Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio, jakaumien momentit, Laininen luvut.4, , ). Varastossa on 6 samanlaista autonrengasta, joista neljässä on valmistusvika. Valmistusvika ei näy paljain silmin. Renkaat asennetaan satunnaisesti neljään autoon. a) Millä todennäköisyydellä jokaiseen autoon tulee rikkinäinen rengas? b) Millä todennäköisyydellä kaikki rikkinäiset renkaat sattuvat samaan autoon? a) = Voidaan ajatella, että autossa on 4 paikkaa, joihin renkaat sijoitetaan. Koska autoja on 4, renkaille on yhteensä 6 paikkaa. Sijoitetaan ensin vialliset renkaat yksi kerrallaan. Ensimmäinen viallinen rengas voidaan sijoittaa mihin tahansa autoon ja mille tahansa paikalle. Seuraava rengas täytyy sijoittaa johonkin kolmesta autosta, sitä seuraava jompaan kumpaan jäljelle jääneeseen autoon ja neljäs viallinen täytyy sijoittaa viimeiseen autoon. Tämän jälkeen ehjät renkaat tulevat lopuille paikoille. Toinen tapa: = = Voidaan ajatella, että 4 rikkinäistä rengasta voidaan sijoittaa kaiken kaikkiaan 8 eri tavalla neljään autoon. Ensimmäiseen autoon rikkinäinen rengas voidaan asentaa neljään eri paikkaan, toiseen autoon neljään eri paikkaan jne. b) 6 3 = Ensimmäinen rikkinäinen rengas voidaan asentaa mihin tahansa autoon, mutta tämän jälkeen seuraavien renkaiden on satuttava tähän samaan autoon. Toinen tapa: 4 4 = = Voidaan ajatella, että neljä rikkinäistä rengasta voidaan sijoittaa kaiken kaikkiaan 8 eri tavalla neljään autoon. Neljästä autosta voidaan valita auto neljällä eri tavalla.

2 . (esimerkki Manhattan-metriikasta) Suorakulmaiseen koordinaatistoon on piirretty katuverkko, jossa kadut ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset ja kulkevat kokonaislukupisteiden kautta (jokaisessa kokonaislukupisteessä on kahden kadun risteys). Kuinka monta lyhyintä reittiä on origosta pisteeseen (7, 4)? On selvästi otettava 7 askelta (tai särmää) oikealle (positiivisen x-akselin suuntaan) ja 4 askelta ylöspäin (positiivisen y-akselin suuntaan). Yhteensä on otettava askelta. Kannattaa piirtää avuksi ruudukko. Merkitään siirtymiä vastaavasti x ja y, jolloin eräs mahdollinen reitti olisi esim. xxyyxyyxxxx. Lyhyimpien mahdollisten reittien lukumäärä on: = = ("monellako tavalla jonon paikasta voidaan valita ne 7, joihin sijoitetaan x?") 3. Heitetään virheetöntä rahaa 3 kertaa, jossa siis P(kruuna) = P(klaava) =.5. Olkoon satunnaismuuttuja X = "kruunien lukumäärä kolmessa heitossa". a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X =,,, 3 (voit käyttää apuna puumallia) ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille. b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille. c) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys sekä pistetodennäköisyys- että kertymäfunktion avulla. a) Merkitään H = Kruuna (engl. heads), T = Klaava (engl. tails). Tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: H T H T H T H T H T H T H T Jokaisen alkupisteestä loppupisteeseen johtavan reitin todennäköisyys on /8.

3 Reittejä, joissa on H on. Siten P(TTT) = /8. Reittejä, joissa on H on 3. Siten P(HTT tai THT tai TTH) = 3/8. Reittejä, joissa on H on 3. Siten P(HHT tai HTH tai THH) = 3/8. Reittejä, joissa on 3 H on. Siten P(HHH) = /8. Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f(x) = P(X = x) (kyseessä on itse asiassa binomijakauma parametreilla n = 3 ja p =.5): x f(x) = P(X = x) /8 3/8 3/8 3 /8 Kuvaajassa merkitään pystyakselille todennäköisyydet ja vaaka-akselille arvot, jotka X voi saada. Tässä tapauksessa kuvaajaan merkitään pisteet (, /8), (, 3/8), (, 3/8) ja (3, /8). Usein pisteet vielä yhdistetään pystyakselin suuntaisella janalla vaaka-akseliin. b) Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x): x F(x) = P(X x) x < x < /8 x < 4/8 x < 3 7/8 x 3 Kuvaajasta tulee porrasfunktio, joka muodostuu puoliavoimista väleistä. Huomaa, että kertymäfunktio on oikealta jatkuva. c) Pistetodennäköisyysfunktiosta: P(X > ) = P(X = ) + P(X = 3) = 3/8 + /8 = /. Kertymäfunktiosta: P(X > ) = P(X ) = 4/8 = /. Kertymäfunktion ominaisuudet Funktio F : [,] on kertymäfunktio, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: ( ) lim F( x) = x () lim F( x) = x + (3) F on ei-vähenevä funktio: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jatkuva oikealta: lim F( x + h) = F( x) h +

4 4. Osallistut rahapeliin, jossa heitetään kolmea virheetöntä kolikkoa (ks. tehtävä 3). Peliin osallistumisesta pitää maksaa panos ja pelaaja saa voittona kruunien lukumäärän euroja. (a) Mikä on korkein panos mikä sinun kannattaa maksaa peliin osallistumisesta? (b) Mikä on saamasi rahasumman standardipoikkeama eli keskihajonta? a) Odotusarvo (ensimmäinen momentti origon suhteen): E( X) = x P( X = x) = = (yksikkö: euro) x= Pelaaja saa pelikierrokselta rahamäärän, jonka odotusarvo on.5 euroa. Tämä on suurin panos, mitä peliin kannattaa laittaa panokseksi. (b) Toinen momentti origon suhteen: E( X ) = x P( X = x) = = 3 (yksikkö: euro ) x= Varianssi (toinen momentti odotusarvon suhteen): 3 3 Var( X) = E( X ) [ E( X) ] = 3 = 4 (yksikkö: euro ) Standardipoikkeama eli keskihajonta on varianssin neliöjuuri: 3 D( X) = Var( X) =.866 (yksikkö: euro). Huom! Varianssioperaattorista käytetään usein myös merkintää D (X), joka on siis sama asia kuin Var(X). Lainisen kirjassa tai opetusmonisteessa ei ole merkintää keskihajontaoperaattorille, mutta usein käytetään yo. merkintää D(X) tai Std(X) (engl. standard deviation). Huom! Koska kyseessä on binomijakauma, odotusarvon ja varianssin voi laskea hyödyntäen kaavakokoelman valmiiksi johdettuja kaavoja. 5. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa x + b kun x f ( x) = muulloin a) Määrää vakion b arvo. b) Määrää tapahtuman X =.5 todennäköisyys. c) Määrää tapahtuman X.5 todennäköisyys. d) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. + a) Tiheysfunktioille pätee: f ( x) dx = ( x + b) dx = + b, joten b =.

5 b) Jatkuvalla jakaumalla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on, joten P(X =.5) =. (tämä on myös sen takia järkevää, että jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko on ylinumeroituva) c) P( X.5) =.5 3 x + dx = 8 d) Välillä [, ] satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x) on: x x F( x) = f () t dt = t + dt = x( x + ) Tämän välin ulkopuolella F(x) =, kun x ja F(x) =, kun x. 6. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa: x + kun x f ( x) = muulloin Määrää todennäköisyysjakauman odotusarvo ja keskihajonta eli standardipoikkeama. Odotusarvo (ensimmäinen momentti origon suhteen): + E( X) = ( ) xf x dx = x( x + ) dx = 3 Toinen momentti origon suhteen: + E( X ) = ( ) x f x dx = x ( x + ) dx = 6 Varianssi (toinen momentti odotusarvon suhteen eli toinen keskusmomentti): Var( X) = E( X ) [ E( X) ] = 6 = 3 8 Standardipoikkeama eli keskihajonta on varianssin neliöjuuri: D( X) = Var( X) = = Henkilö, joka väitti löytävänsä taikavarvun avulla vettä, asetettiin seuraavanlaiseen testiin. Hänet vietiin tilaan, jossa oli vesisäiliötä (kaukana toinen toisistaan), ja hänelle kerrottiin, että säiliöistä 5 oli täynnä vettä ja 5 oli tyhjiä. Henkilö valitsi varvun avulla 5 säiliötä ja osoittautui, että näistä 4 oli täynnä vettä ja oli tyhjä. Kuinka todennäköistä on, että henkilö onnistuu arvaamalla (ts. taikavarvulla ei ole merkitystä) näin hyvin tai paremmin kuvatussa testissä?

6 Kymmenestä vesisäiliöstä voidaan valita viisi kaiken kaikkiaan = 5 5 eri tavalla. Viidestä 5 vedellä täytetystä säiliöstä voidaan valita neljä = 5 4 eri tavalla, jonka lisäksi voidaan valita 5 yksi tyhjä = 5 eri tavalla. Kaikki viisi vedellä täytettyä säiliötä voidaan valita vain yhdellä tavalla. Todennäköisyys, että arvaamalla löytää kuvatussa koetilanteessa neljä tai viisi vedellä täytettyä säiliötä, on: = = (kyseessä on itse asiassa hypergeometrinen jakauma parametreilla n = 5, N =, r = 5) Pistetehtävä. ( piste) Laadunvalvonnassa otetaan :n yksikön erästä tarkastettavaksi satunnaisesti valittua yksikköä. Jos koko erässä on viallisia yksiköitä kappaletta, millä todennäköisyydellä tarkastettavien joukossa on: a) vain virheettömiä, b) täsmälleen viallinen, c) vain viallisia? a) P(". virheetön ja sitten. virheetön ja...") = Vaihtoehtoinen ratkaisu: 9 Kymmenen virheetöntä yksikköä voidaan poimia eri tavalla (tätä kutsutaan suotuisien alkeistapahtumien lukumääräksi). Kaiken kaikkiaan yksikköä voidaan valita :n joukosta (tämä on kaikkien alkeistapahtumien lukumäärä). Tästä saadaan suotuisien alk.tap. lkm 9 P(" virheetöntä") = kaikkien alk.tap. lkm =.

7 9 b) 9 virheetöntä 9:stä voidaan valita 9 eri tavalla ja viallinen :stä voidaan valita :llä eri tavalla. Siten 9 9 P("tasan viallinen") = c) Kuten a)-kohdassa: P("kaikki viallisia") = Tai binomikertoimien avulla: P("kaikki viallisia") = Kyseessä on itse asiassa hypergeometrinen jakauma parametreilla N =, n = ja r =. Pistetehtävä. ( piste) Jokaisessa muropaketissa on yksi lelu. Leluja on yhteensä erilaista ja kaikkien lelujen todennäköisyys on sama (eli kaikkia leluja on pakattu sama määrä paketteihin). Miten monta pakettia on keskimäärin ostettava (yksi kerrallaan), jos halutaan täydellinen lelukokoelma? Jos omistaa jo n erilaista, n <, niin tn saada uusi lelu seuraavalla ostolla on n, joten seuraavan uuden kuvan ostamiseen tarvitaan keskimäärin yritystä (kyseessä on n itse asiassa geometrinen jakauma). Koko sarjan keräämiseen tarvitaan keskimäärin ostoja: Järkeilyä: jos tn, että seuraavassa paketissa on uusi lelu, on., on helppo mieltää "keskimäärin kymmenestä paketista sisältää uuden lelun, joten minun täytyy ostaa keskimäärin pakettia saadakseni yhden uuden lelun". Formaalimpi muotoilu: X i = "i:nnen lelun hankkimiseen tarvittavien muropakettien lukumäärä", i =,,.... X i noudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p i : + i X i ~ Geom(p i ), missä pi =, i =,,.... E( X ) = i p = + i, i =,,.... i

8 Kysytty odotusarvo on E X i = E( Xi) = E( X) + E( X) + + E( X). Tehtävässä siis i= i= käytetään tulosta "summan odotusarvo on odotusarvojen summa". Odotusarvo-operaattorin ja summan järjestyksen vaihtaminen on sallittua, mutta tämän todistaminen edellyttää moniulotteisten jakaumien käyttämistä (Laininen teoreemat 9..3 ja 9..4, Lainisen kaavakokoelmassa kaava 6). Asiaan palataan myöhemmin. Pistetehtävä 3. ( pistettä) Eräälle viikon kestävälle, toistuvasti järjestettävälle, intensiivikurssille otetaan 6 opiskelijaa. On havaittu, että satunnaismuuttuja X = "kurssin loppuun asti suorittavien lukumäärä" vaihtelee noudattaen seuraavaa jakaumaa: lukumäärä todennäköisyys tai a) Kun kurssi järjestetään, millä todennäköisyydellä keskeyttäneitä on korkeintaan? b) Kuinka monta suoritusta/kurssi saadaan keskimäärin? c) Määritä satunnaismuuttujan X varianssi ja keskihajonta. d) Tietty henkilö ilmoittaa, että osallistui kurssille mutta jätti sen kesken. Millä todennäköisyydellä joku muukin keskeytti (samalla kurssilla)? a) P("keskeyttäjiä ") = P(X 4) = P(X 3) =.. =.88 b) E(X) = = 4.74 c) E(X ) = = 3.44 Var(X) = E(X ) [E(X)] =.974 D(X).986 d) P(X 4 X 5) = P(X 4 ja X 5) / P(X 5) = P(X 4) / P(X 5) =.38/ (Mitä ehdollisen todennäköisyyden osoittajalle tehtiin? Vinkki: piirrä lukusuoralle puoliavoimet välit X 4 ja X 5)