VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen

Transkriptio

1 / VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä vaieneva pakkoväähely, ua uuen vaieneaon pakkoväähely. Täysin vaieneaona pakkoväähelyä ei käyännössä esiinny, ua jos vaiennus on hyvin vähäisä, voidaan se oleaa nollaksi. Tässä sessiossa akasellaan yhden vapausaseen syseein vasea haoniseen heäeeseen, kun vaiennusa ei ole. Haoniselle heäeelle on yypillisä, eä synyvä pakkoväähely apahuu saalla aajuudella kuin heäevoia vaihelee. LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa on lineaaisen yhden vapausaseen haonisen pakkoväähelijän peusalli, jonka uodosava jousi k, assa ja assaan vaikuava haoninen pakkovoia () = sinω. on pakkovoian apliudi ja Ω kulaaajuus. Liikeä ukiaan asapainoaseasa iaun koodinaain avulla. Kuvasa (c) saadaan liikeyhälö k ( + ) g () = & () josa seuaa yheyden k = g peuseella syseein liikeyhälöksi (a) g jousen lepopiuus saainen asapaino k () (b) k k( + ) g g (c) & & () & & + k = sinω () Oaalla huoioon syseein oinaiskulaaajuuden ääielä enee liikeyhälö () sandadiuooon & + = sinω () Kuva. Pakkoväähelyn peusalli. Liikeyhälön () yleinen akaisu on uooa = h + p, issä h on hoogeenisen yhälön & + = yleinen akaisu ja p äydellisen yhälön () yksiyisakaisu. Session VMS7 kaavan (6) ukaan h on h = A sin + A cos (4)

2 / jossa vakio A ja A saadaan alkuehdoisa. Yksiyisakaisu on on vakio. Sijoiaalla yksiyisakaisu liikeyhälöön () saadaan p = XsinΩ, jossa X / XΩ sinω + X sinω = sinω X = () josa seuaa yksiyisakaisulle kaava p / = sinω ( Ω ) (6) Kaava (6) ei ole voiassa, jos Ω =, jolloin oisaala = XsinΩ sisälyy jo hoogeenisen yhälön yleiseen akaisuun (4). Oikea yksiyisakaisu apauksessa Ω = on p p = sin ( Ω = ) (7) k kuen voidaan odea sijoiaalla akaisu (8) liikeyhälöön (). Rakaisussa osa h edusaa oinaisväähelyä, joka odellisuudessa vaiennuksen akia häviää syseeisä lyhyessä ajassa. Pysyvää pakkoväähelyä edusaa osa p, joka ei iipu syseein alkuehdoisa ja säilyy niin kauan kuin pakkovoia vaikuaa. Kaavasa (6) näkyy, eä pakkoväähely apahuu saalla aajuudella kuin pakkovoia vaihelee. VAHVISTUSKERROIN JA SIIRTYVYYS Pakkoväähelyn apliudiksi X saaiin edellä kaavassa () / X = (8) Kun oeaan huoioon oinaiskulaaajuuden ääielä = / k ja = Ω /, saa kaava (8) uodon d = k / ja ekiään X M = = (9) d Suue d on pakkovoian apliudin aiheuaa jousen saainen piuudenuuos. Suuea sanoaan aajuussuheeksi ja suuea M vahvisuskeoieksi. Kuvassa vahvisuskeoin M on esiey aajuussuheen funkiona. Kaavan (8) ukaan apliudi X >, kun Ω <, jolloin pakkovoia ja väähely ova saassa vaiheessa. Apliudi X <, kun Ω >, jolloin pakkovoia ja väähely ova vasakkaisissa vaiheissa. Kuvan käyässä on kole eiyisen kiinnosavaa kohaa, joia on ekiy a, b ja c. Kohdassa a Ω on hyvin pieni eli pakkovoia vaihelee hyvin hiaasi ja X on lähellä saaisa siiyää d ( M ).

3 M M() ( y) 4 4 a c c..., y Kuva. Vahvisuskeoin. T M( ) ( y) Kuva b / Kohdassa b on Ω >>, jolloin pakkovoia vaihelee niin nopeasi, eä assalla ei ole aikaa seuaa sen vaihelua ja apliudi X jää pieneksi ( M ). Kiinnosavin iliö on kohdassa c, issä apliudi X lähesyy ääeönä, kun Ω. Tää sanoaan esonanssiksi. Jos Ω =, on voiassa yksiyisakaisu (7), josa nähdäänkin, eä p, kun. Haoninen pakkovoia aiheuaa väähelyongelia, jos sen kulaaajuus on saa kuin syseein oinaiskulaaajuus ai lähellä siä. Syseein paaei k ja on valiava niin, eä se oiii iiävällä eäisyydellä esonanssikohdasaan. Tää kusuaan viiäiseksi. Pakkoväähelyssä olevan assan kiinniysalusaansa aiheuaia voiavaikuuksia ei yleensä pysyä kokonaan väläään, ua niiä voidaan huoaavasi pienenää oikealla jousavien kiinniyseleenien valinnalla. Jos alusaan siiyvän voian aksiiavo on pienepi kuin pakkovoian apliudi, sanoaan kiinniyseleenejä väähelyn eisiiksi. Väähelyn eisyksen ehävänä on saada siiyvä voia ahdollisian pieneksi. Alusaan siiyvän voian aksiiavo on A = k X, jolle saadaan kaavasa (8) lauseke A / = k = () Väähelyn siiyvyys T ääiellään seuaavasi A T = = (), y Siiyvyys keoo, kuinka suui osa pakkovoiasa siiyy jousen kaua alusaan. Kuvassa Kuva. Siiyvyys. on siiyvyys T esiey aajuussuheen funkiona. Kaavasa () nähdään, eä T < vain, kun >. Tällöin jousesa on hyöyä, koska se pienenää alusaan siiyvän voian aksiiavoa, joka ilan jousa olisi. Alueessa < on T > ja alusaan siiyvän voian aksiiavo on suuepi kuin ja jousen käyösä on vain haiaa. Edulliseen siiyvyyeen pääsään siis viiäällä syseei niin, eä se oiii kuvan käyällä kohdan = oikealla puolella iiävän kaukana. Näin viieyä syseeiä kusuaan yliviieyksi.

4 /4 ESIMERKKI VMSE Kuvan ukaisen syseein assa on = kg, jousivakio k = 4kN/ ja pakkovoia on a) () = 4N sin( / s) ja b) () = 4N sin( / s). Esiä kuankin apauksen pakkoväähelyn liikeyhälön yleinen akaisu (), kun alkuehdo ova =, ja & = / s. Piiä akaisujen () ja niiden osien h () ja p () kuvaaja välillä [,] s. Rakaisu: Pakkovoiien apliudi on = 4N ja kulaaajuude Ω a = ad/ s ja Ω b = ad/ s. Syseein oinaiskulaaajuus on = k / = ad/ s, joen a) apauksessa päee yksiyisakaisu (7) ja b) apauksessa (6). a) a () = ah() + ap() = A sin + A cos + sin k & a() = A cos A sin + sin cos k k Alkuehdoisa a() = ja & a() = & seuaa, eä A = & / =, ja A = =,. Lisäksi on / ( k) = / s, joen siiyän lausekkeeksi ulee () a =, sin +, cos + ( / s) sin. / b) b () = bh() + bp() = A sin + A cos + sinω Ω / & b() = A cos A sin + cosω Alkuehdoisa a() = ja & a() = & seuaa, eä A Ω = & = ja ( ) 8 / 8 A = =,. Lisäksi on =, joen siiyän lausekkeeksi ulee 4 8 b() = sin +, cos sinω. 8 4 Siiyä apauksessa a. ah () ap () a ()

5 / Siiyä apauksessa b. bh () bp () b () ESIMERKKI VMSE O θ a k b p L k M sinω Kuvan syseeissä koodinaai θ iaaan palkin saaisesa asapainoaseasa sekä M = kg, p = kg, k = kn/, a =,, b =,, L =, = N ja Ω = ad/ s. Määiä syseein pakkoväähelyn lauseke θ (), vahvisuskeoin ja ukeen O siiyvä suuin oeni. Rakaisu: Syseein liikeyhälöksi ulee (oea!) ( M + / )L & p θ + k ( a + b ) θ = L sin Ω Oinaiskulaaajuus on k(a + b ) =,4ad/ s. (M + / )L Pakkoväähelyn lauseke on kaavan (6) ukainen ja apliudiksi ulee p L /(M + p / )L Θ = 8,6 4 ad θ() 8,6 4 ad sin( / s). Taajuussuhde on = Ω / 9, 99 ja siiyvyys kaavan (9) ukaisesi M = M,664 Siiyvyys on kaavan () peuseella T = MA L = M A,N

6 /6 HARJOITUS VMSH Moooin assa on = kg ja se on ueu neljällä saanlaisella jousella, joiden kunkin jousivakio on k =,6N/. Asennelan hiaussäde akselin suheen on =,. Pyöiisnopeus on n = 7 / in. Määiä pysysuunaisen väähelyn ja keinuisväähelyn siiyvyyde oleaen, eä kuoiusheäee ova siniuooise eli () = sinω ja M() = M sinω. Vas. Tp,94 Tk, 7 Vihjee: HARJOITUS VMSH Moooi b Sähköoooi on kiinniey oleisa päisään jäykäsi ueun eäslevyn keskelle kuvan ukaisesi. Levyn piuus on L =, leveys b =, ja kokeus L/ L/ h =,. Teäksen kiooduuli on E = GPa ja iheys ρ = 78kg /. Moleisa päisään jäykäsi kiinnieyn ja keskelä pisevoialla kuoieun h palkin jousivakio on k = 9EI/ L ja lisäassakeoin /. Moooin assa on = 7kg ja pyöiisnopeus n = / in. Moooiin vaikuavan pysysuunaisen pakkovoian apliudi on = N. Laske oooin pysysuunaisen väähelyn apliudi ja ukiin siiyvän voian aksiiavo, kun a) palkin assaa ei oea huoioon ja b) se oeaan huoioon. Koenoi syseein viiyksen hyvyyä. Vas. Xa,48 Aa,48kN Xb 6,7 Ab 9,7kN Vihjee: