14. Lokaali approksimointi. Neliömuodot. Hessen matriisi.
|
|
- Esa Saaristo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 MAT LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tmperee tekillie yliopisto Risto Silveoie Kevät Lokli pproksimoiti. Neliömuodot. Hesse mtriisi. Seurvss o lyhyeä esitykseä kirj luvuss 14 olev teori. Lähestymistp ero hiem kirjst, mutt joht smoihi lopputuloksii. Plutet mielii derivt määritelmä relifuktiolle: Fuktio f : derivtt f ( x ) pisteessä x o, jos erotusosmäärä rj-rvo f x+ h f x lim h 0 ( ) ( ) h o olemss j =. Tämä void kirjoitt muotoo f ( x+ h) f( x) = h+ ε( h) h, missä ε( h) 0, ku h 0. Ku muuttuj s lisäykse h, fuktio muutos o siis h: lierie luseke h plus h: muk oll meevä jääöstermi. Tällöi sot myös, että fuktio f o pisteessä x differetioituv. Fuktio f derivtt o siis muutokse h kerroi. Tämä omiisuus voitisii ott erotusosmäärä rj-rvo semst derivt määritelmäksi. Kosk differetioituvuude käsite ei käytä jkolsku, se o mhdollist yleistää vektorimuuttujie fuktioille.
2 2 Fuktio f : o differetioituv pisteessä x, jos f:lle o siiä voimss kehitelmä eli h1 h2 f( x+ h) f( x) = ε( h) h h f( x+ h) f( x) = T h+ ε( h) h. Silloi f ( x) x1 1 f ( ) x 2 x2 = = f ( x), fuktio f grdietti pisteessä x. f ( x) x Differetilikehitelmä lierisess osss h: kertoj o yt mtriisi 1 2. Tätä sot vstvsti kute relifuktioillki fuktio f derivtksi pisteessä x j merkitää f ( x ). Siis f ( x) = f ( x ) T. Fuktio differetioituvuudest seursi siis osittisderivttoje olemssolo j yllä olev yhteys grdieti j derivt välille. Käätäe, jos fuktioll o jtkuvt osittisderivtt pisteessä x, ii f o siiä differetioituv. Silloi somme (kute kirjss) fuktiot jtkuvsti differetioituvksi. Epäjtkuvie osittisderivttoje tpuksess fuktio ei välttämättä ole differetioituv.
3 3 Differetilikehitelmää f ( x + h) f( x ) = f ( x ) h + ε( h) h käytetää usei fuktio f lierise pproksimtio pistee x0 ympäristössä merkitsemällä x= x0+ h, h= x x 0, ε( h) h 0: f ( x) f( x ) + f ( x )( x x ) Lusekett df ( x)( h) : = f ( x) h sot myös fuktio f differetiliksi. Geometrisesti lierie pproksimtio merkitsee tgettitso määräämistä fuktio kuvjpille. Ks. F ss tgettitsost j se muodostmisest. Neliömuodot. Defiiittisyys T Relirvoie fuktio F :, F( x) = x Ax o eliömuoto. Nimitys johtuu siitä, että uki kirjoitetuss lusekkeess esiityy vi muuttujie x i toise stee termejä: xt Ax = xx ij i j, i= 1 j= 1 missä eliömuodo mtriisi o A = ( ij ). Kyseessä o siis toise stee polyomi muuttujist x 1,, x (ilm esimmäise stee j vkiotermiä). Vihdisuude xixj = xjxi tki tämä esitys o tehtävissä moell tvll, esimerkiksi: F( x, x ): = x + 4x x + 5x = x + 3x x + x x + 5x = x + 2x x + 2x x + 5x
4 4 Niipä yksikäsitteisyyde iksmiseksi oki yleesä sovittu, että eliömuodo mtriisi A o symmetrie. Silloi siis kertoimet tvll jet ts tekijöide xixj, xjx i keske: ij = ji. Mtriisi A symmetrisyydestä sd sitte toki muutki hyötyä, kute viime luvuss todettii. Yllä olev esimerki oletusrvoie muoto o siis: x1 F( x1, x2): = x1 + 4x2x1+ 5 x2 = [ x1 x2] 2 5 x 2. Neliömuoto void i digolisoid muuttuj vihdoll digolimuotoo: T T 2 x Ax= y Dy = λiyi, i= 1 jost siis puuttuvt "ristikkäistermit" yy i j, i j. Tämä perustuu siihe, että symmetrisellä mtriisill A o reliset omiisrvot j A void digolisoid ortogolisell mtriisill Q: Kosk jolloi A x = Q y : T T = QDQ, sd vlitsemll uudeksi muuttujksi y = Q x, x T Ax= ( Qy) T A( Qy) = y T Q T AQy= y T Dy. Tässä esityksessä mtriisi Q rketuu mtriisi A ortoormleist omiisvektoreist j lävistäjämtriisi D lävistäjällä ovt A: omiisrvot. Muuokse vull void eliömuodo x T Ax määrittelemiä ilmiöitä tutki selkeämmästä "pääkselikoorditistoss" esitetystä muodost y T Dy.
5 5 Tällä tvll void esimerkiksi selvittää toise stee käyrie j pitoje tyypit. Tämä s. pääkseliprobleem oli ikisemmi yliopistoje peruskursseill perusteellisesti läpikäytävää luett, mutt tietokoegrfiik ohjelmistoje myötä se merkitys o huomttvsti vähetyyt. Esim. 1 Mitä tyyppiä o yhtälö 6x + 5x x 6x = 7 esittämä käyrä? Käyrä yhtälö o muoto x T A x = 7, missä eliömuodo mtriisi o 6 5/2 A = 5/2 6. Krkteristie yhtälö o 6 λ 5/ = λ 4 = 0, jost omiisrvot λ 12 =± 2. 5/2 6 λ Digolimuodoss yhtälö o siis y1 2 y2 7 =, jote kyseessä o hyperbeli. Symmetrie mtriisi A o positiivisesti semidefiiitti, jos kikill x o voimss x T Ax 0, j positiivisesti defiiitti, jos kikill x 0 o voimss x T Ax > 0. Vstvsti määritellää egtiivisesti (semi)defiiitti mtriisi toisesuutisill epäyhtälöillä. Jos mtriisi ei ole mitää äistä eljästä tyypistä, se o idefiiitti. Smoj termejä käytetää myös vstvst eliömuodost. Huomttkoo, että tällä tvll määriteltyä positiivisesti defiiitti mtriisi o myös positiivisesti semidefiiitti j egtiivisesti defiiitti myös egtiivisesti semidefiiitti. (Joskus kirjllisuudess si o toisi, eli iissä semidefiiittisyys sulkee pois defiiittisyyde. Esittämämme käytätö äyttää olev kuiteki yleisempi, j mhdollist merkitöje >, j <, johdomukise käytö.) Positiivisesti semidefiiittiä mtriisi merkitää usei A 0, smoi positiivisesti defiiittiä A>0, j vstvsti egtiivisesti semidefiiittiä j egtiivisesti defiiittiä A 0j A<0.
6 6 Määritelmä epäyhtälöistä defiiittisyysomiisuuksi o hkl päätellä (mutt miitut epäyhtälöt ovt sitte hyödyettävissä, ku mtriisi luoe tuet). Asi ähdää kuiteki helposti symmetrise mtriisi omiisrvoje vull vstv eliömuodo digolimuodost ( λ, 1 λ ovt A: omiisrvot), T 2 x Ax = λiyi. i= 1 Mtriisi A o - positiivisesti defiiitti omiisrvot ovt positiivisi - positiivisesti semidefiiitti omiisrvot ovt ei-egtiivisi - egtiivisesti defiiitti omiisrvot ovt egtiivisi - egtiivisesti semidefiiitti omiisrvot ovt ei-positiiviisi - idefiiitti omiisrvoj o sekä positiivisi että egtiiviisi Käyttämällä epäyhtälömerkkejä sd yllä olev si esitettyä tiiviisti: - A > 0 λi > 0, i - A 0 λi 0, i - A < 0 λ i < 0, i - A 0 λi 0, i - A idefiiitti i: λ > 0 & j: λ < 0. i j
7 7 Symmetrise mtriisi defiiittisyystyyppi void määrittää tpuksiss =2 j =3 helposti myös seurvist determittiehdoist (todistus sivuutet): Symmetrie mtriisi A = o positiivisesti semidefiiitti, jos j vi jos 11 0 j det( A) 0. Se o egtiivisesti semidefiiitti, jos j vi jos 11 0 j det( A) 0. Positiivise defiiittisyyde ehdot ovt 11 > 0 j det( A) > 0. Negtiivise defiiittisyyde ehdot ovt 11 < 0 j det( A) > 0. Symmetrie mtriisi A = o positiivisesti semidefiiitti, jos j vi jos lävistäjälkiot 11, 22, 33 ovt 0 j seurvt determittiehdot ovt voimss , , , det(a) 0. Negtiivise semidefiiittisyyde ehdot ovt smt, pitsi että lävistäjälkiot 0 j det(a) 0. Positiivise defiiittisyyde ehdot ovt 11 > 0, > 0, det(a) > 0 (siis riittää tutki vi kolme rvo) j egtiivise defiiittisyyde ehdot 11 < 0, > 0, det(a) < 0.
8 8 Hesse mtriisi. Trkstelemme tässä usemm muuttuj (eli vektorimuuttuj) relirvoisi fuktioit f :. Aikisemmi todettii, että riittävä sääöllisellä fuktioll (osittisderivtt jtkuvi) f o lierie eli esimmäise kertluvu pproksimtio f ( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + ε( h) h Tämä o silloi myös fuktio f 1. stee Tylori polyomi pisteessä x. 0 Trkempi pproksimtio sd 2. stee Tylori polyomill f( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + ( x x ) ( x )( x x ) + ε( h) h 2, 1 T f 0 0 missä f ( x 0) o fuktio f toie derivtt, s. Hesse mtriisi: Jos fuktioll f o toise kertluvu osittisderivtt olemss, ii iistä koostuv Hesse mtriisi H f o H f = D11 f D12 f D1 f D21 f D22 f D2 f, D 1f D2f D f missä o merkitty D f ij 2 f =. x x i j
9 9 Pisteessä x lsketu Hesse mtriisi H f (x) (i,j)-lkio o siis D ij f(x) = 2 f x x i j ( x ). Jtkoss oletmme, että fuktio f kikki toiseki kertluvu derivtt ovt jtkuvi. Silloi sekderivtt void lske missä järjestyksessä hyväsä, jote D ij f = D ji f eli Hesse mtriisi o symmetrie. Hesse mtriisi vull fuktiolle f sd siis kvdrttie pproksimtio eli toise kertluvu pproksimtio: f(x+h) - f(x) = f(x) T h + 21 h T H f (x)h + ε( h) h 2. Yhteeveto derivtoist relirvoiselle fuktiolle sd äi: fuktio grdietti o trspooitu derivtt j Hesse mtriisi toie derivtt eli: f '(x) = f(x) T f ''(x) = H f (x), jotk ovt 1 j mtriisej.
10 10 Äärirvot Sovellmme sitte esimmäise j toise kertluvu pproksimtioit fuktio äärirvoje tutkimisee. Äärirvotehtävie yleistä teori, rtkisumeetelmiä j soveltmist sot myös optimoiiksi, jok o yksi sovelletu mtemtiik oslueist. Näide tehtävie yleie muoto o mi f(x) x S, joss miimoii sijst void myös mksimoid. Miimoitv ti mksimoitv fuktio o s. kohdefuktio j muuttuj x sitovt jouko S määrittelevät ehdot ovt rjoitusehtoj. Muuttujt, jotk toteuttvt rjoitusehdot, ovt käypiä rtkisuj j joukko S käypä joukko. Jos rjoitusehtoj ei ole, muuttuj x s vpsti liikku koko vruudess, jost syystä äitä ogelmi kutsut vpiksi optimoititehtäviksi. Ne ovt helpompi käsitellä, kui rjoitusehdoill vrustetut, kosk rjoitusehtoje oudttmie vtii om työsä. Optimoitiprobleemoiss het kohdefuktio miimi- ti mksimikohti. Nämä ovt globlej ti loklej se muk, tvtko e kohdefuktiolle pieimmä (suurimm) rvo verrttu kikkii käypii muuttujii vi vi josski ympäristössä olevii. Vpt äärirvotehtävät Oletmme, että relirvoie kohdefuktio f o määritelty koko vruudess j o siellä esimmäise kertluvu osittisderivttoiee jtkuv j siis differetioituv. Silloi sille o voimss lierie pproksimtio eli esimmäise kertluvu pproksimtio: f(x+h) - f(x) = f(x) T h + ε( h) h. Jos x o fuktio f lokli miimikoht, ii riittävä lähellä 0: olevill h o voimss f(x+h) - f(x) 0.
11 11 Tällöi o välttämättä oltv f(x) = 0, kosk muute sisimme sijoittmll yllä olev pproksimtioyhtälöö h = -t f(x), t>0, j jkmll luvull h yhtälö, joss vsemmll puolell o eiegtiivie luku j oikell egtiivie (t riittävä piei). Sm todet loklille mksimikohdlle. Välttämätö esimmäise kertluvu ehto loklille äärirvolle. Jos x o jtkuvsti differetioituv fuktio f: ti mksimikoht, ii f(x) = 0. lokli miimi- Tämä ehto o sm miimille j mksimille. Niide erottmiseksi trvit toise kertluvu derivttoj. Yhde muuttuj fuktioist muistettee, että lokli miimi välttämätö ehto khdesti jtkuvsti derivoituvlle fuktiolle o f '(x) = 0 j f ''(x) 0. Tämä ehto yleistyy Hesse mtriisi käyttäe : muuttuj fuktioille. Jos x o f: lokli miimikoht, ii f: Hesse mtriisi o oltv positiivisesti semidefiiitti. Jos imittäi o joki v, joll v T H f (x)v < 0, ii vlitsemll h = tv, t>0, sd f: kvdrttise pproksimtio yhtälöstä puolitti h 2 :ll jkmll j ottmll t riittävä pieeksi vsemmlle puolelle ei-egtiivie luku j oikelle puolelle idosti egtiivie (lierie termi f(x) T h =0, kosk f: grdietti o 0).
12 12 Välttämätö toise kertluvu ehto loklille äärirvolle. Olkoot fuktio f: sti jtkuvi. j se osittisderivtt toisee kertlukuu Jos x o f: lokli miimikoht, ii f: grdietti kohdss x häviää j Hesse mtriisi o siiä positiivisesti semidefiiitti: f(x) = 0 j H f (x) 0. Jos x o f: lokli mksimikoht, ii f: grdietti kohdss x häviää j Hesse mtriisi o siiä egtiivisesti semidefiiitti: f(x) = 0 j H f (x) 0. Käyttämällä derivttmerkitöjä sd ehdot tutu äköisiksi ehdoiksi f '(x) = 0 j f ''(x) 0 lokliss miimikohdss x f '(x) = 0 j f ''(x) 0 lokliss mksimikohdss x. Nämä ehdot ovt siis välttämättömiä, eli iide o pkko oll voimss jokisess lokliss miimi/mksimikohdss. Mutt e eivät ole riittäviä, eli iide voimssolo ei tk sitä, että kyseie piste x o optimikoht. Siis voi oll olemss pisteitä, joiss välttämättömät ehdot ovt voimss, mutt jotk eivät ole optimikohti. Somme fuktio f kriittisiksi pisteiksi kikki iitä pisteitä x, joiss fuktio grdietti o oll. Joskus myös mhdolliset fuktio ti se osittisderivttoje epäjtkuvuuskohdt otet muk kriittisii pisteisii (iissähä eivät äärirvoehdot ole voimss). Ne kriittiset pisteet, joiss grdietti o oll, mutt jotk eivät ole loklej miimejä ti mksimej, ovt stulpisteitä. Optimirtkisuj het etsimällä esi kikki kriittiset pisteet, jotk sitte tutkit kuki eriksee. Kriittiste pisteide "ldu" tutkimiseksi (eli ovtko loklej miimejä, mksimej je.) void käyttää riittäviä ehtoj. Näistä tuetui o yhde muuttuj fuktioide ehdo
13 13 f '(x)=0 & f ''(x)>0 x lokli miimikoht yleistävä ehto: (todistus perustuu kvdrttisee pproksimtioo, joss oikell puolell olev eliömuoto o positiivise defiiittisyyde voimss olless positiivie; yksityiskohdt sivuutet) Riittävä ehto loklille miimille j mksimille. Olkoot fuktio f: j se osittisderivtt toisee kertlukuu sti jtkuvi sekä f(x) = 0. Jos lisäksi f: Hesse mtriisi H f (x) o positiivisesti defiiitti, ii x o lokli miimikoht, j jos egtiivisesti defiiitti, ii x o lokli mksimikoht: f ''(x) > 0 x lokli miimikoht f ''(x) < 0 x lokli mksimikoht. Jos H f (x) o idefiiitti, ii x o stulpiste Esim. 1 f ( xyz,, ) = x + 4xy y + z 8x 6y+ z f(x,y,z)=[2x+4y-8, 4x-2y-6, 2z+1] T =0, jost rtke z=-½ j yhtälöprist x:lle j y:lle x=2, y=1. Siis vi yksi kriittie piste: (x,y,z)=(2,1,-½) Hesse mtriisi: H f ( x, y, z) = 4 2 0, joss 2>0, mutt <, jote idefiiitti. Kyseessä stulpiste.
14 Esim. 2 f ( xy, ) = x y 2xy f(x,y)=[3x 2-2y,-3y 2-2x] T =0, jost sd y=3x 2 /2 j se sijoittmll toisee yhtälö 2x=-3(3x 2 /2) 2 = -27x 4 /4. Tästä seur x=0 ti x 3 =-8/27 eli x=-2/3. Sijoittmll ämä y: lusekkeesee y=3x 2 /2 sd y=0 ti y=2/3. Siis kriittisiä pisteitä o kksi: (0,0) j (-2/3,2/3). Hesse mtriisi o yt 6x 2 H f ( x, y) = 2 6y Pisteessä (0,0) omiisrvot ovt 2 j-2, jote Hesse mtriisi o idefiiitti, kyseessä stulpiste. Pisteessä (-2/3,2/3) omiisrvot ovt -2 j-6, jote Hesse mtriisi o egtiivisesti defiiitti, kyseessä lokli mksimikoht. Rjoitusehdoill vrustetut äärirvotehtävät Jos käypä joukko S o voi eli reu ei kuulu siihe, ii edellä miitut luseet soveltuvt sellise. Smoi o, jos pistee x tiedetää olev sisäpiste. (Avoimess joukoss kikki pisteet ovt sisäpisteitä.) Tämä johtuu siitä, että sisäpisteellä o ympäristö (voi x-keskie kiekko ti yleisemmi kuul), jok koko sisältyy joukkoo S. Tällöi loklisti tile o sm kui rjoitusehtoj ei olisik. Jos piste x se sij o käyvä jouko reupiste, si o pljo moimutkisempi. Tällä kurssill trkstelemme vi yhtälömuotoisi rjoitusehtoj, eli joukko S o määritelty yhtälörjoituksill g 1 (x) = 0,, g m (x) = 0
15 15 missä fuktiot g i ovt jtkuvsti differetioituvi. Silloi tehtävä void plutt vpksi tehtäväksi ottmll käyttöö Lgrge fuktio L(x, λ) = f(x) -λ 1 g 1 (x) - -λ m g m (x) missä vektori λ koostuu Lgrge kertoimist λ 1,, λ m. Jos x o fuktio f lokli miimi- ti mksimikoht joukoss S, o silloi välttämättä x L(x, λ) = 0. Silloi siis o voimss yhtälöryhmä f(x) = λ 1 g 1 (x) + +λ m g m (x) g 1 (x) = 0 g m (x) = 0 jost yritetää rtkist x j Lgrge kertoimet λ 1,, λ m. Tässä o siis +m tutemtot, j yleesä yhtälöryhmä o epälierie j sellise vike rtkist. Esim. 3 Hettv ympyrä 2 2 f ( xy, ) x y y x + y = 1 kehältä e pisteet, joiss fuktio 2 2 = s mksimis. L(x,y)=x 2 -y 2 -y-λ(x 2 +y 2-1). Silloi L x =2x-2λx=0, L y =-2y-1-2λy=0. Näistä j ympyrä yhtälöstä rtkist x, y j λ. Jos x=0, ii y=±1, jolloi λ=-3/2 ti λ=-1/2. Jos x 0, ii λ=1, jolloi y=-1/4 j ympyrä yhtälöstä siis x=± 15 /4. Siis kriittiset pisteet ovt (0, ±1) j (± 15 /4,-1/4). Lskemll f: rvot äissä todet, että suurimm rvo se s pisteissä (± 15 /4,-1/4), jolloi f(± 15 /4,-1/4)=5/4.
on neliömuoto. Nimitys johtuu siitä, että auki kirjoitetussa lausekkeessa esiintyy vain muuttujien x
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tmperee tekillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 010 5. Äärirvoteori Tässä luvuss trkstelemme vektorimuuttuj fuktioide äärirvotehtäviä. Osoittutuu, että derivt rooli o pljolti
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedot****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
Lisätiedot2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
LisätiedotMenetelmiä formuloinnin parantamiseen
Meetelmiä formuloii prtmisee Mikko Korpel Dimitris Bertsims & Robert Weismtel, 2005, Optimiztio over Itegers, ch 2.-2.5 S ysteemilyysi Lbortorio Tekillie korkekoulu Mikko Korpel Sovelletu mtemtiik tutkisemiri-
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
. Polyomifuktio kulku. Lokliset äärirvot Tähästiste opitoje perusteell ost piirtää esisteise polyomifuktio kuvj, suor, ku se yhtälö o ettu. Ost myös pääpiirtei hhmotell toise stee polyomifuktio kuvj, prbeli,
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotEDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille,
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Lisätiedot3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
Lisätiedoty 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista
9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo
.1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
Lisätiedot7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen
7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotLaskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.
2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotTasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma
Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotLaaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005
7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
Lisätiedot5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Jonon neljä ensimmäistä jäsentä saadaan sijoittamalla n= 1, n= 2, n= 3 ja n = 4 lausekkeeseen
TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,,
Lisätiedot