MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
|
|
- Hannele Pääkkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 20, periodi I
2 Sisältö Diskreetit satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaisvektorit Sekoitetut jakaumat Ehdolliset jakaumat
3 Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja on suure, jonka arvo määräytyy satunnaisilmiön realisaatiosta: Sattuma määrää satunnaisilmiön realisaation s S Realisaatio s määrää satunnaismuuttujan arvon X (s) Tapahtuma {X = a} := {s S : X (s) = a} Esim (Kaksi noppaa) Perusjoukon S = {(s, s 2 ) : s, s 2 =,..., } satunnaismuuttujia: Nopan silmäluku X (s) = s Nopan 2 silmäluku X 2 (s) = s 2 Silmälukujen maksimi M(s) = max{s, s 2 }
4 Satunnaismuuttuja: Tulkinta Satunnaismuuttuja X on suure, jonka arvo X (s) määräytyy satunnaisilmiön realisaatiosta s S: Yhteen satunnaisilmiöön liittyy useita satunnaismuuttujia. Realisaatio s S määrää niiden kaikkien arvot. Todennäköisyysteoriassa tutkitaan satunnaismuuttujien arvojen todennäköisyyksiä, kun satunnaisilmiötä kuvaava perusjoukon S todennäköisyysjakauma P tunnetaan. Tilastotieteessä pyritään havaittujen satunnaismuuttujien arvojen perusteella tekemään johtopäätöksiä perusjoukon S tuntemattomasta todennäköisyysjakaumasta P. Matemaattisesti (MS-E00 Probability theory): Satunnaismuuttuja on mitallinen kuvaus X : S S Tapahtuman {X B} todennäköisyys on luku P(A), missä A = X (B) on joukon B alkukuva
5 Eri tyyppisiä satunnaismuuttujia Satunnaismuuttujasta X : S S saatetaan käyttää nimitystä satunnaisluku, kun S R satunnaisvektori, kun S R n satunnaismatriisi, kun S R m n satunnaisverkko, kun S {n:n solmun verkot} stokastinen prosessi, kun S { ajan t funktiot t f (t)} Tällä kurssilla käsitellään lähes yksinomaan satunnaislukuja (eli reaaliarvoisia satunnaismuuttujia) ja R 2 :n satunnaisvektoreita. Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen mahdolliset arvot voidaan listata äärelliseen tai äärettömään jonoon (x, x 2,... ).
6 Satunnaismuuttujan jakauma Satunnaismuuttujan X jakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää X :n mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. Esim (Kaksi noppaa) Nopan silmäluvun X jakauma on k P(X = k) eli lukujoukon {,..., } tasajakauma. Nopan 2 silmäluvulla X 2 on sama jakauma. = Satunnaismuuttujat X ja X 2 ovat samoin jakautuneita.
7 Esimerkki: Kahden nopan maksimin jakauma M = max(x, X 2 ), missä X ja X 2 ovat kahden nopan tulokset. P(M = k) = P(M k) P(M k ) = P(X k, X 2 k) P(X k, X 2 k ) = P(X k) P(X 2 k) P(X k ) P(X 2 k ) ( ) k 2 ( ) k 2 = = 2k Satunnaismuuttujan M jakauma: k P(M = k) 5 7 9
8 Pistetodennäköisyysfunktio Kun satunnaismuuttujan arvojoukko on pieni, kannattaa jakauma esittää taulukkona. Esim (Kruunien lukumäärä 5:llä kolikonheitolla) k P(X = k) Suuren arvojoukon tapauksessa jakauma kannattaa esittää pistetodennäköisyysfunktion f X (k) := P(X = k) avulla. Esim (Kruunien lukumäärä n = :lla kolikonheitolla) f X (k) = ( n k ) ( 2 ) k ( 2) n k, k = 0,,..., n. Tämä on binomijakauma parametreina n = ja p = 2.
9 Satunnaismuuttujien yhteisjakauma Samaan satunnaisilmiöön liittyvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää parin (X, Y ) mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. Esim (Kaksi noppaa) Noppien silmälukujen X ja X 2 yhteisjakauma on X 2 X eli tulojoukon {,..., } {,..., } tasajakauma.
10 Ensimmäisen nopan ja noppien maksimin yhteisjakauma k < i = P(X = i, M = k) = 0 k = i = P(X = i, M = k) = P(X = i, X 2 i) = k k > i = P(X = i, M = k) = P(X = i, X 2 = k) = Satunnaismuuttujien X ja M yhteisjakauma: M X
11 Yhteisjakauman rivi- ja sarakesummat Rivi- ja sarakesummia kutsutaan yhteisjakauman reunajakaumiksi. M X Yht Yht 5 Rivisummista saadaan X :n jakauma Sarakesummista saadaan M:n jakauma 7 9
12 Silmälukujen yhteisjakauman reunajakaumat X 2 X Yht Yht Rivisummista saadaan X :n jakauma Sarakesummista saadaan X 2 :n jakauma
13 Satunnaismuuttujien riippuvuus ja riippumattomuus Satunnaismuuttujat X ja Y ovat stokastisesti riippumattomat, jos kaikilla A, B pätee P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B). Esim (Kaksi noppaa) Noppien silmäluvut X ja X 2 ovat riippumattomat X ja M = max{x, X 2 } ovat riippuvat Huom X ja Y ovat riippumattomat täsmälleen silloin, kun P(Y B X A) = P(Y B) kaikilla A, B s.e. P(X A) > 0.
14 Yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio on f X,Y (i, j) = P(X = i, Y = j). Fakta Jos X ja Y ovat riippumattomat, niin f X,Y (i, j) = f X (i)f Y (j). Esim (Kaksi noppaa) Noppien silmäluvut X ja X 2 ovat riippumattomat, ja molempien pistetodennäköisyysfunktio on f (i) =, i =,...,. = f X,X 2 (i, j) = f (i)f (j) =, i, j =,...,.
15 Esim. Satunnaisotanta Kuinka moni opiskelijoista katsoi viime to Salatut elämät? S = Kaikki opiskelijat, #S = A = Salkkarit katsoneet opiskelijat, #A =. (#A olisi käytännön tilanteessa tuntematon) Haastatellaan satunnaiset n = 2 opiskelijaa ja merkitään {, jos. haastateltu opiskelija A θ = 0, muuten θ 2 = {, jos 2. haastateltu opiskelija A 0, muuten Mikä on θ :n ja θ 2 :n yhteisjakauma? P(θ =, θ 2 = ) =?
16 Satunnaisotanta palauttaen ja ilman palautusta Palauttaen Ilman palautusta θ 2 θ 0 Yht 0 Yht θ 2 θ 0 Yht Yht Molemmissa tapauksissa saadaan samat reunajakaumat. Yhteisjakaumaan vaikuttaa, miten otanta suoritetaan.
17 Satunnaisotanta palauttaen ja ilman palautusta Palauttaen Ilman palautusta θ 2 θ 0 Yht 0 Yht f θ,θ 2 (i, j) = f θ (i)f θ2 (j) θ 2 θ 0 Yht Yht f θ,θ 2 (i, j) f θ (i)f θ2 (j) Molemmissa tapauksissa saadaan samat reunajakaumat. Satunnaisotannassa palauttaen ovat θ ja θ 2 riippumattomat. Satunnaisotannassa ilman palautusta θ ja θ 2 ovat riippuvat.
18 Ääretön arvojoukko Satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko voi olla ääretön. Esim (Kimblen alkuvaihe) N = nopanheittojen lukumäärä, kunnes saadaan kuutonen. P(N = k) = P(X,..., X k, X k = ) = P(X ) P(X k ) P(X k = ) ( = ) k ( ) Satunnaismuuttuja N noudattaa äärettömän arvojoukon {, 2,... } geometrista jakaumaa onnistumistodennäköisyytenä p =. Pistetodennäköisyysfunktio f N (k) = ( p) k p, k =, 2,...
19 Diskreetti satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen arvojoukko voidaan numeroida äärellisenä tai äärettömänä listana (x, x 2,... ). Diskreetin satunnaismuuttujan X jakauma määräytyy pistetodennäköisyysfunktiosta kaavalla P(X B) = i B f X (i) ja diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma kaavalla P((X, Y ) B) = f X,Y (i, j) (i,j) B
20 Sisältö Diskreetit satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaisvektorit Sekoitetut jakaumat Ehdolliset jakaumat
21 Kaikki tähän asti käsitellyt satunnaismuuttujat ovat olleet diskreettejä. Tuleeko mieleen muunlaisia satunnaismuuttujia?
22 Esimerkki: Metron odotusaika X = odotusaika (min) asemalla, jonne metroja saapuu 0 min välein. Mikä on satunnaismuuttujan X jakauma? P(2 X ) = 0 = 0. P(2.9 X ) = 0. 0 = 0.0 P( X ) = = P(X = ) = 0 Vastaavasti päätelleen havaitaan, että satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on P(X = t) = 0 kaikilla t. Menikö yo. päättelyssä jotain väärin? Ei mennyt. Koska X :n arvojoukko on jatkuva väli [0, 5], tarkoittaa {X = } tapahtumaa, että X :n arvo on äärettömän monen desimaalin tarkkuudella. Tällaisen tapahtuman todennäköisyys on nolla.
23 Esimerkki: Metron odotusaika X = odotusaika (min) asemalla, jonne metroja saapuu 0 min välein. Mikä on satunnaismuuttujan X jakauma? Koska P(X =t) = 0 kaikilla t, ei X :n jakaumaa voi määrittää pistetodennäköisyysfunktion avulla. Tarvitaan muita keinoja. missä P(a X b) = P(a < X b) F X (t) = = P(X b) P(X a) = F X (b) F X (a), 0, t 0, t 0, 0 < t < 0,, t 0. on odotusajan jakauman kertymäfunktio.
24 Kertymäfunktio Satunnaisluvun (eli reaaliarvoisen satunnaismuuttujan) jakauman kertymäfunktio on funktio F X (t) = P(X t). Fakta Kertymäfunktio määrää jakauman: funktion F X (t) avulla voidaan laskea kaikkien tapahtumien {X B} todennäköisyydet. Esim (Metron odotusaika) Millä todennäköisyydellä odotusaika osuu välille (, 2) tai (, 4)? P(X (, 2) tai X (, 4)) = P(X (, 2)) + P(X (, 4)) = (F X (2) F X ()) + (F X (4) F X ()) ( 2 = 0 ) ( ) 0 = 0.2.
25 Jatkuva satunnaisluku Satunnaisluku X on jatkuva, jos sen jakauma voidaan esittää tiheysfunktion f (x) 0 avulla muodossa P(X A) = f (x) dx, A R. A Paradoksi? Jatkuvan satunnaisluvun tarkat arvot Tapahtuman {X = a} todennäköisyys on P(X = a) = P(a X a) = a a f (x) dx = 0. {X = a} on tapahtuma, että X :n arvo on reaaliluku a äärettömän monen desimaalin tarkkuudella. Jos f (a) > 0 ja f on jatkuva pisteessä a, niin P(X (a δ, a + δ)) = a+δ a δ f (x) dx 2δf (a) > 0 mielivaltaisen pienellä δ > 0. f(x) A x
26 Jatkuva tasajakauma f(x) Jatkuvan välin (a, b) tasajakauman tiheysfunktio on f (x) = { b a, jos x (a, b), 0, muuten. b - a a b x Esim Merkitään luvulla θ sitä kulmaa, johon rulettipyörä yhden pelikierroksen jälkeen asettuu suhteessa edelliseen tilaansa. Tällöin θ noudattaa välin (0, 2π) tasajakaumaa ja todennäköisyys, että θ (0, π) on P(θ (0, π)) = π 0 f (x) dx = π 0 2π dx = π 2π = 2.
27 Kertymäfunktio ja tiheysfunktio Jatkuvan satunnaisluvun kertymäfunktio on tiheysfunktion integraali F (x) = P(X x) = x tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta f (x) = F (x) f (t) dt
28 Jatkuva tasajakauma Jatkuvan välin (a, b) tasajakauman tiheysfunktio on f(x) f (x) = { b a, x (a, b), 0, muuten. b - a a b x Integroimalla tiheysfunktiota = kertymäfunktio on 0, x a, F (x) = x a b a, a < x < b,, x b. a b F(x) x
29 Eksponenttijakauma Eksponenttijakauman parametrina λ > 0 tiheysfunktio on { λe λx, x > 0 f (x) = 0, x 0. Integroimalla tiheysfunktiota = kertymäfunktio on { 0, x 0, F (x) = e λx, x > 0. λ f(x) F(x) x x
30 Eksponenttijakauman muistittomuus F (t) = e λt, t 0 P ( X > s + t X > s ) = = P(X > s + t ja X > s) P(X > s) P(X > s + t) F (s + t) = P(X > s) F (s) = e λ(t+s) e λs = e λt = P(X > t) Siis P(X > s + t X > s) = P(X > t) kaikilla s, t 0. Tulkinta Huolimatta siitä, kuinka kauan bussia on jo odotettu, on tn että pitää odottaa vielä t min lisää sama kuin tn, että juuri pysäkille saapunut henkilö odottaa yli t min.
31 Satunnaisluvut yhteenveto Diskreetti satunnaisluku Esim. joukon {,..., } tasajakauma, binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktio f (i) määrää jakauman Tiheysfunktiota ei ole olemassa P(X A) = i A f (i) Jatkuva satunnaisluku Esim. välin [0, 0] tasajakauma, eksp. jakauma Pistetodennäköisyysfunktio on identtisesti nolla Tiheysfunktio f (x) määrää jakauman P(X A) = f (x) dx A
32 Sisältö Diskreetit satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaisvektorit Sekoitetut jakaumat Ehdolliset jakaumat
33 Jatkuva satunnaisvektori Satunnaisvektori (X,..., X n ) on järjestetty lista samalla perusjoukolla määriteltyjä satunnaismuuttujia. Satunnaisvektori (X, X 2 ) R 2 on jatkuva, jos sen jakauma eli X :n ja X 2 :n yhteisjakauma voidaan esittää tiheysfunktion avulla muodossa P((X, X 2 ) B) = f X,X 2 (x, x 2 ) dx dx 2, B R 2. Esim (Pörssi) B Helsingin pörssin tilaa seuraavana pankkipäivänä voidaan mallintaa -ulotteisella satunnaisvektorilla (X,..., X ), missä X i on osakkeen i avauskurssi. Esim (Sää) Huomisaamun tuulen nopeuksia Ilmatieteen laitoksen havaintoasemilla voidaan mallintaa satunnaisvektorilla (X,..., X 20 ), missä X i on tuulen nopeus havaintoasemalla i.
34 Reunatiheysfunktiot Fakta Jatkuvan satunnaisvektorin (X, X 2 ) komponentit ovat jatkuvia satunnaislukuja, joiden tiheysfunktiot saadaan yhteisjakauman tiheysfunktiosta kaavoilla f X (x ) = f X2 (x 2 ) = f (x, x 2 ) dx 2, f (x, x 2 ) dx. Huom f X (x ) vastaa rivisummaa rivillä x f X2 (x 2 ) vastaa sarakesummaa sarakkeella x 2 Näitä kutsutaan yhteisjakauman reunatiheysfunktioiksi
35 Esim. Yksikköneliön tasajakauma Yksikköneliön (0, ) 2 tasajakaumaa noudattavan satunnaisvektorin (U, U 2 ) tiheysfunktio on {, kun x (0, ) ja x 2 (0, ), f U,U 2 (x, x 2 ) = 0, muuten. Yhteisjakauman reunatiheysfunktiot ovat {, kun x (0, ), f U (x ) = f U,U 2 (x, x 2 ) dx 2 = 0, muuten. f U2 (x 2 ) = f U,U 2 (x, x 2 ) dx = {, kun x 2 (0, ), 0, muuten. U ja U 2 noudattavat siis välin (0, ) tasajakaumaa.
36 Stokastinen riippuvuus ja riippumattomuus Palautetaan mieleen: X, Y ovat riippumattomat, jos kaikilla A, B pätee P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B). Fakta Jatkuvan satunnaisvektorin (X, Y ) komponentit X ja Y ovat riippumattomat jos ja vain jos niillä on yhteistiheysfunktio, joka voidaan kirjoittaa muodossa f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) kaikilla x, y.
37 Esim. Yksikköneliön tasajakauma Yksikköneliön (0, ) 2 tasajakaumaa noudattavan satunnaisvektorin (U, U 2 ) tiheysfunktio on {, kun x (0, ) ja x 2 (0, ), f U,U 2 (x, x 2 ) = 0, muuten, ja reunatiheysfunktiot ovat Koska f U (u) = f U2 (u) = ovat U ja U 2 riippumattomat. {, kun u (0, ), 0, muuten. f U,U 2 (x, x 2 ) = f U (x )f U2 (x 2 ),
38 Sisältö Diskreetit satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaisvektorit Sekoitetut jakaumat Ehdolliset jakaumat
39 Esimerkki: Metron odotusaika Y = odotusaika (min) asemalla, jonne metroja saapuu 0 min välein, ja jossa metrot pysähtyvät min ajan. Y :n jakauma =? X = aika (min) edellisen metron saapumisesta noudattaa välin [0, 0] tasajakaumaa. Kun t [0, 9], P(Y t) = P(Y = 0) + P(0 < Y t) = F Y (t) = = P(X ) + P(0 < 0 X < t). Onko Y :n jakauma diskreetti vai jatkuva? 0, t < 0, 0 + t 0, 0 t 9,, t > 9. Y saa arvoja jatkuvalla välillä [0, 9] = ei diskreetti P(Y = 0) > 0 = ei jatkuva
40 Esimerkki: Metron odotusaika Y = odotusaika (min) asemalla, jonne metroja saapuu 0 min välein, ja jossa metrot pysähtyvät min ajan. Kertymäfunktio voidaan kirjoittaa muodossa F Y (t) = 0 F Y 0 (t) F Y (t), missä F Y0 (t) = { 0, t < 0,, t 0, F Y (t) = 0, t < 0, t 9, 0 t < 9,, t 9, Y :n jakauma on diskreetin ja jatkuvan jakauman sekoitus: Y 0 on diskreetti sm, joka varmuudella saa arvon 0 (Y :n jakauma ehdolla, että metro on odottamassa asemalla) Y on jatkuva sm, joka noudattaa välin [0, 9] tasajakaumaa (Y :n jakauma ehdolla, että metroa joudutaan odottamaan)
41 Sisältö Diskreetit satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat Jatkuvat satunnaisvektorit Sekoitetut jakaumat Ehdolliset jakaumat
42 Diskreettien satunnaismuuttujien ehdolliset jakaumat Jos diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumalla on pistetodennäköisyysfunktio f X,Y (x, y), niin P(Y = y X = x) = P(X = x, Y = y) P(X = x) = f X,Y (x, y). f X (x) Satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma tapahtuman {X = x} sattuessa määräytyy siis pistetodennäköisyysfunktiosta y f Y X (y x) = f X,Y (x, y). f X (x)
43 Esim. Satunnaisotanta palauttaen Mikä on satunnaismuuttujan θ 2 ehdollinen jakauma tapahtuman {θ = 0} sattuessa? θ 2 θ 0 Yht 0 Yht f θ2 θ (0 0) = f θ2 θ ( 0) = =. =. Tässä tapauksessa θ 2 :n ehdollinen jakauma tapahtuman {θ = 0} sattuessa on sama kuin θ 2 :n ehdoton jakauma.
44 Esim. Satunnaisotanta ilman palautusta Mikä on satunnaismuuttujan θ 2 ehdollinen jakauma tapahtuman {θ = 0} sattuessa? θ 2 θ 0 Yht Yht f θ2 θ (0 0) = f θ2 θ ( 0) = = = 79. Tässä tapauksessa θ 2 :n ehdollinen jakauma tapahtuman {θ = 0} sattuessa on eri kuin θ 2 :n ehdoton jakauma.
45 Jatkuvan satunnaisvektorin ehdolliset jakaumat Jos jatkuvalla satunnaisvektorilla (X, Y ) on tiheysfunktio f X,Y, niin Y :n ehdollinen tiheysfunktio ehtomuuttujan X suhteen on f Y X (y x) = f X,Y (x, y). f X (x) Tulkinta: Valitaan pienenpieni ɛ > 0 ja merkitään {X x} = {x ɛ < X < x + ɛ}. Kun f X (x) > 0 ja f Y X on sopivassa mielessä jatkuva, niin x+ɛ x ɛ B P(Y B X x) = f X,Y (u, v) dv du x+ɛ x ɛ f X (u) du ( x+ɛ x ɛ B f Y X (v u) dv) f X (u) du = x+ɛ x ɛ f X (u) du f Y X (v x) dv. B
46 Seuraavalla kerralla puhutaan satunnaismuuttujien odotusarvoista...
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.990 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. maaliskuuta 209 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.93 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. helmikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.96 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. syyskuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Kahden satunnaismuuttujan summa X + Y on satunnaismuuttuja, jonka jakauma
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotJATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotOpiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3
Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
Lisätiedot