ρ = qψ ψ ja pallokoordinaatiston differentiaalielementti * 2 3 * l lm 1 ml

Transkriptio

1 S-6 FSIIKKA IV (Sf) Kevät 5 LHSf Ratkaisut LHSf- Vaausjakauman ρ( ) dipoimomentti määiteään ( ) zρdv ja quadupoimomentti z ρdv (a) Osoita että dipoimomenttiopeaattoin odotusavo on noa kaikie vedyn stationääisie tioie (b) Osoita etää quadupoimomentti on noa s-symmetian omaavie tioie (c) Laske quadapoimomentti tiae n m (a) Sijoittamaa integaaiin z cosθ ρ qψ ψ ja paokoodinaatiston diffeentiaaieementti missä * dv dω d voimme esittää dipoimomentin muodossa * * n m m im φ m m θ e P q ψ ψzdv q R d cosθdω dω sinθdθdφ Sijoitetaan Θ ( ) ja takasteaan ähemmin kumaintegaaia * imφ imφ m ( ) ( ) cos sin m Ω Θ m Θ m d θ θ θ θdθ e e dφ () Muunnoksessa paohamonisten funktioiden paiteetti on ( ) Paokoodinaatiston suuntakumat muuttuvat täöin seuaavasti θ θ φ φ + Koska φ iippuvan osan paiteetti on ( ) ( ) m Funktio ( θ ) ( θ ) m m m täytyy θ iippuvan osan paiteetin oa Θ Θ on siis paiinen ja koska tekijä cosθ sinθ on paiton on integaain () θ iippuva osa paiton ( θ / suhteen) ja integaain avo aina (b) s-symmetian omaavien spinobitaaien kumaosa on aina / joten quadupoimomentti voidaan kijoittaa muodossa q ( z ) ρdv ( z ) Rns ( ) sinθddθdφ Tässä integoidaan väiä [ ] θ väiä [ ] ja φ väiä [ ] ketaa tavittaessa paokoodinaatiston määitemä Sepaoimaa muuttujat integointi yi φ antaa (vakiofunktioe) tekijän q ( ) ns ns ( ) q cos θ R ( ) sin θddθdφ R ( ) d cos θ sinθ dθ Tästä huomataan heposti että ( cos θ ) suhteeen) joten integaai on aina sinθ on paiton funktio (kohdan θ /

2 ρ / (c) Sijoittamaa p ( ) R / a ρe ; / e sinθ saamme integoimaa auksi kuman φ yi (huomaa muuttujanvaihto ρ / a adiaaiosassa osin mukana) ( ) ( ) iφ ρ a Q z ρdv qa z e ρ sinθddθ Sijoittamaa z cosθ aρ cos θ; d ad ρ saamme ( ) 5 ρ 7 Q qa cos θ e ρ sin θd ρdθ a 6 ρ ( cos ) sin 6 x 7 qa ρ e d ρ θ θdθ Käyttämää x e α 6! α ja ( cos θ ) sin θdθ saamme quadupoimomen- 5 tin avoksi Q qa qa ea 5 7 LHSf- Osoita että ähtien yhtäöstä d p SL S me c d L missä p on Couombin potentiaaienegia eektonin ja ytimen ( potonia) vuoovaikutuksee ja käyttäen /:n odotusavoe auseketta aon + ( + ) missä ao on Bohin säde spin-ata-vuoovaikutusenegian odotusavoe saadaan Couombin potentiaaienegia on α n S L ans L n + ( + ) e josta saadaan P εo d p e e SL d ε o S me c εo L Spin-ata-vuoovaikutusenegian odotusavo saadaan sijoittamaa tähän /:n odotusavo e S L m o ec ε aon + ( + )

3 Sijoitetaan Bohin säde a εo o e me 6 e e me me c εo 6 εo n jooin saadaan auksi S L ( ) + ( + ) joka tekijöitä jäjesteemää saadaan edeeen muotoon e e me S c ( εo ) ( εo ) n L n + ( + ) α e missä α εoc on hienoakennevakio ja me e n ( εo ) n vastaava enegia Saadaan siis tuos α n n S L ans L n + ( + ) on pääkvanttiukua n Miä todennäköisyydeä LHSf- Hiukkasen aatofunktio on ( ) x iy f ( ) / saadaan kumaiikemäään x-komponentin mittauksessa tuokset ja? Paauttamaa mieiin paohamonisten funktioiden määitemän huomaamme että voimme kijoittaa kumaiikemäään komponentin L z ominaistioihin iittyvät paohamonit vastaavien paikkavektoien komponenttien avua muodossa / z / / x iy () x iy htäöt voi heposti todeta oikeiksi sijoittamaa z cos x sin cos ja y sin sin Katsotaan mitä tapahtuu jos seuaavaksi kieämme funktioita () siten että z-koodinaatti tuee entisen x-aksein kohdae ja muut koodinaatit muuttuvat vastaavasti x y; y z Uudet kieetyt funktiot saadaan siis funktioista () tekemää sykinen muunnos z x; x y; y z ts

4 x x x y iz x y iz Oemme mekinneet kieettyjä funktioita yäindeksiä x siksi että ne ovat nyt / / / opeaattoeiden L ja L x ominaisfunktioita Voimme siis kijoittaa / ( ) ( ) / ( ) / x i x i x x iy f f mistä huomaamme (vetaamaa ei ominaisfunktioiden ketoimien itseisavojen neiöitä) että L x saadaan todennäköisyydeä / ja vastaavasti L x moemmat todennäköisyydeä / () LHSf- Jos jäykän kappaeen hitausmomentti on I ja kumanopeus on ω sen kineettinen enegia on Iω ( Iω) ( I ) L ( I ) missä L on kumaiikemäää Schödingein yhtäön atkaisu täaisee ongemae johtaa kvantisoituneihin enegian avoihin ( + ) (a) Tee enegiataso diagammi ja imaise mitkä tansitiot ovat mahdoisia I vaintasäännön ± mukaan (b) Osoita että saitut tansitioenegiat ovat (c) H -moekyyin hitausmomentti on I mp missä m p on potonin massa ja 7nm on potonien etäisyys tsi aimmin viitetyn tian () enegia H - moekyyie (d) Mikä on emittoituneen säteiyn aaonpituus H -moekyyiä tansitiossa tiata tiaan? (a) ja (b) Vaintasääntö ± antaa peäkkäisten tiojen enegia eoksi tuee ( + ) ( I ): negian muutoksiksi saadaan ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 : + : 5 : 5 + : : : (c) Sijoitetaan hitausmomentin auseke Saadaan I mp I mp enegian ausekkeeseen J 5 ev I (d) Tansitiossa tiata tiae fotonin saamaa enegia on joten aaonpituudeksi saadaan hc 5 λ m µ m LHSf-5 Okoon ytimen kumaiikemäää I ja eektonien J Täöin atomin kokonaiskumaiikemäää on F I + J kokonaiskumaiikemäään kvanttiuku saa avoja väitä i + j i j (ks uku ) Osoita että mahdoisten f:n avojen ukumäää on i + jos i < j j + jos i > j Takasteaan ukuja a ja b jotka ovat joko kokonaisukuja tai puoikkaan moniketoja Lukujen a ja b väiin mahtuvien δ pituisten askeien ukumäää on väin pituus jaettuna δ :a b a pus yksi koska väin moemmat päät otetaan mukaan ei + δ Kvanttiuvun f mahdoiset avot ovat yhden väein maksimiavon i + j ja minimiavon i j väissä (ks uku ) Saadaan siis f i + j i + j i j + i j Tapaus i < j : Mahdoisten f:n avoja määä on Tapaus i > j : Mahdoisten f:n avoja määä on ( i j) ( j i) + + i + ( i + j) ( i j) + j +