3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

Transkriptio

1 Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille a < x < b kuuluva piste c siten, että f (b) f (c) = b f (a) f (b) f (a) = f (c)(b a) a Geometrisesti väite merkitsee sitä, että avoimella välillä on ainakin yksi sellainen piste, mihin käyrän y = f(x) kuvaajalle asetettu tangentti on pisteitä (a, f(a)) ja (b, f(b)) yhdistävän janan PQ suuntainen Q P (x, y) a c b Tod: Olkoon (x,y) mielivaltainen janan PQ piste Tämän janan kulmakerroin y voidaan lausua kahdella tavalla nojautuen tulokseen kk = y : x x y f (a) f (b) f (a) f (b) f (a) kk = = y f (a) = (x a) eli x a b a b a f (b) f (a) y = (x a) + f (a) b a

2 Muodostetaan sitten tarkasteltavan funktion f (= kuvan käyrä) ja ylle johdetun funktion y (joka taitaa kuvata janaa PQ) erotus F(x): f (b) f (a) F(x) = f(x) y = f (x) (x a) f (a) b a Funktio F(x) on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b F(x) on derivoituva välillä a < x < b F(a) = F(b) ja täyttää siten Rollen lauseen oletukset Tällöin funktiolla F on ainakin yksi välille a < x < b kuuluva derivaatan nollakohta c f (b) f (a) F(x) = f (x) (x a) f (a) b a f (b) f (a) F (x) = 0 ja nyt on siis olemassa c, jolle b a f (b) F (c) = 0 f (c) b f (a) = 0 a f (b) f (c) = b f (a) a Väliarvolauseella on kohtalaisen suuri merkitys johdettaessa eräitä keskeisiä tuloksia, jotka liittyvät funktion kulun tutkimiseen ja kuvaajan piirtämiseen Jossain määrin lausetta käytetään myös virhearviointiin, joskaan asialla ei ole suurta käytännön merkitystä sen takia, että laskimilla saa hyvinkin tarkkoja likiarvoja tarvitsematta turvautua mihinkään erityismenetelmiin Katsotaan kuitenkin malliksi yksi esimerkki Esim Arvioi, kuinka suuri virhe tehdään, jos lausekkeen π likiarvo laske-taan käyttäen likiarvoa π Sovelletaan väliarvolausetta funktioon f(x) = x välillä [, π] Polynomifunktiona f täyttää väliarvolauseen oletukset ja tällöin

3 f ( π ) f () = f (c)( π ) Tässä tilanteessa ei tiedetä pisteen c x-koordinaattia, mutta kun on tarkoitus arvioida virheen yläraja (jonka yhtälön vasen puoli antaisi tarkasti), annetaan c:lle mahdollisimman suuri arvo, eli otetaan tarkasteltavan välin loppupiste Virhe f ( π ) f () < π ( π ) = 5 Laskimella saadaan virhe tarkemmin: π = 57 Erotuksen positiivisuus kertoo, että likiarvoa käyttäen saatu tulos on liian pieni Oletetaan nyt, että funktio f on derivoituva välin I jokaisessa pisteessä ja että derivaatta toteuttaa välin jokaisessa pisteessä ehdon > 0 Otetaan väliltä I kaksi täysin mielivaltaista pistettä x ja x, joista välille kuulumisen lisäksi tiedetään ainoastaan se, että x < x Koska väli x x x on välin I osaväli, niin tällä välillä väliarvolauseen oletukset ovat täytetyt Siis (*) f (x) f (x) = f (c)(x x) ja c kuuluu välille x < x < x Koska derivaatta > 0 (oletuksen mukaan) ja myös erotus x x > 0, niin yhtälön (*) vasen puoli on myös positiivinen, mikä merkitsee sitä, että f (x) f (x) > 0 Suurempaan x:n arvoon liittyy suurempi funktion (kuvaajan y koordinaatin) arvo Sanotaan, että funktio on aidosti kasvava LAUSE 5 Olkoon f derivoituva funktio välillä I Tällöin välin I niillä osaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä toteutuu ehto > 0, funktio f on aidosti kasvava < 0, funktio f on aidosti vähenevä

4 LAUSE 6 INTEGRAALILASKENNAN PERUSLAUSE Olkoon f derivoituva funktio välillä I, ja olkoon välin jokaisessa pisteessä = 0 Tällöin f on vakiofunktio, eli saa välin jokaisessa pisteessä saman arvon Tod: Olkoon x < x ja molemmat välin I mielivaltaisia pisteitä Väliarvolauseen oletukset ovat voimassa välillä x x x, joten f (x) f (x) = f (c)(x x) f (x) f (x) = 0 f (x) = f (x) = 0 Aikaisemmin on todistettu, että vakiofunktion derivaatta on nolla Integraalilaskennan peruslause (lause 76) on tämän käänteislause, josta on pääteltävissä, että vain vakiofunktion derivaatta on nolla Esim Tutki, millä x:n arvoilla funktio f on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä, kun f(x) = x x + 7 Funktio f on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla reaalilukujen joukossa ja derivoituvana funktiona se on myös jatkuva = x > 0 x > 0 x > x > x > ja Funktio f on aidosti kasvava, kun on aidosti vähenevä, kun x < Mitä ihmettä funktiolle tapahtuu pisteessä x =? Tiedäthän, että funktion f kuvaaja tässä esimerkissä on ylöspäin aukeava paraabeli

5 Esim Laadi funktion f derivaatan merkkikaavio, f(x) = x x 6x + Päättele merkkikaavion avulla, milloin f on aidosti kasvava ja milloin aidosti vähenevä Funktio f on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla reaalilukujen joukossa ja derivoituvana funktiona se on myös jatkuva f(x) = x x 6x + = 6x 6x x Haetaan ensin derivaatan nollakohdat eli ratkaistaan yhtälö = 0 6x 6x x = 0 6x(x x ) = 0 Tulon nollasääntö antaa x = 0 tai x x = 0 Edelleen x = 0 x = tai x = x Derivaattapolynomi voidaan nyt jakaa ensiasteen tekijöihin: = 6x 6x x = 6x(x )(x + ) x > 0, kun x > x + > 0, kun x > Derivaatan merkkikaavio: 0 x + + x + x f (x) + + f(x) vähenee kasvaa vähenee kasvaa Vastaus: f aidosti kasvava, kun < x < 0 tai kun x > f aidosti vähenevä, kun x < tai kun 0 < x <

6 Valtaosa oppikirjoista puhuu funktion muuttumisen ollessa kyseessä pelkästään käyttäen termejä kasvava tai vähenevä Kun puhutaan kasvamisesta, jätetään siis lisäkuvausta antava aitous pois tarkoittaen funktion ominaisuutta, ettei se jollakin välillä ainakaan vähene Tällä välillä saattaa siis olla osaväli, jolla funktion arvot pysyvät vakiona tai sitten taas suurenevat x:n arvojen suuretessa Tämä tällainen määrittely on kai lupa luonnehtia sangen keinotekoiseksi, sillä kuvatunlaisia funktioita ei lainkaan ole ainakaan, jos ne annetaan yhdellä lausekkeella Paloittain määritellyillä funktiolla toki osan matkaa vakio ja sitten aidosti kasvava -tilanne saattaa hyvinkin esiintyä Derivaatan positiivisuusvaatimusta voidaan kyllä hiukan lieventää menettämättä funktion kasvamisen aitoutta LAUSE 7 Olkoon f derivoituva funktio välillä I Tällöin välin I niillä osaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä toteutuu ehto 0, mutta saa arvon nolla vain välin yksittäisissä pisteissä, funktio f on aidosti kasvava 0, mutta saa arvon nolla vain välin yksittäisissä pisteissä funktio f on aidosti vähenevä Esim Funktio f(x) = x on aidosti kasvava, vaikka sen derivaatta x tulee nollaksi pisteessä x = 0 Tämä on kuitenkin vain yksittäinen piste ja kaikilla muilla reaaliluvuilla derivaatta on positiivinen Tällaisessa derivaatan nollakohdassa, jossa derivaatan merkki kuitenkaan ei vaihdu, funktion kasvu ikään kuin pikku hetkeksi pysähtyy, mutta sitten välittömästi jatkuu