Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
|
|
- Seppo Mäkelä
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
2 Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÙØ ÐÑ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø ÌÙØ ÐÑ ÐØ ÓÐÑ ÐÙ Ù Ò ÑÑ ÐÙÚÙ ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ØÓ ÓÑ ØØ Ø Ä ØÓ ÐÙÚÙ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÒÒ Ú Ú Ð ÒØ Ø ÃÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ Ð Ø Ò Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÙØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÂÓØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÐÙÚÙ ½ ѹ Ö Ø ÐÐÒ ÑÙÙÒ ÑÙ ØØ Ø Ý Ð ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ñ Ö Ó Ø Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ð Ù Ø ÄÙÚÙ ¾ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÐØ ÖÒÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÓÑ ØØ Ø ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÔ ÒÓ ÓÒ ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó¹ Ñ ØØ Ø Ò Ò 2 2¹ ØØ Ò n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÄÙÚÙ ¾¾ ØÙØ Ø Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ ØÖ Ø ØÙÐ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó ¹ Ø Ò ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ ÌÙØ ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÔÐ Ö Ó Ò ËØ Ô Ò À Ö Ö Ò Ø Ó Ø Ä Ò Ö Ð Ö Ï ÐÐ Ñ ÖÓÛÒ Ò Ö Å ØÖ Ò Î ØÓÖ ËÔ
3 Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾ ½½ È ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾ ½¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÑ Ò ÙÙ ½ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾½ ¾½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾½ ¾¾ ÓÑ ØØ Ò Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¾ ¾¾½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ 2 2¹Ñ ØÖ ÐÐ ¾ ¾¾¾ ËÙÙÒÒ Ò Ð ¾ ¾ ÓÑ ØØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¼ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ø ¾ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ½ Ã Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò LU¹ ÓØ ÐÑ Ò ÚÙÐÐ Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Î ØØ Ø ½
4 ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ø Ó ØØÙ ØÙÐÓ ÂÓ ÐÐ Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò Òع Ø Ó ÓÒ Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÇÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Ý ÒÓ ÐÙ Ù ÚÓ ÖØÓ Ñ ØÖ Ø Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ Ø ÌÙÐÓÒ ÐÝÑ Ò Ò ÓÒ Ý ØÖ Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ Ò Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ñ Ù Ò Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ö Ò Ð ØØÙ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ØÙÐÓ Ë Ò Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ ÓÐ Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÐÐ ÐÝØ Ý Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ø ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÑÙØØ det(ab = det(a det(b, det(a + B det(a + det(b det(ca c det(a, Ú Ñ ØÖ Ò A B Ý Ø ÒÐ Ù ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÑÑ ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø Ø Ò Ð Ò ÙÒ ÓÐÐ Ò Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ØØ Ø Ó ØØÙ Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ñ Ö ØØ Ø Ý Ð ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ñ Ö Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ ÌÓ ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÐÑ ÐÐ ÓÓÑ ÐÐ ÄÙÚÙ ¹ ¾½ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ø ØÒ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÐÙÚÙ ¹ ¾ ¹¾ ÄÙÚÙ ¾¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø 2 2¹ Ñ ØÖ ÐÐ Ä ÐÙÚÙ ¾¾¾ ØÙØ Ø Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ì ÐÙÚÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ø ÖÚÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ¹ Ø Ú Ø Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÙÒÒ Ò Ð Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÄÙÚÙ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÐÙÚÙ ¾ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ý Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÐÙÚÙ ½ Ø ØÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ä ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ Ý Ò ÐÔ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÖ ÑÔ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÙÚÙ ¾ Ó ¹ Ø Ò Ò Ò ÒÓØØÙ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ò ÚÙÐÐ Î Ñ Ð ÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ Ð Ø Ò Ð Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ò Òع Ø ÙØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ½
5 ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÔ ÒÓ ÓÒ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ò Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø Ø ÓÐ ØÙ Ø ÅÙع Ø ØÓ ÐØ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÙÓ Ð ÝÚÝÝØØ Ý¹ Ò ØØ Ò ÑÓÒ Ò ÙÙØ Ò Ì ØÙØ ÐÑ ÙÒÒ ÐÐ F Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÙÒØ R Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒØ C ÌÙØ ÐÑ ÙÖ Ô Ø Ó ½ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ö Ó ØØ Ò ÓÑ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø ÂÓØ Ò Ñ Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÖ Ò Ð Ö Ø Ó Ò Ø Ô Ö ÑÔ Ñ Ö ÓÒ Ú ¹ Ý Ò ÐÙ Ò Ø Î Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÙÙÐÙÙ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ô ÖÙ ØØ Ò Ñ Ö¹ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÙÖ ÐÐ Ä Ò Ö Ð Ö Á ÓÐÐ ÙÖ Ø Ò Ð ¹ ØØ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÝÐ Ø ÙÓÖ Ò Ö Ø ÐÑÒ Ð¹ Ñ Ò ÙÑÑ ÑÔ Ô ÖÙ Ø ÐÙ ÌÙØ ÐÑ Ö Ø ÐÑ Ó Ø Ò ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÄÙ ÐØ Ó ÓØ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ø ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½½ È ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐÙÚÙ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø Ó Ø Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ ÄÙÚÙ ½ Ú Ø Ø Ò Ø Ó Ò ½ ½ ¹½ ½ Ó ØÓ Ò Ñ Ò Ø Å Ö ØÒ (n = {1, 2, 3,..., n} ÃÓ Ó n ÓÐ Ú Ô ÖÑÙØ Ø Ó n¹ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½½ n¹permtaatio ÓÒ Ø Ó Ð Ø ÓÙ ÓÐØ (n Ñ Ð ÓÙ¹ ÓÐÐ (n ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÝÑ ÓÐ S n Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÌÓ Ò ÒÓ Ò S n ={σ (n (n σ ÓÒ Ø Ó} ÂÓÙ Ó S n ÙØ ÙØ Ò ÝÑÑ ØÖ ÖÝ Ñ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò ÇÒ ÐÔÔÓ Ð Ù Ò ÑÓÒØ Ð ÓØ ÓÙ Ó S n ÐØ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ó σ : (n (n ÃÓ (n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ò Ò Ö ØØ ÓÒ ØÖÙÓ ÙÚ Ù σ Ó ÓÒ Ò Ø Ó ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÌÑ ÓÒ ÐÐ ØØÙ ØØ ÙÒ σ ÓÒ Ò Ø Ó Ò Ò σ ÓÒ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ó Ø Ñ Ð ÓÙ ÓÒ Ð ÓØ y (n Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ y = σ(x ÓÐÐ Ò x (n ¾
6 ÃÙÚ Ù Ò σ ÖÚÓ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÐÐ ½ ØÓ Ò ÒÓ Ò σ(1 ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò ÓÙ ÓÒ (n n Ø Ð Ó Ø ÃÓ σ ÓÒ Ò Ø Ó Ò Ò ÙÚ Ù Ò ÖÚÓÐÐ σ(2 ÓÒ n 1 Ú ØÓ ØÓ σ(1 σ(2 ÙÒ σ(1 ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÃÙÒ σ(1 σ(2 ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÙÚ Ù Ò ÖÚÓÐÐ σ(3 ÓÒ n 2 Ú ØÓ ØÓ ÙÒ σ(1 σ(3 σ(2 σ(3 Â Ø Ñ ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò n(n 1(n 2 (3(2(1 = n! Ö Ð Ø ÙÚ Ù Ø σ ÌØ Ò S n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ n! Ð ÓØ ØÔ ØÚ Ø ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò n! ÓÙ ÓÒ (n Ö ÐÐ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÌÓ ÐØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÔÔÖÑÔ Ø Ô ÐÑ Ø ÓÙ ÓÒ (n Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ(1 = j 1, σ(2 = j 2,...,σ(n = j n ÃÓ σ ÓÒ Ø Ó Ò Ò (n = {j 1,...,j n } ÙÒ Ø Ó σ ÚÓ Ò ØØ ÒÝØ 2 n¹ñ ØÖ Ò ( 1 2 n σ =. ½µ j 1 j 2 j n ÀÙÓÑ ÙØÙ Å ØÖ Ñ Ö ÒØ ½µ ÓÐ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ë ÒÝØ Ó σ ÓÒ Ø Ó Ò Ò ÐÐ ÓÐ ÚÐ Ñ Ö ØÝ Ð Ó i (n Ø Ú Ø Ú ÙÚ σ(i (n ÓÚ Ø Ñ ØÖ ½µ Ñ Ö ( ( =. j 1 j 2 j 2 j 1 Ñ Ö ½ Ð ÝØÝÝ Ð Ö Ø Ñ Ö Ø ½¾ ½ ÓÚ Ø Ó ØØ Ò ¹ ÑÓ Ù Ò Ö Ñ Ö ½¾ ÂÓÙ ÓÒ S 3 Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ( ( ( σ 1 =, σ =, σ =, σ 4 = ( ( 1 2 3, σ 5 = Ñ Ö σ 3 (1 = 2 σ 3 (2 = 1 σ 3 (3 = 3 ( 1 2 3, σ 6 = Ñ Ö ½ ÂÓÙ Ó S 4 ÐØ ¾ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ( ( ( σ 1 =, σ =, σ =,
7 ( σ 4 = ( σ 7 = ( σ 10 = ( σ 13 = ( σ 16 = ( σ 19 = ( σ 22 = ( , σ 5 = , σ 8 =, σ 11 =, σ 14 =, σ 17 =, σ 20 =, σ 23 = ( ( ( ( ( ( ( , σ 6 = , σ 9 =, σ 12 =, σ 15 =, σ 18 =, σ 21 =, σ 24 = Ñ Ö σ 13 (1 = 3 σ 13 (2 = 1 σ 13 (3 = 2 σ 13 (4 = 4 ( ( ( ( ( ( ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø Ó Ø ÓØ Ò Ó ØÙÚ Ø ¹ Ö ÐÐ ÐØ n Ö ÐÐ Ø Ð ÓØ ÐØÚÐØ ÓÙ ÓÐØ Ú Ø Ú ÐÐ n Ò Ö ÐÐ Ò Ð¹ ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ ÇÐ ÓÓÒ T {A 1,...,A n } Ó A 1,...,A n ÓÚ Ø Ö ÐÐ ÂÓ σ S n Ò Ò σ ÓÒ Ø Ó ÓÙ ÓÐØ T ÓÙ ÓÐÐ T ÙÒ σ(a i = A σ(i Ò ÙÒ i = 1,..., n ÐÐ Ø ØØÝ Ø Ô ÝØ ØÒ ÑÓÒ Ý Ø Ý Ñ Ø Ñ ¹ Ø,,,,,,. Ñ Ö ½ ÇÐ ÓÓÒ I 3 = ¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø I 3 ÙÙ Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ñ ØÖ ÓØØ Ñ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ñ ØÖ Ò I 3 ÔÝ ØÝÖ ¹ Ú Ø Ì Ò Ý Ø Ñ ØØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ I 3 Ö ¹ Ò I 3 = [ǫ 1 ǫ 2 ǫ 3 ] ÐÐ ǫ = {ǫ 1, ǫ 2, ǫ 3 } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò F 3 ÒÓÒ Ò Ò ÒØ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ú ØÓÖ Ø ǫ 1, ǫ 2 ǫ 3 ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ¹ Ò F 3 ÒÒ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ý ÇÐ ÓÓÒ σ(ǫ i = ǫ σ(i ÓÙ Ó ¹ S 3 ÙÒ ǫ ÓÒ ÒØ ÆÝØ Ó Ò Ò σ S 3 ÑÖ ØØ Ð ÙÙ Ò Ñ ØÖ Ò
8 I(σ = [ǫ σ(1 ǫ σ(2 ǫ σ(3 ] ÃÝØØÑÐÐ Ñ ÒÐ Ø ØÝ Ø Ô Ù Ò Ñ Ö¹ ½¾ Ò I(σ 1 = 0 1 0,I(σ 2 = 0 0 1, I(σ 3 = I(σ 5 = ,I(σ 4 =,I(σ 6 = È ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ ÝØ Ñ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ ÎÓ Ò Ñ Ö Ú Ø ØØ Ú ØÓÖ Ò Ö ØÝ ¹ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÑÖ Ø ÐØ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÌÙÐÓ ÚÓ Ò Ð¹ Ñ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø Ó Ø σ S n Ó Ø ÓÙ Ó {α 1,...,α n } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ Ó Ú Ò Ó ÓÙ Ó {α σ(1,...,α σ(n } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÃÓ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n Ò ÚÓ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ò Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ó Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ, τ S n Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù στ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n Ä ØØ στ(j Ñ ÐÐ Ø Ò j (n Ð Ø Ò Ò Ò τ(j Ñ ØÖ Ñ Ö ÒÒÒ ½µ ÑÙ Ø Ú Ø Ò Ð Ò σ(τ(j Ñ Ö ½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ( τ = ,. ( ja σ = ÓÚ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÙ Ó S 5 ÃÝØØÑÐÐ Ñ ØÖ Ñ Ö ÒØ ½µ ¹ Ò ( ( στ = ja τσ = ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÓÐ ÝÐ Ø Óѹ ÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ñ Ö ½ στ τσ È ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ, τ S n Ý Ø ØØÝ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÓ¹ Ó Ø ÙÚ Ù Ò σ τ Ñ ØÖ ØÝ Ø ÇÒ ÑÝ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÓÐ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ ØÙÐÓ
9 Ä Ù ½ µ σ(τγ = (στγ ÐÐ σ, τ, γ S n µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó I S n ØØ σi = Iσ = σ ÐÐ σ S n µ ÂÓ Ø σ S n Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò τ S n ØØ στ = τσ = I ÌÓ ØÙ µ¹ Ó Ø Ô Ø Ô Ò ÐÐ ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ÓÒ Ó ¹ Ø Ú Ò Ò Æ Ñ ØØ Ò ÙÒ ÒÝØ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x (n Ò Ò σ(τγ(x = σ((τγ(x = σ(τ(γ(x = στ(γ(x = ((στγ(x. µ¹ Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó I ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÌØ Ò ÙÒ ( n I =, n Ò Ò ( ( n n σi = j 1 j 2 j 3 j n n ( n = = σ j 1 j 2 j 3 j n ( ( n n Iσ = n j 1 j 2 j 3 j n ( n = = σ. j 1 j 2 j 3 j n ÅÝ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐÙÚÙ ÐÐ Ø ØÝÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ I ØÙÐÐ Ò Ø Ö Ó Ø¹ Ø Ñ Ò ÒØØ Ø ÙÚ Ù Ø ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÃÓ Ò µ ØÓ Ø Ñ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò σ S n ÆÝØ τ ÓÒ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÒ σ ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó σ 1 ÃÓ σ ÓÒ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø Óй Ð σ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó σ 1 (n (n ÌÐÐ Ò σ 1 (i = j Ó Ú Ò Ó σ(j = i Ë ÐÚ Ø σ 1 ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó (n σσ 1 = σ 1 σ = I
10 ÃÙÒ S ÓÒ ÔØÝ ÓÙ Ó ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó (α, β αβ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ ÓÙ Ó S Ð ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ S S ÓÙ ÓÓÒ S Ò Ò ØØ Ó ÓÒ ÙÙØØ Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ½ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ö ÖÝ Ñ ÆÝØ Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ S n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÖÝ Ñ Ó ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÃÓ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÙÐÐ Ò ÑÝ ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ò ÚÙÐÐ Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÝ ÔÐÙ ¹ Ø Ñ ÒÙ Ñ Ö ÑÝ ¹ ÑÑ Ò Ø ÐØÚÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ø ØÓ ÂÓØØ ÚÓ Ò ÝÑÑÖØ Ñ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ø Ö Ó ØØ Ò Ò ØÝØÝÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ý Ð Ø ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÌÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ σ ÙØ ÙØ Ò Ý Ð ¹ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø r Ö ÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù i 1, i 2,...,i r (n ØØ µ σ(i 1 = i 2, σ(i 2 = i 3,...,σ(i r 1 = i r σ(i r = i 1 µ σ(j = j ÐÐ j (n \ {i 1,...,i r } ÄÙ Ù r ÓÒ Ý Ð Ò Ô ØÙÙ ÂÓ σ ÓÒ Ý Ð ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ý Ò Ò ØÐÐ Ò σ = I ÌÑ Ø Ô Ù ÓÐ ÓÚ Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ S n ÓÒ Ý Ð ÓÒ Ô ØÙÙ r ÓÒ Ú ÒØÒ ÌÐÐ Ò σ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÒ ÖØÚ Ó ÓÒ r Ö ÐÐ Ø Ð ÓØ i 1, i 2,..., i r ÄÓÔÙØ ÓÙ ÓÒ (n Ð ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ½ ÇÐ ÓÓØ ( σ 1 =, σ = ( σ 3 = ( ÆÝØ ÓÙ Ó S 6 σ 1 ÓÒ ÓÐÑ Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð σ 2 ÓÒ ÙÙ Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð Ä σ 3 ÓÐ Ø Ý Ð ÑÙØØ ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ô ØÙ Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÐÐ σ 3 = ( ( ,
11 ÇÐ ÓÓÒ σ r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð ÓÙ Ó S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ r > 1 σ(i 1 = i 2 σ(i 2 = i 3,...,σ(i r 1 = i r σ(i r = i 1. ÄÝ ÒÒ ØÒ ØØ Ò Ý ØÐ Ò ½µ Ñ ØÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ú ÑÑ Ò σ = (i 1, i 2,...,i r. ¾µ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ö ½ σ 1 = (2, 6, 4 σ 2 = (1, 6, 2, 3, 4, 5 σ 3 = (1, 2(3, 6, 5, 4. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ý ØÐ Ò ¾µ ÑÙ Ò Ò r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð (i 1, i 2,...,i r ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ë ÐÚ Ø Ñ Ö ½ σ 1 = (2, 6, 4 = (6, 4, 2 = (4, 2, 6. ÅÖ Ø ÐÑ ½ Ã Ý Ð ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ó Òص Ó {i 1, i 2,...,i r } {j 1, j 2,...,j s } =. ÌÓ Ò ÒÓ Ò σ τ ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ó ØÝ Ø ÚÓ ÐÐ (i 1, i 2,...,i r (j 1, j 2,..., j s ÓÐ Ý Ø Ð Ó Ø Ñ Ö ½ σ 3 ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ý Ð Ò (1, 2 (3, 6, 5, 4 Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÌÑ ÔØ ÝÐ Ø Ò Ô Ò Ä Ù Ò ½½¼ ½½ ½½ ØÓ ØÙ Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ä Ù ½½¼ ÂÓ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ¹ ØØ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ò Ð Ù Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ σ S 2 ÂÓÙ ÓÒ S 2 Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓØ ÓÚ Ø σ 1 = ( σ 2 = ( ÆÝØ σ 1 ÚÓ Ò ØØ Ý Ò Ô ØÙ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÙÒ Ø σ 2 ÓÒ Ý Ð (1, 2 = (2, 1
12 Ì Ò ØØ Ò Ò Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÓÙ¹ ÓÐÐ S n m ÙÒ n > m Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÓÙ ÓÐÐ S n ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÂÓ σ ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÓÒ ÐÚ ÅÙÙ Ø Ô Ù ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø i 1,...,i m ØØ ( i1 i σ = 2 i m j 1 j n m i 2 i 3 i 1 j 1 j n m, Ñ {j 1,..., j n m = (j 1,..., j n m } = {1,...,n} \ {i 1,...,i m ÌÐÐ Ò σ Ò Ý ØÑÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ( i1 i τ = 2 i m j 1 j n m i 1 i 2 i m j 1 j n m ( i1 i ν = 2 i m j 1 j n m. i 2 i 3 i 1 j 1 j n m ÁÒ Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ( τ j1 j = n m j 1 j n m ÚÓ Ò ØØ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø Ø¹ ØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÇÐ ÓÓØ τ 1,...,τ p ÒÑ Ý Ð Ø Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÒÒ Ö ÐÐ Ø Ý Ð Ø Ñ {j 1 τ k = ( i1 i 2 i m j 1 j n m i 1 i 2 i m j 1 j n m,,..., j n m = (j 1,...,j n m } = {1,..., n} \ {i 1,...,i m k = 1,...,p ÆÝØ Ý ØÑÐÐ Ý Ð Ø τ 1,...,τ p ν Ò σ Ó ÓÒ Ö¹ ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ò Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ë Ð Ù¹ Ò Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ñ Ö ½½½ ÇÐ ÓÓÒ ( σ = S 11. ÌÐÐ Ò σ = (1, 11, 3(2, 10, 9, 6, 8 ÓÒ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ò Ò Ö ÐÐ ¹ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù
13 ÅÖ Ø ÐÑ ½½¾ ËÝ Ð ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÙØ ÙØ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø ¾¹ Ý Ð Ä Ù ½½ ËÝ Ð ÚÓ Ò Ò ÐÑ Ø ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ Ù¹ Ú Ù Ò (i 1, i 2,..., i r = (i 1, i r (i 1, i r 1 (i 1, i r 2 (i 1, i 2. ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ σ r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð ÓÙ Ó S n ÌÐÐ Ò ÙÒ r 2 Ò Ò ( i1 i σ = (i 1, i 2,...,i r = 2 i r 1 i r i r+1 i n i 2 i 3 i r i 1 i r+1 i n ( i1 i = 2 i r 1 i r i r+1 i n i r i 2 i r 1 i 1 i r+1 i n ( i1 i 2 i r 2 i r 1 i r i r+1 i n i r 1 i 2 i r 2 i 1 i r i r+1 i n ( i1 i 2 i 3 i r 1 i r i r+1 i n i 2 i 1 i 3 i r 1 i r i r+1 i n = (i 1, i r (i 1, i r 1, (i 1, i r 2 (i 1, i 2. Ë Ú Ø ÔØ Ô Ø Ô Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò Ò Ý Ð ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ø¹ ÑÐÐ Ð Ù Ø Ò ÙÖ Ú Ð Ù Ä Ù ½½ ÂÓ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø Ø¹ ØÝ ÙÚ Ù ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ½½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ý ¹ ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÆÝØ Ð Ù Ò ½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò Ý Ð ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Æ ÒÔ Ó¹ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Á ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù I : (n (n ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ø Ò Ò ÌÓ Ò ÒÓ Ò I = (a, b(a, b Ò ÙÒ a, b (n È ÖÑÙØ Ø Ó Ò ØÝ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù ¹ Ò ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ½¼
14 Ñ Ö ½½ ÇÐ ÓÓÒ ¾ ½µ Ý Ð ÓÙ Ó S 19 ÌÐÐ Ò (5, 2, 4, 3, 1 = (5, 1(5, 3(5, 4(5, 2. ÅÙØØ ÒÝØ ÑÝ (5, 2, 4, 3, 1 = (4, 3, 1, 5, 2 Ë (5, 2, 4, 3, 1 = (4, 2(4, 5(4, 1(4, 3. Î Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÝ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ØÖ Ð Ù Ä Ù Ò ½½ ØÓ ØÙ Ø ØÒ ØÙØ ÐÑ Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ö ÙØÙÑÑ Ò Ù Ò Ð Ö Ä Ð Ù Ò ½½ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ä Ù ½½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÂÓ σ ÓÒ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý ¹ Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ σ Ø ØÒ ÓÒ Ò ÑÙÙÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÐØ Ò Ô Ö ÐÐ Ò ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø Î Ø Ú Ø Ó σ ÓÒ Ô Ö ØÓÒÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ σ Ø ØÒ ÓÒ Ò ÑÙÙÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ Ù¹ Ú Ù Ò ÐØ Ò Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ X 1, X 2,...,X n R ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1, X 2,...,X n ÑÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑ P P(X 1, X 2,...,X n = i<j(x i X j. µ ÌÙÐÓ ØØ ÖÓØÙ Ø X i X j ÙÒ 1 i < j n ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ò Ó Ø σ S n Ó Ø ØØ σ(p = P(X σ(1, X σ(2,...,x σ(n = i<j(x σ(i X σ(j. µ ÆÝØ σ(p ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ø P Ç Ó Ø Ø Ò ØØ σ(p = ±P Ò ÙÒ σ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ = (p, q ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ 1 p < q n Ç Ó Ø Ø Ò ØØ σ(p = P ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ σ(p ÓÒ ØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø P Ú Ø Ñ ÐÐ ÐÙ Ù X p X q ÆÝØ σ(p P ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò ÐÙ Ù Ò X p X q Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ä Ø Ø Ò ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò P Ø Ø ÓØ ÐØÚØ Ó Ó ÐÙÚÙÒ X p Ø X q Ä Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ø Ó ÓÒ X p X 1 X p, X 2 X p,...,x p 1 X p, X p X p+1,...,x p X q 1, X p X q+1,...,x p X n. µ µ µ ½½
15 Ä Ø Ø Ò ØØ Ò Ø Ø Ó ÓÒ X q X 1 X q, X 2 X q,...,x p 1 X q, X p+1 X q,..., X q 1 X q, X q X q+1,...,x q X n. µ µ ½¼µ Ä ÔÓÐÝÒÓÑ P ÓÒ Ø Ó ÐØ ÐÙÚÙÒ X p ØØ X q Ò Ñ Ø¹ Ø Ò Ø X p X q ÃÙÒ ÒÝØ ÑÙÙØ Ø Ò ÐÙ Ù X p ÐÙÚÙ X q ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ö Ú Ò µ µ Ö Ú Ò µ ½¼µ ÑÙÙØÓ Ø ÓÑÔ Ò Ó Ú Ø ØÓ Ò ÒÓ ÑÙÙØÓ Ø Ô ØÙÙ Ö Ú ÐÐ µ µ ÃÓ Ö Ú ÐÐ µ ØØ µ ÓÒ Ø Ò Ò (q 1 (p = q p 1 σ(p = ( 1 2(q p 1+1 P = P. ½½µ ÇÐÐ Ò Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ý ØØ Ò Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ú Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò P Ñ Ö¹ Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ τ = τ 1 τ 2 τ m ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÙÒ τ i ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó 1 i m ÆÝØ Ý ØÐ µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = P(X τ(1, X τ(2,...,x τ(m = i<j(x τ(i X τ(j. ½¾µ ÂÓ m ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ý ØÐ Ò ½½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = τ 1 τ 2 τ m (P = τ 1 τ 2 τ m 1 ( P = τ 1 τ 2 (P = τ 1 ( P = ( P = P. ÂÓ Ø m ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò Ý ØÐ Ò ½½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = τ 1 τ 2 τ m (P = τ 1 τ 2 τ m 1 ( P = τ 1 τ 2 ( P = τ 1 (P = P. ÇÐ ÓÓÒ r Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ s Ô Ö ØÓÒ Ó ÓÒ ÙÐÙ Ù ÌÐÐ Ò Ò ÙÒ P 0 Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò τ 1 τ 2 τ r (P = P P = τ 1 τ 2 τ s (P, ½¾
16 ÅÖ Ø ÐÑ ½½ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ S n ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò parillinen Ó σ Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Ó ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ S n ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò pariton Ó σ Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Ó ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø Ä Ù Ø Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÒ Ó Ó Ô ¹ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ô Ö ØÓÒ ÑÙØØ ÑÓÐ ÑÔ ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÒØØ Ò Ò Ù¹ Ú Ù I ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó I = (a, b(a, b Ò ÙÒ a, b (n ÌÓ ÐØ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó (a, b ÓÒ Ò Ô Ö ØÓÒ Ä Ù ½½ µ Ã Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò µ Ã Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò µ È Ö ÐÐ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ØÓÒµ ÌÓ ØÙ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ØØ τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ τ ÐØÚØ p = 2m ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÙÒ m = 1, 2, 3... ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + p = 2m + 2m = 2 2m ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ØØ τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ¹ ØÓÒÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ τ ¹ ÐØÚØ p = 2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÙÒ m = 0, 1, 2... ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + p = 2m m + 1 = 2(2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ØÓÒѹ Ö Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ ÐØ p = 2m τ ÐØ r = 2m +1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø Ø¹ ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + r = 2m + 2m + 1 = 2 2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ½½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ merkki Ò(σ ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ { 1 Ó σ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò, Ò(σ = 1 Ó σ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ. ÃÙÒ σ Ú Ø Ð ÓÙ Ó S n Ñ Ö Ò(σ ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò( : S n { 1, 1}. ½
17 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ò(I = 1 Ò((a, b = 1 Ò ÙÒ a b ÓÙ Ó (n È Ð Ø Ò ÙÖ Ú Ñ Ö Ò Ñ Ö Ø ½¾¼ ½¾½ Ð ÝØÝÚØ Ð Ø Ó Ø Ñ Ö ½¾¼ Â Ø Ò ÓÙ Ó S 3 Ù Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò σ 1 = I Ò(σ 1 = 1 σ 2 = (2, 3 Ò(σ 2 = 1 σ 3 = (1, 2 Ò(σ 3 = 1 σ 4 = (1, 2, 3 = (1, 3(1, 2 Ò(σ 4 = 1 σ 5 = (1, 3, 2 = (1, 2(1, 3 Ò(σ 5 = 1 σ 6 = (1, 3 Ò(σ 6 = 1 Ñ Ö ½¾½ ÂÓÙ Ó S 4 Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ó ÒØ ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Ø ½¾ Ò(σ 1 = 1, Ò(σ 9 = 1, Ò(σ 17 = 1, Ò(σ 2 = 1, Ò(σ 10 = 1, Ò(σ 18 = 1, Ò(σ 3 = 1, Ò(σ 11 = 1, Ò(σ 19 = 1, Ò(σ 4 = 1, Ò(σ 12 = 1, Ò(σ 20 = 1, Ò(σ 5 = 1, Ò(σ 13 = 1, Ò(σ 21 = 1, Ò(σ 6 = 1, Ò(σ 14 = 1, Ò(σ 22 = 1, Ò(σ 7 = 1, Ò(σ 15 = 1, Ò(σ 23 = 1, Ò(σ 8 = 1, Ò(σ 16 = 1, Ò(σ 24 = 1. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ ÆÝØ ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ì ØÙØ ÐÑ Ñ Ö ÒÒÐÐ M n n Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÙÒÒ Ø F ÅÖ Ø ÐÑ ½¾¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M n n ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det(a det(a = σ S n Ò(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. ËÝÑ ÓÐ σ S n Ø Ö Ó ØØ n! Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò Ò(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n ½
18 ÙÑÑ Ñ Ø Ý Ø Ò ÓÙ Ó S n ÃÙÒ A M n n Ò Ò det(a ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ det(a : M n n F ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ det(a ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò ÙÒ A ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ ÅÙ ÐÐ Ù Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ½¾ ÇÐ ÓÓÒ a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34. a 41 a 42 a 43 a 44 ÆÝØ ÓÙ Ó S 4 ÐØ ¾ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ σ 1 = I, σ 2,..., σ 24 ÓØ Ð Ø ØØ Ò Ñ Ö 1.3 Æ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ñ Ö Ø Ò(σ i ÙÒ i = 1,..., 24 Ð ØØ Ò Ñ Ö ½¾½ ÅÖ Ø ÐÑ Ø 1.22 ÙÖ ØØ det(a = sgn(ia 11 a 22 a 33 a 44 + sgn(σ 2 a 11 a 22 a 34 a 43 + sgn(σ 3 a 11 a 23 a 32 a 44 + sgn(σ 4 a 11 a 23 a 34 a 42 + sgn(σ 5 a 11 a 24 a 43 a 32 + sgn(σ 6 a 11 a 24 a 33 a 42 + sgn(σ 7 a 12 a 21 a 33 a 44 + sgn(σ 8 a 12 a 21 a 34 a 43 + sgn(σ 9 a 12 a 23 a 31 a 44 + sgn(σ 10 a 12 a 23 a 34 a 41 + sgn(σ 11 a 12 a 31 a 43 a 32 + sgn(σ 12 a 12 a 24 a 33 a 41 + sgn(σ 13 a 13 a 21 a 32 a 44 + sgn(σ 14 a 13 a 21 a 34 a 42 + sgn(σ 15 a 13 a 22 a 31 a 44 + sgn(σ 16 a 13 a 22 a 34 a 41 + sgn(σ 17 a 13 a 24 a 31 a 42 + sgn(σ 18 a 13 a 24 a 32 a 41 + sgn(σ 19 a 14 a 21 a 32 a 43 + sgn(σ 20 a 14 a 21 a 33 a 42 + sgn(σ 21 a 14 a 22 a 31 a 43 + sgn(σ 22 a 14 a 22 a 33 a 41 + sgn(σ 23 a 14 a 23 a 31 a 42 + sgn(σ 24 a 14 a 23 a 32 a 41 = a 11 a 22 a 33 a 44 a 11 a 22 a 34 a 43 a 11 a 23 a 32 a 44 + a 11 a 23 a 34 a 42 + a 11 a 24 a 43 a 32 a 11 a 24 a 33 a 42 a 12 a 21 a 33 a 44 + a 12 a 21 a 34 a 43 + a 12 a 23 a 31 a 44 a 12 a 23 a 34 a 41 a 12 a 31 a 43 a 32 + a 12 a 24 a 33 a 41 + a 13 a 21 a 32 a 44 a 13 a 21 a 34 a 42 a 13 a 22 a 31 a 44 + a 13 a 22 a 34 a 41 + a 13 a 24 a 31 a 42 a 13 a 24 a 32 a 41 a 14 a 21 a 32 a 43 + a 14 a 21 a 33 a 42 + a 14 a 22 a 31 a 43 a 14 a 22 a 33 a 41 a 14 a 23 a 31 a 42 + a 14 a 23 a 32 a 41. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÙÑÑ Ò Ñ ¹ ÓÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ò A Ð Ó Ò ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ØØ Ù Ø Ò Ö Ú Ø Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ Ú Ò Ý Ð Ó ÂÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø Ò Ð ÐÐÓ Ò Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ò ÂÓ n = 4 Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det(a Ð Ñ ØÝØÝÝ ÙÑÑ Ø Ý Ø Ò 4! = 24 Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ ÂÓ Ø n = 5 Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det(a Ð Ñ ØÝØÝÝ ÙÑÑ Ø Ý Ø Ò 5! = 120 Ö Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ ÅÝ ÑÑ Ò ØÙÐÐ Ò ÙÓÑ Ñ Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô ¹ Ö ÑÔ ÒÓÔ ÑÔ Ø ÔÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ù Ò Ð ÙÓÖ Ò ½
19 ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÙÖ Ù Ø Ø ÑÖ ¹ Ø ÐÑ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n µ ÂÓ Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ø ¹ Ö Ò Ò det(a = 0 µ ÂÓ A ÓÒ Ýй Ø Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò Ò det(a ÓÒ ÓÒ Ð Ð Ó Ò ØÙÐÓ ÌÓ ØÙ µ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½¾¾ ÑÙ Ò det(a ÓÒ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ñ Ø¹ Ö Ò A Ð Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò ÙÑÑ ÃÙØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ð Ù ØØ Ú Ø Ø ØØÝ Ñ Ö Ò( ÙÒ Ó Ø Ö Ú Ø Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ð Ó ÌØ Ò Ó Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ø ¹ Ö Ò Ò Ó Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ 1.22 ÑÙ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ÓÒ ÒÓй Ð Æ ÒÔ det(a = 0 µ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÐÐ ÌÓ ØÙ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ñ Ò Ú Ø Ú Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÌÐÐ Ò A = a a 21 a a n1 a n2 a nn. ÌÓ Ø Ø Ò ØØ det(a = a 11 a 22 a nn ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ ÙÓÖ ÙÖ Ù Ñ¹ Ö Ø ÐÑ Ø 1.22 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ S n ÂÓ σ(1 1 Ò Ò a 1σ(1 = 0 Ó A ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÌØ Ò ÒÓ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ 1.22 Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö ÙÙÖ Ù Ò ÒÓÐÐ ÓÚ Ø Ò Ó σ(1 = 1 ÆÝØ Ó σ(1 = 1 Ò Ò σ(2 1 ÂÓ σ(2 > 2 Ò Ò a 2σ(2 = 0 Ó A ÓÒ Ð ÓÐÑ Ó¹ Ñ ØÖ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÒÓ Ø ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ø ÓÚ Ø Ò Ó σ(1 = 1 σ(2 = 2 Â Ø Ñ ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÔ Ò ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ Ø Ò Ý ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ò Ñ ØØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ó Ú Ø ÒØØ Ø ÙÚ Ù Ø I Æ ÒÔ det A = a 11 a 22 a nn ÇÒ ÝÝØ ÓÖÓ Ø Ö Ø Ð Ù Ò 1.24 µ¹ Ó Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ø Å Ö ¹ ØÒ ØØ (d 1,...d n ÓÒ n n¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó Ð Ó (i, i ÓÒ d i ½
20 ÐÐ i = 1,...,n Æ Ò ÓÐÐ Ò (d 1,...,d n = d d d n. Ä Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ det( (d 1,..., d n = d 1 d 2 d n Ñ Ö ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(i = 1 Ò ÙÒ n 1 Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ det(a ÓÒ Ö Ú Ò Ù Ø Ò ÑÙÐØ Ð Ò Ö Ò Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M n n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÒ Ö Ú Ó ØÙ A = Ì R i = [a i1, a i2,...,a in ] M 1 n ÐÐ 1,...,n Å ØÖ A ÚÓ Ò ÑÝ Ó ØØ Ö Ú Ò Ò ØØ A = (R 1 ;...; R n Ñ ÔÙÓÐ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ð Ù Ò Ø ÑÙ ØÙØØ Ñ Ø ØØ R 1,...,R n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ¹ Å ØÖ A ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ A = R 1 R 2 R n R 1 R 2 R n. = (R 1; R 2...;R n. Ø ØÒ ØØ Ò ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ð Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij = (R 1 ;...;R n M n n µ ÌÐÐ Ò Ó Ø x F Ó Ø ÐÐ i = 1,..., n det((r 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = x det(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò i {1,..., n} R i = b + c ÙÒ b, c M 1 n ÌÐÐ Ò det(a = det((r 1 ;...;R i 1 ; b; R i+1 ;...;R n + det((r 1 ;...;R i 1 ; c; R i+1 ;...;R n. ½
21 ÌÓ ØÙ ÅÓÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ò ½¾ Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø µ Ì ØÒ ØØ Æ ÒÔ a 11 a 12 a 1n (R 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = xa i1 xa i2 xa in. a n1 a n2 a nn det((r 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a (i 1σ(i 1 (xa iσ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = x σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n = x det(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú R i ÓÒ Ò Ö Ú Ú ØÓÖ Ò b c ÙÑÑ ÙÒ b, c M 1 n ÇÐ ÓÓÒ b = (b 1,...,b n c = (c 1,..., c n ÌÐÐ Ò R i = (a i1,...,a in = b + c = (b 1 + c 1,...,b n + c n a 11 a 12 a 1n A = b 1 + c 1 b 2 + c 2 b n + c n. a n1 a n2 a nn ½
22 Æ ÒÔ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 (b σ(i + c σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 b σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n + σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 c σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = det((r 1 ;...;R i 1 ; b; R i+1 ;...;R n + det((r 1 ;...; R i 1 ; c; R i+1 ;...;R n. ÃÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø Ö Ú i ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ ÒÒ Ø ØÒ Ð Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò i Ù Ø Ò ÅÙÐØ Ð Ò Ö n¹ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó ÙØ ÙØ Ò n Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ÐÓÔÙØ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ det((r 1 ;...;R n ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ÑÙÐØ Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ö ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = ( ÌÐÐ Ò det(a = = 59 ÌÓ ÐØ ( ( ( = ÆÝØ Ð Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ ( = det(a = det 4 5 ( 3 1 = 2 det + 3 det 4 5 ( det 4 5 ( = ( 7. ½
23 Ä Ù ØØ ½¾ ØÙÐ Ø ÚÖ Ò Ä Ù Ø Ö Ó Ø ØØ ÙÒ Ø Ó det( : M n n F ÓÐ Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Æ Ñ ØØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ det( ÐÝØ Ý ¹ Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij = (R 1 ;...;R n M n n ÂÓ R i = R j Ó ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ i j Ò Ò det(a = 0 ÌÓ ØÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ R i = R j Ó ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ i j ÙÒ 1 i < j n Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n. ½ µ È Ø Ó Ó ØØ ØØ Ý ØÐ Ò ½ µ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ ÒÓÐÐ ÌÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ý ØÐ ½ µ Ó Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ Ö Ò( Ú ÐÐ Ø ÑÐÐ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ó Ò ØÓ Ò Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÐ Ù Ã ÒÒ Ø ØÒ σ S n ÓÐ ÓÓÒ τ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó τ = (σ(i, σ(j ÌÐÐ Ò τσ S n Ã Ø ÐÐÒ Ý ØÐ Ò ½ µ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ Ò(σa 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n Ò(τσa 1τσ(1 a iτσ(i a jτσ(j a nτσ(n. ½ µ ½ µ ÃÓ R i = R j Ò Ò a iτσ(i = a iσ(j = a jσ(j a jτσ(j = a jσ(i = a iσ(i Æ ÒÔ ÓØ Ò Ö Ø Ø Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ ÓÚ Ø ÑÓ ÂÓ p (n \ {i, j} Ò Ò τσ(p = σ(p Ó τ Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò σ(i σ(j ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ a 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n = a 1τσ(1 a iτσ(i a jτσ(j a nτσ(n. ÃÓ τ ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ò Ò(τσ = Ò(σ Æ ÒÔ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ζ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n \ {σ, τσ} ÆÝØ ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ζ (ζ(i, ζ(jζ Ò Ø ÖÓ Ú Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ Ø ØØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ò Ø Ë ØØ Ò ØÒ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τσ Ø Ô Ù ÃÙÒ ρ = (ζ(i, ζ(j Ò Ò Ò ØØ Ò(ρζa 1ρζ(1 a iρζ(i a jρζ(j a nρζ(n ¾¼
24 ÙÑÓ Ð Ù Ò Ò(ζa 1ζ(1 a iζ(i a jζ(j a nζ(n. Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø ØÒ ÐÓÔÙØ n! 4 Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÙÒÒ ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ô Ö Ø ÓØ ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÇÒ ÝÝØ ÐÐ Ú Ú Ø ØØ Ð Ù Ò ½¾ ½¾ ÓØ Ý Ò Ò ¹ ØØ det(i = 1 Ö Ø Ö Ó Ú Ø Ý ØØ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó f : M n n F ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ½¾ ½¾ ÓØ f(i = 1 Ò Ò f(a = det(a ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A M n n Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÚÓ Ò Ó Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ñ Ö ½ ½ ¼¹½ Ë Ò Ò ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó ØØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ¾ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÐÑ Ò ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ ØÙÐÐ Ò ÙÓ¹ Ñ Ñ Ò ØØ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ Ð ÐÙÚÙ ¾ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ì ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø 2 2¹ n n¹ Ñ ØÖ ÐÐ Ä Ó Ø Ò ØÙÐÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÃÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ n n¹ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÙÒØ Ò F ÙÒ n 2 Ò Ò ØÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ö ÓÐÑ Ò ÓÓÑ Ò ÓÐ ¹ ØÙ Ø µ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÄÙ ÚÓ ÝÑÑÖØ Ô Ö ÑÑ Ò Ñ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ð¹ ÐÒ Ò Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÑÑ Ð ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ø ØÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø Ø ÐÙÚÙ ÙÖ Ø Ò Ø Ó Ø ½ ½¹¾¼¼ ¾½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ø Ø ØÒ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ò Ø Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ ¾½
25 ØÓ Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÝÚ Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑØ ¾½ ¾¾ Ð ÝØÝÚØ Ö Ø ¾ ½ ¼ ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ Å ØÖ ÐÐ A ÓÒ ÓÐÑ Ö Ð Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ½ ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ú Ø Ò ÒÒ ¾ ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ó Ò Ö Ú ÖÖÓØ Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ÓÐÐ ÙÒ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ú ÓÐÐ ÖÖÓØØÙ Ö Ú Ð ØÒ Ó ÓÒ Ò ØÓ Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ n n¹ñ ØÖ E ÙØ ÙØ Ò Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ý ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ n n¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÅÖ Ø ÐÑ ¾ Å ØÖ Ò A Ø Ö Ò (A ÓÒ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ö Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ ÎÓ Ò Ó Ó ØØ Ñ ¾ ½ µ ØØ Ý ØÔ ØÚ ÑÖ Ø ÐÑ ¹ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ Ã ½ rank(a t = rank(a. Ä Ù ¾ ÂÓ Ò Ò ÒØÝÚ Ñ ØÖ A ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÌÓ ØÙ Ã ½ A = E m E m 1 E 1. Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓØ A B ÐÐ Ñ ØÖ ØØ Ò Ò ØÙÐÓ AB ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ Ã ½ ¹½ ¼ rank(ab rank(a rank(ab rank(b. Ä Ù ¾ Å ØÖ A M n n ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó rank(a = n ÌÓ ØÙ Ã ½ ¾ Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ Ax = b Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó ÓÒ n Ý ØÐ n ÑÙÙØØÙ ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ A ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ax = b ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù x = A 1 b. ÌÓ ØÙ Ã ½ ¾ ¾¾
26 ¾¾ ¾¾½ ÓÑ ØØ Ò Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ 2 2¹Ñ ØÖ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M 2 2 ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ A Ö Ú ØØ Ò Ñ Ö ØÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ A = det ( A(1 A (2 ( A(1 A (2 Ä Ù ¾½¼ ÇÐ ÓÓÒ A M 2 2 ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ µ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ( ( ( ca(1 + A (1 A(1 A det = c det + det (1 A (2 A (2 A (2,. ( A (1 det ca (2 + A = c det (2 ÐÐ ÙÒÒ Ò F Ð Ö ÐÐ c ( A(1 A (2 + det ( A(1 A (2 µ ÂÓ Ñ ØÖ Ò A M 2 2 Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò det(a = 0 µ ÂÓ I ÓÒ 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ò det(i = 1 ÌÓ ØÙ ÃÝØ ØÒ Ù ÙÒ Ò Ó Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾ ¾
27 µ ÇÐ ÓÓØ A (1 = ( a 11 Ð Ò a 12, A (1 = ( a 11 a 12 A(2 = ( a 21 a 22 Ìй det ( ca(1 + A (1 A (2 = det ( ca11 + a 11 ca 12 + a 12 a 21 a 22 = (ca 11 + a 11 a 22 (ca 12 + a 12 a 21 = c(a 11 a 22 a 12 a 21 + (a 11 a 22 a 12 a 21 ( ( a11 a = c det 12 a + det 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( A(1 A = c det + det (1. A (2 A (2 Ë Ñ ÒÐ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÝ ØÓ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò µ ÂÓ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò ( a11 a A = 12. a 11 a 12 Æ ÒÔ det(a = a 11 a 12 a 12 a 11 = 0 µ ÃÓ ( 1 0 I =, 0 1 Ò Ò det(i = = 1 Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ Ð Ù Ò ¾½¼ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ö Ø Ö Ó Ú Ø Ý ØØ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ä Ù ¾½½ ÇÐ ÓÓÒ δ : M 2 2 F Ñ Ø Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ µ Ó Ñ ØÖ Ò A M 2 2 Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò δ(a = 0 µ Ó I ÓÒ 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ò δ(i = 1 ÌÐÐ Ò δ = det ÌÓ Ò ÒÓ Ò δ(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ò ÙÒ A M 2 2 ¾
28 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ I 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÐ ÓÓØ ( ( ( M 1 =, M = M =. 1 0 ÆÝØ ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(m 1 = δ(m 2 = 0 ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ δ(m 3 = 1 ÆÝØ ÝØØÑÐÐ ØÓ µ µ ÖØ ØÓ µ ÖÖ Ò Ò ØØ ( ( = δ = δ ( ( = δ + δ ( ( = δ + δ = δ ( δ 0 1 ( ( δ + δ 0 1 = δ(i + δ(m 1 + δ(m 2 + δ(m 3 = δ(m 3. ( Æ ÒÔ δ(m 3 = 1 ÌÓ ÐØ Ó δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ ¹ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò ( ( a11 0 a δ = δ 0 a 22 0 a 22 ( 1 0 = a 11 δ = a 0 a 11 a 22 δ 22 Î Ø Ú ÒÐ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò ( ( a δ = a a a 21 δ 1 0 ( 1 0 = a 11 δ 0 a 22 ( ( 0 a12 δ = a 0 a 12 a 22 δ 22 ( δ 0 a 22 ( δ ( 0 a12 = a a a 21 δ ( ¾
29 ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ A 2 2¹Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ ÙÒÒ Ò F Ð Ó Ø ÌÐÐ Ò Ó Ø Ò µ µ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ( ( a11 a δ(a = δ 12 a a = δ 12 a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( a a12 = δ + δ a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( a a12 = δ + δ 0 + a 21 a a 21 a ( ( ( ( a11 0 a a12 0 a12 = δ + δ + δ + δ 0 a 22 a a 22 a 21 0 ( ( ( ( = a 11 a 22 δ + a a 21 δ + a a 22 δ a a 21 δ 1 0 = a 11 a 22 δ(i + a 11 a 21 δ(m 1 + a 12 a 22 δ(m 2 + a 12 a 21 δ(m 3 = a 11 a 22 (1 + a 11 a 21 (0 + a 12 a 22 (0 + a 12 a 21 ( 1 = a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a. Æ ÒÔ δ = det ¾¾¾ ËÙÙÒÒ Ò Ð Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØØ Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ø ØÙÐ ÒØ ÌÙй Ð Ò ÙÓÑ Ñ Ò ØØ Ø ØÝÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÙÑ Ö Ø ÚÓ ¹ Ò ÔØ ÐÐ Ñ Ø Ò ÙÙÒÒ ÓÒ Ó ØØÙÒÙØ Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ä Ö Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÔÑÖ Ø ÙÓÐ Ñ ØØÓÑ Ø Ã Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ θ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ ¾ ¾½ ÌÐÐ Ò 0 θ π Ã Ø ÐÐÒ Ø Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÓØ Ú Ø Ð ÙÒ ÓÖ Ó Ø Ã Ø ÐÐÒ Ö Ø ØØÝ ÒØ β = {, v} Ú ÖÙÙ R 2 Ñ = (a 1, a 2 v = (b 1, b 2 Å Ö ØÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ( det v Ð Ö ÐÐ ( a1 a det 2, b 1 b 2 ¾
30 ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ö Ø ØÝÒ ÒÒ Ò β Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÙÒÒ ØÙ Ò Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒµ ( ( det v O = (. ½ µ v det v ÃÓ Ú ØÓÖ Ø v ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ Ò R 2 ÒÒ Ò Ý ØÐ Ò ½ µ Ó ¹ ÒÔÙÓÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÑÖÒ Ò Ñ ØØ ÓÒ Ö ÙÙÖ Ù Ò ÒÓÐÐ Æ ÒÔ Ð¹ Ú Ø ( O = ±1. v ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ O ( e1 e 2 ( e1 = 1 O = 1, e 2 ÙÒ e 1 ÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ ( 1 0 e 2 ÒØ Ú ØÓÖ ( 0 1 ÅÖ Ø ÐÑ ¾½¾ ÃÓÓÖ Ò Ø ØÓ {, v} ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ó ( O = 1. v ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÃÓÓÖ Ò Ø ØÓ {, v} ÓÒ Ú Ò Ø Ò Ò Ó ( O = 1. v ÃÙÚ Ø ½ ¾ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ ¾½¾ ¾½ ÆÝØ Ñ Ø Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó {, v} Ú ÖÙÙ R 2 ÑÖ ØØ Ð ÙÙÒÒ Ò Ð Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÃÙÒ Ú ØÓÖ Ø v Ð Ú Ø ÓÖ Ó Ø Ø Ó R 2 Ò Ò v ÑÖÚØ ÙÙÒÒ Ò Ó Ò ÓÚ Ø ÙÙÒÒ Ò Ú Ö Ø ÚÙØ ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ó ÓÙ Ó {, v} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ó v ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ò Ò ÑÖÑ ÙÙÒÒ ÓÒ ÙÓÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ ËÓÚ Ø Ò ØØ Ó ÓÙ Ó {, v} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò ( O = 1. v ¾
31 y v x ÃÙÚ ½ Ç Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ y v x ÃÙÚ ¾ Î Ò Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Î ØÓÖ Ò v ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ð Ò ( A v Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det ( v ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ý Ø Ý ÓØ ÙÖ Ú ØÙØ Ø Ò Ò ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØØ ( det v ¾
32 ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò ÓÐ ÝÐ Ø ÚÓ Ñ ØØ ( ( A = det. v v ÅÙØØ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ A ( = O v ( det v (, v Ó Ø ÙÖ ØØ ØÐ Ò A A ( = v ( = O v ( v det. ( det v ( v ½ µ ØÓ Ø Ñ Ø ØÒ ÓÔ Ú Ñ Ò ØØ ÐÝØ Ô Ó ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ô¹ ÙÓÖ Ø ÑÝ Ú ÖÙÙØ Ò R n ÆÝØ Ó ( O = ±1 0, v Ò Ò Ý ØÐ Ò ½ µ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ò ÖØÓ ÙÙÒÒ ØÙ ÐÐ ( O, v ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò ½ µ Ò Ú Ú Ð ÒØØ Ò Ò ÑÙÓØÓ ( ( ( O A = det. ½ µ v v v ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó ( δ = O v ( A v ( v ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ¾½½ ÓØ µ ÐÓ Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ( ( δ = λ. λv v ¾
33 h v Λv ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ÒØ ÚÙ Ø ÓÖ Ù Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ λ 0 ÃÓ ÙÙÒÒ Ò ÓÖ Ù h ÙÚ µ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÑÖÚØ v Ú λv ÙÙÒÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ò A ( λv Æ ÒÔ ÒÝØ ( δ λv = kantasiv korkes = λ v h = λ A ( = O λv ( = λ O v ( A = λv ( A v [ ( λ λ O v = λ δ Î Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØØ ( λ δ = λ δ v Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ( δ = b δ a + bw ][ λ A (. v ( ] v ( v. ½ µ (. v ( w ¾¼µ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ø, w R 2 Ò ÙÒ a, b R ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ó Ú ØÓÖ Ò w Ú ØÓÖ Ò +w ÑÖÑ ÐÐ ÙÙÒÒ ÐÐ ÓÒ Ñ ÒØ ÚÙ ÓÖ Ù Ò Ò A ( w = A ¼ (. + w
34 ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÂÓ a = 0 Ò Ò w w ÃÙÚ Î ØÓÖ Ò w Ú ØÓÖ Ò + w ÑÖÑØ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð Ø ( δ a + bw ( = δ = b δ bw Ý ØÐ Ø ÙÒ ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÂÓ a 0 Ò Ò ( ( δ = a δ a + bw + b w = a δ a ( w ( b w = b δ a (. w Æ Ò ÓÐÐ Ò Ý ØÐ ¾¼µ ÔØ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ù Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾½¼ Ò ÑÑ Ò Ò ØÓ ØÝØÝÝ ØÓ Ò ¹ ÒÓ Ò ( ( ( δ = c δ + δ cv 1 + v 2 v 1 v 2 Ò ÙÒ, v 1, v 2 R 2 ÀÙÓÑ ÙØ Ø Ò ØØ Ð Ö Ò ØÓ ØÙ ÓÐ Ð Ò Ò ÑÙ Ò Ð Ö ÃÓ Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÚ Ø ÙÒ = 0 Ò Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ 0 Î Ð Ø Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ú ØÓÖ w ØØ ÓÙ Ó {, w} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÌÐÐ Ò Ó Ø Ú ØÓÖ v 1, v 2 R 2 Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ð Ö Ø a i b i ØØ v i = a i +b i w ÙÒ i = 1, 2 ÆÝØ ( ( δ cv 1 + v 2 ( = c δ ( = δ a 1 + b 1 w = (cb (ca 1 + a 2 + (cb 1 + b 2 w 1 + b 2 δ ( ( ( + δ = c δ + δ a 2 + b 2 w v 1 v 2 w. ½
35 Î Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØØ ( c1 + δ 2 = c δ v Ò ÙÒ 1, 2, v R 2 µ ÃÓ A Ò ÙÒ R 2 µ ÆÝØ ( = 0, Ò Ò δ δ ( e1 e 2 = O ( e1 ( = O e 2 A ( 1 + δ v ( e1 e 2 ( A ( 2 v ( = 0 = 1 1 = 1. ÆÝØ ÙÒ Ø Ó δ ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ¾½¼ ÓØ Ò Ò ÓÐÐ Ò δ = det Æ ÒÔ Ú ØÓÖ Ò v ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ð ÓÒ ( ( O det. v v Ñ Ö ¾½ Î ØÓÖ Ò = ( 10, 5 v = (4, 2 ÑÖÑÒ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð ( ( v det = 10 5 det = 40 = ¾
36 ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ö ¾½ y , v 4, x ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ñ Ö ¾½ Î ØÓÖ Ò = ( 5, 7 v = (8, 2 ÑÖÑÒ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð ( ( det = 5 7 v det = 46 = ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ö ¾½ y 4 v 8, , x ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ¾ ÓÑ ØØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ä Ù ¾½½ 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò ÓÐÑ Ò ÓÒ ÚÙÐÐ Ì ÐÙÚÙ ØÙÐÐ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ
37 ÓÐÐ ÔØ ÚØ ÒÑ Ñ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÙÒ Ø ÓÒ δ : M n n F ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò Ó δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ó Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ÐÓÔÙØ n 1 Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ A (1 δ ca (i + A (i = c δ A (n A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n ÐÐ i = 1, 2,..., n Ò ÙÒ ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ M n n A (1 ca (i + A (i A (n Ñ Ö ¾½ Ð ÝØÝÝ Ð Ø Ó Ø Ñ Ö ¾½ Ä Ù ¾½¼ Ó Ó ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó det : M 2 2 F ÓÒ 2¹ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ä Ù ¾½ Ã Ò n¹ð Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÓÒ n¹ð Ò ¹ Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ δ 1 δ 2 n¹ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó Ø a b Ð Ö ÂÓ δ
38 ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó aδ 1 + bδ 2 Ò Ò δ A (1 ca (i + A (i A (n = a δ 1 A (1 ca (i + A (i A (n + b δ 2 A (1 ca (i + A (i A (n = a c δ 1 A (1 A (i A (n + δ 1 A (1 A (i A (n + b c δ 2 A (1 A (i A (n + δ 2 A (1 A (i A (n = c a δ 1 A (1 A (i A (n + b δ 2 A (1 A (i A (n + a δ 1 A (1 A (i A (n + b δ 2 A (1 A (i A (n = c δ A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n ÐÐ i ÙÒ 1 i n Æ ÒÔ δ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÃÙÒ n = 1 Ò Ò 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÃÙÒ n 2 Ò Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ó δ(a = 0 Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ú Ö Ø Ö Ú ÓÚ Ø Ñ Ø Ä Ù ¾¾¼ ÇÐ ÓÓÒ δ : M n n F ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÌÐÐ Ò µ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ n n¹ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò Ò δ(b = δ(a µ Ó n n¹ñ ØÖ A ÓÒ ÒØØ Ø Ö Ú Ò Ò δ(a = 0
39 ÌÓ ØÙ µ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ú Ö Ø Ö Ú Ò Ò δ(b = δ(a ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú i i + 1 ÌÐÐ Ò A = A (1 A (i A (i+1 A (n B = A (1 A (i+1 A (i A (n. ÆÝØ Ó σ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò A (1 A 0 = δ (i + A (i+1 A = δ (i A + δ (i+1 A (i + A (i+1 A (i + A (i+1 A (i + A (i+1 = δ A (1 A (i A (i A (n A (n + δ A (1 A (i A (i+1 A (n = 0 + δ(a + δ(b + 0. A (1 A (n + δ A (1 A (i+1 A (i A (n + δ A (1 A (i+1 A (i+1 A (n A (1 A (n Æ ÒÔ δ(b = δ(a ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ Ø¹ Ö Ò A Ö Ú i j ÙÒ i < j ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ñ ÐÐ ÒÒ Ò Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i i + 1 ØØ Ò Ö Ú Ø i i + 2 Ò Ò ÐÐ Ò ÙÒÒ Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ A (1,...,A (i 1, A (i+1,...,a (j, A (i, A (j+1,...,a (n. Ã Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ò j i Ö Ú Ò ÖØÓ ÓØØ Ô ØÒ Ý Ò Ö ¹ ØÝ Ò
40 Î Ø Ò ØØ Ò ÒÒ Ò Ò Ö Ú Ø j 1 j ØØ Ò Ö Ú Ø j 2 j Ò Ò ÐÐ Ò ÙÒÒ Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ A (1,...,A (i 1, A (j, A (i+1,...,a (j 1, A (i, A (j+1,...,a (n. ÆÝØ Ø ÖÚ Ø Ò j i 1 Ö Ú Ò ÖØÓ ÓØØ Ô ØÒ ÐÐ Ñ Ò ØØÙÙÒ Ö ¹ ØÝ Ò Æ Ô ÒÝØ Ð Ù Ò ÐÙ Ø ØÝÒ ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = ( 1 j i ( 1 j i 1 δ(a = ( 1 2(j i 1 δ(a = δ(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i j ÓÚ Ø ÒØØ Ø ÙÒ i < j ÂÓ j = i + 1 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a = 0 ÂÓ Ø j > i + 1 Ò Ò Ú Ø Ò Ö Ú i + 1 j ÒÒ ÓØØ Ò Ñ ØÖ B Ó Ú Ö Ø Ö Ú ÓÚ Ø ÒØØ Ø ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ò Ò δ(b = 0 Ä Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = δ(a ÓØ Ò δ(a = 0 ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾½ ÂÓÙ Ó M n n ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ : M n n F ØØ δ(i = 1 Ä Ù Ò ¾¾¾ ØÓ ØÙ ÔÓ Ó ÐØ Ò Ó Ò Ð Ö Ò ØÓ ØÙ Ø Ä Ù ¾¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ ÓÙ Ó M n n ÑÖ Ø ÐØÝ ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ (n+1 (n+1¹ñ ØÖ ÐÐ A ÙÐÐ Ò j Ò ÖÚÓÐÐ ÙÒ 1 j n + 1 n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij, i=1 ¾½µ Ñ Ãij ÓÒ Ñ ØÖ Ø A ØÙ n n¹ñ ØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Ø A ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ i Ö Ú j Ö ÌÐÐ Ò ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú (n + 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ǫ j ÓÒ (n+1¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÃÓ Ãij ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ø A i Ö Ú j Ö Ò Ò δ(ãij ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i ÌØ Ò Ó δ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò δ(ãij ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ú i ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò a ij δ(ãij ÓÒ (n+1¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÙÒ ÒÝØ Ñ Ö ØÒ ØØ δ = a ij δ(ãij Ò Ò
41 δ Æ ÒÔ ÒÝØ Ó A A (1 (1 ca (k + A ca (k (k + A (k = a ij δ A A (i 1 (i A (i+1 A (n+1 = a ij c δ = c a ij δ = c δ A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 + δ + a ij δ + δ n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1. ÓÒ (n + 1¹Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò a ij δ(ãij Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò Ò ǫ j ÓÒ (n + 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ð Ù ØØ ¾½ ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÂÓ A ÓÒ (n + 1 (n + 1¹ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ÒØØ Ø Ö Ú k k +1 Ò Ò Ñ ØÖ ÐÐ Ãij ÓÒ
42 ÒØØ Ø Ö Ú Ò ÙÒ i k i k + 1 Æ ÒÔ δ(ãij = 0 Ò ÙÒ i k i k + 1 Æ Ò ÓÐÐ Ò Ý ØÐ Ò ¾½µ Ú Ò ÙÑÑ ØØ Ú ǫ j (A = ( 1 k+j a kj δ(ãkj + ( 1 (k+1+j a (k+1j δ(ã(k+1j. ÅÙØØ ÒÝØ Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø k k + 1 ÓÚ Ø ÑÓ Ò Ò a kj = a (k+1j Ãkj = Ã(k+1j Æ ÒÔ ǫ j (A = 0 ÓØ Ò ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ë ÙÖ Ù Ð Ù ½ ÇÐ ÓÓØ δ ǫ j ÑÓ Ù Ò Ð Ù ¾¾¾ ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò Ò ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ I = (i ij (n+1 (n+1¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÇÐ ÓÓÒ Ð Ĩ n n¹ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø I ÔÓ Ø Ñ ÐÐ i Ö Ú j Ö ÌÐÐ Ò Ĩ ÓÒ n n¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÃÓ i ij = 0 ÙÒ i j i jj = 1 Ò Ò n+1 ǫ j (I = ( 1 i+j i ij δ(ĩij = ( 1 j+j δ(ĩjj i=1 = δ(ĩjj = 1. ¾¾µ ØÐ Ò ¾¾µ Ú Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÔØ Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾¾ Ý ØÐ Ò ¾¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾ ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ò Ð¹ Ù Ð ÃÙÒ n = 1 ÙÒ Ø Ó δ : M 1 1 F Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ δ(a = a 11 ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M 1 1 Æ Ñ ØØ Ò δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ ÓÒ ½¹Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ δ(ca 11 + a 11 = ca 11 + a 11 = cδ(a 11 + δ(a 11, Ð δ(i 11 = δ(1 = 1 Æ ÒÔ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾¾½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ ÓÒ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M 1 1 Ì Ò ØØ Ò Ò Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØØ δ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò Ó Ø Ö ØØ j Ó Ø ÙÒ 1 j n + 1
43 Ð Ù ¾¾¾ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ë Ð Ù Ð Ò Ò Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ ØÓ ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ ÂÓ δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò Ò Ð Ù ¾¾¾ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò δ Ö Ø ÐÑ Ö ØØ j Ô Ø Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ Ë Ð Ö ( 1 i+j δ(ãij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ð ÓÒ a ij Ó ØÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ Ð ÓØ δ(ãij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ò A (i, j¹ó Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ÒÓÖµ ½ ½ ¾ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ý ÝÐÐ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ð ¹ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÓÑÔ Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ø ØØÝ Ó Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ä Ù ¾¾ ÂÓ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ δ ÓÙ Ó M n n ÔØ µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ Ð Ö ÐÐ c Ò Ò δ(b = c δ(a µ Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò δ(a = 0 µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ö Ú ÒÒ Ò Ò δ(b = δ(a µ Ó Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ò Ò δ(a = 0 µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò j Ö Ú Ò i ÑÓÒ ÖØ ÙÒ i j Ò Ò δ(b = δ(a ¼
44 ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò i ¹ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 δ(a = δ 0 A (i = δ 1 A (i + A (i = δ A (n A (1 A (n A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n = 0. ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ Ø¹ Ö Ø A ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò A (i Ð ÓØ Ð Ö ÐÐ c ÆÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò δ n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 δ(b = δ c A (i + 0 = c δ(a + δ A (n A (1 0 A (n = c δ(a. ÃÓ Ø µ µ ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÖ Ù Ð Ù Ø ¾¾¼ Ó δ ÓÒ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ ÌÓ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò j Ð Ö ÐÐ c ÖÖÓØØÙ Ö Ú i ÇÐ Ø Ø Ò ØØ i < j Ø Ô Ù j > i Ñ Ò Ú Ø Ú Ø µ ÆÝØ ÙÒ A = A (1 A (i A (j A (n A (1 A (i Ò Ò B =. ca (i + A (j A (n ½
45 Æ ÒÔ n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 A (i δ(b = δ = c δ ca (i + A (j A (n A (1 A (i A (i A (n + δ A (1 A (i A (j A (n = c 0 + δ(a = δ(a. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ð Ù Ò ¾¾ ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ µ µ ÒÝØØÚØ Ñ Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ ÑÙÙØØÙÙ ÙÒ Ñ ØÖ Ò ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ð ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ø Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÐÐ Ø ØÝØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ð ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ÚÙÐÐ Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö ¹ Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓØ E 1 E 2 E 3 ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾½ ØÝÝÔÔ ½ ¾ ÓÐ Ú Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò Ó E 2 ÓÒ ØÙ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ò Ö Ú ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ð ¹ Ö ÐÐ c Ò Ò Ó ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ δ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÔØ ØØ δ(e 1 = 1 δ(e 2 = c δ(e 3 = 1 ÌÓ ØÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ δ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÙ ÓÒ M n n Ø ÖÑ Ò ÒØØ e t i = ( ÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ R n ÙÒ 1 i n ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ e t 1 e t j e t i δ(e 1 = δ = δ = δ(i = 1, e t i e t j e t 1 e t n e t n ¾
46 e t 1 δ(e 2 = δ c e t i = cδ e t i = c δ(i = c e t 1 e t n e t 1 e t n e t i e t i e t i δ(e 3 = δ = δ + δ c e t i + et j c e t i e t j e t 1 e t 1 e t n e t 1 e t n e t 1 e t n e t n e t n e t i e t i = c δ + δ = c 0 + δ(i = 1. e t i e t j Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò ÙÒ ØÓ Ø Ø Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ý ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ý ØØ Ú Ø Ð ÑÙ Ø ØÙÐÓ ÓØ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ä Ù ¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A ÓÙ ÓÒ M n n Ñ ØÖ ÓÐÐ Ö Ò (A < n ÌÐÐ Ò δ(a = 0 ÌÓ ØÙ ÃÓ Ö Ò (A < n Ò Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÚ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾ ÑÙ Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ð Ö Ø c 1,...,c n ÓØ ÚØ ÓÐ ÒÓÐÐ ØØ c 1 A (1 + c 2 A ( c n A (n = 0. ¾ µ
47 Å Ò ØØÑØØ ØÓ ØÙ Ñ ØÒ ÓÐ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ c 1 0 ÌÐÐ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ý ØÐ ¾ µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ c 1 1 Ò ØØ A (1 + c 1 1 c 2A ( c 1 1 c na (n = 0. ÇÐ ÓÓÒ B ØØ Ò Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ú ØÓÖ c 1 1 c 2A ( c 1 1 c na (n. ÆÝØ Ñ ØÖ Ò B Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = 0 ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = δ(a Æ ÒÔ δ(a = 0 ÔÙÐ Ù Ò ½ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ó ÓÒ ÙÙ Ò Ö Ø ÔÙÐ Ù ½ ÂÓ E ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò δ(eb = δ(eδ(b Ò ÙÒ B M n n ÌÓ ØÙ ÇÒ ÓÐÑ Ø Ô Ù Ø ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B Ö¹ ØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 1 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B Ö ¹ Ú Ú ØÙÚ Ø ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 1 B = δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 1 = 1 Æ ÒÔ δ(e 1 B = δ(e 1 δ(b ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B ÖØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 2 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ ØÙÐ ÖÖÓØØÙ Ð Ö ÐÐ c ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 2 B = c δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 2 = c Æ ÒÔ δ(e 2 B = δ(e 2 δ(b ÇÐ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B ÖØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 3 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B Ó ÓÒ Ò Ö Ú Ò i ØÙÐ Ð ØØÝ ÓÒ Ò Ö Ú Ò j ÑÓÒ ÖØ ÙÒ i j ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 3 B = δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 3 = 1 Æ ÒÔ δ(e 3 B = δ(e 3 δ(b Ä Ù ¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓØ A B ÓÙ ÓÒ M n n Ñ ØÖ ÌÐÐ Ò δ(ab = δ(a δ(b ÌÓ ØÙ ÂÓ Ö Ò (A < n Ò Ò Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ rank(ab rank(a < n.
48 Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a = 0 δ(ab = 0 Æ Ò ÓÐÐ Ò δ(ab = δ(a δ(b. ÂÓ Ö Ò (A = n Ò Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ÇÐ ÓÓÒ A = E m E 1 Ñ E i ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÙÒ 1 i m ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(ab = δ(e m E 1 B = δ(e m δ(e m 1 E 1 B = = δ(e m δ(e 1 δ(b = δ(e m E 1 δ(b = δ(a δ(b. ¾ µ Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A ÒØÝÚ Ñ ØÖ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò δ(a 0 δ(a 1 = [δ(a] 1 ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a δ(a 1 = δ(aa 1 = δ(i = 1. Æ ÒÔ δ(a 0 δ(a 1 = [δ(a] 1 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ δ(a = 0 µ A ÓÐ ÒØÝÚ µ Ö Ò (A < n ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÒÓÓ ØØ Ó δ(a = 0 Ò Ò A ÓÐ ÒØÝÚ Æ ÒÔ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ù ¾¾ ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n
49 ÌÓ ØÙ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ø ØØ Ò ÙÖ Ù Ð Ù ¾ Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ó δ 1 δ 2 ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò δ 1 = δ 2 ÇÐ ÓÓÒ A Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ ÂÓ Ö Ò (A < n Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò 5 Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ 1 (A = δ 2 (A = 0 ÂÓ Ö Ò (A = n Ò Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ÇÐ ÓÓÒ A = E m E 1 Ñ E i ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÙÒ 1 i m ÃÓ ÒÝØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ 1 (E i = δ 2 (E i Ò ÙÒ 1 i m Ò Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Æ ÒÔ δ 1 = δ 2 δ 1 (A = δ 1 (E m E 1 = δ 1 (E m δ 1 (E 1 = δ 2 (E m δ 2 (E 1 = δ 2 (E m E 1 = δ 2 (A. Ä Ù Ò ¾ ¼ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý ÐÐ Ò Ò Ð Ö Ó Ø ÑÙØØ ÚÖØ ½ ¹½ Ä Ù ¾ ¼ ÄÙÚÙ ½ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò Òع Ø ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò Ð Ù Ò ½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ä ÐÙÚÙ ½ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ó Ø ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò det(i = 1 ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð Ù ¾ ¼ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾ ½ ÅÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ý ØØ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÐÐ Ö ÐÐ j ÙÒ 1 j n n det(a = ( 1 i+j a ij det(ãij, i=1 Ñ Ãij ÓÒ Ñ ØÖ Ø A ØÙ (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Ø A ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ i Ö Ú j Ö
50 ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÐ j Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ 1 j n n ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n 1 (n 1 ÃÓ det ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n 1 (n 1 Ò Ò ÐÐ j ÙÒ 1 j n ǫ j (A = n ( 1 i+j a ij det(ãij. i=1 Ä Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ǫ 1, ǫ 2,...,ǫ n ÓÒ Ñ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò ǫ 1 = ǫ 2 = = ǫ n. Æ ÒÔ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ j ÙÒ 1 j n ǫ j (A = det(a Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò Ò ¹ ØØ Ñ Ø Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ò ÃÙÒ n > 2 Ò Ò Ö Ø ÐÑ Ð¹ Ø n ÔÔ Ð ØØ (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ë ØØ Ò ÙÒ¹ Ò (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÚÓ ØØ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ò Â Ø Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ Ò ØÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÐÓÔÙÐØ ¹ Ø ØØÝ 2 2¹Ñ ØÖ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò Ð ÙÒ Ø ØÒ ØØ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ø Ãij ÚÓ Ò ÚÐØØ Ò ÙÒ a ij = 0 Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò ØÙÐÓ a ij det(ãij ÓÒ ÒÓÐÐ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ë ÒÒ ØØ Ò ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÐÐ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ð ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ Ö ¾ ¾ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ð Ø Ò ÝØØ Ò ÝÚ Ù¹ Ö Ù Ð Ù ØØ Ð Ù ØØ ¾¾ Ñ Ö ¾ ¾ ÇÐ ÓÓÒ A =
51 ÆÝØ Ð ØØ Ú ØÙÐ Ú ÑÑÒ ÙÒ Ø ØÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÐÑ ØØ ¹ Ö ØØ Ô Ø Ò det(a = 4 ( 1 i+3 a i3 det(ãi3 i= = ( det ( det ( det ( ( 1 det = det Ã Ø ØÒ ØØ Ò Ð ÐÐ ÒÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÑÑ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò det(a = det ( 0 1 = ( det + ( ( 1 det 1 2 ( ( det = = Ñ Ö ¾ ÇÐ ÓÓÒ A = ( ÆÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ñ ØÖ Ø A Ø ØÒ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØ Ö ØØ Ô Ø Ò ÌÐÐ Ò Ò det(a = ( det = det
52 ÆÝØ ÝØØÑÐÐ ÝÚ Ð Ù ØØ ¾¾ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØØ Ð ØÒ Ò Ò Ñ Ø¹ Ö Ò A Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ØÓ Ò Ö Ú Ò Ð ØÒ Ò Ð Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÐÑ ÒØ Ò Ö Ú Ò Ò det(a = det = det = det Ã Ø ØÒ ÐÓÔÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÑÑ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò ( det(a = det = ( det = Ñ Ö Ò ¾ ØÙÐÓ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÝ Ö Ø ½ Ñ Ö ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÐ λ R det(λa = λ n det(a. ÃÓ det ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ø µ n ÖØ Ò A A (1 λa (1 (1 λa (2 A (2 det(λa = det = λ det = λ λ det λa (3 λa (n λa (n λa (n A (1 A (2 A (3 = λ λ λ det λa (4 = λ λ det = λ n det(a. A (1 A (n λa (n
53 ÔÙÐ Ù ØØ ¾ Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ù Ò ¾ ØÓ Ø Ñ ÌØ ÔÙÐ Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ó Ø ÔÙÐ Ù ¾ ÇÐ ÓÓØ E 1, E 2 E 3 ØÝÝÔÔ 1, 2 3 ÓÐ Ú Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ Ø¹ Ö ÌÐÐ Ò det(e t i = det(e i ÙÒ 1 i 3 ÌÓ ØÙ Å Ö ØÒ ØØ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E = (e ij Ò ØÖ Ò ÔÓÓ E t = (e t ij ÙÒ 1 i, j n Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 1 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I Ø Ö Ú Ú Ø Ñ ÐÐ ÇÐ ÓÓØ ÒÑ Ö Ú Ø i j ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ E 1 ÓÒ Ð ÓØ e ij = 1 e ji = 1 e kk = 1 Ò ÙÒ k i k j Å ØÖ Ò E 1 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ E1 t = E 1 Æ ÒÔ det(e1 t = det(e 1 Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 2 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ò Ö Ú Ð Ö ÐÐ c 0 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ÓÒ Ö Ú i ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ E 2 ÓÒ Ð ÓØ e ii = c e kk = 1 Ò ÙÒ k i Å ØÖ Ò E 2 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ E2 t = E 2 Æ ÒÔ det(e2 t = det(e 2 Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 3 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò I ÓÒ Ò Ö Ú Ò i ÑÓÒ ÖØ Ó ÓÒ Ò ØÓ Ò Ö Ú Ò j ÌÐÐ Ò Ñ Ø¹ Ö E 3 ÓÒ Ð ÓØ e jj = 1 e ji = c e kk = 1 Å ØÖ Ò E 3 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÌÓ ÐØ Ñ ØÖ Ò E 3 ØÖ Ò ÔÓÓ E3 t ÓÒ Ð ÓØ et ii = 1 et ij = c e t kk = 1 ÄÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Å Ö ØÒ ØØ et i ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò R n ØÖ Ò ÔÓÒÓ ØÙ ÒØ Ú ØÓÖ ÙÒ 1 i n ÆÝØ Ð ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¼
54 Ñ ØÖ ÐÐ E3 t n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e t 1 c e t j + et i c e t j e t i det(e3 t = det = det + det e t j e t j e t j e t n e t 1 e t n e t 1 e t j e t i = c det + det = c 0 + det(i = 1. e t j e t j ÆÝØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(e t 3 = det(e 3 Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò det(a t = det(a ÌÓ ØÙ ÂÓ A ÓÐ ÒØÝÚ Ò Ò Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ò (A < n ÅÙØØ Ó Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ò (A t = Ö Ò (A Ò Ò A t ÓÐ Ò¹ ØÝÚ Æ ÒÔ det(a = 0 = det(a t ÂÓ Ø A ÓÒ ÒØÝÚ ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ØÓ Ò ÒÓ Ò A = E m E 2 E 1 ÙÒ E 1, E 2,...,E m ÓÚ Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(e t i = det(e i ÙÒ 1 i 3 Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(a t = det(e t 1 Et m = det(et 1 det(et m e t n e t 1 e t n e t 1 e t n = det(e 1 det(e m = det(e m det(e 1 = det(e m E 1 = det(a. ½
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotÌ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedotx = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotP(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotP(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
LisätiedotC A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.
Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Lisätiedot284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
Lisätiedotx α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
LisätiedotËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
LisätiedotPainekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º
Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
LisätiedotBarysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni
LisätiedotÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
LisätiedotÌ ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÂÙ Ó Ã ÒÒ ÃÓÑÔÓ ØØ Ð Ñ Ò ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ø ØØÝ ÔÐÓÑ ØÝ ÔÓÓ ¾ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Lisätiedot