2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

Transkriptio

1 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0 yheinen ekijä ( + ) = 0 ulon nollasäänö = 0 ai + = 0 = Vasaus: = - ai = 0 8. Neliö vasaa oisa poenssia Merkiään jään paksuua d:llä (cm) Kesävyys (kg) Jään paksuuden neliö d 00 0 = d Suuree oliva suoraan verrannollise, joen 00 = d 00d = d = : 00 d = 00, d > 0 d = 00 =, Vasaus: cm paksu jää kesää 00 kg kuorman. 8. Suuree käänäen verrannollise, joen y on vakio 0 y = 0y = : 0 y =, Vasaus: y =, c) + = + 6 = = 0 = ± 9 = ± 0 8 =, Vasaus: = -,. Keroma! MAB

2 . Suora koordinaaisossa 8. Suorien leikkauspiseessä y ja koordinaai ova yhä suure, joen a) + = = = y koordinaai saadaan sijoiamalla saau :n arvo jompaankumpaan suorien yhälöisä y = ( ) = ( ) Vasaus:, b) = = = 90 6 = ) 6 ( ) = = 9 = (, ) Vasaus: 6 8. Suora s: (-, ) ja (-, -) Suoran yhälö y - y 0 = k( - 0 ) Laskeaan ensin kulmakerroin ja sijoieaan saau kulmakerroin ja jompikumpi suoran piseisä ( 0,y 0 ). ( ) k = = 8 ( ) ( 0,y 0 ) = (-, -) Suoran s normaali l on kohisuorassa suoran s kanssa ja kulkee piseen (, 9) kaua, joen ks kl = 8kl = : ( 8) k = 8 l y 9 = ( ) 8 y 9 = 8 8 y = 8) y = Vasaus: Suoran s yhälö y = -8 - ja suoran l y 86. Suora s kulkee piseiden (, ) ja (-, ) kaua. Laskeaan suoran kulmakerroin k = = 0. ( ) = Kulmakerroin on nolla, joen se on -akselin suunainen. Suoran yhälö on siis y =. Suora l on kohisuorassa suoraa s vasaan. Suora s on y-akselin suunainen ja kulkee piseen (, 9) kaua. Sen yhälö on siis =. Vasaus: Suorien yhälö ova y = ja =. y ( ) = 8( ( )) y + = 8 8 y = 8 Keroma! MAB

3 8. Suoran kulkee piseiden (, ) ja (, -) kaua. Laskeaan suoran kulmakerroin k = ( ) = Suoran yhälössä y = k + b on k = - Eli suoran yhälö on muooa y = - + b. Laskeaan vakion b arvo piseen (, ) avulla. = + b b = + b = Suoran yhälö on y = - +. Pise ( -) on suoralla, jos se oeuaa suoran yhälön. 0 + = = epäosi Pise ei ole suoralla. Vasaus: Suoran yhälö y = - +. Pise ei ole suoralla. 88. Suoran y = (a + ) + kulmakerroin k = a + Suoran y = (a + ) + kulmakerroin k = a + a) Suora ova yhdensuunaise, kun kulmakeroime ova yhä suure eli a + = a + a = 0 b) Suora ova kohisuorassa, kun kulmakeroimien ulo on - ( a + )( a + ) = a + a + a + = a + a + = a + a + = 0 Toisen aseen yhälön rakaisukaava a = ± a = ± Juureava on negaiivinen, joen yhälöllä ei ole rakaisua. Vasaus: Ei millään a:n arvolla. 89. Suorien kulmakeroime ova ja -. Suoran suunakulma α saadaan angenin avulla an α = k Suoran y = - suunakulma anα = α = Suoran y = - + suunakulma anα = α = 6, 6, Vasaus: ja -6,. b) Suorien välinen kulma on + 6,... = 08,... Suorien väliseksi kulmaksi on soviu erävä kulma, joen 80-08,... =,6...,6. Vasaus: Suorien välinen kulma on,6. Keroma! MAB

4 90. Piirreään suora y = ja pise (, ) koordinaaisoon. Piseen ja suoran eäisyys on niiden välinen lyhyin välimaka. Suoran pise, joka on lähimpänä anneua piseä, saadaan piseen kaua kulkevan normaalin avulla. Suoran ja piseen välinen eäisyys on sama kuin piseen ja suoran ja normaalin leikkauspiseen välinen eäisyys. Merkiään normaalin kulmakerroina k. Kohisuoruusehdon nojalla k = -, koska alkuperäisen suoran kulmakerroin on. Joen suoran normaalin kulmakerroin, on k = -. Normaali kulkee piseen (, ) kaua, joen sen yhälö saadaan suoran yhä lösä y - y 0 = k( - 0 ), missä k = -, 0 = ja y 0 =. y = ( ) y = + y = + 6 Normaalin ja suoran leikkauspiseen -koordinaai saadaan yhälösä = + 6 = 6 : = ja y = Leikkauspise on (, ). Suoran ja piseen välinen eäisyys on sama kuin piseiden (, ) ja (, ) välinen eäisyys. d = y y ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =, y (, ) d 6 9. Piirreään suora koordinaaisoon. Kolmion pina-alaa varen arviaan kana ja korkeus. Tarviaan kolmion kärkipiseiden koordinaai. Kolmion kärkipisee ova suorien leikkauspisee: Suorien y = + ja y = leikkauspise A + = = - ja y = - Leikkauspise on (, ) Suora = leikkaa molemma suora ja leikkauspiseiden -koordinaai on. Leikkauspiseen y-koordinaai saadaan sijoiamalla: B: y = eli leikkauspise on (, ) C: y = + = 9 eli leikkauspise on (, 9) Kolmion kana on BC, jonka piuus on 9 - = 6. Korkeus on - (-) = 6, joen kolmion pina-ala A = 6 6 = 8 Vasaus: Kolmion pina-ala on 8 pina-alayksikköä. 9. Suora kulkee oisen suoran yläpuolella, kun suoran y-koordinaain arvo on suurempi kuin oisen suoran. Saadaan ensimmäisen aseen epäyhälö + > > > 0 > : > Vasaus: > y 9 C 8 kana 6 y = B y = + = A korkeus Vasaus: Eäisyys on,. Keroma! MAB

5 9. Suora y = - + leikkaa -akselin, kun y = 0. + = 0 = : ( ) = Piirreään suora koordinaaisoon. Huomaaan, eä kaksi piseä on yksikön päässä piseesä, 0 ( ) = + = + = 9 ai = = = 9 Sijoieaan saadu :n arvo suoran y = a + 6 yhälöön ja määrieään ne suoran -akselin leikkauspiseiksi. Kun = a + 6 = 0 a + 8 = 0 a = 8 : a = 8 Kun = ( ) + = a 6 0 a + 8 = 0 a = 8 : ( ) a = 8 Vasaus: a = 8 ai a = 8 y. Lineaarinen malli 9. Limingan väkiluku oli vuonna : = 0. Kasvua on ollu 0 ja vuosia on kulunu 9. Yhdessä vuodessa kasvu on ollu 0 = 8, 8 9 Merkiään vuosia vuodesa 000 lähien muuujalla. Silloin vuoden kuluua vuodesa 000 väkiluku on kasvanu 8. Kokonaisväkiluku f () = a) Vasaus: f () = massa(g) hina ( ) , 00,86 0,8 000, 6,0,,0,,0,,0,,0,,0 hina ( ) massa (g) b) Määrällinen muuos on yhä suuri, joen kuvaaja on suora. Laskeaan suoran kulmakerroin, kun massa ilmoieaan kg k = =, 0 00 y y0 = k( 0 ), ( 0, y0 ) = ( 0; 9) y 9 =, ( 0) y =, + 0 Vasaus: f () =, + 0 c) f (0) =, = 0 Muovipussille on määriely hina 0 euroa. d) Irokarkkien kilohina on suoran kulmakerroin, euroa. Keroma! MAB 6

6 96. v = s s = v Pääjoukko on ieyssä piseessä 6 minuuia jäljessä. Tässä ajassa irioojoukko on ajanu 8 km/h keskinopeudella makan,8 km. s = 8 0 = 0 60 Irioojoukko ajaa 0 minuuissa 0 km s = 8 0 = 0 60 joen he ova pääjoukon lähöpiseesä,8 km päässä. Pääjoukko eenee 6 km/h, joen he eenevä 0 s = 6 0 =, a) Eäisyys oli irioojoukon kannala suurin alussa eli,8 km. Lopussa pääjoukko on melkein kymmenen km päässä irioojoukosa. Joen lopussa eäisyys on suurin n. 9 km. b) Saavuaa jo alle 0 minuuin kuluua. 9. v = s s = v Ilapäivän iedoilla voidaan laske Perin yömakan piuus. s = =, 60 Aamulla Perin keskinopeus oli, v = = 60 Vasaus: Keskinopeus oli km/h maka (km) aika (min) Kahdeksanena viikkona Kari juoksee = 0 (km) Kahena seuraavana viikkona harjoiusmäärä vähenee = 0 (km) Joen kymmenen viikon jälkeen hän juoksee 90 - = km Vasaus: km 99. : opiskelijoiden määrä :ään opiskelijaan käyeään 00. Kokonaiskusannus on Vasaus: Kusannus < < Junien A ja B välinen eäisyys v = s s = v s = 8 = 60 Juna C ja B ova km päässä oisisaan kun C kohaan junan A. Molemma juna kulkeva yhä pikän ajan ennen kuin kohaava oisensa. v = s s = v : v = s v Juna C on kulkenu km, joen juna B on kulkenu - km. Juna C on kulkenu makan, joka saadaan rakaisua yhälösä = 0 8 0( ) = = 8 90 = 8 :90 = 9, 9 Keroma! MAB

7 Käyey aika on 9, 9 = = Muueaan minuueiksi min =,68 min, min min s. Vasaus: min s. Paraabeli maemaaisena mallina 0. s( ) = 9, 8 a) s( ) = 9, 8 =, Vasaus: m. b) s( ) = 9, 8 9, 8 = 00 9, 8 = 00 : 9, 8 = 00 9, 8, > 0 = 00 = 6, 8 6, 9, 8 Vasaus: 6, s 0. Leikkauspiseessä y-koordinaai ova yhä suure, joen = + = 0 Rakaisukaava = ± ( ) ( ) ( ) = ± + 8 = ai = Jos = -, niin y = (-) = Jos =, niin y = = Vasaus: Leikkauspisee ova (-, ) ja (, ) Kuvaaja saadaan aulukoimalla. y Keroma! MAB 8

8 0. Laskeaan paraabelien leikkauspiseiden koordinaai yhälösä + + = + + = 0 yheinen ekijä ( + ) = 0 ulon nollasäänö = 0 ai + = 0 = Kun = niin y = 0 + = eli leikkauspise on ( ). Kun = -, niin y = (-) + = eli leikkauspise on (-, ) Suora kulkee näiden piseiden kaua. Laskeaan suoran kulmakerroin k = 0 = Suoran yhälö y - y 0 = k( - 0 ) y = ( 0) y = y = + Vasaus: y = Jos pise on paraabelilla, niin se oeuaa paraabelin yhälön, joen sijoieaan = ja y = yhälöön y = + a a = + a a = a a = Vasaus: a = Funkion f () = + + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli > joen funkion pienin arvo saadaan paraabelin huipussa ja funkio saa yhä suurempia ja suurempia arvoja. Laskeaan huipun -koordinaai. = = Funkion pienin arvo f () = (-) + (-) + =, Vasaus: Funkio voi saada arvoja välillä [,, [ 06. Suoran piirämisä varen laskeaan k arvo anneulla meneelmällä, jossa haluaan pienin arvo lausekkeelle (HUOM ehävässä on virhe. kolmosen ilalla on olava ) (k -,) + (k -,) + (k -,) Poiseaan sulu (k -,) (k -,) + (k -,) (k -,) + (k -,) (k -,) = k -,k -,k +, + k - 6,k - 6,k + 9,6 + 6k - k - k + = k -,8k +, Lauseke on oisen aseen polynomi ja sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa pienemmän arvonsa paraabelin huipussa. Laskeaan huipun koordinaai k - 8,8k +, = 0 Yhälöllä ei ole rakaisua, joen käyeään edellisen ehävän meneelmää huipun koordinaain määriämiseksi. k = b a k = 8, 8 =, k =, saadaan pienin arvo. Keroma! MAB 9

9 Piirreään suora ja pisee koordinaaisoon. Suoran piirämisä varen voi laskea pari piseä. = 0 y =, 0 = 0 = y =, =,8 = y =, =,6 6 y (;,8) (;,6) 6 6. Poenssi- ja eksponeniyhälö 0. Laskimella a),669,6 b) 6 c),9,9 d) -,0 -,0 e) f) a) = 0 6 = 6 6 = 6 6 = ± = ± 6 6 b) = 9 : ( ) =, =, =, 96, Vasaus: = -, 6 c) = 6 = 0 ( ) = 0 yheinen ekijä ulon nollasäänö = 0 ai = 0 = : 0 =, = = 80 8 Vasaus: 8 ai = 0 d) = lg lg = lg lg = lg lg lg = =, 8, 8 lg Vasaus:,8 Vasaus: = ± Keroma! MAB 80

10 e) = : = lg lg = lg lg = lg lg lg = lg = 98 9 Vasaus: 9 + f), =, 9 lg + lg, = lg, 9 ( + ) lg, = lg, 9 lg, lg, 9 + = lg, lg, 9 = =, 800, 8 lg, Vasaus: -,8 09. Piirreään vasemman ja oikean puolen kuvaaja ja kasoaan leikkauspiseen -koordinaaisa yhälön rakaisu. a) Laskeaan piseiä paraabelin y = + piirämiseksi. y = + - y = (-) + = Käyrälle y = y = - - = y ,,,,,, Kuvaajasa kasouna yhälön rakaisu on -, ai -,0 ai 0. Sijoiamalla arvo -,0 ai 0 yhälöön huomaaan, eä molemma ova arkasi yhälön rakaisuja, koska ( ) + = = ja 0 + = = ja -, on likiarvo, koska (, ) + = 9, 06, = 9, 0 Vasaus: -, ai = - ai = 0. b) Suoralla y = 8 ja käyrällä y = ei ole yheisiä piseiä, joen yhälöllä ei ole rakaisua. Vasaus: Yhälöllä ei ole rakaisua. y,,,,,,, y,,,,,, Keroma! MAB 8

11 0. a) =, joen on ( - ) 00 % = 00 % suurempi kuin. Vasaus: 00 %. n b) n ( n ) n = = = Joen n on 00 % suurempi kuin n -. Vasaus: 00 %. +. a) = ai + lg lg = lg ( + ) lg = lg lg lg + = lg lg = lg = + 0 = + = 0 = Vasaus: = - b) Tapa + = 0 = = lg lg = lg ( + ) lg = lg lg lg + = lg + = 0 Tapa + = 0 + = + 0 = + = 0 ( ) = ± = ± 0 = = ± ( ) = ± 0 = Keroma! MAB 8

12 c) = lg = lg, 6 +, 6 = 0 ( + ) lg = ( + )lg lg + = ( + ) lg lg + = ( + ), 6, = 0 lg + =, 6 +, = ( ) ± ( ),,, 6 0 = ±,, 6 Juureava on negaiivinen, joen yhälöllä ei ole rakaisua. Vasaus: Yhälöllä ei ole rakaisua.. a) - = 9 Kirjoieaan 9 kolmosen poenssina, jolloin saadaan sama kanaluku molemmille puolille. = ( ) = = = : ( ) =, Vasaus: = -, + + b) 8 = = = + = 0 = ± 0 = ± 9 = ai = 0 Vasaus: = - ai = 0 c) Yhälöllä ei ole rakaisua, koska eksponenifunkio ei saa arvoa 0.. a) Laskimella 6 =,8 0 9, joen luvussa on 0 numeroa. b) 00 on niin suuri luku, eä avallinen laskin ei anna likiarvoa. Laskun voi suoriaa ieokoneen laskimella 00 =, 0 0, joen luvussa on numeroa. ai Luvulle voidaan laskea likiarvo, koska kaikki luvu voidaan esiää muodossa a 0 n. Kirjoieaan luku muodossa, josa laskin osaa laskea joakin = ( ) =,, 6 0 =, 6 0 =, 0 ( ) = ( ) 0 Vasaus: Luvussa on numeroa 0 Keroma! MAB 8

13 . Eksponeniaalinen malli. Sääsö noudaiva funkioa, jossa on aika kk. K() = 000,006. a) Alussa = 0 K(0) = 000,006 0 = 000 Vasaus: 000 euroa. b) Verraaan kahden peräkkäisen kuukauden suhdea , 006 =, , 006 Muuoskerroin on,006, joen kasvu on,06 % Vasaus:,06 % c) Vuosiainen kasvu ieysi kasvaa vuosiain määrällisesi, mua suheellinen kasvu on aina,006 =, eli,6 %. Ensimmäisen vuoden kasvu on 000 = 06,6 ai K() = 000,006 = 06,6 06,6-000 = 06,6 Vasaus: 06,6 d) Milloin K() = 000? Rakaisaan yhälö 000, 006 = 000 : 000, 006 =, 666 lg lg, 006 = lg, 666 lg, 006 = lg, 666 : lg, 006 lg, 666 = = 8, lg, 006 Vasaus: Tilillä on rahaa kuukauden eli neljän vuoden kuluua.. Väesömäärä alussa 000 Lopussa miljardia = 0 9 vuosiainen muuoskerroin q Poenssifunkio q = 0 : q =, 0 000, q > q =, 0 q =, 00, 00 Saadaan eksponeniaalinen malli V() = 0 9,00, missä on aika vuosina nykyhekesä. Vasaus: V() = 0 9,00, missä on aika vuosina nykyhekesä. Keroma! MAB 8

14 6. Merkiään alkuperäinen valon määrä = A. Koska mm:n lasi läpäisee 98 %, niin saadaan A q = 98A : A q = 98 q = + ( ) 98, q > 0 q = Saadaan funkio f () = 989 A 99 A, missä A on alkuperäinen valon määrä ja on lasin paksuus (mm). Puole valosa on A, joen A 989 = A : A 989 = lg lg 989 = lg lg 989 = lg lg 989 lg = 6 lg 989 = 8, mm paksu lasi läpäisee puole valosa. Vasaus: f () = 989 A 99 A, missä A on alkuperäinen valon määrä. 69 mm paksu lasi läpäisee puole valosa.. Mooren lain mukaan määrä kaksinkeraisuu kahdessa vuodessa. Laskeaa n vuosiainen kasvukerroin q q a = a q = q = =,, q > 0 Transisorien määrä vuoden 00 mukaan :n vuoden kuluua miljoonina ransisoreina 9,. Vuonna 9 on = -6. 9, -6 = 08 0 miljoonaa = 000 Eli ransisoreja oli 000. Vuonna 06 on =. 9, = 8, miljoonaa = 8 miljardia Eli ransisoreja on noin 8 miljardia. Taulukon mukaan 9 9 q = : q = 9 q = 9 9 q =, 9, 6 Transisorien määrä vuoden 00 mukaan :n vuoden kuluua miljoonina ransisoreina 9,9. Ennuse on huomaavasi malillisempi. Vuonna 06 on ämän mallin mukaan 9,9 = 08,0 00 miljoonaa eli noin miljardia. Keroma! MAB 8

15 8. Laskeaan jokaisen annoksen määrä klo. Kahviannos puoliinuu kuudessa unnissa, joen kahvin määrä elimisössä puoliinumiskerran jälleen k() = a, missä a on kahvin määrä hekellä 0. Ensimmäisellä annoksella 0 mg ja puoliinumiskeroja ulee :6 =,, joen klo äsä kahvisa on jääny jäljelle k(,) =, 0 = 8, mg Toisella annoksella 0 mg ja puoliinumiskeroja ulee 0:6 =,66, joen klo äsä kahvisa on jääny jäljelle k(,66 ) =,66 0 = 69,9 mg Kolmannella annoksella 0 mg ja puoliinumiskeroja ulee 6:6 =, joen klo äsä kahvisa on jääny jäljelle k() = 0 = 6 mg Yheensä 8, + 69,9 + 6 = 9, 90 Vasaus: 90 mg. 9. Auomerkin M arvo alussa a, joen auomerkin P arvo on,a. M arvo vuoden kuluua on 9 a, kun arvo aleni keskimäärin % vuodessa. P arvo vuoden kuluua on, 9 a, kun arvo aleni keskimäärin 0 % vuodessa. Arvo ova sama, kun, 9 a = 9 a : a, 9 = 9 : 9 9 =, 9 9 (, lg 9 ) = 9 lg( lg, 9 ) = 9 9 lg lg, lg 9 9 lg, = lg 9 ( 9 ) =, ( ) = ( ) Vasaus: Auojen arvo on likimain sama neljän vuoden kuluua. Keroma! MAB 86

16 Pikaosio. y = 009 y = Vasaus:. k = 0 0 = Vasaus:. = + 0 = epäosi. Vasaus: Suora eivä leikkaa oisiaan. = 0 = = ± Vasaus: = ja = 6 6. = 00 = ± 6 00 ±, 8 Vasaus:,8 ai,8 6. = 0 : = lg lg = lg lg = lg : lg lg = 0 lg Vasaus: 0. Suora leikkaa -akselin, kun y = 0. + = 0 = : = 8 Vasaus: ( 8; 0) 8. Suora ova kohisuorassa oisiaan vasaan, kun kulmakeroimien ulo on. a = : a = Vasaus: a =. 9. Muuoskerroin,0 Hina viiden vuoden kuluua,0 00 = 9 8, Vasaus: euroa. Keroma! MAB 8 pikaosio

17 0. Jokaisena vuonna hina nousee 0 %, joen hina nousee keskimäärin 0 %. Vasaus: 0 %. Suora leikkaa y-akselin kohdassa, ja kulkee piseen ( 6,0) kaua., 0 k = 0 6 =, ( ) joen suoran yhälö on y = +, = +. Vasaus: y = +,. Kuvaajasa f () Vasaus: f (). Kuvaaja leikkaa ai sivuaa -akselin neljässä kohdassa, joen funkiolla on neljä nollakohaa. Vasaus: Neljä. Vasaus:. Suurin arvo on kohdassa, jossa funkion kuvaajalla on suurin y-koordinaain arvo. Tämä on noin,6. Vasaus:,6 Keroma! MAB 88 pikaosio

18 Harjoiuskoe. a) Suoran yhälö y - y 0 = k( - 0 ) Pisee () ja (,0) y y k = = 0 = 0 y - 0 = -( - ) y = - + Vasaus: y = - + b) Normaali on kohisuorassa, joen kulmakerroin k k = - Siis normaalin k = ja se kulkee piseen (-, -) kaua. y - (-) = ( - (-)) y = + - y = Vasaus: y = c) y s B A C. Kirjoieaan suorien yhälö rakaisussa muodossa. + y + = 0 y = y + = 0 y = : y = + Leikkauspiseessä koordinaai ova yhä suure. + =, = =, y = (, ) + = Vasaus: Leikkauspise on (-,; ). b) 9 = 0 9 = 9 = 9 0 Tämä päee vain, jos = 0 = 0. Vasaus : = 0 ai 9 = lg9 = lg lg9 = lg lg = = 0 lg9 = 0 = 0. Yhden asun hina Ilmoieaan ilauksen hina muuujan avulla Saadaan yhälö = = 6 00 : 00 =, Asuja jäi lunasamaa joen rahaa jäi saamaa 0, 6,666 = 6,6. Vasaus: Rahaa jäi saamaa 6,6 euroa. Keroma! MAB 89 harjoiuskokee

19 . Väesömäärä oli vuoden kuluua molemmissa, 000 = 00 Lineaarisen mallin mukaan kasvu on vuosiain määrällisesi yhä suuri 00 : = Väesömäärä on vuoden kuluua vuodesa 998 L() = eli vuoden kuluua L() = = Eksponeniaalisessa mallissa suheellinen kasvu on vuosiain yhä suuri. Merkiään vuosiaisa kasvukerroina q. 000q = 00 : 000 q =, q =, =, 066, q > 0 Väesömäärä on vuoden kuluua E() = 000,0 0 eli vuoden kuluua E() = 000,0 = 8, 0. Veä haihuu 0 %, joen jäljelle jää 90 % :n päivän kuluua veä on f () = 9 00 Vesimäärä on puoliunu, kun veä on 00 l 9 00 = 00 : 00 9 = lg lg 9 = lg lg 9 = lg : lg 9 = 6, 6. Lenoraa h() = ,0 a) h(0) = ,0 =,0 Vasaus: Heio lähi,0 merin korkeudela b) Laskeaan nollakoha, joka keroo heion piuuden ,0 = 0 Rakaisukaava = ± ( 0) ( 0) =, 08 ai =, 86 Vasaus: Työnnön piuus oli noin,0 meriä c) Heion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joen yönnön korkein koha on paraabelin huipussa. Laskeaan nollakohien keskiarvo, koska paraabeli on symmerinen nollakohien suheen, 08 + (, 86 ) huippu = 9, 8 Laskeaan korkeus sijoiamalla h(9,8 ) = -0 9, ,8 +,0 = 6,69 6, Vasaus: Työnö kävi 6, merin korkeudella. Vesimäärä puoliuu kuudennen päivän aikana. Vasaus: Vesimäärä on puoliunu seisemän päivän kuluua. Keroma! MAB 90 harjoiuskokee

20 . Inensieeiaso L = I 0lg I 0 a) L = 0lg 0 0 Vasaus: 0 db = 0 b) L = 0lg 00 0 = 6, 989 Vasaus: db Harjoiuskoe. a) Suoran yhälö y - y 0 = k( - 0 ) Suoralle s y 6 = ( ( )) y 6 = 9 y = Vasaus: y = - - b) Laskeaan suoran s koordinaai, kun = y = - - = -9 Vasaus: Leikkauspise on (, -9) +. a) = 0 : + = 0 lg + lg = lg0 ( + )lg = lg 0 : lg + =, =, : =, 609 Vasaus:,6 b) 6 - = 0 ( - ) = 0 Tulon nollasäänö = 0 = 0 ai = 0 = ai 6 = 0 ( ) = 0 = = 0 ai = 0 = = = = Vasaus: = 0 ai = c) + = 0 ( + ) = 0 Tulon nollasäänö = 0 ai + = 0 = ei rakaisua, koska negaiivisesa luvusa ei voi oaa juura Vasaus: = 0 Keroma! MAB 9 harjoiuskokee

21 . f () = - - g() = - +. Kalervo on edenny, unnissa makan, =, (km) Paulan lähiessä liikkeelle hän eenee unnissa 80 km/h eli unnin aikana 80 (km). Kalervo on edenny samassa ajassa, + (km) Saadaan yhälö 80 =, + =, : = 68 Kalervo on edenny, + 68 =, Vasaus: Kalervo on edenny n. 0 km.. Lääkeaineesa jää jäljelle 8 %, joen unnin kuluua ainea on elimisössä 8 0 a) 8 0 = : 0 8 = lg lg 8 = lg lg 8 = lg : lg 8, 6 h h, 9 min Vasaus: Määrä on puoliunu h 6 min kuluua. b) Jäljelle jää 0 % eli 0 = (mg) 8 0 = : 0 8 = lg lg 8 = lg lg 8 = lg : lg 8, 6 h h Vasaus: 90 % on hävinny n. h kuluua. 6. a) Yhden uoeen valmisaminen maksaa aloiuskusannusen jälkeen : 000 = 00. Tuoeen valmisuskusannukse, kun valmiseaan kappalea uoea f () = Myynnin uoo on g() = 0. b) 0 = = : 0 = 800 Vasaus: Valmiseava 800 uoea. c) Myynnisä saadaan = 0 00 joisa piää vähenää aloiuskusannus Vasaus: Voioa saadaan euroa.. a) + = Luvun neliöjuuri on, joen on olava + = = = ± Vasaus: = ai = b) lg ( + ) = Luvun 00 kymmenkanainen logarimi on, joen + = 00 = 9 : = 9, Keroma! MAB 9 harjoiuskokee

22 Harjoiuskoe. Suoran + y = 0 kulmakerroin saadaan rakaisusa muodosa y = : y = Suoran s kulmakerroin on sama k = ja suora kulkee piseen (, -9) kaua. Suoran yhälö y - y 0 = k( - 0 ) y ( 9) = ( ) y + 9 = + y = = Vasaus: y = =. Piirreään suora koordinaaisoon. Puolisuunnikas on väriey musalla. Pina-ala voidaan laskea kaavalla A = a + b h. y-akselin suunaisen suorien osa muodosava yhdensuunaise sivu. Suorien leikkauspisee muodosava puolisuunnikkaan kärje. A : y = = 0 B : y = = C : y = + = 9 D : y = 0 + = Pidemmän sivun BC piuus on 9 - = 8 ja lyhyemmän AD: n piuus on - (-) =. Puolisuunnikkaan korkeus on, joen ala A = 8 + = 8 y 0 9 C 8 6 D B A. a) hina ( ) maka (km) 0 0 Vasaus: Puolisuunnikkaan pina-ala on 8 pina-alayksikköä. b) Perusmaksu on. c) +, 69 = 0, 69 = :, 69 = Vasaus: Voidaan ajaa noin 0 km. Keroma! MAB 9 harjoiuskokee

23 . a), = 00 : 00, 000 = lg lg, 000 = lg ( ) lg, 0 = lg 0 00 ( ) : lg, lg ( ) = lg, 0 lg 00 09, 6 lg, b) = 0 ( ) = 0 = + 0 = Tämä päee, kun + = 0 ( + ) = 0 Tulon nollasäänö = 0 ai + = 0 = : = Vasaus: = - ai = 0. = ( ) =. Kulunee viiko: Jukan harjoiusaika,0 Samin harjoiusaika 9 9 Harjoiusaja ova sama, kun, 0 = 9 9 :, = : 9, 0 = 9 9, 0 9 lg 9 ( ) = 0 ( 0 9 ) ( ) = lg 9 lg,, lg, 0 lg 9 : lg, =, 6 ( ) = ( ) ( ) Vasaus: Harjoiusmäärä ova sama noin kahden viikon kuluua. 6. Ainea on alussa A. Yhdessä päivässä hajoaa %, joen jäljelle jää 99,6 % Aineen yimisä on hajonnu puole :n päivän kuluua. 996 A = A 996 = lg lg 996 = lg lg 996 = lg : lg 996 =, 9 Vasaus: Aineen puoliinumisaika on päivää. Keroma! MAB 9 harjoiuskokee

24 . Jos valmiseaan kpl uoea, ova valmisuskusannukse: ( ) = Voio = myyniulo - valmisuskusannukse V() = 00 -, - ( - 00) = -, Voioa kuvaava funkio on oisen aseen polynomifunkio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Suurin voio saadaan paraabelin huipussa. Laskeaan nollakohda -, = 0 Rakaisukaava = ± (, ) 00 (, ) = 69 ai = 99 Laskeaan huipun -koordinaai 99 + ( 6 ) huippu =, 666 Vasaus: Tuoea kannaaa valmisaa kappalea. Keroma! MAB 9 harjoiuskokee