Kaksiatominen ideaalikaasu
|
|
- Sari Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kaksiatominen ideaaikaasu Useimmat kaasut koostuvat kaksi- tai useampiatomisista moekyyeistä. Vaikka kaasua voisi muuten pitää ähes ideaaisena, ei oettaa moekyyien väiset vuorovaikutukset pieniksi ja systeemin noudattavan ideaaikaasun tianyhtäöä, moekyyien sisäiset vuorovaikutukset on tarpeen ottaa huomioon tarkastetaessa kaasun termisiä ominaisuuksia. Erityisesti tämä näkyy eri ämpötioissa virittyvissä effektiivisissä vapausasteissa: mitä korkeampi ämpötia, sitä enemmän aktiivisia vapausasteita systeemissä on. arkasteaan nyt kaksiatomista ideaaikaasua. Sen Hamitonin operaattori voidaan äheä moekyyien tasapainotiaa kirjoittaa toisistaan riippumattomien termien summana H = H tr + H rot + H vib + H e + H yd H tr = p2 : ransaatioiikkettä vastaava energia, aina mukana 2m H rot = L2 : Pyörimisiike massakeskipisteen ympäri, virittyy kun joitakin 2I (kymmeniä) Kevinejä. H vib = ħω(n +1/2) : Ytimien väimatkan värähteyä eektroniverhon energiaminimin ympäriä; pieniä ampitudeia harmonista. Virittyy kun ~1 3 K. H e : Eektroniset energiat, iittyvät eektronisen rakenteen muutoksiin. Virittyvät kun ~1 4 K jätetään käytännön soveuksissa usein huomiotta. H yd : Liittyy ytimen vapausasteisiin. Virittyy kun ~1 1 K - normaaiooissa ainoa efekti ydinspineistä tueva degeneraatiokerroin g y = (2I 1 + 1)(2I 2 + 1), jossa I 1 ja I 2 vastaavat eri ytimien spinejä. Homopoaaristen ei samaytimisten moekyyien tapaus on tosin käsitetävä huoeisesti erikseen, ja paaamme siihen myöhemmin. Eri energiatermien väiä ei oe mainittavia kytkentöjä, ja siksi yhden moekyyin partitiofunktio faktorisoituu eri vapausasteiden väie Z 1 = Z tr,1 Z rot,1 Z vib,1 Z yd,1, 1
2 missä Z yd,1 = g y = (2I 1 + 1)(2I 2 + 1). N:n identtisen hiukkasen partitiofunktio saadaan puoestaan semikassisessa approksimaatiossa kaavasta Z N = 1 N! (Z 1) N, jonka nähdään pätevän hyvin mataia ämpötioja / korkeita tiheyksiä ukuunottamatta. arkasteaan nyt erikseen transaatioon, rotaatioon ja värähteyyn iittyviä kontribuutioita. Eei erikseen toisin sanota, suureet Z X viittaavat aa N:n hiukkasen systeemiin. ransaatio ransaatiokontribuutio partitiofunktioon on askettu jo aiemmin vuorovaikuttamattomien m-massaisten hiukkasten systeemiä tarkastetaessa. Jos kertomatekijä iitetään nimenomaan tähän osaan, tuoksena on Z tr = 1 N! ( V λ 3 ) N, mistä seuraa myös kaksiatomisee kaasue ideaaikaasun tianyhtäö (huomaa, että muut osat partitiofunktiosta eivät riipu tiavuudesta, eivätkä siis kontribuoi paineeseen) pv = N. Vastaava vapaa energia saa tunnetusti muodon F tr = N (n N V 3 2 n + 3 h2 n 2 2πm 1), mistä seuraa erityisesti systeemin sisäisee energiae U tr = 3 2 N, ei energiaa partitioituu iikkeen jokaiseen komeen suuntaan /2 per moekyyi (vrt. kassinen ekvipartitioteoreema). 2
3 Värähtey Kaksiatomisen kaasun atomien ytimet värähteevät eektroniverhosta johdettavissa oevan tasapainoaseman ympäriä potentiaaissa, joka on okaaisti kvadraattinen vastaten siis harmonista oskiaattoria tietyä ominaistaajuudea ω. Vastaavat energiatasot saadaan täöin harmonisen oskiaattorin spektristä E vib = ħω (n ) v (n ), n =,1,2, missä ämpötiaparametri v on suuruusuokkaa 1 3 K. ätä vastaa yhden hiukkasen tiasumma Z vib,1 = e β v(n+ 1 2 ) n= = e βv/2 (e β v) n n= = e β v/2 1 e β = 1 v 2 sinh. v 2 Yo. tuoksesta saadaan värähteyn termodynaamiset kontribuutiot Värähteyn vapaa energia: Entropia Sisäisen energia F vib = n Z vib = N n Z vib,1 = N n (2 sinh v 2 ) S vib = F vib = N n 2 sinh v 2 + N v 2 coth v 2 = F + N v 2 coth v 2. U vib = F + S = N v 2 coth v 2, jossa korkean ämpötian rajaa coth v 2 2 v ja U vib N. Vaikka värähtey tapahtuu yhdessä uottuvuudessa, energiaa on partitioitunut /2:n verran sekä värähteyn kineettisen että potentiaaienergian muotoihin. Lämpökapasiteetti 3
4 C V,vib = U vib = N ( v 2 ) 2 josta korkean ja mataan ämpötian rajoia ja : : 1 sinh 2, v 2 sinh v 2 v 2 C V,vib = N sinh v e v 2 C V,vib = N ( v ) 2 e v. utkimaa ämpökapasiteettia ämpötian funktiona nähdään varsin konkreettisesti, mitä värähteytiojen virittyminen ämpötian v äheisyydessä (tarkemmin v /2:n ympäriä) merkitsee: Erityisesti huomaamme, että korkean ämpötian rajaa systeemi käyttäytyy kassisen ekvipartitioteoreeman kanssa yhteensopivaa tavaa, ts. redusoituu kassisee rajae. Rotaatio Kvanttimekaanisee rotaatioiikkeee pätee tunnetusti E rot = ħ2 ( + 1) 2I ; =,1,2 m 1 m 2 missä I = i m i x 2 i = d 2 on moekyyin hitausmomentti (x m 1 +m i ytimen i etäisyys 2 massakeskipisteestä) ja d ytimien väinen etäisyys. Energian ominaisarvot ovat 4
5 (2 + 1) kertaisesti degeneroituneet, joten yhtä moekyyiä vastaavaksi tiasummaksi saadaan Z rot,1 = (2 + 1)e βħ2 (+1) 2I = = (2 + 1)e (+1) rot, = missä rot = ħ2 2I on rotaatioämpötia, tyypiisesti rot ~ 1 1 K. Koska summaa on vaikea askea anayyttisesti (numeerinen asku harjoitustehtävänä) tutkitaan ämpötiaskaaan ääripäitä: Mataat ämpötiat rot : Z rot, e 2 rot Z rot (1 + 3 e 2 N rot ). Rotaation vapaa energia: F rot = N n (1 + 3 e 2 rot ) 3Ne 2 rot Entropia: S rot = F rot 3N (1 + 2 rot ) 2 rot e Sisäinen energia: U rot = F rot + S rot 6 rot Ne 2 rot Lämpökapasiteetti: C V,rot = U rot 2 = 12N ( rot ) e 2 rot Korkeat ämpötiat rot : Z rot,1 = (2 + 1)e (+1) rot = (2 + 1)e (+1) rot d Nyt kirjoitetaan x = ( + 1) rot, jooin 5
6 (2 + 1)d = rot dx Z rot,1 dx e x rot = rot, minkä avua edeeen Z rot ( rot ) N ja: Rotaation vapaa energia: F rot N n rot Entropia: Sisäinen energia: Lämpökapasiteetti: S rot = F rot = N n + N rot U rot = F rot + S rot = N C V,rot N Jäeen näemme siis, että korkean ämpötian rajaa systeemi redusoituu oennaisesti kassiseksi (huomaa, että moekyyiä on kassisesti kaksi pyörimisvapausastetta). Kaikkinensa diatomisen kaasun ämpökapasiteetin ämpötiariippuvuus saa approksimatiivisesti seuraavan muodon: 6
7 Rotaatiotiasumman askeminen homopoaarisie moekyyeie Yä johdetut tuokset moekyyin pyörimisee pätevät, jos moekyyi on heteropoaarinen ei eriatominen. Homopoaarisia ei sama-atomisia moekyyeiä askussa on kuitenkin otava tarkempi ja tarkastetava samanaikaisesti ytimien mahdoisia spintioja. Kassisea (ei korkean ämpötian) rajaa tämä onnistuu kertomaa kokonaispartitiofunktio ydinspineihin iittyvää degeneraatiotekijää ja jakamaa sen rotaatio-osa permutaatiosymmetriasta tuevaa tekijää 2!, mutta yeisessä tapauksessa on tarkastetava ytimien aatofunktioiden symmetriaominaisuuksia. utkitaan asiaa esimerkin vaossa. Moekyaarisen vedyn H 2 ytimien (protoni) spin on I 1 = I 2 = 1, joten systeemin kokonaisspin I on joko tai 1: 2 Ortovety: I = 1, I z = 1,, 1. ripetti, symmetrinen spinaatofunktio. Paravety: I =, I z =. Singetti, antisymmetrinen spinaatofunktio. Ytimet (protonit) ovat identtisiä fermioneja, joten kokonaisaatofunktion tuee oa antisymmetrinen niiden vaihdossa. Siten spinaatofunktion uonteea on vaikutus rotaation saittuihin kvanttitioihin. Protonien permutoiminen vastaa suhteeisen paikkavektorin r = r 1 r 2 inversiota, ja tämän operaation symmetrisyys riippuu rotaatioon kvanttiuvun pariteetista (pariinen aatofunktio symmetrinen inversiossa, pariton antisymmetrinen). ämän näkee suoraan impussimomentin ominaisfunktioista ei paoharmonisista funktioista, joie pätee Y,m ( r r ) = ( 1) Y,m ( r r ). Kaikkiaan voimme siis pääteä, että rotaatioon iittyvät partitiofunktiot vedyä ovat: Ortovety: Paravety: Z rot,1 = (2 + 1)e (+1) rot Z rot,1 =1,3,5, para = (2 + 1)e (+1) rot, =,2,4, 7
8 minkä isäksi on huomioitava vieä spindegeneraatio g s : Ortovety: g s = 3 Paravety: g s = 1 Oemme siis päätyneet tuokseen Z rot yd,1 = 3Z orto rot,1 + Z para rot,1, joka pätee termisessä tasapainotiassa, käytännössä aueessa rot (H 2 :e rot = 85.4 K), jossa kaikki spintiat ovat ikimäärin yhtä todennäköisiä. ässä ort aueessa pätee isäksi Z rot,1 Z para rot,1 Z rot,1 /2, joten ortovetymoekyyien ukumäärän suhde paravetymoekyyeihin on 3:1 ja funktion Z rot yd,1 tuos todea redusoituu kassiseen rajaansa (jossa kerromme Z rot,1 :n degeneraatiotekijää 4 ja jaamme sen permutaatiotekijää 2!). Koko N:n hiukkasen systeemin partitiofunktioon saamme rotaatiosta ja ytimien spinistä kaikkiaan kontribuution Z rot yd = (Z rot yd,1 ) N. arkasteaan opuksi vieä yhyesti mataan ämpötian rajaa. Koska täää Z para rot,1 Z orto rot,1, on paravety sevästi haitseva, jos systeemi on termodynaamisessa tasapainossa, jossa moekyyien väiset törmäykset ovat auttaneet sitä reaksoitumaan energeettisesti suosioisimpaan tiaan. Reaksaatio vaatii kuitenkin aikaa, ja toisinaan ei termodynaamista tasapainoa saavuteta systeemiä jäähdytettäessä. Se jää sioin metastabiiiksi orto- ja parakaasujen seokseksi, jossa ortovetymoekyyien ukumäärän suhde paravetymoekyyeihin on edeeen noin 3:1. Metastabiiin systeemin tiasumma asketaan täöin kaavasta meta Z rot yd = (Z orto rot ) 3N/4 (Z para rot ) N/4, joka ottaa huomioon orto- ja paravedyn irtikytkeytymisen ja toisaata oikeat ukumääräsuhteet. Lopputuoksena saadaan additiiviset kontribuutiot eriaisiin termodynaamisiin suureisiin, kuten sisäiseen energiaan ja ämpökapasiteettiin. Kyseessä on esimerkki epäergodisesta systeemistä, jossa tasapainon saavuttaminen on estynyt iian pitkän reaksaatioajan takia. 8
9 Bose-Einstein- ja Fermi-Dirac-statistiikat arkasteaan seuraavaksi kvanttimekaanista versiota vuorovaikuttamattomasta ideaaikaasusta, ja pyritään vihdoin öytämään oikeat (ei vain approksimatiiviset) tuokset bosonisie ja fermionisie systeemeie. Monihiukkassysteemin Hamitonin operaattori voidaan tunnetusti ausua muodossa H = ε n, missä indeksi käy äpi kaikki yksihiukkastiat, ε on tian energian ominaisarvo ja n vastaavan tian miehitysukuoperaattori. Hamitonin funktion ominaistiat ovat nyt Fockin avaruuden kantatiat {n i }, joita vastaavat energian ominaisarvot E = ε n, missä miehitysuku n kertoo suotaan tiassa oevien hiukkasten ukumäärän ja antaa hiukkasten kokonaismääräksi tiassa {n i } N = n. Kvanttimekaniikasta muistamme, että bosoneia miehitysuku voi oa mikä tahansa uonnoinen uku,1,2,, kun taas fermioneia se voi oa ainoastaan tai 1. Koska H = H (n ) niin tiasumman askeminen kanonisessa joukossa on hankaaa, siä makrotiojen askemisessa on huoehdittava, että ehto N = n toteutuu. Sen sijaan suurkanonisessa joukossa hiukkasmäärä ei oe rajoitettu, ja partitiofunktion määrittäminen onkin sevästi hepompaa, koska 1-hiukkastiojen miehitykset eivät riipu toisistaan. Suurkanonisee tiasummae saadaan nyt vaivattomasti H :n ominaistiojen kannassa Z G = r e β(h μn ) = e β n(ε μ) n 1 n 2 = e βn (ε μ), n 9
10 jossa summa pystytään tekemään anayyttisesti vapaie systeemeie. Bosoien tapauksessa miehitysuku on rajoittamaton, joten saamme e βn (ε μ) n = = 1 1 e β(ε μ), kun taas fermioneia n =,1, joten 1 e βn (ε μ) n = = 1 + e β(ε μ). iasummiksi saadaan näin Z G = (1 e β(ε μ) ) 1 BE FD, missä käytämme notaatiota, jossa yemmät merkit antavat Bose-Einstein- ja aemmat Fermi-Dirac-statistiikan mukaiset tuokset. Suuri potentiaai saadaan nyt askettua yksinkertaisesti muodossa Ω = n Z G = ± n(1 e β(ε μ) ), jonka avua voidaan ausua myös keskimääräinen miehitysuku n = n = r n e β n (ε μ) Z G = ε n Z G = Ω ε = ± ±βe β(ε μ) 1 e β(ε μ) = 1 e β(ε μ) 1 BE FD ässä kaavassa - joka sivumennen sanoen on ehkä koko kurssin merkittävin yksittäinen tuos - on syytä huomata, että fermionie pätee automaattisesti n 1, aivan kuten pitääkin. Johdetaan seuraavaksi muutamia yksinkertaisia systeemin termodynaamiikkaa kuvaavia tuoksia. Entropiae saadaan 1 S = ( Ω ) μ,v = {n(1 e β(ε μ) ) + e β(ε μ) 1 e β(ε μ) ε μ 2 }
11 = { β(ε μ) + n(e β(ε μ) 1) β(ε μ) e β(ε μ) 1 }. Koska toisaata n = edeeen 1 e β(ε μ) 1 β(ε μ) = n ( 1 n ± 1) = n ( 1±n ), saadaan n S = { n ( 1 ± n ) + n 1 n n n n ( 1 ± n )} n = {± n(1 ± n ) + n n(1 ± n ) n n n } = {± (1 ± n )n(1 ± n ) n n n }. Hiukkasuvu sekä systeemin kokonaisenergian odotusarvoie saadaan puoestaan heposti varsin intuitiiviset tuokset N = n, E = n ε. Esimerkki: Vapaat ei-reativistiset hiukkaset jatkumossa ähän asti kaikki johdetut tuokset ovat oeet täysin yeisiä ja voimassa mie tahansa energiaspektrie - ainoana oetuksena se, etteivät yksittäiset hiukkaset vuorovaikuta keskenään. Katsotaan nyt tarkemmin epäreativistista vuorovaikuttamatonta systeemiä, joe tunnetusti ε k = ħ2 k 2, ja mennään jatkumorajae tutua tavaa kirjoittamaa 2m 2πg ( 2m h 2 )3/2 V dε ε C 1 V dε ε, missä oemme jäeen merkinneet C 1 = 2πg( 2m h 2 )3/2. Suuree potentiaaie saadaan nyt 11
12 Ω = ±C 1 V dε ε josta suorittamaa yksi osittaisintegrointi n(1 e β(ε μ) ), dε ε = 2 päädytään tuokseen n(1 e β(ε μ) ) Sisäinen energia on vuorostaan 3 ε3/2 n(1 e β(ε μ) ) dε 2 e β(ε μ) ( β) 3 ε3/2 1 e β(ε μ) Ω = 2 3 C 1V ε 3/2 e β(ε μ) 1 dε. E = n ε = C 1 V ε 3/2 e β(ε μ) 1 dε, joten sevästi Ω = pv = 2 3 E. Oemme siis johtaneet epäreativistisen ideaaikaasun tianyhtäön pv = 2 3 E, joka pätee sekä bosoneie että fermioneie. arkasteaan vieä opuksi kassisen ideaaikaasun rajaa, ei tiannetta, jossa miehitysuvut ovat pieniä, n 1. Sioin pätee sevästi joten suuresta potentiaaista saadaan n e β(ε μ), Ω = pv = 2 3 C 1V ε 3/2 e β(ε μ) dε 12
13 = 2 3 C 1Ve μ/ 5/2 dx x 3/2 e x = g ( 2πm h 2 ) 3/2 Ve μ/ 5/2. ästä voidaan ratkaista edeeen kemiainen potentiaai μ = [n p 5 3/2 n n (g (2πm 2 h 2 ) )], joka huomataan yhtäpitäväksi aiemmin kassisee ideaaikaasue saadun tuoksen kanssa. Kvanttistatistiikan kassinen raja on siis n e β(ε μ) 1. Jotta tämä pätisi kaikie energioie, täytyy meidän sevästi vaatia e βμ 1, ts. kemiaisen potentiaain tuee oa negatiivinen ja sevästi ämpötiaa suurempi. äe ehdoe voidaan johtaa varsin hyödyinen muoto askemaa fugasiteetti kokonaishiukkasukumäärästä N = ( Ω μ ) h2 e βμ = ( 2πm ) ästä saadaan ehdoksi kassisee rajae = g ( 2πm h 2 ) 3/2 Ve βμ 3/2 g N V = 1 g λ 3 N V ; λ = h2 2πm. λ 3 V N, mikä voidaan tukita varsin yksinkertaisesti vaatimukseksi siitä, että aatopaketit eivät (keskimäärin) saa peittää toisiaan. ää rajaa, joka kiinnitetyä hiukkastiheydeä redusoituu korkean ämpötian rajaksi, sekä FD- että BE-kaasut käyttäytyvät siis kassisesti. 13
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotOsoitetaan tämä nyt formaalisti esimerkkitehtävänä lähtien liikkeelle kombinatorisesta tuloksesta
Viime uennon opussa äpikäydyssä esimerkkitehtävässä näimme, että ainakin mataissa kertauvuissa :stä pisteestä koostuvia yhtenäisiä graafeia q on äheinen yhteys yeiseen graafisummaan Q N vieäpä niin, että
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotBOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio
BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
Lisätiedotρ = qψ ψ ja pallokoordinaatiston differentiaalielementti * 2 3 * l lm 1 ml
S-6 FSIIKKA IV (Sf) Kevät 5 LHSf Ratkaisut LHSf- Vaausjakauman ρ( ) dipoimomentti määiteään ( ) zρdv ja quadupoimomentti z ρdv (a) Osoita että dipoimomenttiopeaattoin odotusavo on noa kaikie vedyn stationääisie
LisätiedotLukuteorian kertausta ja syvennystä
Lukuteorian kertausta ja syvennystä Tehtäviä jaoisuudesta 1. Okoot a, b, c ja d kokonaisukuja, joie a c ja (a c) (ab + cd). Osoita, että (a c) (ad + bc).. Okoon n pariton positiivinen kokonaisuku. Osoita,
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotFERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit
FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotAVARUUSGEOMETRIA. Suorat ja tasot avaruudessa
VRUUSGEOMERI varuusgeometria tarkasteee kuvioita, joiden kaikki osat eivät oe samassa tasossa. Sana avaruus tarkoittaa yeisesti n-uotteista, n 3, avaruutta. (Lukiossa ähes aina n = 3.) Suorat ja tasot
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat
Lisätiedot4πε. on molekyylin ionisaatioenergia eli energia, joka vaaditaan elektronin siirtämiseen K:lta Cl:lle. (a) Potentiaalin attraktiivinen osa on 2
S-446 FYSKKA V (Sf Kevät 5 LHSf4 Ratkaisut - LHSf4- K - ja C -ionien tasapainoetäisyys KC oekyyissä on r = 67 n (a Laske ionien väinen attraktiivinen potentiaaienergia oettaaa että ionit ovat pistevarauksia
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotLIITE 1 LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2014
LIITE 1 LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2014 Liite 1: Vuoropysäköintikysey 2014 Lehtoniemen aueeta tueiden asukaspaautteiden pohjata on Kanavaharjunkadua sekä Järvihemenkadua
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
LisätiedotEkvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.
. Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet
LisätiedotKLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa
LisätiedotMagneettiset materiaalit ja magneettikentän energia
agneettiset ateriaait ja agneettikentän energia ateriaait jaetaan agneettisten oinaisuuksiensa ukaan koeen uokkaan: diaagneettiset, paraagneettiset ja ferroagneettiset aineet. ateria koostuu atoeista,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta
LisätiedotLIITE 2: LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2015
LIITE 2: LEHTONIEMI JA PEIKKOMETSÄN ALUE, VUOROPYSÄKÖINTIKYSELY TULOKSET V.2015 Liite 2: Vuoropysäköintikysey 2015 Lehtoniemen aueeta tueiden asukaspaautteiden pohjata on Kanavaharjunkadua sekä Järvihemenkadua
LisätiedotKuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio
Kuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio Tyypillinen kuljetusteoriassa tarkasteltava systeemi on sellainen, että hiukkastiheyden, hiukkasten keskimääräisen nopeuden ja siten lämpötilan arvot riippuvat
Lisätiedot11 Kvantti-ideaalikaasu
35 Kvantti-ideaalikaasu - Kvanttistatistiikka Kappaleessa 9 tarkasteltiin klassisissa olosuhteissa esiintyvää ideaalikaasua. Tällaisessa kaasussa molekyylien tavoitettavissa on niin paljon yksihiukkastiloja,
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
LisätiedotMAOL:n pistesuositus kemian reaalikokeen tehtäviin syksyllä 2011.
MAL:n pistesuositus kemian reaaikokeen tehtäviin syksyä 2011. - Tehtävän eri osat arvosteaan 1/3 pisteen tarkkuudea ja oppusumma pyöristetään kokonaisiksi pisteiksi. Tehtävän sisää pieniä puutteita voi
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotFERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit
FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotIntegroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj
S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMiksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa?
Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa? cm 3 kaasua NTP ssä ~ 3 9 molekyyliä P, T? (paine ja lämpötila?) tarvitaan joitakin estimaatteja jokaisen hiukkasen dynaamisesta tilasta, todennäköisyysjakaumia
LisätiedotKLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1)
KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) Palaamme kurssin lopuksi vielä hetkeksi tasapainosysteemien pariin, mutta tarkastelemme nyt todellisten systeemien kannalta realistisempaa tilannetta, jossa hiukkasten
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotVesiliuoksen ph ja poh-arvot
REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Vesiiuoksen ph ja poh-arvot Taustaa: Happojen ja emästen aimeissa vesiiuoksissa oksonium- ja hydroksidi-ionien konsentraatiot ovat pieniä, ae 1,0 mo/. Esimerkiksi 0,1 moaarisen
Lisätiedot267 Rengasprofiilin muoto, eli transmittanssin (11.4.2) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta:
67 Rengasprofiiin muoto, ei transmittanssin (.4.) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta: Kuvan käyrät vastaavat siis esimerkiksi interferenssikuvion keskikohdassa
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
LisätiedotMonen elektronin atomit
Monen eektronin atomit Heium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aatofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Pauin kietosääntö Akuaineiden jaksoinen järjestemä Heiumin emissiospektri Vety Heium Vedyn
Lisätiedotν = S Fysiikka III (ES) Tentti Ratkaisut
S-45 Fysiikka III (ES) etti 8500 Ratkaisut Ideaalikaasu suorittaa oheise kua esittämä kiertoprosessi abca Pisteessä a lämpötila o 0 K a) Kuika mota moolia kaasua o? b) Määritä kaasu lämpötila pisteissä
LisätiedotFourier-menetelmät osittaisdierentiaaliyhtälöissä
Fourier-menetemät osittaisdierentiaaiyhtäöissä Pro gradu -tutkiema Vie Vestman 74 Itä-Suomen yiopisto 23. okakuuta 23 Sisätö Johdanto 2 Aku- ja reuna-arvo-ongemien ratkaiseminen 2 2. Perusmääritemiä ja
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotKemian koe, KE3 Reaktiot ja energia RATKAISUT Maanantai VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN
Kemian koe, KE3 Reaktiot ja eneria RATKAISUT Sievin ukio Maanantai 9.1.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN 1. A. Seitä käsitteet ja määritemät (yhyesti), isää tarvittaessa kemiainen merkintätapa: a)
LisätiedotS , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut
S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotOsoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta.
Pituuden kontraktio Luento Luento Osoitetaan esimerkin avua, että vaonnopeuden invarianssi johtaa myös väimatkojen suhteeisuuteen Puhutaan pituuden kontraktiosta Ks kuvaa aa Maire istuu junassa (koord
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotErotusrajaksi on määritelty maksimin puoliarvoleveys:
69 Erotusrajaksi on määritety maksimin puoiarvoeveys: ' Tarvittava juovien väinen etäisyys on siis 4 ( D d) min = d c =. (.4.5) F Tätä vaihe-eroa vastaava aaonpituusero saadaan seuraavasti: p d = D, missä
Lisätiedotδ 0 [m] pistevoimasta 1 kn aiheutuva suurin kokonaistaipuma δ 1 [m] pistevoimasta 1 kn aiheutuva suurin paikallinen taipuma ζ [-] vaimennussuhde
SYMBOLILUETTELO a [/s ] ihisen käveystä aiheutuva askettu kiihtyvyys x [] huoneen suurin eveys- tai pituus [] attian eveys eff [] attian värähteevän osan tehoinen eveys e=,78 [-] Neperin uku s [] attiapakkien
LisätiedotPuskuriliuokset ja niiden toimintaperiaate
Puskuriiuokset ja niiden toimintaperiaate REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Määritemä, puskuriiuos: Liuoksia, joiden ph-arvo ei merkittävästi muutu, kun niihin isätään pieniä määriä happoa tai emästä tai vettä
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotTRY TERÄSNORMIKORTTI N:o 11/2000 [korvaa Teräsnormikortin N:o 5/1997] Kävelystä aiheutuvat välipohjien värähtelyt
TRY TERÄSNORMIKORTTI N:o 11/2000 [korvaa Teräsnormikortin N:o 5/1997] RakMK B7:n kohta: 3.6.2 RakMK B7 1996 RakMK B6:n kohta: 3.6.2 RakMK B6 1989 Käveystä aiheutuvat väipohjien värähteyt Yhteyshenkiö:
LisätiedotReaktionopeus ja aktivoitumisenergia
REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Reaktionopeus ja aktivoitumisenergia Mitä tarkoittaa reaktionopeus? Miksi eintarvikkeissa on parasta ennen päiväys? Entä miksi maito säiytetään jääkaapissa? Maidon happaneminen
LisätiedotEnnen kuin ryhdyt päivittämään
Johdanto Tämä CD-ROM-evy sisätää Phiipsin ensimmäisen sukupoven DVD-taentimen vamisohjemapäivityksen, joka isää soittimeen DVD+R-evyjen taennusmahdoisuuden sekä useita muita kiinnostavia toimintoja. Päivitystä
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
Lisätiedotinfoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2
infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedotja raja-arvot ehdotetuille kriteereille. Menetelmiä
attioiden värähteysuunnitteu Asko Taja, dipomi-insinööri Tomi Toratti, tekniikan tohtori VTT Rakennus- ja yhdyskuntatekniikka asko.taja@vtt.i tomi.toratti@vtt.i Artikkeissa esitetään menetemät, joia voidaan
LisätiedotStatistinen fysiikka, osa B (FYSA2042)
Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Kimmo Kainulainen kimmo.kainulainen@jyu.fi Huone: FL220. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2018 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot