HARJOITUKSIA, SYKSY x

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HARJOITUKSIA, SYKSY x"

Transkriptio

1 Matematiikan perusmetodit I/Mat HARJOITUKSIA, SYKSY 006. Johda yhtälön ax + bx + c =0(a 0) ratkaisukaava. Tarkastele ensin esimerkkinä yhtälöä x +5x +6=0.. Mitä alkioita kuuluu joukkoon A = {x R x = }? 3. Olkoon A = {x R Osoita, että A B. +x < +x} ja B = {x R x }. 4. Osoita, että joukot A = {x R x x < 0} ja B = {x R <x<} ovat samat. Määrää A:n komplementti A C. 5. Olkoon A = {x R x on parillinen kokonaisluku} ja B = {x Z x on parillinen kokonaisluku}. Osoita, että A = B. 6. Olkoon A = {x R x on parillinen kokonaisluku } ja B = {x R x on parillinen kokonaisluku }. Onko A = B? 7. Olkoon A = {,, 3, 4, 5, 6} ja B = {, 4, 7, 9}. Määrää A B ja A B. 8. Olkoon A = {x R 0 < x x +3 < } ja B = {x R x 5x +4< 0}. Esitä mahdollisimman yksinkertaisesti lukujoukot A B ja A B muodossa {x R P (x)}. 9. Olkoot A = {,, 3,..., 50} ja B = {x N x = n + jollain n N}. Määrää A B. 0. Osoita, että a) A A C = E b) A CC = A.. Todista De Morganin laki (A B) C = A C B C.

2 . Oletetaan, että A B. Osoita, että B C A C. 3. Olkoon A = {n Z n >3} ja B = {n Z n < 5}. Laske A C,A B,A B ja B \ A. 4. Olkoon A = {x R x < }. Laske A C ja A A C. 5. Olkoot A = {, 4, 6, 8, 0, } ja B = {, 3, 4, 5, 8, 0}. Määrää A B ja A B. 6. Olkoot A = {x R <x 8} ja B = {, 0,, 4, 7}. Määrää A B ja A B. 7. Ratkaise epäyhtälö a) x +4 4 b) x > 5 x c) + < d) x + <x e) x + x + < f) x +x. 8. Olkoot A = {, 3, 5, 7} ja B = {,, 3, 4}. Laske a) A B, b) A \ B,B \ A c) Mitä voit sanoa joukoista A C ja B C? 9. Olkoot A = { x R x 4x +3< 0 } ja B = Laske a) A B, b) B C, c) A \ B. 0. Osoita, että A B, jos ja vain jos A B = B. x { x R x 0,. Olkoon A = {x R 0 < x x +4 < }. Laske AC ja A A C.. Olkoot A = { n Z n < 5 } ja B = Laske A B ja B A. { n Z n 0, 3. Olkoot A = {(k, n) Z Z k + n } ja B = {(0, 0), (, ), (, ), (3, 4), (3, 4)}. Laske a) A C, b) A B, c) B \ A. } x <. n 4 n }. < 3

3 4. Ratkaise epäyhtälöt a) x + x + < 4 b) x 4x c) x 4x < 3 d) x < 5x Todista oikeaksi tai vääräksi väite 0 5 n n +0 7 >n n Z Todista induktiolla seuraavat väitteet: n n(n +) n a) i =, b) j n(n + )(n +) =, 6 c) i= n i= 3 i = 3(9n ) 8 j= n Z Osoita, että ( n )n, kun n N ja n (vihje: käytä n Bernoullin epäyhtälöä). 8. Joukossa E on n alkiota. Todista induktiolla, että E:n kaikkien osajoukkojen joukossa P (E) on n alkiota. 9. Todista tarkasti väite: x + x + x. 30. Tutki ovatko seuraavat väitteet tosia ja todista ne siinä tapauksessa. a) n 3 500n 90 < 70n n =,,... b) luku n on jaollinen kolmella aina, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku. 3. Todista, että n 3 n on jaollinen kolmella aina, kun n on kokonaisluku. 3. Osoita, että luku n on jaollinen kolmella aina, kun n>3on alkuluku (jaoton). 33. Osoita, että n 3 + n + n aina, kun n N.

4 34. On n taloa, joista jokainen halutaan kytkeä puhelinkaapelilla toisiinsa (kytkentä = kahden talon välinen kaapeli). Kuinka monta kytkentää tarvitaan? 35. Todista induktiolla seuraavat väitteet: n n a) + k k! =(n+)!, b) < n aina kun n =,,.... k k= 36. Osoita induktiolla, että n-kulmion kulmien summa=(n )80. k= 37. Todista induktiolla seuraavat väitteet a) n i(i +)= n(n+)(n+) 3, aina, kun n Z +, i= b) n 3 3n + 3 aina, kun n Z +, n 3, c) luku n +5n on jaollinen luvulla 9, kun n Z Osoita, että a + b + c ab + ac + bc (vihje: tutki lauseketta (a b) +(b c) +(a c) ). 39. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja. Osoita, että (a + b + c)( a + b + c ) a) Todista, että x + x aina, kun x>0. b) Todista a)-kohtaa käyttäen, että (a + b + c)( a + b + c ) 9 aina, kun a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja. 4. Olkoon a<bsekä A = 3 (a + ab + b )jab = (a + b ). Osoita, että A<B. 4. Tutki lukujen m + n ja mn parillisuutta, kun m, n Z.

5 43. a) Osoita, että kahden rationaaliluvun summa, tulo ja erotus ovat myös rationaalilukuja. b) Olkoon x R irrationaaliluku. Osoita oikeaksi tai vääräksi väite: x on irrationaalinen. x Oletetaan: n, m Z ja m + n on parillinen. Osoita, että m + n on parillinen. 45. Ratkaise kaikki sellaiset x, y Z, että x y = 46. Esitä muodossa m n luvut a) 0, 5 b), 34 c).,7 47. Määrää jaksollisten desimaalilukujen, ja, käänteisluvut muodossa m n, missä m, n Z Tiedetään, että a ja b 7. Arvioi lukua 4a + b ylöspäin. 49. Osoita kolmioepäyhtlöä käyttäen, että a) x aina, kun x, b) x 4 < 5 aina, kun x <, c) 4x x 8 kaikilla x R, d) +x x < aina, kun x <. 50. Osoita, että epäyhtälö (x +) + y 4 +(x ) on voimassa kaikilla x:n ja y:n reaaliarvoilla. Milloin yhtäsuuruus on voimassa? 5. Todista: Jos 0 <a<b, niin a< ab < a + b <b.

6 5. Ratkaise epäyhtälöt a) x + x <, b) x 4x, c) x 4x < 3, d) 5x + < 3x, e) x x < x + x. 53. Todista induktiolla, että a) n 5 n 5+(4n )5n+ = n Z +, 6 n b) a j n a j n Z + ja mille tahansa reaaliluvuille a,a,..., c) j= n π ( j= j= + )=n, n =, 3,.... j n 54. Todista induktiolla n a) j 3 =[ n(n+) ] n =,,... b) j= n Π j= ( j )= n n =, 3, Olkoon a n = n+ k=n k. a) Osoita todeksi väite: jos luku a n on jaollinen kolmella, niin myös a n+ on jaollinen kolmella. b) Tutki milloin a n on jaollinen kolmella. 56. a) Osoita suoraan laskemalla, että binomikertoimille ( ) n n! k = k!(n k)! on aina voimassa ( ) n k + ( ) n k ( n + = k ), n,k Z +, k n b) Todista induktiolla kaava n ( ) n ( + x) n = x k k k=0 n Z +, x R

7 c) Todista b-kohdan perusteella ns. binomikaava n ( ) n (a + b) n = a k b n k, n Z +, a,b R. k k=0 57. Osoita kolmioepäyhtälöä käyttäen, että a) 3x + + 3x 4 kaikilla x R, b) > aina, kun x <. +x x 58. Olkoon a>0, x <aja y <a.osoita, että x y < a. 59. Olkoot u>0jav>0 sekä x a <uja y b <v.osoita, että a) x + y (a + b) <u+ v, b) x y (a b) <u+ v. 60. Olkoon ε>0 sekä x a <εja y b <ε.osoita, että xy ab ( a + b + ε)ε. 6. Muodosta joukon a) {a, b}, b) {a, b, c}, c) {a, b, c, d} kaikki osajoukot. 6. Tutki, onko seuraavissa päättelyissä jokin virhe ja jos on, niin missä: x = y x = xy x y = xy y (x+y)(x y) =y(x y) x + y = y y = y =. 63. Määrää min S, max S, inf S ja sup S mikäli mahdollista, kun a) S =]0, [ [, 3] b) S = {n n n Z +} c) S = n= ] n +, n ] d) S = {λ R yhtälöllä x λx + = 0 ei ole reaalista ratkaisua}. 64. Osoita, että joukon S supreemum on yksikäsitteinen, mikäli se on olemassa.

8 65. Osoita, että max ( S) = -min S ja sup( S) = -inf S (mikäli olemassa). 66. Ovatko seuraavat funktiot injektioita tai surjektioita: (i) f : Z Z, f(x) =x + (ii) f : N N, f(x) =x + (iii) f : Z Z, f(x) =x (iv) f : R R, f(x) =x. 67. Kirjoita määritysjoukko D f, kun a) f(x) = x + x + 3x, b) f(x) = x x x 68. Olkoon f : R R, f(x) =x + ja g : R R, g(x) =x+. Määrää f g, g f, f f ja g g. 69. Määritellään funktio f asettamalla { x, kun x f(x) =, x kun x > a) Määrää D f ja R f ja piirrä kuvaaja. b) Määrää f f. c) Ratkaise epäyhtälö <f(x) <. 70. Olkoon B = {x R x 0} ja f : B B, f(x) = x +. Osoita, että f on aidosti vähenevä. Määrää f:n arvojoukko R f ja määrää f : R f B. 7. Osoita, että injektiivisyyden ehto x,x D f, x x f(x ) f(x ) on yhtäpitävä ehdon x,x D f, f(x )=f(x ) x = x kanssa. 7. Tutki seuraavien funktioiden surjektiivisuutta ja injektiivisyyttä: a) f : Z Z, f(x) =x, b) f : R R, f(x) =x,

9 { c) f : Z N, f(x) =x x, d)f : R R, f(x) =, x 0 0, x = Olkoon f(x) = x + x. a) Tutki, onko f surjektio tai injektio. b) Määrää R f ja f : R f R. 74. Olkoon a > 0 ja f reaalifunktio, joka toteuttaa ehdon f(x + a) = + f(x) (f(x)) aina, kun x R. Osoita, että f on jaksollinen funktio, jonka jakso = a (on siis osoitettava, että f(x) =f(x +a) aina, kun x R). 75. Olkoon f jaksollinen funktio ja ω > 0 sen perusjakso. Osoita induktiolla, että nω on f:n jakso aina, kun n Z Bijektio f : R R toteuttaa yhtälön f(f (x)+x) =f(x) x R. Määrää funktio f. 77. Olkoot f,g : R R. Osoita a) Jos (f g)(x) =x x R, niin f on surjektio. b) Jos (g f)(x) =x x R, niin f on injektio. c) Jos edellisten kohtien molemmat ehdot ovat voimassa niin f = g. 78. Olkoon f : R R bijektio ja g(x) =f(x) +. Osoita, että myös g : R R on bijektio. 79. Olkoon f : R R funktio, joka toteuttaa yhtälön (f(x)) 3 + f(x) =x x R a) Osoita, että f on injektio, b) Osoita, että f on surjektio, c) Määrää f : R R. 80. Olkoot f(x) = x +jag(x) =x. Ratkaise yhtälö (f g)(x) = g(x).

10 8. Olkoot f(x) = x ja g(x) = x+. Määrää D f g, ja ratkaise epäyhtälö (f g)(x) >g(x). 8. Olkoon f : R R bijektio ja g(x) =7f(x)+8 kaikilla x R. Osoita, että g on bijektio:r R. 83. Olkoot f ja g : R R funktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, kun a) f ja g ovat kasvavia, b) f ja g ovat väheneviä, c) f on kasvava ja g on vähenevä, d) f on vähenevä ja g on kasvava. 84. Laske P (0), kun polynomin P (x) =x 3 + ax + bx + c 0-kohdat ovat -, ja. 85. Olkoon P astetta n oleva polynomi ja P (k) = kun k =,,..., n. Millä ehdolla P (0) =? 86. Tiedetään, että r-säteisen kiekon ala = πr ja kehän pituus = πr. Johda kulmaa θ, 0 <θ<π, vastaavan sektorin alan ja kaarenpituuden lausekkeet. 87. Määrää sin x ja cos x, kun x on a) n π 4 π, n =0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, b) n, n =,, 4, 5, 3 c) n π, n =, 5, 7, Määrää kaikki x:n arvot, kun a) sin x =, b) cos x = -, c) cos x =-, d) tan x =, e) tan x = -, f) sin x = 3, g) tan 3x = a) Muunna radiaaneiksi kulmat α =60, α = 45, α = 0. b) Muunna asteiksi kulmat α = 3π 4, α = π 5.

11 90. Määrää a) sinx, b) cosx, c) tanx, kun0<x< π ja sinx = a) Osoita, että + tan x = cos x. b) Laske sin x, kun tan x = 5 ja π<x<3π. 9. Olkoon tan x = t. Osoita, että sin x = t +t ja cos x = t +t. 93. Todista identiteetit a) cos 4 α sin 4 α = cos(α) b) cos α sin α = tan α 94. Ratkaise yhtälö a) cos x = 3 sin x, b) sin x = cos x, c) sin 3x = cos x, d) cos x = cos x, f) 3(cos x sin x) sin x cos x = Määrää sin(x + y), kun sin x = 3 5 ja cos y = 7 5 y π, x / [ ] [ ] 0, π ja y/ 0, π. ja 0 x π, Ratkaise yhtälöt a) tan x = sin x, b) + sin(3x) = (sin x + cos x), c) cos(7x) = cos x, d) sin x cos x =, e) sin(3x) = cos x. 97. Ratkaise epäyhtälö a) cos x + sin x <0, b) sin x> + sin x, c) sin x +cos x>. 98. Kolmion kulmat ja niiden vastaiset sivut ovat α,β,γ ja a, b, c. a) Todista sinilause: sin α a = sin β b = sin γ c. b) Todista kosinilause: c = a + b ab cos γ. c) Laske a, kun b =,c=3jaβ = π/ Ratkaise a) sin x+ <, b) sin x>cos x, c) sin x >cos x, d) cos x tan x>, e) sin x = sin ( x + π 3 ).

12 00. Osoita, että kompleksiluvuille z ja w a) z + w = z + w, b) zw = z w, c) = z = z, d) z z = z, e) z = z, f) zw = z w g) z = z (w 0), h) z =0 z =0 i)wz =0 w =0 w w tai z = 0 (tulon nollasääntö). 0. Esitä kompleksiluvut ( + i)( 3i) ja +i 5+i muodossa x + yi. 0. Esitä muodossa a + bi kompleksiluvut a) ( + 4i)( 5i) b) +i 4 i c) ( + i) d) ( + i). 03. Määrää kompleksilukujen +i 4+3i ja cos α+i sin α, α R, itseisarvot. 04. Millä reaaliluvun x arvoilla lauseke kun z = x +3i. z z 6i on reaalinen, 05. Ratkaise z = x + yi yhtälöstä z z =+i. 06. Olkoon P (x) =a n x n + a n x n + + a x + a 0 reaalikertoiminen polynomi. Osoita: Jos z C on P (x):n nollakohta, niin myös z on P (x):n nollakohta. 07. Esitä kompleksiluvut 3+3i, +i, 3 i ja i muodossa r(cos ϕ + i sin ϕ). 08. Laske a) ( 3+i) 30, b) ( ) i. 09. Ratkaise yhtälö a) z 3 =, b) z 4 =. 0. Esitä sin 3α ja cos 3α lausekkeiden sin α ja cos α avulla (vihje: Käytä de Moivre n kaavaa).

13 . Osoita, että kompleksiluvulle on voimassa a) z + w z + w b) z + w + z w =( z + w ). Tulkitse tulokset geometrisesti.. Ratkaise yhtälö z 3 = +i. 3. Ratkaise yhtälöt a) z + z =0 b)z + z =3 i c) z6 = 4. Tutki, mitä esittävät kompleksitasossa joukot (z = x + iy) : a) z = +i i z b) x +(y )i Todista induktiolla, että n j= (j )(j+) = n n+, n Z Olkoon x 0 =jax n+ =+ x n, kun n N. Todista induktiolla, että x n = ( ) n, n N. 7. Ratkaise epäyhtälöt a) c) x > +x, b) 8x> x, x x + > x +3 x +, d) 3x + x <. 8. Ratkaise epäyhtälö a) 3 x 3 <x+, b) x + x < 5, c) + <, d) x x < Todista kolmioepäyhtälöäkäyttäen, että a) x x kaikilla x R. b) > 3 aina, kun x <. +x x

14 0. Määrää määritysjoukko D f, kun f(x) = x x.. Olkoot f(x) = x +jag(x) =x. Määrää(f g)(x) ja(g f)(x) sekä määritysjoukot D f g ja D g f. Ratkaise yhtälö (f g)(x) =g(x).. Osoita, että ehdolla x + y + z = π on sin x + sin y + sin z = 4 sin x sin y sin z. 3. Ratkaise yhtälö 4 sin x tan x =0. 4. Osoita, että f(x) =x x,f : R R, on bijektio. 5. Funktiolla f : R R, f(x) =x 3 + x, on käänteisfunktio. Määrää f (3). 6. Määrää reaali- ja imaginaariosat, kun a) z = i( + 3i)( i) b) z = 4i +i. 7. Esitä napakoordinaateissa kompleksiluvut a) z =5 b)z = 7 c) z = i d) 3+i. 8. Ratkaise kompleksiset yhtälöt a) z 3 + z =0 b)z + z =5 c)z + z = i. 9. Määrää reaali- ja imaginaariosat luvulle ( 3+i 3) Ratkaise napakoordinaattien avulla yhtälöt a) z 3 =+i b) z 5 =. 3. Ratkaise a) z z +=0 b) z + iz <. 3. Lue monisteen sivu 54.

15 33. Jaa polynomi P (x) =x 3 x + x tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 34. Olkoon P (x) =x 4 +7x 3 +4x +63x c, c R. a) Määrää luku c, kun P :n yksi nollakohta on 3i. b) Jaa polynomi P tekijöihin i) kunnassa R, ii) kunnassa C. 35. Polynomin P (x) =x 3 9x +9x + c yksi nollakohta on. Jaa P (x) tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 36. Polynomin P (x) =x 3 x +9x + c yksi nollakohta on. Jaa P (x) tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 37. Olkoot z = i, z =+i ja z 3 = 3. Määrää sellainen alinta astetta oleva a) reaalikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z,z ja z 3. b) kompleksikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z,z ja z Olkoot z 0,z,..., z n yhtälön z n = ratkaisut, kun n Z +,n. Osoita, että n z k =0. k=0 39. Johda toisen asteen yhtälön z +a z+a 0 =0, a 0,a C, ratkaisukaava. 40. Osoita tarkasti, että a) lim (x 8) = 4 x 4. Laske raja-arvot n +7 a) lim n n 3 + b) lim x x x =, kun x 0. x b) lim n n + n + n +3

16 c) lim n ( n + n n) sin(n) d) lim n n. 4. Laske raja-arvo ( ) lim n n + + n n + n 43. Määrää lim n x n, kun x n on a) n + n 3 n + d) n (n 44. Osoita tarkasti, että lim n 45. Osoita tarkasti, että lim n, b) (n +) (n ) n n + n ), e) n + (n +) + + (n), n +n =0. n +n =., c) n( n + n), f) n k= n + k. 46. Todista: Jos lukujono (a n ) suppenee, niin raja-arvo lim n a n on yksikäsitteinen. 47. Olkoon jono (a n ) n= vähenevä ja alhaalta rajoitettu lukujono, ja olkoon inf{a n } = a. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja lim a n = a. n 48. Lue monisteen sivut Määrittele käsitteet sarjan k= a n osasumma, suppeneminen ja summa. 50. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista ja laske summa, mikäli mahdollista: a) k(k+) (teleskooppisarja), b) a k (geometrinen sarja). k= 5. Pallo ponnahtaa tiputettuna lattiasta niin, että se saavuttaa 90% pudotuskorkeudesta. Laske pallon kulkema kokonaismatka, kun pallo tipautetaan m:n korkeudesta ja annetaan pomppia kunnes se pysähtyy. k=0

17 5. Osoita osasummien jonoa tutkimalla, että sarja k= k hajaantuu. 53. Oletetaan, että sarja a k suppenee. Osoita, että lim a n =0. k= n (vrt. teht. 5; käänteinen väite ei pidä paikkaansa). 54. Lue monisteen sivut Osoita kahdella tavalla, että a) 0,...= 4 33 (jakso=), b) 0,999...= (jakso=9). 56. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja määrää lim n a n, kun a) a =jaa n+ = 6 (a n +9), n Z +, b) a =jaa n+ = 3a n +a n, n Z Osoita, että sarja suppenee, ja laske sen summa a) k= + k+ 3 k b) k= (k )(k+)

18 58. Osoita, että funktio f : R R on bijektio, jos se toteuttaa ehdon a) f(3f(x)) x = 0 aina, kun x R, b) (f f)(x) =5x aina, kun x R, c) (f f)(x) =x + aina, kun x R. 59. Olkoon ε>0jaδ ε = min( 3, 9ε ). Osoita, että a) x 3 aina, kun 0 < x 3 < 3. b) x 3 <εaina, kun 0 < x 3 <δ ε. 60. Olkoon lim x x 0 f(x) =a<0. Osoita, että on olemassa sellainen aito ympäristö B δ (x 0), että f(x) < a < 0 aina, kun x B δ (x 0). 6. Olkoot lim f(x) =a ja lim g(x) =b. Osoita, että x x 0 x x 0 a) lim (f(x)g(x)) = ab ja x x 0 f(x) b) lim x x g(x) = a, jos b 0, b 0 c) jos f(x) g(x) x 0 :n jossakin aidossa ympäristössä, niin a b. 6. Määrää seuraavat raja-arvot: x 3 ) lim x 3 x + x 5 ) lim x 5 x 4x 5 x 4 3) lim x x 6 4) lim x x 3 +8 x 5) lim x x x x 4 6) lim x + x 7) lim x 9) lim x x x x x + x x ( x +3 3x +5 ( ) 0) lim x x +x ) lim sin(3x ) x 8) lim + ) ) lim 3x x x +x x x + x

19 3) lim x 5) lim sin(πx) x sin x cos x 4) lim sin x sin x x 3 6) lim sin(πx + x ) x 7) lim 9) lim 0) lim x π 4 sin(x) sin(0x) sin(59x) tan x sin x x 3 cos x cos(x + π 4 ) x 3 8) lim ) lim x sin( π [x]) +x sin 3x ) lim [sin( π x)] ([x] = suurin kokonaisluku, joka x). x 63. Määrää sellainen vakio a, että funktiolla f(x) = ax 6x +4 x x raja-arvo, kun x. Mikä ko. raja-arvo on? on 64. Määrää sellaiset luvut a, b R, että raja-arvo ax + bx + lim x x on olemassa. Laske tällöin kyseinen raja-arvo. 65. Laske raja-arvot a) lim x 4 x, b) lim x 4 x tan x, c) lim x x + x 6 +5x 3x 6, +8 d) lim ( x + x x x + x), e) lim, f) lim. x x x x x 66. Määrää seuraavat raja-arvot + cos x 3 x +7 3 x + ) lim, ) lim, 3) lim, x π (x π) x x x x 3 + x x x 3 x + x 4) lim x x, 5) lim + x x x, x ( + x) x 4 6) lim ( + x) 3, 7) lim x x, x 3 8) lim x x, 9) lim x 3 x 3 7 x 3, 0) lim cos x cos x, ) lim, x x

20 ) lim x sin x, sin 3x 5) lim 7x 8) lim x π 0) lim x 3) lim, 6) lim sin 4x, 4) lim x x 3 x sin 8x, sin(x 3), x 3 sin 7x 7) lim sin 4x, ( cos x, 9) lim (x π) x x 4 + x x + x + tan 4x, ) lim x x x +4 3) lim x sin x x 3 x 3, 4) lim x ),, ) lim, 5) lim x 9x 3 +x + 99x cos 3 x 6) lim, 7) lim, x x x 8) lim cos 3x cos x x, 9) lim sin(cos x ) x. 67. Osoita tarkasti, että sin 4x cos x sin x, 3+x sin(x ), a) lim x 5 (3x ) = 4 b) lim x x = Määrää vakioille a ja b sellaiset arvot, että raja-arvo lim on äärellisenä olemassa. Määrää k.o. raja-arvo. +x ax b x 69. Olkoon a = 99 ja a n+ = 7a n, kun n =,,. Osoita, että lukujono (a n )suppenee ja määrää lim n a n. 70. (Yo-tehtävä K00) Lukujonon termit ovat a =, a =, a 3 =, a 4 =, jne. Muodosta termeille rekursiokaava. Laske lim a n. n 7. (Yo-tehtävä S00) Tutki, millä x R sarja k=0 ( x 3x+) k suppenee. Määritä summafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

21 7. Osoita, että yhtälöllä x 3 x 3x + = 0 on täsmälleen a) yksi negatiivinen ratkaisu b) kaksi positiivista ratkaisua. Piirrä ko. polynomifunktion kuvaaja. 73. Osoita, että jatkuvalla funktiolla f :[0, ] [0, ] on kiintopiste ts. sellainen x 0 [0, ], että f(x 0 )=x Määrää sellainen luku a R, että funktio { x, kun x f(x) = x + a, kun x> on kaikkialla jatkuva. cos x cos x 75. Olkoon f(x) =. Voidaanko f(0) määritellä niin, että x f tulee jatkuvaksi pisteessä 0? 76. Määrää sellaiset luvut a, b R, että funktio x +,x<0 f(x) = b,x =0 tan(ax),x>0 bx on jatkuva origossa. 77. Osoita, että yhtälöllä x 7 + x + = 0 on ainakin yksi reaalijuuri. 78. Tutki, onko yhtälöllä x 3 x +x 3= x yhtään ratkaisua. 79. Olkoon f : R R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon f(x) x aina., kun x R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi nollakohta (vihje: käytä Bolzanon lausetta). 80. Olkoon f : R R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon (f(x)) 3 + x + <, aina, kun x R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi nollakohta. 8. Osoita, että yhtälöllä x = cos x on ratkaisu x 0 R. 8. Olkoon { x,x Q f(x) = x,x / Q. Tutki, missä pisteissä f on jatkuva.

22 83. Olkoon f : R R jatkuva ja f(x) =x, kun x Q. Tutki, mikä funktio on kyseessä. 84. Olkoon { 0,x / Q f(x) =,x= p q Q q missä x = p q (q>0) on supistetussa muodossa (sovitaan tässä 0 = 0 ). Tutki, missä pisteissä f on jatkuva. 85. Ratkaise x, kun a) ln x +ln x =ln 3 b) log (log x)= c) e x+ = d) 4 x x >. 86. Olkoon f : R R, f(x) =ln( +x x). Osoita, että f on pariton funktio. 87. Onko log 3 6 rationaali - vai irrationaaliluku? 88. Määrää raja-arvot a) lim d) lim 4 x x(x+), ( + x x )3x, ) x, g) lim x ( x+ x h) lim ( + x 3x )x, k) lim x 89. Laske arc sin ( ) ( arc cos b) lim x[ln x ln(x + )]. 3, ( arc tan( ), arc tan sin(arc tan 3). 3 x+8 x +x e) lim x ( x )x, i) lim x ( x+3 x )x+3, sin(5x), c) lim x, f) lim x ( + x )x, j) lim x ( x+3 x+ )x+, ) ( ) ( ), arc sin, arc sin, arc cos ( ), ) 3, arc cot( 3), sin ( ) arc cos 4 5 Nerous on prosentin verran inspiraatiota ja 99 % hikeä. -Thomas Alva Edison-

23 90. Olkoon f(x) = x. Määrää f (5) suoraan derivaatan määritelmään nojaten. 9. Onko f () olemassa, kun { x, kun x a) f(x) = x, kun x>, { x, kun x b) f(x) = 4x 3, kun x<. 9. Olkoon f(x) = sin x + cos x. Tutki, onko f (0) olemassa. 93. Osoita: Jos f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0 niin f + g on derivoituva pisteessä x 0 ja (f + g) (x 0 )=f (x 0 )+g (x 0 ). 94. Olkoon { x, kun x f(x) = x 3 3, kun x<. Määrää f (x), kun x ja lim f (x) sekä lim f (x). Tutki, onko x x + f jatkuva pisteessä x = ja onko f () olemassa? 95. Määrää sellaiset vakiot a ja b, että fuktio { ax + b, kun x> f(x) = 3x +4, kun x on derivoituva pisteessä x =. 96. Oletetaan, että pisteen x = 0 eräässä ympäristössä on voimassa cos x f(x) +x. Määrää f(0), ja osoita, että f (0) on olemassa ja määrää se. 97. Oletetaan, että f (a) on olemassa. Määrää f(a + h) f(a h) xf(a) af(x) a) lim, b) lim. h 0 h x a x a 98. Olkoon f(x) = x + x +5. Laske f () suoraan derivaatan määritelmän nojalla.

24 99. Oletetaan, että pisteen x = 0 eräässä ympäristössä x f(x) +x. Määrää f(0). Osoita, että f on derivoituva pisteessä x =0, ja laske f (0). 00. Kappaleen paikka hetkellä t on s(t) =t+ 4 +t,t 0. Missä kohdassa kappaleen nopeus on nolla? Milloin kappale on lähinnä origoa? 0. Tutki, millä vakioiden a>0jab>0arvoilla käyrät y = ax ja y = b x leikkaavat toisensa kohtisuoraan. 0. Todista derivoimiskaavat D(cos x) = sin x, D(tan x) = + tan x ja D(cot x) = ( + cot x). 03. Määrää käyrän y = x pisteen (,0) kautta kulkevien tangenttien yhtälöt. 04. Derivoi f(x), kun f(x) on a) (x )(x + x 3 ), b) x x +, c) x3 sin x cos x, sin x d) + cos x, e) x ln x x, f) x5 ln x. 05. Derivoi f(x), kun f(x) on ( ) 4 x + a), b) x x x, c) e ex, d) cosh x, e) x, x f) (ln x) ln x, g) x sin x, h) (arc sin x), i) arc sin x, j) arc tan x, k) arc tan e x, l) arc tan(ln x). 06. Osoita, että a) D sinh x = cosh x, b) funktiolla f(x) = sinh x on käänteisfunktio f (x) =ar sinh x ja määrää sen derivaatta. 07. Osoita, että a) D tanh x = cosh x, b) funktiolla f(x) = tanh x on käänteisfunktio f (x) =ar tanh x ja määrää sen derivaatta. 08. Olkoon f(x) =x 3 +5x +8. Merkitään h(y) =e f (y). Laske h (). 09. Olkoon y() > 0jax 3 y 3 + xy =0. Laske y ().

25 0. Osoita väliarvolauseen avulla, että a) 9 < 66 8 < 8, b) 6 < ln 6 ln 5 < 5, x c) < ln( + x) <x,kun x>0, +x d) x x3 < arc tan x<x x >0. 3. Olkoon f derivoituva funktio, jolla 0 f (x) aina, kun x [0, ]. Olkoon lisäksi f(0) = ja f() = 4. Osoita, että f() 3.. Funktio f : R R toteuttaa ehdot: f() = ja Määrää funktio f. xf(x) yf(y) x y x>0,y >0. 3. Määrää seuraavat raja-arvot a) lim x + cos πx ln(cos 3x) x, b) lim x + + ln(cos x), e x e x x d) lim x sin x ( g) lim x sin x x 3 )., e) lim (cos x) cot x, c) lim sin x e 3x, f) lim sin(cos(7x) ) x, 4. Osoita, että yhtälöllä 0x 4 6x + = 0 on juuri välillä [0,]. (Opastus: tarkastele funktiota f(x) = x 5 3x + x ja sovella Rollen lausetta.) 5. Osoita, että yhtälöllä 0x 3 +4x 7 = 0 on tarkalleen yksi positiivinen juuri. 6. Määrää ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä x + a sin x =0on ratkaisu x välillä [ 0, π ].

26 7. Olkoon g(x) = cos x, π x π. Esitä g : [, ] [π, π] funktion arc cos avulla. 8. Todista identiteetti arc tan( y y+ )+ π 4 = arc tan y, kun y>. 9. Piirrä funktion f(x) = arc sin(sin x), x R, kuvaaja (ilman laskinta). 0. Osoita väliarvolauseen avulla, että a) +x<+ x b) cos x x x>0, x R.. Tutki miten yhtälön x 3 3ax + = 0 reaalisten ratkaisujen lukumäärä riippuu vakiosta a 0.. Laske raja-arvot a) lim x x 3 8 x x sin x x π b) lim c) lim x x π cos x d) lim cos ax cos bx. 3. Valmistetaan tasapaksusta aineesta astia, jonka pohja on neliö ja tilavuus. Astiaan tehdään kansi kalliimmasta materiaalista, jonka hinta on 5-kertainen pinta-alayksikköä kohden verrattuna muuhun osaan. Määrää astian mitat, kun materiaalikulut on saaava mahdollisimman pieniksi. 4. Olkoon f(x) =x 7 +x 5 3, x R. a) Osoita, että f : R R on olemassa. b) Laske (f ) (0). 5. Olkoon f(x) =x + sin x, x R. a) Osoita, että f : R R on olemassa. b) Laske (f ) (π).

27 6. Funktio f : R R toteuttaa ehdon ( ) x + y f(x) f(y) =f (x y) x, y R. Määrää funktio f. 7. Osoita, että funktio f(x) =x on alaspäin kupera suoraan määritelmän perusteella (ks. sivu 5 moniste). 8. Käytettävissä on 00 m aitaa sekä pitkä, suora muuri, jota voidaan käyttää osana aitausta. Rakenna mahdollisimman suuri aitaus, kun a) Muuri ja aita muodostavat yhdessä suorakulmion. b) Aita on osa jonkin ympyrän kehää. 9. Olkoon f(x) =x arc tan (tan x) x π + nπ, n κ. Laske f (x) ja piirrä funktion kuvaaja. 30. Derivoi a) f(x) = (x + )(x +4) x(x +) b) f(x) = (x+) x (x+4) 3 e x. 3. Integroi a) x dx, b) x( x )dx, c) x( x +x 3 x)dx, d) ( x ) dx, e) x+3 dx, f) x+3 dx, g) x 3+x dx, h) x x +8 dx, i) +a x dx, j) dx +x, k) x x dx, l) cos(6x)dx, m) sin(4x +)dx, n) sin 5 x cos xdx, o) sin xdx, p) cos xdx, q) sin 3 xdx, r) cos 3 xdx, s) sin 5 xdx, t) sin 4 xdx, u) cos 4 xdx, v) tan xdx, x) dx 7x+5, y) tan x dx, z) e x e x + dx. 3. Määrää osittaisintegroinnin avulla a) xe x dx, b) xe x dx, c) x sin xdx, d) x ln xdx, e) ln xdx, f) ln(x )dx, g) x sin xdx, h) x ln xdx, i) ln(+x ) dx, j) (x + ) sin(x)dx, k) ln(+x ) dx, x x

28 l) ln( + x )dx, m) arc tan xdx, n) cos(ln x)dx, o) e x cos xdx, p) arc sin xdx, q) x 3 e x dx. 33. Johda osittaisintegroinnin avulla palautuskaavat a) sin n xdx= n sinn x cos x + n sin n xdx, n b) cos n xdx= n cosn x sin x + n cos n xdx n (n =, 3,...). 34. Integroi suluissa annettua sijoitusta käyttäen a) 9 x dx, (x = 3 sin t, π <t<π ), b) + x + dx (t = x + ), c) + 3 x + dx (t = 3 x +), d) dx x + 3 x (x = t6, t > 0). 35. Integroi a) x x + dx, b) dx x(x ), c) +x x( + x) dx, d) dx x +3, e) x +8x (x ) (x +) dx, f) x + x x + dx, g) dx + x, h) x dx, i) x ( x ) x dx, j) x (3x ) 3x dx, k) xdx x + x, l) (e 5x e x )dx, m) x e x dx, n) dx e x e x, o) dx 3x x +, p) x sin x cos 3 xdx, q) x x, r) x 3 x x + dx, s) 4 x + x + dx, t) x +3 x +x + dx, u) x +dx. 36. Musiikissa, kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa on antiikin ajoista lähtien käytetty ns. kultaista leikkausta. Se on jatkosuhde, jossa jana

29 jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pitempään on yhtä suuri kuin pitemmän suhde koko janaan. Olkoon janan pituus l, joka jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Laske osien pituudet. 37. Uutta matematiikkaa: Jos A sahaa puun poikki kolmessa tunnissa, B kahdessa tunnissa ja C yhdessä tunnissa - niin miksi ihmeessä koko hommaa ei anneta C:lle? Mitä tämä tarkoittaa laskuharjoituksiin sovellettuna? 38. Haet Korvatunturin tuotekehittelyosastolta matemaatikon paikkaa. Työhönottohaastattelussa saat Joulupukilta tehtäväksi suunnitella joulukuusenkoristeen, jonka käyrä { y = x, 0 x 4 4 (x 4), 4 <x 6 muodostaa pyörähtäessään x-akselin ympäri (luvut senttimetrejä). a) Pakkausteknisistä syistä on tärkeää tietää koristeen tilavuus. Mikä se on? b) Koriste maalataan punaiseksi siltä osalta, jossa 0 x 4 (cm). Paljonko maalita tarvitaan yhteen koristeeseen, kun maalinkulutuksen tiedetään olevan dl/m?

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot