Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
|
|
- Aku Kivelä
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä : Muoosta funktioien fx) = + x ja gx) = + x toisen asteen Maclaurin-polynomit laskemalla tarvittavat erivaatat. Ratkaisu : Määritellään funktiot fx) = + x, gx) = + x. Maclaurinin polynomi tarkoittaa Taylorin polynomia, missä x 0 = 0. Lasketaan funktioien erivaata. fx) = + x), gx) = + x) f x) = + x), g x) = + x) 3 f x) = 4 + x) 3, g x) = x) 5. Sijoitetaan x 0 = 0.asteen Taylorin polynomiin, jolloin saaan halutut Maclaurinin polynomit: P f x; 0) = f0) + f 0)x 0) +! f 0)x 0) = + x 8 x P g x; 0) = g0) + g 0)x 0) +! g 0)x 0) Binomisarja määritellään + x) r = + = x x k= rr )r )...r k + ) x k, x < k!
2 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 kaikilla r R. Tutkitaan sarjan summat arvoilla r = / ja r = /, kun k =. r = / + x) = + x 8 x r = / + x) = x x. Saatiin sama tulos kuin Maclaurinin polynomeja laskemalla. Tehtävä : a) Muoosta funktioien fx) = x cosx/3) ja gx) = sinx ) kuuennen asteen Maclaurin-polynomit. b) Laske integraalin 0 sinx ) x likiarvo käyttämällä a)-kohan approksimaatiota. Vertaa tulosta tietokoneella saatavaan oikeaan) likiarvoon 0, c) Muoosta funktion fx) = /x Taylor-sarja pisteen x 0 = suhteen. Ratkaisu : Annetut funktiot ovat fx) = x cosx/3), gx) = sinx ). a) Tehään sijoitukset s = x ja t = x/3. Lasketaan funktioien sins) ja cost) 6.asteen Maclaurinin polynomit: sins) = s 3! s3 + 5! s5 7! s7 + Os 8 ) cost) =! t + 4! t4 6! t6 + Ot 8 ). Tulokset perustuvat siihen, että sin0)=0. Sijoitetaan s = x ja t = x/3 takaisin, jolloin saaaan halutuiksi 6.asteen Maclaurinin polynomeiksi sinx ) = x 3! x6 x cosx/3) = x 3! x ! x6 b) a-kohan polynomilla saaaan halutulle integraalille approksimaatio 0 sinx )x 0 = 3 7 3! 0, x 3! x6 x Huomataan, että tulos on melko lähellä tietokoneella saatua tulosta
3 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 c) Sarjan voi muoostaa erivaattojen avulla, mutta luultavasti helpoimmalla pääsee hyöyntämällä geometrisen sarjan summakaavaa x = x k. Kehitetään nyt funktio /x pisteen x 0 = ympäristössä: x = + x = + x = ) x = x ) k = Tämä kehitelmä pätee, kun x <, eli kun x <. ) k x ) k. Tehtävä 3: Funktio f : [ a, a] R on parillinen, jos f x) = fx) kaikilla x; se on pariton, jos f x) = fx) kaikilla x. a) Perustele: Derivoituvan parillisen funktion erivaatta on pariton ja parittoman erivaatta parillinen funktio. b) Perustele: f0) = 0, jos f on pariton. c) Päättele a)- ja b)-kohtien perusteella: Parillisen funktion Maclaurin-sarjassa esiintyy vain parillisia x:n potensseja ja parittoman sarjassa vain parittomia; vrt. cos x ja sin x. Ratkaisu 3: a) Tieetään, että funktio on parillinen, jos f x) = fx) kaikilla x R ja pariton, jos f x) = fx) kaikilla x R. Lasketaan parillisen ja parittomien erivaattojen kaavat erivoimalla annettuja yhtälöitä puolittain. Parillinen x f x) = x fx) f x) = f x) f x) = f x). Pariton x f x) = x fx) f x) = f x) f x) = f x). Huomataan, että parillisen funktion erivaatta on pariton ja parittoman parillinen. b) Funktio f on pariton, joten f x) = fx) kaikilla x R. Sijoitetaan x = 0, jolloin saaaan f 0) = f0) f0) + f0) = 0 f0) = 0 f0) = 0. 3
4 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 c) Jos funktio on parillinen, on sen ensimmäinen erivaatta pariton ja toinen erivaatta parillinen. Samalla päättelyllä funktion n. erivaatta f n ) on pariton ja n. erivaatta f n) parillinen. Koska pariton funktio saa origossa arvon 0, pätee myös f n ) 0) = 0 kaikilla n N. Näin ollen funktion Maclaurin-sarja voi sisältää vain parillisia potensseja: fx) = f k 0) x k k! = f0) + f 0) x + }{{} f 0)x +... =0 = f0) + f 0)x +... f l 0) = l)! xl. l=0 Parittomalle funktiolle päättely on lähes sama: sanat "parillinen"ja "pariton"vaihtavat paikkaa ja nähään, että potenssisarja sisältää vain parittomia termejä. Tehtävä 4: a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle sin x = 0 alkuarvolla x 0 = 3. Monellako iteraatiolla saaaan oikea 0-esimaalinen likiarvo 3, tai laskimen max-esimaalit)? b) Mitä tapahtuu, jos x 0 = π/? Ratkaisu 4: Newtonin menetelmällä voiaan yhtälö fx) = 0 ratkaista likimääräisesti alkuarvauksen x 0 ja seuraavan iteraatiokaavan avulla: x n+ = x n fx n), n = 0,,,... f x n ) a) Nyt fx) =sinx), joten f x) =cosx), jolloin iteraatiokaava saa muoon x n+ = x n tanx n ), n = 0,,,... Alkuarvauksella x 0 = 3 saaaan esimerkiksi MATLABilla kolmen iteraatiokerran jälkeen arvo x Käytetty kooi: format long; k=3; apuluvut = eyek,); apuluvut)=3; for i=:k apuluvuti+)=apuluvuti)-tanapuluvuti)); en apuluvut 4
5 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 b) Alkuarvauksella x 0 = π/ tulee ongelmia, koska funktiolla fx) =tanx) on pystysuora asymptootti pisteessä x = π/, jolloin iteraatiokaavan antama ratkaisu häviää äärettömyyteen. Tehtävä 5: Hyperbolinen sini ja kosini sinus hyperbolicus eli sinh ja cosinus hyperbolicus eli cosh) määritellään kaavoilla sinh x = ex e x ), cosh x = ex + e x ). a) Joha näien funktioien erivoimiskaavat. Osoita lisäksi, että cosh t) sinh t) = kaikilla t R. Seuraus: Piste x, y) = cosh t, sinh t) sijaitsee hyperbelillä x y =.) b) Osoita, että sinh on pariton ja aiosti kasvava; cosh on parillinen ja sillä on minimi. c) Määritä näien funktioien Maclaurin-sarjat käyttämällä apuna eksponenttifunktion sarjaa e t = + t +! t + 3! t3 + = Kirjoita tulokset sievennetyssä muoossa ja vertaa luentojen sin- ja cos-sarjoihin. Ratkaisu 5:. a) Halutut erivointikaavat voiaan laskea suoraan: t k k!. x sinhx) = e x e x) = e x + e x) = coshx) x x coshx) = e x + e x) = e x e x) = sinhx). x Väite: cosh t)-sinh t)= kaikilla t R. Toistus: Tulos saaaan suoralla laskulla: cosh t) sinh t) = e t + e t) e t e t) 4 4 = + 4 et + 4 e t + 4 et 4 e t =, t R. b) Näytetään aluksi funktion sinhx) parittomuus, ja että se on aiosti kasvava. sinh x) = joten sinhx) on pariton funktio. Koska x sinhx) = x e x e x)) = e x e x) = sinhx), e x e x) = e x + e x) > 0 kaikilla x R, 5
6 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 on funktio sinhx) aiosti kasvava. Näytetään seuraavaksi funktion coshx) parillisuus, ja että sillä on olemassa minimi. cosh x) = e x + e x)) = e x + e x) = coshx), joten coshx) on parillinen funktio. Koska ja coshx) = 0 sinhx) = 0 x = 0, x x coshx) = sinhx) = coshx), x jolle pätee cosh0)=, on piste x = 0 funktion coshx) globaali minimi. 3. c) Käyttämällä annettua eksponenttifunktion Maclaurinin sarjaa, saaaan sinht) = e t e t) = + t +! t + 3! t3 + ) 4! t = t + 3! t3 + ) 5! t t) +! t) + 3! t)3 + ) 4! t) = t +k + k)!. cosht) = e t + e t) = + t +! t + 3! t3 + ) 4! t = +! t + ) 4! t t) +! t) + 3! t)3 + ) 4! t) = t k k!. Huomataan, että merkkiä vaihtavaa termiä lukuunottamatta funktion sinhx) Maclaurinin sarja on vastaava funktion sinx) Maclaurinin sarjan kanssa. Vastaava pätee funktioille coshx) ja cosx). 6
7 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Tehtävä 6: Potenssisarjan suppenemissäteen käsite perustuu seuraavaan tulokseen Abelin lause, tapaus x 0 = 0): Jos sarja c n x n suppenee jollakin arvolla x 0, niin se suppenee myös kaikilla arvoilla y R, joille y < x. Toista tämä väite perustelemalla seuraavat välivaiheet: i) Koska c n x n suppenee, niin on olemassa vakio M 0, jolle c n x n M kaikilla n. ii) Näin saaaan n:stä ja x :stä riippuva yläraja kertoimelle c n. iii) Jos y < x, niin sarjalle c n y n saaaan suppeneva geometrinen majorantti. iv) Sarja c n y n suppenee. Ratkaisu 6: i) Koska sarja suppenee, on sen termien raja-arvon oltava nolla, eli lim c nx n = 0. n Termien jono suppenee siis kohti nollaa ja suppenevana jonona sen on oltava rajoitettu, eli c n x n M jollekin M 0. ii) Eelleen iii) Jos pätee y < x, saaaan arvio c n x n M c n M x n c n y n n=0 n=0 M x n y n = M n=0 ) n y. x Oikealla oleva sarja on geometrinen sarja, jossa q = y / x <, eli kyseinen sarja suppenee. iv) Sarja suppenee, jos se suppenee itseisesti, eli c n y n < n=0 c n y n <. n=0 Itseinen suppeneminen osoitettiin eellisessä kohassa, joten nyt myös alkuperäinen sarja suppenee. Funktiot ja käänteisfuntiot Tehtävä 7: Itä-Siperian meressä sijaitsevalta Wrangelinsaarelta löyettiin mammutin fossiili, jossa raiohiiltä oli jäljellä 64% alkuperäisestä määrästä. Milloin mammutti kuoli? Raiohiilen 4 C puoliintumisaika T on vuotta ja jäljellä olevan raiohiilen prosenttiosuus p = pt) toteuttaa ifferentiaaliyhtälön p = kp, kun k = ln )/T > 0 on hajoamisvakio. 7
8 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Ratkaisu 7: Differentiaaliyhtälön p t) = kpt) ratkaisu on pt) = p0)e kt. Ajanhetkellä t = 0 eli kun mammutti kuoli, raiohiiltä oli 00 % ja merkitään p0) = 00. Kun mammutti löyettiin, raiohiilestä oli jäljellä 64 % eli pt ) = 64. Ratkaistaan t annetun mallin avulla: 00e kt = 64 e kt = ) 64 kt = ln 00 ) 64 kt = ln 00 t = ln ) 5 6. k Sijoitetaan vielä k = ln /T, missä T on puoliintumisaika ja sievennetään hieman lukuja t = ln ) 5 4 ln T = ln 5 4) ln Vastaus: 3600 vuotta Tehtävä 8: Teekkari katselee valkokangasta, jonka korkeus on 5 metriä ja jonka alareuna on m silmien tason yläpuolella. a) Päättele, että valkokangas näkyy pystytasossa) kulmassa αx) = arctan 6/x) arctan /x), kun x on teekkarin vaakasuora etäisyys kankaasta. b) Määritä lim αx) ja lim αx) joko kuvion tai lausekkeen avulla. x 0+ x c) Miltä etäisyyeltä kangas näkyy suurimmassa mahollisessa kulmassa pystytasossa mitattuna)? Välivaiheet on tarkoitus laskea käsin, mutta tuloksen voi toki tarkistaa koneella. Ratkaisu 8: a) Olkoot kulma α katselukulma, β kulma vaakatasosta kankaan yläreunaan ja γ kulma vaakatasosta kankaan alareunaan. Kulmien β ja γ tangenteille pätee tan β = 6 x, tan γ = x ja koska α = β γ, saaaan αx) = arctan 6 x arctan x 8
9 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 b) Yksinkertaisimmin raja-arvon lim arctan a x 0 + x, jossa a > 0 voi päätellä kuvion avulla. Jos suorakulmaisessa kolmiossa kulman arctan a x vastakkainen kateetti pysyy vakiona ja vieresitä kateettia lyhennetään, lähestyy kulma suoraa kulmaa π/ eli Katselukulmalle saaaan nyt lim x 0 + arctan a x = π lim αx) = lim arctan 6 x 0 + x 0 + x lim arctan x 0 + x = π π = 0 Toinen raja-arvo saaaan suoraan lausekkeesta arkustangentti on jatkuva nollassa) lim αx) = lim x arctan 6 x x lim arctan x ) x 6 = arctan lim arctan x x = arctan 0 arctan 0 = 0 0 = 0 lim x c) Maksimoiaan katselukulma αx) tarkastelemalla erivaattaa α. Lasketaan ensin erivaatta x funktiolle arctan a. x Näin ollen funktiolle α saaaan erivaataksi x arctan a x = a ) = a + a x x + a. x ) x α x = 6 x x + = 5x + 30 x + )x + 36). Ratkaistaan erivaatan nollakohat suoraan osoittajan nollakohista nimittäjä on positiivinen kaikilla reaaliluvuilla x): 5x + 30 = 0 x = ± 6. Näistä ratkaisuista ainoastaan positiivinen on käypä. Koska nimittäjä on aina positiivinen, määrää osoittajan merkki funktion kulun. Osoittaja on nyt lausekkeeltaan alaspäin aukeava paraabeli, jonka arvot ovat positiivisia välillä 0 x < 6 ja negatiivisia, kun x > 6 Funktion suurin arvo on siis kohassa x = 6 ja α 6) 46 9
10 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Tehtävä 9: Funktio cosh: [0, [ [, [ on bijektio. Joha sen käänteisfunktion area cosinus hyperbolicus) lauseke ja tämän avulla erivoimiskaava arcosh x = cosh x = lnx + x ), x Darcosh x) = x, x >. Ratkaisu 9: Hyperbolinen kosini määritellään lausekkeesta cosh x = ex + e x. Muoostetaan tälle käänteisfunktio eli ratkaistaan yhtälö y = cosh x muuttujan y suhteen. y = ex + e x ye x = e x ) + e x ) ye x + = 0 Saatu yhtälö on toista astetta muuttujan u := e x suhteen. Sijoitetaan tämä eelliseen yhtälöön ja ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla Sijoittamalla takaisin u = e x saaaan u yu + = 0 u = y ± 4y 4 x = ln = y ± y. y ± ) y. Ainoastaan positiivinen juuri käy ratkaisuksi, sillä esim kun y = negatiivinen juuri antaa vastauksen x = ln 4 ) = ln ) 3 < 0, joka ei kuulu tarkasteluvälille 0 x. Käänteisfunktion lauseke on siis huom. muuttuja x on tässä eri roolissa kuin eellä) arcosh x = ln x + ) x, missä x. Lasketaan vielä tämän erivaatta missä x >. arcosh x x = + x ) / x x + x = + x x x + x = x, 0
11 MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Tehtävä 0: Ratkaise yhtälöt a) lnx + ) + lnx + ) = lnx + 3), b) sinh x =. Ratkaisu 0: a) Molemmat puolet on määritelty, kun x >. lnx + ) + lnx + ) = lnx + 3) lnx + )x + )) = lnx + 3) x + )x + ) = x + 3 x + 3x + = x + 3 x + x = 0 b) josta saaaan x = ±. Negatiivisen juuren ratkaisu ei käy, sillä <. Ainoa ratkaisu on siis x =. sinh x = e x e x = e x e x = 4 e x ) = 4e x e x ) 4e x = 0 Saatu yhtälö on toista astetta muuttujan u := e x suhteen. Sijoitetaan tämä eelliseen yhtälöön ja ratkaistaan u 4u = 0 u = 4 ± = ± 5. Ainoastaan positiivinen juuri käy, sillä 5 < 0, mutta e x on aina positiivinen. Nyt saatiin ratkaisuksi e x = + 5 x = ln + 5).
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotπx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,
Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot
Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Sekä tiistain 15.9. että torstain 17.9. luentoja pohjustavat ennakkotehtävät löytyvät MyCoursesin Tehtävät-osiosta. Lisätietoja itse tehtävissä. Tiedostoa viimeksi muokattu:
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedotderivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedot