Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Transkriptio

1 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ, jos sillä on tiheysfunktio λ k (k 1)! p(x) xk 1 e λx, kun x > 0 0, kun x 0. ja tällöin merkitään X Gamma(k, λ). Olkoot τ 1, τ 2,... riippumattomia eksponenttijakautuneita satunnaismuuttujia parametrilla λ, ja määritellään kaikilla n N T n τ 1 + τ τ n. (a) Osoita, että T n Gamma(n, λ). Ratkaisu. Todistetaan induktiolla. Alkuaskeleena havaitaan, että yhtäältä T 1 τ 1 on Exp(λ)-jakautunut, ja toisaalta asettamalla Gamma-jakauman tiheysfunktioon k 1 saadaan Exp(λ)-jakauman tiheysfunktio p(x) Ix > 0}λe λx. Näin ollen T 1 Gamma(1, λ). Oletetaan nyt, että T n noudattaa Gamma-jakaumaa parametrein n ja λ, T n Gamma(n, λ), ja osoitetaan, että tällöin pätee myös T n+1 Gamma(n + 1, λ). Lasketaan ensin T n+1 :n kertymäfunktio: F Tn+1 (t) P(T n+1 t) P(T n + τ n+1 t). Tässä T n ja τ n+1 ovat riippumattomat, joten y.o. todennäköisyys voidaan helposti laskea niiden tiheysfunktioiden avulla: f Tn+1 (t) P(T n + τ n+1 t) x y f Tn (x)f τn+1 (y)dy dx f Tn (x)f τn+1 (t x)dx f Tn (x)it x > 0}(1 e λ(t x) )dx f Tn (x)dx F Tn (t) λn (n 1)! F Tn (t) It > 0} λn tn e λt. f Tn (x)e λ(t x) dx Ix > 0}x n 1 e λt dx 1 / 5

2 Näin F Tn+1 (t) on jatkuva ja lisäksi derivoituva paitsi nollassa. Tiheysfunktio saadaan siis derinoimalla kertymäfunktiota (kts. mallivastaus 1A1): f Tn+1 (t) F T n+1 (t) f Tn (t) It > 0}( (n 1)! tn 1 e λt λn+1 t n e λt ) It > 0} (n 1)! tn 1 e λt It > 0}( (n 1)! tn 1 e λt λn+1 t n e λt ) It > 0} λn+1 t n e λt. Tämä on Gamma(n + 1, λ)-jakauman tiheysfunktio. (b) Osoita, että P [ ] T n t < T n+1 (λt) n e λt, kun t > 0. Ratkaisu. Tämä voidaan palauttaa edellä laskettuihin kertymäfunktioihin: P [ ] [ T n t < T n+1 P Tn t ] P [ T n, T n+1 t ] P [ T n t ] P [ T n+1 t ] F Tn (t) F Tn+1 (t) F Tn (t) (F Tn (t) It > 0} λn tn e λt ) It > 0} λn tn e λt. (c) Osoita, että P [ T n t, T n+1 u ] (λt)n e λu, kun 0 < t < u. Ratkaisu. Ilmaistaan ensin haluttu tapahtuma riippumattomien satunnaislukujen T n ja τ n+1 avulla: T n t T n+1 u T n t τ n+1 u T n. 2 / 5

3 Näin päästään tekemään mitä halutaan, eli integroimaan: P [ T n t, T n+1 u ] P [ ] T n t, τ n+1 u T n F Tn (t) F Tn (t) yu x f Tn (x)f τn+1 (y)dy dx f Tn (x)[1 F τn+1 (u x)]dx (sij. t u) F Tn (t) F Tn (t) + f Tn (x)f τn+1 (u x)dx f Tn (x)iu x > 0}(1 e λ(u x) )dx f Tn (x)e λ(u x) dx λn Ix > 0}x n 1 e λu dx (n 1)! It > 0} λn tn e λu. Tämä on väitetty todennäköisyys. Lisäys. Luentomuistiinpanoissa (Leskelä, Lauseet 8.5 ja 8.8) on osoitettu, että jos riippumattomasti sironneita ja tasakoosteisia pistekuvioita ja niitä vastaavia laskuriprosesseja on olemassa, niin laskuriprosessit ovat Poisson(λ)-prosesseja ja niiden odotusajat eksponenttijakautuneita parametrilla λ. Tämän tehtävän laskut voidaan täydentää osoittamaan käänteinen tulos: laskuriprosessit, joiden odotusajat ovat riippumattomia ja eksponenttijakautuneita parametrilla λ, ovat Poisson(λ)- prosesseja. Poisson(λ)-prosessin hyppyaikojen taas voidaan helposti osoittaa olevan riippumattomasti sironnut ja tasakoosteinen pistekuvio intensiteetillä λ. Erityisesti siis e.m. pistekuvio ja laskuriprosessi ovat olemassa kaikilla λ. Tämä on Leskelän Lause 8.9, jota ei ole todistettu kirjassa. Tehtävä täydennetään Lauseen 8.9 todistukseksi seuraavasti: kohta (b) sanoo suoraan laskurien N(t) N((0, t]) olevan Poisson(λt)-jakautuneita. Yhdistämällä (b) ja (c) taas saadaan, että kaikilla 0 < t u pätee P(T n+1 u T n t < T n+1 ) e λ(u t). Tämä on 1 F (u t), jossa F on eksponettijakauman kertymäfunktio. Näin ollen ehdollistettuna tapahtumalle T n t < T n+1 on jäljellä oleva odotus (T n+1 t) jakautunut eksponentiaalisesti parametrilla λ (millä tahansa laskurin N(t) arvolla n). Koska T n+1 :n jälkeiset odotusajat ovat riippumattomia ja myös eksponenttijakautuneita, päätellään, että ajat (T N(t)+k t), k 1, 2,... jakautuneet samoin kuin T k, k 1, 2,... ja riippumattomat laskurista N(t). Yhdistämällä nämä samoin jakautuneisuudet ja riippumattomuudet laskurin N(t) N((0, t]) Poisson(λt)- jakautuneisuuteen seuraa, että laskuriprosessi on Poisson(λ)-prosessi. 3 / 5

4 Kotitehtävät (palautettava kirjallisina ti klo 10:15 mennessä) 4B2 Vaalimaan raja-asemalle saapuu rekkoja riippumattomin eksponenttijakautunein väliajoin, joiden odotusarvo on 15 min. Saapuvista rekoista kolmasosa ohjataan riippumattomalla satunnaisotannalla tulliin tarkastettavaksi. (a) Millä todennäköisyydellä raja-asemalle ei tunnin aikana saavu yhtään rekkaa? Ratkaisu. Valitaan aikayksiköksi 1 tunti. Muistetaan, että Exp(λ)-jakauman odotusarvo on 1/λ, joten tässä λ 4 (yksikkönä 1 per tunti). (Tapa 1.) Eksponettijakauman muistittomuuden perusteella odotus τ seuraavaan rekkaan on aina Exp(λ)-jakautunut (riippumatta edellisen rekan ohitushetkestä). Näin saadaan P(τ > 1) e λ e (Tapa 2.) Eksponenttijakautuneet odotusajat tuottavat Poisson-prosessin (kts. teht. 1 yllä), joten raja-asemalle saapuvien rekkojen laskuriprosessi N(t) on Poissonprosessi intensiteetillä λ 4 (1 per tunti). Erityisesti N(1) on siis Poisson(1λ)- jakautunut. Todennäköisyys, että tunnin aikana ei saavu yhtään rekkaa on P(N(1) 0) e λ e (b) Millä todennäköisyydellä tullin tarkastukseen saapuu vartin aikana vähintään 2 rekkaa? Ratkaisu. Tullin tarkastukseen saapuvien rekkojen laskuriprosessi N 1 (t) on harvennettu Poisson-prosessi, joka luentomonisteen mukaan on myös Poisson-prosessi [Leskelä 2015, Lause 9.9]. Harvennetun Poisson-prosessin intensiteetti on λ 1 λ/3 4/3 (rekkaa per tunti). Tn, että vähintään 2 rekkaa saapuu aikavälillä [0, t 0 ], missä t 0 1/4, on yhtä kuin P(N 1 (t 0 ) 2) 1 P(N 1 (t 0 ) 0) P(N 1 (t 0 ) 1) 1 e λ 1t 0 e λ 1t 0 (λ 1 t 0 ) 1 1 e (4/3) 1/4 (4/3) 1/4 ((4/3) 1/4)1 e 1! 1 e 1/3 e 1/3 (1/3) 1! B3 Teemu Selänne on tehnyt NHL:ssä keskimäärin λ 1 tehopistettä (maali tai maaliin johtanut syöttö) per peli. Oletetaan, että 30% tehopisteistä on maaleja ja 70% maaliin johtaneita syöttöjä. Oletetaan, että Teemu saa jokaisesta tekemästään maalista $ / 5

5 ja jokaisesta maaliin johtaneesta syötöstä $1000 bonuksen. Mallinna tehopisteiden syntyhetkiä 60 min kestävän pelin aikana Poisson-prosessilla ja vastaa seuraaviin kysymyksiin. (a) Mikä on yksittäisen pelin bonuskertymän odotusarvo? Ratkaisu. Olkoon X t Teemun maalien lukumäärä ja Y t Teemun maaliin johtaneiden syöttöjen lukumäärä aikavälillä [0, t]. Tällöin Teemun saamien tehopisteiden lukumäärä aikavälillä [0, t] on Z t X t + Y t. Valitaan aikayksiköksi yhden pelin kesto (eli yksi tunti). Tehtävänannon perusteella voidaan kehittää kaksi mallinnustapaa, joilla kuitenkin päästään samaan lopputulokseen. (1) Oletetaan, että tehopisteiden syntyhetket ovat Poisson-prosessi intensiteetillä 1, ja kukin tehopiste on toisistaan ja Poissonpistekuviosta riippumatta syöttö tn:llä 0.7 ja maali tn:llä 0.3. (2) Oletetaan, että maalien ja syöttöjen syntyhetket muodostavat toisistaan riippumattomat, tasaisesti sironneet satunnaiset pistekuviot, joiden yhteisintensiteetti on 1, siten että pitkällä aikavälillä syötöt muodostavat 70% kaikista pisteistä. Molemmissa tapauksissa (X t ) ja (Y t ) ovat riipumattomat Poisson-prosessit intensiteetteinään λ ja λ [Leskelä 2015, Lauseet 9.1 ja 9.9]. Yksittäisen pelin bonuskertymä (dollareina) voidaan esittää muodossa ax 1 + by 1, missä a 3000 ja b Koska X 1 on Poi(λ 1 )-jakautunut ja Y 1 on Poi(λ 2 )- jakautunut, kysytty odotusarvo on aex 1 + bey 1 aλ 1 + bλ (b) Mikä on yksittäisen pelin bonuskertymän keskihajonta? Ratkaisu. Koska X 1 ja Y 1 ovat stokastisesti riippumattomat, bonuskertymän varianssi on a 2 Var(X 1 ) + b 2 Var(Y 1 ) a 2 λ 1 + b 2 λ ja vastaava keskihajonta on likimain (c) Millä todennäköisyydellä Teemu tekee 1 maalin ja 2 maaliin johtanutta syöttöä yhdessä pelissä? Ratkaisu. Käytetään riippumattomuutta ja Poisson-jakautuneisuutta: P(X 1 1, Y 1 2) P(X 1 1)P(Y 1 2) e λ 1 λ1 1 1 e λ 2 λ / 5