10. Optiohinnoittelu binomihilassa
|
|
- Tyyne Väänänen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 10. Optiohinnoittel binomihilassa 1. Sijoitskohteien hintaprosessit Moniperioisten investointitehtävien tarkastel eellyttää sijoitskohteien hintojen kehittymisen mallintamista joko iskreetteinä tai jatkvina prosesseina iskreetit prosessit binomihilat yksinkertaisia soveltvat moniin investointitehtäviin jatkvat prosessit Itô-prosessit erisriset perioikohtaiset hinnanmtokset mahollisia voiaan toisinaan ratkaista analyyttisesti. Aitiivinen malli Aitiivisessa mallissa hintaprosessi noattaa kaavaa S ( k 1 as ( k ( k, k 0, K, N missä (k:t ovat riippmattomia satnnaismttjia ja a on vakio (seimmiten >0. Ahti Salo / Pekka Mil
2 Ts. S (1 S ( S ( k a (0 (1 S (0 a S (0 ( k (0 (1 a (0 k 1 Jos (i:t ovat normaalijakatneita ja niien ootsarvo on nolla, hintaprosessi on normaalijakatnt ja sen ootsarvo on E as as k L a 1 (1 (0 k [ S ( k ] a S (0 a k (1 Heikkoksia satnnaismttjien (i:t voivat olla negatiivisia negatiiviset S(i:t mahollisia epärealistista! hintojen absolttinen mtos ei riip saavtetsta hintatasosta epärealistista! - -
3 3. Mltiplikatiivinen malli Mltiplikatiivinen malli on S ( k 1 ( k S ( k, k 0, K, N missä (k:t ovat riippmattomia satnnaismttjia, jotka kvaavat hinnan shteellista mtosta. Mallia voiaan tarkastella aitiivisen mallin valossa, sillä 1 ln S ( k 1 ln S ( k ln ( k Oletetaan, että w(kln (k ovat normaalijakatneita (k:t ovat log-normaalisti jakatneita ja ln S ( k Jos E(w(k ν ja var(w(kσ, niin E var ln S (0 k 1 i 0 Toellisessa osakkeien hinnat noattavat verraten hyvin log-normaalia jakamaa empiirisesti johetissa (ts. erotksiin ln S(k1 ln S(k perstvissa jakamissa hännät ovat sein paksmmat kin normaalijakamassa. [ ln S ( k ] ln S [ ln S ( k ] kσ (0 w( i vk - 3-
4 4. Binomihila Binomihilan määrittävät: 1. kohteen hinta alssa S. hilaperioin pits (esim. yksi viikko 3. ylös- (>1 ja alaspäin (<1 tapahtvien shteellisten hinnanmtosten srs (ts. S 1 on joko S 0 tai S 0 4. toennäköisyys p, jolla hinta nosee Parametrit S 0,p,, määrittävät binomihilan. Parametrisoiaan hintaprosessi s.e. ν on hinnan shteellisen vosimtoksen logaritmin ootsarvo ja σ vastaava stanarihajonta, so. ν σ E [ ln( S T / S 0 ] [ ln( S / S ] var Tehtävänä on nyt määrittää binomihilan parametrit siten, että ne kvaavat havaitta hintaprosessia ootsarvon ja varianssin shteen. T 0 Kn S(01, niin hinnan S(1 logaritmin ootsarvoksi saaaan [ ln (1] [ ln (0 (0] E S E S w p ln (1 p ln, - 4-
5 jolloin varianssiksi tlee var [ ln S (1] (1 p(1 p(ln p (ln p (ln Merkitään U ln ja D ln. Tällöin yhtälöiksi saaaan pu p(1 p ( U Koska määritettäviä parametreja on kolme mtta ehtoja vain kaksi, niin voiaan asettaa yksi lisävaatims. Tällaiseksi voiaan valita 1/ U -D, jolloin yhtälöiksi saaaan ( p 4 p (1 Neliöiään yhtälöistä ylempi ja se lisätään alempaan U p D D Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön ja ratkaistaan ensin p ja sitten U p (1 1 U p U ν t ( ν t σ 1 σ σ p ln p ln ln ν t 1 / /( ν t t σ t t 1 (1 (1 p ln p ln U ln σ t ( ν t - 5-
6 Kn t on pieni, niin tätä voiaan voiaan approksimoia parametrien arvoilla asettamalla p 1 1 ν σ t exp( σ t exp( σ t Parametrit σ, ν voiaan estimoia historiallisista aikasarjoista kaavoilla N 1 N S ( k 1 vˆ ln ( k ln N N S ( k k 0 k 0 N S ( N k 0 [ S k S k ] ln ( 1 ln ( ln N N S (0 σ ˆ var( w( k var(ln( ( k N 1 1 S ( k 1 ln vˆ 1 k 0 S ( k N - 6-
7 5. Optioien perskäsitteitä Optio(sopims oikettaa joko hyöykkeen myymiseen tai ostamiseen sopimsehtojen mkaisesti, mtta ei velvoita käyttämään tätä oiketta. A. Esim. osto-optio, joka oikettaa ostamaan 1000 kpl Nokian osakkeita hintaan 16 hhtikssa 007. B. Esim. myyntioptio, joka oikettaa myymään 1 tn öljyä hintaan $ 5/barreli marraskssa 006. Termejä kohe-ets (nerlying asset on option kohteena oleva hyöyke myyntioptio (pt oikettaa kohe-eten myymiseen osto-optio (call oikettaa kohe-eten ostamiseen päättymispäivänä (expiration ate optio joko totetetaan tai se rakeaa option oikettama myynti tai osto tehään totets-hintaan (exercise price preemio (premim on optiosta maksettava hinta hom! preemio on osakekohtainen - 7-
8 Totetshetkellä option arvo riipp kohe-eten arvosta ja totetshinnasta esim. jos Nokian osakkeen arvo on 0 hhtikssa 007, niin A-kohan optiosopimksen (ks. eellä arvo on 1000 ( Amerikkalainen optio voiaan totettaa koska tahansa ennen päättymispäiväänsä; erooppalainen optio voiaan sen sijaan totettaa ainoastaan päättymispäivänään. lokittel ei viittaa maantieteelliseen sijaintiin, vaan sopimstyyppiin! Preemion määrittyminen: A. Jos optiosopims tehään yksityisesti kahen osapolen välillä, niin preemio sovitaan osapolten välisissä nevottelissa. B. Pörssissä noteerattavien optioien preemio (hinta määrittyy markkinoilla. kohe-etserän sret, päättymispäivät ja totetshinnat stanaroit Optioon sisältyy erilainen riski ostajan ja myyjän kannalta: A. Option ostajalla on oikes mtta ei velvolliss option totettamiseen hänen tappionsa on enintään maksetn preemion srinen. - 8-
9 B. Option myyjä on velvollinen option totettamiseen ostajan niin haltessa, vaikka kohe-eten hinta kehittyisi myyjän kannalta epäsotisasti tappiot voivat olla homattavia myyjien on perstettava marginaali, joka on sein noin 50 % kohe-eten arvosta Optioita ei seinkaan osteta niien totettamiseksi, vaan niillä käyään kappaa mn massa riskeiltä sojatmiseksi. 6. Option arvo Option arvo moost 1. persarvosta määräytyy kohe-eten hinnasta ja totetshinnasta. aika-arvosta määräytyy jäljellä olevasta voimassaoloajasta, koheeten hinnan volatiliteetista, korkotasosta (ja mahollisista kohe-eten osingoista Tarkastellaan osto-optiota, jonka totetshinta on K. Jos kohe-eten hinta S on päättymispäivänä T srempi kin K, niin osto-option arvo on S-K Jos hinta S on alhaisempi kin K, niin optio on arvoton. päättymispäivänä osto-option arvo on max( 0, S K - 9-
10 Tarkastellaan myyntioptiota, jonka totetshinta on K. Jos kohe-eten hinta S on päättymispäivänä srempi kin K, myyntioptio on arvoton Jos hinta S on alhaisempi kin K, option arvo on K-S päättymispäivänä myyntioption arvo on P max( 0, K S Jäljellä oleva voimassaoloaika: Jos kohe-eten hinta S t on hetkellä t<t osto-option totetshintaa K alhaisempi, niin kohe-eten hinta voi nosta jäljellä olevan ajan klessa s.e. S T > K. Jos kohe-eten hinta S t on hetkellä t<t myyntioption totetshintaa K korkeampi, niin kohe-eten hinta voi laskea jäljellä olevan ajan klessa s.e. S T < K. Optioilla on siis vielä arvoa. Kohe-eten volatiliteetti kasvaa option arvo kasvaa, koska maholliss päätyä totetshinnan yli/ali kasvaa korot nosevat osto-option arvo nosee o osto-optioien avlla srempaa makserää voiaan siirtää tlevaisteen (kohe-eten välittömään hankintaan verrattna > pääoma voiaan sijoittaa täksi ajaksi paremmalla korolla o Toisaalta totetshinnan nykyarvo alenee - 10-
11 Tekijä Vaikts tekijän kasvaessa Osto-optio Myyntioptio Kohe-eten hinta - Totetshinta - Voimassaoloaika Kohe-eten hinnan volatilit. Korkotaso - Kohe-eten osingot - 7. Optioien yhistely Usein optioita yhistellään halttjen sojatmis- tai speklointistrategioien rakentamiseksi. Esim. Btterfly sprea (ks. kva 1.4: 1. Ostetaan osto-optio, jonka totetshinta on K1. Ostetaan osto-optio, jonka totetshinta on K3 > K1 3. Myyään kaksi osto-optiota, joien totetshinta on K s.e. K1 < K < K3; yleensä K valitaan kohe-eten hinnan tntmasta. Näin saaaan rakennetta positio, josta saaaan voittoa, mikäli kohe-eten hinta ei mt paljoa ja johon liittyvä riski ei ole sri, vaikka kohe-eten hinta mttisi paljonkin
12 Erooppalaisille optioille pätee ns. pt-call parity: Jos ostoja myyntioptiot liittyvät samaan kohe-etteen siten, että niillä on sama totetshinta ja päättymispäivä, niin ko. optioien arvot totettavat yhtälön P K missä on arvomäärityshetken t ja päättymispäivän T välinen iskonttokorko (t,t. S To. Moostetaan seraava strategia: 1. Ostetaan yksi osto-optio. Myyään yksi myyntioptio. 3. Talletetaan smma K riskittömällä korolla (so.talletksesta saaaan päättymispäivänä kassavirta K A. Jos päättymispäivänä S>K, niin osto-optio antaa voiton S-K, myyntioptiosta ei tle tappiota ja talletksesta saaaan kassavirta K strategian kassavirta on S. B. Jos päättymispäivänä S<K, niin osto-optiosta ei tle voittoa, myyntioptiosta tlee tappio K-S ja talletksesta saaaan kassavirta K kassavirta on K-(K-S S. Strategia antaa saman kassavirran kin kohe-ets strategialla ja kohe-etella on sama arvo hetkellä T positioilla on oltava sama arvo hetkellä t -PKS. m.o.t. - 1-
13 Optioien hinnoittel binomihilassa a Yksiperioinen optio Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa s.e. perioin päätyttyä sen arvo on joko S toennäköisyyellä p tai S toennäköisyyellä 1-p (p > 0, > > 0 Oletetaan, että riskitön korko on r s.e. 1r. Arbitraasivapaesta seraa ehto > >, sillä jos vastaoletksen persteella olisi esim. : lainataan kohe-eten tämänhetkisen arvon verran riskittömällä korolla ja sijoitetaan osakkeeseen saaaan kassavirta ps arbitraasi! (1 > p S ps S (1 S S p S ( S S 0 Periaate: Moostetaan kohe-etesta ja riskittömästä sijoitksesta portfolio, josta saaaan perioin päättyessä sama kassavirta kin optiosta. option hinta on sama kin tämän portfolion arvo - 13-
14 Tarkastellaan osto-optiota, jonka totetshinta on K. Perioin päättyessä tämän option arvo on joko max( S K,0 tai max( S K,0 Tarkastellaan portfoliota, jossa smma x sijoitetaan koheetteen ja smma b riskittömällä korolla. Perioin päättyessä tämä portfolio antaa toton xb tai xb. Eellytetään, että ko. portfolio antaa saman toton kin osto-optio x x atkaistaan x ja b b b x b ( - 14-
15 Arbitraasivapaen nojalla osto-optiolla ja tällä portfoliolla on oltava sama arvo 1 Merkitään q (-/(- Osto-option arvo voiaan tlkita q:lla ja 1-q:lla painotettna smmana sen tlevista arvoista q:ta ktstaan riskittömäksi toennäköisyyeksi q:lla ei kitenkaan ole tekemistä p:n kanssa! b Moniperioiset optiot ( Tarkastellaan kaksiperioista binomihilaa, jossa osto-option arvo on kahen perioin kltta 1 [ q (1 q ] x b max( max( max( S S S K,0 K,0 K,0-15-
16 Sovelletaan yhen perioin hinnoittela rekrsiivisesti ensimmäisen perioin päättyessä option arvo on joko tai 1 [ q (1 q ] 1 ensimmäisen perioin alssa option arvo on [ q (1 q ] 1 [ q (1 q ] - 16-
17 Esim. Osakkeen hinta on 80 ja hintamtosten logaritmin keskihajonta on σ Osto-option päättymispäivä on neljän kkaen kltta ja totetshinta on 85. Mikä on tämän option hinta, kn riskitön korko on 8% ja osakkeelle ei makseta osinkoa? Parametreiksi saaaan e e / 1 1 / 1 Binomihilaksi tlee siis ,1 0,891 r 0,080 1,007 q 0,500 str 85,000 80,00 89,79 100,78 113,1 16,96 71,8 80,00 89,79 100,78 63,50 71,8 80,00 56,58 63,50 50,41 ja option arvoksi saaaan 6,40 10,94 18,14 8,68 41,96 1,93 3,89 7,84 15,78 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 osto-option arvo on
18 Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä (t < T: A. Jos S t < K, niin kohe-ets voiaan ostaa halvemmalla markkinoilta. B. Jos S t > K, niin optio voiaan kyllä totettaa hetkellä t, mtta jos S T > K, niin optio olisi voit totettaa vasta päättymispäivänä, jolloin totetksen yhteyessä tarvittavalle pääomalle olisi maksett korkoa t:n ja T:n välisenä aikana. jos S T < K, niin optiota ei olisi kannattant totettaa lainkaan, koska päättymispäivänä se oltaisiin saat markkinoilta halvemmalla. Tlos voiaan myös toistaa: Lase. Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä. To. Kaksiperioisessa hilassa max S S ( S K,0 K K, S K - 18-
19 joten Koska q 1 1 S [ q (1 q ] [ q S (1 q S K ] [ q (1 q ] q yllä olevasta epäyhtälöstä saaaan S K > S K K ( 1 q, Ts. option arvo ensimmäisen perioin päättyessä on srempi kin sen totettamisesta saatava voitto ennenaikainen osto-option totettaminen ei kannata amerikkalaisen myyntioption ennenaikainen totettaminen saattaa sen sijaan kannattaa
20 Esim. Tarkastellaan eellisessä esimerkissä myyntioptiota, jonka totetshinta on 85. Mikäli optiota ei toteteta ennenaikaisesti, niin option arvoksi saaaan 9.17 : 9,17 4,47 1,3 0,00 0,00 13,98 7,77,48 0,00 0,37 13,16 5,00 7,86 1,50 34,59 Jos kohe-eten hinta on tllt jatkvasti alaspäin, optio kannattaa totettaa neljännen perioin alssa, koska > Myyntioption arvoksi saaaan 9.58 : 8. eaalioptiot Optiohinnoittellla voiaan tkea investointistrategioien laatimista tilanteissa, joissa kohe-ets ei ole finanssi-instrmentti, vaan jokin reaalinen sijoitskohe: lonnonvarat (öljy, kaas. kiinteistöt t&k-hankkeet. - 0-
21 Esim. Kaivoksesta voiaan kaivaa kltaa enintään nssia voessa, ja kaivkstannkset ovat $00/nssi. Kllan hinta on $400, mtta sen arvellaan mttvan siten, että vositasolla se joko nosee 0% tn:llä 0.75 tai alenee 10% tn:llä 0.5. iskitön korko on 10%. Mikä on 10 voen pitisen vokrasopimksen arvo? Oletetaan, että knakin vonna kaivtoiminnasta saatavat kassavirrat tapahtvat ko. voen päättyessä. Moostetaan kllan hinnan kehitystä kvaava binomihila: ,0 480,0 576,0 691, 89,4 995,3 1194,4 1433,3 1719,9 063,9 476,7 360,0 43,0 518,4 6,1 746,5 895,8 1075,0 189,9 1547,9 1857,5 34,0 388,8 466,6 559,9 671,8 806, 967,5 1161,0 1393,1 91,6 349,9 419,9 503,9 604,7 75,6 870,7 1044,9 6,4 314,9 377,9 453,5 544, 653,0 783,6 36, 83,4 340,1 408,1 489,8 587,7 1,6 55,1 306,1 367,3 440,8 191,3 9,6 75,5 330,6 17, 06,6 47,9 155,0 186,0 139,5 Pätee: 10. voen päättyessä sopimksella ei ole arvoa, koska kaivoksesta ei voia enää kaivaa kltaa. 10. voen alssa kltaa kannattaa kaivaa, jos kllan hinta S > voen lopssa kaivoksen arvo on max{10000 (S-00/1.1,0}. 8. voen alssa kltaa kannattaa kaivaa, jos S > 00-1-
22 lisäksi kaivoksen arvoon on lisättävä niien tottojen arvo, jotka saaaan 9. voen aikana. moostetaan binomihila vokran arvo $4.1 milj Entä jos yhtiö voi ostaa tehokaivrin, joka nostaa kapasiteetin 1500 nssiin, mtta joka maksaa $ 4 milj. ja jolla kaivkstannkset ovat $40/nssi? Kannattaako tämä kaivri ostaa? Jos, niin milloin? Jos tehokaivri on käytössä (hankintahintaa ei homioit, niin vokrasopimksen binomihilaksi saaaan
23 Jokaisessa hilapisteessä on nyt kolme vaihtoehtoa: 1. ota tehokaivri käyttöön (solmn tlee arvoksi eellisen hilan ko. solmn arvo miins investointi 4 M$. Kaiva kltaa ilman tehokaivria nssia ja oota seraavaan perioiin (solmn arvoksi kaivtotot pls iskontatt riskinetraali ootsarvo seraavista 3. Älä kaiva vaan oota (riskinetraali ootsarvo seraavista Otetaan kssakin solmssa maksimi yo. vaihtoehoista. Tehokaivri kannattaa hankkia tmmennetissa solissa (joista eteenpäin se on käytössä. Mihin solmihin arvo moost samoin kin ilman tehokaivrioptiota. Optiobinomihilaksi (vokra kaivrioptio saaaan joten vokrasopimksen arvoksi tlee nyt $ 4,6 milj. Katso myös lisämateriaali (.xls hilojen rakentamisesta! - 3-
Optioiden hinnoittelu binomihilassa
Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu
Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on
Lisätiedotln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2
Moniperiodisten investointitehtäviä tarkasteltaessa sijoituskohteiden hintojen kehitystä mallinnetaan diskeetteinä (binomihilat) tai jatkuvina (Itô-prosessit) prosesseina. Sijoituskohteen hinta hetkellä
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
Lisätiedot12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
LisätiedotAloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen
Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa
LisätiedotNyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan
LisätiedotKäyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012
Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta Tommi Höynälänmaa 19. marraskta 2012 1 1 Yleistä Ajan t mittainen henkilötyöaika keskimääräistyötä (tehokkdeltaan keskimääräistä työtä) saa tavarantotannossa
LisätiedotTietoa hyödykeoptioista
Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät
Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea
LisätiedotTietoja osakeoptioista
Tietoja osakeoptioista Tämä esite sisältää yleisiä tietoja osakeoptioista, joilla voidaan käydä kauppaa Danske Bankin välityksellä. AN OTC TRANSACTION WITH DANSKE BANK AS COUNTERPARTY. ESITTELY Osakeoptioilla
Lisätiedotr1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit
A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo
LisätiedotOPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000
OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki
LisätiedotMat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd
.* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma
LisätiedotOptiot 1. Tervetuloa webinaariin!
Optiot 1 Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 on peruskurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa käydään läpi mm. mikä optio on, miten sitä voi käyttää ja mistä kannattaa lähteä liikkeelle.
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola
Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset
LisätiedotVariations on the Black-Scholes Model
Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
Lisätiedot25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.
SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa
LisätiedotPääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto
Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin
Lisätiedotr = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz
LisätiedotTasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q
EEC-E89 syksy 06 Ttkitaan alla olevan kvan mkaista heikkoon verkkoon kytkettyä srjännitteistä tasasähköyhteyttä. Tässä tapaksessa syöttävän verkon impedanssi (Theveninin impedanssi, kvassa j on j0,65,
LisätiedotMarkkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2)
Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Sovelletun matematiikan jatko-opintoseminaari Johdannaissopimushinnoittelun matemaattinen mallinnus ja laskennalliset menetelmät Johdanto TkT Juho Kanniainen
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.
Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun
LisätiedotValuuttariskit ja johdannaiset
Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other
Lisätiedota) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
Lisätiedot9. Riskeiltä suojautuminen
9. Riskeiltä suojautuminen. utuurit orward-sopimuksia on tety jo yvin kauan organisoitu pörsseiin osapuolten ei tarvitse itse etsiä vastapuolta sopimuksen tekemiseksi toimituspäivämäärät, erät ja paikat
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedot8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia
8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotKirjanpito ja laskentatoimi A-osa
1. Arvon määritys a) Mitkä tekijät vaikuttavat osto- ja myyntioptioiden arvoon ja miten? b) Yrityksen osingon oletetaan olevan ensi vuonna 3 euroa per osake ja osinkojen uskotaan kasvavan 6 % vuosivauhtia.
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotTietoja koronvaihtosopimuksista
Tietoja koronvaihtosopimuksista Tämä esite sisältää tietoja Danske Bankin kautta tehtävistä koronvaihtosopimuksista. Koronvaihtosopimuksilla voidaan käydä kauppaa Danske Bankin kanssa pörssin ulkopuolella
LisätiedotΣ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon
17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita
LisätiedotKorko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016
Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna
LisätiedotInvestointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen Optimaalisen investointistrategian ominaispiirteitä eli parametrien vaikutus ratkaisuun Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Optimointiopin seminaari
LisätiedotT Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut
T-79.146 Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a P P f Q, R Q e P a) M, a = A(P UQ), sillä (esim.) (a,,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotReaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien
LisätiedotTietoja valuuttaoptiosopimuksista
Tietoja valuuttaoptiosopimuksista Tämä esite sisältää yleisiä tietoja Danske Bankin kautta tehtävistä valuuttaoptiosopimuksista. Valuuttaoptioilla voidaan käydä Danske Bankin kanssa kauppaa pörssin ulkopuolella
LisätiedotEsteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva
Lisätiedotx = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1
Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =
LisätiedotTOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi
TOIMEKSIANTOSOPIMUS 1. Sopijapolet Toimeksiantaja: Siilinjärven knta (Jäljempänä Asiakas ) Osoite: Kasrilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi Y-tnns: 0172718-0 Toimeksiannon saaja: Vaktsmeklari Novm Oy (Jäljempänä
LisätiedotMääräykset ja ohjeet 4/2011
Määräykset ja ohjeet 4/2011 Asuntoluoton ennenaikaisesta takaisinmaksusta perittävän enimmäiskorvauksen laskentaan käytettävät Dnro FIVA 9/01.00/2011 Antopäivä 15.12.2011 Voimaantulopäivä 31.3.2012 FIASSIVALVOTA
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 11. harjoitus - ratkaisut
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-239 Optimointioppi Kimmo Berg harjoitus - ratkaisut Logaritmiseksi estefunktiotehtäväksi saaaan min F() = µ(ln 2 + ln( + )) Etsitään lokaalit minimit
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotBlack ja Scholes ilman Gaussia
Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotTietoa joukkovelkakirjalainafutuureista, -termiineistä ja -optioista
Tietoa joukkovelkakirjalainafutuureista, -termiineistä ja -optioista Tämä esite sisältää yleisiä tietoja joukkovelkakirjalainafutuureista, -termiineistä ja j-optioista sekä niiden käyttämisestä. Lisäksi
LisätiedotOmakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen.
Omakotitalon energiaratkais Pieni askel omavaraisteen. www.arime.fi Phdasta energiaa lonnosta Arinko on meidän kakien elämään vattava ehtymätön energianlähde ja se tottaa välillisesti srimman osan ihmisten
LisätiedotSolvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)
LisätiedotLisää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti
isää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy isää satunnaisuutta Tähän mennessä on käytetty vain yhtä satunnaismuuttujaa tuotteen
Lisätiedot(kevät 2019) Markku Laitinen Uurainen Siv u 1
(kevät 2019) 1 TUEN SAAJAT: -Lonnolliset henkilöt ja yksityisoikedelliset yhteisöt (Oy, Ky, Ay, ossknnat), joka elinkeinonaan harjoittaa tai ryhtyy harjoittamaan maatilalla maatalotta (maatalosyrittäjä).
LisätiedotTodellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
LisätiedotMIKROTEORIA, HARJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI AJAN JA EPÄVARMUUDEN VALLITESSA, OSTAJANA JA MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TARJONTA
MIKROTEORI, HRJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI JN J EPÄVRMUUEN VLLITESS, OSTJN J MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TRJONT Voistojen eistämässä kylässä kasvatetaan ainoana elinkeinona vehnää Sadot vaihtelevat vosittain, siten, että
Lisätiedotcorporate governance Tämä on lyhennetty versio Cinia-konsernin laajemmasta, sisäisestä ohjeistuksesta
corporate governance Tämä on lyhennetty versio Cinia-konsernin laajemmasta, sisäisestä ohjeistksesta 1 1.1 Omistajarakenne Cinia Oy:n omistajarakenne koost Somen valtiosta (liikenne- ja viestintäministeriö)
LisätiedotS uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.
3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti
LisätiedotIndekseistä, L12. Reaalikorko. Aiheet. Aritmeettinen ja geometrinen keskiarvo. Yhden tuotteen hintaindeksi. Reaalikorko. Pääoman deatoitu arvo
Indekseistä, L12 1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a j. j=1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a
LisätiedotYhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet
Yhteistyötä teatterista & Taiteesta totteeksi -hankkeet Iisalmi, Keitele, Kirvesi, Lapinlahti, Pielavesi, Sonkajärvi ja Vieremä 10.8.2015 10.03.2016 Sisällys Johdanto... 3 Yhdistystoiminta ja osallistminen...
Lisätiedot11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
LisätiedotDerivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b
, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x (
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
Lisätiedot10.8 Investoinnin sisäinen korkokanta
154 108 Investoinnin sisäinen korkokanta Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla Investointi on tuottava (kannattava), jos sen sisäinen korkokanta
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotLuku 16 Markkinatasapaino
76 Luku 16 Markkinatasaaino 16.1 Markkinatasaainon määritys Tarkastelemme kilailullisia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaisunsa suhteessa maksimihintoihin talouenitäjien
LisätiedotSuojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari
Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo 38.343 Jonoteoria / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
LisätiedotSOPIMUSTEN MERKITYS OMISTAJANVAIHDOKSISSA
SOPIMUSTEN MERKITYS OMISTAJANVAIHDOKSISSA Sopimustyypit ja niiden valinta Kaksi päävaihtoehtoa ovat liiketoiminnan myynti (liiketoimintakauppa) ja yrityksen itsensä, eli ns. oikeushenkilön, myynti (osuus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotKokemuksia muutoksesta ja johtamisesta 1980- luvulta tähän päivään. Keijo Mutanen KIM Ventures Oy Joensuu 6.11.2014
Kokemksia mtoksesta ja johtamisesta 1980- lvlta tähän päivään Keijo Mtanen KIM Ventres Oy Joens 6.11.2014 Oma johtamiskokems 1980- lk: VTT, Jyväskylä, Jaoston päällikkö, projektipäällikkö, yksikön varajohtaja,
Lisätiedot2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
LisätiedotInvestointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen
Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman
LisätiedotTietoja koron-ja valuutanvaihtosopimuksista
Tietoja koron-ja valuutanvaihtosopimuksista Tämä esite sisältää tietoja Danske ankin kautta tehtävistä koron- ja valuutanvaihtosopimuksista. Koron- ja valuutanvaihtosopimuksilla voidaan käydä Danske ankin
LisätiedotProjektin arvon aleneminen
Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen
LisätiedotBlack Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat
Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Tommi Sottinen, Helsingin yliopisto Yhteistyössä C. Bender, TU Braunschweig E. Valkeila, Teknillinen korkeakoulu 10. lokakuuta 2006
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Identifiointiprosessi Koesnnittel, identifiointikoe Mittastlosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - transientti-, korrelaatio-, taajs-, Forier- ja spektraalianalyysi => askel-, implssi-
LisätiedotProjektin keskeyttäminen, uudelleen käynnistäminen ja hylkääminen
Projektin keskeyttäminen, uudelleen käynnistäminen ja hylkääminen Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 Mallin laajennus Toiminta voidaan väliaikaisesti keskeyttää ja käynnistää uudelleen Keskeyttämisestä
LisätiedotLuentorunko 7: Raha, hintataso ja valuuttakurssit pitkällä aikav
Luentorunko 7: Raha, hintataso ja valuuttakurssit pitkällä aikavälillä Niku, Aalto-yliopisto ja Etla Makrotaloustiede 31C00200, Talvi 2018 Johdanto Mitä on raha? Rahan määrä ja hintataso pitkällä aikavälillä.
LisätiedotOPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS
OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo
Lisätiedot4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa
6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot