Osakeoptioiden markkinahinnoittelu, volatiliteetti ja kohde-etuuden hintadynamiikka

Transkriptio

1 Oaeopode marahoelu volalee a ohde-euude hadyama Kaaalouede Pro-radu Kaaaloueee lao Tamperee ylopo 8 Teemu Krau

2 TIIVISTELMÄ Tamperee ylopo Teä: Tuelma m: Taloueede lao; aaalouede KRAUS TEEMU Oaeopode marahoelu volalee a ohdeeuude hadyama 94 vua Pro radu uelma: Aa: Tououu 8 Avaaa: opo oae maraha volalee Opomarode volyym avaea vomaaa myö opode vrheeömä hoelu mery avaa. Oaeopode hoelueoraa apahu läpmuro vuoa 973 u Fher Blac a Myro Schole evä Brow leeee peruuva hoelumalla. Opode hoelueoraa Blac & Schole mall o ouu lähe uuo aemaa. Oaede mple uooaauma evä ueaa empre ole Blac & Schole oleue muae lo-ormaalea llä oaede volalee evä ole vaoa a oaede haehyee aaaa älyä hahyppyä. Lä opode hoa emodua uooäyrä aaaa olla voua a pähääyyä. Näde lmöde yemaauu aaa veä ä eä Blac & Schole mall o vrheelle pefou a e o eoreee puueelle. Tärempä auva-aae oaeopohoelueora vahoehoa mallea ova hyppydffuuomall vara vaoouomall luuva earvo mall eä auorereve proe. Hyppydffuuomallella vodaa Blac & Schole malla paremm mallaa oaee haehye epäauvuuoha. CEV-mallella luuva earvo mallella a auorerevllä proeella aa yeää paremm mallamaa volaleea laeea oa e vao Blac & Schole oleua e ole vao. Vahoehoe mall ue ärvä oo momuauudea eoreee oe puueea uleu raau puueea ado auva-aauude puueea a ä eä e uluava palo laeareurea. Lä paramere emo aaaa olla vaeaa. Erolaea äde äyö ue aaaa olla peruelua. Blac & Schole mall ärempä eua o eoreee ohdomuauu a yerauu. Mall hoeluvrhe o maraale a ä olle e o puueaa huolmaa edellee äyöelpoe yöalu äyäö hoelua. Teoreee ouu mall o arvoo o e o rrdaa empra aa. Empre omva mall lma eoreee omvaa veehyä o eeelle hedelmäö a eeeräe.

3 Sälly:. JOHDANTO.... Opomarode murro.... Tumue avoe a umuoelma Tumue raaue...4. OSAKE-OPTIOIDEN LUOKITTELU JA PERUSKÄSITTEITÄ Oaeopode uvau a luoelu...6. Oae-opode marafoorum Oaeopo arvo määräyyme Mua eeä äeä Volalee mple volalee a ohde euude uooaauma 9.4. R a oaa mallame opohoelua.4.3 Kohde-euude a opo hadyama 5 3. BLACK & SCHOLES-MALLI Uraauurava Blac & Schole-mall Blac & Schole-mall oleue haraa eä Mero väee Mall formulo a ohame Blac & Schole-mall r HYPPYDIFFUUSIOT CEV-MALLI JA LIUKUVAN KESKIARVON VOLATILITEETTIMALLIT Epäauvuu ohde-euude haa Mero hyppydffuuo Iformaao epäymmere havauu Muu hyppydffuuo a CEV-mall Aff hyppydffuuo a oae volalee hyppydffuuo Vara vaoouo-mall (CEV) Luva earvo mall Epoeaale paoeu luuva earvo mall Jauva-aae auorereve luuva earvo mall STOKASTISEN VOLATILITEETIN MALLIT Auorereve proe Kalle a Taqqu auva-aae ARCH-mall Heo a Nad GARCH-mall COGARCH (Couou me GARCH) -mall PÄÄTELMÄT... 8

4 . Johdao. Opomarode murro Rahoueora o Mero Mller roaa rahoue horaa äelevää arelaa eä o hä aloa uudellee eee eällä ol umuahe veyä yhee aaa: opo. Tumuaheea opo odella ova äärmmäe meleoa. Opode mery rahouea avaa opea eä ala umu velä ole ypyyvaheeaa. Kaaaloudell erme lmaua eeeala umu e velä ole aavuau opea väheeve uooe vahea. Opode hora uure ova auaa meeyydeä. Jo 86 - luvulla opoa äye ave vlamarolla. Kue ee vuoa 973 opo olva lähä ahdevälä opmua oa evä uur ollee älmaraelpoa ue Chcao Board of Opo Echae (CBOE) alo adardoue opode aupa. Tää malla eeä roola äyelee elvyyhö oa puraa opmue ahde er opmue opoopmuoapuole ohdaua marolla oea. Tällö molemma oapuole ova opmuuheea elvyyhöö. Tämä mahdollaa luoamue opomarode omaa eä opode ehoaa älmara. Opomarode volyym o avau uure eä opode aua äydy oaevahdo ova aoa uurempa u mm. New Yor Soc Echae:a (NYSE) uore oaeauppoe vahdo. Keäuua 6 oraodua ohdaapöreä äyye ohdaaauppoe avoa oleve opoopmue mellarvo ol o 58 blooaa dollara. Tää ummaa oaeopode ouu ol 59 blooaa dollara Opolla äydää lä auppaa myö ohdaapöre ulopuolella uuulla OTC marolla (Over he couer) olla vaaava umma ol 3699 blooaa dollara. (Bla Carer & Scme 99 7; Hull 5a -3; Sol 56 5; Lu & Pa ; Ba of Ieraoal Seleme)

5 Valleva äy o e eä eoreee para veehy oaeopode hoelua o dree aaäee aa äyää auva-aaa mallua. Dree aa daa oa havao aadaa auae aaa o helpoe äelävä auva-aalla mallella Tämä umue poeera om Rober Mero oa 97-luvu aeea u emporaala uluueoraa eä oaa porfolo valaeoraa äyäe oaa dyaama ohelmoa. 973 apahu läpmuro opode hoelueoraa u Fcher Blac a Myro Schole ehvä Brow leeee (Browa moo) peruuva oo-opode hoelumalla. Mall o auva-aae auaulu dffuuo proe oa eroaa bommalla e eä dree aaperod upuu ääreömä pee. Blac & Schole-mall leee ueu maalmalla yyää äyeävä hoelumall. Aluperäe Blac & Schole-mall muodoaa mapuu oa vae aa mua hoelumallea pelaaa. (Sudarea ; Brocwell & Dav ; Blae 3; Sol 5; Bae 995 4) Jauva-aae malle ovellua o hyvää ahda mplemeou myö mulle aloueee alolle oa hyvää emerä vodaa maa reaalopo. Opomarode volyym huomoooae o earvoe äreää eä opode hoelua e apahdu vrheä. Blac & Schole-mall e ueaa aa apaua om yydyävä. Blac & Schole eora a hyv pa myö vahoehoa apoa ohaa opode maraha oa maavmpa ova muu muaa Co a Ro (976) Mero ( ) Hull a Whe (987) Joho a Shao (987) Sco (987) eä W (987). Hema uudempaa umua eduava Na (993) Dupre (994) Derma a Ka (994) eä Rube (994). (Bae 995 ). Tumue avoe a umuoelma Tumuea pyrää luomaa ooauva oaeopode auva-aae hoelueora yylaa. Tavoeea o aroaa a eellä merävmpä a meleompa mallea eä aalyoda äde erypreä. Blac & Schole- 3

6 mall eellää mapuua a uaa e eoreea eä emprä heoua. Lä araellaa mllaa olouhea ää heoua eyy a mä mall oveluva äde heoue oraamee a mä puoleaa ova äde oraave malle puuee. Käelävä mall o valu vde reer perueella oa ova: ) Mall ulee ovelua eurooppalayyppe oaeopode hoeluu. ) Mall o auva-aae. 3) Mall eduaa uorea umueoa a e o opoeoraa äreää aemaa. 4) Mall pyr vaaamaa avome ääe eoree oelm. 5) Mall empre opvuu o hyvä. Tumuea pyrää perehymää malle auaoleu a Lualle pyrää aamaa uva ä ua u mall uoo el opo veha määräyyy. Tumuoelmaa o eoreee hoelumalle realuude ume a äde opvuu äyäöö eä de eoreee oe. Kua Blac & Schole-mall älee eelly mall oraava Blac & Schole-mall aomaloa ue älempää aremm eelyä mple volalee hymyä a oaee odoeu uoo voa aaumaa. Ovao malle auaoleue eämäömä? Ava eeee eryaemaa ouee er hoelumalle volalee a ohde-euude hadyama äely..3 Tumue raaue Tää umuea eyää aoaaa oae-opode hoeluu. Oaeopode päääyöarou o uoauua urrelä. Opoa vodaa ue äyää muu muaa peulo a arbraa. Tää yheydeä e ueaa puuua äyöarou a oporaeoh. Työ ydalue o opohoelueora Blac & Schole: älee umu. Blac & Schole-malla e ueaa voda raaa yö ulopuolelle mall uraauuravuude a äreyde vuo. Sä vao Blac & Schole-mall ymmäräme o edellyy mude ää yöä eeäve malle äämee. Paope o ue myöhemmää umuea. 4

7 Tumue paope o auva-aaa hoelumallea ollo yö aheprä o raau po dree aa opohoelumall ä laauudea ee e vaeua eeläve malle ymmärämä. Tämä meree muu muaa bommalle a Moe Carlo mulaaode poulema. Jauva-aae hoelumalle o odeu opva hyv opode hoelu vaa ava ämälle oae opode a de ohde-euue ha e muuu a ä e laoda auva-aae vaa opemmllaa va eue muro-oaa. Jauva-aae hoelumall ova lä meleoemp a haaavamp umuohde. Tää umuea äellää aoaaa eurooppalayyppe opode hoelua llo u opo ohde-euuea o oae mä meree muu muaa deopode eä hyödye- a valuuaopode eooe aaalae a ameralae opode raaama umualuee ulopuolelle huolmaa ä eä Suome marolla meryellmmää Eure-ohdaapörä opo ova ameralayyppä. Joa apaua aoa apa hoella ameralayyppä opoa o äyää dree aaa määräyyvä mallea. O ää yyä yöä raaaa po ameralayyppe opode hoelu. Toe merävä yy ameralayyppe opode pouluu o e ee ameralayyppe opo ha eoreee ul poea eurooppalayyppe opo haa u ä apauea eä ohde-euudea roaa ooa. Muu muaa Bae (995) eää aremma peruelu väeelle. Pääääöe ää yöä o oleuea ee opode ohde-euuea oleva oaea roa ooa. 5

8 . Oae-opode luoelu a peruäeä. Oaeopode uvau a luoelu Opo ova ohdaaa (Dervave) ode arvo rppuu ou muu arvopaper haa. Tällö ä vodaa uua myö epävarmo vaae (Coe clam) Oaeopo ova opmua oa oeuava halaa ulevauudea oo oamaa a myymää opmue ohee el opo ohde-euude eala määräyy oeuuhaa. Opo aeaa oo- a myyopoh. Oo-opo (Call) aaa halallee oeude mue velvolluua oaa ohde-euu opoopmuea määrelyy haa opo pääympävää (Eurooppalae opo) a he meeä (Ameralae opo). Opo aeaa aa ouuu myymää ohdeeuude ähä eala määräyy haa. Myyopo (Pu) o vaaavalla avalla halallee oeu myydä ohde-euu a aeaallee velvolluu oaa ohde-euu oeuuhaa. (Nae & Nae ; 5-5) Opo luoellaa e muaa oa e vodaa oeuaa. N uuu ameralae opo vodaa oeuaa oa ahaa ee e pääympävää u aa eurooppalae opo vodaa oeuaa va e pääympävää. Oaeopo oaa maaa e aeaalle preemo oa o orvau opo aeaalle opo uomaa uoomahdolluudea. Opode maraha muodouva uur ää preemoa. Johdaamarolla o erlaa äyäöä uuua ohdeeuuvaoa olla määrellää yeä yhä opo-oeua oeve oaede määrä. Emer Eure-opopörä ue myö OMHEX:ä ohde-euuvao o appalea. Opo preemo o lmoeu oaeohae. Nä olle em. euro hae eurooppalae oo-opo aaa oeude oaa opo pääympävää aa appalea opo ohde-euua eala määräyy haa. Opo oaa o ooheellä maau opo aeaalle euro preemo. (Blae 73-74; Johdaaoaa ABC) 6

9 Lä opo aoellaa pluopoh ( he moey ITM) eä muopoh (ou of he moey OTM). Oo-opo o pluopo o e oeuuha o peemp u opo ohde-euude arvo. T. o oo-opo oeuea he aavuea llä uooa. Opoa uuaa aaopo (a he moey) llo u e oeuuha o ama u ohde-euude arvo. Muopo o yeeä llo u e oeuuha o oreamp u ohde-euude arvo. (Bla Carer & Scme 99 74). Oae-opode marafoorum Johdaapör aroaa fyye marapaa oaeopode a mude ohdaae aupaäy. Johdaapör äremmä ehävä ova ämäyy valvoa a formaao aelu. Tämäyy apahuu amauurue oo- a myyomeaoe ohdaea. Selvyyhö lä aaa aupa mä varmaa häröömä a luoeava mara. (Bla Carer & Scme ) EUREX ohdaapör uure ova Sve SOFFEX:a a Saa DTB:ä oa 98-luvu lopulla ehe eleroa aupaäyyeemeä. Nämä mara yhde vuoa 998 ollo EUREX vralle a alua. EUREX o Euroopa ohava fuuure a opode ohdaapör. Vuoa 5 ehye auppoe luumäärä yl 48 mlooaa opmua oa oaeohdaae ouu ol o 56 mlooaa opmua. EUREX:a vodaa äydä auppaa uomalalla Forum Ela Commucao Nee Ol Noa Sammo Sora Eo TelaSoera TeoEaor eä UPM ymmee oae peruuvlla opolla. (Eureehae) Myö OMHEX-oaeopolla äydää auppaa pääääöe eleroea aupaäyäreelmää. Kaupaäyvolyymea maua OMHEX uuluu ue EUREX ralla ääpöa. Muu muaa vuoa 4 uomalae ohde-euue oaeopode vaho ol o 6 opmue verra a vahdo ollea o 47 mlooaa euroa. Keäuua 4 Suomalae oaeopode 7

10 pör a elvyyö ry Tuholmaa eurauea pohomae pöre fuuoa. (OMXGroup. Johdaavaho).3 Oaeopo arvo määräyyme Oaeopo maraha o ä aupaäyä maeava preemo oa oouu ahdea ompoea: Opo äeä arvoa eä e aa-arvoa. Oo-opo äe arvo o e arvo olla oo-opo oeuuha alaa ohde-euuea arvo el llo u oo-opo o pluopo. Opo äe arvo e vo ääyä eave vaa ällö opo arvo muodouu peläää aa-arvoa. Aa-arvo muodouu ohde-euude maraha a oeuuarvo uheea opo älellä olevaa elää el uouaaa römää oroa a ohde euude volaleea. Lä opo arvoo vauaa e uouaaa oaeea roava oo. Ooopo arvo e pääympävää o ohde-euude ha eä opoopmuea määrelly oeuuha erou. (Nae & Nae 56; Bla Carer & Scme 99 74; Dubofy 99 ) Oae-opo ohde-euudea roava oo aleaa oaee arvoa a ää aua peeää oo opo arvoa. Kohde-euude volalee vauaa opo haa pove llä ohde-euude ha vahdellea vomaaa ova myö opo oaa voomahdolluude uurempa. Opo mauree vauaa opo haa e eä mä vähemmä aaa o opo pääymee ä peemp o uure vooe mahdolluu. Koroao vauu vodaa peruella llä eä opoa älelevä yeee opo oaeou vaa opoa uuremma paoe. Koroao ouea opo uheelle ou avaa. (Johdaaoaa ABC; Nae & Nae 57) 8

11 .4 Mua eeä äeä.4. Volalee mple volalee a ohde euude uooaauma Opoa äreä haa vauava eä o volalee el oaee ha vahelua uvaava uuluu oa vodaa ula uheelle hamuuoe ehaoa vuoaolla. Tämä lmau vodaa aaaa ymmärreävä emer euraavaa muodoa: S S ( P / P ) X l Volalee % N ( X ) X N (.) oa S P Oaee S ha heellä. (Blae 33-34) Volaleea merää yleeä realae rame peellä malla a e ulaa epävarmuude oaee uleva uooa. Volalee emodaa horallea aeoa a e vodaa aoa euava oaee ha ehye epävarmuua. (Hull 5a 86) Imple volalee (Impled volaly) el marolla opode hoelua äyeävä volalee aadaa vaapa Blac & Schole-malla ääämällä mall e eä opo ha oeaa aeua a mall uemaoma muuua aeeaa volalee. Oelmaa ää läheymavaa o e eä ä aadaa er 9

12 volaleeea er pääympävlle a oeuuholle. Käyäöä fuo äääme e ueaa ole mahdolla vaa o urvauduava ero. Implä volaleea vodaa appromoda euraava llo u oo-opo C oeuuha o yhä uur u oaee S peha. π oa o opo uouaa vuoa. (Blae 35; Hull 5a 3; Nae & Nae 6) Eroa volalee a mple volalee välllä o e eä volalee o aaa aaepä aova a mple volalee aa heaaa marode ulevauude odoua. Implä volaleea vodaa äyää opohoelumalle eaamee a paramere emo mua ällö äyyy pää meleä eä mple volalee pää aa oa määr ällää opode hoeluu älyvä vrheä. (Blae ; Hull 5a 3-3) Toe äreä mplee volalee lyvä äe ämä yö yheydeä o mple odeäöyyaauma oa uvaa oaee odoeu uoo odeäöyyaaumaa (Kuva.). Er opohoelumallella ää aaumaa malleaa hema er avalla a e uvaa meomaa ohde-euude hadyamaa. Volalee hymy o mple volalee a opo oeuuha uhde (Kuva.). Oaee mple uooaauma aadaa Breede a Lzeberer (978) muaa emoua volalee hymyä apua äyäe. Empre ämä odeäöyyaauma poeaa Blac & Schole-mall muaea lo-ormaala aaumaa e eä llä o paump vae hää a apeamp oea hää. (Hull 5a ) Tää yöä vaaa älempää aauma pähääyyee. Pähääe aauma o pauhääe aauma alaluoa. Sauamuua X

13 odeäöyyaaumalla F o pä oea hää o alle R o [ X > X > ]. lm P Kuva. Imple odeäöyyaauma a lo-ormaal odeäöyyaauma. (Hull 5a 38) Kuva. Volalee hymy oaeopo. (Hull 5a 38)

14 .4. R a oaa mallame opohoelua Co a Ro (976) evä eora uuua reuraala arvouperaaeea. Reuraala maalmaa oaee hadyamaa uvaavaa proea red orvaaa römällä orolla. Harro a Krep (979) evä eoreee pävä veehye reuraalelle hoelulle. Työää he myö ooava eä marolla olla e ey arbraaa o olemaa uuu reuraal odeäöyyma (Probably meaure). Todeäöyyma meree r marahaa a u ye o reuraala maalmaa ämä maraha o olla. (Sudarea 576; Hull 5a59-593) Capal Ae Prc-mall muaa ourume odoeu uoo rppuu ourume volaleea oa ulaa epävarmuude uleva uooa. Mä oreamp volalee o ä uuremp epävarmuu vallee ulevauude uooa. Soaa haluava orvaue r aamea preemo a ällö rpoempe ourumee uoo-odou o oreamp u maala r ourumee. Reuraala Blac & Schole maalmaa e oleea oae vaava preemoa r aamea. Marov proe o erylaaue oae proe oa va yyhe vauaa ä euraavaa aalaa. Emer oaee horalle uoo o rrelevaa uleva uooa arvoaea aoaaa oaee yyha meree. Marov omauu lmaee ällae aala olemaaolo. Marov omauu päee rahoumarolla o maraehouude heo ehdo äyyvä. (Hull 5a 63-64) Oaee hamuuoa marolla olla o Marov omauu vodaa uvalla bommalllla. Peree bommall o dree aa oae mall. Raalla oa dree aayö upuu ääreömä pee ämä mall muuuu oae auva-aae dffuuoproe. Tämä proe ueaa eomereä Brow leeä a e aluperäe ovellu o fyaa u

15 eeeä hava huae leä. Ku Brow leä äyeää malluea äyeää ä ue myä Weer-proe (Weer proce). Tää Weer-proea ovelleaa Blac & Schole-malla uvaamaa ohde-euude ha oaa ehyä. Weer-proe o Marov oae proe erymuoo. (Blae 3-33; Hull 5a 65) Weer-proe lma redä (drf rae) vodaa eää e eä muuua z oudaaa weer-proea. Oleeaa lyhy aaao muuua z muuoe aaa ällö: eä määrellää z z ε (.) oa vrheermε o auaoo adardodua ormaalaaumaa φ ( ). Er aaperod z arvo ova oaa rppumaoma. Tällö myö aauuu earvolla ehaoalla a varalla z o ormaal. Seuraava oleeaa pdemp aaao T ollo z muuoa aaa T merää ( T ) z( ) Tämä vodaa ula lyhyde aaperode umma: z. z N ( T ) z( ) ε (.3) oa N T. Tällö myö pdemmä aaperod muuo ( T ) z( ) z oudaaa ormaalaaumaa oa earvo o vara T a ehaoa T. Ku aaperod läheee ollaa vodaa Weer-proe eää avaomae: dz ε d. (.4) 3

16 Tämä o Weer-proe lma red-ermä. Ku läää mall vao a b el rederro a varaerro vodaa yleey Weer-proe muuualle eää muodoa: d ad bdz (.5) Yhälö oea puole emmäe erm vaa red vauuee el muuua emääräee muuoee aayöä. Toe erm o Weer-proe erroua vaolla b. Weer-proe ehaoa o a vaolla b vodaa oraa mall ehaoaa uvaamaa haluua ehaoaa. Alla oleva uva (.3) hahmoaa Weer-proeea. (Hull 5a 65-68) Kuva.3 Weer proe. (Hull 5a 68) 4

17 .4.3 Kohde-euude a opo hadyama Ku Weer-proella uvaaa oaee haehye dyamaa äyeää ralluudea yleeä perumalla poeavaa oaaoa. Lä yleey Weerproe oleaa eä red el oaee odoeu uoo o vao a rppumao oaee haa. Todelluudea ue oae odoama uoo o uheelle. Tämä meree ä eä red aeua oaee halla o vao. Tämä ohaa euraavaalaee mall u redä el odoeua uooa merää µ :llä eä volaleea :lla ds µ Sd SdW (.6) a ds S µ d dw (.7) oa S oaee ur dw vrheerm oa o adardou Weer-proe. Geomere Brow lee oalla ur heellä o ällö: S S ep{ µ W } (.8) Oloo τ > ahde havao ervall ällö perod τ loarmou uoo o: S ( τ ) µτ ( W W ) τ l S χ τ (.9) 5

18 oa o ormaal aauuu χ ( τ ) ( µτ τ ) ~ N. (Crae Lochoer & Syrve 5; Hull 5a 69-7) Weer-proea vodaa eää velä muuo oa uuaa Iô proe. Tää paramer a b ova : a : fuoa. Iô-proea eä odoeu uooae eä varaae ova rppuvaa aaa a muuuaa. Alebralle eeyä: ( ) d b( )dw d a (.) (Hull 5a 69) Oaeopo G ha o fuo aaa a ohde-euude haa a yleemm ä muuua oa ohde-euude ha rppuu. Ku oleeaa muuua oudaava yllä eeyä Iô-proea (.) vodaa Iô lemma el oleue muaa eää : a : fuo G oa oudaaa euraavaa proea. G G dg a b G d bdw (.) yllä olevaa dw o ama Weer-proe u yhälöä (.). S G oudaaa Iô proea euraavalla rederomella G G a b 6

19 eä varalla G b. Tää yöä e eeä Iô lemma odua mua aava e eää muu muaa Hull (5a). Iô lemmaa uuaa ralluudea myö Chae of Varable aava (CVF). Ku ovelleaa Iô lemmaa oaee hadyamaa uvaavaa yhälöö (.6) aadaa oaeopo ha euraava yhälö: G G dg µ S S G S S G d SdW S (.) Tällö eä oaee S eä oaeopo G haa vauaa ama epävarmuude lähde dw. Tämä ulo o erä eee muu muaa Blac & Schole-mall ohamea. (Hull 5a73-74; Seewald & Wälde 6 ) 3. Blac & Schole-mall 3. Uraauurava Blac & Schole-mall Myro Schole Fher Blac eä Rober Mero poeeryö opode hoelua ao Nobel palo arvoe vuoa 997 vaa uraauurava arel ula o vuoa 973. Blac & Schole-mall o oaeopode hoelua ouu uuo aemaa a ä äyeää laaal. Mall paramere emo o uheelle yeraa a lä mall o eoreee oe. (Hull 5a 8; Bae 995 8) 7

20 Blac & Schole-mall eua o e eä e peruuu pääo helpo havaav muuu eä edellyä eoa oae prefereeä melymyä eä oae uoo-odoua. Fher Blac & Myro Schole peruelva opode hoelumalla e eä o opo ova oe hoelua e marolla ole mahdolla aavuaa arbraauooa uuue yeee porfolode avulla. Syeee porfolo ova yhdelmä ourumeea oa mulova o oe ourume uooraeea. Näde arbraaehoe oalla oo-opo haa vauaa pove ohde-euuea oleva oaee ha aa mauree oroaa eä ohde-euude volalee. Neave oo-opo haa vauaa opo uouaaa ohde-euuea olevaa oaeea roava oo. (Blac & Schole ) (Mero 976a 5) Ku bommall o dree aa mall Blac & Schole-malla dree aayö upuu ääreömä pee a uloea dffuuoproe auvaaae auaulu Brow leä oudaava hoelumall. (Blae 3) 3. Blac & Schole-mall oleue haraa eä Mero väee Myro Schole a Fher Blac peruelva malla arbraaehdo oa aadaa eoeoa e eä rahoava uuua yeeä porfoloa oa muodouva oaee omame a lyhyemyy a römä laaoame a -aame yhdelmällä. Nällä arbraaehdolla aadaa opode haraa oa maraehouude vallea ova. Muullo ol mahdolla aavuaa arbraauooa oa paoava opo ha rymää aapaoaollee. Nämä arbraaehdo peruellaa alu per Mero eäme väede avulla. Blac & Schole-malla oleeaa rahoumarola uuua deaalea olouhea ode määreleme Blac & Schole äyvä eemää ehoa: ) oroaa o vao a e ueaa. ) Oaee haehy euraa auva-aae auaulu malla a uoo ova lo-ormaal aauuea. N ää vara 8

21 o vao. 3) Oaeea e roa ooa a mua euua opo uouaaa. 4) Opo o eurooppalayyppe mä meree ä eä e vodaa oeuaa va pääympäväää. 5) Marolla e ole raaouaua. 6) Mararume ova aeava ääreömä pe o a laaoo o mahdolla emmäeä ohdaa aroeulla oroaalla. 7) Lyhyemyyä e ole raoua eä ä odu uaua. Käyäöä arbraaehoe oeuume edellyää lä eä ulla ourumella äydää auppaa yhee haa. To aoe marolla oo- a myyaroue välllä e ole haeroa el preada eä aupaäy vaua fudamee perueella määräyyvää haaoo. Maraha reaova ue välömä arbraa Lä oleeaa ee vooa a aupaäyä veroea. Blac & Schole malla edellee eheyä mallea oo roame oaeea laee Mero väede muaa oaee haa oo määrällä oo roama euraavaa pävää. (Blac & Schole ; Dubofy 99 86) Ylee opohoelueoraa maroa uuaa äydell llo u marolla e ole aeöä a auva-aae aupaäy o mahdolla. Lä edellyeää ee arbraamahdolluua ey. Näde edellyye äyyeä marolla muodouva ha ova odella äydelle marode muaa marahoa. (Kalle & Taqqu 998 3) Mero väe I: muaa oo-opo ha yläraa o oaee maraha oa muua apauea oo-opo omaa vova aavuaa arbraauooa myymällä opo a oamalla opo ohde-euude. Väe II määrää oo-opo C maraha alaraa llo u ohde-euudea e roa ooa opo uouaaa. Tämälle e vodaa eää euraavaa muodoa: T [ S K( r ] C ma ) (3.) 9

22 oa S Oaee peha (Spo prce) K Opo oeuuha T Opo älellä oleva uouaa vuoa r Rö oroaa. Tää olla meree ä eä opo maraha e vo olla eave ollo yy arbraamahdolluu oaa oaea opo a äämällä e äyämää. Opo maraha o olava vähää ohde-euude maraha a opo oeuuha yyarvo erou. llä muua apauea lme ällee arbraamahdolluu oaa oaea opo myymällä oaee lyhye a oamalla oeuuha yyarvo verra römää ouoheeee oa mauree vaaa opo pääympävää. (Dubofy ) Mero aluperää väeä luovuaa oleuea ee ohde-euudea opo uouaaa roa ooa ällö oeaa äyöö väe III. Opo oaa e aa oaeea roava ooa e aa oo laeva oaee marahaa. Tää oleuea eurooppalae oo-opo apauea ue o e eä oo roaa ohde-euudea va erra opo uouaaa. Tällö oo-opo maraha alaraa vodaa eää euraava: T [ S D( r) K( r) ] C ma. (3.) Tää D o uur mahdolle odoeu oo a o oo roamhe. Opo maraha o olava vähää oaee maraha oo yyarvo a oeuuha yyarvo erou. Opo ha ollea ää alemp vo arbraaor ehdä vooa oamalla opo myymällä oaee eä oamalla a erllä oua römällä orolla. Toe oa vaaa uurmma mahdolle oo yyarvoa a oe oa vaaa oeuuha yyarvoa. (Dubofy )

23 Väe IV määrää ameralayyppe oo-opo ha alaraa laeea oa ohde-euudea vo rroa ooa. Ameralae opo apauea ha alaraa määräyyy hema momuaemm llä ämä opo vodaa oeuaa oa ahaa ee pääympäväää. S ameralae oo-opo maraha e vo oaa laea alle äe arvoa vaa ohde-euudea roa ooa. S K C ma S D S D ( r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r K r T r D r K r. (3.3) Tää o oleuea eä ohde-euudea roaa a appalea ooa opo uouaaa. D o emmäe a D oe oo. o oo D roame aaoha. Väee oe ohda odu o euraava: Jo oo-opo ha ol peemp u oaee ha a oeuuha hee yyarvo erou olva arbraavoo mahdolla oaa oaea opo a myydeä oaee lyhye amalla oaee ha verra römää ouoheeee a oeuaea opo uur ee oo roama. Tällö arbraaora ulee oaee omaa. Tämä omupoo ue umoaa aaemm ehy lyhyemyy. Kolmae a eläe ohda odu oudaaa uoravvae aempa uloa. (Dubofy ) Väee V muaa ama ohde-euude a oeuuha omaava eurooppalae pdemmä uouaa opo o aa arvoaamp u lyhye uouaa opo ä apauea ee oaeea roa ooa opode uouaaa. Tämä ohuu ä eä pdemmä uouaa opo uoomahdolluu o uuremp. Väee VI muaa oo-opo oa oeuuha o alhaemp o vähää yhä arvoa u opo oa oeuuha o oreamp llo u ämä opo muue ova deä. Väe VII määrelee ee ahde eurooppalae er oeuuha oo-opo haero vo olla uuremp u oeuuhoe eroue yyarvo. Tämä vodaa lmaa ämällemm: C ( K ) C( K) ( K K )( r) T (3.4)

24 Tää oeuuha K < K. (Dubofy 99-5) 3.3 Mall formulo a ohame Reuraal Blac & Schole mall ulo peruuu eomeree Brow leeee oa ohdeaa auva-aaea Capal Ae Prc malla. Blac & Schole perumall ohamea äye euraava oleua: ) Oaeea e roa ooa opo uouaaa ) Opo vodaa äyää va pääympäväää. T. opo o eurooppalayyppe 3) Rö oro älyy vaoa opo uouaa 4) Oaee haa uvaava odeäöyyaauma o lo-ormaale 5) Rahoumara omva äydelle (Bae 995 6) Eeää e Blac & Schole-mall aualla vauava dffereaalyhälö ollo e o helpomm verraava muh ää yöä eeäv malleh. Oleeaa ohde-euude ha oudaava luvua a vulla 5 eeyä yleeyä Weer-proea (.6) a ohdaae ha oudaava vulla 7 eeyä Iô lemmaa (.). Eeää yhälö y dreeä muodoa: S µ S S W (3.5) G G G µ S S G S S G S W S (3.6) oa S Oaee hamuuo lyhyellä aavälllä G Opo hamuuo lyhyellä aavälllä µ Tred-erm

25 Volalee W Weer-proe. Oleeaa porfolo oa oouu yhdeä lyhye myydyä opoa a G S määrää ohde-euuea olevaa oaea ää määrää uuaa opo dela el uoauuhee. Merää ämä porfolo arvoa Π. Koa eä yhälöä (3.5) eä (3.6) vauaa ama Weer-proe elmouu e porfolo arvoa uvaavaa yhälöä oa määrelmä muaa o G Π G S (3.7) S Porfolo arvo muuo Π aayöä o ällö G Π G S. (3.8) S Soeaa yhälöö (3.8) yhälö (3.5) a (3.6) ollo aadaa G Π G S S (3.9) Koa yhälöä e ole Weer-proea el auauua o yhälö olava rö aayöä. Tällö porfolo uoo ylee rahoueora muaa o olava yhä u römä oroaa r muae uoo. Muua apauea lme arbraa mahdolluu. Römyydeä euraa: Π rπ. (3.) Ku oeaa yhälö (3.7) a (3.9) yhälöö (3.) aadaa edellee: G G G S rg S S S 3

26 ollo G G G rs S rg (3.) S S Tämä o Blac & Schole yö yd. Tällä dffereaalyhälöllä o uea raaua oa rppuva reuaehdoa oa ova aemm eey Mero väee. Fuo ( S ) G oa oeuaa dffereaalyhälö (3.) o myö yeeä oleva opo eoreee ha. O ue huomaava eä porfolo o rö va ääreömä lyhye aa llä oaee ha a aa muuuea myö opo dela muuuu. Pdeäeä porfolo römää o porfolo opo a oaee uhdea muueava auva. (Hull 5a 9-9) Käyämällä reuaehoa vulla 9 olevaa Mero väeä (3.) a reuraal maalma odouarvo oaaoa merää Ê aadaa uloea oo opo C ha. Koroaa ( r) T vodaa orvaa auva-aaella oroaalla e rt. S T o oaee ha opo uouaa pääyeä. Tällö uloea aadaa [ ma( S K) ] rt C e Eˆ. (3.) T (Hull 5a 8-3) Eeää Blac & Schole-mall myö hema uvemm. Tämä yö raaue puea e eeä myyopo ha ohame aualla valleva väeä vaa yydyää aoaaa eämää myyopo hoeluaava. Blac & Schole-mall oudaaa euraavaa aavaa llo u yymy o eurooppalayyppeä ooopoa oa e roa ooa opo uouaaa. rt C S N d ) Ke N( ) (3.3) ( d Vaaava myyopo ha aa aadaa euraava: 4

27 P Ke rt N( d ) SN( d) (3.4) oa: d rt l( S / K) rt l( S / Ke ) T T T T d d T eä C oo-opo ha P myyopo ha S ohde-euude peha K oeuuha r rö oroaa volalee T aa pääympävää vuoa N( ) d Sadardodu ormaalaauma erymäfuo arvo d :lle. (Blae 33; Hull 5a 95.) Fuo N() o umulave adardodu ormaalaauma erymäfuo a S o ohde-euude ha heellä olla. Koroaa r o meomaa auvaaae rö oroaa. Yhälö (3.3) vodaa roaa myö euraavaa muodoa: rt [ S N d ) e KN( )] rt C e. (3.5) ( d Nä yhälö vaaa aemm eeyä yhälöä (3.) a o helpomm ulava. Ku oaee ha o lo-ormaal aauuu o N d ) odeäöyy lle eä opo oeueaa a ällö KN d ) o oeuuha eraa odeäöyy lle eä ( ( oeuuha maeaa. S ) rt N( d e o odouarvo oa o yhä u ohde-euude 5

28 ha S T opo pääympävää o S T > K a muua apauea olla. Term e rt o auva-aae doauerm. Tää o huomaava eä Blac & Schole oleaa reuraaluude. (Hull 5a ) Yhälöä (3.) eyvä ylee apaue opo dela oo-opo apauea G vodaa orvaa N ( d ) :llä. Yhälöä (3.) o opo hea Θ el opo ha uhde uouaaa. Se vodaa orvaa oo-opo ollea yeeä euraava: C S C S N ( d ) T rke rt N ( d ) oa N / ( ) e π G o opo amma Γ el opo dela uhde ohde-euude hamuuoee. a S e vodaa eää euraava: ( d ) G N S S T (Dubofy 99 96; Blae 39; Hull 5a 353) Blac & Schole arbraaehoe muaa porfolo arvo oa oouu oaeea S a myyopoa P o olava ama u porfolo oa oouu oo-opoa a opo oeuuha yyarvoa ä apauea u eä oo-opo eä myyopo oeuuha o ama. Tämä vodaa eää formaalmm: P rt S C Ke (3.6) 6

29 oa vodaa äreää uudellee: S C Ke rt P. (3.7) Tämä ueaa uuua oomyypareea (pu-call pary) oa avulla vodaa ohaa eurooppalayyppe myyopo ha oo-opo haa hyvääyämällä. (Hull 5a 4-5) Blac & Schole-mall perumuodoaa päee eurooppalayypp oo-opoh ode ohde-euudea e roa ooa. Muu muaa EUREX marode oaeopo ova ue ameralayyppä. Malla vodaa ue ovelaa myö ameralayyl opoh llo u ä e oeuea ee oeuupävämääräää. Ooa aavlle ohde-euulle o olemaa oma varaaoa Blac & Schole-malla. 3.4 Blac & Schole-mall r Blac & Schole-mall r eeä eemoa ova ollee opode oheea oleve oaede odoeue päväuooe aauma lepouroee eä opomarolla empre havau volalee hymy mä meree oaede ohdalla uurempaa mplä volaleea lle opolle ode oeuuha o oreamp pdeäeä mauree vaoa. Nämä lmö ova Blac & Schole-mall oaede päväuooe ormaalaauueuude oleua vaaa. Jaauma lepouroee meree ä eä aaumalla o ormaalaaumaa verraaea oreamp huppu eä pdemmä hää. Lä ää aaumaa o havau epäymmeryyä a voua vaemmalle. Oaee ha odeäöyyaauma lo-ormaaluu edellyää aha ehoa. Emmäe oaee volalee o olava vao a oe oaee ha o muuuava pehmeä lma hyppyä. Nämä edellyye evä äyäöä oeudu. (Kou 86; Hull 5a 379). 7

30 Empre o myö havau eä aeulla maureella Blac & Schole-mall mple volalee o oreamp muella olevlle myyopolle u yhä palo muella olevlle oo-opolle. Tämä lmö vaa volalee hymyy. Ilmö yemaauu aaa veä ä eä yeeä o meomaa mall eoreee puueelluu. (Hua & Wu 3 3-4; Sudarea 575) Odoeu uooaauma pähääyyä elää empreä opohoeluralluudea havau lmö: Vuode 987 pörromahdue älee opode hoa emodu uooäyrä poeava ee pörromahdua emodua uooäyrä a ämä lmeee meomaa aauma pähääyyeä vaemmalle. Tämä aaa veä ä eä opode hoh o mple ällyey olleve pörromahdue mahdolluu. Tämä lmö orouu opoa ode oeuuha o lähellä ohde euude pehaa. Toea mahdollea elyeä o arou eoraa ä eä yrye oaee arvo laea vela ouu e ooaarvoa avaa ollo yrye r aoaa oleva uuremp. Ylee edeää myö eä oaee hadyamaa o hyppyä eä pä aaväl rppuvuuuhea oa ää ova Blac & Schole oleua vaaa. (Carca 3 ; Hull 5a 38; Klüppelber Lder & Maller 4b 393) Empre Blac & Schole-mall epäouu ee llo u oaeopo o vomaaa plu- a muopo a aa mauree o lyhy. Vrhee o odeu oleva opa v proea. Taaopolla el opolla ode oeuuha ol ama u ohde-euude peha hava o 98-luvu alu emprä umua Blac & Schole-mall yemaae hoeleva väär oo-opoa. Luuu oamaa euraavaa pävää erääyvä aaopoa hoeluvrhe e ueaa ole erye merävä. Vrhee mery orouu aaopoa ode pääympävä o lähellä. Tämä o oelmalla llä ällä opolla äydää erye vlaa auppaa. (Bae ; Klüppelber Lder & Maller 4b 393; Bhaacharya 98 89) Vahva empre evde vaa ä olle Blac & Schole-mall muae oaede uooaauma poeava odella havaua uooaauma a ä 8

31 olle aheuava yemaae hoeluvrheä. Ilmöde yemaauu aaa veä ä eä yeeä o mall eoreee puueelluu a vrheelle pefo. Edellä maue yde lä Blac & Schole-mall epäouma elävä epäreale oleu vaoa oroaaa poeava formaao aheuama haho eä laaa hyväyy oleu volalee muuumea aaa eä e aoaea lueroumea. Lä o havau eä oaede ohdalla uleva uooaauma vodaa oa määr euaa. Oaede hadyamaa o odeu uuluva hahyppyä. Nämä ea ova ohaee he eä Blac & Schole-mall eely älee o ollu arvea ehellä uua empre opvampa mallea. (Ja 35-36; Sudarea 575) Soae volalee mall eä hyppyr huomova opode hoelumall palaava opode haa mple älyvä reä oa Blac & Scholemalla e peruoleue vuo e oea huomoo. Tämä ohaa he ee Blac & Schole meodoloaa aaaa eyä laea voda äyää. (Bae 998 ) 4. Hyppydffuuo CEV-mall a luuva earvo volaleemall Tämä appalee alua eeää hyppydffuuomallea olla vodaa mallaa oaee hadyama epäauvuuoha. Vara vaoouomall (CEV) eellää lyhye a luvu lopua eeää luuva earvo mallua a edeää ää uheea oh auva-aaa mallua. Mero (976) ol emmäe oa pyr elämää vomaaa plualla a muella oleve eä lyhye mauree opode poeama Blac & Schole vehoa äyämällä hyppydffuuomalla (Jump dffuo). Normaal Brow lee muaa ohde-euude haehy o auva. Hyppydffuuoproeea ohde-euude haehyeä vodaa aoa älyvä epäauvuuoha. Erää 9

32 mallea emer Brow leä oudaava dffuuo ompoe pyr elämää pee a heää eyvä marahoe muuoe. Tämä lä vaapa Poo proea oudaava epäääölle dree hyppyompoe aa pää ällää uure a poeuelle hamuuoe. Kuvaa 4. havaolleaa hyppyompoe älävää Weer-proea. Joa mallea myö volaleea malleaea äyeää hyppyompoea. Peree dffuuomall evä yee mallamaa pörromahdua a de mahdolluua. Myö ää uheea hyppydffuuomall ova erveullu lä opohoelueoraa. Mero lä hyppydffuuomalle merävä uoa ova ollee Heo (993) Bae (996) Eraer Johae a Polo () eä Duffe Pa a Sleo (). (Eraer ; Hua & Wu 3 5; Bae 995 5; D & Pdyc ) Kuva 4. Weer-proe oa hyppyompoe 3

33 4. Epäauvuu ohde-euude haa 4.. Mero hyppydffuuo Koa mpleä volaleea emou hymy ao veä ä ee Blac & Schole-mall yey elämää rävä hyv aualla vauavaa hadyamaa lme arvea mall ehämelle. Nä olle o hyv pa Blac & Schole-mall eely älee Rober Mero muoa Blac & Schole hoelumalla e eä e p ällää Poo-hyppyompoe oa arouea o appromoda oaee auaa uurempa ha helahdua. Mero muaa ormaal formaao aapume vauu malleaa Brow leeä a epäormaal formaao poo-proea. Epävarmuude läheä o olme. Emmäe a oe eeää Brow leeä { W ( ) : [ τ ]} eeää rppumaomaa Poo-proea { ( ) : [ τ ]}. Kolma N vaolla eeellä λ eä auaella hypy vomauudella Y. Kralluudea hyppye emäärää lmeemaea uuaa hema harhaaohava eee. (Crae Lochoer & Syrve 6; Nava 3; D & Pdyc ) Oaee hadyamaa älyy Brow lee lä e-loaalea hahyppyä oa ue ova euraua yrye ulaema edoea. Mero muaa ormaala formaaoa o muu muaa ooaaloudelle formaao eä muu formaao oa aheuaa va maraala hamuuoa. Tämä lä Brow lee muaa malleaa hamuuoe oa aheuuva oaee yyä a aroa epäaapaoa a apalaao aeea. Poo proe muaa malleava hamuuoa ova epäormaal formaao aheuama hahypy oa aheuuva oa oaea oevaa edoa oa havauu o merävä. Tällaa eoa o vaapa yryä eää a e omalaa oeva eo. (Mero 976a 9-3) 3

34 Mero oleue muaa äreä formaao ulee ul dree aaa. Iformaaoa ulaaa aoa ueamm a ää aaaa euraa hlaempa aaaoa. Nämä aaao ova ue auaa. Epäormaal määrellää formaao oa aheuaa maraala havahelua vomaaampa hamuuoa a vaa e yleeä lyvä yryee eeä a e eolluude alaa vo ou ue myö ooaaloudelle formaao olla epäormaala. (Mero 976b ) Poo proe muaa epäormaal oaea oeva formaao aapuu rppumaoma a dee aauueea. Oaee ha S () dyamaa uvaa euraava oae dffereaalyhälö: () ( ) ds S ( λκ ) d dz( ) dq( ) α (4.) oa α Heelle odoeu uoo oaeelle oaee pevara ehdolla ee uua formaaoa ulaa λ Kemääräe hyppye määrä aayöä κ E{ Y () } o S () : odoeu hyppy Y () Sauae oaee haa uheueu hypy oo dz() Sadard Gau-Weer-proe. q() Poo proe Aa merää meree aaempaa havaoa. ( ) dq a dz () oleeaa rppumaom. (Mero 976b 334; Mero 976a 3-3; Nava 4) Jo λ o myö Poo ompoe dq olla a oaee uoodyama o ällö dee Blac & Schole eye aa. Kyeäee ohamaa aava opo halle Mero ole eä hyppyompoe eduaa aea oaee epäyemaaa a haaueava olevaa rä. Tällö auva Brow le a 3

35 Weer-proe eduaa aea yemaaa rä eä rä oa e ole haaueava. (Mero 976a 3; Mero 976b 334) Koa Weer-proe aheuama vahelu opo uooa vodaa reploda dyaam uoau porfoloraeo ode aoa oae havahelu aheuuu hyppyompoea o ällö opo odoeu uoo olava yhä u rö oroaa Ku oleeaa hyppye oleva ormaal aauuea ohaa Mero opo F ha: F ( S τ ) ( λτ ) λκτ [ ε{ W ( SX e τ; K r) }] λτ e (4.)! oa S Oaee ha τ Aa pääympävää K Toeuuha r Rö oroaa ε X aauma odouarvo-operaaor Φ Kumulave ormaalaauma fuo X o auamuuua oa o aauuu ue appalee rppumaoma a dee aauuede auamuuue umma oa oae o aauuu ue auamuuua Y. Lä oleeaa eä X. W o avaomae Blac & Schole hoelumall: W ( S ; K r) S ( d ) Ke r τ Φ Φ( d ) τ (4.3) oa 33

36 [ lo( S / K ) ( r ) τ ] d τ d d τ Tää oaee uoo e ole ormaalaauuu vaa e aaumalla o ollaa poeava vou lä ä eyy lepouruua oa o yhdemuae empre havaoe aa. Koa mall älyy hyppyompoe o paremma empre opvuude uauea e ee malla eää voda ohaa Blac & Schole-mall mua arbraaeo llä opo uooraeea e vo eää muloda uuue yeee porfolode avulla. Jo oaee hadyamaa älyy hyppyä o opo ha epäleaare fuo oaee haa u aa porfolo muodoame o leaare operaao. Vaa opo haa vauava Poo ompoe o rppuva muuua oaee ha Poo ompoea evä ämä ueaa ole leaare rppuvaa (Mero 976b ; Mero 976a 35-36; Nava 4) 4.. Iformaao epäymmere havauu Rameza a Ze (999) ehvä Mero mall oaee ha dyamaa edellee e eä oaee hamall pää ällää red-ompoe Weerproe eä a hyppyproea oa eduava pova a eava formaaoa oa aheuava hyppyä oaee haa. Rameza a Ze oleava eä hyvä a huoo uue vauava er eeellä a e ova poo proeea pareo- a bea-aauueea ollo oaee hadyamaa malleaa aymmere. Suur ero Mero mall o e eä Rameza a Ze malla oaee ha reao er avo hyv a huooh uu. Lä hyvä a huoo uue aaava lyä laaemp eoom yleh ollo de freve e ole yhäuur. (Rameza & Ze 998-3) Koa oae o raoeu vauu oumu eave hypy havauu o raaava mu aaa proe. N ää hyve uue hyppyvauu o olava 34

37 pove. Tämä vuo hyve uue havauu o pareo-aauuu a huooe uue havauu bea-aauuu. (Rameza & Ze 998 5) Meleoella avalla oaee hadyamaa mallaa myö Kou () oa eää mall myö oaeopo hoeluu. Mall muuaa edellä eeyä Rameza a Ze malla llä myö Kou mall oaee hadyamaa uvaava odeäöyyaauma o aymmere. Kou uuu mallaa aoepoehyppydffuuomall. Nmeä muae oaee hadyamaa malleaa aoepoeaauma muaa oa uuaa myö Laplace aauma. Kou ev mall ehämee ol aalyye raaue puue ehyemmä opohoelumallea. Seuraavaa uvaaa oaee ha S () dyamaa heellä : () ( ) ds S () N µ d dw () d ( V ) (4.4) oa W () o adard Brow le. ( ) N o Poo-proe aea λ el hyppye emääräellä luumäärällä aayöä. µ a ova oaee ha odoeu uooae eä volalee. { V } o rppumaome dee aauuede e-eave auamuuue eve e eä hyppye vomauu Y lo( V ) o aoepoeaale aauuu heyfuolla: f Y η y η y ( y) p e { y } q ηe { y< } η η η (4.5) > > oa p q p q eduava odeäöyyä povlle a eavlle hypylle. Paramer η a η ova oaee haa uheueu odoeu hyppye oo eä pove havauue eä eave havauue hypylle. Theyfuo vodaa lmaa o 35

38 lo ( V ) d ξ Y ξ odeäöyydellä _ p (4.6) odeäöyydellä _ q oa ξ a ξ ova epoeaala auamuuua earvolla / η eä / η. Merä d aroaa aauuma yhdemuae. Malla oleeaa ae auauude oleva rppumaoa a red µ eä volalee vaoa. Brow lee eä hyppye oleeaa oleva yuloea. Ku raaaa oae dffereaalyhälö (4.4) aadaa uloe oaee hadyamaa uvaava yhälö: S () S( ) ep W () ( ) N µ V. (4.7) Tää o huomoava eä: E ( Y ) p q η η p q Var ( Y ) pq η η η η Y ( ) E( e ) E V η q η η p (4.8) η oa η > η. > Raou η meree ä eä E ( V ) < a E ( S( ) ) < >. Tämä ohaa myö he eä pove hypy havauu e vo ylää aaa proea mä Kou oleaa oleva peruelu oleama. 36

39 Kaoepoeaauma mualla uoolla o lepouruude lä uuu uohavauuomauu (Memoryle propery) mä mahdollaa uleu raau myö mulle u eurooppalayypplle opolle. Emprä umua o havau eä mara ova apuvaa oo ylreaomaa a alreaomaa uuee formaaoo olla pyrää elämää oaee odoeu uoo aauma pähääyyä. Kaoepoeaaumalla o ormaalaaumaa oreamp huppu a paumma hää. Tämä vuo aoepoeaaumalla vodaa mallaa eä yl- eä alreaoa. aoepoe hyppydffuuomall vodaa ula yrye mallaa oaee hadyamaa e eä marode eme pyrää yhdämää pereee auaävelyy ehoade marode veehyeä. (Kou 87-89) Kou peruaa opode hoelumalla raoaale odoue eoraa oa opo ha o vaaava e doaua odoeua uooa. Taapaoha ohame vuueaa ue ää yheydeä a yydyää eämää va aava opo halle. Eeää euraava määrelmä: Υ ( λ p η η ; a T ): P{ Z( T ) a} µ (4.9) oa Z() W () () N Y µ a Y :llä o aoepoe aauma heyfuolla y yη fy ( y) ~ p η e { y } q ηe { y< }. N ( ) o Poo proe aeella λ eä reaalluu a [ ).T o opo pääymaaoha. Oo-opo hoeluaava vodaa eää Υ: erme oa vodaa ohaa uleua muodoa uuue Hh fuode ummaa. Hh fuo o paremm fyaa ueu a e määrellää euraava u : ( ) Hh ( y) dy ( ) Hh e d!... (4.) Oo-opo ψ c ha aadaa euraavalla aavalla: 37

40 ψ ( ) S( ) Υ r λζ λ ~ p ~ η ~ η ;lo( K / S( ) ) T c ~ rt Ke Υ r λζ λ p η η;lo( K / S( ) ) T (4.) oa p ζ ~ p ~ η ~ η η η η η ~ λ λ( ζ ) pη ζ η qη η Hoelumall muuaa ova Blac & Schole malla e eä ormaalaauma heyfuo Φ o orvau Υ:llä. Myyopo ha aadaa oomyypareella oa yläde * meree mall ohamea äyeyä reuraaluua: ψ p e ( ) ( ) e rt * E ( K S( T )) ( S( T ) K ) rt E * rt ( K S( T )) Ke S( ). (4.) (Kou 94-95; Kou 999 3) 38

41 39 Yhälöä (4.) eyvä a (4.9) määrely fuo Υ vodaa raaa euraava: ( ) { } ( ) ( ) T T T a I T P T e a T Z P T ; η η µ η π π η ( ) ( ) T T T a I T Q T e T ; η η µ η π π η T T a µ φ π (4.3) oa ( ) ( ) ( )! : T e T N P T λ π λ ( ) ( ) c d Hh e c I δ β δ β α α : ; oa β α c ova melvalaa vaoa. δ o aapaoha ohamea äyey oaa aluvaralluua uvaava proe oa ulaa oo. Pove a eave hyppye odeäöyyde Q P yhälöä (4.3) ova euraava d Q P Y... odeäöyydellä... odeäöyydellä ξ ξ (4.4)

42 4 oa Q P ova aeu q p P η η η η η η (4.5) q p Q η η η η η η (4.6) (Kou ) Ilma hyppyompoea mall vodaa ula lae Brow lee mall. Kou mall muodoaa oaee uoaoaaumalle vomaaa vo a lepoure aauma oa vaaa empre havauh uooaauma ee omauu Blac & Schole malla paremm. Mall o lä aavuau laaa hyväyää eeealaa eällä. Kou mall vauaa melo momuaela. Malllla o ue aalyye uleu muodo raau a e o helpo raaava maemaalla ohelmolla. Kou eaua mall raaeme e uluau ovaa palo proeoraaa. Tämä ea o oleelle äyäö arpea lmällä päe. O ue huomaava eä mall ohaa he ee Blac & Schole-mall muaa römä porfoloa voda muodoaa. Malllla e myöää pyyä uvaamaa volalee luerouma. (Kou ) 4. Muu hyppydffuuo a CEV-mall 4.. Aff hyppydffuuo a oae volalee hyppydffuuo Aff hyppydffuuo (Affe Jump-Dffuo) vodaa määrellä area hyppydffuuomall oa redveorlla heellellä ovaramarlla eä

43 hypy eeellä o alla aff rppuvuu laveora (o aoe aha laveora yhdävä leaare rppuvuu). Pääaaa affea hyppydffuuomallea äyeää hoelaea opoa valuualle ouovelarolle a omalle pääomalle mua myö oaeopolle vodaa ohaa oma hoeluaava (Duffe Pa & Sleo ) Affe hyppydffuuomalle umuea merävä eapp ol Seve Heo (993) oae volalee hyppydffuuomall. Työää hä la oo-opode oeuame odeäöyyä uleua muodoa. Heo umu ol aoa Taylor (986) yölle. Heo malla aadaa aalyye opode hoelumall. Heo mall o myö uleu muodo mall oa volalee orrelo peha aa eä ole Blac & Schole muae ormaalaauuu. Mall raauea peruuu araer fuoh. (Garca Ghyel & Reaul 3 ; Heo ) Affe dffuuomalle uvaavmpa omauua o redfuo a volaleefuo leaaruu. Uemma mua hoelumallea ämä fuo ova loarmea muodoa. (Cherov Galla Ghyel & Tauche 5; Duffe Pa & Sleo 346) Affe hyppydffuuode oelmaa o ue e ee aa mall edellyämä lamuuua voda äyäöä havaa. Lä empre o havau eä affe malle ehouu o alhae eueaea uleva uooa. Bae (997) hava eä affe malle yy elää volalee hymy muuoa ol puueelle. (Sleo 35; Sudarea 585; Duffe Pa & Sleo 348) Soae volalee hyppydffuuomall mall (SVJD) umue poeerea olva muu muaa Hull a Whe (987) Melo a Turbull (99) eä W (987). Tää oae volalee läää hyppydffuo mall. Tää yöä oae volalee mallea äellää aremm appaleea 5. (Crae Lochoer & Syrve 8) 4

44 4.. Vara vaoouo-mall (CEV) CEV mall (Coa elacy of varace) o Blac & Schole mall muae reuraal dffuuoproe. Tää ue volalee reao oaee hamuuoee. CEV mall muaa oaee S haehy oudaaa euraavaa proea: α ( r q) Sd S dz ds (4.7) oa r o rö oroaa q o oouoo dz Weer-proe eä volaleea uvaava paramer. Pove vao α uvaa volalee heryyä oaee ha muuoee. Sllo u α < volalee avaa oaee ha laea. Ku α > volalee avaa oaee ha ouea. Nämä peruellaa llä eä oaede haehy o ue redomaa. Oaee ha laea velä alemma ha ova eä odeäöempä. Eryapaue muodoaa α ollo CEV mall o aaloe Brow lee aa. Ku α > muodouu oaee ha odeäöyyaaumaa pä oea hää a ormaalaaumaa lyhyemp vae hää. Tämä vaaa volalee hymyä ä apauea oa mple volalee o oeuuha avava fuo. CEV mall muaa oo-opo C a myyopo P hoellaa euraava u < α <: rt [ χ ( a b c) ] Ke ( c b a) qt [ ( c b a) ] S e χ ( a b c) qt C S e (4.8) P Ke χ rt χ (4.9) u α > ällö: rt [ ( c b a) ] Ke χ ( a b c) qt [ ( a b c) ] S e χ ( c b a) qt C Se χ (4.) P Ke rt χ (4.) 4

45 oa a ( rq) T [ Ke ] ( α ) b α S ( α ) v ( α ) c ( α ) v eä v ( r q)( α ) ( rq)( α ) T [ e ]. K o oeuuha a T aa pääympävää. Yhälöä (4.8)-(4.) ( z v) χ o umulave epäeee h oee odeäöyyaauma lle eä muuua o peemp u z muu paramer 5a ) v ova epäeeyy a vapauaee. (Hull Edellä mau aauma umulave arvo vodaa laea D (99) a Pre (988) muaa. (Hull 5b) CEV malla volalee rppuu deerme aaa ohde-euude haa. Empre havaoe muaa ällä o odelluuperuaa muu muaa laea oa oaede marahoe olleve ouu ohaa volalee avamee epävarmuude lääyeä. 43

46 4.3 Luuva earvo mall 4.3. Epoeaale paoeu luuva earvo mall Blac & Schole-mall e yee mallamaa aaa muuuvaa a oaa volaleea. Volalee omauu uuluu eä e aaaa oua hyv opea orealle aolle mua e vameeme o palo haampaa. Lä empre volaleea o havau luerouma. Näde lmöde mallamee vodaa äyää luuva earvo MA-mallea (Mov Averae) (Todorov 4 9 9) Kralluudea volalee vameeme haua uuaa ue volalee mu-lmö. Ideopolla ämä mu-lmö o odeu vauava pmmllää opa a vuoa. Ilmö o havaava oeuuede volaleee auoorrelaaoa. Mu lmö aeaa pä a lyhye aa mu-lmöö. Mulmö aualla aoaa oleva eä maroaloudelle formaao aapume eä muu emer yryohae formaao aapume lueroume oa aaaa aheuaa myö volalee luerouma. (Taylor ) EWMAa (Epoeally Wehed Mov Averae) el epoeaale paoeua luva earvo malla e me muae paoeaa vmempä havaoa e eä paou väheee epoeaale u rryää aaa aaepä. EWMA muae volalee aadaa euraavalla aavalla: ( λ) u λ (4.) oa λ o vao välllä a oa uvaa ää yheydeä paoue väheyme aea. Muuua u o vme päväe proeuaale hamuuo. Edelle yhälö vodaa eää myö hema oella avalla. 44

47 m m λ u λ m ( λ) (4.3) Edellä m uvaa vmee muaa lueave havaoe määrää. EWMA vodaa ula luvua 5. eey GARCH mall oa γ o olla α λ eä β λ. EWMA o ä meleä meleoe läheymapa eä ä äyeäeä edoeruuarve o vähäemp u molla mulla mallella. (Hull 5a ) 4.3. Jauva-aae auorereve luuva earvo mall Empre havaoe muaa oaemarode volalee äyää euraava ahde faor malla oa emmäe o haa ehyvä a oe opea earvoo palauuva ompoe. Lä volaleea o havaava edellä mau pä aa mu lmö. Nää malluoelma vodaa raaa äyämällä ARMA (Auorereve Mov Averae) proeea a ämä auvaaaa varaaoa oa ueaa oo auva-aaea ARMA malla a CARMA (Couou-me ARMA) malla. (Tauche 5 4; Taylor ) CARMA proea vodaa mallaa ymelää e-eavea Lévy-proea { W () } ollo aavueaa rävä pähääe aauma eä laaa pr auoovarafuoa. Lévy proe ova oaa proeea a emer Weer-proee yläluoa. Lévy proee aremp määrely o vulla 7 Eye momuauude vuo ää yöä yydyää eämää Gau äyrä muae CARMA(p)-proe. Kuvaa (4.4) havaolleaa CARMA-mall muaa volaleea e eä almpaa o ohde euude haehy a emmäeä epäormaal formaao aheuama hahypy. Ylmpää hahmoeaa volalee aeaa opeuuma aa aapaoaollee lapäe volalee muuoe älee. (Brocwell & Marquard 5 477; Brocwell 3) 45

48 Kuva 4.4 Emer CARMA-proea. (Todorov 4 44) Nolla earvoe CARMA(pq)-proe Y ( ) määrellää aoaare p- eraluvu raau leaarelle dffereaalyhälölle ( D) Y ( ) b( D) DW ( ) a (4.4) oa q < p a erome a... a p b... bq ova vaoa a D meree dfferoa uheea :he el aaa. Lévy proe { ( ) } Brow le oa muuua z oudaaa. W o ää adardou p p ( z) : z a z... a p a (4.5) ( z p ) b b z... b z p b : 46

49 eä vao b oeuava b q a b u q p <. Koa dervaaoa D W ( ) e ormaal ula oleva olemaa ulaa yhälö (4.4) vaaava havaoyhälöä (Obervao equao) (4.6) eä layhälöä (Sae equao) (4.7): () b X () Y (4.6) () AX () d edw () dx (4.7) oa: A M a p L L M M O L a a L M a p p e M b b b M bp bp lä oleeaa eä X ( ) o ormaalaauuu auaveor e eä X ( ) o rppumao { () } W :ä. (4.8) Tlayhälö (4.7) o Io: dffereaalyhälö (ao vu 6) ( ) määrely be a. Koa (4.7) o leaare e raau o: X :lle. Jo p o A X A A( u ) () e X ( ) e edw ( u) Proe { ( u) u }. (4.9) X oeuaa relaao A( ) A( u ) () e X () e edw ( u) X alle > (4.3) ollo { ( u) } X o Marov proe (Kao vu ). Yhälöllä (4.8) a (4.3) o heo aoaare raau o a va o A : omaarvolla λ...λ p o alla eave reaaloa el: 47

50 ( ) < p R λ.... (4.3) Jo { X () } o ällae raau o ällö myö: ( X ( )) E a (4.3) E ( ( ) ( )) Ay X X Σ : e ee e A y dy. (4.33) Samo o (4.8) eä (4.3)-(4.33) oeuuva o (4.9):a määrely proe { X ( ) } heo aoaare a oeuaa relaao E E [ X () ] a Ah [ X ( h) X ( )] e Σ h. Tällö aadaa earvo a CARMA(pq) proe auoovarafuo γ havaoyhälöä (4.6): [ Y () ] E eä (4.34) Y A h ( h) E[ Y ( h) Y ( ) ] b e Σb γ. Jo lä auorereve polyom (4.5) olla ova a erllä aa { Y () }: auoovarafuo euraava muodo: γ Y ( ) ( ) λ h b( λ)( b λ) ( λ) a( λ) e h. (4.35) λ: a λ a Jo X ( ) oeuaa (4.8): (4.3): a (4.33): eä o lä ormaalaauuu ällö () { X } a { ( ) } Y ova ormaalaauuea eä ado aoaara. (Brocwell & Dav ; Brocwell 3-5) 48

51 Opo ha ohame äyäe CARMA-mall volaleea vuueaa ää yheydeä. CARMA mall muodoava ue äärmmäe meleoe ava mallaa hoelu aualla vallevaa volaleea. CARMA mall ova hyödyllä a äyöelpoa proeea epäleaarea aaaroe malluea a ä o poeaala opohoelueora lähulevauudea. 5. Soae volalee mall 98 luvulla hava arvopaperede volalee redomae luerouva el eyvä ryppää. Arvopaper orea volalee peroda euraa maala volalee perod. Tämä meree ä eä volalee o heeroedae. Kappalee lopua uva (5.) eä homoedaea eä heeroedaea muuuaa. Suoumpa volalee heeroedauude elämee pyrvä mallea ova ARCH-yyppe (Auorereve Codoally Heeroedac) mall. Ue orea oaede haao leää myö oreaa volalee a vaaava maala haao maalaa volalee. To aoe volalee o fuo oaee haa. Tämä ohaa he eä oaee ha aauma o pove vomp u vao volalee muaea lo-ormaala aaumaa. (Blae 678; Hull 5a 567) 49

52 Kuva 5. Yllä homoedae a a alla heeroedae muuua. (Blae 68) Bollerlev (986) eh ARCH-malla GARCH-mall (Geeralzed ARCH) oa älää ehdolle vara vväeyä arvoa. GARCH-mall avulla pääää ARCH-mallea yeraempaa aalyy elyyvy ä ärmää. Bollerlev 5

53 oo GARCH malle äyöelpouude uea aloudella aaaraaalyyeä. (Blae 68) ARCH a GARCH mall oava huomoo oaee volalee vahelu aaa. Bollerlev lä ää mallea uva mm. Ele Kae a Noh (993). Aaaraumuaa he havava eä erye lyhye mauree oaeopode ha aaava vääryä ohde-euude volalee vahdellea aaa. (Bae 995 3) 99-luvu alua äreää yöä GARCH malle para e Nelo (98999 eä 99) oa u GARCH- a dffuuoproee yheyä. Häe eempä ovalluaa ol eä GARCH mall vodaa ula dffuuoproe appromaao llo u volalee o oae. Nä GARCH-mallea vodaa ovelaa auva-aaee malluee. Nelo oo eä moe GARCH malle aauma o yhdemuae dffuuoproee aa. (Sudarea 598) Mua oae volalee mallea ova muu muaa EGARCH-mall (Epoeal GARCH) olla vodaa mallaa volalee epäymmeryyä pove a eave hoe vauua volalee. Tää malla eh muu muaa Nelo (99). Lä ueaa myö yeraempa ovellua ue DGARCH (Dummy GARCH) oa o alu per ehäy Gloe a umppa (993). (Blae 68) Tämä yö puea pyrää araeluäöulma pämää auva-aaea malluea. Erye ARCH-mall o lähöohae dree aa mall mua ä vodaa eää ovellu oa overouu auva-aae mall aa aaperod upuea ääreömä pee. 5

54 5. Auorereve ehdolle heeroedauude proe ARCH mall ova ollee uoua aaaroe mallumeeelmä rahoue aloueeeä llä e avulla vodaa mallaa eyä emprä omauua ue volalee luerouma a uooe lepouruua. ARCH-mall e moe äemye muaa dree aa malla ovellu Blac & Schole yyppee opohoeluu llä perääe aayöde välllä o laa vahelua ohdeeuude haa. (Kalle & Taqqu 998 4) Ee eeemä ofoueempe malleh o ARCH a GARCH-mall eeävä perumuodoaa. Sauamuuua z ehdolle earvo m heellä vodaa eää euraava u e o ehdolle formaaoouoa Ω el edelle aaperod formaaoouoa: ( z Ω ) E ( z ) m E Määrellää auamuuua z ehdolle vara h euraava: h E [( z m ) Ω ] E ( z m ) Auorereve proe AR ( p) aea p eeää euraava: p z θ z Mä θ o paoue ae havaolle aayöä e. Sauamuuua o homoedae o e emporaale vara ( µ ) E o vao a heeroedae o e vahelee aaa. Edelleä µ o ehdoo earvo. Oleeaa yerae rereoyhälö oa y o rppuva a rppumao z 5

55 muuua. u o reduaal el vrheerm oa o ormaal aauuu odouarvolla a varalla. y β u Oleae aeu formaaoouo Ω { } vara auorereve proe aea p... o vrheerm ehdolle p ( Ω ) h E u θ θ u. (5.) Tämä meree ä eä vrheerm vara oudaaa ARCH(p) proea ehdollea formaaoouollee. θ ulaa pä aaväl vara erroua paouellaa. Koa vrheerm ehdoo aauma o ormaalaauma muae aauuu o myö ehdolle aauma ormaalaauuu paramere ( h ) u Ω ~ N. GARCH(pq)-mall muaa yhälö (5.) eeää euraava: h p q θu φ θ h (5.) Tällö mall läää myö ehdolle vara vväeyä arvoa paouella φ. Mall emmäe erm vodaa oaede yheydeä ula pä aaväl volalee oe vmee p havao volalee erroua paouellaa a olma vmee q havao ehdolle volalee erroua paouellaa. GARCH-mall huomo volalee apumue palaa pä aa earvo aollee. Käyäöä oaede uooe varalla o ämä earvoo palauuva omauu. (Blae Hull 5a ) 53

56 5. Kalle a Taqqu auva-aae ARCH-mall Forar a Mele (998) oeava eevä ueamma auva-aae oae volalee mall ole ämälle oae ARCH-mallea llä yyplle oae volalee malle raeeelle muoo e ole ellae eä ARCH-mall ovelu äde appromomee. Tämä uhoaa ARCH-malle poeaal auva-aaea hoelueoraa. (Forar & Mele 998 3) Kalle a Taqqu ue eävä auva-aae ARCH-yyppe mall oa he uuva GARCH (pq)-m mall. Tyyplle ARCH-mallea arbraaehdo evä oeudu. Kalle a Taqqu ue eävä ua mall om äydelle marode veehyeä lma eä arbraaehoa roaa. Tämä apahuu e eä mall elää ahde dree ARCH-aayö välä eomere Brow lee lalla. Kalle a Taqqu havaollava meodoloaaaa äyämällä emerä GARCH()-M malla. Hedä emermalla o ovelleava a ARCH-yypp malleh. Mall o ue maemaaela lmaulaa melo momuae. (Kalle & Taqqu ) Kalle a Taqqu opohoelumall aualla olevaa maramalla o va rö arvopaper S a oae S. Tällä maramalllla luodaa veehy porfolo olla Blac & Schole-mall avo reuaehdoa aadaa ohdeua fuo opo hoeluu. Koroaa oleeaa vao a arvopaper uoo o ällö ( B ) T S e r. Malla aoa epävarmuude lähde o adard Brow le oa T meree maureea. Lä T. Tämä Brow le muodoaa uodaue (flrao). Malla oaee hadyama o oae S proe ( ) T a e oeuaa ehdo S S ep µ (5.3) ( ) d X 54