πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

Transkriptio

1 Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n 4 nπsin4 n π luvuille n N. Valitaan lisäksi m, 4 k missä k N ja m Z. Tarkastellaan seuraavaksi sinifunktion argumenttia. Lukuteorian mukaisesti saaaan 4 4 mo 6 ja 4 i 4 mo 6 4 i+ 4 i mo 6, joten inuktiolla saaaan 4 k 4 mo 6 kaikilla k. Voiaan siis valita luvut l k Z, joille 4 k 6l k +4 kaikilla n. Tällöin saaaan 4 n k πm 6l n k +4πm 2πml n k + 4πm Eellisen avulla saaaan arvoille n > k n n a n πsin4 n n k πm π πsin n 4 πsin 6l n k +4πm n 4 πsin 4πm n k 4 a k+ Toisaalta 4πm, m mo sin 2, m mo, 2, m 2 mo joten arvolla m 4 saaaan termille a k n, missä n k +, selkeä arvo:, m mo, a n 4 nπ, 2 m mo, 4 nπ, 2 m 2 mo. Täten n a n suppenee, kun m mo, ja hajaantuu, kun m mo. Siis jokaisella välillä [, +4 k sarjalla n a n on pisteitä joilla se hajaantuu kuten myös pisteitä, joissa se suppenee. Koska n 4 k, kyseisellä erivaattasarjalla ei ole reaaliakselilla väliä, jolla se suppenisi.

2 .2 Sarjan n! n n summa arvoilla ±e n n Binomikaavalla saaaan positiiviselle kokonaisluvulle n arvio + n n n k + n j n k + n n j k j k j n k < + j n + j n+ n+! n+ k j j n+ k + n+ j + n+ n+ n+ k j Täten kaikille n on voimassa epäyhtälö + n n < + n+ n+ n!±e n n n ja eelleen, arvoilla ±e, kahen peräkkäisen sarjan n itseisarvojen erotukselle saaaan arvio termin n!±e n n n n+!±e n+ n+ n+ n!en n+ n n n+ n+[n+n en n ] n!e n [ n n+ e] n+ n <. n Täten n+!±e n+ n+ n+ > n!±e n n n >!±e e, kaikilla n, joten sarja n n!n n hajaantuu arvoilla ±e. n. Funktioista + ja Eellisessäolisivoitumyösyleisemmintarkastellafunktion + erivaattaa arvoilla >. Yhtälön + e ln+ avulla saaaan + + [ ln + + ]. Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n + 2

3 voiaan päätellä erotuksen ln + + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön sijoitettuna saaaan + + [ ln + ] >. 2 +, josta eel- ln+ L Hospitalin säännöllä saaaan leen voiaan toeta + +/ ep + + ln+ e eli funktio + on aiosti kasvava ja + > kaikilla >. Tarkastellaan lisäksi funktion erivaattaa arvoilla >. Yhtälön e ln avulla saaaan [ ln + ]. 4 Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n voiaan päätellä erotuksen ln + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön 4 sijoitettuna saaaan [ ln + ] >. 5 Pienellä raja-arvotarkastelulla saaaan + 6 eli funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. 2 Vaihtoehtona potenssisarjat Eellisetfunktioien + ja käyttäytymisentarkastelutolisivoitu myös vaihtoehtoisesti suorittaa potenssisarjoilla.

4 y + y e y y y + y e Kuva : Funktioien kuvaajia arvoilla c. 2. Potenssisarjojen käyttö Palataan eeltävän yhtälön positiivisuuteen. Eholla yhtälön positiivisuus olisi saatu myös melko mukavasti potenssisarjojen avulla. Kutenmonisteessa[]onosoitettuvoiaangeometrinensarja +t tk integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä eli arvoille u < saaaan ln+u u t +t u t k uk+ k + josta eelleen sijoittamalla u / saaaan arvolla > arvio ln + k+ k k k 2 k k+ k k, k+ u k, k missä minorantti on saatu alternoivasta sarjasta Liebnitz in lauseesta, kun ensimmäinen pois jäävä termi on positiivinen. Tätä arviota käyttäen saaaan yhtälöstä + k + [ ln + ] + + [ 2 2 ] >, kun >. Tarkastelemalla yhtälöä tapauksessa, voiaan siis toeta, että funktio + on aiosti kasvava ja + 2 kaikilla. 4

5 2.2 Tarkasteluvälin laajennus Eellistä potenssisarjan avulla saatua rajoitusta voiaan parantaa käsittelemällä vastaavia Taylorin sarjoja pisteien a > suhteen. Olkoon > ja a ei-negatiivinen reaaliluku. Koska k t k +t k +t k saaaan pisteen t a suhteen funktiolle +t Taylorin sarjakehitelmä +t +a + k +a k+t ak. k Osamäärätarkastimella saaaan suppenemis välille ehto t a/ + a < eli t,2a+. Suppenemissäe on siis a+. Kuten eellä integroiminen termeittäin on mahollista sarjan suppenemisvälin,2a + suljetun välin yli, joten arvolle,2a + saaaan yhtälöketju a t +t a k t +a + k a k +a k+t ak k k ++a k+ ak+ k+ k+a k ak josta, Liebnitz in lauseen avulla arvolla 2a + havaitun suppenemisen perusteella, voiaan muoostaa yhtälö ln+ ln+a+ k kun,2a+], ja eelleen arvolla 2a+ ln + ln+a+ k k+ k+a k ak, k+ k+a k saaaan yhtälö k a. Sarjaan voiaan soveltaa Liebnitz in lausetta, kun [ tai [,, jos a. Tällöin saaaan minorantti ln + ln+a+ 2 k 4a a 2, 2a+, a k+ k k+a k a ], jos a >, josta eelleen saaaan alaraja yhtälössä esiintyvälle kertoimelle ln + + 2a2 2 +4a a

6 Huomaa, että minorantin tarkastelussa on huomioitu negatiivisista termeistä koostuva summa k+ k+a k ak ln a ln+a, +a k josta eelleen saaaan kaikille n voimassaoleva epäyhtälö ln+a+ n k k+ k+a k ak >. Epäyhtälön 7 oikean puolen positiivisuuen tarkasteluun riittää tutkia epäyhtälöä 2a a + >, joka on voimassa täsmälleen silloin kun { 4a+ 8a2 +8a+ 4a, 4a++ 8a 2 +8a+ 2 4a, kun a >, 2,, kun a. Pitää kuitenkin muistaa, että epäyhtälö 7 on voimassa vain välillä [ 2a+, a ], kun a >, ja välillä [,, kun a. Tapauksessa a epäyhtälön 7 oikea puoli on selvästikin positiivinen välillä,. Jos a >, saaaan ylärajan tarkastelusta epäyhtälö Lisäksi alarajan tarkasteluun saaaan a > 6a 4 +6a > 4a++ 8a 2 +8a+ 4a 2 > a. 2a 4 +64a +44a 2 +2a+ > 6a 4 +48a +44a 2 +2a+ 2a+ 2 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ 2 a> 2a+ 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ [ 4a 2 > 2a+ 4a+ ] 8a 2 +8a+ a> 2a+ > 4a+ 8a2 +8a+ 4a 2. Eeltävästä voiaan nyt päätellä, että kaikilla a epäyhtälö ln + + > 8 on voimassa arvoilla [ 2a+, a ], kun a >, ja,, kun a. Käytettäessä esimerkiksi joukon {2 k k N} arvoja parametrin a arvona saaaan osoitettua epäyhtälön8 olevan voimassa kaikilla, ]. Lisättäessä tämä tapauksen a aiemminkin tarkasteltuun tulokseen saaaan yhtälöstä tulokseksi yhtälö 2 kaikille >, eli funktio + on aiosti kasvava kaikilla >. Eellisessä olisi joukoksi voitu myös valita {2 k k Z}, jolloin tapauksen a tutkiminen ei olisi ollut tarpeen. 6

7 2. Negatiivisen version erilaisuus Geometrinen sarja t tk voiaan integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä jolloin arvoille u < saaaan ln u u t t u t k josta sijoittamalla u / saaaan arvolla > yhtälö ln k, joten yhtä- Toisaalta geometrisestä sarjalla saaaan löstä 4 saaaan k k k. u k+ k + [ ln [ k [ k k k k k k ] k k u k k, + ] ] k k >, kun >. Voiaan siis toeta, että funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. Luvun e muut potenssit Lukujonojen raja-arvot n + e ja n e herättävät tietenkin yleisemmässä mielessä kiinnostuksen funktioon e t ja sitä kautta yleiseen funktioon + c arvoilla c R, jolle + c e n c. 9. Yleistystä Olkoon > ja c >. Tarkastellaan funktioita + c ja c. Yhtälöitä ja 4 vastaavat tuolloin yhtälöt + c + c [ ln + c c ] +c ja c c [ ln c + c ]. c 7

8 + c ja + c etumerk- Erityisestihuomattakoonerivaattojen keihin vaikuttavista lausekkeista, että [ ln + c c ] [ ln +c + /c ] /c+ ja [ ln c + c ] [ ln ] +. c /c /c Koska kuvaus /c kuvaa joukon R + itselleen ja välin c, väliksi,, voiaan yhtälöien2 ja5 perusteella eeltävä tulos aiosta kasvamisesta laajentaa tapauksesta c yleisemmin arvoille c niillä positiivisen reaalialueen väleillä, joilla funktio + c on määritelty. Vastaavasti funktio + c on aiosti vähenevä niillä positiivisen reaalialueen osilla, joilla se on määritelty. Eelleen, arvoilla c, voiaan yhtälöien + c [ c ] ja + c [ c ] perusteella funktioien + c ja + c toeta kasvavanaiosti kaikkialla reaalisella määrittelyalueellaan. Lisäksi näien peilaus kaavojen avulla saaaan aiemmista raja-arvosta9 ja raja-arvojen ja 6 perusteluista arvolle c > seuraavat raja-arvot: + c + +c 2 c c + c [ + c ] 4 + c + c c + [ c ] 5 + c c + c + c n e c e c e c e c n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n n + n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n e c e c e c e c Taulukko : Raja-arvoja 8

9 y + y y e y y + y e y Kuva 2: Funktioien kuvaajia arvoilla c lin-log-koorinaatistossa ja arvoille c R raja-arvo + c [ c ] e n n c. 6.2 Asymptoottisesta käyttäytymisestä Tarkastellaan funktioien + c ja + c käyttäytymistä. Näien funktioien käyttäytyminen riippuu luvun c merkistä, joten positiiviset ja negatiiviset arvot pitää eritellä. Tästä syystä taulukossa oletetaan c > ja näin ollen muoostuu neljä eri tapausta. Eellisten tarkastelujen pohjalta näillä funktiolla on poikkeavia kohtia arvoilla {, c,,c, }, joille yhtälöien 2-6 ja 9 perusteella saaaan muoostettua taulukko näien raja-arvoista. Lisäksi kuvissa ja 2 on kuvattu funktioien + ja + yleistä käyttäytymistä jaoteltuna jatkuviin paloihin. Jälkimmäisessä kuvassa on y-akseli kuvattu logaritmisella asteikolla ja -akseli leikkaa y-akselin kohassa y. Luvun c etumerkki vaikuttaa kuvaajien muoostumiseen, joten kummallekin funktiolle tulee kaksi yhtenäistä kuvaajan osaa. Huomautettakoon vielä, että arvolla funktiot eivät ole määriteltyjä vaikka kaikilla raja-arvo on. 4 Luvun e irrationaalisuus Eellä on käytetty potenssisarjoja funktioien + ja + tarkasteluun. Seuraavassa tutkitaan itse Neperin lukua e. Lause 4.. Neperin luku e on irrationaalinen. 9

10 Toistus. Toistetaan lause vastaoletuksen avulla. Jos Neperin luku e > on irrationaalinen, on myös sen käänteisluku sitä, joten voimme olettaa joillekin a,b Z +. Monisteen [] perusteella e a b, 7 e k, kaikilla R, joten sijoittamalla saaaan yhtälö e a b k. 8 Leibnitzin lauseen perusteella a b b k b+!. ja eelleen ab! b! b [ k ] b jk+ j b! c b! b+!, jollakinc N. Tämänainoamahollinenratkaisuonc,jostaeelleenseuraa yhtälöstä 8 yhtälö k. kb+ Toisaalta, Leibnitzin lauseen perusteella saaaan myös b+! k k+ b+! b+2!, kb+ joka on mahotonta. Täten, Neperin luku e on irrationaalinen. 5 Harjoituksia 5. Tehtävä Olkoon f e 2 ja g +sin. Tehtävänä on laskea kolme ensimmäistä termiä annetun funktion h f/g Maclaurinin sarjasta h h+ h k k c +c +c k

11 Ratkaisu määräämättömillä kertoimilla. Yhtälön 9 mukaisesti saaaan kaksi sarjaa: ja e 2 2 k sin + 2k+ 2k +! Toisaalta f hg, joten oletettavalla suppenemisvälillä saataisiin tulon avulla yhtälöryhmä c ; 2 c +c ; 2 c +c +c 2, josta ratkaistaessa saaaan c, c ja c 2 5 eli h h k k. 2 Ratkaisu erivoimalla. Olkoon f f ja g g. Määritellään myös funktio h f /g ja funktiot f k ja g k toteuttaen yhtälöt k f k+ f g fg ja g k+ [g k ] 2. Tällöin h k f k /g k. Suoraan laskemalla saaaan f e 2 2+2sin cos g +sin 2 f 2 e 2 [4+4sin 6cos+6cos+9sin] 6e 2 +sincos2+2sin cos e 2 [4+sin +sincos2+2sin 8cos] g 2 +sin 4, josta eelleen sijoittamalla saaaan h, h f /g ja h f 2 /g 2. Siis Maclaurinin sarjaksi saaaan sarja Tehtävä 2 Maclaurinin sarjat funktioille, ja / saaaan suoraan geometrisesta sarjasta kuten myös suppenemissäteet: k+, < R,

12 ja k, < R /, / k k+, < R. 5. Tehtävä Annetulle funktiolle A on eellisen emokerran tehtävän mukaan osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /, joten geometrisen sarjan avulla saaaan yhtälö josta saaaan 5.4 Tehtävä 4 A 2 k +2 k k A k k, A 5 5! Eellisen tehtävän varianttina saaaan funktiolle A osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /2, joten geometrisen sarjan mukaisesti k A 2 k+ k + k A k k, 2 josta saaaan A 5 6 5! 5.5 Tehtävä Tehtävässä halutaan tutkia milloin funktio f + k 2n n on esitettävissä eplisiittisesti ilman sarjakehitelmää, jolle saaaan suppeneminen eholla n 2 n n < <. 2

13 Yliharmonisen sarjan avulla saaaan lopulta suppenemiselle ehto. Termeittäin erivoimalla saaulla sarjalle saaaan suppeneminen eholla n n <, n+ joten erivointi termeittäin toimii välillä [,. Eellisen kerran emotehtävä antoi välivaiheena sarjan jota käyttämällä saaaan f ln k 2n n k ln 2. Siis, arvoilla [, ] integroimalla saaaan f f f n n, 2 n k n ln 2, joten lopulta saamme funktiolle f yhtälön arvoilla [,]. 5.6 Tehtävä 6 f ln 2. Olkoon λ R ja pitäisi etsiä ifferentiaaliyhtälölle ratkaisu y a k k kaksilla eri alkuehoilla: a y ja y ; b y ja y. y 2y +λy 2 Lasketaan termeittäin erivoimalla sarjoista ifferentiaaliyhtälön 2 mukaisesti y 2y +λy kk a k k 2 2ka k k + λa k k, jota muotoilemalla saaaan k2 k k k +k +2a k+2 k 2ka k k + λa k k 2a 2 +λa + [k +k +2a k+2 +λ 2ka k +λa k ] k k

14 ja eelleen a 2 λ 2 a, joka voiaan sulauttaa toisena saatavan rekursioyhtälön kanssa rekursioyhtälöksi a k+2 2k λ k +2k + a k, kaikilla k. 22 Ottamalla arvot a y ja a y alkuarvoiksi saaaan arvoille k eellisen rekursioyhtälön 22 avulla kertoimille a 2k ja a 2k+ yhtälöt ja a 2k k k i 4i λ a 2 2k! i a 2k+ 4i+2 λ a. 24 2k +! Esitetään seuraavaksi pieni lemma liittyen näihin etukertoimiin. Lemma 5.. Olkoon α N ja λ 2N. Tällöin ifferentiaaliyhtälöllä 2 on olemassa polynomiaalinen ratkaisu, kun y tai y. Toistus. Oletetaan seuraavissa tarkasteluissa luvun α olevan luonnollinen luku. Toettakoon, että eholla λ 4α, jossa siis α N, saaaan eellisistä yhtälöistä 2 ja 24 arvoilla k α yhtälö a 2k+ α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k +! α 2 α α! α i 2i+2k α k α! k α i 2i+ 2k +2k!k α!α! α 2α!2k 2α! 2k +2k!k α!α! a k α ja arvoilla k < α α 2k + a 2k+ 2k a 25 2α k k i 4α 4i 2 2k +! k a a k 2 k α! α k! i 2α i α! 2k +2k! α k! k 2α! 2α 2k! α! 2k +2k! k 2k + 2α 2k α k! a a a α k a. 26 Tapauksessa λ 4α+2 saaaan vastaavasti arvoilla k α yhtälö a 2k α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k! α k α 2k a 27 2α 4 a

15 ja arvoilla k < α yhtälö a 2k k k i 4α 2 4i a 2k! 2α k 2k α a. 28 k Eelleen yhtälöistä2 ja 24 saaaanarvoillek α eholla λ 4α yhtälö a 2k k k i 4α 4i 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! 2k! k 4 k α k a a 2k ka. 29 ja aivan vastaavasti eholla λ 4α+2 yhtälö a 2k+ k k i 4α 4i a 2k +2k! k 4 k α k 2k + 2k. ka Arvoilla k > α yhtälöissä 2 ja 24 on tulon tekijänä, joten vastaavat termit häviävät. Koska a y ja a y, saaaan annetuilla alkuehoilla seuraavat oleellisesti erilaiset tilanteet: a y ja y : parittoman ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ mo 4 etukertoimille a 2k kaikilla k > λ 4 ; b y ja y : parillisen ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ 2 mo 4 etukertoimille a 2k+ kaikilla k > λ 2 4 ; c y ja y : kaikki termit häviävät. Näissä tapauksissa saaaan siis ratkaisuksi polynomi liittyvät Hermiten polynomeihin. 5

16 Kuva : Funktiot f, g ja h. Eellisesta toistuksesta voiaan myo s kera ta yhta lo ien tieot 25, 26, 27, 28, 29 ja yhteen yhta lo iksi a2k+ ja a2k 5.7 2α k 2k α a. 2k+ k k α α 2k 2k+ a 2α α k 4k k 2k+ 2k a. k kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α; kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α 2α k 2k α a, k α k α 2k a, 2α α k 4k k a, 2k k kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α; kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α. Tehta va 7 Tehta va ssa haetaan raja-arvoa e sin 2 2 ka ytta en Taylorin sarjoja. Aiemmin olemme toenneet, etta e X k ja sin X k 2k+ 6 2k +!, 2

17 joten sijoittamalla ja käyttäen osamäärän funktioien jatkuvuutta pisteen ympäristössä saaaan e sin k k 6 + k2 2 + k k k k 4k+2 2k+! 2 k 4k 8 2k+! Kuvassa on esitetty pisteen läheisyyessä funktioien f e sin, e g sin 2 2 ja h e 6 6 sin käyttäytymistä. Kuvasta voiaan helposti havaita, että saatu raja-arvo sopii kuvaajasta funktiolle g saatavaan tietoon. Viitteet [] Jyrki Lahtonen, Analyysi II, luentomoniste 7