Lukuteorian kertausta ja syvennystä
|
|
- Ari-Matti Tamminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lukuteorian kertausta ja syvennystä Tehtäviä jaoisuudesta 1. Okoot a, b, c ja d kokonaisukuja, joie a c ja (a c) (ab + cd). Osoita, että (a c) (ad + bc).. Okoon n pariton positiivinen kokonaisuku. Osoita, että 4 (n 3 n). 3. Okoon p akuuku, joe myös p + on akuuku. Osoita, että täöin myös p 3 + on akuuku. 4. Mitä p voi oa, jos p, p + 10 ja p + 14 ovat kaikki akuukuja? 5. Okoon p akuuku. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x ja y, joie x y = p. 6. Okoon p akuuku. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x ja y, joie 1 x + 1 y = 1 p. 7. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x, y ja z, joie 4xy x y = z. 8. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x, y, joie y = x Osoita, että positiivisea kokonaisuvua n on pariton määrä tekijöitä jos ja vain jos n on neiöuku. 10. Okoon a positiivinen kokonaisuku, joe a 1 on akuuku. Osoita, että täöin n 1 ( n 1) on täydeinen uku. 11. Todista seuraava seitsemää jaoisuussääntö: Okoon n vähintään kominumeroinen positiivinen kokonaisuku, jonka viimeinen numero on d. Lasketaan m = (n d)/10 d. Täöin 7 n jos ja vain jos 7 m. 1. Voiko neiöuvun numeroiden summa oa 1977? Kongruenssit 13. Okoon m positiivinen kokonaisuku, ja okoon P kokonaisukukertoiminen poynomi. Osoita, että jos kokonaisuvuie x ja y pätee x y (mod m), niin myös P (x) P (y) (mod m). Osoita isäksi, että jos x y, niin pätee myös (x y) (P (x) P (y)). 14. Okoon p pariton akuuku, ja okoot x 1, x,..., x p kokonaisukuja, joie x p x p x p 1 p 0 (mod p). Osoita, että täöin x k x (mod p) joiakin k, {1,,..., p}, joie k. 1
2 15. Okoot P ja Q kokonaisukukertoimisia poynomeja, joie P (1000) = 1000, P (001) = 000 ja Q(0) = 5. Etsi kaikki kokonaisukuratkaisut x yhtäöe Q(P (x)) = Etsi kokonaisuvut n, joie ϕ(n) = n/. 17. Okoon n positiivinen kokonaisuku. Osoita, että on oemassa n peräkkäistä kokonaisukua, joista jokainen on jaoinen ainakin kahdea eri akuuvua. 18. Okoon p pariton akuuku. Mitä ovat moduo p? (p ) ja (p 1) 19. Okoon p pariton akuuku. Osoita, että jos p 1 (mod 4), niin (( p 1 )!) 1 (mod p), ja että jos p 1 (mod 4), niin ( ) p 1! 1 tai 1 (mod p). Joidenkin yhtäöiden kokonaisukuratkaisuista 0. Osoita, että yhtäöä x 3 + y 3 + z 3 = 3 n on kokonaisukuratkaisu jokaisea positiivisea kokonaisuvua n. 1. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x ja y, joie x 3 + y 4 = 7.. Okoon p akuuku, ja okoon p 3. Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x, y ja z, joie x 3 + 3y 3 + 9z 3 3pxyz = Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x, y ja z, joie x + y + z xyz = Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x ja y, joie x 6 + 3x = y Etsi kaikki positiiviset kokonaisuvut x ja y, joie x(x + 1)(x + )(x + 3) = y 4.
3 Vihjeitä 1. Tarkastee ukujen ad + bc ja ab + cd erotusta.. Totea, että n 3 = (n 1) n (n + 1). 3. Tarkastee ensin tapausta p 3. Mitä p + on moduo 3? 4. Tarkastee ukuja moduo Kirjoita x y = (x + y) (x y), ja hyödynnä yksikäsitteistä tekijöihinjakoa. 6. Yhtäön voi kirjoittaa muodossa (x p) (y p) = p, ja jäeen yksikäsitteinen tekijöihinjako on hyödyinen. 7. Muokkaa yhtäöä niin, että vasen puoi täydentyy tuoksi (4x 1) (4y 1). Tässä on hyödyistä tietää, että jos q on akuuku, joe q 3 (mod 4), niin 1 ei oe neiönjäännös moduo q. 8. Tässä on uonnoista aoittaa kirjoittamaa yhtäö muodossa y +1 = x Jaa oikea puoi tekijöihin ja käsittee erikseen tapauksia x ja x. Tapauksessa x tarkastee oikean puoen toisen asteen tekijää, ja muista, mioin 1 on neiönjäännös moduo akuuku. 9. Jos uvun n > 1 akutekijähajotema on n =, niin d(n) = (α + 1). 10. Luvun n sanotaan oevan täydeinen, jos σ(n) = n. Jos uvun n > 1 akutekijähajotema on n =, niin σ(n) = ( 1 + p + p p α ) = +1 1 p Tarkastee suoraan kongruenssia m 0 (mod 7), ja yritä johtaa siitä n 0 (mod 7), ja kääntäen. 1. Komea ja yhdeksää jaoisuussäännöt ovat tässä moemmat hyödyisiä. 13. Jos x y (mod m), niin myös x y (mod m), x 3 y 3 (mod m), Fermat n pienen auseen nojaa x p 1 1 (mod p), kun x on kokonaisuku, joe x 0 (mod p). 15. Jos kokonaisuvuie x ja y pätee x y (mod ), niin myös P (x) P (y) (mod ). 16. Jos uvun n > 1 akutekijähajotema on n =, niin ϕ(n) = n p 1 p. 17. Kokeie kiinaaista jäännösausetta niin, että moduuksina on sopivia kahden eri akuuvun tuoja. 3
4 18. Wisonin ause on tässä hyödyinen, samoin kuin havainto, että kaikie kokonaisuvuie k pätee k ( 1) (p k) (mod p). 19. Wisonin ause on tässä hyödyinen, samoin kuin havainto, että kaikie kokonaisuvuie k pätee k ( 1) (p k) (mod p). 0. Totea, että riittää tarkastea tapauksia n {0, 1, }. 1. Mitä tapahtuu, jos tarkasteet yhtäöä moduo 13?. Totea ensin, että 3 x, seuraavaksi, että 3 y, ja sitten, että 3 z. Voiko tässä toteuttaa äärettömän askeutumisen? 3. Totea ensin, etteivät kaikki tuntemattomat voi oa parittomia. Totea sitten, että x +y +z 0 (mod 4). Mitä tästä seuraa ukujen x, y ja z pariisuudee? Voisiko tässä toteuttaa äärettömän askeutumisen? 4. Miaisia ukuja ovat x 6, (x 3 + 1) ja (x 3 + )? 5. Miaisia ukuja ovat x 4, (x + 1) 4 ja (x + ) 4? 4
5 Ratkaisuita 1. Aoitetaan toteamaa, että (ad + bc) (ab + cd) = ad cd ab+cb = (a c) d+(c a) b = (a c) (d b). Tämän vuoksi, jos toinen uvuista ad + bc ja ab + cd on jaoinen uvua a c, niin myös toisenkin on otava.. Todetaan ensin, että n 3 n = (n 1) n (n + 1). Koska tässä on kome peräkkäistä kokonaisukua, jonkin niistä on otava jaoinen komea. Toisaata, koska n on pariton, niin uvut n ± 1 ovat pariisia, ja peräkkäisinä pariisina ukuina toinen niistä on jaoinen nejää. Yhdistämää nämä havainnot saadaan 4 = 3 4 (n 1) n (n + 1) = n 3 n. 3. Jos p 3, niin p ±1 (mod 3), ja edeeen p (mod 3). Mutta toisaata p + + > 3, ei nyt p + ei voisikaan oa akuuku. Siis ainoa mahdoisuus on p = 3, jooin p + = 11 ja p 3 + = 9 ovat moemmat akuukuja. 4. Moduo kome kyseiset uvut ovat p p, p + 10 p + 1, ja p + 14 p + (mod 3). Siispä jokin uvuista p, p + 10 ja p + 1 on komea jaoinen. Koska p + 14 > p + 10 > 3, voi oa ainoastaan p = 3. Täöin p + 10 = 13 ja p + 14 = 17 ovat akuukuja, ei p = 3 tosiaan on mahdoinen arvo. 5. Yhtäöstä seuraa, että (x + y) (x y) = p. Koska x + y > 0 ja p > 0, on myös x y > 0. Siis x > y ja x ± y ovat uvun p positiivisia tekijöitä. Koska uvun p ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja p, voi oa ainoastaan x + y = p, ja x y = 1. Tää yhtäöparia on täsmäeen yksi rationaainen ratkaisu, nimittäin x = p + 1, ja y = p 1. Tämä on kokonaisukuratkaisu täsmäeen sioin kun p on pariton. 6. Lavennetaan ja kerrotaan kaikki auki, jooin saadaan ensin p (x + y) = xy, ja sitten (x p) (y p) = p. Nyt x p on uvun p tekijä ja voi oa vain ja ainoastaan p, p, 1, 1, p tai p, jooin tekijän y p täytyy vastaavasti oa 1, p, p, p, p tai 1. Yhtäöparien { { { x p = p, x p = p, x p = 1, y p = 1, { x p = 1, y p = p, y p = p, { x p = p, y p = p, y p = p, { x p = p, ja, y p = 1, 5
6 ratkaisut ovat { { x = p + p, x = p, y = p + 1, y = p, { x = p + 1, y = p + p, { x = p 1, y = p p, { x = 0, y = 0, { x = p p, y = p 1, joista ainoastaan kome ensimmäistä ovat positiivisia kokonaisukuratkaisuita. 7. Kirjoitetaan yhtäö muodossa (4x 1) (4y 1) = (z) + 1. Vasemman puoen tekijä 4x 1 on varmasti positiivinen ja pariton. Sen kaikki akuukutekijät q ovat ±1 (mod 4). Jos ne kaikki oisivat 1 (mod 4), oisi myös 4x 1 täaisten ukujen tuona 1 (mod 4), mitä se ei oe. Siispä uvua 4x 1 on ainakin yksi akuukutekijä q, joe q 1 (mod 4). Mutta nyt q ( (z) + 1 ), ei 1 (z) (mod q), mikä on mahdotonta. Täten hautunaisia ratkaisuita ei oe. 8. Todetaan ensin, että jos x on pariinen, niin y x (mod 4), mikä on mahdotonta. Siis on otava x, ei x ±1 (mod 4). Yhtäöstä seuraa, että y + 1 = x = x = (x + ) ( x x + 4 ). Ensinnäkin ja toisaata x x + 4 = (x 1) + 3 > 0, x x (mod 4). Tekijä x x+4 on siis positiivinen ja pariton, ja sen kaikki akuukutekijät ovat ±1 (mod 4). Jos ne kaikki oisivat 1 (mod 4), niin myös x x + 4 oisi seaisten ukujen tuona 1 (mod 4), mitä se ei oe. Siispä uvua x x + 4 on otava ainakin yksi akuukutekijä q, joe q 1 (mod 4). Mutta nyt mikä on mahdotonta. q ( y + 1 ), ei 1 y (mod q), 9. Todetaan ensiksi, että n = 1 vain ja ainoastaan sioin kun d(n) = 1. Voimme siis tarkastea tiannetta, missä n > 1 ja d(n) > 1. Okoon uvun n kanoninen akutekijähajotema n =, missä r Z +, p 1 < p <... < p r ovat eri akuukuja ja eksponentit α 1, α,..., α r ovat positiivisia kokonaisukuja. Täöin uvun tekijöiden ukumäärä on d(n) = (α + 1). Tämä tuo on pariton jos ja vain jos sen jokainen tuontekijä on pariton. Toisin sanoen, d(n) täsmäeen sioin kun eksponenteista α 1, α,..., α r jokainen on pariinen, mikä taas puoestaan pitää paikkaansa täsmäeen sioin kun n on neiöuku. 6
7 10. Okoon kokonaisuvun n > 1 kanoninen akutekijähajotema n =, missä r Z +, p 1 < p <... < p r ovat eri akuukuja, ja eksponentit α 1, α,..., α r ovat positiivisia kokonaisukuja. Täöin uvun n tekijöiden summa on ( σ(n) = 1 + p + p p α ) +1 = 1 p 1. Erityisesti, jos a Z + on seainen, että a 1 on akuuku, niin kyseessä on pariton akuuku. Voimme sitten askea suoraan, että σ ( a 1 ( a 1) ) = a (1 + a 1) = ( a 1) a = a 1 ( a 1). 11. Jos m 0 (mod 7), niin (n d)/10 d (mod 7). Kertomaa puoittain uvua 10 tästä seuraa, että n d 0d (mod 7), ei n 1d 0 (mod 7). Kääntäen, jos n 0 (mod 7), niin n 1d (mod 7), ja n d 0d (mod 7). Kertomaa puoittain uvua 5 saadaan n d n d 10 5 (n d) 100d d (mod 7), mistä seuraa, että m 0 (mod 7), kuten pitääkin. 1. Merkitään positiivisen kokonaisuvun n numeroiden summaa s(n). Tunnetusti n s(n) (mod 3) ja n s(n) (mod 9). Jos nyt oisi s(a ) = 1977 joakin positiivisea kokonaisuvua a, niin koska , oisi 3 a. Edeeen, oisi 3 a ja 9 a, ja oisi otava Mutta itse asiassa Siis neiöuvun numeroiden summa ei koskaan voi oa Okoon poynomi P (x) vaikkapa P (x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, missä n Z + {0} ja a 0, a 1,..., a n ovat kokonaisukuja. Nyt 1 1 a 0 a 0 x y a 1 x a 1 y x y a x a y. x n 1 y n 1 x n y n ja edeeen. a n 1 x n 1 a n 1 y n 1 a n x n a n y n (mod m). Laskemaa nämä viimeiset kongruenssit yhteen saadaan P (x) P (y) (mod m). Jos x y, niin sijoittamaa m = x y nähdään, että P (x) P (y) (mod (x y)), siä onhan varmasti x y (mod (x y)). 14. Tehdään vastaoetus: oetetaan, että uvut x 1, x,..., x p ovat pareittain epäkongruentteja moduo p. Täöin jokainen niistä on kongruentti täsmäeen yhden uvuista 1,,..., p kanssa moduo p, ja kääntäen. Mutta nyt Fermat n pienen auseen nojaa x p x p x p 1 p 1 + xp 1 p p 1 0 (mod p), vastoin tehtävänannon oetuksia. 7
8 15. Tunnetusti P (x) P (y) (mod ) aina kun kokonaisuvuie x ja y pätee x y (mod ). Jos x 0 (mod ), niin x 1000 (mod ), ja P (x) P (1000) = (mod ). Jos taas x 1 (mod ), niin x 001 (mod ), ja P (x) P (001) = (mod ). Siis kaikia x Z pätee P (x) 0 (mod ). Siirtymää nyt tarkasteemaan poynomin Q arvoja, tästä seuraa, että kaikia x Z pätee Q(P (x)) Q(0) = (mod ), ei kaikki ausekkeen Q(P (x)) arvot ovat parittomia eikä yhtäöä Q(P (x)) = 0 voi oa kokonaisukuratkaisuita. 16. Koska ϕ(n) on kokonaisuku, on otava n. Jos n = α, missä α Z +, niin ϕ(n) = α 1 = α, ei uvun kaksi potenssit ovat hautunaisia ukuja. Oetetaan sitten, että n on pariinen mutta ei uvun kaksi potenssi. Okoon uvun n kanoninen akutekijähajotema n =, missä r Z +, r, = p 1 < p <... < p r ovat eri akuukuja, ja eksponentit α 1, α,..., α r ovat positiivisia kokonaisukuja. Tunnetusti p 1 ϕ(n) = n. p Yhtäön ϕ(n) = n/ voi kirjoittaa nyt muotoon α1 1 p 1 = 1 p α1 tai sievemmin muodossa = = p 1 p = =. =, Mutta koska jokainen tekijä (p 1)/p < 1, on vasen puoi varmasti pienempi kuin oikea puoi, ja muita hautunaisia ukuja, kuin uvun kaksi potenssit, ei oe. 17. Vaitaan jotkin n eri akuukua p 1 < p < p 3 < p 4 <... < p n 1 < p n, mikä on varmasti mahdoista, siä onhan akuukuja äärettömän monta. Kiinaaisen jäännösauseen nojaa on oemassa kokonaisuku x, joe pätee x 0 (mod p 1 p ), x 1 (mod p 3 p 4 ), x (mod p 5 p 6 ),... x (n 1) (mod p n 1 p n ). 8
9 Nyt siis uvut x, x + 1,..., x + (n 1) ovat n peräkkäistä kokonaisukua, joista x on jaoinen eri akuuvuia p 1 ja p, uku x + 1 on jaoinen eri akuuvuia p 3 ja p 4, ja niin edeeen, ja väite on todistettu. 18. Lasketaan (p ) moduo p. Täysin samanaisea argumentia voi myös sevittää, mitä on 4... (p 1) moduo p. Wisonin auseen nojaa (p ) 1 (p ) 3 (p 4) 5 (p 6)... (p 4) 3 (p ) 1 1 ( 1) 3 ( 1) 4 5 ( 1) 6... (p 4) ( 1) (p 3) (p ) ( 1) (p 1) ( 1) (p 1)/ (p 1)! ( 1) (p 1)/ ( 1) ( 1) (p+1)/ (mod p). 19. Wisonin auseen nojaa (( ) ( p 1 p 1!) ( ) p 1! p 1 ( p 1 )! ( p 1 )! p )! ( 1) p + 1 ( 1) p ( 1) (p 3) ( 1) (p ) ( 1) (p 1) (p 1)! ( 1) (p 1)/ ( 1) ( 1) (p 1)/ ( 1) (p+1)/ (mod p). Jos p 1 (mod 4), niin (p + 1)/ on pariton, ja (((p 1)/)!) 1 (mod p). Jos taas p 1 (mod 4), niin (p + 1)/ on pariinen, ja (((p 1)/)!) 1 (mod p), mistä seuraa myös, että ((p 1)/)! on 1 tai 1 (mod p). 0. Jos ei-negatiivisea kokonaisuvua n on oemassa kokonaisuvut x, y ja z, joie 3 n = x 3 + y 3 + z 3, niin varmasti 3 n+3 = n = (3x) 3 + (3y) 3 + (3z) 3. Riittää siis todistaa väite tapauksissa n {0, 1, }. Mutta nämä tapaukset ovat heppoja tarkistaa; onhan 1 = , 3 = , ja 3 = 9 = = Tarkasteaan yhtäöä moduo 13. Ensinnäkin, jos n Z, niin n 3 0, 1, 5, 8 tai 1 (mod 13). Lisäksi n 4 0, 1, 3 tai 9 (mod 13). Suoraan yhteenaskuja tekemää todetaan, että annetussa yhtäössä vasen puoi voi oa vain x 3 + y 4 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 tai 1 (mod 13). Erityisesti x 3 + y 4 ei koskaan voi oa 7 (mod 13), eikä annetua yhtäöä siis voi oa kokonaisukuratkaisuita. 9
10 . Oetetaan, että yhtäöä on jokin positiivinen kokonaisukuratkaisu x, y, z. Koska x on positiivinen kokonaisuku, öytyy ratkaisu, jossa x on mahdoisimman pieni. Nyt siis täe ratkaisue pätee x 3 + 3y 3 + 9z 3 3pxyz = 0. Koska kaikki muut termit ovat komea jaoisia, on otava 3 x 3, jooin myös 3 x. Voidaan siis kirjoittaa x = 3ξ joakin ξ Z +. Sijoittamaa tämä takaisin yhtäöon saadaan 7ξ 3 + 3y 3 + 9z 3 9pξyz = 0. Nyt kaikki muut termit ovat yhdeksää jaoisia, joten 9 3y 3, ei 3 y 3, ja edeeen 3 y. Nyt voidaan kirjoittaa y = 3η joakin η Z +. Sijoittamaa takaisin yhtäöön saadaan 7ξ η + 9z 3 7pξηz = 0. Koska kaikki muuta termit ovat 7 jaoisia, on 7 9z 3, ei 3 z 3, ja edeeen 3 z. Voidaan siis kirjoittaa z = 3ζ joakin ζ Z +, ja sijoittamaa takaisin yhtäöön saadaan 7ξ η ζ 3 81pξηζ = 0, tai sievemmin ξ 3 + 3η 3 + 9ζ 3 3pξηζ = 0. Mutta nyt ξ, η, ζ on myös positiivinen kokonaisukuratkaisu akuperäisee yhtäöe, ja ξ < x, vastoin ratkaisun x, y, z vaintaa. Tämä ristiriita osoittaa, ettei akuperäiseä yhtäöä oe positiivisia kokonaisukuratkaisuita. 3. Oetetaan, että annetua yhtäöä oisi jokin positiivinen kokonaisukuratkaisu x, y, z. Todetaan auksi, että jos x, y ja z oisivat kaikki parittomia, niin yhtäön vasen puoi oisi pariton, mutta oikea puoi pariinen. Siis ainakin yhden uvuista x, y ja z täytyy oa pariinen. Mutta nyt x + y + z xyz 0 (mod 4), ja koska jokainen neiö on 0 tai 1 (mod 4), on otava x y z 0 (mod ). Merkitään x = x, y = y ja z = z, missä x, y, z Z +. Nyt x, y ja z toteuttavat yhtäön x + y + z 4x y z = 0. Oetetaan seuraavaksi, että meiä on joakin kokonaisuvua n positiivinen kokonaisukuratkaisu x n, y n, z n yhtäöe Täöin x n + y n + z n n x n y n z n = 0. x n + y n + z n 0 (mod 4), ei jäeen voidaan kirjoittaa x n = x n+1, y n = y n+1 ja z n = z n+1 joiakin x n+1, y n+1, z n+1 Z +. Sijoittamaa ukujen x n, y n ja z n toteuttamaan yhtäöön saadaan x n+1 + y n+1 + z n+1 n+1 x n+1 y n+1 z n+1 = 0. Tää tavaa induktioa saadaan jono x, x, x 3,... positiivisia kokonaisukuja, joie x > x > x 3 >..., mikä on mahdotonta. Siis akuperäiseä yhtäöä ei voi oa positiivisia kokonaisukuratkaisuita. 10
11 4. Annetusta yhtäöstä seuraa, että (x 3 ) < x 6 + 3x = y 4 = x 6 + 3x < x 6 + 4x = (x 3 + ), ei on otava y = x Mutta nyt annettu yhtäö muuttuu muotoon x 6 + 3x = x 6 + x 3 + 1, mistä seuraa x 3 = 0, mikä on mahdotonta, koska uvun x piti oa positiivinen kokonaisuku. Siis positiivisia kokonaisukuratkaisuita ei oe. 5. Annetusta yhtäöstä seuraa, että ja että x 4 < x (x + 1) (x + ) (x + 3) = y 4, y 4 = x 4 + 6x x + 6x < x 4 + 8x 3 + 4x + 3x + 16 = (x + ) 4. On siis otava y = x + 1. Mutta nyt annetusta yhtäöstä seuraakin, että mikä sievenee muotoon x 4 + 6x x + 6x = x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + 1, x 3 + 5x + x = 1. Tämä viimeinen yhtäö ei voi päteä, koska x oi positiivinen kokonaisuku, ja siten x 1 ja x 3 + 5x + x > 1. 11
= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotFourier-menetelmät osittaisdierentiaaliyhtälöissä
Fourier-menetemät osittaisdierentiaaiyhtäöissä Pro gradu -tutkiema Vie Vestman 74 Itä-Suomen yiopisto 23. okakuuta 23 Sisätö Johdanto 2 Aku- ja reuna-arvo-ongemien ratkaiseminen 2 2. Perusmääritemiä ja
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotLyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen
yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotVesiliuoksen ph ja poh-arvot
REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Vesiiuoksen ph ja poh-arvot Taustaa: Happojen ja emästen aimeissa vesiiuoksissa oksonium- ja hydroksidi-ionien konsentraatiot ovat pieniä, ae 1,0 mo/. Esimerkiksi 0,1 moaarisen
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotLIITE 1 LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2014
LIITE 1 LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2014 Liite 1: Vuoropysäköintikysey 2014 Lehtoniemen aueeta tueiden asukaspaautteiden pohjata on Kanavaharjunkadua sekä Järvihemenkadua
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotTörmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä
Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotMagneettiset materiaalit ja magneettikentän energia
agneettiset ateriaait ja agneettikentän energia ateriaait jaetaan agneettisten oinaisuuksiensa ukaan koeen uokkaan: diaagneettiset, paraagneettiset ja ferroagneettiset aineet. ateria koostuu atoeista,
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a
Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y =
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedot1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?
Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedoty + z. z + xyz
2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,
LisätiedotLIITE 2: LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2015
LIITE 2: LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2015 Liite 2: Vuoropysäköintikysey 2015 Lehtoniemen aueeta tueiden asukaspaautteiden pohjata on Kanavaharjunkadua sekä Järvihemenkadua
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotMultiplikatiiviset funktiot
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Lisätiedot