b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

Transkriptio

1 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* ,5*5 = 10 (odotusarvoltaan reilu peli )

2 - Sijoittajat eivät pidä riskistä (risk aversion). ----> Riskin ottamisesta pitää palkita. - Jotkut kuitenkin pitävät riskistä (risk loving) esim. lottoajat ja veikkaajat > Riskinottamisesta voidaan rangaista. - Riskineutraali henkilö ei kiinnitä huomiota riskin määrään, vaan odotettuun tuottoon. * Kuluttajanteoriassa käsiteltiin ordinaalista hyötyfunktiota. ---> Monotoniset transformaatiot olivat mahdollisia. * Odotetun hyödyn teoriassa hyötyfunktio on kardinaalinen. ---> hyödyn määrällä on merkitystä.

3 - Riskinkaihtajan hyötyfunktio 2 du ( w) d U( w) > 0 < dw dw Riskistä pitävän hyötyfunktio du ( w) 2 d U( w) dw > 0 > 0 dw 2 - Riskineutraalin hyötyfunktio du( w) 2 > 0 d U ( w) dw = dw 2 0

4 Riskin kaihtaja (risk averter) U(10) > 0,5U(15) + 0,5U(5) Ei suostu odotusarvoltaan reiluun peliin Riskistä pitävä (risk lover) U(10) < 0,5U(15) + 0,5U(5) Hyväksyy odotusarvoltaan epäreilun pelin Jotta riskin kaihtaja suostuu vaihtamaan varman 10 riskipeliin, riskinottamisesta on palkittava: a) Odotettujen tuottojen oltava suurempia (yli 5 ja/tai 15). b) Hyvän vaihtoehdon todennäköisyys oltava suurempi (yli 0,5). Riskistä pitävällä tilanne on päinvastoin.

5 Esim. Jos hyötyfunktiosi on muotoa U(W) = W, mikä on odotettu hyöty ja hyöty odotetusta arvosta edellisessä arvonnassa. Odotettu hyöty = 0, , 5 15 = 1, ,936 = 3,054 Hyöty odotetusta arvosta U(10) = = 3,162 a) Kuinka todennäköinen hyvän tuleman pitää olla, jotta valitset pelin varman tuleman sijaan a 5 + ( 1 a) 15 = 3,162 a = 0, > (1-0,433) = 0,566 vastaus 56,6 % 10

6 b) Mikä on hyödyn muutos, kun todennäköisyydet muuttuvat siten, että arvonnassa onkin 50 % mahdollisuus saada 13 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 7 euroa? Arvonnan odotusarvo säilyy ennallaan eli 0,5 * 7 + 0,5 * 13 = 10, mutta varianssi pienenee. 0, , 5 13 Odotettu hyöty = = 3,125 0, , 5 15 > = 3, > Odotettu hyöty kasvaa

7 Esim. Sijoittajan hyötyfunktio on muotoa U(W)= Tarjolla on 1 3 4W A) osake A, jonka arvo vuoden kuluttua 50 % todennäköisyydellä on 5 euroa ja 50 % todennäköisyydellä 15 euroa. B) osake B, jonka arvo vuoden kuluttua 50 % todennäköisyydellä on 7 euroa ja 50 % todennäköisyydellä 13 euroa. Kuinka suurta tuottoa tämä sijoittaja vaatii, jotta hän ostaisi osakkeen A ja B? Pohdi: a) Miksi valtio ei palovakuuta kiinteistöjään? b) Miksi luonnonkatastrofien varalle otetut vakuutukset ovat todella kalliita? c) Miksi luottovakuutukset (CDS) aiheuttivat finanssikriisin yhteydessä suuria ongelmia Yhdysvalloissa?

8 Outoja juttuja liittyen odotetun hyödyn teoriaan A) Sijoittajia harmittaa koko ajan, koska hyötyfunktion toinen derivaatta on negatiivinen yksittäiset tappiot harmittavat enemmän kuin vastaavat yksittäiset voitot. B) Samat ihmiset pelaavat uhkapelejä ja ostavat vakuutuksen matkapuhelimelleen. C) Samoilla ihmisillä riskinen osakesalkku ja autovakuutus.

9 2.10. Sijoitushyödykkeiden hinnoittelu - Arvopaperimarkkinoilla jaetaan ja hinnoitellaan riskejä. - Sijoittajalle tuotto on hyödyke ja riski haitake. - Sijoittajan hyötyfunktio on jälleen ordinaalinen. U = U(r,s) Odotettu tuotto ( ) r: tuotto s: keskihajonta du ( r, s) du( r, s) > 0 < 0 dr ds r = S s= 1 π sw s r π s :tapahtuman s todennäköisyys

10 Odotettu varianssi S 2 s = π s( ws r) s= 1 π s : tapahtuman s todennäköisyys 2 ws : varallisuus (tuotto) tapahtumalla s josta saadaan keskihajonta ottamalla neliöjuuri S s= π s( ws r) s= 1 2

11 Hyötyfunktion perusteella: - Jos sijoittaja saa saman odotetun tuoton pienemmällä riskillä > hyöty kasvaa - Sijoittaja sietää suurempaa riskiä, jos odotettu tuotto kasvaa Kuvio 13.2

12 Sijoittajan käyttäytyminen Sijoittajalla kaksi vaihtoehtoa: 1) sijoittaa riskittömään arvopaperiin (rf, 0) 2) sijoittaa riskiä sisältävään arvopaperisalkkuun (rm, sm) Riskin hinta P r r m = s s m f Sijoittajan hyötyfunktiosta saadaan rajasubstituutiosuhde (MRS) differentioimalla U = U(r,s) -----> Ur dr + Us ds = 0 dr ds U U s = = MRS r

13 Sijoittajan optimivalinta, kun MRS = r m s m r f (Kuvio 13.3)

14 Kumpi rahasto parempi x vai y

15 Yksittäisen osakkeen hinnoittelu - Edellisessä analyysissä sijoittajalla oli valittavissa vain yksi riskiä sisältävä sijoituskohde > riskiä voitiin mitata keskihajonnalla. - Kun valittavana on useita riskiä sisältäviä arvopapereita, yksittäisen arvopaperin keskihajonta ei kuvaa riskiä > sijoittajan riski riippuu koko arvopaperisalkun riskistä. - Ostamalla useita riskiä sisältäviä arvopapereita -----> riskiä voidaan pienentää tuoton pysyessä ennallaan.

16 Esim. kaksi arvopaperia (jäätelötehdas A ja sateenvarjotehdas B), kaksi mahdollista tapahtumaa (sateinen kesä 1,aurinkoinen kesä 2), molemmat tapahtumat yhtä todennäköisiä. (paistaa) (sataa) 1 2 A 10-5 valitaan A (s = 7,5, r = 2,5) (jäätelötehdas) B valitaan B (s = 7,5, r = 2,5) (sateenvarjot.) valitaan 0,5A+0,5B (s = 0, r = 2,5)

17 - Jos valitaan toinen arvopaperi (A tai B), joudutaan ottamaan riskiä. - Valitsemalla puolet molempia arvopaperia, saadaan sama odotettu tuotto ilman riskiä > Negatiivisesti korreloivat osakkeet hyödyllisiä salkussa, koska ne vähentävät riskiä > Osakkeen oma keskihajonta ei kuvaa riskiä > Osakkeen riskisyyttä kuvaa parhaiten osakkeen korrelaatio muiden osakkeiden kanssa. Osakkeen reagointia koko arvopaperisalkun muutoksille kuvataan beeta-kertoimella.

18 Hajauttamishyöty: U.K.

19 Hajauttamishyöty: U.S.A

20 Osakkeella pieni β : osakemarkkinoiden muutoksilla vain pieni vaikutus osakkeen hintaa (pieni riski). Osakkeella suuri β : osakemarkkinoiden muutoksilla suuri vaikutus osakkeen hintaan (suuri riski). Osakemarkkinoilla hinnoitellaan riskin ja tuoton suhde Riskin hinta P r r m = s m f Yksittäisen osakkeen sisältämä riski on βi sm

21 Riskin kustannus on P * βi sm r m r = * βi sm s m f = βi (rm - rf) Tasapainossa kaikilla osakkeilla pitää olla sama riskikorjattu tuotto ri - β βi (rm - r) rf) = rf ri = rf + βi (rm - rf) CAP malli Kaikki osakkeet hinnoitellaan CAP-mallin määrittelemälle arvopaperimarkkinasuoralle (ks. kuvio 13.4).