(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?"

Aapo Sala
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja. (a) Määritä :n odotusarvo. (b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? Ratkaisu: Jos keppi katkaistaan kohdasta niin ÍÒÓÖÑ µ ja µ. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on tietenkin µ kun ja muuten. (a) Ei ole hyvä idea lähteä laskemaan satunnaismuuttujan kertymäfunktiota tai tieheysfunktiota koska suoraan saadaan µ µ µ µ d (b) Nyt µ ja arvolla saadaan pinta-alaksi µ joka itse asiassa on pinta-alan ääriarvo, joten on erittäin huono idea ottaa katkasukohdaksi odotusarvo. 2. Mallinnetaan säähavaintojärjestelmään kuuluvan mittalaitteen elinaikaa joko satunnaismuuttujalla ÍÒÓÖÑ µ tai satunnaismuuttujalla µ. (a) Laske :n ja :n odotusarvot. (b) Laske :n ja :n mediaanit. (c) Laske ÈÖ µ ja ÈÖ µ sekä ÈÖ µ ja ÈÖ µ. (d) Laske ÈÖ µ ja ÈÖ µ sekä ÈÖ µ ja ÈÖ µ. (e) Laske ÈÖ µ ja ÈÖ µ sekä ÈÖ µ ja ÈÖ µ. Ratkaisu: (a) Määritelmistä seuraa suoraan, että µ µ. (b) :n mediaani on sama kuin odotusarvo eli ja :n mediaani Ý saadaan kaavasta ÈÖ Ý µ e Ý eli Ý ÐÓ µ.

2 (c) (d) (e) ÈÖ µ ÈÖ µ e ÈÖ µ Ê d ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ e d ÈÖ ÈÖ µ ÈÖ e e ÈÖ µ e d ÈÖ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ Ê d ÈÖ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ e d ÈÖ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ e ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ e 3. Osoita, että jos ovat riippumattomia µ jakautuneita satunnaismuuttujia ja niin satunnaismuuttuja Ñ noudattaa ÈÓ ÓÒ µ-jakaumaa.

3 Ratkaisu: Tässä käytetään hyväksi tulosta, joka sanoo, että jos ja ovat satunnaismuuttujia joiden jakaumilla on tiheysfunktiot ja niin satunnaismuuttujan tiheysfunktio on Ê Øµ Øµ dø. Tehdään nyt induktio-oletus, jonka mukaan satunnaismuuttujan Ò tiheysfunktio on Ò e Ò Ò µ kun ja kun. Näin on ainakin jos Ò. Silloin satunnaismuuttujan Ò tiheysfunktio on e Øµ Ò e Ø Ø Ò Ò µ ja induktioaskel toimii. Olkoon ja Ò e Ò µ ØÒ dø Ò e Ò e Ò Ò ØÒ Ò ja on laskettava ÈÖ µ. Koska niin ja pätee µ µ µ josta seuraa, että ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ joten ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ e e d µ e d Kun niin tulos seuraa siitä, että ÈÖ µ e e µ. e d µ e d e µ µ 4. Kalasaalissa kalojen paino on normaalijakautunut odotusarvona g ja keskihajontana g. Kaikki alle g painavat kalat syötetään kissoille. Määritä jäljelle jäävien kalojen painojakauman mediaani ja odotusarvo. Ratkaisu: Olkoon kalan paino jolloin siis Æ µ ja että ÈÖ µ ÈÖ ÈÖ Æ µ. Tästä seuraa, eli noin % kaloista annetaan kissoille ja jäljelle jää noin % kaloista. Puolet tästä on % eli jäljelle jääneiden kalojen mediaani on sellainen, että % kaikista kaloista ovat sitä suurempia. On hyvä todeta, että kun kaikki g pienemmät kalat annetaan kissoille, niin se merkitsee sitä, että satunnaismuuttujan kaikki pienemmät arvot jätetään pois. Koska nyt Æ µ-jakautuneen satunnaismuuttuja kertymäfunktiolle päteen µ niin todetaan että jäljelle jäävien kalojen mediaani on noin. Katkaistun muuttujan tiheysfunktio on µ e

4 missä vakio tulee siitä, että Ê µ d. Tämän jakauman odotusarvo on e d e µ e Tästä seuraa, että jäljelle jäävien kalojen painon odotusarvo on. 5. On väitetty, että kolikko on virheellinen sillä tavalla, että todennäköisyys saada klaava on korkeintaan. Heität kolikkoa kertaa ja saat klaavaa ja kruunaa. Arvoi voiko väite oli tosi laskemalla todennäköisyys, että heitolla saadaan vähintään klaavaa jos todennäköisyys saada klaava on. Käytä normaaliapproksimaatiota! Ratkaisu: Olkoon klaavojen lukumäärä jolloin siis Ò Ò µ. Tällöin µ ja ÎÖ µ µ. Normaaliapproksimaatio tarkoittaa, että µ ÎÖ µ Æ µ Jolloin saadaan ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ ÎÖ µ µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ ÈÖ ÈÖ µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ Näin ollen ei ole epätodennäköistä että näillä oletuksilla saadaan vähintään klaavaa joten ei voida väittää että väite ei olisi tosi. 6. A matkustaa Tukholmaan ja aikoo palata vasta kun siellä on ollut aurinkoista päivää. Oletetaan, että päivä on aurinkoinen Tukholmassa todennäköisyydellä (ja lisäksi, että tapahtumat Päivä on aurinkoinen ovat riippumattomia). Millä todennäköisyydellä A on Tukholmassa ainakin päivää. Käytä normaaliapproksimaatiota! Ratkaisu: Olkoon paluupäivän järjestysnumero (hän siis lähtee takaisin 150. aurinkoisen päivän illalla) jolloin siis ÆÒ µ. Koska kyseessä on geometrisesti jakautuneen satunnaismuuttujan summasta, normaaliapproksimaatio vaikuttaa järkevältä. Nyt Näin ollen µ ÈÖ µ ÈÖ ÈÖ µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ ja ÎÖ µ µ ÎÖ µ ÈÖ ÈÖ ÈÖ µ µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ µ ÎÖ µ

5 (Jos lasketaan negatiivisella binomijakaumalla saadaan vastaukseksi noin mutta on myös huomattava että koska saa vain kokonaislukuarvoja joten ÈÖ µ ÈÖ µ ja jos jälkimmäiseen lausekkeeseen sovelletaan normaaliapproksimaatiota saadaan vastaukseksi.) 7. Oletetaan, että asiakkaita tulee kauppaan µ jakautunein (ja riippumattomin) väliajoin. Jos oletetaan, että tietyllä aikavälillä Ø Ø tulee täsmälleen yksi asiakas, niin miten hänen tuloaikansa on sillä välillä jakautunut? Ratkaisu: Valitaan jokin luku Ø Ø Ø ja lasketaan todennäköisyys sille, että asiakas tulee välillä Ø Ø ehdolla että hän on ainoa asiakas joka tulee välillä Ø Ø. Merkitään jolloin siis Nyt pätee myös Asiakas tulee väillä Ø Ø Välillä Ø Ø tulee täsmälleen yksi asiakas ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ Asiakas tulee väillä Ø Ø ja välillä Ø Ø tulee täsmälleen yksi asiakas Välillä Ø Ø tulee täsmälleen yksi asiakas ja välillä Ø Ø ei tule yhtään asiakasta missä siis Välillä Ø Ø tulee täsmälleen yksi asiakas Välillä Ø Ø ei tule yhtään asiakasta Eksponentiaalijakauman ominaisuuksista seuraa, että tapahtumat ja ovat riippumattomia ja eksponentiaalijakauman ja Poisson-jakauman yhtydestä seuraa, että Tästä seuraa, että ÈÖ µ e ÈÖ µ Ø Ø µe Ø Ø µ ÈÖ µ e Ø Øµ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ Ø Ø µe Ø Ø µ e Ø Øµ e eli tuloaika on tasaisesti jakautunut välillä Ø Ø. Ø Ø 8. Oletetaan, Êettä komponentin elinikä on satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on µ e Øµ dø missä on ei-negatiivinen funktio jolle pätee Ê Øµ dø. (Jos integraali on äärellinen niin komponentti ei mene koskaan rikki positiivisella todennäköisyydellä ja silloin voi myös saada arvon.) Miten voidaan esittää kertymäfunktion ja tiheysfunktion avulla ja mikä on sen tulkinta. (Tavanomainen nimi sille on hasardifunktio.)

6 Ratkaisu: Määritelmän mukaan µ µ µe Ê Øµ dø josta saadaan ratkaisuksi µ Olkoot ja mielivaltaisia ja olkoot µ µ Komponentti menee rikki aikavälillä µ Komponentti menee rikki aikavälillä µ Komponentti toimii hetkellä Koska täsmälleen silloin kun komponentti menee rikki hetkellä niin Selvästikin joten ÈÖ µ Øµ dø ÈÖ µ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ Ê Øµ dø µ Tästä päätellään (ainakin siinä tapauksessa, että on oikealta jatkuva pisteessä ), että µ ÐÑ Ê Øµ dø µ ÐÑ ÈÖ Komponentti menee rikki välillä µ Komponentti toimii hetkellä

Samankaltaiset tiedostot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen