x, y) = d(x, y) = (x 3) + y. Ongelma voidaan siis muotoilla Minimoi f(x, y) = (x 3) + y kun y = x. Ongelmalla on ratkaisu, sillä 0 f(x, y) = x + y 6x + 9 kun x tai y, f on jatkuva joten sillä on minimi rajoitetulla ja suljetulla osalla parabelia y = x. a) Sijoitetaan y = x (x R) funktioon f(x, y) = x +y 6x+9, jolloin saadaan h(x) = f(x, x ) = x 4 + x 6x + 9. Tämä minimoidaan nyt yli R:n. Koska h:lla on minimipiste ja sillä ei ole singulaarisia pisteitä, on minimipiste kriittinen piste, eli ratkaistaan yhtälö 0 = h (x) = 4x 3 + x 6. Nähdään heti, että x = on yksi ratkaisu. Suoritamme jakolaskun 4x 3 +x 6 = 4x + 4x + 6, ja tällä ei ole reaalisia nollakohtia. Minimipisteen täytyy siis olla x =, ja f(, ) = h() = 5 on siis etsityn x etäisyyden neliö. Pisteen (3, 0) etäisyys parabeliin y = x on siis 5 ja lähin piste on (, ). b) Olkoon g(x, y) = x y, jolloin ehto y = x voidaan kirjoittaa g(x, y) = 0. Ongelma on siis muotoa 3
32 Minimoi f(x, y) kun g(x, y) = 0. Muodostetaan Lagrangen funktio L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = (x 3) + y + λ(x y). Koska f ja g ovat kaikkialla dierentioituvia ja g(x, y) = xi j 0, ongelman ratkaisu (joka on yllä todettu olevan olemassa) saavutetaan L:n kriittisessä pisteessä. Ratkaistaan siis yhtälösysteemi L (x, y, λ) = ( + λ)x 6 = 0 L (x, y, λ) = y λ = 0 L 3 (x, y, λ) = x y = 0 Saadaan kahdesta viimeisestä yhtälöstä λ = y = x, ja sijoittamalla ensimmäiseen ( + x )x 3 = 0 eli x 3 + x 3 = 0. Tämän olemme jo ratkaisseet. Sen ainut reaalinen ratkaisu on x =, jolloin y = 0 ja f(, ) = 5, siis d(, ) = 5 on kysytty etäisyys. 6. [Ad4 3.3 / ] Etsi funktion f(x, y, z) = x + y + z suurin ja pienin arvo ellipsillä, joka syntyy kartion z = x +y leikatessa tasoa x z = 3.. Kuva: Kartion ja tason leikkauskäyrä 3
33 Ratkaisu. Funktio f(x, y, z) = x + y + z on origon etäisyyden neliö pisteeseen (x, y, z). Ongelmalla on ratkaisu, sillä ellipsi on suljettu ja rajoitettu joukko ja funktio f on jatkuva. Vaihtoehto. Käytetään Lagrangen kertoimia. Olkoon g(x, y, z) = x + y z ja h(x, y, z) = x z 3, jolloin ongelma voidaan muotolla seuraavasti Minimoi ja maksimoi f(x, y, z) kun g(x, y, z) = 0 ja h(x, y, z) = 0. Funktiot f, g ja h ovat kaikkialla dierentioituvia, ja g(x, y, z) h(x, y, z) = (xi+yj zk) (i k) = 4y i+(4x+z) j y k, joka on nolla vain jos x = y = z = 0, mikä ei ole mahdollista pinnalla x z 3 = 0 eikä näin ollen ellipsillä joka muodostuu tämän tason ja kartion z = x + y leikkauksena. Muodostetaan Lagrangen funktio L(x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z) = ( + λ)x + ( + λ)y + ( λ)z + µx µ 3µz. Yllä sanotusta päätellään, että ääriarvot saavutetaan Lagrangen funktion kriittisissä pisteessä. Ratkaistaan nämä. L = ( + λ)x + µ = 0 L = ( + λ)y = 0 L 3 = ( λ)z µ = 0 L 4 = x + y z = 0 L 5 = x z 3 = 0 Toisesta yhtälöstä saadaan λ = tai y = 0. Vaihtoehto λ = on hylättävä, koska muuten ensimmäisestä yhtälöstä saataisiin µ = 0 ja kolmannesta siten z = 0, viidennestä x = 3 jollon kolmas yhtälö ei ole tosi. Siispä y = 0. Silloin neljännestä yhtälöstä saadaan z = ±x, jolloin viides yhtälö antaa x = 3 = z tai x = = z. Vastaavat λ- ja µ-arvot ovat λ = 3, µ = sekä λ =, µ = 4. On siis olemassa 3 3 kaksi kriittistä pistettä ( 3, 0, 3) ja (, 0, ) (nyt ei välitetä λ:sta ja µ:stä), jolloin toisen täytyy olla maksimipiste ja toisen minimipiste. Koska f( 3, 0, 3) = 8 ja f(, 0, ) =, on kysytty maksimi siis 8 ja minimi. (Ellipsin etäisin piste origosta on siis ( 3, 0, 3) ja etäisyys 3, kun taas lähin piste on (, 0, ), jonka etäisyys origosta on. 33
34 Vaihtoehto. Voidaan eliminoida x:n ja y:n funktiosta f ehdon z = x + y avulla. Saadaan funktio F (z) = z, jonka ääriarvot on etsittävä kun z = x +y ja x z 3 = 0. Toisen ehdon avulla eliminoidaan ensimmäisestä x ja saadaan y = 3z z 9. Ainut rajoitus z:lle on siis 3z z 9 0, eli z + 4z Tämä tapahtuu täsmälleen kun 3 z, jolloin F (z) 8. 34
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLaskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi C2
Mat-1.110 Matematiikan peruskurssi C Petri Latvala 18. helmikuuta 007 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktiot ja niiden differentiaalilasku 1.1 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus ja derivoituvuus... 1.
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Lisätiedot