Osoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Osoitetaan esimerkin avulla, että valonnopeuden invarianssi johtaa myös välimatkojen suhteellisuuteen. Puhutaan pituuden kontraktiosta."

Annika Koskinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pituuden kontraktio Luento Luento Osoitetaan esimerkin avua, että vaonnopeuden invarianssi johtaa myös väimatkojen suhteeisuuteen Puhutaan pituuden kontraktiosta Ks kuvaa aa Maire istuu junassa (koord S ), joka iikkuu nopeudea u Taunon suhteen (koord S) Junassa on tanko, jonka pituus on 0 Sen päästä päähän kukee vaonsäde nopeudea Edestakaiseen matkaan kuuva aika on (ominaisaika, koska säde ähtee ja saapuu samaan pisteeseen S :ssa) Δt 0 0 Taunon koordinaatistossa tangon pituus on Jos vaonsäteen matkaan akupäästä oppupäähän kuuu S:ssä aika Δt 1, vaonsäteen kukema matka d + uδt 1 Koska vao kukee nopeudea, on myös totta d Δt 1 1

2 Näistä kahdesta yhtäöstä seuraa Δt 1 u Vastaava päättey osoittaa, että vaonsäteen pauumatka kestää Δt, + u joten edestakaiseen matkaan kuuva aika S:ssä on Δt u + + u (1 u γ / ) Toisaata Δt γ Δt γ 0 0, joten 0 0 u / γ Pituuden kontraktio Koordinaatistossa S, jossa tanko iikkuu, tanko on siis yhyempi kuin tangon epokoordinaatistossa Lepokoordinaatistossa mitattu pituus on ominaispituus (proper ength) Huomaa, että yheneminen imenee vain iikkeen suunnassa, ei iikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa Kappaeen mittasuhteet iikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa pysyvät muuttumattomina

3 Esimerkki Avaruusaus ohittaa Maan nopeudea 0990 Avaruusauksen miehistö on mitannut auksen pituudeksi 400 m Mikä on auksen pituus Maasta mitattuna? Auksen pituutta mitataan kahdessa vertaiujärjestemässä, jotka iikkuvat toistensa suhteen vakionopeudea, ja pituus mitataan suhteeisen iikkeen suunnassa Voidaan sovetaan pituuden kontraktion kaavaa Auksen ominaispituus L 0 on auksen mukana iikkuvassa koordinaatistossa mitattu pituus ei L m Maan koordinaatistossa mitattu pituus on siten L L 0 ( u / ) 400m ( (0990) / ) 564m Huomaa myös, että se mitä iikkuva kappae näyttää on eriasia kuin miainen kappae on Havainnointi perustuu vaon tai muun signaain kukuun kappaeesta simään tai muuhun havaintoaitteeseen Signaain ääreinen etenemisvauhti vaikuttaa havaintoon Mieti mitä nopeasti iikkuva kuutio näyttäisi Pakkien takapäästä tuevat säteet ovat ähteneet aikaisemmin iikkeee kuin etupäästä tuevat Niiden oessa matkaa, pakkien etupäät ovat ehtineet siirtyä oikeae 3

4 Lorentzin muunnokset Edeä huomasimme, että vaonnopeuden invarianssista seuraa etäisyyksien ja aikaväien suhteeisuus ei ne riippuvat koordinaatistojen nopeuksista toistensa suhteen Tämä tarkoittaa, että sekä paikka (,y,z) että aika t ovat suhteeisia ja muuttuvat kuin siirrytään koordinaatistosta toiseen Paikkaa ja aikaa on tarkastetava yhdessä ja puhuttava tapahtumasta ja tapahtuman koordinaateista (,y,z,t) Puhutaan paikka-aika-avaruudesta tai aikaavaruudesta tai Minkowskin avaruudesta Lorentzin muunnokset kertovat, miten tapahtuman koordinaatit muuttuvat, kun siirrytään inertiaaikoordinaatistosta toiseen Jos koordinaatistojen väinen iike on -akseien suunnassa ja suhteeiseen iikkeen nopeus on u, Lorentzin muunnos on ' y' z' t' u y, z, ut t u / u / / γ ( ut), γ ( t u / ) Usein on hyödyistä tarkastea ajan t sijasta suuretta t, joa on sama dimensio (metri) kuin paikkakoordinaateia Se muuntuu näin: t' γ ( t u ) 4

5 Lorentzin kaavojen johtaminen Oetetaan, että koordinaatistojen S ja S origot kohtaavat hetkeä tt 0 Tarkasteaan avaruuden pisteen P paikkaa eri koordinaatistoissa (ks aa oeva kuva) Origon O etäisyys origosta O hetkeä t on S:ssä mitattuna ut, jossa u on S :n nopeus S:ssä Pisteen P iikkeen suuntainen komponentti on origon O ja pisteen väisen etäisyyden ominaispituus, joten S:ssä mitattuna tämän sama väimatka on γ -1 Pisteen P etäisyys - suunnassa koordinaatiston S origosta O on S:ssä mitattuna siis O:n ja O :n väinen etäisyys + O :n ja P:n väinen etäisyys ei ut + ' u / Tästä seuraa ratkaisemaa Lorentzin paikkakoordinaattia koskeva muunnos γ (-ut) Suhteeisuusteorian toisen oetuksen mukaan eri inertiaaikoordinaatistoissa fysiikan ait pitää oa voimassa samanmuotoisina Jos yä oeva tarkasteu tehdään S:n sijasta S :ssa, saatava kaava tuee oa ' ut' + u / Ainoa fysikaainen ero tianteiden väiä on, että nyt iikkuvan koordinaatiston (S) nopeus tarkasteukoordinaatiston (S ) suhteen on u, kun se edeä oi u 5

6 Kun edeisen sivun kahdesta yhtäöstä eiminoidaan, saadaan ajan Lorentzin muunnos t γ (t-u/ ) Pituuden ja ominaisajan mittaaminen Tarkasteaan kahta aika-paikka-avaruuden pistettä ei kahta tapahtumaa T 1 ja T, jotka tapahtuvat -akseia Tapahtumien koordinaatit koordinaatistossa S ovat ( 1,t 1 ) ja (,t ) Tapahtumia on yeensä sekä paikainen että ajainen väimatka, Δ 1 ja Δt t t 1 Kappaeen pituuden mittaus tarkoittaa kappaeen (tai väimatkan) päätepisteiden paikan ukemista samaa hetkeä ei kyse on kahdesta samanaikaisesta tapahtumasta ( 1,t) ja (,t), Δ Δt 1, Δ on kappaeen pituus tarkasteukoordinaatistossa Okoon S kappaeen epokoordinaatisto, jonka suhteen S iikkuu nopeudea u S :ssa mitattu kappaeen pituus on kappaeen epopituus ei Δ 0 (Päätepisteiden ukeminen ei täää tarvitse oa samanaikaista, koska kappae on paikoiaan) Lorentzin muunnoskaavoista nähdään, että S:ssa samanaikaisen tapahtumaparin ( 1,t) ja (,t) väimatka S :ssa on 0 Δ - 1 γ ( - 1 ) γ (Δ - uδt) γ Δ γ Tapahtumaparin ajainen väimatka on yhimmiään sioin, kun tapahtumat ovat samanpaikkaisia Tämä on tapahtumaparin ominaisaika Tarkasteaan samanpaikkaisia tapahtumia koordinaatistossa S, (,t 1 ) ja (,t ) Δ' 0, Δt' t' t' 1 Lorentzin muunnoskaavoista näkee, että koordinaatistossa S, jonka suhteen S iikkuu nopeudea u, aikaväi on Δt γδt 6 0

7 Nopeuksien Lorentzin muunnos Tarkasteaan -suunnassa iikkuvaa kappaetta koordinaatistossa S ja sen suhteen -aksein suuntaan nopeudea u iikkuvassa koordinaatistossa S Paikan ja ajan infinitesimaaisten muutosten väiä vaitsee Lorentzin muunnoskaavojen perusteea d' γ ( d udt), dt' γ ( dt ud / Muodostetaan yhtäöiden moemmista puoista osamäärä ja jaetaan vasemman puoen osamäärässä osoittaja ja nimittäjä dt:ä: d u d' dt dt' u d dt ) Kappaeen paikan aikaderivaatat ovat nopeuksia, joten saadaan nopeuksien Lorentzin muunnos v v u uv / ' S v S u Vastaavasti v v' + u -u S S 1+ uv' / v 7

8 Soveetaan nopeuden Lorentzin muunnosta vaoon Vaonsäde etenee S:ssä -aksein suuntaan nopeudea v Edeisten kaavojen mukaan sen nopeus S :ssa on v v u uv / u u / ' Vaonnopeus on siis sama kaikissa inertiaaikoordinaatistoissatämä ei oe yätys, siä Lorentzin muunnokset on johdettu tästä oetuksesta ähtien Nopeuden muunnoskaavoista näkee myös, että kappaeen nopeus on pienempi kuin vaonnopeus jossakin koordinaatistossa, se sitä kaikissa muissakin inertiaaikoordinaatistossa Tämä tarkoittaa, että mitään kappaetta ei voi kiihdyttää vaonnopeuteen eikä sen yi Invariantti neiömuoto Lorentzin muunnoksista seuraa, että (harj) ( t ) ( + y + z ) ( t' ) ( ' + y' + z' ei suure ( t ) ( + y + z ) ) on invariantti Lorentzin muunnoksissa Sitä sanotaan invariantiksi neiömuodoksi Samoin on suure ( Δt) ( Δ + Δy + Δz on invariantti Tätä voi pitää (,t)-avaruuden vektorin pituutena ei tavaisen 3-komiavaruuden vektorin Pituuden ( +y +z ) yeistyksenä Minkowskin avaruuteen ) 8

9 Pohdittavaa Miten eo oisi eriaista, jos vaonnopeus oisikin vain 10 m/s eikä km/s? Miten 10 m pitkän ipputangon saa sopimaan 5 m pitkään autotaiin? Mitä näyttää vaonnopeudea iikkuvan hiukkasen maaima? Kuinka pitkä matka on Maasta Kuuhun? Kauanko kesti 30-vuotinen sota? 9

Samankaltaiset tiedostot

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi Moderni fysiikka Syyslukukausi 008 Jukka Maalampi 1 1. Suhteellisuus Galilein suhteellisuuus Fysiikan lakien suhteellisuus Suppea suhteellisuusteoria Samanaikaisuuden suhteellisuus Ajan dilaatio Pituuden