Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Transkriptio

1 Mallivastaukset (a) Molemmilla yrityksillä on kaksi mahdollista toimenpidettä, joten pelissä on 2 2 = 4 potentiaalisesti erilaista tulemaa. i. Jos Row Corporation valitsee Mainosta ja Column Industries valitsee Mainosta, niin molemmat myyvät (0.5)16m = 8m lamppua. Kun kate on P M C = 2 1 = 1, voitoksi saadaan 8m 3m = 5m (miljoonaa e). ii. Jos Row valitsee Mainosta ja Column valitsee Älä mainosta, niin A myy (0.75)16m = 12m lamppua ja saa voitoksi 12m(2-1) 3m = 9m. B myy (1-0.75)16m = 4m lamppua ja saa voitoksi 4m(2-1) = 4m. iii. Jos Row valitsee Älä mainosta ja Column valitsee Älä mainosta, niin tilanne on tasan päinvastainen edelliseen kohtaan verrattuna, eli A saa voitoksi 4m ja B 9m. iv. Jos molemmat valitsevat Älä mainosta, molemmat myyvät (0.5)16m = 8m lamppua ja saavat voitoksi 8m(2 1) = 8m. Yritysten tulosmatriisi (miljoonia euroja): Row Corporation Column Industries Mainosta Älä mainosta Mainosta 5, 5 9, 4 Älä mainosta 4, 9 8, 8 (b) Row lle mainostaminen on dominoiva strategia, koska se antaa suuremman voiton kuin mainostamatta jättäminen sekä silloin, kun Column päättää mainostaa (5 > 4) että silloin, kun Column ei mainosta (9 > 8). Myös Column illa mainostaminen on dominoiva strategia. Nash-tasapaino on (Mainosta, Mainosta) ja tulemat ovat (5, 5). Tilanne, jossa kumpikaan ei mainosta, toisi suuremmat voitot molemmille yrityksille. Se ei kuitenkaan ole tasapaino, koska olemalla ainoa, joka mainostaa tienaa vielä paremmin kuin jos kumpikaan ei mainosta. Tästä tulemasta kummankin yrityksen kannattaisi siis poiketa. (c) Yritysten tulosmatriisi nyt (miljoonia euroja): Row Corporation Column Industries Mainosta Älä mainosta Mainosta 5, 5 16α 3, 16(1 α) Älä mainosta 16(1 α), 16α 3 8, 8 Mainostaminen on dominoiva strategia niin kauan, kun 5 > 16(1 α) ja 16α 3 > 8. Ehdot toteutuvat, kun α > 11/16 eli kun α > Tilanne on Row n ja Columnin 1

2 osalta symmetrinen, ja niin kauan, kun mainostaminen on dominoiva strategia, tasapaino on (Mainosta, Mainosta). Kun α < , Älä mainosta on kummallekin yritykselle dominoiva strategia. Tasapaino on tällöin (Älä mainosta, Älä mainosta). 2. (a) Siirretään kansalaisten kulutuspäätökset tulosmatriisiin: Kansalainen A Kansalainen B Yksityishyödyke Julkishyödyke Yksityishyödyke 1, , 0.75 Julkishyödyke 0.75, , 1.5 Tasapainossa kumpikin pelaaja pelaa parasta vastaustaan. Kansalaisen A dominoiva strategia on kuluttaa aina yksityiseen hyödykkeeseen. Tämä on myös kansalaisen B dominoiva strategia. Tasapaino on siis (Käytä yksityishyödykkeeseen, Käytä yksityishyödykkeeseen), jolloin tulemat ovat (1, 1). (b) Oletetaan, että kansalainen A valitsee ensin ja kansalainen B tämän jälkeen. Peli ratkaistaan nyt induktiolla taaksepäin. Tilanteen voi mallintaa pelipuuna seuraavasti: A Julkishyödyke B Yksityishyödyke B Julkishyödyke Yksityishyödyke Julkishyödyke Yksityishyödyke 1.5, , , , 1 Jos A käyttää rahayksikkönsä yksityishyödykkeeseen, B valitsee tulemien 0.75 (julkishyödyke) ja 1 (yksityishyödyke) väliltä. B:n on siis optimaalista kuluttaa yksityishyödykkeeseen. Jos taas A käyttää yksikkönsä julkishyödykkeeseen, pelaaja B valitsee tulemien 1.5 (julkishyödyke) ja 1.75 (yksityishyödyke) väliltä. Tällöinkin B:n kannattaa kuluttaa yksityishyödykkeeseen. B valitsee strategian Kuluta yksityishyödykkeeseen riippumatta A:n valinnasta. A:n kulutuksen maksimoiva valinta on kuluttaa yksityishyödykkeeseen, jolloin kulutus (1) on suurempi kuin julkishyödykkeeseen kulutettaessa (0.75). Tasapaino ei muutu kohtaan 2a verrattuna: (Käytä yksityishyödykkeeseen, Käytä yksityishyödykkeeseen). 2

3 (c) Tulosmatriisi näyttää nyt seuraavalta: Yksityishyödyke Kansalainen A Yksityishyödyke 1+β, 1+β 2 2 Julkishyödyke β, β 2 2 Kansalainen B Julkishyödyke β, β β, β 2 2 Yksityishyödykkeeseen kuluttaminen on kummallekin kansalaiselle dominoiva strategia niin kauan, kun 0.5(1 + β) > 0.5( β) ja 0.5( β) > 0.5( β) eli kun β < 1/3. Kun altruismin taso on riittävän suuri ja β > 1/3, julkishyödykkeeseen sijoittamisesta tulee dominoiva strategia. Molempien kansalaisten on tällöin optimaalista kuluttaa julkishyödykkeeseen, ja pelin tasapaino on (Kuluta julkishyödykkeeseen, Kuluta julkishyödykkeeseen). Kansalaiset saavuttavat tällöin tasapainossa suuremman kulutustason kuin tilanteessa, jossa β on matala ja kansalaiset saavat hyötyä ensisijaisesti omasta kulutuksestaan. 3

4 3. (a) Yritykset valitsevat kapasiteettinsa samanaikaisesti. Muodostetaan ensin käänteiskysyntä: Q d (P ) = 300 2P P (Q) = Q ja merkitään kokonaistuotantoa Q = Q A +Q B. Muodostetaan yrityksen A voittofunktio: π A (Q A, Q B ) = P (Q A + Q B ) Q A T C(Q A ) = ( Q A 0.5Q B )Q A 5 10Q A Etsitään voitot maksimoiva tuotannon taso: π A (Q A,Q B ) Q A = 150 Q A 0.5Q B 10 = 0 Ratkaisemalla tästä Q A saadaan yrityksen A reaktiofunktio eli optimituotanto funktiona yrityksen B tuotannosta: BR A (Q B ) = Q B. Koska yritykset ovat identtisiä, yrityksen B reaktiofunktio on vastaavasti BR B (Q A ) = Q A Nash-tasapainossa kumpikin yritys ottaa toisen yrityksen tuotantapäätöksen annettuna, ja valitsee tällä perusteella oman tuotantonsa. Lasketaan ensin A:n tuotanto, kun se tietää, että B vastaa parhaan vastauksen mukaan: Q A = BR A (BR B (Q A )) Q A = ( Q A ) 0.75Q A = 70 Q A Vastaavasti myös yrityksen B tuotanto on Q B = Tällöin kokonaismäärä on Q = Hinta ratkaistaan käänteiskysyntäkäyrästä: P = Sijoittamalla hinta ja määrä yritysten voittofunktioon saadaan seuraavat voitot π A = π B = Kuluttajan ylijäämä on markkinakysyntäkäyrän alapuolelle jäävän alueen ja hinnan erotus: P (Q = 0) = 150 CS = ( ) (b) Yritys A valitsee kapasiteettinsa ensin. Mietitään ensin tilannetta B:n kannalta. Kun se tekee päätöstään, yrityksen A tuotanto Q A on jo selvillä. Yritys B maksimoi siis voittojaan annettuna yrityksen A tuotanto. B:n paras vastaus yrityksen A tuotantoon on tuottaa BR B (Q A ) = Q A. Kun A tekee tuotantopäätöksensä, se tietää, että B reagoi funktion BR B (Q A ) mukaan. Yritys A huomioi tämän voittofunktiossaan: π A (Q A, Q B ) = π A (Q A, BR(Q A )) = P (Q A + BR(Q B )) Q A T C(Q A ) = [ ( Q A + Q A )] Q A 5 10Q A = ( Q A ) Q A 5 10Q A = 0.25Q 2 A + 70Q A 5 4

5 Maksimoidaan voitto Q A :n suhteen: π A Q A = 0.5Q A + 70 = 0 Q A = 140 Yritys B:n vastaus A:n tuotantoon on BR B (140) = = 70. Kokonaistuotanto on tällöin = 210, ja markkinahinta P (210) = = 45. Yritys A:n voitot ovat π A = = 4895 ja B:n voitot π B = = Kuluttajan ylijäämä on markkinakysyntäkäyrän alapuolelle jäävän alueen ja hinnan erotus: CS = (150 45) = Jos B valitsee ensin, tilanne on sama kuin edellä, paitsi että nyt B tuottaa suuremman määrän 140 ja saa suuremmat voitot (c) Jos yritykset fuusioituisivat monopoliksi, monopoli voisi hinnoitella tasolle, jolla M R = MC. Tässä MR = 150 Q, ja saadaan MR = MC 150 Q = 10 Q = 140 Tällöin hinta on P (140) = = 80 ja monopolin voitto on π = = Markkinoilla vaihdettu määrä on pienempi ja hinta suurempi kuin tilanteessa, jossa yritykset ovat kilpailijoita. Myös voitto on suurempi kuin yritysten yhteenlaskettu voitto kilpailutilanteessa. 4. Nyt A:lla on kustannusetu: sen rajakustannus on puolittunut. Siten MC A = 5. A:n kokonaiskustannukset ovat T C A (q) = 5 + 5Q A. (a) Yrityksen A voitto on nyt (sijoittamalla uusi kustannusfunktio kohdan 3a voittofunktioon): π A (Q A, Q B ) = ( Q A 0.5Q B )Q A 5 5Q A Derivaatan nollakohdasta saadaan yrityksen A uusi reaktiofunktio, Q A = BR A (Q B ) = Q B. Yrityksen B reaktiofunktio ei riipu A:n kustannuksista, joten sen paras vastaus on edelleen BR B (Q A ) = Q A. Lasketaan A:n tuotanto, kun se tietää, että B vastaa parhaan vastauksen mukaan: BR A (BR B (Q A )) = ( Q A ) 0.75Q A = 75 Q A = 100 Tällöin B:n kapasiteetti on BR B (100) = = 90. Hinta saadaan kysyntäkäyrältä kokonaismäärällä =190: P = = 55. 5

6 A:n voitto on π A = = 4995 ja B:n voitto π B = = 4045 Kuluttajan ylijäämä on CS = (150 55) = 9025 (b) 1) Jos A valitsee kapasiteettinsa ensin, se tietää B:n reagoivan reaktiofunktion BR B (Q A ) = Q A mukaisesti. Yrityksen A voittofunktio on nyt π A (Q A, Q B ) = [ ( Q A + Q A )] Q A 5 5Q A }{{} P (Q A +Q B ) = ( Q A ) Q A 5 5Q A = 0.25Q 2 A + 75Q A 5 A maksimoi voittonsa, kun se tuottaa sellaisen määrän, jolla π A Q A = 0. π A Q A = 0.5Q A + 75 = 0 Q A = 150 B tuottaa reaktiofunktionsa mukaisesti määrän Q B = BR B(150) = = 65. Hinta on tällöin P ( ) = = = Voitot: π A = = = 5620 π B = = = Kuluttajan ylijäämä: CS = ( ) = ) Jos B valitsee ensin, se tietää A:n valitsevan jälkeensä reaktiofunktion BR A (Q B ) = Q B mukaisesti. π B (Q A, Q B ) = π B (Q B, BR(Q B )) = [ ( Q B + Q B )] Q B 5 10Q B = ( Q B ) Q B 5 10Q B = 0.25Q 2 B Q B 5 Voiton maksimoiva määrä on π B Q B = 0.5Q B = 0 Q B = 135 Tällöin Q A = BR A (135) = = Hinta on P ( ) = = = Voitot: π A = = = π B = = = Kuluttajan ylijäämä CS: 6

7 CS = ( ) (c) Kuluttajan ylijäämä on suurin, kun markkinoilla vaihdettu määrä on suurimmillaan eli kun yritys A, jolla on kustannusetu, valitsee kapasiteettinsa ensin. Kuluttajan ylijäämä on pienimmillään, kun yritykset valitsevat kapasiteettinsa samanaikaisesti. (d) Yhteenlasketut voitot kohdassa 4a ovat: π A + π B = = 9040 Yhteenlasketut voitot kohdassa 4b, kun A valitsee ensin ovat: π A +π B = = Yhteenlasketut voitot kohdassa 4b, kun B valitsee ensin ovat: π A + π B = = Yritysten yhteenlasketut voitot ovat suurimmillaan yritysten valitessa kapasiteettinsa samanaikaisesti. A kuitenkin kasvattaa voittojaan samanaikaisen valinnan tilanteeseen verrattuna silloin, kun se saa valita ensin, ja B vastaavasti silloin, kun se valitsee ensin. 5. Rahamäärissä mitattu tulosmatriisi: Mies Nainen Split Steal Split 50075, , Steal , 0 0, 0 Peli on symmetrinen eikä kummallakaan ole vahvasti dominoivaa strategiaa. Jos yksi pelaaja valitsee Splitin, niin toisen kannattaa valita Steal. Mutta jos yksi valitsee Stealin niin toiselle on samantekevää, kumman hän valitsee: sekä Split että Steal ovat paras vastaus strategiaan Steal. Pelissä on siten kolme Nash-tasapainoa: (Steal, Split), (Steal, Steal) ja (Split, Steal). Kumpikaan pelaaja ei yksinään voi parantaa tulostaan poikkeamalla näistä tulemista. Lisähuomio 1. Tämä peli on siitä erikoinen, että vaikka Split ei ole dominoitu strategia, niin se ei myöskään ole ikinä ainoa paras vastaus toisen tekemisiin: silloin, kun se on paras vastaus, se on vain tasapelissä toisen strategian kanssa. Split on ns. heikosti dominoitu strategia. On toki luontevaa ajatella, että pelaajien ei kannata käyttää heikosti dominoituja strategioita, jos muitakin vaihtoehtoja on. Huomaa kuitenkin, että videopätkän mies ei olisi parantanut omaa tuloaan valitsemalla Steal. Lisähuomio 2. On uskottavaa, että pelaajien tavoitteisiin kuuluu muitakin asioita kuin pelissä voitettu rahamäärä. Voi olla noloa esiintyä televisiossa varkaana. Jos nolouden aiheuttama negatiivinen hyöty kuvataan rahamääräisellä parametrillä C (joka riippuu pelaajan preferensseistä), niin tulosmatriisi näyttää tältä: 7

8 Split Nainen Steal Mies Split 50075, , C N Steal C M, 0 C M, C N Jos molempien C:t ovat yli , niin pelissä on vain yksi (ja vahva ) Nash-tasapaino, (Split, Split). Videopätkän tapahtumat voisi tulkita myös siten, että C M oli korkea, ja mies virheellisesti uskoi, että myös C N on korkea. Monimutkaisempiakin tulkintoja on toki olemassa! Bonusmateriaalia: 6. (a) Koska lääkkeiden hinta on kummassakin apteekissa sama 10e, asiakkaiden hankintakustannuksiin tekee eroa vain apteekin etäisyydestä aiheutuva vaiva. Asiakkaat minimoivat kustannuksensa siten valitsemalla heitä lähinnä sijaisevan apteekin. Miten apteekkien kannattaisi sijoittua? Kuvitellaan aluksi, että apteekit asettuvat pääkadun päihin siten, että A sijoittuu 0 km kohdalle ja B 1 km kohdalle. Tällöin asiakkaat jakautuisivat tasan apteekkien välille, ja kullakin asiakkaalla olisi maksimissaan puolen kilometrin matka apteekkiin. Nyt apteekki A pystyisi kuitenkin parantamaan tulostaan. Sen kannattaisi sijoittua etäisyyden A kohdalle pääkadulla, jolloin se saisi kaikki asiakkaat pätkältä [0, A] ja puolet asiakkaista pätkältä [A, B] km. Tästä apteekki B pystyisi parantamaan omaa tulostaan: senkin kannattaisi siirtyä A:ta lähemmäs pääkadun keskikohtaa, jotta se saisi kaapattua osan A:n asiakkaista. Tasapainossa kumpikin apteekki pelaa parasta vastaustaan annettuna toisen apteekin strategia. Apteekit pystyvät parantamaan tulostaan suhteessa toistensa sijaintiin niin kauan, kunnes ne saavuttavat kadun keskikohdan. Apteekkien sijoittuminen kadun keskikohtaan (0.5km, 0.5km) on pelin ainoa tasapaino: tästä sijainnista kummankaan apteekin ei kannata poiketa niin kauan, kun toinenkaan apteekki ei muuta sijaintiaan. Tasapainossa kumpikin apteekki saa puolet asiakkaista, ja voitot ovat π A = π B = = 2.5 (tai tämän moninkerta). Bonusmateriaalia: 8

9 (b) Tasapainohinnat ovat suuremmat tai yhtäsuuret kuin MC = 5, koska tätä alemmalla hinnalla kummankaan ei kannata käydä kauppaa. Koska tilanne on symmetrinen kummallekin apteekille, tasapainossa niiden valitsemat hinnat ovat yhtäsuuret. Janakylän asukkaalle on samantekevää, kumman apteekin hän valitsee, jos p A +10(x A x i ) 2 = p B + 10(x B x i ) 2. Kun asukkaan sijainti kadulla on sellainen, että p A + 10(x A x i ) 2 < p B + 10(x B x i ) 2, asukas valitsee apteekin A. Määritetään rajatapaus, joka on sellaisella etäisyydellä apteekeista, että apteekkivalinta hintojen p A ja p B vallitessa on samantekevä: p A + 10(x A x i ) 2 = p B + 10(x B x i ) 2 p A + 10(0.25 x i ) 2 = p B + 10(0.75 x i ) 2 10x i + p A p B 5 = 0 x i = 5 p A+p B 10 Apteekki A saa osuuden asiakkaista, joiden sijainti on lähempänä janan alkupäätä kuin rajatapauksen sijainti, eli osuuden x i. Apteekin A voitto on siis π A (p A, p B ) = (p A 5) x i = (p A 5) 5 p A+p B 10 A:n reaktiofunktio hinnan P B suhteen löydetään maksimoimalla voittofunktio hinnan p A suhteen: π A p A = (10 2p A + p B )/10 = 0 2p A = p B + 10 p A = 0.5p B + 5 Koska tilanne on symmetrinen B:lle, sen reaktiofunktio on vastaavasti p B = 0.5p A + 5. Tasapainossa kumpikin apteekki pelaa parasta vastaustaan. Sijoittamalla B:n hinta (reaktiofunktio) A:n reaktiofunktioon saadaan A:n tasapainohinnaksi p A = 10. (Yhtä lailla voitaisiin myös todeta, että koska tilanne on apteekeille symmetrinen, p A = p B ja ratkaista tätä identiteettiä käyttämällä tasapainohinta jommasta kummasta reaktiofunktiosta.) Tällöin kate yhdestä myydystä lääkkeestä on 5, ja yritysten voitot ovat samansuuruiset: kummankin saadessa puolet asiakkaista π A = π B = 2.5 (tai tämän moninkerta). Koska tasapainohinnat ovat ennallaan kohtaan 6a verrattuna, mutta asiakkaan etäisyys lähimpään apteekkiin on joko pienentynyt tai pysynyt ennallaan, kuluttajien kokonaishyvinvointi kasvaa kohtaan 6a verrattuna. Kannattaisiko A:n vaihtaa sijaintia, jos se olisi mahdollista? Tarkastellaan, mitä tapahtuisi, jos A sijoittuisi kadun alkupisteeseen 0 km kohdalle. Tällöin rajatapausasiakas sijoittuisi kadulla kohtaan p A + 10(0 x i ) 2 = p B + 10(0.75 x i ) 2 p A + 10x 2 i = p B + 10(0.75 x i ) 2 9

10 p A p B + 15x i = 0 x i = p A+p B 15 Tämä on yhtäsuuri kuin A:n asiakkaista saama osuus. Apteekin B voitto olisi π B (p A, p B ) = (p B 5) (1 x i ) = (p B 5) ( p A+p B 15 ) ja reaktiofunktio π B p B = ( p B 0.5p A ) = 0 p B = 0.5p A Sijoitetaan B:n reaktiofunktio A:n voittoon ja maksimoidaan hinnan suhteen: π A (p A, p B ) = (p A 5) p A+p B 15 = (p A 5) p A+0.5p A π A p A = p A = 0 p A Tällöin p B = A:n voitto on siten π A (p A, p B ) Tämä on suurempi kuin voitto sijainnilla 0.25 km. A:n kannattaa siis siirtyä. Tässä sijoittumispäätös on tuotedifferentiaatiota: kun hinta ei ole säädelty, yritysten kannattaa sijoittua mahdollisimman kauas toisistaan. 7. Luokkatehtävässä a) valittiin ja b) perusteltiin tuotannon taso samanaikaisen valinnan tilanteessa, jossa kaksi samanlaista voittoa maksimoivaa yritystä toimii samoilla markkinoilla, ja toista yritystä johtaa satunnainen luokkatoverisi. Kysyntä oli P d (Q) = 10 Q ja molempien yritysten i = 1, 2 kustannusfunktio T C(Q i ) = 4 + Q i. (a) Mikä tahansa tuotannon taso, joka on paras vastaus johonkin toisen yrityksen tuotannon tasoon, on mahdollista perustella joillain uskomuksilla toisen yrityksen valinnasta. Mikä tahansa numero väliltä [0,4.5] on tässä hyväksyttävä (7p). 1 (b) Kohtaan Miten uskot satunnaisesti valitun luokkatoverisi pelaavan voi vastata millä tahansa ei-negatiivisella numerolla (3p). Voit jopa uskoa toisen pelaajan olevan epärationaalinen ja tuottavan enemmän kuin voittoa maksimoivan yrityksen kannattaisi tuottaa. Mikä tahansa uskomuksesi onkaan toisen valinnasta, täytyy oman valintasi edellisessä kohdassa olla voittoa maksimoiva paras vastaus siihen (5p). Merkitään uskomustasi toisen pelaajan valinnasta Q 2. Paras vastauksesi on se taso Q 1 joka maksimoi voittosi annettuna Q 2. Π(Q 1, Q 2 ) = P d (Q 1 + Q 2 )Q 1 T C(Q 1 ) = (10 Q 1 Q 2 )Q 1 4 Q 1 Π = 10 2Q 1 Q 2 1 = 0 Q 1 = Q 2 Q 1 Valintasi täytyy siis toteuttaa yhtälö BR(q) = q, jossa q on raportoimasi uskomus toisen yrityksen valinnasta. Huomaa, että paras vastaus ei voi olla suurempi kuin 4.5, joka olisi monopolin tuottama määrä eli BR(0). 1 Keskimääräinen vastaus oli Vastaajista 40% valitsi määräkseen 3 (mikä on Nash-tasapaino). 10