Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat

Transkriptio

1 MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen suppenemissäteet ja selvitä siten, missä joukossa kukin sarjoista määrittelee analyyttisen funktion: i n (2n)! (a): (z 1)n (b): n n! (n + 1)! zn (c): 2 n (z + i) n2. Ratkaisu. Kohta (a): Sarja i n (z n 1)n on potenssisarja pisteen z 0 = 1 ympärillä. Merkitään sarjan kertoimia a n = in. Peräkkäisten kertoimien modulien suhteen raja-arvo voidaan n laskea lim a n a n+1 = lim i n /n i n+1 /(n + 1) = lim 1/n 1/(n + 1) = lim n + 1 n = lim n 1 Käytetään d Alembertin suhdetestiä (Lause 3.21) ja todetaan sen perusteella suppenemissäteen olevan ylläoleva raja-arvo, R = 1. Sarja siis suppenee avoimessa R-säteisessä z 0 -keskisessä kiekossa B(z 0, R) = B(1, 1) ja määrittelee tässä kiekossa analyyttisen funktion. Kohta (b): Sarja sarjan kertoimia b n = n! (n+1)! zn on potenssisarja pisteen z 0 = 0 ympärillä. Merkitään. Peräkkäisten kertoimien modulien suhteen raja-arvo voidaan laskea lim (2n)! = 1. (2n)! n! (n+1)! b n b n+1 = lim b n b n+1 = lim ( (2n)! n! (n + 1)! (n + 1)! (n + 2)! ) (2n + 2)! (n + 1)(n + 2) = lim (2n + 2)(2n + 1) = 1 2 lim n + 2 2n + 1 = 1 2 lim n = = 1 4. n Käytetään d Alembertin suhdetestiä (Lause 3.21) ja todetaan sen perusteella suppenemissäteen olevan ylläoleva raja-arvo, R = 1. Sarja siis suppenee avoimessa kiekossa 4 B(0, 1 ) ja määrittelee tässä kiekossa analyyttisen funktion. 4 Kertoimet b n ovat n.k. Catalanin luvut, jotka esiintyvät useissa kombinatorisissa ongelmissa. Ylläoleva sarja on Catalanin luvuista muodostettu generoiva funktio. Tällaiset generoivat funktiot ovat analyyttisen kombinatoriikan perustyökaluja ja jo ylläolevasta suppenemissädelaskusta voidaan päätellä ainakin Catalanin lukujen johtava eksponentiaalinen asymptotiikka b n 4 n (nimittäin n b n 1 = 4). Generoivan funktion R tarkempi analyysi paljastaisi tarkemmaksi asymptotiikaksi b n 1 π n 3/2 4 n. Kohta (c): Sarja 2n (z+i) n2 on muotoa k=0 c k (z+i) k oleva potenssisarja pisteen z 0 = i ympärillä. Sen kertoimet ovat { 2 n jos k = n 2 jollakin n c k = 0 muuten. 1 / 4

2 MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A Kertoimien joukossa on paljon nollia, joten d Alembertin suhdetestiä ei voida käyttää, eikä raja-arvo lim k k c k ole myöskään olemassa. Suppenemissäteen R määrittämiseksi käytetään Hadamardin kaavaa (Lause 3.20) R = lim inf k 1 k ck = 1 lim sup k k c k, jonka avulla suppenemissäteen voi aina selvittää. Muotoa k = n 2 olevilla indekseillä k ck = c k 1/k = c n 2 1/n2 = ( 2 n) 1/n 2 = 2 1/n 1. Näiden indeksien määrittämää osajonoa (c n 2) n N pitkin siis raja-arvo on 1, joten saadaan lim sup k k c k 1. Toisaalta kaikki muut kertoimet ovat nollia, joten nähdään, ettei lim sup ole tätä suurempi vaan itseasiassa k lim sup ck = 1. k Suppenemissäteeksi saadaan tämän käänteisluku R = 1 lim sup k k c k = 1 1 = 1. Sarja 2n (z+i) n2 siis suppenee avoimessa R-säteisessä z 0 -keskisessä kiekossa B(z 0, R) = B( i, 1) ja määrittelee tässä kiekossa analyyttisen funktion. 2 / 4

3 MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A2 Olkoon (a n ) n N sellainen kompleksilukujono, että a n < ja n a n =. Osoita, että sarjan suppenemissäde on 1. a n z n Ratkaisu. Merkitään potenssisarjan a n z n suppenemissädettä R. Määritellään vertailukohdaksi toinenkin sarja, jonka kertoimet b n := a n 0 ovat alkuperäisen sarjan kertoimien modulit. Sarjoilla a n z n ja b n z n on sama suppenemissäde R, koska Hadamardin yleinen kaava suppenemissäteelle (Lause 3.20) R = lim inf n 1 n an riippuu vain kerrointen moduleista ja nämä modulit ovat samat, a n = b n. Oletuksesta a n < seuraa, että potenssisarja b n z n suppenee pisteessä z = 1: b n 1 n = a n <, joten Abelin lauseen (Lause 3.19) perusteella potenssisarja b n z n suppenee ainakin kaikissa suljetuissa kiekoissa B(0, r) = { z C } z r joiden säde on alle yksi, r < 1. Koska r voi kuitenkin olla mielivaltaisen lähellä ykköstä, on sarjan b n z n suppenemissäde R näinollen vähintään yksi, R 1. Nyt on osoitettu, että R 1 ja tavoitteena on osoittaa R = 1. Tehdään vastaoletus, että R > 1. Termeittäin derivoidun sarjan nb n z n 1 suppenemissäde on sama R kuin sarjalla b n z n (Lause 3.23), ja vastaoletuksen mukaan tämä suppenemissäde on R > 1. Silloin derivoidun sarjan olisi supettava erityisesti pisteessä z = 1, koska tämä piste olisi suppenemiskiekossa, 1 B(0, R). Toisaalta oletuksesta n a n = seuraa, että derivoitu sarja itseasiassa hajaantuu pisteessä z = 1: n b n 1 n 1 = n a n =. Tämä ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi, joten päätellään suppenemissäteen olevan R = 1. 3 / 4

4 MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A Tällaisia potenssisarjoja esiintyy muun muassa stokastiikassa: Jos N on luonnollosia lukuja arvoinaan saava satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo E[N] on ääretän, niin sen todennäköisyydet generoiva funktio G(z) = P [ N = n ] z n toteuttaa tämän tehtävän oletukset. Erityisesti generoivan funktion suppenemiskiekko on tällaisessa tapauksessa välttämättä kompleksitason yksikkökiekko. Vastaavanlaiset generoivat funktiot ovat hyödyllisiä työkaluja stokastiikan lisäksi statistisessa fysiikassa, kombinatoriikassa, lukuteoriassa, jne. ja muun muassa siksi kompleksianalyysi onkin niin hyödyllistä :). 4 / 4

5

6

7

8

9