Äärellisten mallien teoria

Transkriptio

1 Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé pelissä Akseli valitsee neljän pituisessa pelissä ensin verkon G keskipisteen (ainoan solmun astetta kolme) ja sen jälkeen vuoron perään kaikki sen naapurit. Elina ei pysty matkimaan, koska verkossa G ei ole astetta kolme olevaa solmua. Osoitetaan seuraavaksi että G = 3 G. Olkoon g verkon G keskellä oleva kolmiasteinen solmu ja olkoon g vastaavasti verkon G keskimmäinen solmu. Määritellään ekvivalenssirelaatio verkoissa siten, että kaikilla a, b G, a b jos a = b tai on olemassa polku solmujen a ja b välillä, joka ei kulje solmun g kautta. Samoin määritellään kaikilla a, b G, a b jos a = b tai on olemassa polku solmujen a ja b välillä, joka ei kulje solmun g kautta. Tarkoittakoon d G (a, b) tavallista etäisyyttä, eli lyhimmän polun pituutta, solmujen a ja b välillä. Valitaan I 3 = { } I 2 = {{(a, a )} d G (g, a) = d G (g, a )} I 1 = {{(a, a ), (b, b )} d G (g, a) = d G (g, a ), d G (g, b) = d G (g, b ), a b a b } I 0 = Part(G, G ). Kuvaus laajenee edestakaisesti I 2 :een, koska etäisin solmu g:stä verkossa G on etäisyyden 3 päässä, kuten on myös etäisin solmu verkossa G solmusta g ja laajentamiseksi riittää löytää solmu, joka on yhtä etäällä keskustasta kuin toisessa verkossa. Olkoon sitten p = {(a, a )} I 2. Osoitetaan, että se laajenee edestakaisin I 1 :een. Jos b G, riittää valita b siten, että d(g, b ) = d(g, b) ja b a b a. Koska G :ssa on kaksi ekvivalenssiluokkaa, jossa on alkiot kutakin 1

2 etäisyyttä 1, 2, 3 kohden, tällainen löytyy. Samoin laajennus onnistuu toiseen suuntaan. Olkoon sitten p = {(a, a ), (b, b )} I 1 ja c G. Valitaan c siten, että p {(c, c )} on osittainen isomorfismi. Jos c a tai c b valitaan c siten, että d(c, g) = d(c, g ) ja c a jos c a ja c b jos c b. Jos c a ja c b valitaan c seuraavasti. Jos a = g tai b = g, valitaan c vapaasta ekvivalenssiluokasta, jossa on kolme alkiota. Muutoin (a, c) / E G ja (b, c) / E G ja G :sta voitaan valita alkio c joka ei ole a :n tai b naapuri (G :ssa on 7 alkiota ja a, b ja näiden naapurit ovat yhteensä 6 alkiota). Laajennus toiseen suuntaan on yksinkertaisempi, koska G:ssä on enemmän ekvivalenssiluokkia. Tehtävä 2. Olkoon n N ja τ = {U, } relationaalinen aakkosto, missä #(U) = 1 ja #( ) = 2. Tarkastellaan aakkoston τ malleja M, joissa M on universumin lineaarijärjestys. Kun k = 0, 1, 2, log 2 n 1, esitä esimerkki tällaisista malleista A k ja B k, joiden koot ovat n ja n + 1, A k =k B k sekä A k =k+1 B k. Ratkaisu 2. Tämän tehtävän ratkaisussa käytetään alla olevia tehtäviä 4 ja 5 sekä luentojen Lausetta 7.1. Käsitellään ensin tapaukset k {1, 2}. Oletetaan, että mallien universumit ovat doma = {0,..., n 1} ja domb = {0,..., n} ja että lineaarijärjestys noudattaa luonnollisten lukujen järjestystä. Kun k = 1, niin olkoon U A yksiö ja U B kahden alkion joukko (mahdollista, koska n 1, sillä mallin määritelmän nojalla sen universumi ei voi olla tyhjä). Silloin Elina voittaa yhden mittaisen pelin: molemmissa struktuureissa on alkioita jotka ovat U:ssa ja alkioita U:n ulkopuolella. Mutta kahden mittaisen pelin hän häviää: ensin Akseli valitsee B:stä alkion b 0 U B, jolloin Elinan on pakko vastata alkiolla a 0 U A ja sitten Akseli poimii toisen b 1 U B johon Elina ei pysty vastaamaan, sillä mikään a 1 doma, joka ei ole a 0 ei ole joukossa U A. Kun k = 2, on järkevää tarkastella ainoastaan tilannetta n > 2, koska jos lineaarijärjestysten koot ovat 2 ja 3, niin Akseli voittaa kahden siirron mittaisen EF-pelin pelaamalla ensin 3:n pituisen lineaarijärjestyksen keskelle. Oletetaan, että n > 2 ja asetetaan U A = {0, 1, 2} ja U B = {0, 1, 2, 3}. Nyt selvästi A = 2 B, mutta kolmen siirron pelissä Akseli valitsee B:stä alkiot 1 ja 2, jonka jälkeen Elina on jättänyt valitsemasta jonkun yhden alkion joukosta U A. Jos se on 0, Akseli voittaa pelaamalla 3 B, jos se on 2, Akseli voittaa pelaamalla 0 B ja jos se on 1, niin Akseli voittaa pelaamalla sen, eli 1 A. Käsitellään seuraavaksi tapaus k = log 2 (n 1). 2

3 Kun n = 1, k ei ole määritelty ja kun n = 2, niin k = 0: silloin asetetaan U A = doma ja U B =, jolloin selvästi A = 0 B, mutta A =1 B. Oletetaan n > 2. Olkoon A = A k ja B = B k seuraavat mallit. Oletetaan jälleen, että doma = {0,..., n 1} ja domb = {0,..., n} ja lineaarijärjestys noudattaa luonnollisten lukujen järjestystä. Huomataan, että määritelmän nojalla 2 k n 1 2 k+1, Asetetaan U A = U B = {0,..., m 1}, missä m = n (2 k 1). (Jos m = 0, niin U A = U B = ) Merkitään A = A U A A + = A (doma \ U A ) B = B U B B + = B (domb \ U B ). Nyt A + = 2 k 1 ja B + = 2 k. Näytetään, että A = r B jos ja vain jos A + =r B +. Jos A = r B, niin selvästi A + =r B +, koska Elinan voittostrategia pelissä EF r (A, B) on sellainen, että jos Akseli pelaa joukkoon doma + domb +, niin Elina vastaa saman joukon alkiolla (muuten hän häviäisi), eli Elina voi soveltaa samaa strategiaa pelissä EF r (A +, B + ) ja voittaa. Toisaalta oletetaan että A + =r B +. Huomataan että A = A A + ja B = B B +, ja A = B, joten tehtävän 4 nojalla A = r B. Nyt tehtävän 5 nojalla A =k+1 B, koska A + isomorfisinen (2 k 1)-pituisen lineaarijärjestyksen kanssa ja B, 2 k -pituisten. Toisaalta Lauseesta 7.1 seuraa että A = k B samasta syystä. Tehtävä 3. Olkoon S = {(k, k + 1) k {0,..., 3n 2}} joukon X = {0,..., 3n 1} seuraajarelaatio, n N. Tarkastellaan malleja M = X, S, n 1, 2n 1 ja N = X, S, 2n 1, n 1. Osoita, että M = r N, missä r = log 2 n 1. Ratkaisu 3. Olkoon X = {0,..., 3n 1} ja M = X, S, n 1, 2n 1 ja N = X, S, 2n 1, n 1. 3

4 Jos a, a X ja h N, olkoon f a,a,h osittainen kuvaus X X siten, että dom(f a,a,h) = {x X x a < h} ja f a,a,h(x) = a a + x. Kun p on osittainen kuvaus X X, olkoon g p,h = {(x, x) x < h tai x > 3n 1 h} f n 1,2n 1,h f 2n 1,n 1,h f a,p(a),h. Olkoon a dom(p) I i = {p Part(M, N) g p,2 i on osittainen injektiivinen kuvaus}. Osoitetaan aluksi, että I r. Tämä seuraa siitä, että h = 2 r = 2 log 2 n 1 2 log 2 n 1 = n/2 ja x x + n g,h (x) = x n x if x < h if n 1 h < x < n 1 + h if 2n 1 h < x < 2n 1 + h if x > 3n 1 h on tällöin osittainen injektiivinen kuvaus. Olkoon sitten p I i+1. Osoitetaan, että p laajenee edestakaisesti I i :hin. Olkoon a X. Jos a / dom(g p,2 i+1), valitaan mielivaltaisesti a X \ ran(g p,2 i+1). Tällöin dom(g p,2 i) dom(f a,a,2 i) = ja ran(g p,2 i) ran(f a,a,2 i) =, joten g p,2 i = g p,2 i f a,a,2i on osittainen injektiivinen kuvaus. Lisäksi a ei ole minkään dom(p) alkion seuraaja tai edeltäjä, eikä a ole minkään ran(p) alkion seuraaja tai edeltäjä, joten p on osittainen isomorfismi. Jos a dom(g p,2 i+1), olkoon a = g p,2 i+1(a) ja laajennetaan p = p {(a, a )}. Jos b dom(p) ja (a, b) S, a b 1 < 2 i+1, joten a = g p,2 i+1(a) = f b,p(b),2 i+1(a) = p(b) b + a = p(b) 1. Siispä (a, b ) S. Koska sama pätee toisin päin, p on osittainen isomorfismi. Täytyy vielä osoittaa, että g p,2 i on osittainen injektiivinen kuvaus. Jos b dom(p) ja b a < 2 i+1, b a = p(b) a, joten f a,a,2 i ja f b,p(b),2 i ovat yhteensopivia. Jos b a 2 i+1, f a,a,2 i ja f b,p(b),2i ovat myös yhteensopivia, koska dom(f a,a,2 i) dom(f b,p(b),2 i) = ja ran(f a,a,2 i) ran(f b,p(b),2i) =. Samoin on laita f n 1,2n 1,2 i, f 2n 1,n 1,2 i ja kuvauksen g p,2i reunoilla olevien osien kanssa. Tehtävä 4. Olkoon τ relationaalinen aakkosto, k N sekä M ja N aakkoston τ malleja, joilla on erilliset perusjoukot. Mallipari (tai erillinen yhdiste) M N on määritelmän mukaan aakkoston τ malli A, jolle dom(a) = dom(m) dom(n) ja R A = R M R N, kun R τ = Rel(τ). Olkoot M ja N 4

5 myös aakkoston τ malleja, joille dom(m ) dom(n ) =. Osoita, että jos M = k M ja N = k N, niin M N = k N N. Ratkaisu 4. Olkoon (I 0,... I k ) jono osittaisia isomorfismeja joka todistaa ekvivalenssin M = k M ja (J 0,... J k ) vastaavasti ekvivalenssille N = N. Olkoon jokaiselle 0 i k K i = {p q p I k a, q J k b, a + b = k i}. Osoitetaan, että tämä jono osittaisia isomorfismeja kelpaa näyttämään että M N = k M N. Ensin pitää osoittaa, että p q on osittainen isomorfismi M N M N mikäli p ja q ovat osittaisia isomorfismeja M M ja N N. Todistetaan, että p q säilyttää relaatiosymboolien tulkinnat ja jätetään loput lukijan tehtäväksi. Olkoon ā = (a 0,..., b n ) jono mallin M M alkioita. Jos ā:ssa esiintyy alkioita sekä M:stä että M :sta, niin määritelmän mukaan ā ei ole yhdessäkään relaatiossa. Toisaalta sen kuva, ((p q)(a 0 ),..., (p q)(a n )) sisältää myös alkioita molemmista strutuureista, M :sta ja N :sta, joten sekään ei sisälly mihinkään relaatioon. Oletetaan siis että jonon alkiot ovat kaikki mallisssa M ja pätee ā R M jollain R τ. Mutta nyt (p q)(a i ) = p(a i ) kaikilla i, joten koska p on osittainen isomorfismi, myös (p(a 0 ),..., p(a n ) R M. Samoin jos ā / R. Koska I k J k, saadaan, että = K k, koska = k k. Oletetaan, että i > 0 ja r K i. Silloin r = p q joillekin p I k a ja q J k b siten että a + b = k i. Huomataan lisäksi että a < k ja b < k, koska muuten ei voisi olla a + b = k i k. Olkoon x M N mielivaltainen alkio x / domr. Oletetaan ensin että x M. Silloin x / domp, eli löytyy p I k a 1 = I k (a+1) siten että x domp ja p p. Nyt p q K i 1, koska k (i 1) = k i + 1 = a + b + 1 = (a + 1) + b. Samoin jos x N, niin löytyy q J k (b+1) joka laajentaa q:n ja jonka lähtöjoukko sisltää x : n, jolloin taas p q K i 1. Laajentaminen taaksepäin menee symmetrisesti. Tehtävä 5. Olkoot A ja B erikokoisia äärellisiä lineaarijärjestettyjä joukkoja, joista toisessa on vähemmän kuin 2 k 1 alkiota. Osoita, että Akselilla on voittostrategia pelissä EF k (A, B). Ratkaisu 5. Todistetaan induktiolla k:n suhteen. Jos k = 2, niin toisen mallin koko on vähemmän kuin = 2, eli 1 ja toisen isompi, joten Akseli selvästi voittaa pelin jonka pituus on k = 2. Oletetaan, että väite pätee luvulle k ja osoitetaan se luvulle k +1. Olkoon A ja B lineaarijärjestyksiä siten että A:n koko on pienempi kuin 2 k+1 1 = 2 k 5

6 ja B:n koko on eri. Ensimmäisellä siirrolla Akseli valitsee mallista A pisteen a, jonka järjestysnumero alusta laskien on 2 k 1. Oletetaan, että Elina vastaa b B. Nyt joko tai #{x A x < a} #{x B x < b} #{x A x > a} #{x B x > b}. Ensimmäisessä tapauksessa Akseli pelaa tästä eteenpäin vain pisteiden a ja b alapuolella soveltamalla induktio-oletuksen voittostrategiaa malleihin ja A {x A x < a} B {x B x < b} ja voittaa. Jälkimmäisessä tapauksessa hän pelaa vastaavasti pisteiden a ja b yläpuolelle. Huomaa, että induktio-oletusta voi käyttää, koska A < 2 k, joten sekä #{x A x < a} < 2 k 1 että #{x A x > a} < 2 k 1. Tehtävä 6. Tarkastellaan 4 solmun verkkojen G ja G välistä kahden kierroksen Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peliä EF 2 (G, G ). a) Osoita, että Akselilla on voittostrategia pelissä, jos G = G ja verkossa G on 0 tai 6 särmää. b) Osoita, että Akseli voittaa pelin, jos verkossa G on solmu, josta ei lähde särmiä, ja verkossa G ei ole tällaista solmua. c) Määritä sellaiset neljän solmun verkkojen parit (G, G ), että G = G, mutta Elinalla on voittostrategia pelissä EF 2 (G, G ). Ratkaisu 6. a) Jos verkossa G ei ole särmiä, mutta verkossa G on Akseli pelaa kummatkin siirtonsa b 0 ja b 1 verkkoon G siten, että näiden välillä on särmä. Koska verkossa G ei ole särmiä, Elina ei voi vastata näihin siirtoihin siten, että syntyvä kuvaus olisi osittainen isomorfismi. Jos G on täysi verkko, mutta G ei, Akseli pelaa vastaavasti verkosta G solmut, joiden välillä ei ole särmää. 6

7 b) Akseli pelaa aluksi verkosta G solmun a 0, josta ei lähde särmiä. Elina vastaa tähän solmulla b 0 verkossa G. Koska kaikista verkon G solmuista lähti särmä, voi Akseli pelata alkion b 1 verkosta G siten, että solmujen b 0 ja b 1 välillä on särmä. Nyt Elina ei voi pelata alkiota a 1 siten, että solmujen a 0 ja a 1 välillä olisi särmä ja häviää pelin. c) Osoitetaan, että G = 2 G, jos ja vain jos G:ssä on solmu, johon ei liity särmiä, jos ja vain jos G :ssa on solmu, johon ei liity särmiä. G:ssä on solmu, joka liittyy särmällä kaikkiin solmuihin, jos ja vain jos G :ssa on solmu, joka liittyy särmällä kaikkiin solmuihin. G:ssä on solmu, jonka aste on 1 tai 2, jos ja vain jos G :ssa on solmu, jonka aste on 1 tai 2. Jos ehdot eivät ole voimassa edelliset tehtävän kohdat osoittavat, että Akseli voittaa kahden siirron EF -pelin. Olkoon (G, G ) verkkopari, jolle ehdot ovat voimassa. Oletetaan, että Akseli pelaa ensimmäisellä siirrolla solmun c 0. Jos solmuun ei liity särmiä, Elina pelaa solmun d 0 toisesta verkosta siten, ettei siihen liity särmiä. Jos c 0 liittyy kaikkiin verkon muihin solmuihin särmällä, Elina pelaa solmun d 0 toisesta verkosta siten, että se liittyy särmällä kaikkiin muihin solmuihin. Jos c 0 :sta lähtee särmiä, mutta ei kaikkiin muihin solmuihin, Elina pelaa solmun d 0 josta lähtee särmiä, mutta ei kaikkiin solmuihin. Nyt Elina voi vastata mihin tahansa Akselin toiseen siirtoon sen mukaan onko siirretyn alkion ja toisen malliin pelatun alkion välillä särmä vai ei. Aikaisemmissa laskuharjoituksissa on todettu, että 4 alkion verkkoja on 11 kpl. Ekvivalenssi 2 siirron EF -pelin suhteen jakaa nämä nyt viiteen luokkaan: Ei särmiä * * * * Solmu, johon ei liity särmiä

8 * * * * * * \ * * *-* *-* Kaikkien solmujen aste on * * * * *-* * * *-* *-* Solmu, joka liittyy särmällä kaikkiin muihin solmuihin * * * * *-* / / / *-* *-* *-* Täysi verkko *-* X *-* 8