Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C."

Ari-Pekka Aaltonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Huomisaamulla, hetkellä t = 1, kohtalon jumalatar Lady Fortuna arpoo satunnaisen alkion joukosta Ω = { alas, ylös } = {0, 1} todennäköisyyksin 90% ja 10%. Hetkellä t = 1 osakkeen S hinta on satunnaismuuttuja ω S 1 (ω). Jos ω = 1, niin osakkeen hinta on 200=C. Jos ω = 0, niin sen hinta on 90=C. Kuvallisesti tilanne on seuraava: S 0 = 100=C S 1 (ω) S 1 (1) = 200=C tn:llä 90% S 1 (0) = 90=C tn:llä 10% Tarkastelemme nyt osakkeeseen S liittyvää osto-optiota (engl. calloption).

Huomisaamulla, hetkellä t = 1, kohtalon jumalatar Lady Fortuna arpoo satunnaisen alkion joukosta Ω = { alas, ylös } = {0, 1} todennäköisyyksin 90% ja 10%.

2 Luku 1 Johdatteleva esimerkki 3 Herra K. tarjoaa meille sopimusta, joka oikeuttaa meidät ostamaan osakkeen S hetkellä t = 1 tämän päivän hinnalla 100=C. Jos osakkeen hinta on huomenna suurempi kuin tänään, eli S 1 = 200=C, niin voimme käyttää optiomme ja myydä osakkeen välittömästi markkinoilla. Olemme tällöin tehneet voittoa 200=C 100=C = 100=C. Jos taas osakkeen hinta on huomenna 90=C, niin optiomme on arvoton. Yleisesti optiomme arvo hetkellä t = 1 on siis (S 1 100=C) + := max (S 1 100=C, 0=C). Emme siis voi hävitä ottamalla option vastaan. Herra K. sen sijaan voi hävitä. Jos nimittäin S 1 = 200=C, niin herra K:n tappio on 100=C. Siten herra K. ei luonnollisestikaan tarjoa optiosopimusta ilmaiseksi. Kysymys onkin nyt kuinka paljon herra K. voi vaatia sopimuksesta. Tai yhtä hyvin kuinka paljon me olemme valmiita maksamaan tästä ostooptiosta. Uskottavalta tuntuva vastaus tulee niin sanotun odotusarvoperiaatteen nojalla. Koska voitamme 100=C todennäköisyydellä 90% ja 0=C todennäköisyydellä 10%, niin tuntuisi luonnolliselta maksaa sopimuksesta c op = E [ (S 1 100=C) +] = 100=C 90% + 0=C 10% = 90=C. Tarkastelemme nyt tilannetta herra K:n kannalta. Herra K. on myynyt meille osto-option (S 1 100=C) + ja me olemme maksaneet siitä herra K:lle c op = 90=C. Herra K. ottaa nyt pankista lainaa 10=C ja ostaa yhden osakkeen S. Jos hetkellä t = 1 osakkeen hinta on laskenut eli S 1 = 90=C, niin optiomme on arvoton ja herra K. voi myydä osakkeensa hintaan 90=C. Maksettuaan 10=C velkansa pankkiin herra K:lle jää voittoa 90=C 10=C = 80=C. Herra K. on iloinen. Jos taas osakkeen hinta nousee, niin lunastamme optiomme. Herra K. siis luopuu osakkeestaan hinnalla 100=C. Maksettuaan velkansa pankkiin herra K:lle jää voittoa 100=C 10=C = 90=C. Herra K. on iloinen. Tapahtui siis mitä tahansa herra K. on saanut voittoa vähintään 80=C. Herra K. on siis saanut ilman mitään pääomaa täysin riskittömästi voittoa.

Jos taas osakkeen hinta on huomenna 90=C, niin optiomme on arvoton. Yleisesti optiomme arvo hetkellä t = 1 on siis (S 1 100=C) + := max (S 1 100=C, 0=C). Emme siis voi hävitä ottamalla option vastaan.

3 Luku 1 Johdatteleva esimerkki Huomautus. Tilannetta jossa voi ilman pääomaa saada riskitöntä voittoa kutsutaan arbitraasiksimahdollisuudeksi. Edellisen perusteella on selvää, että odotusarvoperiaatteen antama hinta c op on liian korkea. Erityisesti se ei voi olla osto-option todellinen hinta markkinoilla ainakaan kovin pitkään, sillä lopulta kaikki haluaisivat arbitraasin toivossa myydä osto-optioita eikä kukaan haluasi ostaa niitä. Niinpä kysynnän ja tarjonnan laki laskee osto-option hintaa lopulta. Tarkastelemme nyt tilannetta tasapainoiselta kannalta. Johdamme osto-option (S 1 100=C) + hinnan niin sanotun suojausperiaatteen nojalla. Oletamme, että osto-optiolla on jokin hinta c. Herra K. sijoittaa saamansa pääoman c osakkeeseen S ja jonkin verran hän laittaa pankkiin, tai mahdollisesti ottaa lainaa. Olkoon β pankkitalletuksen lukumäärä ja γ osakkeinen lukumäärä. Koska herra K:n alkupääoma on osto-option myynnistä saatu c, niin c = β=c + γs 0 Hetkellä t = 1 herra K. haluaa suojata (engl. hedge) osto-option. Toisin sanoen hän haluaa, että hänen varallisuutensa hetkellä t = 1 on juuri saman arvoinen kuin osto-optio. Siis (1.2) β=c + γs 1 (ω) = (S 1 (ω) 100=C) +. Koska mahdollisia maailmantiloja on kaksi, 1 ja 0, niin ehto (1.2) redusoituu yhtälöpariksi β=c + γ 200=C = 100=C, β=c + γ 90=C = 0=C. Tämä kahden muuttujan yhtälöpari on helppo ratkaista (ja ratkaisu on tunnetusti yksikäsitteinen). Saamme β = 90 11, γ =

Erityisesti se ei voi olla osto-option todellinen hinta markkinoilla ainakaan kovin pitkään, sillä lopulta kaikki haluaisivat arbitraasin toivossa myydä osto-optioita eikä kukaan haluasi ostaa niitä.

4 Luku 1 Johdatteleva esimerkki 5 Siten siis herra K. pystyy suojaamaan osto-option jos ja vain jos hänen saamansa alkupääoma riittää ostamaan parin (β, γ) eli c c sp := = C =C = 81, 91=C. Edellisen perusteella herra K. suostuu siis myymään osto-option millä tahansa hinnalla c c sp, koska tällöin hänelle ei tule tappiota tulevaisuudessa kävi osakkeen hinnalle mitä tahansa. Toisaalta meidän ei kannata maksaa osto-optiosta enemäpää kuin c sp, koska hinnalla c sp voimme toistaa (engl. replicate) osto-option samalla tavalla kuin herra K. Olemme siis päätyneet siihen, että osto-option (S 1 100=C) + oikea tai tasapuolinen hinta on c sp = 81, 91=C. 1.3 Huomautus. Suojaushinta c sp on täysin riippumaton maailmantilojen 1 = ylös ja 0 = alas, eli tapahtumien {S 1 = 200=C} ja {S 1 = 90=C}, todennäköisyyksistä. 1.4 Huomautus. Tästä eteenpäin emme jaksa kirjoitella =C-merkkejä. Yhden osakkeen ja kahden tilan koroton malli Yleisesti edellä kuvattu kahden tilan ja yhden osakkeen (koroton) malli on seuraava: S 0 > 0 on osakkeen hinta tänään, joka on deterministinen. Huominen hinta S 1 on satunnaismuuttuja todennäköisyysavaruudelta (Ω, F, P), missä Ω = { alas, ylös } = {0, 1}, σ-algebra F sisältää kaikki Ω:n osajoukot ja todennäköisyysmitta P määräytyy luvusta p (0, 1) siten, että P({1}) = p, P({0}) = 1 p.

suostuu siis myymään osto-option millä tahansa hinnalla c c sp, koska tällöin hänelle ei tule tappiota tulevaisuudessa kävi osakkeen hinnalle mitä tahansa.

5 Luku 1 Johdatteleva esimerkki 6 Kuvallisesti osakkeen S kehitys on seuraava S 0 S 1 (ω) S 1 (1) = S 0 (1 + u) tn:llä p S 1 (0) = S 0 (1 + d) tn:llä 1 p, missä d = alas < 0 < u = ylös. Toisin sanoen osakkeen S suhteellinen muutos eli tuotto (engl. return) R 1 := S 1 S 0 := S 1 S 0 S 0 saa arvot d ja u maailmantiloissa alas ja ylös. Seuraava väite antaa yleisen osto-option (S 1 K) +, joka siis antaa oikeuden ostaa osakkeen S huomenna hinnalla K, suojaushinnan tässä mallissa. 1.5 Väite. Olkoon S 0 (1 + d) < K < S 0 (1 + u). Osto-option (S 1 K) + tasapuolinen hinta yhden askeleen ja kahden tilan mallissa on (1.6) c sp = Todistus. Harjoitustehtävä. d ( ) (1 + u)s 0 K. u d 1.7 Huomautus. Mikäli d = u = 0, niin malli on tylsä. Jos taas d > 0 niin malli on hinnoittelun kannalta hassu. Nimittäin tällöin kaavan (1.6) antama hinta on negatiivinen. Syy tähän on se, että nyt mallissa on arbitraasia.

Seuraava väite antaa yleisen osto-option (S 1 K) +, joka siis antaa oikeuden ostaa osakkeen S huomenna hinnalla K, suojaushinnan tässä mallissa. 1.5 Väite. Olkoon S 0 (1 + d) < K < S 0 (1 + u).

Samankaltaiset tiedostot

eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen

Rahoitust=Coria eli optioiden hinnoittelun ja toistamisen taito tai oppi optioiden oikeasta hinnasta Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 18. huhtikuuta 26 Sisältö I