Atomin kvanttimekaaninen malli

Transkriptio

1 Atomin kvanttimekaaninen mai Rutherfordin sironta Bohrin atomimai Kumaiikemäärän kvantittuminen Magneettinen momentti Zeemanin imiö Spin-rata-vuorovaikutus 1900 uvun aussa atomien rakenteen tutkijat tapasivat ns Sovayn konferensseissa , joiden yhteydessä käydyissä keskusteuissa kvanttimekaniikka ja atomiteoria saivat ähes nykyisen muotonsa

2 Sovay konferenssit Institut Internationa de Physique Sovay, Cinquieme Consei de Physique, Bruxees, 197." Back Row L-R: A. Piccard; E. Henriot; P. Ehrenfest; E. Herzen;T. de Donder, E. Schrodinger; E. Verschaffet; W. Paui; W. Heisenberg; R.H. Fower; L. Briouin. Midde row L-R: P. Debye; M. Knudsen; W.L. Bragg; H.A.Kramers; P.Dirac; A.H. Compton; L. debrogie; M. Born; N. Bohr. Front Row L-R: I. Langmuir; M. Panck; M. Curie; H.A. Lorentz; A. Einstein; P. Langevin; C. Guye; C.T.R. Wison; O.W. Richardson.

3 Atomin rakenneosien öytyminen Eektroninen öytäminen J. J. Thomson ( ) tutki eektroneita katodisädeputkea ja määräsi suhteen e/m vuonna 1897, Fysiikan Nobe 1906 Eektronit irtoavat katodita C ja kiihtyvät matkaa kohden koimointievyjä A ja B. Eektroneja voidaan poikkeuttaa sähkökentää (D-E), ja (tai) magneettikentää. Magneettikentässä : evb = FB = Sähkökentässä : ee = FE Säätämää FB = FE v = E / B 0. ( ) ( ) 1 (1/ ) 1 1/ ee Jos B = Newtonin mukaan y = at = x1 vx m ; x ee x1x e B x1 y = v yt = at1 = y 1 + y = + x1x vx m v m E x

4 Miikanin koe Robert Miikan ( ) määräsi eektronin varauksen öjypisarakokeea 1909 komen merkitsevän numeron tarkkuudea. Fysiikan Nobe 193. Kammiossa on satunnaisesti varautuneita öjypisaroita Jos E = 0 pisarat putoavat painovoimakentässä rajanopeudea v = mg R η = viskositeetti ( 6πη ) 9η 4 3 R = v f ; m = π R ρ ρ g 3 Kun Eqn on kohtisuoraan yöspäin rajanopeus on vn = ( qne mg ) / b missä b = ( 6πη R), qn = ne Pienin varauksen satunnainen muutos = akeisvaraus n,min f ( ) ( n,min ) v = ee mg / b e = v b + mg / E

5 Thomsonin ja Bohrin atomimait Rutherfordin ja Bohrin maeissa eektronit kiertävät massiivista positiivisen varauksen omaavaa ydintä Thomsonin maissa positiivinen ja negatiivinen aine ovat toistensa omassa jakaantuneena hyyteön tavoin Atomi tiedettiin normaaitiassa sähköisesti neutraaiksi. Lähes kaiken massan tiedettiin oevan positiivisessa osassa atomia.

6 Afa-hiukkasten sironta atomeista Ernest Rutherford ( ) tutki oppiaidensa Hans Geigerin ja Ernest Marsdenin kanssa atomien rakennetta 1909 afa-hiukkasia, jotka Rutherford arvei heium atomin ytimeksi. Rutherford sai 1908 kemian Nobein ydinhajoamisen tutkimuksesta. Rutherfordin ennakkokäsityksen mukaan Thomsonin atomissa afa-hiukkaset pysähtyisivät menettäessään energiaa pienininä erinä. Näin sirontakuma ei poikkeama hiukkasen akuperäisestä suunnasta täytyi jäädä pieneksi.

7 Rutherfordin sirontakoe 1/6 Skemaattinen mittausjärjestey ja sirontakumien määritemät. Afa-hiukkanen ja näytteen atomit ovat ikimain paosymmetrisiä, joten riippuvuus sirontakumasta φ on hyvin pieni. Todeinen koejärjestey: R-afaähde D- koimaattori, F-metaikavo, S- tuikeimaisin (väähtää afa-hiukkasen osuessa siihen), M-mikroskooppi jonka avua asketaan väähdykset.

8 Rutherfordin sirontakoe /6 Afa-hiukkanen on suurten kvanttiukujen ominaistiassa, jooin vastaavuusperiaatteen mukaan sen paikan odotusarvo noudattaa Newtonin iikeyhtäöä: Sironta voidaan kuvata kassisen fysiikan avua!! Yksinkertaisin erikoistapaus: Päittäinen törmäys. Afa-hiukkasen energia muuttuu Couombin potentiaaienergiaksi ja kääntäen jäeen iike-energiaksi. Rekyyiefekti otetaan huomioon suhteeisenmassan avua M ydinm µ = M + M ydin

9 Rutherfordin sirontakoe 3/6 Päittäinen törmäys : E Kin = 1 4πε 0 Zze D Käännepiste - etäisyys D 1 Zze 1 Zze = = 4πε E 4πε Mv 0 Kin 0 Rutherfordin afa-hiukkasten iikeenergia oi enimmiään n. 7,7 MeV. Tämä riittää ytimien väiseen heikkoon kosketuk-seen keveie metaeie kuten aumiinie. Täöin Rutherfordin mittaustuos ei vastannut enää teorian ennustetta. Jos afa-hiukkanen ei tunkeudu ytimeen siihen kohdistuu vain Couombin voima. Jos afa menee osin ytimen sisään siihen vaikuttaa myös ydinvoima.

10 Lähtötietoja: Rutherfordin sirontakoe 4/6 Hiukkasen kumaiikemäärä säiyy keskeiskentässä. Törmäys on symmetrinen peiitason suhteen = ajan kuun käänteinen symmetria. Kumaiikemäärä on vakio. Aussa L = Mv b (Kuvatason sisään L = r p ) 0 ( t ) Liikemäärän muutos peiitasossa (kuvan perusteea) : π θ θ pz = Mv0 cos = Mv0 sin (1)

11 Törmäysparametri ja sirontakuma Imussi = voiman integraai ajan suhteen: zze ( π θ ) / zze dt pz = Fzdt = cosψ dt = cos d ψ ψ 0 4πε 0r 4πε d 0r ψ Kumaiikemäärä on vakio : ( ψ ) L = Mr d dt = Mv0b Liikeee kaarevaa rataa pitkin: L = Mr p z ω Integroidaan + missä kumanopeus ( π θ ) / zze zze θ = cosψ dψ = cos 0 πε v b πε v b (1) & () b = πε zze 0Mv0 θ cot dψ v0b ω = dψ / dt = dt r () (3)

12 Rutherfordin sirontakoe 5/6 Differentiaainen vaikutusaa : Avaruuskumaan dω siroavien afahiukkasten virta σ d ( θ, φ ) dω = afahiukkasten vuo Kumadifferentiaai: dω = sinθdθdφ π 0 sinθdθ dφ = π sinθdθ ( ) (, ) ( ) Axiaaisymmetria σ d θ φ σ d θ Virta b-säteisen db-paksuisen renkaan äpi = virta avaruuskumaan I π bdb = Iσ d θ π sinθdθ b db σ d ( θ ) = sinθ dθ (4)

13 Sirontageometria (kertausta) Ne metaiatomin ydintä ähestyvät afahiukkaset, jotka äpäisevät renkaan b,b+db, siroavat avaruuskumaan, jota on merkitty siniseä renkaaa ytimen oikeaa puoea. Avaruuskuman suuruus on oikeanpuoeisen renkaan pinta-aa jaettuna sen etäisyyden neiöä ytimestä askien: dω = π sinθdθ Virta renkaan äpi = virta avaruuskumaan I π bdb = Iσ d ( θ ) π sinθdθ b db σ d ( θ ) = sinθ dθ dω

14 0 Rutherfordin sirontakoe 6/6 Derivoimaa yhtäö (3) 1 zze 4 θ σ d ( θ ) = sin 4πε 0 Mv 0 Kokonaisvaikutusaa määriteään π π π 0 0 d 0 ( ) d d ( ) σ = σ θ, φ sinθ θ φ = π σ θ, φ sinθ dθ π Rutherfordin sironnae π σ d θ, φ sinθ dθ siä 0 4 θ integraaissa sin sinθ divergoi noan ympäristössä (kokeie!). Tämä johtuu Couombin voiman äärettömästä kantamasta. d ( ) (5) Todeisuudessa vaikutusaa ei divergoi, siä atomin eektroniverho varjostaa Couombin voiman!!

15 Atomin ydinmain hyväksyminen Rutherfordin sirontakaavan (5) antamat tuokset oivat sopusoinnussa kokeiden kanssa. Tämä johti Thomsonin main hykäämiseen. Vain suuria törmäysenergioia havaittiin ydinvoimista johtuva poikkeama. Laskemaa afahiukkasen energiasta käännepiste-etäisyys saatiin karkeaksi arvioksi ydinvoimien kantamae ja myös aumiiniytimen säteee m.

16 Teorian ja kokeen vertaiua Geiger ja Marsden tekivät mittauksia useia eri metaikavoia. Oheinen kuva esittää tuoksia kokoogaritmiasteikoa. Huomaa, että suuret sirontakumat ovat ogaritmiasteikoa äheä asteikon akupäätä. Yksikköavaruuskumaan tuevien hiukkasten määrä aikayksikössä 1 zze 4 θ Log( N ) = LogI Log sin 4πε 0 Mv 0 Sininen viiva teoria, pisteet mittaustuoksia oistava yhteensopivuus

17 Sironta kovista paoista Kuvan perusteea θ b = Rsinφ = Rcos Sijoittamaa yhtäöön (4) b db σ d ( θ ) = = sinθ dθ R cos ( θ / ) sin ( θ / ) R = = sinθ 4 Kokonaisvaikutusaa π 0 R σ 0 = π sinθdθ = π R 4 Jokainen pao poistaa suihkusta oman poikkieikkauksensa aueee tuevat hiukkaset. Paon poikkieikkaus on πr

18 Makroskooppinen vaikutusaa Tarkasteaan ohutta evyä. Sirontakeskusten tiheys okoon n. Poikkipinnan A aueea on kavossa yhteensä nadx sirontakeskusta. Jos evy on ohut nämä kaikki sirottavat afa hiukkasia saman määrän (suihkun vaimeneminen on hidasta). dx Afahiukkasten kokonaissironta aata A: di = Iσ 0ndx Huomaa - merkki jos dx > 0 di < 0 (suihku vaimenee) di Σ x = ( niσ 0 ) I = I0e eksponentiaainen vaimeneminen!! dx Σ = n σ on makroskooppinen vaikutusaa 0

19 Bohrin atomimai 1/5 Bohrin mai yhdistää de Brogie aaonpituuden, kassisen ratakäsitteen ja sähköstatiikan

20 Bohrin atomimai /5 Vaikka Rutherfordia oi mieessä panetaarinen rakenne hän ei kyennyt seittämään mikä esti eektroneja säteiemästä SM-energiaa niiden iikkuessa ytimen ympäri Ehto seisovie aaoie : eektronin radan pituus = aaonpituuden monikerta π r = nλ Bohrin ehto kumaiikemäärän kvantittumisee : L = rp = m rv = nh π = n e Bohrin mai ratkaisi epästabiiisuusongeman eektroni saattoi siirtyä vain diskreettien ratojen väiä. Ain tia oi stabiii, koska eektronia ei voinut oa vähempää energiaa!

21 Bohr, Thomson ja Rutherford Väitetyään v 1911 Kööpenhaminassa Nies Bohr sai postdoc - stipendin Engantiin, missä hakeutui auksi Thomsonin aboratorioon Cambridgeen. Bohrin suhde Thomsoniin muodostui poeemiseksi hänen kerrottuaan Thomsonie mitä ajattei Thomsonin hyyteömaista. Jouukuussa 1911 Bohr tapasi Rutherfordin, joka oi juuri jukaissut oman ydinmaiteoriansa. Bohr päätti siirtyä Rutherfordin aboratorioon Manchesteriin maaiskuussa 191 Bohr argumentoimassa 1956

22 Bohrin atomimai 3/5 Yhdistetään kassista mekaniikkaa ja sähköstatiikkaa Ympyräradae: Bohrin ehto: e mev Ze = r 4πε 0r m rv = nh π Saittujen ratojen säteet : ε 0 n h ε 0 0 Bohrin säde: 0 e Z π mee n h r = = a a = = 5, π m Ze n = 1,,3, m

23 Bohrin mai 4/5 Eektronin energian kvantittuminen: 1 Ze Ze Kin p e Sijoitetaan: e 4π e0r 4πε 0 E = E + E = m v m v = r 0 Ze 1 E = Huomaa: EKin = E 4πε ( r) p ( Viriaaiteoreema) Energiatasot Rydbergin vakio 4 4 e R hcz m ; 1,,3,.. ee 3 0 ε 0 m e Z En = = n = R = 8ε h n n 8 h c

24 Bohrin main 5/5 E n 4 e 0h n m e Z = = 13,607 ev 8ε Z n Pääkvanttiuku: n = 1,,3,.. Vedye Heium + ionie Lithium ++ ionie Z Z Z = = = 1 3

25 Ytimen iikkeen vaikutus Suhteeinen iike: eektronin massa korvataan suhteeisea massaa 4 µ e µ 1 R = = R = R m m M 3 8ε 0 h c e 1 + e

26 Vetyatomin emissiospektri Fotonin energia : hf = E E = 1 RhcZ RhcZ = n n1 1 1 = RhcZ n1 n Rydberg- Ritz kaava = RZ λn 1n n 1 n

27 Paokoordinaatisto Paokoordinaatit x y z = = = r sinθ cos φ, r sinθ sinφ r cosθ.. ˆ Lz = ix y y x Paokoordinaateissa Lˆ z = i φ Muut komponentit vastaavasti

28 Kumaiikemäärän kvantittuminen Fysikaaisen suureen mahdoiset arvot = operaattorin ominaisarvot ˆ 1 1 L = sin θ + sin θ θ θ sin θ φ ˆ L Ym = ( + 1) Y m missä = 0,1,,3,.. Y m on paoharmoninen funktio Bohrin ehto L = n ; n = 1,,3,. pätee vain suuria kvanttiuvuia n 0 0 Y = 1 4π 1 m ± ± 1 = 3 4π cosθ ± 1 Y = 3 8π sinθ e 0 Kumafunktio Y Y 1 ± 4 ( θ ) = 5 4π 3cos 1 ± 1 Y = 15 8π sinθ cosθ e ± Y = 15 π sin ± iφ ± iφ θ e ± iφ

29 Suunnan kvantittuminen ( ) L = + 1 = 0,1,,3,..., ˆ Lz = i φ Lˆ Y = my z m m L = m m = 0, ± 1, ±,..., ± z

30 Kommutoivat operaattorit 1/ Kun eektroni on tiassa, m, jooin sen aatofunktio on paoharmoni Y, saamme mitatessamme kumaiike - m z ( 1) määrä vektorin pituuden aina tuokseksi + ja mitatessamme L :n arvon saamme aina m Jos mittaamme täe eektronie Lx :n arvon saamme tuokseksi jonkun arvoista m; m =, + 1,... 1, ( + 1mahdoista arvoa). Ei siis oe mahdoista tuntea tarkasti kuin yksi kumaiikemäärävektorin komponenteista vektorin pituuden isäksi.

31 Kommutoivat operaattorit / Matemaattisemmin tämä imenee siitä, että operaattori Lˆ ja Lˆ z kommutoivat ts. kaikie funktioie f ( r) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L Lz f ( r) = LzL f ( r) L Lz = LzL L Lz LzL = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ L L ˆ Kommutaattoreita merkitään : z LzL L, Lˆ z Kokeiemaa voit havaita, että Lˆ, ˆ ˆ z Lx= ily. Täöin operaattoreia ei oe yhteisiä ominaistioja, joissa eektronin kumaiikemäärävektorin moemmia kompo - nenteia oisi tarkka - arvo. [ ˆ ] Kokeiemaa voit todeta, että x, px = i ja x, pˆ y = 0. Eektroni ei siis voi oa tiassa, jossa sekä x että px tunnetaan tarkasti. Sen sijaan x ja p voidaan tuntea tarkasti! y

32 Kumaiikemäärien merkitseminen Keskeiskenttäiikkeen kumaiikemäärätiat ja niiden degeneraatiot. Sivukvanttiuku Symboi s p d f g h Degeneraatio, g = Degeneraatioa tarkoitetaan yä sivukvanttiukuun iittyvien magneettisen aitiojen m ukumäärää: m + = 1 = + 1 Energia ei riipu magneettisesta kvanttiuvusta, jos atomi ei oe ukoisessa magneettikentässä.

33 Vedyn Schrödingerin yhtäö Muuttujien separointi: ( r,, ) = R ( r) Y (, ) ψ θ φ θ φ nm n m ( ) m = + ( + 1) d d Z + R( r) E ( ) ( ) ( ) + p r R r = EH R r m e dr r dr r n Lˆ Y 1 Y Lˆ Y = my z m m m Side - ehdot kvanttiuvuie : = 0,..., n 1; m =,..., +

34 Vedyn suunnatut p-orbitaait Suunnatut p-orbitaait ovat paoharmonien Y1 m ; m = 1,0,1, ineaarikombinatioita. Kun atomi on osana moekyyiä eektroneie on energeettisesti eduisempaa hakeutua näie suunnatuie tioie, kuin jäädä puhtaaseen paoharmonitiaan. p - orbitaait p = 3 4π cosθ p p z x y = 3 4π sinθ cosφ = 3 4π sinθ sinφ

35 D - orbitaait d 3z r Vedyn d-orbitaait ( θ ) = 5 16π 3cos 1 d d d xz yz x = = y 15 4π sinθ cosθ cosφ 15 4π sinθ cosθ sinφ = 15 4π sin θ cos φ d xy = 15 4π sin θ sin φ Suunnatut d-orbitaait ovat paoharmonien ineaarikombinatioita. Y m ; m =, 1,0,1,

36 Radiaainen eektronitiheys Radiaainen eektronitiheys kuvaa eektronin toden - näköisyyttä sijaita eri etäisyyksiä ytimestä [ r r + dr] ( ) = ψ (, θ, φ ) = ( ) ( θ, φ ) Todennäköisyys, että eektroni on paokuorea Pao kuori nm n m Pao kuori, : P r dr r dv R r Y dv Tiavuusdifferentiaai dv = r sinθdrdθ dφ π π P( r) dr = R n ( r) r dr Ym ( θ, φ ) dφsin θdθ = R ( ) n r r dr 0 0 ( ) ( ) P r = R r r = ytimestä asketun etäisyyden yksikköä kohden. n eektronin esiintymistodennäköisyys =

37 0 0 Y = 1 4π 1 m ± ± 1 1 ± 4 Radiaai- ja kumaosat = 3 4π cosθ ± 1 Y = 3 8π sinθ e 0 Kumafunktio n Rn ( r) ( ρ = Zr na0 ) Y Y ( θ ) = 5 4π 3cos 1 ± 1 Y = 15 8π sinθ cosθ e ± Y = 15 π sin ± iφ ± iφ θ e ± iφ 0 3 Z 1 0 R10 ( r) = e a 0 0 ρ 3 1 Z 0 R0 ( r) = ( ρ ) e a Z R1 ( r) = ρe 6 a 3 ρ ρ 1 Z ( ) = ( ρ + ρ ) ρ ρ 0 R30 r 6 6 e 9 3 a 1 Z 3 1 R31 ( r) = ρ ( 4 ρ ) e 9 6 a 1 Z R3 ( r) = ρ e 9 30 a ρ

38 Orbitaaien radiaaiosat

39 Eektronin potentiaaienergia Keskipakoispotentiaaienergia d u ( + 1) + E p + u Eu m = e dr mr ( + 1) E = E r + ( ) p, eff p mer u( r) = rr( r) Korkeammassa kumaiikemäärätiassa eektronin potentiaaienergia kasvaa nopeasti pieniä etäisyyksiä. Tämä työntää aatofunktiota uospäin.

40 Eektronin magneettinen momentti Eektronin rataiikkeestä aiheutuu virta jonka suuruus on I = e ( ω π ) Ympyräradan pinta - aa on S = π r joten kassisen sähkömagnetismin mukaan e M = IS = e( ω π ) π r = rm eωr me e e M = rm ev = L Vektorimuodossa me me e e e M L = L; M L = L z z = m = µ Bm me me me e missä Bohrin magnetoni µ B = m e

41 Atomi ukoisessa magneettikentässä Jo vuonna 1890 hoantiainen fyysikko Pieter Zeeman ( ) oi havainnut kaasuatomien spektriviivojen hajoavan komeen osaan kun kaasu oi ukoisessa magneettikentässä. Zeeman sai työstään fysiikan Nobein 190. Arnod Sommerfed ( ) seitti Zeemanin havainnon 1916 siä, että rataiikkeen magneettinen momentti ja ukoisen kentän keskinäinen suunta vaikutti magneettisen momentin ja ukoisen kentän väisen vuorovaikutusenergian suuruuteen. Myöhemmin spektriviivojen muutoksissa ukoisessa magneettikentässä havaittiin isää yksityiskohtia. Jos eektronin spinmagneettinen momentti on hyvin heikko puhutaan normaaista muutoin anomaaisesta Zeeman efektistä.

42 Normaai Zeemanin imiö Energia magneettikentässä EBL = M L B = e = L B me Vaitaan B z - aksei e e EBL = L B = me m = µ BBm, missä m =. + 1,..., 1, e L B z Vaintasäännöt sähködipoitransitioissa = 0, ± 1 m

43 Zeeman efekti d-orbitaaeie Kassisen teorian mukaan spektriviiva tuisi evenemään hieman enemmän kuin äärimmäisten magneettisten aitiojen energia ero. Tämä aiheuttaisi optiseen spektriin yhden hyvin eveän viivan komen eriisen viivan (muista vaintasääntö!) sijaan.

44 Eektronin spin Spin on eektronin sisäinen kumaiikemäärä. Spin on ominaisuus, joka voidaan johtaa kvanttisähködynamiikasta. Kokeeisesti on havaittu, että eektronin spinvektorin pituus on aina sama ja spiniä on kaksi mahdoista suuntaa. Anaogia rataiikkeeseen ehdottaa: Kaksi suuntaa ms = s, + s yhden väein s = 1 s = 1/ Yksinkertaisin mahdoisuus : ˆ 3 S χm = s( s + 1 ) χ ; 1/ s m = χ s 4 m s = s Sˆ χ = mχ ; m = ± 1/ z m s m s s s

45 Spinmagneettinen momentti Spinin voidaan ajatea muodostuvan varaustiheyden kiertyessä eektronin aksein ympäri (Samue Goudsmit ja George Uhenbeck 195) Eektronin magneettisen momentin ja spinin suhde on e M = g S S me missä gyromagneettinen suhde gs,004. Tasaisesti varatue paoe g =. Spinmagneettisen momentin ja ukoisen kentän vuorovaikutus on e EBS = MB = g SmsB = µ B gsmsb me missä m = ± 1/. s S

46 Heikko spin-rata vuorovaikutus Jos spinratavuorovaikutus on hyvin heikko rata- ja spinmagneettinen momentti vuorovaikuttavat riippumattomasti ukoisen kentän kanssa. Vasemmassa aidassa B=0. Keskeä B on noasta poikkeava mutta spinmagneettinen momentti = 0. Oikeaa B ja moemmat magneettiset momentit ovat noasta poikkeavat. Tiat eikkaavat koska g S >

47 Hopea-atomin suuntakvantisointi Otto Stern ja Wather Herach tutkivat hopea-atomin magneettisen momentin suuntakvantittumista 19 (ennen kuin eektronin spin ymmärrettiin) Kun magneettikenttä B=0 atomit osuvat kokoojaevyä samae viivae (a), jos epähomogeeninen kenttä on päää suihku hajoaa kahteen osaan. Jos eektronisuihku johdetaan epähomogeeniseen kenttään sähköisten ja magneettisten voimien yhteisvaikutus hävittää efektin.

48 M E F S e = g s S me = MB = µ g m B p B S s Sternin ja Gerachin koe Neutraaiin atomiin kohdistuu vain kenttägradientista aiheutuva voima: B = E ˆ p = g S µ Bms k z Siirtymä = (1/ ) at missä a = F / M ; M hopea-atomin massa t = L / v; L magneetin pituus, v atomin nopeus Huomaa, että atomin magneettinen momentti ei ehdi kääntyä (ja emittoida fotonia) sinä aikana jona atomi on magneettikentässä

49 Kumaiikemäärän ja spinin summa Koska spinin suunta on kvantittunut mieivataisen referenssiaksein suhteen on uonnoista ajatea, että myös L ja S vektorit voivat oa vain kahdessa kumassa toisiinsa nähden. Kumaiikemäärien summavektoria voi siis oa vain kaksi eri pituutta. ( 1) ( 1) L = + S = s s + L = m S = m z z s m =,.. + m = ± 1/ Kokonaiskumaiikemäärä toteuttaa samat yhtäöt ( ) ( ) J = j j + 1, J = m, m = ± j, ± j 1,... z s

50 Kumaiikemäärän ja spinin summa Kuvan perusteea J :n pituudea voi oa vain kaksi arvoa. Lisäksi: J < L + S J > L S Koska kumaiikemäärä ja spin ovat vain osin yhden - tai vastakkaisuuntaiset. Jos oetamme, että j = puoiuku tai kokonaisuku, ehdot j( j + 1) < ( + 1) + 3 / j( j + 1) > ( + 1) 3 / toteuttaa ainoastaan j = + 1/ ja j = 1/ muia vainnoia toinen ehdoista ei toteudu.

51 Spin-rata vuorovaikutus Eektronia on yeisesti kaksi magneettista momenttia, jotka vuorovaikuttavat keskenään kuten kaksi magneettia. Ne pyrkivät tiaan jossa magneettimomentit ovat vastakkaissuuntaiset. Magneettien vuorovaikutus on me ESL = a S L a e M M = S L Vektorisumman perusteea 1 J = L + S + L S L S = j ( j 1) ( 1) s( s 1) a E SL = j ( j 1) ( 1) s( s 1) e 1 de p p Voidaan osoittaa : a( r) = ( = m c r dr e E Couombin ) pot. energia

52 Jos ukoinen kenttä = 0, eektronin kokonaiskumaiikemäärä J on iikevakio. Ms ja M L kiertävät J:n suunnan ympäri ja niiden summavektori on keskimäärin vastakkainen J:n suuntaan nähden. Landen g-tekijä e e 1 + S J M ave = ( M J / J ) J / J = ( J + S ) JJ / J = m e m J e J e S J j ( j + 1) + s( s + 1) ( + 1) M ave = gj ; g = 1+ = 1+ m e J j ( j + 1)

53 Anomaainen Zeemanin efekti Z Kokonaisenergia = EH + an L S M ave B n Z a E n e H + [ j ( j + 1) ( + 1) s( s + 1) ] + gmb n m e Lande - tekijä S J g = 1+ = J j j 1+ ( + 1) + 3/ 4 + ( + 1) j ( j + 1) =

54 Rutherfordin sironta Yhteenveto 1/6 1 Zze 1 Zze Lyhin kohtausetäisyys : D = = 4πε E 4πε Mv Rutherfordin sirontavaikutusaa : σ Kokonaissirontavaikutusaa : 0 Kin 0 0 d ( θ ) = 4π Makroskooppinen vaikutusaa : Σ = ρσ ρ = atomien km tiavuusyksikössä ( ) Suihkun vaimeneminen: 0 (, ) 1 zze 4 θ = sin 4πε 0 Mv 0 σ σ θ φ dω ρσ x 0 0 = = 0 I I e I e d 0 ; Σ x

55 Bohrin atomimai Saittujen ratojen säteet : Yhteenveto /6 ε 0 n h ε 0 0 Bohrin säde: 0 e Z π mee n h r = = a a = = 5, π m Ze n = 1,,3, m Energiatasot Rydbergin vakio 4 4 e R hcz m ; 1,,3,.. ee 3 0 ε 0 m e Z En = = n = R = 8ε h n n 8 h c

56 Fotoemissiospektri: Yhteenveto 3/6 RhcZ RhcZ n n 1 n1 n hf = E E = = RhcZ Kumaiikemäärän kvantittuminen ˆ 1 1 L = sin θ + sin θ θ θ sin θ φ ˆ L Ym = ( + 1) Y m missä = 0,1,,3,.. Kumaiikemäärän z - komponentin kvantittuminen Lˆ z = i φ Lˆ Y = my z m m Y m on paoharmoninen funktio L = m m = 0, ± 1, ±,..., ± z

57 Yhteenveto 4/6 Keskeiskenttäiikkeen kumaiikemäärätiat ja niiden degeneraatiot. Sivukvanttiuku Symboi s p d f g h Degeneraatio, g = ( ) ( ) P r = R r r = ytimestä asketun etäisyyden yksikköä kohden. n eektronin esiintymistodennäköisyys Vektorimuodossa e e e M = L; M = L = m = µ m z me me me e missä Bohrin magnetoni µ B = m L L z B e

58 Yhteenveto 5/6 Normaai Zeemanin efekti:energia magneettikentässä e EBL = M L B = L B me Vaitaan B z - aksei e e E = L B = L B = µ Bm me me missä m =. + 1,..., 1, BL z B Eektronin spin Kaksi suuntaa ms = s, + s, yhden väein s = 1 s = 1/ Yksinkertaisin mahdoisuus : ˆ 3 S χm = s( s + 1 ) χ ; 1/ s m = χ s 4 m s = s Sˆ χ = mχ ; m = ± 1/ z m s m s s s,

59 Yhteenveto 6/6 Eektronin magneettisen momentin ja spinin suhde e M = g SS me missä gyromagneettinen suhde g,004. Kokonaiskumaiikemäärä J = L + S ( ) ( ) J = j j + 1, J z = m, m = ± j, ± j 1,... j = ± 1/ Spin-rata vuorovaikutus me ESL = am S M L = as L e 1 L S = j ( j 1) ( 1) s( s 1) a E SL = j ( j + 1) ( + 1) s( s + 1) S