,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion

Transkriptio

1 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ estimaattori sekä momentti- että suurimman uskottavuuden menetelmällä. Sovella tulosta havaintoarvoihin ½ ¾Ü¾ µ Ò¾ Ò ½ ¾Ü¾ ½ ¾Ü¾ µ, ja. Ratkaisu: Momenttimenetelmää ei voi käyttää koska jakaumalla ei ole (kunnolla määriteltyä) momentteja. (Jos µolisi jotain sen täytyisi symmetrian nojalla olla¼ja koska tämä luku ei riipu :sta siitä ei ole mitään hyötyä.) Muodostetaan siis uskottavuusfunktio Haetaan derivaatan nollakohta ja saadaan yhtälö Nyt ei ole selvää löytyykö tämän yhtälön ratkaisu missään yksinkertaisessa muodossa, mutta on selvää, että on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu (ellei nyt kaikkiü ¼) ja ļ ܽ ܾ ÜÒµ ¼kun jaä¼ Ü½ ܾ ÜÒµ ¼kun joten kyseessä on todella maksimi. Jos nyt havaintoarvotü½ µ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ º,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion nollakohta graafisesti piirtämällä funktion kuvaajaa jolloi saadaan Kuvasta päätellään, että ¼ ¾¾. 2. Tulet uuteen kaupunkiin ja lentokentällä näet kolmea taksia joiden numerot ovat,½½ ja. Montako taksia kaupungissa on? Ratkaisu: Tässä tarvitaan tietenkin lisäoletuksia ja eräs sellainen on, että kaupungissa on taksia, joiden numerot ovat½ ¾ ja kaikilla on sama todennäköisyys näkyä lentokentällä eli ÈÖ Taksi, joka on lentokentällä on taksi numero µ ½ ½.

2 ½ ½½ µ ½ ½ ½ Ä µ ½ jos ¾ ¼ Momenttimenetelmällä saadaan ehdoksi Tästä saadaan ratkaisuksi ½ mikä ilmeisesti on liian pieni luku. Jos käytetään suurimman uskottavuuden periaatetta, niin saadan uskottavuusfunktioksi muulloin, eli tässä tapauksessa maksimi saavutetaan kun eli :n estimaattoriksi tulee Ñ Ü ½ Ò jos :t ovat tasaisesti jakautuneita joukossa ½. 3. Muodosta Poisson-jakauman parametrin estimaattori momentti ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu:ÈÓ ÓÒ µ-jakauman pistetodennäköisyysfunktio Ü kunü Ü ¼ ļ ܽ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ ܽ ܾ ÜÒ Ò Ü½ ܾ ÜÒ on Ü µ e ¼ ½ ¾ ja¼muulloin. Jos ÈÓ ÓÒ µniin µ joten ½ÒÒ ½Ü Ò ÈÒ ½Ü momentiimenetelmällä saadaan heti estimaattoriksi Suurimman uskottavuuden menetelmää varten muodostetaan uskottavuusfunktio Ä Ü½ ÜÒµ ܽ µ ÜÒ µ e ja sen derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä jonka ratkaisu on ½ ½½ µ ½ ½ ½ ¾ Selvästikin derivaatta on positiivinen kun Üja negatiivinen kun Üjoten kyseessä on todella maksimi ja todetaan että saadaan sama estimaattori molemmissa tapauksissa. 4. Tulet uuteen kaupunkiin ja lentokentällä näet kolmea taksia joiden numerot ovat,½½ ja. Montako taksia kaupungissa on? Ratkaisu: Tässä tarvitaan tietenkin lisäoletuksia ja eräs sellainen on, että kaupungissa on taksia, joiden numerot ovat½ ¾ ja kaikilla on sama todennäköisyys näkyä lentokentällä eli ÈÖ Taksi, joka on lentokentällä on taksi numero µ ½ ½. Momenttimenetelmällä saadaan ehdoksi Tästä saadaan ratkaisuksi ½ mikä ilmeisesti on liian pieni luku.

3 Ä µ ½ jos ¼ Jos käytetään suurimman uskottavuuden periaatetta, niin saadan uskottavuusfunktioksi muulloin, eli tässä tapauksessa maksimi saavutetaan kun eli :n estimaattoriksi tulee Ñ Ü ½ Ò jos :t ovat tasaisesti jakautuneita joukossa ½. 5. Olkoon Æ ¾µ,«¾ ¼ ½µjaÞ«¾sellainen, että Þ«¾µ ʽ Þ«¾½½¾Ü¾dÜ ÈÖ ½µ ÈÖ ÈÖ Þ«¾ ¾ ½ jos ¾ Þ«¾ ÈÖ Þ«¾ Þ«¾ ÈÖ Ô¾ e «¾. Määritellään uusi satunnaismuuttuja siten, että ¼ muulloin Þ«¾ Þ«¾ Þ«¾ ÈÖ ½ «¾ ½ Þ«¾ «Þ«¾ Þ«¾, MääritäÈÖ ½µ. Ratkaisu: Selvästikin 6. Tarkoituksean oli selvittää, kuinka Õ ½ Ô ½ suuri osa opiskelijoista Ôµ tuntee toisen opiskelijan, joka on kokeessa luntannut ja sitä varten valittiin otos johon kuului ¾henkilöä ja jokainen näistä heitti kolikkoa kaksi kertaa ja jos tuloksena oli kaksi klaavaa oli vastattava onko väite Tunnen toisen opiskelijan, joka on viimeisten 12 kuukauden aika luntannut TKK:n kokeessa tosi vai epätosi ja muissa tapauksissa (kaksi kruunaa, klaava ja kruuna tai kruuna ja klaava) oli vastattava onko väite En tunne toista opiskelija, joka olisi viimeisten 12 kuukauden aika luntannut TKK:n kokeessa tosi vai epätosi. Mit voidaan sanoa jos ¼vastasi, että väite on tosi ja½¾että se on epätosi. Õ ¼ Ô ¾ ¾ ¾Õ Ratkaisu: OlkoonÔtodennäköisyys, että satunnaisesti valitun opiskelijan kohdalla väite Tunnen toisen opiskelijan, joka on viimeisten 12 kuukauden aika luntannut TKK:n kokeessa on tosi. Silloin todennäköisyys, että satunnaisesti valittu opikselija, heitettyään kolikkoa kaksi kertaa, vastaa tosi on eli Annettujen vastausten perusteella saadaanõ:n estimaatiksi (sekä momentti- että suurimman uskottavuuden menetelmällä)

4 KoskaÔ ¾ Æ Õ Õ ½ Ô Òµ Æ Õ Õ ½ Þ¼ ¼¾ Ö Õ ½ Õµ Ò Ô Õµ Õµ Þ¼ ¼¾ Ö Õ ½ Ô ¾ ¾ Õ ¾ ½¼ ½ ½ ¼ ¼ ¾ että Ô Æ Ô Õ ½ Ò Õµ ¼ ¾ ¼ ¼ ¾ ¼ ¾ Õµ ¼ ¾¼½ ¼ niin Õ ¾Õniin valitaanô:n estimaatiksi Koska Õon aritmeettinen keskiarvo ÖÒÓÙÐÐ Õµjakautuneista satunnaismuuttujista Òµja Ò Þ¼ ¼¾ Þ¼ ¼¾ Ö Õ ½ tästä seuraa, Òµ. ¼ ¼ ¾ Õ ½ Ò ¼ ¼ Õµ Õµ ½¾ ¾ EsimerkiksiÕ:n %:n luottamusväliksi saadaan silloin (koskaþ¼ ¼¾ ½ ) Tästä voidaan päätellä, että otoskoon olisi pitänyt olla huomattavasti suurempi ja jos olisi haluttu, että luottamusvälin pituus olisi ollut esimerkiksi korkeintaan¼ ½niin vaadittaisiin, että ettäô ¾ Ò Þ¼ ¼¾ ¼ ¼ ¾ ½ ½ josta seuraa, että Jos tätä otoskoon suuruutta arvioidaan ilman tietoaõ:n arvosta (mikä osittain on tilanne edelläkin koska meillä on vain estimaatti) niin voidaan käyttää hyväksi tietoa, ettäõ ½ Õµ ½ ÔÒË Ø Ò ½ ½µ jolloin riittää vaatia, Huomaa, tämän tehtävän loppuosassa varianssin lausekkeessa on mukana luku, joka siis tulee siitä, ¾Õ, eli se on peräisin kolikonheitosta ja koska yleensä kun tutkitaan prosenttiosuuksia ei heitetä kolikkoja kuten tässä niin tämä luku ei tule silloin mukaan laksuihin! 7. Osoita, että jos ½ Òmuodostavat satunnaisotoksen jakaumastaæ ¾µ, niin Ratkaisu: Aikasemmin on osoitettu, että satuunaismuuttujilla ja on kovarianssi¼ja silloin voidaan osoittaa, ne tässä normaalijakauman tapauksessa ovat riippumattomia jolloin myös ÔÒË ½ Õ½ Ò Ô½Ò ¾ ½ Ò ¾Ë¾ ½µ jaë¾ovat riipumattomia. Voimme kirjoittaa Aikaisempien tulosten perusteella tiedetään, siis että Æ ½Ò ¾µjolloinÔ½Ò ¾ Æ ¼ ½µ. Lisäksi on osoitettu, että Ò ¾Ë¾ ¾ Ò ½µ ½µja tästä seuraa väiteø-jakauman määritelmän perusteella.

5 on :n½¼¼ ½ Ø«¾µ ½ Ø«¾µ «¾missä onø Ò ÈÖ ¾ ËÔÒØ«¾ ËÔÒØ«¾ ÈÖ Ø«¾ËÔÒ Ø«¾ËÔÒ ÈÖ ËÔÒØ«¾ ËÔÒØ«¾ Ø«¾ ÔÒË Ø«¾ ½ ½ «8. Osoita, että jos ½ Òmuodostavat satunnaisotoksen jakaumastaæ ¾µ, ja ½µ-jakauman kertymäfunktio, niin «µ%:n luottamusväli. Ratkaisu: LuvunØ«¾määritelmästä seuraa, että koska ÔÒË Ø Ò ½ ½µ.